ABKÜHLUNGSPROZESSE
DISPOSITION
Abkühlung von Wasser
Newton‘sches Abkühlungsgesetz
Abkühlung von Kaffee/Milch
Bestimmung des Todeszeitpunktes
Mpemba - Effekt
Abkühlung eines Metallstabs
Anwendungen von Abkühlungsprozessen
16.02.2012
2
ABKÜHLUNG VON
WASSER
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
Tem
pera
tur
T [
°C]
Zeit t [min]
H²O
T [°C]
t [min] T [°C]
0 85
5 72
10 65
15 59
20 55
25 52
30 48
35 46
40 43
45 41
50 39
55 38
60 36
65 35
70 34
75 33
80 31
85 30
ABKÜHLUNG VON H2O
NEWTON‘SCHES
ABKÜHLUNGSGESETZ
NEWTON‘SCHES ABKÜHLUNGSGESETZ
∆T/∆t = -k (T-Tu)
∆T = T(t+∆t) - T(t)
Tu….Umgebungstemperatur
T(t)…Temperatur
k…Abkühlfaktor
16.02.2012
6
NEWTON‘SCHES ABKÜHLUNGSGESETZ
Differentialgleichung
T‘(t) = -k [T(t) – Tu]
T(t) = (To – Tu)*e^(-kt) + Tu
16.02.2012
7
KAFFEE & MILCH
Wann kühlt Kaffee schneller ab?
KAFFEE & MILCH
2 Fälle:
Wenn man die Milch gleich mit dem Kaffee vermischt
und dann 10 min stehen lässt
Wenn man den Kaffee 10 min stehen lässt und dann mit
der Milch vermischt
16.02.2012
9
KAFFEE & MILCH
Angaben:
1.Flüssigkeit: Menge p
Kaffee Temperatur T0
2.Flüssigkeit: Menge q
Milch Temperatur T1
Zeit = 10 min
T1 < Tu
T1 < T0
16.02.2012
10
KAFFEE & MILCH
Wir setzen ein in die Lösung der gewöhnlichen
Differenzialgleichung
T(t) = (T0-Tu)*e^-k*t + Tu
16.02.2012
11
KAFFEE & MILCH
1. Methode:
T(10) = [(p*T0+q*T1)/(p + q)-Tu]*e^-k*t + Tu
2. Methode:
T(10) = {p*[(T0-Tu)*e^-k*t+ Tu]+q*T1}/(p + q)
Durch einsetzen und umformen:
(T1-Tu)*(e^-k*t-1)>0
Da wir annehmen : T1<Tu ist diese Aussage wahr,
d.h. Methode 2 wird kühler.
16.02.2012
12
BESTIMMUNG DES
TODESZEITPUNKTES
Bestimmung des Todeszeitpunktes
Annahmen
Leichnam wird zum ZP t=0 gefunden und seine
Temperatur wird gemessen
Tu ist konstant 20°C
Körpertemperatur zu Todeszeitpunkt Td = 37°C
To=29,4°C
T1=23,3°C nach t1=2h
16.02.2012
14
Bestimmung des Todeszeitpunktes
1. Wärmekoeffizienten bestimmen
2. Zeitpunkt des Todes bestimmen
16.02.2012
15
Bestimmung des Todeszeitpunktes
lt. Angaben:
Somit wissen wir, dass der
Mensch vor 1h 8‘ gestorben ist.
16.02.2012
16
MPEMBA - EFFEKT
Gefriert warmes Wasser wirklich schneller als kaltes?
MPEMBA EFFEKT
Entdecker
Aristoteles
Roger Bacon
René Descartes
Wiederentdeckt von Erasto B. Mpemba
16.02.2012
18
MPEMBA EFFEKT
Heißes Wasser höhere Verdunstungsrate, mehr
Wärmeenergie entzogen holt kaltes Wasser ein
Volumenverlust Gefrierprozess schneller
16.02.2012
19
MPEMBA EFFEKT
16.02.2012
20
WÄRMELEITUNGSGLEICHUNG
Abkühlung eines Kupferstabes
WÄRMELEITUNGSGLEICHUNG
Der Temperaturverteilung T(x,t) im Inneren eines Kupferstabes soll bestimmt werden.
Annahmen:
Konstante Materialeigenschaften (keine Unterschiede bei der Dichte, keine Legierung)
Keine inneren Wärmequellen
16.02.2012
22
WÄRMELEITUNGSGLEICHUNG
Angaben
Temperaturverteilung zum Zeitpunkt t=0: T(x,0)=TA(x)
Dichte ρ = 8930kg/m³
Spezifische Wärmekapazität c = 394J/(kg*K)
Wärmeleitfähigkeit λ=385W/(m*K)
Wärmeleitzahl a= λ/(ρ*c)
Temperatur am linken Rand Ta=20°C
Temperatur am rechten Rand Tb = 40°C
Stablänge L = 1m
TA(x)=Ta+(Tb-Ta)*(x/L+sin(x*π/L))
16.02.2012
23
WÄRMELEITUNGSGLEICHUNG
Mithilfe der Anfangsbedingung
TA(x)=Ta+(Tb-Ta)*(x/L+sin(x*π/L))
können wir die Temperatur in einem bestimmten Punkt des Stabes
bestimmen, x ist dabei der Abstand des Punktes vom linken Rand.
Um die Temperatur zum nächsten Zeitpunkt bestimmen zu können
verwenden wir folgende Differentialgleichung:
ρ*c*∂T/∂t = λ*∂²T/∂x²
∂T/∂t: 1. Ableitung von T(x,t) nach t
∂²T/∂x²: 2. Ableitung von T(x,t) nach x
16.02.2012
24
WÄRMELEITUNGSGLEICHUNG
Differenzengleichung:
ρ*c*(T(x,t+h)-T(x,t))/h = λ*(T(x+l,t)+T(x-l,t)-2*T(x,t))/l²
Diese Gleichung formen wir um nach T(x,t+h):
T(x,t+h) = λ/(ρ*c)*(T(x+l,t)+T(x-l,t)-2*T(x,t))/l²+T(x,t)
Mithilfe dieser Formel können wir die Temperatur zum Zeitpunkt
t+h bestimmen. Dabei können wir h frei wählen, je nachdem zu
welchem Zeitpunkt wir die Temperatur bestimmen möchten, l
entspricht dem Abstand zum nächsten Punkt.
Temperatur des Stabes in allen möglichen Punkten und Zeiten
bestimmen
16.02.2012
25
WÄRMELEITUNGSGLEICHUNG - Ergebnisse
16.02.2012
26
ANWENDUNG VON
ABKÜHLUNGSPROZESSEN
Metallurgie
Abkühlgeschwindigkeit maßgebend für Eigenschaften
Kristallkorngröße indirekt proportional zu
Abkühlgeschwindigkeit
Stahl: polymorphes Verhalten und Diffusion für Härten
und andere Wärmebehandlungsverfahren
Wärmefluss in verschiedenen Geometrien analysieren
16.02.2012
28
AUFEINANDERTREFFEN VON STOFFEN MIT EXTREMEN
TEMPERATURUNTERSCHIEDEN
16.02.2012
29
WAS WIR WISSEN, IST EIN TROPFEN,
WAS WIR NICHT WISSEN - EIN OZEAN. Sir Isaac Newton (1643-1727)