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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-1
5. Rayleigh-Ritz-Verfahren
● Mit dem Rayleigh-Ritz-Verfahren lassen sich Näherungen für die Eigenschwingungen und die Eigenfrequenzen berechnen.
● Das Rayleigh-Ritz-Verfahren basiert auf der schwachen Formulierung des Eigenwertpro-blems.
● Es bildet die Grundlage für die Methode der Finiten Elemente.
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-2
5. Rayleigh-Ritz-Verfahren
5.1 Rayleigh-Quotient
5.2 Ritz-Verfahren
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-3
5.1 Rayleigh-Quotient
● Schwache Formulierung der Schwingungsglei-chung:– Die Eigenschwingungen sind Lösungen der
homogenen schwachen Formulierung:
– Diese Gleichung muss für alle Funktionen gelten, die die wesentlichen Randbedingungen erfüllen.
∫0
L
EI yd 2 W
dx2d 2W
dx2dx−
2∫0
L
A W W dx=0
W
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-4
5.1 Rayleigh-Quotient
– Die Eigenfunktionen selbst erfüllen die wesentli-chen Randbedingungen.
– Für gilt: W=W
∫0
L
EI y d2W
dx2 2
dx−2∫0
L
AW
2 dx=0
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-5
5.1 Rayleigh-Quotient
– Wenn die Eigenfunktion bekannt ist, lässt sich die zugehörige Eigenkreisfrequenz aus
berechnen.
W
2=
∫0
L
EI y d2W
dx2 2
dx
∫0
L
AW
2 dx
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-6
5.1 Rayleigh-Quotient
● Rayleigh-Quotient:– Der Rayleigh-Quotient ist definiert durch
– Dabei ist eine beliebige Funktion, die die wesentlichen Randbedingungen erfüllt.
R V =
∫0
L
EI y d2V
dx2 2
dx
∫0
L
AV 2dx
V x
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-7
5.1 Rayleigh-Quotient
– Der Rayleigh-Quotient ist eine Abbildung, die einer Funktion eine reelle Zahl zuordnet.
– Eine solche Abbildung wird als Funktional bezeich-net.
– Wie bei diskreten Systemen lässt sich zeigen, dass der Rayleigh-Quotient ein Minimum hat, wenn als Funktion die Eigenform der Grundschwingung ein-gesetzt wird.
– Mit dem Rayleigh-Quotienten kann die Eigenkreis-frequenz der Grundschwingung abgeschätzt werden.
V x
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-8
5.1 Rayleigh-Quotient
● Beispiel: Balken mit veränderlichem Querschnitt
L/2 L/2
ρ, E, A, Iy
ρ, E, αA, βIy
x
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-9
5.1 Rayleigh-Quotient
– Wesentliche Randbedingungen:
– Testfunktion:
W 0=0,dWdx0=0
V x =x2 dVdx=2 x ,
d 2V
dx2=2
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-10
5.1 Rayleigh-Quotient
– Rayleigh-Quotient:
∫0
L
EI y d2V
dx2 2
dx=EI y∫0
L /2
4dxEI y∫L/2
L
4dx
=4 EI y L2L2 =2 EI y L 1
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-11
5.1 Rayleigh-Quotient
∫0
L
AV 2dx= A∫0
L /2
x 4dx A∫L /2
L
x 4dx
= A [ x5
5 ]0L/2
[ x5
5 ]L /2L
= A L5
160131
R V =320EI y A L4
1131
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-12
5.1 Rayleigh-Quotient
– Speziell: Homogener Kragbalken
– Exakte Lösung für den homogenen Kragbalken:
=1, =1
12R V =20
EI y A L4
12=1
4 EI y A
=1,87514EI y A L4
=12,36EI y A L4
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-13
5.2 Ritz-Verfahren
● Grundlagen:– Betrachtet wird das Funktional
– Das Funktional ordnet jeder Funktion , die die wesentlichen Randbedingungen erfüllt, eine reelle Zahl zu.
W =12∫0
L
[EI y d2W
dx2 2
−2 AW 2]dx
W
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-14
5.2 Ritz-Verfahren
– Sei eine weitere Funktion, die die wesentlichen Randbedingungen erfüllt, und eine beliebige reelle Zahl.
