2011_11_25_schnittgr_en (2)
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Anna Wieging
Übung - Mechanik 14.10.2011 1
Übung Technische Mechanik – 25.11
Schnittgrößen 1)Definition Die Schnittgrößen geben die inneren Kräfte eines Tragwerkes an. Sie bieten ein Maß für die Materialbeanspruchung eines Tragwerkes. Beispiel:
Schnittgrößen in der Ebene: Normalkraft (�(�)); Querkfraft (�(�)); Biegemoment (�(�)) Um die Belastung an jedem Punkt des Systems zu zeigen, werden Schnittgrößenverläufe angegeben. 2)Berechnung der Schnittgrößen -Die Schnittgrößen werden mittels der Gleichgewichtsbedingungen im jeweiligen Schnitt bestimmt (∑� ;∑ ;∑�) -sinnvolle Schnittführung (vor und nach Unstetigkeitsstellen) 3)Definition der Schnittufer und Schnittgrößen
-Die gestrichelte Faser dient zur eindeutigen Festlegung des positiven bzw. negativen Schnittufers. -ein positives Moment erzeugt Zug auf der Seite der gestrichelten Faser
Anna Wieging
Übung - Mechanik 14.10.2011 2
Aufgabe 1: 1.Auflager berechnen
→ ∑� = 0 ⇒ �� = � ↷ ∑�� = 0 ⇒ −�� ∗ � + � ∗ �
� = 0 ⇒ �� = ��
↑ ∑ = 0 ⇒ �� + �� − � = 0 ⇒ �� = ��
2.Schnittgrößen berechnen
Schnitt I (0 < � < ��)
→ ∑� = 0 ⇒ �(�!) + �� = 0 ⇒ �(�!) = −�
↓ ∑ = 0 ⇒ �#�!$ −�� = 0 ⇒ �#�!$ = ��
↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!$ − �& ∗ � = 0 ⇒�#�!$ = �� ∗ �
�#�!'($ = 0;�*�!'+,-
= �∗�.
Schnitt II(�� < � < �)
→ ∑� = 0 ⇒ �(�!!) + �� = 0 ⇒ �(�!!) = −�
↓ ∑ = 0 ⇒ �#�!!$ −�� + � = 0 ⇒ �#�!!$ = − ��
↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!!$ − �& ∗ � + � ∗ *� − ��- = 0
⇒ �#�!!$ = �∗�� − �
� ∗ �
�*�!!'+,-
= �∗�. ; �#�!!'�$ = 0
Schnitt III (Alternative zu Schnitt II) (�� < � < �)
→ ∑� = 0 ⇒ �(�!!!) − �(�!) = 0 ⇒ �(�!!!) = −�
↓ ∑ = 0 ⇒ �#�!!!$ −�#�!$ + � = 0 ⇒ �#�!!!$ = − ��
↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!!!$ − �#�!$ + � ∗ � − �#�!$ ∗ � = 0
⇒ �#�!!!$ = �∗�� − �
� ∗ �
�#�!!!'($ = �∗�. ; �*�!!!'+
,-= 0
Oder Schnitt IV (Alternative zu Schnitt II) Hier ausgelassen.
