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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

(Mini)Projekt Risikotheorie

Lisa Stadlmuller, Christian Schitter, Peter Scheibelhofer, Wolfgang Draxler

28. Janner 2010

(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 1/36

Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Aufgabenstellung

Gesucht:Plausible Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas fur die dreiPaare, bestehend aus je zwei der Indizes Nikkei 225, FTSE100 undNasdaq (tagliche und wochentliche Daten).

Auswahl aus:Gauss’sche Copula, t-Copula, Gumbel und Clayton Copula.

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Scatterplot der taglichen Logreturns

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Korrelationsmaße

Nikkei FTSE100 NasdaqNikkei 1,00000 0,26606 0,16078

FTSE100 0,26606 1,00000 0,33796

Nasdaq 0,16078 0,33796 1,00000

Table: Ubersicht Spearman’s Rho

Nikkei FTSE100 NasdaqNikkei 1,00000 0,18276 0,10641

FTSE100 0,18276 1,00000 0,23410

Nasdaq 0,10641 0,23410 1,00000

Table: Ubersicht Kendall’s Tau

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Wichtiger Faktor bei Copulawahl: Tailabhangigkeit

Theoretischer Koeffizient der oberen Tail-Abhangigkeit:

λU(X1,X2) = limu→1−P(X2 > F←2 (u)|X1 > F←1 (u))

Schatzer fur obere Tailabhangigkeit:

λU(u; Beob.) =#{(x , y) ∈ Beob. : y > F←2 (u) ∧ x > F←1 (u)}

#{(x , y) ∈ Beob. : x > F←1 (u)}

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Wichtiger Faktor bei Copulawahl: Tailabhangigkeit

Theoretischer Koeffizient der unteren Tail-Abhangigkeit:

λL(X1,X2) = limu→0+P(X2 ≤ F←2 (u)|X1 ≤ F←1 (u))

Schatzer fur untere Tailabhangigkeit:

λL(u; Beob.) =#{(x , y) ∈ Beob. : y < F←2 (u) ∧ x < F←1 (u)}

#{(x , y) ∈ Beob. : x < F←1 (u)}

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Tailabhangigkeit Ubersicht

Copula Obere Tailabhangigkeit? Untere Tailabhangigkeit?

Gauss Nein Nein

t Ja Ja

Gumbel Ja Nein

Clayton Nein Ja

Table: Ubersicht Tailabhangigkeiten

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Tailabhangigkeit Ubersicht

0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Obere Tailabhängigkeit der täglichen Daten

Quantil

Bed

ingt

e W

ahrs

chei

nlic

hkei

tNikkei−FTSENikkei−NasdaqFTSE−Nasdaq

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Tailabhangigkeit Ubersicht

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Untere Tailabhängigkeit der täglichen Daten

Quantil

Bed

ingt

e W

ahrs

chei

nlic

hkei

t

Nikkei−FTSENikkei−NasdaqFTSE−Nasdaq

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Tailabhangigkeit Ubersicht

Name Obere Tailabh. Untere Tailabh. Vermutung

Nikkei-FTSE eher ja ja t

Nikkei-Nasdaq eher nein eher nein Gauss

FTSE-Nasdaq eher nein eher ja Clayton

Table: Copula Vermutung aufgrund Tailabhangigkeiten

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Vergleich Originaldaten/simulierte Daten Nikkei-FTSE100

Name Gauss t Gumbel ClaytonLogLikelihood 24,22 29,99 20,51 25,41

Table: LogLikelihood

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Vergleich Originaldaten/Methoden Nikkei-FTSE100

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Simulationen mit gewahlter Methode Nikkei-FTSE100

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Kontrolle empirische Tails/theoretische Tails Nikkei-FTSE

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Vergleich Originaldaten/simulierte Daten Nikkei-Nasdaq

