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Universitรคt Duisburg-Essen, Campus Essen, Fachbereich Mathematik, IEM โ AG Zahlentheorie
Definition und gemeinsame Eigenschaften der Symplektischen und Orthogonalen Geometrie Proseminar Algebra WS 2008/2009, โGeometrische Algebraโ Dozent: Prof. Dr. Dr. h.c. Gerhard Frey
Anna Dittmer (2226161), Katharina Wikker (2220833), Marc Bosse (2216113)
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INHALTSVERZEICHNIS
1. Definition der Symplektischen und Orthogonalen Geometrie ......................................................... 3
1.1 Motivation ............................................................................................................................... 3
1.2 Definitionen ............................................................................................................................. 4
2 Gemeinsame Eigenschaften von Orthogonalen und Symplektischen Geometrien ........................... 6
2.1 Ortogonale Unterrรคume und Radikal ........................................................................................ 6
2.2 Nicht-singulรคre Unterrรคume ..................................................................................................... 8
2.3 Isometrien ................................................................................................................................ 8
2.4 Isotrope Vektorrรคume ............................................................................................................ 11
2.5 Hyperbolische Ebenen und Rรคume ......................................................................................... 13
2.6 Fortsetzungen von Isometrien und der Satz von Witt ............................................................. 14
2.7 Drehungen und Spiegelungen ................................................................................................ 20
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1. DEFINITION DER SYMPLEKTISCHEN UND ORTHOGONALEN GEOMETRIE
1.1 MOTIVATION
Sei ๐ ein n-dimensionaler Vektorraum. Sei โโถ ๐ ร ๐ โ ๐พ , ๐ด,๐ต โฆ ๐ด๐ต beliebige Bilinearform, ๐พ ein
kommutativer Kรถrper.
Ein Vektor A heiรt orthogonal zu einem Vektor ๐ต, falls ๐ด๐ต = 0.
Problem: In welchen metrischen Strukturen ist ๐ต๐ด = 0, wenn ๐ด๐ต = 0 ist?
Annahme: Sei V ein Vektorraum und ๐ด,๐ต,๐ถ ๐.
Dann gilt:
๐ด ๐ด๐ถ ๐ต โ ๐ด๐ต ๐ถ = ๐ด๐ถ ๐ด๐ต โ ๐ด๐ต ๐ด๐ถ = 0
Da K kommutativ ist gilt auch:
๐ด๐ถ ๐ต โ ๐ด๐ต ๐ถ ๐ด = 0
๐ด๐ถ ๐ต๐ด โ ๐ด๐ต ๐ถ๐ด = 0
๐ด๐ถ ๐ต๐ด = ๐ด๐ต ๐ถ๐ด (๐.๐๐)
Fรผr ๐ถ = ๐ด erhalten wir:
๐ด2 โ ๐ต๐ด = ๐ด2 โ ๐ด๐ต
Falls ๐ดยฒ โ 0 ๐ต๐ด = ๐ด๐ต. Das heiรt:
Falls ๐ต๐ด โ ๐ด๐ต ๐ดยฒ = 0. (โ)
(analoge Aussage bezรผglich ๐ต : ๐ด๐ต โ ๐ต๐ด ๐ต2 = 0)
Seien nun ๐ด und ๐ต zwei spezielle Vektoren aus ๐, so dass gilt: ๐ต๐ด โ ๐ด๐ต.
Wir wollen zeigen, dass ๐ถยฒ = 0 fรผr jeden beliebigen Vektor ๐ถ.
i) Dies ist sicherlich richtig, wenn gilt: ๐ด๐ถ โ ๐ถ๐ด, denn ๐ด๐ถ โ ๐ถ๐ด ๐ถ2
ii) Also nehmen wir an, dass gilt: ๐ด๐ถ = ๐ถ๐ด. Da nach Voraussetzung fรผr spezielle ๐ด und ๐ต
๐ต๐ด โ ๐ด๐ตgilt und auรerdem (๐.๐๐) erfรผllt sein muss, folgt automatisch: ๐ด๐ถ = ๐ถ๐ด = 0. Wir
kรถnnen ๐ด und ๐ต vertauschen und kรถnnen deswegen auch ๐ต๐ถ = ๐ถ๐ต = 0 annehmen.
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Betrachte:
๐ต๐ด = ๐ต๐ด + 0 = ๐ต๐ด + ๐ต๐ถ = ๐ต(๐ด + ๐ถ)
und
๐ด๐ต = ๐ด๐ต + 0 = ๐ด๐ต + ๐ถ๐ต = (๐ด + ๐ถ)๐ต
Aber nun folgt wegen der Voraussetzung ๐ต๐ด โ ๐ด๐ต:
๐ต ๐ด + ๐ถ = ๐ต๐ด โ ๐ด๐ต = (๐ด + ๐ถ)๐ต
Daraus folgt: ๐ด + ๐ถ 2 = 0 (wegen (โ))
Weil ๐ต๐ด โ ๐ด๐ต ๐ดยฒ = 0 und ๐ด๐ถ = ๐ถ๐ด = 0 folgt, dass ๐ถยฒ = 0, denn:
๐ด + ๐ถ 2 = 0 ๐ด2 + ๐ด๐ถ + ๐ถ๐ด + ๐ถ2 = 0 + 0 + 0 + ๐ถ2 = 0
1.2 DEFINITIONEN
Wir sehen, dass es zwei Typen metrischer Strukturen gibt, die die Eigenschaft ๐ด๐ต = 0 ๐ต๐ด =
0 haben.
1) Die Symplektische Geometrie
Hier fordern wir
๐2 = 0 โ ๐ โ ๐ (๐.๐๐)
Ersetzt man den Vektor ๐ durch eine Summe aus Vektoren ๐ + ๐, so erhรคlt man:
(๐ + ๐)2 = ๐2 + ๐๐ + ๐๐ + ๐2 = 0
und deswegen:
๐๐ = โ๐๐ โ ๐,๐ โ ๐ ๐.๐๐
Gleichung (๐.๐๐) zeigt, dass ๐ด๐ต = 0 tatsรคchlich ๐ต๐ด = 0 impliziert. Weil der Kรถrper ๐พ unter
Umstรคnden die Charakteristik 2 hat und es damit ein ๐ โ 0 gibt, so dass trotzdem ๐ = โ๐ gilt,
kรถnnen wir mit dem Spezialfall ๐ = ๐ aus (๐.๐๐) nicht sofort (๐.๐๐) schlieรen.