3. Schnittkraftverläufe zeichnen
Anna Wieging
Übung - Mechanik 14.10.2011 3
Aufgabe 2(Aufgabe 51m aus dem Übungsskript):
1.Auflager berechnen → ∑� = 0 ⇒ �� = 0 ↷ ∑�� = 0 ⇒ �� + /0∗�
� ∗ �1 � = 0 ⇒ �� = − /0∗�
1
↑ ∑ = 0 ⇒ �� − /0∗�� = 0 ⇒ �� = /0∗�
� 2.Schnittgrößen berechnen
Schnitt I (0 < � < �)
/0� = /2
� ⇒ 3� = /0� ∗ �
→ ∑� = 0 ⇒ �(�) = 0
↓ ∑ = 0 ⇒ �(�) −�� + 4/2 = 0 ⇒ �(�) = /0∗�� − /0∗�,
��
�(�'() = /0∗�� ; �(�'�) = /0∗�
� − /0∗�,�� = 0
↶ ∑� = 0 ⇒ �(�) − �& ∗ � − �� − 3� ∗ �� ∗ �
1 =0
⇒ �(�) = − /0∗�5
6� + /0∗�∗�� − /0∗�5
1
�(�'() = − /0∗�51 ;
�(�'�) = − /0∗�56� + /0∗�,
� − /0∗�51 = − /0∗�,71/0∗�,8�/0∗�,
6 = 0 3. Schnittkraftverläufe zeichnen
Anna Wieging
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Aufgabe 3: 1.Auflager berechnen
→ 0 ↷ ∑�� = 0 ⇒ �� ∗ 6 − 3( ∗ 2 ∗ 1 = 0 ⇒ �� = /0
1
↑ ∑ = 0 ⇒ �� + �� − 3( ∗ 2 = 0 ⇒ �� = <1 3(
2.Schnittgrößen berechnen
Schnitt I (0 < � < 2) → ∑� = 0 ⇒ �(�!) + �� = 0 ⇒ �(�!) = 0
↓ ∑ = 0 ⇒ �#�!$ −�� + 3( ∗ � = 0 ⇒ �#�!$ = <1 3( − 3( ∗ �
�#�!'($ = <1 3(; �#�!'�$ = − =
1 3(
↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!$ − �& ∗ � + 3( ∗ �,
� = 0 ⇒ �#�!$ = <
1 3( ∗ � − /0� ∗ � �
�#�!'($ = 0;�#�!'�$ = 1 =1 3(
Schnitt II(0 < � < 4) → ∑� = 0 ⇒ �(�!!) = 0
↓ ∑ = 0 ⇒ �#�!!$ + �& = 0 ⇒ �#�!!$ = − /01
↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!!$ − �& ∗ � = 0
⇒ �#�!!$ = /01 ∗ �
�#�!!'($ = 0;�#�!!'.$ = .1 3(
4)Bestimmung des max. Biegemoments (maxM) Das Moment ist da maximal, wo �`(�) = 0 ist oder an den Rändern des Definitionsbereiches. Berechnung maxM in Aufgabe 3: Schnitt I �#�!$ = <
1 3( ∗ � − /0� ∗ � �
⇒ �`(�!) = <1 3@ − 3( ∗ �
AB�� ⇒ �`#�!$ = 0 ⇒ 533@ − 3( ∗ � = 0
⇒ � = <1
�B��*�!'<1- = 5
33( ∗ � − 3(2 ∗ � � = 25
18 3(
Schnitt II �#�!!$ = /0
1 ∗ �
⇒ �`(�!!) = /01 ≠ 0
�#�!!$ ist eine lineare Funktion, d.h. es gibt keine Extremstelle => MaxM liegt am Rand �B��#�!!'.$ = .
