2. vortag aus quantentheorie von alexander falger am 26.06.2007
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2. Vortag aus Quantentheorie
Von Alexander Falger am 26.06.2007
Überblick
• Einleitung:– Das Franck- Hertz- Experiment
• Das freie Teilchen
• Die eindimensionale Streuung– Potentialstufe– Potentialbarriere
• Der unendlich hohe Potentialtopf
Das Franck- Hertz- Experiment
• Ein experimenteller Beweis, dass bei Stoßprozessen die Energiequantelung eine Rolle spielt.
• Versuchsanordnung:– Glaskolben mit Hg Dampf gefüllt (10-2 mbar)– Kathode (Emission von e-)
MetallgitterAnode
Versuchsaufbau
Ergebnis
• Die Elektronenstoßanregung zeigt, dass Atome Energie nur in bestimmten Energiequanten aufnehmen können, deren Größe von der Struktur des Atoms und vom angeregten Zustand abhängt.
Das freie Teilchen
• In diesem speziellen Fall vereinfacht sich die stationäre Schrödingergleichung, da V(x)=0 ist.
• Mit
reduziert sichdie Gleichung zu:
xExdx
d
m
2
22
2
m
k
m
pE
22
222
xkdx
xd 22
2
• Die allgemeine Lösung lautet:
• wir können B=0 setzen und mit dieser speziellen Lösung weiterrechnen.
• Die zeitabhängige Wellenfunktion:
• Ergebnis:
ikxikx eBeAx
tiextx ,
t
m
kkxi
tkxi eAeAtx2
2
,
Wie gut wird das „Teilchen“ beschrieben?
• Die Ausbreitungsgeschwindigkeitklassisch:
• Phasengeschwindigkeit:
• daraus folgt:
• Ergebnis: vPh = 0.5vT
m
pv
m
pmvE klassisch
22
22
k
vdt
dxtkx
dt
dPh
0
m
kEmit
m
p
m
k
k 222
2
Wie gut wird das „Teilchen“ beschrieben?
• Wir können über den Aufenthaltsort nichts aussagen, da es sich um eine unendlich ausgedehnte Welle handelt.
• Da sich das „Teilchen“ irgendwoim Raum befindet (W=1)gilt Normierungsbedingung:
• Diese Lösung kann daher nicht als Teilchen interpretiert werden.
dxAdxeAeAdxt
m
kkxit
m
kkxi
222**
22
1*
dx
Wellenpakete
• Dieses erhalten wir, indem wir unendlich viele Lösungen der Schrödingergleichung aufsummieren. (Superpositionsprinzip)
2220 2//1
xxipex
0
22
200
2000 12
/
2
0
1
1, t
it
mtpxx
m
tipxxip
eee
tit
tx
Wie gelangen wir zu dieser Lösung?
• Die Fouriertransformation
Hier werden unendlich viele Wellen als Funktion des Impulses überlagert.
• Wird als Impuls-Raum Wellenfunktion bezeichnet
• Die inverse Fouriertransformation liefert:
dpepx ipx
/)(
2
1)(
dxexp ipx
/)(
2
1)(
• Betrachten wir eine normierte Gaußfunktion mit Erwartungswert p0 so ergibt sich:
• Beachte: wenn p=p0+1/α oder p=p0-1/α, dann ist |Φ(p)|2 auf 1/e der maximalen Wertes gefallen.
• Also ist 1/α verantwortlich für die Breite des Wellenpaketes.
2
20
2
)(pp
ep
Sektion8.5
• Indem wir Φ(p) in ψ(x) einsetzen und das Integral lösen erhalten wir:
• Der Satz von Plancherel besagt:Φ(p) normiert ψ(x) normiert ist.
2220 2//1
xxipex
dppdxx
22)()(
Sektion8.3 und Sektion8.4
Ausbreitungsgeschwindigkeit des Wellenpaketes
• Gruppengeschwindigkeitdes Wellenpakets:
• aus
• folgt:
• Teilchen werden durch Wellenpakete recht gut beschreiben
dk
dvg
m
k
m
pE
22
22
Tg vm
p
m
k
dk
dv
Streuung an einer Potentialstufe
• Raumgebiet wird in zwei Bereiche unterteilt:
• Lösung aus Bereich1 ist bereits Bekannt:
• Hier ist A die Amplitude der einfallenden Welle und B die an der Potentialstufe reflektierten Welle.
2
1
0
00)(
0
{Bereich
Bereich
xfür
xfür
VxV
ikxikx eBeAx 1
• Im Bereich2 lautet die Schrödingergleichung:
• Mit
reduziert sichdie Gleichung zu:
02
022
2
xVEm
dx
xd
2
02
EVm
022
2
xdx
xd
• Die allgemeine Lösung lautet:
• Da zwischen –∞ x ∞ ψ(x) eine Lösung der Schrödingergleichung sein soll, muss sie überall stetig differenzierbar sein.(sonst d2ψ/dx2 nicht def.)
• Randbedingungen:
xx eDeCx 2
DCBA 00 21
DCBAikdx
d
dx
d
0
2
0
1
Fallunterscheidung
• A) E < V0:
• Hieraus folgt: C=0, ansonsten ψ2(x)∞ für x ∞(nicht mehr normierbar)
• Ergebnis:
Aik
ikDundA
ik
ikB
2
xfüreik
ikeAx ikxikx
01
02
2
xfüreAik
ikx x
• Reflexion:
• Eindringwahrscheinlichkeit:
• Teilchen können mit einer von Null verschiedenen Wahrscheinlichkeit eindringen, was klassisch nicht möglich ist.
