das fünfeck und der schierlingsbecher

Horst Steibl, AORat i.R Uni Hannover

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Das Fünfeck und der Schierlingsbecher

oder

Das Gift der schönen Bilder

Über die Entstehung und Überwindung von Einsichtsblockaden

GDM Tagung 2003 Dortmund

eine Fallstudie

http://counter.digits.com/wc/-d/4/Dortmund200360 HEIGHT=20 BORDER=0 HSPACE=4 VSPACE=2>

Dies ist ein Web-counter

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Das Fünfeck aus dem DIN-Format

180°

180°

180°

Winkelsumme im Fünfeck 540°;

Winkel an einer Ecke 540° :5 = 108°

eide

Was haben wir gemacht?

Meinen Dank an Jürgen Flachsmeyer

.

.

.

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Falten einer Ecke auf die Gegenecke

Ecke auf Gegenecke legen Von den aufeinanderliegenden Ecken

lotrecht auf die gesuchte Faltlinie streichen

Vom Lotfußpunkt nach beiden Seiten ausstreichen

Satz: Die Verbindungsstrecke der entsprechenden Punkte steht lotrecht auf der Spiegelachse und wird von ihr halbiert.

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Wenden wir dieses Wissen einmal an:

Falten der Diagonalen .....

Ich lege angeblich Wert auf das Hinterfragen meiner Handlungen!

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Die Faltlinien im Rechteck

8,378 cm

5,924 cm

A

B

C

D

PQ

B´

B´´

P´

Falte A auf C und die Mittelsenkrechte von PQ. Welcher Funktion hat diese?Falte die Strecke PB´auf diese Mittelsenkrechte. Welche Funktion hat diese Faltlinie im Rechteck? Falte entsprechen die Strecke DQ auf P´B´´. Welche Figur entsteht?

Und dennoch habe ich es hier versäumt und wandte mich lieber

dem „schönen Bild“ des Fünfecks zu

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Winkelsumme im Fünfeck 540°; Winkel an einer Ecke 540° : 5 =

108°90°

54° 36°

Winkel im Fünfeck

18°

90° 126° 36° Rest: 154°

72° 72°+36°=108°

DynaGeo

108°

Was aber ist mit den Seitenlängen?

.

. Die Diagonale muss den rechten Winkel in 54° +36° teilen

Wenn die Diagonale den rechten Winkel in 54° + 36° teilt, dann sind alle 5 Winkel gleich groß: 108°

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TAN-54°-Rechteck

54°

GK

AK

tan54°=1,376

DIN-Blatt, Wurzel-2-Rechteck

54,7°

1,414 = tan54,7°

2 * a

a

36° 35,3°

Strecke

Beim DIN-A-4-Blatt 8 mm abschneiden und man hat ein TAN_54°-Rechteck

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Die Faltlinien im Rechteck

8,378 cm

5,924 cm

A

B

C

D

PQ

B´

B´´

P´

Falte A auf C und die Mittelsenkrechte von PQ. Welcher Funktion hat diese?Falte die Strecke PB´auf diese Mittelsenkrechte. Welche Funktion hat diese Faltlinie im Rechteck? Falte entsprechen die Strecke DQ auf P´B´´. Welche Figur entsteht?

dynageo

Bei jedem Falten guckten mich diese Linien vorwurfsvoll an

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Hilfe kam vom Schierlingsbecher

Punkt auf Linie

Doch wie kommt der gelbe Punkt so auf die Gegenseite, dass die obere Seite parallel zur Diagonale ist?

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Falten einer Linie auf eine nicht parallele Linie heißt:

Falten der Winkelhalbierenden der Trägergeraden

TRÄGERGERADEN

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Die Trägergeraden der Faltlinien im Rechteck

8,378 cm

5,924 cm

A

B

C

D

PQ

B´

B´´

P´

Falte A auf C und die Mittelsenkrechte von PQ. Welcher Funktion hat diese?Falte die Strecke PB´auf diese Mittelsenkrechte. Welche Funktion hat diese Faltlinie im Rechteck? Falte entsprechen die Strecke DQ auf P´B´´. Welche Figur entsteht?

18°18°

18°36°

36°

72°72°

goldene Dreiecke

72°

Eine leichte Aufgabe: Die 18-er Reihe ........ 18°; 36°, 54°, 72°, 90°, 6 * 18° = 108°

Sehen Sie die goldenen Dreiecke?

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11,177 cm

7,903 cm

A

B

C

D

PQ

B´

B´´

P´

Falte A auf C und die Mittelsenkrechte von PQ. Welcher Funktion hat diese?Falte die Strecke PB´auf diese Mittelsenkrechte. Welche Funktion hat diese Faltlinie im Rechteck? Falte entsprechen die Strecke DQ auf P´B´´. Welche Figur entsteht?

Zugp118°

72°

72°

36°

36°

108°

Die goldenen Dreiecke

72°

36°

DynaGeo

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Die Seitenlänge des Fünfecks im Einheits-tan-54°-Rechteck

8,378 cm

5,924 cm

A

B

C

D

PQ

B´

B´´

P´

Falte A auf C und die Mittelsenkrechte von PQ. Welcher Funktion hat diese?Falte die Strecke PB´auf diese Mittelsenkrechte. Welche Funktion hat diese Faltlinie im Rechteck? Falte entsprechen die Strecke DQ auf P´B´´. Welche Figur entsteht?

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s = d

tan(72)

d = 1 + (tan 54)²

1 + (tan 54)²

tan(72)s =

s = 0.552786404...Tan 54°

Was für eine Zahl ?!

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1 8 °

1

s

s

)36sin(

1

bzw. mit den Additionstheoremen der Trigonometrischen Funktionen:

)36sin(

1

)36sin(

)18tan(

s

)18(cos2

1

)18cos()18sin(2

)18tan(2

s

Klaus Ulrich Guder hat mir freundlicherweise zum Faltfünfeck folgende Lösung für die Zahl 0.552786404... geschickt:

Die Diagonale des tan(54°)-Rechtecks ist

Damit ergibt sich

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s10

d52

18 °

In dieser Zeichnung des regelmäßigen 10-Ecks kann man sehen, dass ist.)18cos(25 d

)18(cos44 225

210 ds

2

51

10s

r

und Kantenlänge des Zehnecks:

212

1025

2 4

2

4

22

)18(cos2

1

sd

s

zwischen Radius

...552786405,05

11

5

55

s

Durch Umformen und Einsetzen für φ erhält man nun

Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras erhält man nun:

und mit folgender Beziehung

Vielen Dank Uli