1 3(
�B��*�!'<1- > �B��#�!!'.$
Das maximale Biegemoment ist �B��*�!'H5-
= �<=I 3( an der Stelle � = <
1
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Übung - Mechanik 14.10.2011 5
3.Schnittgrößenverläufe
Aufgabe 4 (Aufgabe 51d aus dem Übungsskript): 1.Auflager berechnen
→ ∑� = 0 ⇒ �� = � ↷ ∑�� = 0 ⇒ �� ∗ (B + J) + � ∗ K
� = 0 ⇒ �� = − �∗K�(L7K)
↑ ∑ = 0 ⇒ �� + �� = 0 ⇒ �� = �∗K�(L7K)
2.Schnittgrößen berechnen Schnitt I (0 < � < B) → ∑� = 0 ⇒ �(�!) = −�
↓ ∑ = 0 ⇒ �#�!$ − �∗K�(L7K) = 0 ⇒ �#�!$ = �∗K
�(L7K)
↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!$ − �∗K�(L7K) ∗ � = 0
⇒ �#�!$ = �∗K�(L7K) ∗ �
�#�!'($ = 0;�#�!'L$ = �∗L∗K�(L7K)
Schnitt II(0 < � < K�)
→ ∑� = 0 ⇒ �(�!!) = −� ↓ ∑ = 0 ⇒�#�!!$ = 0
↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!!$ − � ∗ � = 0
⇒ �#�!!$ = � ∗ �
�#�!!'($ = 0;�*�!!'M,-
= �∗K�
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Schnitt III(0 < � < J) → ∑� = 0 ⇒ �(�!!!) =0
↓ ∑ = 0 ⇒�#�!!!$ = �∗K�(L7K)
↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!!$ − − �∗K�(L7K) ∗ � = 0
⇒ �#�!!!$ = − �∗K�(L7K) ∗ �
�#�!!!'($ = 0;�#�!!!'K$ = − �∗K,
�(L7K)
Schnittgrößenverläufe:
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Aufgabe 5 (Aufgabe 56d aus dem Übungsskript): 1.Auflager gegeben
�� = −1N� �� = 0,56N� �� = 1,44N�
2.Schnittgrößen berechnen
Schnitt I(0 < � < 1,75) → ∑� = 0 ⇒ �(�!) =1N� ↓ ∑ = 0 ⇒�#�!$ = −0,56N�
↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!$ + (−1N�) ∗ � = 0
⇒ �#�!$ = 1N� ∗ � �#�!'($ = 0;�#�!'=,Q<R$ = 1,75N�A
Schnitt II(0 < � < 1,75) → ∑� = 0 ⇒ �(�!!) =0 ↓ ∑ = 0 ⇒�#�!!$ = −0,56N�
↶ ∑� = 0 ⇒ �#�!!$ = 1N� ∗ � �#�!!'($ = 0;�#�!!'=,Q<R$ = 1,75N�A
Schnitt 3 (0 < � < 4√2) Zu Beginn Drehung der Gleichstreckenlast. Beachte: Die Resultierende der Streckenlast muss erhalten bleiben. A) 4 = 0,5 ∗ 4 = 2
4 = 4T ⇒ 2 = 3U ∗ 4 ∗ √2 ⇒ 3U = =
� ∗ √2 B) 4T = 3U ∗ 4 ∗ √2
Aufteilung von 3U in 3V ∧ 3∥
YZ[45° ∗ 3U = 3∥ = 3V = =.
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Aufteilung ��]^�V_^`�∥ �V = �∥ = =
√� − 1,44N�
∑�a = 0 ⇒ �#�!!!$ + =. ∗ � − =
√� ∗ 1,44N� = 0
⇒ �#�!!!$ = =√� ∗ 1,44N� − 0,25N� ∗ �
�#�!!!'($ = 1,02N�;�#�!!!'.√�$ = −0,4N�
∑�b = 0 ⇒ �#�!!!$ + =√� ∗ 1,44N� − 0,25N� ∗ � = 0
⇒ �#�!!!$ = 0,25N� ∗ � − =√� ∗ 1,44N�
�#�!!!'($ = −1,02N�;�#�!!!'.√�$ = 0,4N�
∑� = 0 ⇒ �#�!!!$ + 0,25N� ∗ �!!!,
� − =√� ∗ 1,44N� ∗ � = 0
⇒ �#�!!!$ = =√� ∗ 1,44N� ∗ � − 0,125N� ∗ � �
�#�!!!'($ = 0N�A;�#�!!!'.√�$ = 1,76N�A
Bestimmung MaxM: �#�!!!$ = =
√� ∗ 1,44N� ∗ � − 0,125N� ∗ � �
⇒ �`#�!!!$ = =√� ∗ 1,44N� − 0,25N� ∗ � = 0 ⇒ � = 4,07
�#�!!!'.,(Q$ = 2,07N�A
MaxM=2,07kNm � M an den Rändern der übrigen Bereiche < maxM
3.Schnittgrößenverläufe
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