1ausgewählte themen des analogen schaltungsentwurfs klassische mechanik der zustand eines systems...
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1 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Klassische Mechanik Der Zustand eines Systems (z. B. eines
Teilchens) wird mit den dynamischen Variablen (Koordinaten und Impulsen) beschrieben
),,( zyx
)0(),0( ii qp
Wenn die Anfangsbedingungen (dynamische Variablen in t = 0) und die Kräfte bekannt sind, ist es möglich die Bewegungsgleichungen zu lösen und die Zukunft (und die Vergangenheit) des Systems genau zu bestimmen. (mechanischer Determinismus/Kausalität)
),,( zyx ppp
Die dynamischen Variablen können beliebig genau gemessen werden ohne das das System gestört wird
),,( 321 qqq
Gleichungen )(),( tqtp ii
Die Kräfte sind bekannt
2 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Newtonsche Gleichung
Newtonsche Gleichung
zyx fzmfymfxm ,,
z
Uf
y
Uf
x
tzyxUf zyx
,,
),,,(
Potentielle Kraft
Konservative Kraft – Potentielle Energie ist Zeitunabhängig
)(tUU
Fr m zyx zyx eeer
Potential
Differentialgleichung zweiter Ordnung, r(t) Unbekannte Funktion
F=mg
U=mgx
Beschleunigung
Kraft
x
mgxU
mgdx
dUf x
v
3 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Kinetische Energie
Kinetische Energie
)(2
1
2
1
2
1 22222 zyxmmmT vr
xmdxxdtxmdtxdt
dxmdtx
dt
dmdt
dt
dTdT )2(
2
1)(
2
1 2
dAdxfdxxm x
dUdxdx
dUdxf x
dAdT
dUdT EconstUT
U(0)
Wegen der Newtonschen Gleichung
Mechanische Arbeit der Kraft f auf dem Weg dx = Zuwachs der kinetischen Energie
U(dx)
f
x(dt)=dx
x(0)=0
Mechanische Arbeit = - Änderung der potentiellen EnergieSumme der kinetischen und
potentiellen Energie ist konstant
4 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Lagrange - Funktion
UTL
UmL 2
2
1r
),,()(2
1 222 zyxUzyxmL
Lagrange Funktion (nichtrelativistische klassische Mechanik)
Kinetische Energie
Potentielle Energie
5 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Generalisierte Koordinaten
zyx zyx eeer
),...,( 1 nqqxx
zi
ii
yi
ii
xi
ii
zq
q
yq
q
xeeer
),...,( 1 nqqzz
),...,()(2
11 nqqUqqmL jiij
),...,( 1 nqqyy
zyx qq
zq
q
yq
q
xeeer i
ii
ii
i
φ
x
y
sinRx
cosRy
yx RR eer )sin()cos(
cos2
1 22 mgRmRL
jijijijiij q
z
q
z
q
y
q
y
q
x
q
x
n <= 3
Zwei gleiche Indizes fett geschrieben - Summe
6 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Wirkungsintegral und Hamiltonsches Prinzip
)(tqq ii
dtqqqqLwt
nn0
0
11 )...,,...,(
0w
)(tqq ii
)()( tqtq ii
f
x(t0) = x0
x(0)=0
t0
x0
)(tx
dtmgxxmwt
0
0
2 )(2
1
Wirkungsintegral
Der eigentliche Weg
Der Wirkungsintegral hat einen Extremwert wenn q dem eigentlichen Weg gleich ist
Beliebige Zeitfunktion
Jede kleine Variation des q(t) ergibt in erster Ordnung δw = 0.