Sei die Bilinearform โ durch die Gramโsche Matrix ๐บ =
๐11 โฏ ๐1๐
โฎ โฑ โฎ๐๐1 โฏ ๐๐๐
gegeben. Dann gilt in
einer Symplektischen Geometrie
๐๐๐ = 0, ๐๐๐ = โ๐๐๐ ๐.๐๐
da ๐๐๐ = ๐ด๐ โ ๐ด๐ , ๐ด๐ ,๐ด๐ Basisvektoren von V.
Eine solche Bilinearform, fรผr die ๐.๐๐ gilt, heiรt schiefsymmetrisch oder alternierend.
Wenn ๐.๐๐ erfรผllt ist, gilt auch:
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๐2 = ๐๐๐ ๐ฅ๐๐ฅ๐
๐
๐ ,๐=1
= 0
Es wird deutlich, dass ๐.๐๐ notwendige und hinreichende Bedingung fรผr eine Symplektische
Geometrie ist und dass das Untersuchen einer solche Geometrie gleichbedeutend mit dem
Untersuchen von schiefsymmetrischen Bilinearformen ist.
2) Die Orthogonale Geometrie
Wenn ๐ nicht symplektisch ist, aber dennoch die Eigenschaft ๐ด๐ต = 0 ๐ต๐ด = 0 hat, dann gilt
notwendigerweise
๐๐ = ๐๐ โ ๐,๐ โ ๐ ๐.๐๐
Dies ist eine symmetrische Bilinearform.
Einschub: Quadratische Formen
DEFINITION: Eine quadratische Form ist eine Abbildung ๐:๐ โ ๐พ (nicht-linear), die
zwei Bedingungen erfรผllt:
1. ๐ ๐๐ = ๐2๐ ๐ ๐ โ ๐พ, ๐ โ ๐
2. ๐ โ ๐ = ๐ ๐ + ๐ โ ๐ ๐ โ ๐(๐)
Wenn die Charakteristik von ๐พ nicht 2 ist, ist reicht diese Geometrie vรถllig aus, weil die
symmetrischen Bilinearformen in eindeutiger Beziehung zu den quadratischen Formen stehen
und man einfach sagen kann, dass ๐2 die quadratische Form ist, die zu unserer Bilinearform
gehรถrt.
Wenn ๐พ allerdings die Charakteristik 2 hat, dann sind die symmetrischen Bilinearformen nicht
allgemein genug. In diesem Fall beginnt man mit einer beliebigen quadratischen Form ๐(๐)
und definiert die Bilinearform durch
๐ โ ๐ = ๐๐ = ๐ ๐ + ๐ โ ๐ ๐ โ ๐ ๐ ๐.๐๐
Da wegen
๐ โ ๐ = ๐2 = ๐ ๐ + ๐ โ ๐ ๐ โ ๐ ๐
= ๐ 2๐ โ 2๐ ๐ = 22๐ ๐ โ 2๐(๐) = 2๐(๐)
๐ โ ๐ = 2๐(๐) gilt, wird klar, dass
๐ โ ๐ = ๐2 = 0 ๐.๐๐
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gilt (Charakteristik von ๐พ ist 2).
Die eigentliche Bilinearform ist dann symplektisch, denn wenn die Charakteristik 2 ist, dann gibt
es keinen Unterschied zwischen ๐.๐๐ und ๐.๐๐ .
๐ hat also eine Symplektische Geometrie, die durch eine Quadratische Form ergรคnzt wird und
sich auf sie durch ๐.๐๐ bezieht.
Ist die Charakteristik ungleich 2, so gilt ๐ + ๐ 2 = ๐2 + 2๐๐ + ๐2,
ist sie gleich 2, so gilt ๐(๐ + ๐) = ๐ ๐ + ๐(๐)
(z.B. Satz des Pythagoras in der euklidischen Ebene: ๐ + ๐ 2 = ๐2 + ๐2, weil Katheten ๐ und
๐ orthogonal sind)
2 GEMEINSAME EIGENSCHAFTEN VON ORTHOGONALEN UND SYMPLEKTISCHEN GEOMETRIEN
2.1 ORTOGONALE UNTERRรUME UND RADIKAL
In diesem Abschnitt werden wir sowohl orthogonale als auch symplektische Geometrien untersuchen.
In beiden Fรคllen ist die Orthogonalitรคt von Vektoren oder Untervektorrรคumen eindeutig definiert. Ist ๐
ein Unterraum von ๐, dann hat der orthogonale Unterraum ๐โฅ eine eindeutige Bedeutung:
๐โฅ โ ๐ด โ ๐ ๐ด๐ต = 0 โ ๐ต โ ๐}
Die zwei Kerne der Bilinearform sind gleich, sie sind der Raum ๐โฅ .
ker โ = ๐ด โ ๐ ๐ด๐ต = 0 โ ๐ต โ ๐} =โถ ๐โฅ
DEFINITION 3.4: ๐โฅ heiรt Radikal von ๐ und wird mit rad ๐ bezeichnet.
Wenn ๐ ein Unterraum von ๐ ist, dann ist die Bilinearform auf ๐ eingeschrรคnkt vom gleichen Typ wie
sie auch als Bilinearform von ๐ ist โ orthogonal oder symplektisch. ๐ selbst hat ein Radikal, welches
aus den Vektoren von ๐โฅ besteht, die auch in ๐ sind. Mit anderen Worten:
rad ๐ = ๐ โฉ ๐โฅ = ๐ด โ ๐ ๐ด๐ต = 0 โ ๐ต โ ๐}, ๐ โ ๐ ๐.๐๐
DEFINITION 3.5: Ist ๐ die direkte Summe
๐ = ๐1 โ๐2 โ๐3 โโฆโ๐๐ ๐.๐๐
von Unterrรคumen (d.h. jedes ๐ด โ ๐ lรคsst sich eindeutig als Summe von ๐ด๐ โ ๐1
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schreiben), die gegenseitig orthogonal zueinander sind, dann nennt man ๐ die
orthogonale Summe der ๐๐und benutzt das Symbol
๐ = ๐1 โฅ ๐2 โฅ ๐3 โฅ โฏ โฅ ๐๐ ๐.๐๐
Sei ๐ ein Vektorraum, welcher die direkte Summe ๐.๐๐ von Unterrรคumen ๐๐ ist. Es sei eine
geometrische Struktur auf jedem Unterraum gegeben. Dann gibt es einen eindeutigen Weg, diese
Strukturen zu einer von ๐ zu erweitern, so dass ๐ zu einer orthogonale Summe der ๐๐ wird.