– Dann gilt:
W
W W =12∫0
L
EI y d2W
dx2d 2 W
dx2 2
dx
−2 12∫0
L
A W W 2dx
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-15
5.2 Ritz-Verfahren
– Ableiten nach führt auf:
dd =∫
0
L
EI y d2W
dx2d 2 W
dx2 d 2 W
dx2dx
−2∫0
L
A W W W dx
=∫0
L
EI yd 2W
dx2d 2 W
dx2dx−2∫
0
L
AW W dx2 W
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-16
5.2 Ritz-Verfahren
– Ist speziell eine Eigenfunktion und die zugehörige Eigenkreisfrequenz, so gilt:
– Für ist die Ableitung Null.– Das Funktional hat also einen Extremwert, wenn als
Funktion eine Eigenfunktion eingesetzt wird.
W=W
dd =2 W
=0
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-17
● Ritz-Verfahren:– Näherungsansatz:
– Die Funktionen müssen die wesentlichen Randbedingungen erfüllen.
5.2 Ritz-Verfahren
W x =∑i=1
n
aii x
i x
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-18
5.2 Ritz-Verfahren
– Wird der Ansatz in das Funktional eingesetzt, so wird das Funktional zu einer Funktion der unbe-kannten Freiwerte : ai
W =P a1, , an
W =12∫0
L
[EI y ∑i=1n
aid 2idx2
2
−2 A∑
i=1
n
aii2
]dx=P a1, ,an
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-19
5.2 Ritz-Verfahren
– Die Bedingung dafür, dass die Funktion einen Extremwert annimmt, lautet
P
∂P∂a j
=0, j=1, , n
∫0
L
[EI y ∑i=1n
aid 2idx2
d 2 j
dx2−
2 A∑
i=1
n
aii j ]dx=0,j=1, ,n
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-20
5.2 Ritz-Verfahren
– Aus diesen n Gleichungen können die n Koeffizi-enten bestimmt werden.
– Abkürzungen:
ai
k ij=k ji=∫0
L
EI yd2idx2
d2 j
dx2dx
mij=m ji=∫0
L
Ai jdx
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-21
5.2 Ritz-Verfahren
– Damit lauten die Gleichungen:
– Das ist ein Eigenwertproblem zur Bestimmung von n Eigenvektoren und Eigenfrequenzen.
[k11 ⋯ k 1n⋮ ⋱ ⋮
k n1 ⋯ k nn]−2 [m11 ⋯ m1n⋮ ⋱ ⋮
mn1 ⋯ mn n][a1⋮
an]=[0⋮
0]K−
2M a=0
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-22
5.2 Ritz-Verfahren
● Beispiel: Balken mit veränderlichem Querschnitt
L/2 L/2
ρ, E, A, Iy
ρ, E, αA, βIy
x
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-23
5.2 Ritz-Verfahren
– Ansatzfunktionen:
1= xL 2
d1dx=2
x
L2,d 21dx2
=2
L2
2= xL 3
d2dx=3L xL
2
,d 22dx2
=6x
L3
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-24
5.2 Ritz-Verfahren
– Elemente der Steifigkeitsmatrix K :
k 11=∫0
L /2
EI y 2
L2 2
dx∫L/2
L
EI y 2
L2 2
dx
=4EI yL4
L2
L2 =2
EI yL3
1
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-25
5.2 Ritz-Verfahren
k 12=k 21=∫0
L /2
EI y 2
L2 6x
L3 dx∫L /2L
EI y 2
L2 6x
L3 dx
=12EI yL5 [
x2
2 ]0L /2
[ x2
2 ]L /2L
=6 EI yL5 L2
4
34L2
=32
EI yL3
13
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-26
5.2 Ritz-Verfahren
k 22=∫0
L /2
EI y 6x
L3 2
dx∫L /2
L
EI y6x
L3 2
dx
=36EI yL6 [
x3
3 ]0L/2
[ x3
3 ]L /2L
=12 EI yL6 L3
8
78L3
=32
EI yL3
17
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-27
5.2 Ritz-Verfahren
– Elemente der Massenmatrix M :
m11=∫0
L/2
A xL 4
dx∫L/2
L
A xL 4
dx
= A
L4 [x5
5 ]0L /2
[ x5
5 ]L/2L
= A5 L4 L5
32
3132L5
= A L160
131
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-28
5.2 Ritz-Verfahren
m12=m21=∫0
L /2
A xL 5
dx∫L /2
L
A xL 5
dx
= A
L5 [x6
6 ]0L /2
[ x6
6 ]L /2L
= A6 L5 L6
64
6364L6
= A L384
163
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-29
5.2 Ritz-Verfahren
m22=∫0
L /2
A xL 6
dx∫L /2
L
A xL 6
