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ABKÜHLUNGSPROZESSE
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DISPOSITION
Abkühlung von Wasser
Newton‘sches Abkühlungsgesetz
Abkühlung von Kaffee/Milch
Bestimmung des Todeszeitpunktes
Mpemba - Effekt
Abkühlung eines Metallstabs
Anwendungen von Abkühlungsprozessen
16.02.2012
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ABKÜHLUNG VON
WASSER
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0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
Tem
pera
tur
T [
°C]
Zeit t [min]
H²O
T [°C]
t [min] T [°C]
0 85
5 72
10 65
15 59
20 55
25 52
30 48
35 46
40 43
45 41
50 39
55 38
60 36
65 35
70 34
75 33
80 31
85 30
ABKÜHLUNG VON H2O
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NEWTON‘SCHES
ABKÜHLUNGSGESETZ
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NEWTON‘SCHES ABKÜHLUNGSGESETZ
∆T/∆t = -k (T-Tu)
∆T = T(t+∆t) - T(t)
Tu….Umgebungstemperatur
T(t)…Temperatur
k…Abkühlfaktor
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NEWTON‘SCHES ABKÜHLUNGSGESETZ
Differentialgleichung
T‘(t) = -k [T(t) – Tu]
T(t) = (To – Tu)*e^(-kt) + Tu
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KAFFEE & MILCH
Wann kühlt Kaffee schneller ab?
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KAFFEE & MILCH
2 Fälle:
Wenn man die Milch gleich mit dem Kaffee vermischt
und dann 10 min stehen lässt
Wenn man den Kaffee 10 min stehen lässt und dann mit
der Milch vermischt
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KAFFEE & MILCH
Angaben:
1.Flüssigkeit: Menge p
Kaffee Temperatur T0
2.Flüssigkeit: Menge q
Milch Temperatur T1
Zeit = 10 min
T1 < Tu
T1 < T0
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KAFFEE & MILCH
Wir setzen ein in die Lösung der gewöhnlichen
Differenzialgleichung
T(t) = (T0-Tu)*e^-k*t + Tu
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KAFFEE & MILCH
1. Methode:
T(10) = [(p*T0+q*T1)/(p + q)-Tu]*e^-k*t + Tu
2. Methode:
T(10) = {p*[(T0-Tu)*e^-k*t+ Tu]+q*T1}/(p + q)
Durch einsetzen und umformen:
(T1-Tu)*(e^-k*t-1)>0
Da wir annehmen : T1<Tu ist diese Aussage wahr,
d.h. Methode 2 wird kühler.
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BESTIMMUNG DES
TODESZEITPUNKTES
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Bestimmung des Todeszeitpunktes
Annahmen
Leichnam wird zum ZP t=0 gefunden und seine
Temperatur wird gemessen
Tu ist konstant 20°C
Körpertemperatur zu Todeszeitpunkt Td = 37°C
To=29,4°C
T1=23,3°C nach t1=2h
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Bestimmung des Todeszeitpunktes
1. Wärmekoeffizienten bestimmen
2. Zeitpunkt des Todes bestimmen
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Bestimmung des Todeszeitpunktes
lt. Angaben:
Somit wissen wir, dass der
Mensch vor 1h 8‘ gestorben ist.
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MPEMBA - EFFEKT
Gefriert warmes Wasser wirklich schneller als kaltes?
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MPEMBA EFFEKT
Entdecker
Aristoteles
Roger Bacon
René Descartes
Wiederentdeckt von Erasto B. Mpemba
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MPEMBA EFFEKT
Heißes Wasser höhere Verdunstungsrate, mehr
Wärmeenergie entzogen holt kaltes Wasser ein
Volumenverlust Gefrierprozess schneller
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MPEMBA EFFEKT
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WÄRMELEITUNGSGLEICHUNG
Abkühlung eines Kupferstabes
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WÄRMELEITUNGSGLEICHUNG
Der Temperaturverteilung T(x,t) im Inneren eines Kupferstabes soll bestimmt werden.
Annahmen:
Konstante Materialeigenschaften (keine Unterschiede bei der Dichte, keine Legierung)
Keine inneren Wärmequellen
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WÄRMELEITUNGSGLEICHUNG
Angaben
Temperaturverteilung zum Zeitpunkt t=0: T(x,0)=TA(x)
Dichte ρ = 8930kg/m³
Spezifische Wärmekapazität c = 394J/(kg*K)
Wärmeleitfähigkeit λ=385W/(m*K)
Wärmeleitzahl a= λ/(ρ*c)
Temperatur am linken Rand Ta=20°C
Temperatur am rechten Rand Tb = 40°C
Stablänge L = 1m
TA(x)=Ta+(Tb-Ta)*(x/L+sin(x*π/L))
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WÄRMELEITUNGSGLEICHUNG
Mithilfe der Anfangsbedingung
TA(x)=Ta+(Tb-Ta)*(x/L+sin(x*π/L))
können wir die Temperatur in einem bestimmten Punkt des Stabes
bestimmen, x ist dabei der Abstand des Punktes vom linken Rand.
Um die Temperatur zum nächsten Zeitpunkt bestimmen zu können
verwenden wir folgende Differentialgleichung:
ρ*c*∂T/∂t = λ*∂²T/∂x²
∂T/∂t: 1. Ableitung von T(x,t) nach t
∂²T/∂x²: 2. Ableitung von T(x,t) nach x
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WÄRMELEITUNGSGLEICHUNG
Differenzengleichung:
ρ*c*(T(x,t+h)-T(x,t))/h = λ*(T(x+l,t)+T(x-l,t)-2*T(x,t))/l²
Diese Gleichung formen wir um nach T(x,t+h):
T(x,t+h) = λ/(ρ*c)*(T(x+l,t)+T(x-l,t)-2*T(x,t))/l²+T(x,t)
Mithilfe dieser Formel können wir die Temperatur zum Zeitpunkt
t+h bestimmen. Dabei können wir h frei wählen, je nachdem zu
welchem Zeitpunkt wir die Temperatur bestimmen möchten, l
entspricht dem Abstand zum nächsten Punkt.
Temperatur des Stabes in allen möglichen Punkten und Zeiten
bestimmen
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WÄRMELEITUNGSGLEICHUNG - Ergebnisse
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ANWENDUNG VON
ABKÜHLUNGSPROZESSEN
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Metallurgie
Abkühlgeschwindigkeit maßgebend für Eigenschaften
Kristallkorngröße indirekt proportional zu
Abkühlgeschwindigkeit
Stahl: polymorphes Verhalten und Diffusion für Härten
und andere Wärmebehandlungsverfahren
Wärmefluss in verschiedenen Geometrien analysieren
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AUFEINANDERTREFFEN VON STOFFEN MIT EXTREMEN
TEMPERATURUNTERSCHIEDEN
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WAS WIR WISSEN, IST EIN TROPFEN,
WAS WIR NICHT WISSEN - EIN OZEAN. Sir Isaac Newton (1643-1727)