Seien
๐ = ๐ด๐
๐
๐=1
, ๐ = ๐ต๐
๐
๐=1
Vektoren von ๐ und ๐ด๐ ,๐ต๐ โ ๐๐ , dann muss man offensichtlich definieren:
๐๐ = ๐ด1๐ต1 + ๐ด2๐ต2 +โฏ+ ๐ด๐๐ต๐ ๐.๐๐
๐.๐๐ definiert eine Bilinearform auf ๐ und ๐ hat eine symplektische bzw. orthogonale Geometrie,
wenn alle Geometrien in den ๐๐ symplektisch bzw. orthogonal sind. Die Geometrie von ๐ induziert auf
jedem ๐๐ seine ursprรผngliche Geometrie und ๐๐ und ๐๐ sind orthogonal fรผr ๐ โ ๐.
Sei ๐ = ๐1 + ๐2 + ๐3 +โฏ+ ๐๐ ,๐๐ orthogonal zu ๐๐ fรผr ๐ โ ๐, aber sei die Summe nicht direkt. Sei
auรerdem
๐ = ๐ด๐
๐
๐=1
,๐ด๐ โ ๐๐
und nimm an, dass ๐ โ rad ๐ = ๐ถ โ ๐ ๐ถ๐ท = 0 โ ๐ท โ ๐}, also ๐๐ถ = 0 โ ๐ถ โ ๐, insbesondere also
๐๐ต๐ = 0 โ ๐ต๐ โ ๐๐ , dann ist entweder ๐ด๐๐ต๐ = 0 bzw. ๐ด๐ โ rad ๐๐ :
๐ด1 + ๐ด2+. . +๐ด๐ + โฏ+ ๐ด๐ ๐ต๐ = ๐ด1๐ต๐ + ๐ด2๐ต๐ +โฏ+ ๐ด๐๐ต๐ โฆ+ ๐ด๐๐ต๐ = ๐ด๐๐ต๐ = 0
Umgekehrt: Wenn jedes ๐ด๐ โ rad ๐๐ ist, dann ist ๐ โ rad ๐. In anderen Worten: Wenn die ๐๐
gegenseitig orthogonal zueinander sind, dann ist
rad ๐ = rad ๐1 + rad ๐2 +โฏ+ rad ๐๐ ๐.๐๐
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2.2 NICHT-SINGULรRE UNTERRรUME
(Ein Vektorraum ๐ ist nicht-singulรคr, falls rad ๐ = 0.)
Sollte jeder Unterraum ๐๐ im obigen Fall nicht-singulรคr sein, dann folgt sofort, dass rad ๐ = 0 und ๐
nicht-singulรคr ist.
In diesem Fall ist die Summe doch direkt:
In der Tat kรถnnen wir annehmen: Falls
๐ = ๐ด๐
๐
๐=1
= 0
(damit ist ๐ โ rad ๐, da ๐ der Nullvektor ist)
erhalten wir, dass ๐ด๐๐ต๐ = 0 fรผr jedes beliebige ๐ต๐ โ ๐๐ . Deshalb sind alle ๐ด๐ โ rad ๐๐ = 0.
Wenn jedes ๐๐ nicht-singulรคr ist, kรถnnen wir deswegen ๐.๐๐ schreiben.
Betrachte nun den Unterraum rad ๐ von ๐ und sei ๐ ein rad ๐ zu ๐ ergรคnzender Untervektorraum
(komplementรคrer Unterraum), also
๐ = rad ๐ โ๐;
rad ๐ ist orthogonal zu ๐ und deswegen auch zu ๐ und wir bekommen
๐ = rad ๐ โฅ ๐ ๐.๐๐
Wir folgern
rad ๐ = rad rad ๐ โฅ rad ๐ = rad ๐ โฅ rad ๐
Weil die letzte Summe direkt ist, muss rad ๐ = 0. ๐ ist deswegen nicht-singulรคr.
Bemerkung:
Die Geometrie auf ๐ induziert im Allgemeinen keine Geometrie auf einem Quotientenraum. Allerdings
tut sie dies fรผr den Quotientenraum ๐ rad ๐ . Auf natรผrliche Art und Weise wird definiert:
๐๐ = ๐ + rad ๐ โ ๐ + rad ๐ ๐.๐๐
2.3 ISOMETRIEN
(Eine Isometrie ist ein Isomorphismus, der der die geometrische Struktur bzw. Metrik erhรคlt.)
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SATZ 3.3: Jeder Raum ๐, der rad ๐ zu ๐ ergรคnzt, hat eine orthogonale Aufteilung ๐.๐๐ zur
Folge. ๐ ist nicht-singulรคr und kanonisch isometrisch zu ๐ rad ๐ .
DEFINITION (UND SATZ) 3.6:
Sei ๐ = ๐1 โฅ ๐2 โฅ ๐3 โฅ โฏ โฅ ๐๐ , ๐โฒ = ๐โฒ1 โฅ ๐โฒ2 โฅ ๐โฒ3 โฅ โฏ โฅ ๐โฒ๐ orthogonale
Zerlegung zweier Vektorrรคume ๐ und ๐โฒ und nimm an, dass es eine Isometrie ๐๐
von ๐๐ nach ๐๐โฒ gibt fรผr alle ๐. Wenn
๐ = ๐ด๐
๐
๐=1
,๐ด๐ โ ๐๐
ein Vektor von ๐ ist, dann kann man eine Abbildung ๐:๐ โ ๐โฒ durch
๐๐ = ๐1๐ด1 + ๐2๐ด2 +โฏ+ ๐๐๐ด๐ ๐.๐๐
definieren, die eine Isometrie ist und mit
๐ = ๐1 โฅ ๐2 โฅ โฏ โฅ ๐๐ ๐.๐๐
bezeichnet werden soll.
Wir nennen dies die orthogonale Summe der Abbildungen ๐๐ .
