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DIE SPRACHE DER MATHEMATIK

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- Sprache der Philosophie - Sprache der Chemie - Sprache der Mathematik

Mathematiker reden in Metaphern

Analogie: A : B ist wie C : D

Die Jugend verhält sich zum Alter wie der Frühling zum Herbst.

Metapher: A = C und B = D

Die Jugend ist der Frühling und das Alter ist der Herbst.

Metaphern sind Worte mit übertragener Bedeutung(d.h. mit einer Bedeutung, die aus einem anderen Bereich stammt).

Praktisch alle Worte in der Mathematik sind Metaphern.

Wurzel, Baum, Fläche, Potenz, …

teilen, kürzen, erweitern, abrunden, …

ganz, reell, ähnlich, klein, …

Tangente, Funktion, Maximum, …

multiplizieren, differenzieren, integrieren, …

rational, negativ, prim, …

Ellipse, Hyperbel, Parabel, …

Auch Redewendungen der Mathematik sind Metaphern.

Die Wurzel ziehen

Eine Figur abbilden

Glieder zusammenfassen

Ein Rechteck aufspannen

A ist in B enthalten

Die metaphorische Sprache ist für die Mathematik unentbehrlich.

Wurzel …………….... TaxribZahl …………………. Korbinegativ ……………… folitantmultiplizieren ………. paruzieren

Die Wurzel aus einer nicht negativen Zahl ist jene nicht negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert die ursprüngliche Zahl ergibt.

Die Taxrib aus einer nicht folitanten Korbi ist jene nicht folitante Korbi, die mit sich selbst paruziert die ursprüngliche Korbi ergibt.

Alltag Mathematik Wurzel Wurzel

39 93

• Ein Teil der Bedeutung wird vom Alltag in die Mathematik übertragen.• Ein anderer Teil nicht.

Metaphern sind hilfreich, weil sie erwünschte Bedeutungen übertragen.

Metaphern sind schädlich, weil sieauch unerwünschte Bedeutungen übertragen.

Problem für die Lernenden:Welche Bedeutungsübertragungensind erwünscht, welche nicht?

Beispiel 1: Metapher „Kürzen“

16 420 5

• Hilfreich, weil Zähler und Nenner kleiner werden.

• Schädlich, weil die Bruchzahl nicht kleiner wird.

Beispiel 2: Metapher „Graph (Schaubild)“

Schädlich, weil ein Funktionsgraph nicht immer als Foto aufgefasst werden kann..

Hilfreich, weil ein Funktionsgraph oft wie ein Foto betrachtet werden kann.Steigen, Fallen, höchster Punkt, …

KERSLAKE 1979

- Zuerst geht es den Berg hinauf, dann ein bisschen hinunter und dann wieder hinauf.- Er geht von einem Ort los, dann geht er um zwei Ecken und dann wieder geradeaus weiter.- Man geht zuerst NO, dann SO und dann NO.

s

t

Räuber – Beute - Modell

Beispiel 3: Metapher „Diagonale“ (PIMM 1987; Interview mit Jill)

Wie viele Diagonalen hat das folgende Viereck?

4 Seiten 3 Seiten 4 Seiten 8 Seiten0 Diagonalen 3 Diagonalen 4 Diagonalen 4 Diagonalen

Metapher „Diagonale“ ist hilfreich,weil Diagonalen häufig schräg sind.

Metapher „Diagonale“ ist schädlich,weil Diagonalen nicht immer schräg sind und nicht jede schräge Linie eine Diagonale ist.

Tansania: Deutsch Suaheli

Kein Wort für „Diagonale“

„ulalo“ = längstes Seilstück

Metapher „ulalo“ war hilfreich, weilDiagonalen häufig die längsten Verbindungslinien von Eckpunkten sind.

Metapher „ulalo“ war schädlich, weilDiagonalen nicht immer die längsten Verbindungslinien von Eckpunkten sind.

Wie sichern sich die Mathematiker gegen falsche Bedeutungsüber- tragungen ab?

