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Asymmetrische Spiele
Eric Barré
13. Dezember 2011
Gliederung
1 EinführungAllgemeinesDefinitionBegründungNash-Gleichgewicht
2 Kampf der GeschlechterAllgemeinAuszahlungsmatrixNash-GleichgewichtBeispiel
3 DifferentialgleichungHerleitung und BedeutungDer Fall 2 Spieler 2 StrategienBeispiel
4 Fazit
5 Literatur
Allgemeines
Symmetrische Spiele:• gleiche Anzahl von Strategien• gleiche Auszahlungen
Bei Anwendungen der Evolutionären Spieltheorie aufökonomische Spiele oder auf biologische Populationen, so sindKonfliktsituationen mit asymmetrischen Gegnern häufiganzutreffen.
Revierkämpfe z. B. finden nur selten unter gleich starkenGegnern statt.
⇒ Annahme asymmetrischer Spieler ist gerechtfertigt.
Definition
Sei A die Auszahlungsmatrix von Spieler 1 (Zeilenspieler) undB die Auszahlungsmatrix von Spieler 2 (Spaltenspieler).
Ein asymmetrisches Spiel ist gegeben, wenn:
A 6= BT ,
oder anders geschrieben, wenn:
u1(p,q) 6= u2(p,q)
für alle Strategien (p,q) gilt.
Begründung
• Die Entscheidungssituation als solche ist asymmetrisch,da die Anzahl der reinen Strategien von ZeilenspielerE1,E2, . . . ,En und Spaltenspieler F1,F2, . . . ,Fmverschieden sind.
• Bei gleicher Anzahl von reinen Strategien besteht diePopulation aus zwei verschiedenen Gruppen von Spielern(z.B. Mann/Frau, Jäger/Gejagter, usw.), die nur mitVertretern der jeweils anderen Gruppe aufeinandertreffen.
Nash-Gleichgewicht
Das Paar (p,q) ε Sn x Sm befindet sich im Nash-Gleichgewicht,falls p beste Antwort zu q und q beste Antwort zu p ist.
Beispiel: Wenn bzgl. der Auszahlungsmatrizen A und B gilt:
pAq ≥ xAq für alle x ε SnqBp ≥ yBp für alle y ε Sm
Das Paar (p,q) befindet sich im strikten Nash-Gleichgewicht,falls:
p 6= x bzw. q 6= y
⇒ Es gelten ähnliche Aussagen wie im symmetrischen Fall.Zu beachten ist jedoch, dass wie bereits erwähntu1(p,q) = u2(p,q) nicht mehr gilt.
Kampf der Geschlechter - Allgemein
Hierbei geht es um das Engagement bei der Aufzucht derNachkommen.
Strategien in der Population:• Männchen sind entweder treu (E1 = T ), d. h. sie sind zur
einer langen Verlobungszeit bereit und betreuen denNachwuchs, oder flatterhaft (E2 = F ) d. h. sie wollen nureine rasche Paarung und verschwinden anschließend.
• Weibchen sind entweder willig (F1 = W ), d. h. sie sind zurraschen Paarung bereit, oder spröde (F2 = S) d. h. siebestehen auf eine lange Verlobungszeit vor der Paarung.
Kampf der Geschlechter - Auszahlungsmatrix
Treffen F und S aufeinander entstehen keine Nachkommen, inallen anderen Fällen schon (Gewinn pro Partner: G).Die Brutpflege verursacht Kosten von 2K (wird von einemT-Männchen zur Hälfte getragen), und eine langeVerlobungszeit kostet jeden Partner V.
Daraus ergeben sich die beiden Auszahlungsmatrizen A (ausSicht des Männchen) und B (aus Sicht des Weibchen) :
A W (willig) W (spröde)M (treu) G - K G - K -V
M (flatterhaft) G 0
B M (treu) M (flatterhaft)W (willig) G - K G - 2K
W (spröde) G - K - V 0
Kampf der Geschlechter - Nash-Gleichgewicht
Man erhält durch Lösen des Gleichungssystems:
a11q1 + a12q2 = a21q1 + a22q2 wobei (q2 = 1− q1)b11p1 + b12p2 = b21p1 + b22p2 wobei (p2 = 1− p1)
für K + V < G < 2K, (G, K, V > 0) die Nash-Gleichgewichte:
N(A(p1,p2)) = {(2K −G
V + 2K −G), (
VV + 2K −G
)}
N(B(q1,q2)) = {(G − K − V
G − V), (
KG − V
)}
Kampf der Geschlechter - Beispiel
Spielregeln:• Jedes erfolgreich gezeugte und aufgezogene Kind ist für
die Eltern ein Gewinn von +30 Punkte (+15 für jeden).• Eine vorhergegangene Verlobungszeit kostet -6 Punkte.• Die Brutpflege kostet -20 Punkte.
Daraus ergeben sich die beiden Auszahlungsmatrizen A und B:
A W (willig) W (spröde)M (treu) 5 2
M (flatterhaft) 15 0
B M (treu) M (flatterhaft)W (willig) 5 -5
W (spröde) 2 0
Beispiel: M (treu) und W (spröde): 0,5 · (+30− 20− 6) = 2
Kampf der Geschlechter - Beispiel
Es sei nun:• p1 : Der Anteil der Männchen mit der Strategie ’flatterhaft’• p2 : Der Anteil der Männchen mit der Strategie ’treu’• q1 : Der Anteil der Weibchen mit der Strategie ’spröde’• q2 : Der Anteil der Weibchen mit der Strategie ’willig’
Es gilt: p1 + p2 = 1
Die Auszahung für ein Männchen hängt von der gewähltenStrategie des Weibchen ab und umgekehrt. Daraus folgt:
PM(treu) = 5q1 + 2q2PM(flatterhaft) = 15q1PW (willg) = 5p1 − 5p2PW (spr ode) = 2p1
Kampf der Geschlechter - Beispiel
Eine höhere Auszahlung ist nun mit einer Begünstigung derGene für den entsprechenden Spieler zu deuten. Daherexistiert ein Gleichgewicht:
PM(treu) = PM(flatterhaft)PW (willg) = PW (spr ode)
⇒
5q1 + 2q2 = 15q15p1 − 5p2 = 2p1
⇐⇒
p1 = 5/8,p2 = 3/8q1 = 1/6,q2 = 5/6
Dies gilt also genau dann, wenn der Anteil der treuenMännchen 5/8 und der Anteil der willigen Weibchen 1/6 beträgt.
