3. erzwungene schwingungen -...
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-1
3. Erzwungene Schwingungen
3.1 Aufgabenstellung
3.2 Lösung
3.3 Beispiel: Einzelkraft
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-2
3.1 Aufgabenstellung
● Die Platte wird durch eine harmonische Last
angeregt.● Gesucht ist die Verschiebung an ausgewählten
Punkten der Platte als Funktion der Erreger-kreisfrequenz Ω für den eingeschwungenen Zustand.
p x , y , t = ps sin t pc cos t
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-3
3.1 Aufgabenstellung
● Komplexe Darstellung der Anregung:– Wegen
gilt:
sin t =12 i
exp i t −exp−i t
cos t =12
expi t exp−i t
p x , y , t =ps x , y
2 iexp i t −exp −i t
pc x , y
2exp i t exp−i t
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-4
3.1 Aufgabenstellung
– Daraus folgt:
– Dabei ist
p=pc−i ps2
exp i t pci ps2
exp−i t
= p expi t p exp −i t
p=12
pc−i ps und p=12
pci ps
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-5
3.2 Lösung
● Lösungsansatz:– Es wird angenommen, dass sich die Lösung im
eingeschwungenen Zustand als harmonische Funktion mit der Erregerkreisfrequenz darstellen lässt:
– In komplexer Form lautet der Lösungsansatz
mit
w x , y , t =ws x , y sin twc x , y cos t
w x , y , t = w x , yexpi t w x , yexp−i t
w=12
wc−i w s und w=12
wci ws
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-6
3.2 Lösung
– Einsetzen des Lösungsansatzes in die Bewe-gungsgleichung führt auf
∂4w
∂ x 42
∂4w
∂ x2∂ y2∂4w
∂ y4−
2 hB expi t
∂4 w
∂ x 42
∂4 w
∂ x2∂ x2
∂ w
∂ y4−
2 hB exp−i t
=pBexpi t
pBexp−i t
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-7
3.2 Lösung
– Da diese Gleichung für beliebige Zeiten t gelten muss, folgen daraus die beiden Gleichungen
und
∂4w
∂ x42 ∂
4w
∂ x2∂ y2∂4w
∂ y4−
2 hB
w=pB
∂4 w∂ x 4
2 ∂4 w
∂ x2∂ y2∂4 w
∂ y4−
2 hB
w=pB
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-8
3.2 Lösung
– Ist
Lösung der ersten Gleichung, so ist
Lösung der zweiten Gleichung.– Es genügt also, nur die erste Gleichung zu lösen.
w=12
w s−i wc
w=12
w si wc
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-9
3.2 Lösung
● Modale Superposition:– Jede Funktion, die die wesentlichen Randbe-
dingungen erfüllt, lässt sich als Überlagerung von Eigenfunktionen darstellen.
– Daher lässt sich die Lösung darstellen in der Form
w x , y=∑=1
∞
∑=1
∞
qW
x , y
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-10
3.2 Lösung
– Einsetzen führt auf
Mit
folgt:
∑=1
∞
∑=1
∞
q ∂4W
∂ x42
∂4W
∂ x2∂ y2∂4W
∂ y4−
2 hBW = p
B
∂4W
∂ x 42
∂4W
∂ x2∂ y2∂4W
∂ y4=
4 W
∑=1
∞
∑=1
∞
q
4−
2 hB W =
pB
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-11
3.2 Lösung
– Mit
folgt schließlich:
4=hB
2
∑=1
∞
∑=1
∞
qh
2−
2 W = p
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4. Plattenschwingungen 4.3-12
3.2 Lösung
– Wird die Gleichung mit einer beliebigen Eigen-funktion W
mn multipliziert und über das Plattenge-
biet integriert, so folgt wegen der Orthogonalität der Eigenfunktionen:
– Mit der Plattenmasse gilt:
14a bh
2−
2 q=∫0
b
∫0
a
pW dx dy=R
m=ab h
q=4 R
m1
2−
2
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4. Plattenschwingungen 4.3-13
3.2 Lösung
● Modale Dämpfung:– Dämpfung kann näherungsweise als modale
Dämpfung berücksichtigt werden.