Beweis:
โmetrik-erhaltendโ
Zu zeigen ๐๐ = ๐ ๐ ๐ ๐
Linke Seite: ๐๐ = ๐ด๐๐๐=1 โ ๐ต๐
๐๐=1 = ๐ด๐๐ต๐
๐๐ ,๐=1
Rechte Seite: ๐ ๐ ๐ ๐ = ๐๐๐ด๐๐๐=1 โ ๐๐๐ต๐
๐๐=1 = ๐๐๐ด๐๐๐๐ต๐
๐๐ ,๐=1 = ๐ด๐๐ต๐
๐๐ ,๐=1
zur Isomorphie: โinjektivโ
Sei ๐ ๐ = 0. Zu zeigen ๐ = 0
๐ ๐ = ๐ ๐ด1 + ๐ด2 + โฏ+ ๐ด๐ = ๐1 ๐ด1 +โฏ+ ๐๐ ๐ด๐ = 0
Weil die ๐โฒ๐ senkrecht sind (Voraussetzung.: ๐โฒ = ๐โฒ1 โฅ ๐โฒ2 โฅ ๐
โฒ3 โฅ โฏ โฅ ๐โฒ ๐ ), muss
jeder Summand 0 sein
die ๐๐ sind injektiv ๐ด๐ = 0 โ๐ ๐ = 0.
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โsurjektivโ
๐โฒ โ ๐โฒ โ ๐1 ๐ด1 + โฏ+ ๐๐ ๐ด๐ = ๐ ๐ด1 + ๐ด2 +โฏ+ ๐ด๐
dann ist ๐ด1 + ๐ด2 +โฏ+ ๐ด๐ = ๐.
SATZ 3.4: Sei ๐ = ๐1 โฅ ๐2 โฅ ๐3 โฅ โฏ โฅ ๐๐ und jedes ๐๐ eine Isometrie von ๐๐ nach ๐๐ . Dann ist
die orthogonale Summe ๐ = ๐1 โฅ ๐2 โฅ โฏ โฅ ๐๐ eine Isometrie von ๐ nach ๐ und
man erhรคlt:
det๐ = det ๐1 โ det๐2 โ โฆ โ det๐๐ ๐.๐๐
Ist ๐ = ๐1 โฅ ๐2 โฅ โฏ โฅ ๐๐ , wobei ๐๐ ebenfalls Isometrien von ๐๐ nach ๐๐ sind, so gilt:
๐๐ = ๐1๐1 โฅ ๐2๐2 โฅ โฏ โฅ ๐๐๐๐ ๐.๐๐
Beweis: ๐ =
๐1
โฑ ๐๐
mit den Blรถcken, die berรผcksichtigen, dass die ๐๐ auf den ๐๐
operieren. Dann ist nach LinA 1: det๐ = det๐1 โ det๐2 โ โฆ โ det๐๐
Sei ๐ = ๐ด1 + ๐ด2 +โฏ+ ๐ด๐ . Dann ist
๐ ๐ ๐ = ๐ ๐ ๐ด1 + ๐ด2 + โฏ+ ๐ด๐ = ๐ ๐1(๐ด1) + ๐2(๐ด2) +โฏ+ ๐๐(๐ด๐)
= ๐1 ๐1 ๐ด1 + ๐2 ๐2 ๐ด2 +โฏ+ ๐๐ ๐๐ ๐ด๐
SATZ 3.5: Sei ๐ ein nicht-singulรคrer Vektorraum, sprich rad ๐ = 0, und sei ๐ irgendein
Unterraum von ๐. Dann gilt immer:
dim๐ + dim๐โฅ = dim๐ , ๐โฅโฅ
= ๐ ๐.๐๐
rad ๐ = rad ๐โฅ = ๐ โฉ ๐โฅ ๐.๐๐
Der Unterraum ๐ ist nicht-singulรคr ๐โฅ ist nicht-singulรคr. Ist ๐ nicht-singulรคr, dann
gilt: ๐ = ๐ โฅ ๐โฅ ๐.๐๐
Wenn ๐ = ๐ โฅ ๐, dann sind ๐ und ๐ nicht-singulรคr und ๐ = ๐โฅ .
Beweis:
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Da der Kern der Bilinearform 0 ist, folgt ๐.๐๐ aus der allgemeinen Theorie
der Bilinearformen.
๐.๐๐ und ๐.๐๐ implizieren ๐.๐๐ :
๐ โ ๐โฅ Dann gelten: rad ๐โฅ = ๐โฅ โฉ ๐โฅ โฅ = ๐โฅ โฉ ๐
und rad ๐ = ๐ โฉ ๐โฅ
Wenn ๐ nicht-singulรคr ist, dann zeigt ๐.๐๐ , dass ๐โฅ nicht-singulรคr ist und
dass die Summe ๐ + ๐โฅ direkt ist, da der Schnitt leer ist.
Weil die Dimensionen gleich sind, erhรคlt man ๐.๐๐ .
Ist ๐ = ๐ โฅ ๐, dann ist ๐ โ ๐โฅ und dim๐ = dim๐ โ dim๐ = dim๐โฅ;
deswegen ist ๐ = ๐โฅ und rad ๐ = ๐ โฉ ๐โฅ = 0.
2.4 ISOTROPE VEKTORRรUME
DEFINITION 3.7: Ein Vektorraum heiรt isotrop, falls alle Produkte zwischen zwei Vektoren 0 sind. Der
Null-Vektorraum und das Radikal eines Vektorraums sind Beispiele fรผr isotrope
Vektorrรคume.
Ein Vektor ๐ด heiรt isotrop, falls ๐ด2 = 0. In einer Symplektischen Geometrie ist jeder
Vektor isotrop.
SATZ 3.6: Sei ๐ ein Vektorraum mit einer Orthogonalen Geometrie und nimm an, dass jeder
Vektor von ๐ isotrop ist. Dann ist ๐ isotrop.
Beweis: Unter unserer Annahme ist die Geometrie orthogonal und symplektisch. Es gilt
deswegen:
๐๐ = โ๐๐ = ๐๐
Das impliziert, dass ๐๐ = 0, da wir annehmen, dass in einer Orthogonalen Geometrie
die Charakteristik des Kรถrpers nicht 2 ist.
Der folgende Spezialfall spielt eine besondere Rolle in der allgemeinen Theorie (Motivation fรผr den nรคchsten Unterabschnitt):
Wir nehmen an:
dim๐ = 2 ๐ nicht-singulรคr (sprich rad ๐ = 0)
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โ ๐ โ ๐ wobei ๐ โ 0 isotrop (sprich ๐2 = 0)
Wenn ๐ด irgendein Vektor ist, der nicht im von ๐ aufgespannten Unterraum < ๐ > , dann wird ๐ von
๐ด und ๐ aufgespannt und es gilt: ๐ = < ๐,๐ด >.
Wir versuchen nun einen anderen isotropen Vektor ๐ zu bestimmen, so dass gilt: ๐๐ = 1 und
๐2 = 0 (fรผr die Isotropie).