12
2
2
2
2
ik
ik
A
B
eA
eBR
ikx
ikx
xx eAk
keDx
22
22
222
2
4
• B) E > V0:• Klassisch würden alle Teilchen in den Bereich x>0
eintreten, jedoch langsamer werden. Ekin=E-V0
• Im Wellenmodell:
• Die allgemeine Lösung lautet:
• Da für x>0 keine Teichen in –x Richtung fließen ist C=0.
iVEmk
02
'
xikxik eDeCx ''2
• Ergebnis:
Akk
kDundA
kk
kkB
'
2
'
'
xfürekk
kkeAx ikxikx
0'
'1
0'
2 '2
xfüreA
kk
kx xik
• Reflexion:
• Da die Wellenzahl k in der Optikproportional zum Brechungsindexist (k=n*k0), kann man R schreiben:
• Transmission:
• Aus Teilchenerhaltung gilt:
2
2
2
2
2
'
'
kk
kk
A
B
eA
eBR
ikx
ikx
2
21
21
nn
nnR
22
2
'
'4'
kk
kk
Av
DvT
1RT
Sektion9.4
Streuung an einer Potentialbarriere
• In diesem Fall hat Potential nur eine endliche Breite:
• Lösungen:
30
20
100
)( 0{BereichLxfür
BereichLxfürV
Bereichxfür
xV
ikx
xx
ikxikx
eAx
eDeCx
eBeAx
')(
)(
)(
3
2
1
• Randbedingungen:
• Transmissionsvermögen für E<V0:
)(')(')0(')0('
)()()0()0(
3221
3221
LL
LL
EVmmit
LE
VVE
VE
A
AT
0
20
0
02
22
sinh4
1
1'
• Für große Breiten L der Potentialbarriere kann man sinh(x) durch ½*ex annähern.
• Die Transmission hängt also von der Höhe V0, der Breite L der Barriere und von der Energiedifferenz V0-E (Masse m des Teilchens) ab.
LeEVV
ET 2
020
16
Sektion9.6 bis Sektion9.9
Der unendlich hohe Potentialtopf
• Teilchen befindet sich mit Energie E in einem beschränkten Raumgebiet:
• Kann diese Teilchen beliebige stationäre Energiewerte annehmen?
• Um diese Frage zu beantworten müssen wir die Schrödingergleichung lösen.
sonst
LxfürxV
00
)( {
Lösen der Schrödingergleichung
• Im Bereich 0xL:
• Bekannte Lösung:
• Randbedingungen:
• Dies ergibt:
xExdx
d
m
2
22
2
ikxikx eBeAx )(
0)(0)0( Lund
00 ikLikL eBeAundBA
•
• Die möglichen Wellenfunktionen lauten:
• Aus Normierung folgt:
)sin()sin(2)( kxCkxiAeeAx ikxikx
,...3,2,10)sin( nnkLkLC
x
L
nCxn
sin)(
x
L
n
Lxn
sin2
)(
• Die Energiewerte sind gequantelt, da:
• Die minimale Energie ist nicht Null, sondern E1, da n=0 nicht erlaubt ist.
• Je breiter der Potentialtopf ist, desto kleiner wird die Nullpunktsenergie E1
21
22
222
22
222nEEodern
Lmk
mm
pE nnn
Sektion10.2
Die zeitabhängige Schrödingergleichung
• Im Bereich 0xL:
• Mit den Energiewerten En von ψn(x) ergeben sich die Lösungen:
• Einsetzen von ψn(x) liefert:
t
txi
dx
txd
m
),(),(
2 2
22
)(),( xetx nn
tniE
x
L
ne
Ltx mL
tni
n
sin2
),(2
22
2
Visualisierung
• Zwei mögliche Wege:• Aufspaltung in Real- und Imaginärteil
• Phasenänderungen mit Farben darstellen– Da ψn(x) real ist, ist nur e−iEt/ħ imaginär
– Daher ist −Ent/ħ = θn(t) ein Vektor
)(cos),(Re xtx ntE
nn
)(sin),(Im xtx ntE
nn
Sektion10.4 und Sektion10.8
Darstellung im Impulsraum
• Φn(p) erhalten wir über die Fouriertransformation
• Ergebnis:
L
ipxnn dxexp
0
/)(2
1)(
n
nin
n
ninipL
n eeeL
ip
sinsin
4)( 222
22
npL
undn
pL
nn
• Die Welle im Impulsraum hat ihre Maxima, wenn δn-=0 und δn+=0.
• Dies stimmt mit klassischen Überlegungen überein.
• Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist gegeben durch das Absolutquadrat von ψn(x).
L
np
Sektion10.5
Überlagerung von zwei Wellen
• Einer der einfachsten nicht trivialen Überlagerungen ist gegeben durch:
• Die zeitabhängige relative Phase hängt vom Energieunterschied En2-En1 ab.
),(),(2
1),( 2121 txtxtx nnnn
)()(2
1),( 2121
121
xexetx n
tEEi
n
tiE
nn
nnn
Sektion10.6
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