Differentialgleichung
Herleitung:
Seien x ε Sn und y ε Sm die Spielstrategien von Spieler 1 bzw.Spieler 2.
Sind Wachstumsrate x/x der Strategie i gleich demUnterschied ihrer Auszahlung (Ay)i und der durchschnittlichenAuszahlung x · Ay in der Population X , dann lassen sichfolgende Differentialgleichungen auf dem Raum Sn x Smaufstellen:
xi = xi · ((Ay)i − x · Ay) i = 1, ...,n
yi = yj · ((Bx)j − y · Bx) j = 1, ...,m
Differentialgleichung
Bedeutung:
• Besteht mindestens eine Population besteht nur aus einemPhänotyp, dann ist:
xi ≡ 1 oder: yj ≡ 1 für beliebige i , j
oder allgemein:
Sn x {f1} für f1 = {1,0, ...,0} ε Sm
• Bestehen beide Populationen aus mehreren Phänotypen,dann ist:
xi > 0 für beliebige i , und yj > 0 für beliebige j .
oder allgemein:
int Sn x Sm.
Differentialgleichung - 2 Spieler 2 Strategien
Für den Fall n = m = 2, wie im Beispiel “Kampf derGeschlechter“, können wir durch hinzufügen einer Konstantenin der Auszahlungsmatrix die Hauptdiagonale eliminieren:
A =
(0 a12
a21 0
)B =
(0 b12
b21 0
)Da x2 = 1− x1 und y2 = 1− y1 können wir dieDifferentialgleichung für die Variablen x1 und y1 betrachten unddurch x bzw. y beschreiben:
x = x · (1− x) · (a12 − (a12) + a21) · y)
y = y · (1− y) · (b12 − (b12) + b21) · x)
Auf dem Quadrat Q = {(x , y) : 0 ≤ x , y ≤ 1} ∼= S2 x S2
Differentialgleichung - 2 Spieler 2 Strategien
Fallunterscheidung:• Für a12a21 ≤ 0 bzw. b12b21 ≤ 0 :
Ändert sich das Vorzeichen von x auf Q nicht. Eine derzwei Strategien dominiert die andere. In diesem Fall ist xkonstant und konvergiert monoton gegen 1 oder 0.
• Für a12a21 > 0 bzw. b12b21 > 0 :Liefert die Gleichung den einzigen Ruhepunkt F in int Q :
F = (b12
b12 + b21,
a12
a12 + a21)
Differentialgleichung - 2 Spieler 2 Strategien
Fallunterscheidung:• Für a12b12 > 0 :
Hat F einen Sattelpunkt und alle Bahnen in int Qkonvergieren gegen eine gegenüberliegende Kante von Q.(Siehe linke Grafik ).
• Für a12b12 < 0 :Sind alle Eigenwerte Imaginär und alle Bahnen in int Qsind periodisch um F . (Siehe rechte Grafik).
Differentialgleichung - Beispiel
Kampf der Geschlechter:
Die Auszahlungstabelle für die Männchen sei nun eine2x2-Matrix A, und für die Weibchen sei B.
Die mittlere Auszahlung ist mit P(treu), P(flatterhaft), P(i) bzw.mit P(willig), P(spröde), P(j) festgelegt:
P(i) = (Ay)i , i=1 (treu) oder i=2 (flatterhaft) mit y = (y1, y2)
P(j) = (Bx)j , j=1 (willig) oder j=2 (spröde) mit x = (x1, x2)
Differentialgleichung - Beispiel
Kampf der Geschlechter:
Elimination der Hauptdiagonalen:
A =
(5 2
15 0
)−→
(0 2
10 0
), B =
(5 −52 0
)−→
(0 −3
10 0
)Aufstellen der Differentialgleichungen:
x = x · (1− x) · (2− 12y)y = y · (1− y) · (−5 + 8x)
Lösen der Differentialgleichungen:
0 = [−5x
+3
1− x]dx + [
2y− 10
1− y]dy
=⇒ F (x , y) = −5 ln(x)− 3 ln(1− x) + 2 ln(y) + 10 ln(1− y)
Differentialgleichung - Beispiel
Kampf der Geschlechter:
Darstellung des Fixpunktes:
Fazit
Bei asymmetrischen Spielen bestimmen wir die erwartetenNutzen der Spieler 1 und 2.
Diese enthalten die Wahrscheinlichkeiten p und q, mit der diebeiden Spieler ihre Strategie x bzw. y wählen.
Durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen findet man indiesem Fall die Maxima der Nutzenfunktionen.
Davon sind nur jene Maxima Nash-Gleichgewichte, bei denensich für keinen Spieler eine Abweichung lohnt.
Literatur
• Josef Hofbauer and Karl Sigmund: Evolutionary Gamesand Population Dynamics, Cambridge
• http://wikiludia.mathematik.uni-muenchen.de• Manfred J. Holler, Gerhard Illing: Einführung in die
Spieltheorie, Springer• Siegfried K. Berninghaus, Karl-Martin Ehrhart, Werner
Güth: Strategische Spiele, Springer
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