7 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Lagrange Gleichungen
dtqq
Lq
q
Lw
t
0
0
ii
ii
dtqq
L
dt
dq
q
Ldt
dt
qd
q
Ldtq
q
Ltttt
ii
ii
i
ii
i
0000
0000
)(
dtqq
L
dt
d
q
Lw
t
iii
0
0
0
ii q
L
q
L
dt
d
t0
q0
)(tq
Wir variieren die q(t)
δq(t0) = δq(0) = 0
0
ii q
L
q
L
dt
d
Lagrange Gleichungen
8 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Lagrange Gleichungen (Beispiel)
0
ii q
L
q
L
dt
d
Lagrange Gleichungen φ
cos2
1 22 mgRmRL
0
LL
dt
d
0sin gR
9 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Hamiltonsche Gleichungen
),...,()(2
11 nqqUqqmL jiij
0
ii q
L
q
L
dt
d
ii q
Lp
ii q
Lp
0),,( iii qqqf
0),,( iii qppf 0),,( iii qpqf
jjjjjj qmqmqmp iiii 2
1
2
1
Lagrange-Gleichung - differentialgleichung zweiter Ordnung
Wir versuchen aus LG zwei Gleichungen erster Ordnung herzuleiten…
Kanonischer Impuls wird definiert
),...,( 1 ni ppfq
Es ist möglich die Lagrange Funktion als Funktion von Impulsen und Koordinaten darzustellen
0),,( iii qppf Hat die Form Es fehlt noch… 0),,( iii qpqf
),( ii qpLL
10 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Hamiltonsche Gleichungen (2)
ii q
Lp
ii q
Lp
ii
ii
Lq
q
LL
iiii qpqpL
iiiiii qpqpqp )(
iiiiii pqqpqpL )(
LqpH ii i
ii
i dp
Hq
dq
Hp
,
0),,( iii qpqf Definition – Kanonischer Impuls
Erste Gleichung
Wir leiten die zweite Gleichung her…
Variieren wir Lagrange-Funktion
Wir definieren die Hamiltonsche Funktion
Hamiltonsche Gleichungen
11 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Physikalische Bedeutung der Hamiltonschen Funktion
),...,()(2
11 nqqUqqmL jiij
ii q
Lp
LqpH ii
jjqmp ii
Tqqmqp 2 ijijii
EUTUTTH )(2
zmpympxmp zyx ,,
ijij zqyqxq 321 ,,
und ergibt
Definition des Impulses
Definition der Hamiltonschen Funktion
Zweifache kinetische Energie
Hamiltonsche Funktion stellt die Gesamtenergie des Systems dar
Für die Kartesische Koordinaten gilt:
und
Daraus folgt
Kanonische Impulse sind den gewöhnlichen Impulsen gleich
12 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Poisson-Klammer
i iiii q
v
p
u
p
v
q
uvu,
t
FHF
dt
dF
,
Zwei Funktionen der Kanonischen Impulse und Koordinaten
Eine nicht explizit Zeitabhängige Funktion F dynamischer Variablen p und q ändert Ihren Wert nicht wenn [F, H] = 0
F ist dann eine Konstante der Bewegung (Erhaltungsgröße)
0, HHGesamtenergie bleibt erhalten
)(xHH 0, Hpx
Impulskomponente bleibt erhalten wenn in dieser Richtung keine Kraft wirkt
13 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Lineare Vektoralgebra
E ,,; ff
CE ;,; ff
Addition
Multiplikation mit einer komplexen Zahl
Assoziativgesetz, Distributivgesetz
00...11 inn ff Linearunabhängige Vektoren (Definition)
Ein Vektorraum mit nicht mehr als M linearunabhängigen Vektoren ist M-dimensional
Vektoren VektorraumFolgendes wird definiert:
Addition ist kommutativ
14 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Vektoralgebra (Skalarprodukt)
C),( gf Skalarprodukt (Innenprodukt) ist eine komplexe Zahl. Es gilt:
*),(),( fggf
),(),( gfgf
),(),( * gfgf
0,,),( 222 ff
1),( ff
0),( gf
Norm = 1, normierter Vektor
orthogonale Vektoren
Ein Vektorraum mit definiertem Skalarprodukt definieren wir hier als Hilbert-Raum
λ = Norm
15 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Darstellung des Vektors in einer Basis
Mff ,...,1 M Linearunabhängige Vektoren eines M-dimensionalen Raums bilden eine Basis
MM fcfc ...11 Jeder Vektor dieses Raums kann als lineare Kombination der Basisvektoren dargestellt werden
0,1;),( jiiiijji ff Eine orthonormale Basis
),( ii fc
1...),(22
1 Mcc