Setze ๐ = ๐ฅ๐ + ๐ฆ๐ด (๐ฅ, ๐ฆ โ ๐พ), dann ist ๐๐ = ๐ฆ๐๐ด, denn:
๐๐ = ๐ ๐ฅ๐ + ๐ฆ๐ด = ๐ฅ๐2 + ๐ฆ๐๐ด = 0 + ๐ฆ๐๐ด = ๐ฆ๐๐ด
Wรคre ๐๐ด = 0, dann wรคre ๐ โ rad ๐. Dies ist aber ein Widerspruch, denn wir haben angenommen,
dass ๐ nicht-singulรคr ist.
Deswegen ist ๐๐ด โ 0 und wir kรถnnen ๐ฆ eindeutig bestimmen, so dass ๐๐ = 1 ist.
Im symplektischen Fall gilt ๐2 = 0 automatisch, so dass jedes ๐ฅ mรถglich ist.
Hat ๐ eine Orthogonale Geometrie, muss ๐ฅ bestimmt werden:
Da:
๐2 = ๐ฅ๐ + ๐ฆ๐ด 2 = ๐ฅ2๐2 + 2๐ฅ๐ฆ๐๐ด+ ๐ฆ2๐ด2 = 2๐ฅ๐ฆ๐๐ด+ ๐ฆ2๐ด2
folgt:
๐2 = 0 โบ 2๐ฅ๐ฆ๐๐ด+ ๐ฆ2๐ด2 = 0
bzw.:
๐2 = 0 โบ ๐ฅ =โ๐ฆ2๐ด2
2๐ฆ๐๐ด
Diese eindeutige Bestimmung von ๐ฅ ist mรถglich, da 2๐ฆ๐๐ด โ 0.
Wir haben nun also fรผr beide Geometrien
๐ = < ๐,๐ >
๐2 = ๐2 = 0
๐๐ = 1
Andersherum:
Wenn ๐ = < ๐,๐ > eine Ebene ist, kรถnnen wir auf ihr eine Geometrie einrichten, die durch die
Bilinearform mit Gramโscher Matrix G gegeben ist, fรผr die gilt:
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๐11 = ๐22 = 0
๐12 = 1
๐21 = 1 im orthogonalen Fall und ๐21 = โ1 im symplektischen Fall
(zur Erinnerung: ๐๐ = ๐๐ bei orthogonaler, ๐๐ = โ๐๐ bei symplektischer Geometrie.
Dann gilt auf jeden Fall ๐2 = ๐2 = 0 und ๐๐ = 1
sowie ๐บorthogonal = 0 11 0
bzw. ๐บsymplektisch = 0 1โ1 0
Betrachte nun einen Vektor ๐ โ ๐, dann lรคsst sich ๐ schreiben als ๐ = ๐ฅ๐ + ๐ฆ๐ (๐ฅ,๐ฆ โ ๐พ).
Ist ๐ โ rad ๐, dann ist:
๐๐ = 0 und ๐๐ = ๐ฅ๐ + ๐ฆ๐ ๐ = ๐ฅ๐๐ + ๐ฆ๐2 = ๐ฅ. Also ist dann ๐ฅ = 0.
๐๐ = 0 und ๐๐ = ๐ ๐ฅ๐ + ๐ฆ๐ = ๐ฅ๐2 + ๐ฆ๐๐ = ๐ฆ. Also ist dann ๐ฆ = 0.
Daraus folgt, dass ๐ nicht-singulรคr ist, da nur ๐ = 0๐ + 0๐ = 0 โ rad ๐ ist.
Nimm nun an, dass ๐ = < ๐,๐ > eine orthogonale Geometrie hat. ๐ = ๐ฅ๐ + ๐ฆ๐ist isotrop, wenn
๐2 = 2๐ฅ๐ฆ = 0, da ๐2 = ๐ฅ๐ + ๐ฆ๐ 2 = ๐ฅ2๐2 + 2๐ฅ๐ฆ๐๐ + ๐ฆ2๐2 = 2๐ฅ๐ฆ. Daraus lรคsst sich folgern:
๐ฆ = 0, dann ist ๐ = ๐ฅ๐ oder aber
๐ฅ = 0, dann ist ๐ = ๐ฆ๐
2.5 HYPERBOLISCHE EBENEN UND RรUME
DEFINITION 3.7: Eine nicht-singulรคre Ebene, die einen isotropen Vektor enthรคlt, heiรt hyperbolische
Ebene. Sie kann immer durch ein Paar von Vektoren ๐,๐ aufgespannt werden, fรผr
die gilt:
๐2 = ๐2 = 0, ๐๐ = 1
Man nennt ein solches geordnetes Paar ๐,๐ hyperbolisches Paar. Wenn ๐ eine
nicht-singulรคre Ebene mit einer Orthogonalen Geometrie ist und ๐ โ 0 ein isotroper
Vektor von ๐, dann gibt es genau ein ๐ in ๐, so dass ๐,๐ ein hyperbolisches Paar
ist. Die Vektoren ๐ฅ๐ und ๐ฆ๐ sind die einzigen isotropen Vektoren von ๐.
DEFINITION 3.9: Eine orthogonale Summe von hyperbolischen Ebenen ๐1,๐2,๐3,โฆ ,๐๐ heiรt
hyperbolischer Raum: ๐ป2๐ = ๐1 โฅ ๐2 โฅ โฏ โฅ ๐๐ .Er ist nicht-singulรคr und hat die
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Dimension 2๐.
Man nennt einen Raum irreduzibel, wenn er nicht als orthogonale Summe von geeigneten
Unterrรคumen geschrieben werden kann. Wegen ๐.๐๐ ("๐ = rad ๐ โฅ ๐") kรถnnen wir sehen, dass
ein irreduzibler Raum notwendigerweise entweder nicht-singulรคr (dann ist rad ๐ = 0, und dann ist
๐ = ๐) oder isotrop sein muss (dann ist rad ๐ = ๐). Ist er isotrop, dann ist seine Dimension 1 da jede
direkte Zerlegung eines isotropen Raumes auch eine orthogonale Zerlegung ist.
Um den nicht-singulรคren Fall zu diskutieren, unterscheiden wir zwei Fรคlle:
1) Orthogonale Geometrie: Wegen Satz 3.6 muss ๐ einen nicht-isotropen Vektor ๐ด enthalten. Der
von ๐ด aufgespannte Unterraum ๐ =< ๐ด > ist nicht-singulรคr und ๐.๐๐ zeigt, dass ๐โฅ = 0
und dim๐ = 1.