– Mit den Lehrschen Dämpfungsmaßen Dμν
gilt:
22 iD−
2 q=4R
m
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-14
3.2 Lösung
– Mit den modalen Übertragungsfunktionen
folgt:
H =4m
1
2−
22 iD
=4m
2−
2−2 iD
2−
224
22D
2
q=H R
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-15
3.2 Lösung
– Die Übertragungsfunktionen Hμν
hängen von der Er-
regerfrequenz und den Eigenfrequenzen ab.
– Die modalen Lasten Rμν
hängen von der komplexen
Lastamplitude und den Eigenfunktionen ab.– Bei gedämpften Systemen sind die modalen Koeffi-
zienten qμν
komplex.
– Die komplexen Beiträge der einzelnen Eigen-funktionen summieren sich zur komplexen Ver-schiebungsamplitude .w
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-16
3.2 Lösung
– Aus der komplexen Amplitude können die Funktionen und und daraus die reelle Amplitude und die Phase bestimmt werden:
wws wc
ws=−2ℑ w , wc=2ℜ w
w0=ws2wc
2 , tan=wcws
w=ws sin twccos t=w0sin t
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-17
3.3 Beispiel: Einzelkraft
● Einzelkraft:– Eine Einzelkraft ist eine Idealisierung für eine ver-
teilte Last, die außerhalb einer kleinen Umgebung des Angriffspunktes verschwindet.
– Die Eigenfunktionen, deren Wellenlänge groß im Vergleich zu den Abmessungen des belasteten Gebiets ist, können daher in dieser Umgebung als konstant angenommen werden.
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-18
3.3 Beispiel: Einzelkraft
– Wenn die Erregerfrequenz so niedrig ist, dass für alle zu berücksichtigenden Eigenschwingungen die Abmessungen des belasteten Gebietes klein gegenüber der Wellenlänge sind, gilt für die moda-len Lasten:
– Dabei ist F0 die Amplitude der Last und (x
0, y
0 ) der
Angriffspunkt.
R=F 0W x0 , y0
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-19
3.3 Beispiel: Einzelkraft
● Aufgabenstellung:– Eine rechteckige Stahlplatte wird durch eine Einzel-
kraft angeregt.– Abmessungen der Platte:
● a = 0,70m ● b = 0,50m ● h = 0,005m
x
y
F1
F2
a
b
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-20
3.3 Beispiel: Einzelkraft
– Materialkennwerte der Platte:● E = 2,11∙1011N/m2
● ρ = 7850kg/m3
● ν = 0,3– Dämpfung:
● Es wird modale Dämpfung mit einem Lehrschen Dämp-fungsmaß von 2% angenommen.
– Ort der Anregung:● Fall 1: x
1 = 0,35m, y
1 = 0,25m
● Fall 2: x2 = 0,2m, y
2 = 0,1m
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-21
3.3 Beispiel: Einzelkraft
– Gesucht sind für beide Lasten die Übertragungs-funktionen für die Verschiebungen an den Punkten
● P1 mit den Koordinaten x
1 = 0,35m, y
1 = 0,25m
● P2 mit den Koordinaten x
2 = 0,2m, y
2 = 0,1m
– Frequenzbereich:● von 0Hz bis 1000Hz
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-22
3.3 Beispiel: Einzelkraft
● Lösung:– Die Übertragungsfunktionen sind definiert durch
– Dabei ist die komplexe Amplitude der Last.– Die Übertragungsfunktionen entsprechen also den
Verschiebungen für eine Anregung mit einer Einheitslast.