Die Koeffizienten können wie folgend berechnet werden
Für einen normierten Vektor φ gilt
zyx eee,,
zyx ezeyexr
ijjiee
rex x
1222 zyx
16 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Operator
E gfgfA ,,ˆ Operator (Abbildung)
gAfAgfA ˆˆ)(ˆ
fAfA ˆ)(ˆ
Linearer Operator
fABfBA ˆˆˆˆ
BAABBA ˆ,ˆˆˆˆˆ
Zwei Operatoren sind nicht immer miteinander vertauschbar
Kommutator
Operator Vektor
17 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Hermitesche Operatoren und Eigenwert
),ˆ()ˆ,( fAfA ist adjungiert von
A A
AA ˆˆ ist selbstadjungiert (ähnlich wie hermitesch)
A
nnn fafA ˆ Eigenwert Problem
Eigenwert
Eigenfunktion
Die Menge aller Eigenwerte eines Operators bildet sein Spektrum
Das Spektrum kann diskret oder kontinuierlich sein
Wenn mehrere Eigenvektoren demselben Eigenwert entsprechen, dann ist dieser Eigenwert entartet
18 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Eigenschaften Hermitescher Operatoren
nnn fafA ˆ
Eigenwerte eines hermiteschen Operators sind reell
nnnnnn affafAf ),()ˆ,(
nnnnnn afAfffAa )ˆ,(),ˆ(*
Eigenfunktionen mit unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal
nnn fafA ˆ
mmm fafA ˆ
),()ˆ,( nmnnm ffafAf
),()ˆ,( mnmmn ffafAf
),(),ˆ( *nmmnm ffaffA
),()ˆ,( nmmnm ffafAf
),)((0 nmmn ffaa ),(0 nm ff
Beweis:
Beweis:
Konjugation
Konjugation
am ist reell
19 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Kommutierende Operatoren
Einen Operator nennt man Observable wenn seine Eigenvektoren eine orthonormale Basis darstellen.
Wenn zwei Operatoren kommutieren, haben sie wenigstens eine Menge gemeinsamer Eigenvektoren die eine Basis bilden
Wenn zwei oder mehr Operatoren kommutieren und es gibt keinen weiteren Operator der mit ihnen kommutiert, bilden sie einen vollständigen Satz kommutierender Operatoren. Diese Operatoren haben eine eindeutige Menge gemeinsamer Eigenvektoren die eine Basis bildet.Die Angabe der Eigenwerte aller dieser Operatoren ausreicht, um (bis auf einen Faktor) eindeutig einen gemeinsamen Eigenvektor zu bestimmen.
20 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Darstellung in einer Basis und Operator
BasisvektorenGrundformen
= 5X + 4X + 1X
= 5X + 8X + 3X
Der Operator A erkennt die Grundformen und ändert ihren Anteil
Jede beliebige Form kann auf die Grundformen zerlegt werden
A
Mit 1 multiplizieren
Mit 2 multiplizieren
Mit 3 multiplizieren…
Regel der Abbildung „A“
21 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Eigenwert
Basisvektoren(Grundformen)
1
3
Eigenwert Eigenvektor
A
A
So werden die Basisvektoren abgebildet:
Mit 1 multiplizieren
Mit 2 multiplizieren
Mit 3 multiplizieren…
Regel der Abbildung „A“
22 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Kommutierende Operatoren
Zur Darstellung von Formen in Farbe brauchen wir mehr
Basisvektoren: 1
1
1
Entartung des Eigenwerts „1-Viereck“Die Angabe die Formen reicht nicht aus um einen Basisvektor zu definieren
Blau
Wir führen einen anderen Operator ein, der die Farben erkennt
Rot
Der neue Operator B kommutiert mit dem Operator A und hat identische Eigenvektoren
Gelb
Mit zwei Eigenwerten ist ein Basisvektor eindeutig definiert (1-Viereck, Blau)
A
A
A
B
B
B
Die zwei Operatoren bilden einen vollständigen Satz kommutierender Operatoren
23 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Postulate der Quantenmechanik
Zustand eines Teilchens (Systems) wird durch einen normierten Vektor aus dem Hilbert Raum aller Zustände beschrieben
Wenn zwei Vektoren sich nur durch die Konstante eiφ (Phase) unterscheiden, stellen sie den gleichen Zustand dar.