2) Symplektische Geometrie: Sei ๐ โ 0 ein beliebiger Vektor von ๐. Weil rad ๐ = 0, gibt es ein
๐ด โ ๐, so dass ๐๐ด โ 0. Die Ebene ๐ = < ๐,๐ด > ist nicht-singulรคr und ๐.๐๐ zeigt wieder,
dass ๐โฅ = 0 und ๐ = ๐.
SATZ 3.7: Ein Raum mit einer Orthogonalen Geometrie ist eine orthogonale Summe der
Geraden:
๐ =< ๐ด1 > โฅ < ๐ด2 > โฅ โฏ โฅ< ๐ด๐ >
Die ๐ด๐ werden orthogonale Basis von ๐ genannt.
๐ ist nicht-singulรคr kein ๐ด๐ ist isotrop.
Ein nicht-singulรคrer symplektischer Raum ist eine orthogonale Summe von
hyperbolischen Ebenen, mit anderen Worten ist er ein hyperbolischer Raum. Seine
Dimension ist immer gerade.
2.6 FORTSETZUNGEN VON ISOMETRIEN UND DER SATZ VON WITT
SATZ 3.8:
๐ nicht-singulรคr, ๐ ein Unterraum von V
๐ = rad ๐ โฅ ๐
๐1,๐2,โฆ ,๐๐ sei eine Basis von rad ๐
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1) Wir kรถnnen Vektoren ๐1,๐2 ,โฆ ,๐๐ โ ๐ finden, so dass ๐๐ ,๐๐ ein hyperbolisches Paar ist und
die hyperbolischen Ebenen ๐๐ =< ๐๐ ,๐๐ > sind orthogonal zueinander und orthogonal zu ๐.
๐ enthรคlt deswegen einen nicht-singulรคren Raum
๐ = ๐1 โฅ ๐2 โฅ โฏ โฅ ๐๐ โฅ ๐
welcher wiederum ๐ enthรคlt.
2) Sei ๐:๐ โ ๐โฒ mit ๐โฒ nicht-singulรคr. Dann kรถnnen wir ๐ zu einer Isometrie ๐ :๐ โ ๐โฒ fortsetzen.
Beweis:
zu 1) IND.-ANF.: Fรผr ๐ = 0 klar.
Sei ๐0 โ < ๐1,๐2 ,โฆ ,๐๐โ1 > โฅ ๐.
๐0 โฅ ๐๐ aber ๐๐ โ ๐0 ๐๐ โ ๐0โฅ und ๐๐ โ rad ๐0
โฅ = rad ๐0 = < ๐1,๐2,โฆ ,๐๐โ1 >
๐๐ โ rad ๐0โฅ โ ๐ด โ ๐0
โฅ mit ๐๐๐ด โ 0
die Ebene < ๐๐ ,๐ด > ist nicht-singulรคr und < ๐๐ ,๐ด > โ ๐0โฅ
๐๐ ,๐๐ lรคsst sich finden, also ex. hyperbolische Ebenen ๐๐ =< ๐๐ ,๐๐ >
da ๐๐ โ ๐0โฅ ๐0 โฅ ๐๐ ๐0 โ ๐๐
โฅ (nicht-singulรคr)
dim rad ๐0 = ๐ โ 1
Induktion:
๐1 = < ๐1,๐2,โฆ ,๐๐โ2 >โฅ ๐ ๐๐โ1 =< ๐๐โ1 ,๐๐โ1 >
๐0 โฅ ๐๐ โฅ ๐ = ๐1 โฅ ๐๐โ1 โฅ ๐๐ โฅ ๐
๐1 โฅ ๐๐โ1 โฅ ๐๐ โฅ ๐ = ๐2 โฅ ๐๐โ2 โฅ ๐๐โ1 โฅ ๐๐ โฅ ๐
โฆ
๐ โ ๐๐ = ๐1 โฅ ๐2 โฅ โฏ โฅ ๐๐ โฅ ๐
zu 2) Da ๐ Isometrie, wird die geometrische Struktur, die es zulรคsst, ๐ zu ๐ zu
konstruieren, nach ๐โฒ vererbt. Dort ist dann auch, wie oben, die Konstruktion von ๐ โฒ
mรถglich. Die Isometrie ๐ bildet ๐๐ und ๐๐ entsprechend auf die ๐๐โฒ und ๐๐ โฒ ab.
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SATZ 3.9: (Satz von Witt)
๐,๐โฒ nicht singulรคre Vektorrรคume
๐ ein Unterraum von V
๐:๐ โ ๐โฒ eine Isometrie
๐:๐ โ ๐โฒ eine Isometrie
Dann kann ๐ zu einer Isometrie von ๐ nach ๐โฒ fortgesetzt werden.
Beweis:
1. Betrachte nur nicht-singulรคre Unterrรคume, denn nach Satz 3.8 lรคsst sich aus jedem ๐ ein ๐
konstruieren, welches nicht singulรคr ist und es ein ๐ gibt, so dass ๐ und ๐โฒ isometrisch sind.
2. Symplektische Geometrie:
Da ๐ nicht-singulรคr ist, lรคsst sich ๐schreiben als ๐ = ๐ โฅ ๐โฅ . Da rad ๐ = 0 folgt rad ๐โฅ = 0,
deswegen ๐โฒ = ๐โฒ โฅ ๐โฒโฅ .
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Bleibt zu zeigen: Es gibt Isometrie zwischen ๐โฅ und ๐โฒโฅ .
Da es Isometrie ๐ zwischen ๐ und ๐โฒ gibt, gilt:
dim๐ = dim๐โฒ dim๐ + dim๐โฅ = dim๐โฒ+ dim๐โฒโฅ
Es Isometrie ๐ zwischen ๐ und ๐โฒ gibt, gilt:
dim๐ = dim๐โฒ dim๐โฅ = dim๐โฒ โฅ
noch zu zeigen: ๐โฅ ,๐โฒโฅ sind nicht-singulรคr.
Annahme: Sie sind es. Dann gilt: rad ๐โฅ โ 0 โ rad ๐โฒโฅ
. Daraus folgt: rad ๐ โ 0. Widerspruch!
๐โฅ ,๐โฒโฅ sind also nicht-singulรคr, auรerdem symplektische Geometrie, nach Satz 3.7 lassen sich
die Rรคume also in hyperbolische Rรคume umwandeln:
A
lso ist die gesuchte Isometrie ๐ .