T w x , y ,=w x , y ,
FF
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-23
3.3 Beispiel: Einzelkraft
– Fall 1:● Modale Lasten:
● Modale Koeffizienten:
R=W x1 , y1=sin x1a sin
y1b
q=H R=H sin x1a sin
y1b
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-24
3.3 Beispiel: Einzelkraft
● Übertragungsfunktionen:
T w1x 1 , y1 ,=∑=1
∞
∑=1
∞
qW x1 , y1
=∑=1
∞
∑=1
∞
H sin2
x1a sin2
y1b
T w1x 2 , y2 ,=∑=1
∞
∑=1
∞
qW x2 , y2
=∑=1
∞
∑=1
∞
H sin x 1a sin
x 2a sin
y1b sin
y2b
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-25
3.3 Beispiel: Einzelkraft
– Fall 2:● Modale Lasten:
● Modale Koeffizienten:
R=W x 2 , y2=sin x 2a sin
y2b
q=H R=H sin x 2a sin
y2b
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-26
3.3 Beispiel: Einzelkraft
● Übertragungsfunktionen:
T w2 x 2 , y2 ,=∑=1
∞
∑=1
∞
qW x2 , y2
=∑=1
∞
∑=1
∞
H sin2
x 2a sin2
y2b
T w2 x 1 , y1 ,=∑=1
∞
∑=1
∞
qW x 2 , y2
=∑=1
∞
∑=1
∞
H sin x 2a sin
x 1a sin
y2b sin
y1b
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-27
Beispiel: Einzelkraft
– Die modalen Übertragungsfunktionen
sind für beide Fälle gleich.
H =4m
2−
2−2 iD
2−
2 24
22D
2
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-28
3.3 Beispiel: Einzelkraft
– Reziprozität:● Die Übertragungsfunktionen T
w1(x
2 , y
2 ) und T
w2(x
1 , y
1 )
sind gleich.
F
w
F
w
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-29
3.3 Beispiel: Einzelkraft
● Ergebnis:– Das Diagramm auf der nächsten Seite zeigt die
Amplituden der Übertragungsfunktionen.– Die Minima zwischen den einzelnen Resonanzen
werden als Antiresonanzen bezeichnet.– Bei außermittigem Lastangriff werden deutlich mehr
Eigenschwingungen angeregt.
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-30
3.3 Beispiel: Einzelkraft
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-31
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
● Fragestellung:– Bei realen Bauteilen streuen Abmessungen, Mate-
rialkennwerte und Dämpfungswerte.– Welchen Einfluss hat diese Streuung auf den
Frequenzgang?
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-32
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
● Beispiel:– Berechnet wird die Übertragungsfunktion zwischen
einer Last am Punkt P1 und der Geschwindigkeit
am Punkt P2 für eine dünne Platte.
– Daten:● a = 0,6m , b = 1,67m, h = 0,001m● E = 2,10∙1011N/m2, ν = 0,3, ρ = 7850kg/m3
● Dämpfung: D = 0,03
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-33
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
– Streuung:● Die Eigenfrequenzen streuen um 2%.● Die Dämpfung streut um 20%.● Die Koordinaten der beiden Punkte sind auf ± 2mm ge-
nau.● Berechnet werden die Ergebnisse für 20 verschiedene
Proben, deren Daten innerhalb der angegebenen Gren-zen streuen.
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4. Plattenschwingungen 4.3-34
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
– Ergebnisse:● Die folgenden beiden Diagramme zeigen den Pegel der
Geschwindigkeit an den Punkten P1 und P
2 für eine
Anregung durch eine Einheitslast am Punkt P1.
● Der Pegel ist definiert durch
● Als Referenzgeschwindigkeit wurdegewählt.
Ldb v =20 log vvref
vref=1m / s
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4. Plattenschwingungen 4.3-35
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
Ldb v P1
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-36
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
Ldb v P2
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Elastodynamik 2SS 2007
4. Plattenschwingungen 4.3-37
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
● Beobachtungen:
– Die Geschwindigkeit am Erregerpunkt P1 verläuft
für hohe Frequenzen zunehmend glatter. Die Streuung hält sich in Grenzen.
– Die Streuung der Geschwindigkeit am Punkt P2
nimmt mit zunehmender Frequenz stark zu.
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4. Plattenschwingungen 4.3-38
3.4 Empfindlichkeit des Frequenzgangs
● Erklärung:– Bei höheren Frequenzen sind viele Eigen-
schwingungen etwa gleich stark an der Antwort be-teiligt.
– Die Phasen der Beiträge streuen stark, je nachdem, ob die Erregerfrequenz oberhalb oder unterhalb der Resonanzfrequenz liegt.