Falls ein System sich in den Zuständen f1 und f2 befinden kann, ist c1 f1 + c2 f2 auch ein möglicher Zustand dieses Systems
if ifEin Vektor Zustandsvektor
gfgf ),(
BracKet
Dirac Notation
Jedem Ket Vektorif entspricht ein Bra Vektor if
24 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Dirac-Notation
gfgf ),(Dirac Notation
ff *
),(),( * ffff
gAfgAfgfA ˆ)ˆ,(),ˆ( Für hermitesche Operatoren gilt
25 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Darstellung in Basis
Darstellung des Vektors in einer Basis
Mff ,...,1
MM fcfc ...11
Mff ,...,1
MM fcfc ...11
ijji ff ),(
),( ii fc
ijji ff
ii fc
MM ffff ...11
i
ii ffI
Mathematische Notation
Dasselbe in Dirac Notation
Einheitsoperator
Zerlegung mit Basisvektoren
Basisvektoren sind orthonormal
Dann gilt…
26 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Darstellung in Basis
r
),,( zyx
Md
d
1
ji
jjii ffAffA,
ˆˆ
Mcc *1*
MMM
M
ac
aa
1
111
A
Mcc *1*
Mc
c
1 A
MMM
M
ac
aa
1
111
MM fcfc ...11Einheitsoperatoren
Matrix Form
Bra Vektor wird durch eine Spaltenmatrix dargestellt
Ket Vektor wird durch eine Zeilenmatrix dargestellt
Operator wird durch eine quadratische Matrix dargestellt
27 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Messgrößen und Observablen
Jeder Messgröße (dynamischer Variable) ist ein Operator (Observable) zugeordnet.
HFi
HF ˆ,ˆ,
)ˆ,ˆ(),( iiii xpFxpF
rprp ˆ,ˆ,
jiji qpi
qp ˆ,ˆ,
ijji qp , ijji iqp ˆ,ˆ
Pissson Klammer Kommutator
Zu klassischen Koordinaten und Impulsen sind Operatoren zugeordnet
Klassische dynamische Variablen lassen sich als Funktionen von p und x darstellen
28 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Messergebnisse und Eigenwerte
Das Ergebnis der Messung einer dynamischen Variable ist ein Eigenwert der zugeordneten Observable.
Wenn die Observable diskretes Spektrum hat, geben die Messungen entsprechender Größe diskrete Werte.
iii uauA ˆ
2)( ii uaW
Die Wahrscheinlichkeit im Zustand ψ den Eigenwert ai zu messen
MM ucuc ...11
22)( iii cuaW 1...
22
1 Mcc
Die Eigenvektoren einer Observable bilden eine Basis. Deswegen kann man schreiben:
Und es gilt:
Für einen Vektor mit Norm = 1 gilt:
29 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Reduzierung des Wellenpakets
iii uauA ˆ
Annahme: Ein System befindet sich in dem Zustand:
iu
Die Messung der Variable A gibt dann ganz sicher das Ergebnis ai
Annahme: Das System befindet sich in dem Zustand
Die Messung der Variable A gibt Ergebnis ai. Die Messung überführt das System in den neuen Zustand:
iu ii uuP ˆ
P
Pui ˆ
ˆ
Projektor
30 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Reduzierung des Wellenpakets
FormX
P
PFormX
ˆ
ˆ
2FormXW
FormX
1W
Wahrscheinlichkeit dass eine Messung auf φ die FormX gibt
Durch die Messung wird der Zustand des Systems in einen Eigenzustand der Observable übeführt
Anfangszustand
Messergebnis
31 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Kommutierende Observablen
Zu den dynamischen Variablen A und B sind zwei Observablen zugeordnet
BA ˆ,ˆ
Wenn die Observablen kommutieren, gibt es wenigstens eine Basis gemeinsamer Eigenvektoren
inmminm baabaA ,,ˆ
inmninm babbaB ,,ˆ
Dann gibt es einen Zustand inm ba ,
in welchem die Messung der Variable A immer das Ergebnis am und die Messung der Variable B immer das Ergebnis bn gibt. - Die Ergebnisse hängen von Reihenfolge der Messungen nicht ab - Die Observablen A und B sind kompatibel.
