12. ubungsserie : stichprobenplan f ur die qualit...

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12. Ubungsserie : Stichprobenplan fur die Qualitatskontrolle

• Lieferung vom Umpfang N mit M Ausschussstucken.

• M unbekannt.

• Ô⇒ p = MN unbekannter Ausschußanteil.

• Fur pα < pβ gelte

p ≤ pα Ô⇒ Lieferung ist gut

p ≥ pβ Ô⇒ Lieferung ist schlecht

• Folgende Hypothesen werden getestet:

H0 ∶ p ≤ pα v.s. HA ∶ p ≥ pβ

Testentscheidung mit (n,c)-Stichprobenplan:

• Erhebung Stichprobe der Große n

• X sei die beobachtete Anzahl der Ausschußstucke

• Ô⇒ X ∼ Hyp(N,M,n)

Entscheidung:

x ≤ c Ô⇒ H0 wird angenommen Ô⇒ Annahme der Lieferungx > c Ô⇒ H0 wird abgelehnt Ô⇒ Ablehnung der Lieferung

• Wie sind n und c zu wahlen?

OC-Funktion:

Die Opperationscharakteristik (OC-Funktion) ist definiert durch

L(p) ∶= P(”Annahme der Lieferung“ ∣p ist Ausschußanteil)

= P(X ≤ c∣p)

=c

∑i=1

P(X = i∣p)

wobei

P(X = i∣p) =(Ni)(N−M

n−i)

(Ni)

, da X ∼ Hyp(N,M,n)

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Die Gutefunktion ist definiert durch

g(p) = P(X > c∣p) = 1 −L(p)

Zwei Interessengruppen:

Der Produzent stellt die Forderung, dass die Wahrscheinlichkeit fur die Ablehnungeines guten Postens moglichst klein sein soll. Fur einen kleinen Wert α soll alsogelten, dass

P(Ablehnung eines guten Postens)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

Produzentenrisiko

= P(X > c∣pα) = 1 −L(pα) ≤ α

alsoL(pα) ≥ 1 − α (0–1)

.Der Konsument stellt die Forderung, dass die Wahrscheinlichkeit fur die Annahmeeines schlechten Postens moglichst klein sein soll. Fur ein kleinen Wert β soll alsogelten, dass

P(Annahme eines schlechten Postens)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

Konsumentenrisiko

= P(X ≤ c∣pβ) = L(pβ) ≤ β (0–2)

Ziel: Bestimme n und c so, dass die Bedingungen (0–1) und (0–2) and die OC-Funktion erfullt sind!

Approximation der Hypergeometrischen Verteilung:

Es gilt

L(p) = P(X ≤ c∣p) =c

∑i=0

P(X = i∣p)

wobei

P(X = i∣p) =(Ni)(N−M

n−i)

(Ni)

, da X ∼ Hyp(N,M,n) (0–3)

Poisson-Verteilung(p ≤ 0,05;n ≥ 20)

L(p) approximation mit // Binomial-Verteilung(n ≤ N

20)

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((Normal-Verteilung(np(1 − p) > 9)