3. Orthogonale Geometrie
Annahme: Satz gilt fรผr Unterrรคume mit kleinerer Dimension als die von ๐, d.h. man kann
๐:๐ โ ๐๐๐ . โ ๐โฒ fortsetzen.
Nimm an: ๐ = ๐1 โฅ ๐2 und ๐1,๐2 sind echte Unterrรคume von ๐. Sei ๐1โฒ โ ๐(๐1) und
๐:๐1 โ ๐1โฒ , d.h. ๐ โก ๐ ๐1
. Dann kann ๐:๐ โ ๐โฒ nach Annahme fortgesetzt werden, da ๐1
kleinere Dimension hat als ๐.
Der Raum ๐1โฅ wird dabei genauso in den Raum ๐1
โฒโฅ abgebildet. Das bedeutet, dass ๐1โฅ und ๐1
โฒโฅ
isometrisch sind.
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๐ bildet ๐2 (orthogonal zu ๐1nach Zerlegung) nach ๐1โฒโฅ ab (beachte dabei ๐(๐2) โ ๐1
โฒโฅ). Dann
kann diese Abbildung wieder fortgesetzt werden, da dim๐2 < dim๐. Wir nennen diese
Fortsetzung ๐: ๐1โฅ โ ๐1
โฒโฅ . Die gesuchte โGesamtfortsetzungโ ist dann ๐ โฅ ๐.
4. Bleibt der Fall, dass ๐ nicht-singulรคr und irreduzibel ist, d.h. es ist keine orthogonale Zerlegung
mรถglich. Sei dementsprechend ๐ =< ๐ด > eine Gerade und ๐ด2 โ 0, da ๐ nicht-singulรคr ist. Sei
๐ถ = ๐ ๐ด , dann gilt ๐ถ2 = ๐ด2, da ๐ Isometrie ist und die Lรคnge erhalten bleibt. Wir erinnern
uns: Es gibt Isometrie ๐:๐ โ ๐ โฒ . Dann โ!๐ต โ ๐ โถ ๐ ๐ต = ๐ถ.
Wir wollen ๐ด2 = ๐ต2. Wenn wir eine Isometrie ๐ von ๐ nach ๐ finden, die ๐ด nach ๐ต abbildet,
dann ist ๐ โ ๐ die gesuchte Isometrie ๐ โ ๐โฒ, die ๐ด nach ๐ถ abbildet.
Konstruktion von ๐:
Da ๐ด2 = ๐ต2 gelten soll, gilt: ๐ด2 โ ๐ต2 = 0 = ๐ด + ๐ต (๐ด โ ๐ต), d.h. (๐ด + ๐ต) und (๐ด โ ๐ต) sind
orthogonal. Sie kรถnnen nicht beide isotrop sein, denn: 2๐ด = ๐ด + ๐ต + (๐ด โ ๐ต) ist nicht
isotrop.
Sei o.B.d.A. ๐ด โ ๐ต der nicht-isotrope Vektor.
Da ๐ด + ๐ต und ๐ด โ ๐ต orthogonal zueinander sind, gehรถrt ๐ด + ๐ต zu der Hyperebene
๐ป =< ๐ด โ ๐ต >โฅ .
Dann ist < ๐ด โ ๐ต > โฅ < ๐ด โ ๐ต >โฅ = ๐
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Sei ๐ฃ โ ๐ und
๐ ๐ฃ = ๐ฃ, falls ๐ฃ โ < ๐ด โ ๐ต >โฅ โ๐ฃ, falls ๐ฃ โ < ๐ด โ ๐ต >
Dann ist:
๐ ๐ด + ๐ต = ๐ด + ๐ต,
๐ ๐ด โ ๐ต = โ๐ด + ๐ต
Addiert man beide Gleichungen erhรคlt man:
๐ ๐ด + ๐ต + ๐ ๐ด โ ๐ต = ๐ด + ๐ต โ ๐ด + ๐ต
2๐ ๐ด = 2๐ต
๐ ๐ด = ๐ต
Ist ๐ด + ๐ต der isotrope Vektor, dann ๐ ๐ด = โ๐ต. Nimm Abbildung ๐:๐ โ ๐,๐ โผ
โ๐(offensichtlich eine Isometrie) und ๐ ๐ ๐ด = ๐ต (fertig.)
DEFINITION: Ein isotroper Untervektorraum ๐ heiรt maximal isotrop, wenn ๐ kein echter
Unterraum eines anderen isotropen Untervektorraums von ๐ ist.
SATZ 3.10: Alle maximalen isotropen Unterrรคume von einem nicht-singulรคren Raum ๐ haben
dieselbe Dimension ๐. ๐ heiรt Index von ๐.
Beweis: Seien ๐1 ,๐2 maximal isotrope Unterrรคume mit dim๐1 โค dim๐2. Dann kรถnnen wir
eine injektive lineare Abbildung von ๐1 nach ๐2 finden. Da ๐1 ,๐2 beide isotrop sind,
dann gibt es eine Isometrie zwischen beiden. Wegen Satz von Witt folgt, dass diese
Isometrie zu einer Isometrie ๐:๐ โ ๐ fortgesetzt werden kann. ๐ ๐1 โ ๐2 und
deswegen ๐1 โ ๐โ1 ๐2 . Der Raum ๐โ1 ๐2 ist wieder isotrop. Da ๐1 aber maximal
isotrop ist, folgt ๐1 = ๐โ1 ๐2 . Dies zeigt, dass dim๐1 = dim๐2.
SATZ 3.11: Die Dimension eines maximal Hyperbolischen Unterraums ist 2๐, wobei ๐ der Index
von ๐ ist.
KOROLLAR: (Kรผrzungssatz von Witt)
๐ und ๐ โฒ isometrisch
๐ ist nicht-singulรคr
๐ ein Unterraum von ๐
๐ und ๐โฒ โ ๐โฒ isometrisch
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Dann folgt:
๐โฅ und ๐โฒโฅ isometrisch.
Beweis: Die Isometrie von ๐ nach ๐โฒ lรคsst sich nach Satz von Witt fortsetzen zu einer
Isometrie von ๐ nach ๐โฒ. Diese Isometrie bildet auch von ๐โฅ nach ๐โฒโฅ ab.
KOROLLAR (SATZ 3.12): ๐ ist nicht-singulรคr. ๐1 ,๐2 isometrische Unterrรคume von ๐ ๐1
โฅ ,๐2โฅ sind
isometrisch.