Index i kennzeichnet die unterschiedlichen Basisvektoren im Fall von Entartung. Entartung ist ein Zeichen dafür dass es noch andere Operatoren gibt, die mit A und B kommutieren. A und B stellen keinen vollständigen Satz kommutierender Operatoren
32 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Kommutierende Observablen
RotFormX ,
1W 1W
Das System befindet sich in dem gemeinsamen Eigenzustand zweier kommutierenden Operatoren
Die Messungen geben immer die gleichen Ergebnisse, „rot“ und „FormX“
Das Messergebnis ist im voraus bestimmt
33 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Nichtkommutierende Observablen
Wenn die Observablen nich kommutieren, haben sie keine gemeinsamen Eignvektoren. Die Variablen können nicht durch wiederholte Messungen genau bestimmt werden
2FormXW
2, iFormXRotW
2, jRotFormYW Die zwei Operatoren (Form-
und Farbenerkennung) kommutieren hier nicht. Sie haben keine gemeinsamen Eigenzustände. Jede Messung überführt das System in den Eigenzustand der (zu der Messgröße zugeordneten) Observable.Die Messergebisse können nicht präzise vorausgesagt werden.
34 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schrödinger Gleichung
Die Zeitentwicklung eines Systems wird durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben
)(ˆ)( tHtdt
di
Hamiltonoperator ist eine Observable. Sie ist der Gesamtenergie des Systems zugeordnet.
t
Partielle Differentialgleichung
Kennen den Zustand eines Systems in t = t0, dann können wir die Zeitenwicklung des Systems berechnen.
QM Determinismus. Zeitenwicklung ist bestimmt wenn wir das System alleine lassen, d.h. keine Messungen auf dem System durchführen.
35 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Wellenfunktion
Koordinate ist eine Observable. Deren Eigenvektoren bilden eine Basis.
000ˆ xxxx
dxxx
dxxx
dxxW2
xx )( xx )(*
2)( ii uaW
iii uuI
dxxxW2
00 )( dxxxI
dxW2
I (Einheitsoperator)
Wahrscheinlichkeit dass sich das Teilchen in der Umgebung von x befindet
Wir definieren die Wellenfunktion
Wahrscheinlichkeit dass sich das Teilchen in der dx Umgebung von x befindet
Wellenfunktion ist Ket Vektor in Koordinatendarstellung
Spektrum ist kontinuierlich
Für diskrete Eigenwerte gilt:1) W(ai) – Wahrscheinlichkeit dass eine Messung einen bestimmten Wert ai gibt2) I – Einheitsoperator3) Vektoren sind Orthonormal (Die Norm=1)
Die entsprechende Formel im Fall des kontinuierlichen Spektrums W(x0) -Wahrscheinlichkeit dass sich Teilchen im Bereich (x0, x0 + dx) befindet.Die Norm ist mit Dirac‘scher Delta Funktion definiert
jiji uu ,
)( 2121 xxxx
36 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Koordinatenoperator
212211 ˆˆˆˆˆ dxdxxxxxxIxIx
Matrixelement des Operators x in Koordinatendarstellung
)( 2121 xxxx xxxx ˆ
dxxxxdxdxxxxxxdxdxxxxxx )()()()()(ˆ *
2122211*
212211
Eigenwert-Gleichung
Koordinatenoperator in Koordinatendarstellung
)(),( 2* xxxx
Es gilt auch:
Und:
Definition der Wellenfunktion
Finden wir den Koordinatenoperator
in Koordinatendarstell
ung
37 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Wellenfunktion und die Wahrscheinlichkeit
)(ˆ)( 0tHtdt
di
)()()()()()( ttdt
dt
dt
dttt
dt
d
)(ˆ)( 0tHtidt
d HttHtidt
d ˆ)()(ˆ)(
0)(ˆ)()(ˆ)(1
)()( tHttHti
ttdt
d
Schrödinger Gleichung und die WahrscheinlichkeitDie Norm des Vektors ändert sich nicht. Wahrscheinlichkeit für Gesamtraum bleibt 1.
