7.ubung_zsflosungen
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Einfuhrung in die Mikrookonomie Fruhjahrssemester 2015
Losungsschema zum Aufgabenblatt 7: Haushaltstheorie unddie Rolle von Preisen
1. Gegeben sei die Nutzenfunktion U(x1, x2) =ln(x1)
3+ 2ln(x2)
3.
a) Berechnen Sie die Nachfragefunktionen.
Es sind 2 Varianten moglich, die beide zum gleichen Ergebnis fuhren:
1. Variante: GRS=Steigung der Budgetgerade= negatives PreisverhaltnisOptimalitatsbedingung:
1
3x12
3x2
= p1p2
daraus folgt, dass x2 =2x1p1
p2bzw., dass x1 =
x2p22p1
einsetzen in die Budgetrestriktion ergibt
m = p1x1 + p2(2x1p1
p2) x1 = m3p1
m = p1(x2p22p1
) + p2x2 x2 = 23 mp2
2.Variante: Lagrangeansatz
maxx1,x2U(x1, x2) =ln(x1)
3+ 2ln(x2)
3s.t. m = p1x1 + p2x2
L = ln(x1)3
+ 2ln(x2)3
+ (m p1x1 p2x2)
Lx1
= 13x1 p1 = 0
Lx2
= 23x2 p2 = 0
L
= m p1x1 p2x2 = 0Gleichungssystem losen:x1 =
m3p1
, x2 =23
mp2
b) Wieviel fragt der Konsument, der uber ein Einkommen von m = 90 verfugt, bei denPreisen p1 = 2 und p2 = 3 nach?
x1 = 15, x2 = 20
c) Sind die Guter Substitute oder Komplemente? Begrunden Sie die Antwort.
Wie andert sich die Nachfrage des einen Gutes bei einer Preisanderung des anderenGutes?
Im Fall von Substituten x1(p1,p2,m)p2
> 0 und x2(p1,p2,m)p1
> 0
Im Fall von Komplementen x1(p1,p2,m)p2
< 0 und x2(p1,p2,m)p1
< 0
Departement Volkswirtschaftslehre, Universitat Bern 1
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Einfuhrung in die Mikrookonomie Fruhjahrssemester 2015
In diesem Spezialfall von Cobb-Douglas Praferenzen sind diese beiden Ableitungen:x1(p1,p2,m)
p2= x2(p1,p2,m)
p1= 0. Das bedeutet, dass die Nachfrage des einen Gutes
unabhangig vom Preis des anderen Gutes ist. Es wird immer ein fixer Anteil desEinkommens fur das eine oder das andere Gut ausgegeben.
2. Gegeben sei die Nutzenfunktion U(x1, x2) = min{x13 , 2x23 }.a) Berechnen Sie die Nachfragefunktion.
Optimalitatsbedingung x13
= 2x23
in die Budgetrestriktion einsetzen.
x2 =m
2p1 + p2
x1 =2m
2p1 + p2
b) Wieviel fragt der Konsument, der uber ein Einkommen von m = 72 verfugt, bei denPreisen p1 = 2 und p2 = 2 nach?
x1 = 24, x2 = 12
c) Sind die Guter Substitute oder Komplemente? Begrunden Sie die Antwort.
Komplemente, weil:
x1(p1, p2,m)
p2= 2m
(2p1 + p2)2< 0
x2(p1, p2,m)
p1= 2m
(2p1 + p2)2< 0
3. Zeichnen Sie fur folgende Guter den Einkommensexpansionspfad und die Engelkurven.Wie gross sind jeweils die Steigungen?
Eine Zunahme des Einkommens (ceteris paribus) verschiebt die Budgetgerade parallelnach aussen. Der Einkommensexpansionspfad zeigt die Guterbundel die bei dem jewei-ligen Einkommen konsumiert werden konnen. Sind beide Guter normale Guter, hat derEinkommensexpansionspfad eine positive Steigung.
Fixiert man die Preise fur Gut 1 und Gut 2 und bildet die Veranderung der Nachfragenach einem Gut bei einer Veranderung des Einkommens ab, erhalt man die Engelkurve.
a) perfekte Substitute
Wenn p1 < p2 dann wird Gut 1 konsumiert und ein steigendes Einkommen fuhrt zuerhohtem Konsum von Gut 1. Der Einkommensexpansionspfad wird durch die hori-zontale Achse abgebildet. Die Nachfrage nach Gut 1 ist x1 = m/p1. Die Engelkurveist daher eine Gerade mit der Steigung p1.
Departement Volkswirtschaftslehre, Universitat Bern 2
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Einfuhrung in die Mikrookonomie Fruhjahrssemester 2015
Abbildung 1: Einkommensexpansionspfad und Engelkurve - Substitute
b) Komplemente
Abbildung 2: Einkommensexpansionspfad und Engelkurve - Komplemente
Die Steigung der Engelkurve ergibt sich aus der Nachfrage. Fur den Fall, dassU(x1, x2) = min{x1, x2} ist x1 = m/(p1 +p2) und daher die Steigung der Engelkurvep1 + p2 .
c) Cobb-Douglas Praferenzen
Cobb Douglas Praferenzen werden durch Nutzenfunktionen der Form u(x1, x2) =
xa1x(1a)2 dargestellt. Die Nachfrage nach Gut 1 lautet x1 = am/p1. Fur konstante
Werte von p1 ist die Nachfrage linear im Einkommen. Wird das Einkommen ver-doppelt, verdoppelt sich auch die Nachfrage nach Gut 1. Die Nachfrage nach Gut 2lautet x2 = (1 a)m/p2 und ist ebenfalls linear im Einkommen. Der Einkommens-expansionspfad ist daher eine Diagonale durch den Ursprung. Die Engelkurve f ur x1ist ebenfalls eine Gerade mit dem Anstieg p1/a.
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Einfuhrung in die Mikrookonomie Fruhjahrssemester 2015
Abbildung 3: Einkommensexpansionspfad und Engelkurve - Cobb Douglas Pr aferenzen
4. Bestimmen Sie graphisch den Einkommens- und Substitutionseffekt bei folgenden Guterbundeln:
a) normale Guter die imperfekte Substitute sind
Abbildung 4: Einkommens-, Substitutions- und Totaleffekt am Beispiel normaler Guter.
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Einfuhrung in die Mikrookonomie Fruhjahrssemester 2015
b) perfekte Substitute (z.B. Butter und Margarine)
Der Effekt hangt von der Wertschatzung und den Relativpreisen ab.
1. Fall. Subjektive Wertschatzung des Individuums von Margarine (Steigung Indif-ferenzkurve) ist grosser als der Relativpreis (Steigung Budgetgerade) vor und nachder Preisveranderung von Butter.
2. Fall. Vor Preisveranderung von Butter: Subjektive Wertschatzung des Individu-ums fur Margarine kleiner als Relativpreis. Nachher: Subjektive Wertschatzung furMargarine grosser als Relativpreis.
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Einfuhrung in die Mikrookonomie Fruhjahrssemester 2015
Substitutionsguter 3. Fall. Subjektive Wertschatzung des Individuums fur Margarinekleiner als Relativpreis vor und nach der Preisveranderung von Butter.
c) Skis und Skischuhe (perfekte Komplemente)
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Einfuhrung in die Mikrookonomie Fruhjahrssemester 2015
d) Im Fall eines inferioren Gutes
e) Im Fall eines Giffen-Gutes
Gut 1 ist ein Giffengut.
Departement Volkswirtschaftslehre, Universitat Bern 7
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