dx
= A
L6 [x7
7 ]0L/2
[ x7
7 ]L /2L
= A7 L6 L7
128
127128
L7= A L896
1127
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-30
5.2 Ritz-Verfahren
– Eigenwertproblem:
EI y2 L3 [
4 1 3 13 3 13 3 17 ]
−2 A L13440 [
84 131 35 163
35 163 15 1127 ][a1a2]=[
00]
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-31
5.2 Ritz-Verfahren
– Speziell: Homogener Kragbalken
=1, =1 :
EI y2 L3 [
8 1212 24 ]−
2 A L420 [
84 7070 60][
a1a2]=[
00]
∣4EI y A L4
−152 6
EI y A L4
−162
6EI y A L4
−162 12
EI y A L4
−172∣=0
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-32
5.2 Ritz-Verfahren
12EI y A L4
2
−3435
EI y A L4
2
11260
4=0
4−1224
EI y A L4
215120
EI y A L4
2
=0
1/22=EI y A L4
612±6122−15120
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-33
5.2 Ritz-Verfahren
– Ergebnis:
Exakt:
12=12,48
EI y A L4
, 22=1211,52
EI y A L4
12=12,36
EI y A L4
, 22=485,52
EI y A L4
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-34
5.2 Ritz-Verfahren
● Erweiterung:– Das Ritz-Verfahren lässt sich leicht auf den Fall
erweitern, dass der Balken auf einzelnen Federn gelagert und mit Einzelmassen belegt ist.
xi
ci
xj
mj
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3. Balkenschwingungen 3.5-35
5.2 Ritz-Verfahren
– Das Funktional muss um die Beiträge der Federn und Punktmassen erweitert werden:
W =12∫0
L
[EI y d2Wdx2
2
−2 AW 2]dx
12∑k=1
nF
ckW2xk −
2
2 ∑k=1
nM
mkW2xk
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-36
5.2 Ritz-Verfahren
– Elemente der Steifigkeitsmatrix:
– Elemente der Massenmatrix:
k ij=k ji=∫0
L
EI yd 2idx2
d 2 j
dx2dx
∑k=1
nF
cki x k j xk
mij=m ji=∫0
L
Ai jdx∑k=1
nM
mki x k j x k
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-37
5.2 Ritz-Verfahren
● Beispiel: Kragbalken mit Endmasse
x
zL
ρ, A, EIy
m
m= A L
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3. Balkenschwingungen 3.5-38
5.2 Ritz-Verfahren
– Ansatzfunktionen:
1= xL 2
d1dx=2
x
L2,d 21dx2
=2
L2
2= xL 3
d2dx=3L xL
2
,d 22dx2
=6x
L3
1L=1, 2L=1
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3. Balkenschwingungen 3.5-39
5.2 Ritz-Verfahren
– Steifigkeitsmatrix:
– Massenmatrix:
K=EI yL3 [
4 66 12]
M= A L210 [
42 3535 30 ]m [
12L 1L2L
1 L2L 22L ]
M= A L210 [
42210 3521035210 30210]
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-40
5.2 Ritz-Verfahren
– Charakteristische Gleichung:
det K−2M =0
∣4EI y A L4
− 15 2 6
EI y A L4
− 16 2
6EI y A L4
− 16 2 12
EI y A L4
− 17 2∣=0
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-41
5.2 Ritz-Verfahren
12EI y A L4
2
−EI y A L4 [4
1712 15−12
16] 2
[ 1517− 16
2
] 4=0
12EI y A L4
2
− 34354EI y A L4
21121260
4=0
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-42
5.2 Ritz-Verfahren
112 4−72 1770
EI y A L4
215120
EI y A L4
2
=0
1/22=
1112
EI y A L4
[36 1770
±362 1770 2−15120 112 ]
1/22=
12112
EI y A L4
[3 1770
±249620160441002 ]
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-43
5.2 Ritz-Verfahren
– Das folgende Diagramm zeigt die dimensionslose Kreisfrequenz
der Grundschwingung in Abhängigkeit vom Massenverhältnis μ.
– Die mit dem Ritz-Verfahren ermittelte Näherungslö-sung stimmt sehr gut mit der exakten Lösung über-ein.
L2 AEI y
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Elastodynamik 2SS 2007
3. Balkenschwingungen 3.5-44
5.2 Ritz-Verfahren