Schrödinger Gleichung für Ket Vektor Schrödinger Gleichung für Bra Vektor
H ist hermitesch
Beweis
1)()()( *2 dxxxdxxxdxx
Rechnen wir die Wahrscheinlichkeit aus dass sich das Teilchen irgendwo in gesamtem Raum befindet
Ändert sich diese Wahrscheinlichkeit wenn man Schrödinger Gleichung anwendet?
38 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Wichtige Operatoren in Koordinatendarstellung
xipx
ˆ
xx ˆ
),,,()(2
1 222 tzyxUpppm
H zyx
),,,()(2
ˆ2
2
2
2
2
22
tzyxUzyxm
H
ijji iqp ˆ,ˆ
Klassisch
),ˆ,ˆ,ˆ()ˆˆˆ(2
1ˆ 222 tzyxUpppm
H zyx
Quantenmechanisch
Quantenmechanisch
Koordinatenoperator
Impulsoperator
Hamiltonfunktion/Operator
KoordinatendarstellungEs gilt
39 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schrödinger Gleichung in Koordinatendarstellung
)(ˆ)( tHtdt
di dxxxI
),(),(ˆ),( txtxHtxdt
di ),,,()(
2),(ˆ
2
2
2
2
2
22
tzyxUzyxm
txH
Schrödinger Gleichung in Koordinatendarstellung
Multiplizieren wir die beiden Seite der Gleichung mit dem unitären Operator (Die rechte Seite zweimal…).
211221 )(ˆ)( dxdxxtxxHxdxxtxdt
di
2112221 ),(),(ˆ),( dxdxxtxtxHxxdxxtxdt
di
1111 ),(),(ˆ),( dxxtxtxHdxxtxdt
di
)( 2121 xxxx
Koordinaten und Zeit sind hier unabhängige Variablen. Es gilt nicht x=x(t)
wie in klassischer Mechanik
40 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Lösung der Schrödinger Gleichung
),(ˆ),( txHtxdt
di ),,,()(
2ˆ
2
2
2
2
2
22
tzyxUzyxm
H
)(tUU
)()(),( xttx
)(ˆ)()()( xHttdt
dxi
)(ˆ)(
1)(
)(
1xH
xt
dt
d
ti
Finden wir die Lösung für den Fall:
Wir können die Raumkoordinaten und Zeit trennen
)()(/ xt
Potentialenergie hängt nicht explizit von der Zeit ab
41 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Lösung der Schrödinger Gleichung
)(ˆ)(
1)(
)(
1r
r
Ht
dt
d
ti
nEtdt
d
ti )(
)(
1
)(ˆ)(
1xH
xEn
n
nti E
cet n ,)(
)()(ˆ,, xExH innin
)(),( ,/
, xcetx intiE
inn
Die koordinatenhängige Gleichung ist das Eigenwertproblem des Hamiltonoperators. Die Konstante En ist daher die Gesamtenergie des Systems.
Die linke Seite hat nur Zeit als Variable, die rechte nur Koordinaten. Zeit und Raumkoordinaten sind in QM unabhängig. Beide Seiten sind daher Konstanten (En), sonst wären sie nicht immer und überall gleich.