Durch Definitionen(von Worten bzw. Redewendungen)

Definition(0ffizielle Vereinbarung)

Intuitive Vorstellungen(Gebrauch)

Die Möglichkeiten des Definierens sind in der Schule begrenzt.

Eine heimtückische Eigenschaft von Metaphern:

Selbst harmlos klingende Worte haben in der Mathematik oft eine andere Bedeutung als im Alltag.

Beispiel 1: Raumbezeichnungen

größer, kleiner, höher, niedriger, ober, unter, …

Hoch, niedrig, hinauf, hinunter, oben, unten, groß, klein, …

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Die Zahlen werden immer größer8 ist höher als 52 ist niedriger als 34 liegt unter 79 liegt über 7

Welche Zahl ist größer?

5 3

Pick up a high number.

Beispiel 2: „gleich“

Der Nachbar hat das gleiche Auto wie wir.

Sind die folgenden Zahlen gleich oderverschieden?

12

0,5

Beispiel 3: „einige“

Mathematik: einige, möglicherweise alleAlltag: einige, aber nicht alle

Einige Schüler sind Nichtschwimmer.

Einige gerade Zahlen sind durch 2 teilbar.

Beispiel 4: „ein“

Mathematik: mindestens einAlltag: genau ein

Ein Kind der Familie Müller war ein Versager.

Ein Dreieck hat einen spitzen Winkel.

Beispiel 5: „und“

Mathematik: kommutativ ( )Alltag: nicht kommutativ (und dann)

Ich ärgerte ihn und er haute mir eine herunter.

Er haute mir eine herunter und ich ärgerte ihn.

A B B A

Beispiel 6: „höchstens“, „mindestens“

höchstens

Mathematik: obere Schranke( )

Alltag: kleinste obere Schranke

mindestens

Mathematik:untere Schranke( )

Alltag: größte untere Schranke

In der Grazer UPC-Arena haben höchstens10 Milliarden Menschen Platz.

Personenanzahl 10Milliarden

( Personenanzahl 10Milliarden) ( Personenanzahl 10Milliarden)

Beispiel 7: Wenn …, dann …

Mathematik: Implikation (wenn …, dann …)Alltag: Äquivalenz (genau dann, wenn …)

Alltag : Aus A B folgt A B.

Wenn du morgen kommst, gehen wir ins Kino.Wenn du morgen nicht kommst, gehen wir nicht ins Kino.

Dieser Schluss gilt in der Mathematik nicht.

Dies gilt im Alltag nicht:

Wenn du nach Australien fahren willst, dannbuchst du einen Flug.Wenn du keinen Flug buchst, dann willst du nicht nach Australien fahren.

Mathematik : Aus A B folgt B A.

Ein wichtiges Unterrichtsziel: Erwerb höherer mathematischer

Sprachkompetenz

Aufgrund meiner bereits im ersten Bsp. gezeichneten „Vergrößerung“ der Limeswerte ergibt sich, dass die Gerade durch die beiden unendlich angenäherten Punkte eine Tangente sein muss, sofern man die angenäherten Punkte als einen rechnen darf und die Funktion ansonsten keine seltsamen Schleifen als Graphen hat.

Eine Tangente ist eine förmliche Fortführung eines punktuellen Intervalls, somit hat eine Tangente in P dieselbe Steigung wie der Punkt P in der Funktion hat.

Ernstnehmen von Wortbedeutungen

Punkt Stelle2 Koordinaten 1 Koordinate

Nullstelle: -1Schnittpunkt mit 1. Achse: (-1/0)

• Die Schüler/innen müssen selbst schriftliche Texte anfertigen.

• Diese Texte müssen ernst genommen und korrigiert werden.

Begründen und Argumentieren

Berechne !

169

a) Was versteht man unter ?b) Berechne und begründe deine Antwort!

a

169

Begründen mit Definitionen

aa) Unter versteht man jene nichtnegative Zahl, die quadriert a ergibt.

2b) 169 13, denn 13 0 und 13 169.

Haus der Vierecke

Haus der Vierecke

Danke für IhreAufmerksamkeit