Name Gauss t Gumbel ClaytonLogLikelihood 7,75 7,65 5,39 6,90

Table: LogLikelihood

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Vergleich Originaldaten/Methoden Nikkei-Nasdaq

(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 16/36

Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Vergleich Originaldaten/simulierte Daten FTSE100-Nasdaq

Name Gauss t Gumbel ClaytonLogLikelihood 42,36 46,69 48,71 27,47

Table: LogLikelihood

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Vergleich Originaldaten/simulierte Daten FTSE100-Nasdaq

(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 18/36

Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Kontrolle empirische Tails/theoretische Tails FTSE-Nasdaq

(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 19/36

Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Scatterplot der wochentlichen Logreturns

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Tailabhangigkeit wochentlich Ubersicht

0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Obere Tailabhängigkeit der wöchentlichen Daten

Quantil

Bed

ingt

e W

ahrs

chei

nlic

hkei

t

Nikkei−FTSENikkei−NasdaqFTSE−Nasdaq

(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 21/36

Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Tailabhangigkeit wochentlich Ubersicht

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Untere Tailabhängigkeit der wöchentlichen Daten

Quantil

Bed

ingt

e W

ahrs

chei

nlic

hkei

t

Nikkei−FTSENikkei−NasdaqFTSE−Nasdaq

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Tailabhangigkeit wochentlich Ubersicht

Name Obere Tailabh. Untere Tailabh. Vermutung

Nikkei-FTSE ja eher ja t

Nikkei-Nasdaq ja nein Gumbel

FTSE-Nasdaq ja eher nein Gumbel

Table: Copula Vermutung aufgrund Tailabhangigkeiten

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Wochentliche Original-/simulierte Daten Nikkei-FTSE

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Wochentliche empirische/theoretische Tails Nikkei-FTSE

(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 25/36

Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Wochentliche Original-/simulierte Daten Nikkei-Nasdaq

(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 26/36

Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Wochentliche empirische/theoretische Tails Nikkei-Nasdaq

(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 27/36

Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Wochentliche Original-/simulierte Daten FTSE-Nasdaq

(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 28/36

Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Wochentliche empirische/theoretische Tails FTSE-Nasdaq

(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 29/36

Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Scatterplot der verkurzten Logreturns 2004-2006

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Scatterplot der verkurzten Logreturns 2006-2009

(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 31/36

Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Tailabhangigkeit Ubersicht bis 2006

0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Obere Tailabhaengigkeit der taeglichen Daten

Quantil

Bed

ingt

e W

ahrs

chei

nlic

hkei

t

Nikkei-FTSENikkei-NasdaqFTSE-Nasdaq

(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 32/36

Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Tailabhangigkeit Ubersicht bis 2006

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Untere Tailabhaengigkeit der taeglichen Daten

Quantil

Bed

ingt

e W

ahrs

chei

nlic

hkei

t

Nikkei-FTSENikkei-NasdaqFTSE-Nasdaq

(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 33/36

Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Tailabhangigkeit Ubersicht ab 2006

0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Obere Tailabhaengigkeit der taeglichen Daten

Quantil

Bed

ingt

e W

ahrs

chei

nlic

hkei

t

Nikkei-FTSENikkei-NasdaqFTSE-Nasdaq

(Mini)Projekt Risikotheorie 28. Janner 2010 Seite 34/36

Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Tailabhangigkeit Ubersicht ab 2006

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Untere Tailabhaengigkeit der taeglichen Daten

Quantil

Bed

ingt

e W

ahrs

chei

nlic

hkei

t

Nikkei-FTSENikkei-NasdaqFTSE-Nasdaq

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Abhangigkeitsmodelle anhand von Copulas

Nikkei-FTSE Nikkei-Nasdaq FTSE-Nasdaq

Taglich t Gauss Clayton

Wochentlich t Gumbel Gumbel

Bis 2006 Clayton Gauss Gumbel

Ab 2006 t Gumbel Clayton

Table: Ubersicht uber gewahlte Copulas

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