Die Zeitabhängige Gleichung hat die einfache Lösung
Index i kennzeichnet die unterschiedlichen Funktionen im Fall von Entartung. Entartung ist vorhanden wenn es andere Operatoren gibt die mit dem Hamiltonoperator kommutieren
Die Gesamtlösung hat die Form
42 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Zeitentwicklung eines Systems
)(),( ,/
, xcetx intiE
inn
Finden wir die Zeitentwicklung eines Systems im Zustand beschrieben mit der Wellenfunktion φ(x) in t=0
)()(ˆ,, xExH innin
)(, xin sind die Eigenfunktionen der Hamiltonoperators in Koordinatendarstellung. Diese Funktionen bilden eine Basis. Deswegen gilt:
inin
inin
inin cdxxxcx ,,
,,
,, )()(
Lösung der Schrödinger Gleichung
)()(,
,,in
inin xcx
dxxxc ininin )()(,*,,
)(),(,
,/
, in
intiE
in xectx n
In Dirac Notation:
Die Koeffizienten können wie folgend berechnet werden
Durch Vergleich (2) mit (1) bekommen wir:
(1)
(2)
43 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Stationäre Zustände
in
intiE
in xectx n
,,
/, )(),( 0
)()(),(2
,00
2tConstxctx
iii
iii
tiE xcetx )(),( ,00/10
Messung der Koordinate 1. EnergiemessungE=E0
2. EnergiemessungE=E0
Ab der 1. Energiemessung befindet sich das System im Eigenzustand des Operators H. In dem Zustand ändert sich nur die Phase das Zustandsvektors. Das hat als Folgen: 1) alle physikalischen Eigenschaften des Systems bleiben konstant. 2) jede nachfolgende Energiemessung gibt immer dasselbe Ergebnis – den gleichen Eigenwert. Aus den Gründen nennt man die Eigenzustände des Hamiltonoperators stationäre Zustände
Zeitenwicklung
Keine Zeitenwicklung2),( txBetrag der Wellenfunktion
44 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Ein Test für Stabilität (Nyquist)
)(1
)()(
DT
DADA OL
F
)(
)()(
DQ
DPDAOL
)(
)()(
DM
DLDT
)(1 zT
)()(
1
1
)(
)()(
zMzLzQ
zPzAF
Verstärkung mit RK
Die Voraussetzung: Q(z) und M(z) haben keine Wurzel mit dem positiven Reellteil
Stabilitätsbedingung: Die Funktion im Nenner darf keine Wurzel in der positiven komplexen Halbebene haben
)(
)()(
zM
zLzT
45 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Die komplexe Analyse
)(zf
az
afzfaf
az
)()(lim)('
a
z
)sin(cos yiyeee xiyxz
0)( dzzf
dzaz
zf
iaf
)(
2
1)(
dz
az
zf
i
naf
nn
1)(
)(
)(
2
!)(
,0)(),()()( agzgazzf n
,0)(,)(
)()( ah
az
zhzf
p
iezz izzLog )log()(
Eine Komplexe Funktion der komplexen Variable z
Ableitung wird definiert
Die Funktion ist Analytisch wenn die Ableitung immer gleich bleibt, egal von welcher Richtung sich z zum a nähert
Im
Re
Einige Wichtige analytische Funktionen
Cauchy‘sche Integralformel Definition, Nullstelle n-ter Ordnung
Definition, Polstelle p-ter Ordnung
46 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Nullstellen und Polstellen
)sin(cos yiyeee xiyxz
dzaz
zf
iaf
)(
2
1)(
,0)(),()()( agzgazzf n
,0)(,)(
)()( ah
az
zhzf
p
PNdzzf
zf
i )(
)(
2
1 '
iezz izzLog )log()(
PNdzzfLogdz
d
i))((
2
1
PN 2
z1 f(z1)
z2
f(z2)z3
f(z3)
Cauchy
Einige Definitionen
Nullstelle
PolstelleEs folgt:
Anzahl von Nullstellen – Anzahl von Polstellen der Funktion f(z) innerhalb Kontur Γ
Anzahl von Umdrehungen des Phasenvektors um 0 ist N-Z
Das Integral ist die Phasenänderung der Funktion f(z) während der Integration auf Kontur Γ
47 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Nullstellen und Polstellen
)(
)()(
)(
)(1)(1
zM
zLzM
zM
zLzT
0
z1
1+T(z1)
z2
1+T(z2)
z3
1+T(z3)
Die Phasenänderung der 1+T(z) für z auf dem Kreis ist 0
48 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Nullstellen und Polstellen
z1
1+T(z1)
z2
1+T(z2)
z1
T(z1)
z2T(z2)
-1
1+T(z) T(z)
49 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Nyquist‘scher Test
z1
T(z1)
z2T(z2)
-1
z1
T(z1)
z2
T(z2)
-1
Kreis um 0 mit R=1
Bei |T(iy0)|=1 darf die Phasenänderung T(iy0)-T(0) nicht weniger als -180 Grad sein
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