Beweis: Es gibt Isometrie von ๐ ๐, nรคmlich ๐๐. Sei ๐:๐ โ ๐ die Isometrie zwischen ๐1 und ๐2
fortgesetzt. Deswegen bildet ๐ auch ๐1โฅ nach ๐2
โฅ ab.
2.7 DREHUNGEN UND SPIEGELUNGEN
SATZ 3.13: Sei ๐ = < ๐1 ,๐1 >โฅ< ๐2 ,๐2 >โฅ โฏ โฅ< ๐๐ ,๐๐ > ein hyperbolischer Raum
und ๐:๐ โ ๐ Isometrie wobei ๐ ๐๐ = ๐๐ fรผr alle ๐๐ . Dann ist ๐ eine Rotation und es
gilt:
๐ ๐๐ = ๐๐ , ๐ ๐๐ = ๐๐๐๐๐ +๐๐
๐
๐=1
Die Matrix (๐๐๐ ) ist symmetrisch, wenn die Geometrie symplektisch ist und
schiefsymmetrisch, wenn sie orthogonal ist.
Beweis: (fรผr den Spezialfall ๐ = 1)
Dann ist โฌ = {๐,๐} die Basis von ๐.
๐ ๐ = ๐
๐ ๐ = ๐๐ + ๐๐
Da ๐ hyperbolischer Raum, gilt:
0 = ๐ ๐ 2
= ๐2๐2 + 2๐๐๐๐ + ๐2๐2 = 2๐๐
1 = ๐ ๐ โ ๐ ๐ = ๐๐ + ๐๐ โ ๐ = ๐
Aus ๐ = 1 folgt: ๐ = 0.
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Daher ist ๐ ๐ = ๐ und die Matrix ๐๐๐ = 1 00 1
, det ๐๐๐ = 1, daher Rotation.
Fรผr den allgemeinen Fall genauso, Matrix ๐ด hat dann die Form:
1โฑ
โฑ1
๐
0
1โฑ
โฑ1
und det๐ด = 1, daher Rotation.
BEZEICHNUNG: Die Abbildung ๐๐:๐ โ ๐,๐ โฆ ๐ wird mit ๐ bezeichnet.
Die Abbildung ๐:๐ โ ๐,๐ โฆ โ๐ wird mit โ ๐ bezeichnet.
DEFINITION: Eine Isometrie ๐ eines nicht-singulรคren Raum ๐ heiรt Involution, wenn ๐2 = ๐.
SATZ 3.14: Wenn ๐โ๐๐(๐พ) โ 2, dann ist jede Involution von der Form โ๐๐ โฅ ๐๐ .
Beweis: Nimm an dass ๐2 = ๐. Dann gilt: ๐๐ = ๐ ๐ ๐(๐) [Isometrieeigenschaft] und
๐ ๐ โ ๐ = ๐2 ๐ โ ๐ ๐ = ๐ ๐ = ๐ โ ๐(๐)
Daraus folgt: ๐ ๐ โ ๐ โ ๐ ๐ + ๐ = ๐ ๐ ๐ ๐ + ๐ ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ โ ๐๐ = 0
Deswegen sind ๐ = ๐ ๐ โ ๐ und ๐ = ๐ ๐ + ๐ orthogonal zueinander.
Ein Vektor ๐ ๐ โ ๐ aus ๐ wird auf seinen Gegenvektor abgebildet, ein Vektor +
๐ ๐ + ๐ wird auf sich selbst abgebildet. Daraus folgt, dass ๐ โฉ๐ = 0. Weil jeder
Vektor ๐ geschrieben werden kann als ๐ = โ1
2 ๐ ๐ โ ๐ +
1
2 ๐(๐ + ๐) gilt:
๐ = ๐ โฅ ๐ und ๐ = โ๐๐ โฅ ๐๐ .
DEFINITION 3.10: Sei ๐โ๐๐(๐พ) โ 2. Wenn ๐ = โ๐๐ โฅ ๐๐ und ๐ = dim๐ ist, dann nennen wir ๐ den
Typ der Involution ๐. Es gilt dann det๐ = โ1 ๐ . Weil ๐ nicht-singulรคr sein muss, ist
der Typ ๐ eine gerade Zahl, wenn ๐ symplektisch ist. Wenn ๐ orthogonal ist, dann
kann ๐ irgendeine Zahl โค ๐ = dim๐ sein. Eine Involution vom Typ ๐ = 1 wird
Symmetrie in Bezug zur Hyperebene ๐ genannt (Spiegelung). Eine Involution des
Typs 2 ist eine 180ยฐ Rotation (Drehung).
22
Der Grund fรผr die Benennung Symmetrie sollte klar sein: ๐ =< ๐ด > ist eine nicht-singulรคre Gerade,
๐โฅ = ๐ eine nicht-singulรคre Hyperebene und das Bild eines Vektors ๐ฅ๐ด + ๐ต (mit ๐ต โ ๐) ist
โ ๐ฅ๐ด + ๐ต. Der folgende Satz charakterisiert die Isometrien ยฑ๐๐ .
SATZ 3.15:
๐ nicht-singulรคr
๐:๐ โ ๐ Isometrie, welche alle Geraden von ๐ festhรคlt
Dann ๐ = ยฑ๐๐
Beweis:
Wenn ๐ die Gerade < ๐ > festhรคlt, dann ๐ ๐ = ๐ โ ๐ und fรผr ein ๐ โ < ๐ > haben wir: ๐ ๐ =
๐ ๐๐ = ๐ ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐.
Dieses ๐ kann immer noch von der Gerade < ๐ > abhรคngen, wenn ๐ jeder Gerade von ๐ festhรคlt.
Wenn < ๐ > und < ๐ > verschiedene Geraden sind, dann sind ๐ und ๐ linear unabhรคngige Vektoren.
Wir haben einerseits
๐ ๐ + ๐ = ๐ + ๐ โ ๐
und andererseits
๐ ๐ + ๐ = ๐ ๐ + ๐ ๐ = ๐ โ ๐ + ๐ โ ๐
Ein Vergleich zeigt: ๐ = ๐ = ๐ und dann gilt: ๐ ๐ = ๐ โ ๐ mit demselben ๐ fรผr alle ๐.
Seien ๐,๐ Vektoren, so dass gilt: ๐๐ โ 0, dann ๐๐ = ๐ ๐ ๐ ๐ = ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ = ๐๐ โ ๐2. Daraus
folgt: ๐2 = 1. Also ist ๐ = ยฑ1.
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