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Fixpunkte und Stabilitätsanalyse

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Themenüberblick

Motivation 1D-Probleme Bifurkationen 2D-Probleme Fixpunkttypen Lotka-Volterra-Modelle

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Motivation

Bisher: Lineare Dynamik Jetzt: Nichtlineare Systeme Ohne explizite Lösung Fixpunkte !!!

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1D-Probleme

Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel:

Explizite Lösung der DGL mit Separation

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1D-Probleme Stattdessen: Graphische Analyse als Vektorfeld auf x-Achse

Graphische Darstellung:

i. Pfeil nach rechts

ii. Pfeil nach links Fixpunkt bei

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1D-Probleme

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1D-Probleme

Graphisches Stabilitätskriterium: i. Stabil Pfeile zeigen nach innen

ii. Instabil Pfeile zeigen nach außen

Quantitative Analyse auch möglich?

Lineare Stabilitätsanalyse

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1D-Probleme

Ansatz: Taylor d

Lösung:

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1D-Probleme Lineares Stabilitätskriterium:

i. Stabil

ii. Instabil

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1D-Probleme

Zurück zum Beispiel Fixpunkt, wenn

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1D-Probleme

Zurück zum Beispiel Fixpunkt, wenn

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instabil

stabil

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1D-Probleme

Erinnerung:

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1D-Probleme

Bemerkung: Was passiert bei ?

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stabil instabil

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1D-Probleme

Hier ist halbstabiler Fixpunkt

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Bifurkationen Übersicht: Sattel-Knoten-Bifurkationen Transkritische Bifurkationen Pitchfork-Bifurkationen

• Superkritische Bifurkationen • Subkritische Bifurkationen

Nicht perfekte Bifurkationen Beispiele

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Was sind Bifurkationen

Bis jetzt: „simple“ 1D-Probleme • Dynamik der Vektorfelder sehr eingeschränkt

Nun: Abhängigkeit von Parametern • Struktur des Verlaufs ändert sich • Fixpunkte werden „zerstört“ oder „erschaffen“

Änderungen in der Dynamik heißen „Bifurkationen“ Parameterwerte an denen sie auftreten

„Bifurkationspunkt“ Bifurkationen liefern Modelle für Verstärkung und

Instabilität

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Sattel-Knoten-Bifurkation

Fixpunkte für bei Bei Variation des Parameters bewegen sich

Fixpunkte aufeinander zu und annihilieren sich Normalform

unterschiedliche Fälle

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Fall 1:

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Fall 2:

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Fall 3:

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Bifurkationsdiagramm

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Transkritische Bifurkationen

Es gibt Modelle in denen ein Fixpunkt für alle Parameterwerte existieren „muss“ Dieser Fixpunkt kann jedoch seine Stabilität

ändern Für solche Modelle werden transkritische

Bifurkationen verwendet Normalform

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Fall 1:

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Fall 2:

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Fall 3:

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Bifurkationsdiagramm

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Pitchfork Bifurkation

Modell für Systeme mit Symmetrie Es gibt 2 Arten dieser Bifurkation

• Superkritische Pitchfork Bifurkation • Subkritische Pitchfork Bifurkation

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Superkritische Pitchfork Bifurkation

Normalform invariant unter Kubischer Term wirkt „stabilisierend“

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Fall 1:

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Fall 2:

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Fall 3:

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Bifurkationsdiagramm

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Subkritische Pitchfork Bifurkation

Normalform Kubischer Term ist hier nicht mehr

stabilisierend „treibt“ Funktion andere Normalform für „stabile Funktionen“

System invariant für erster stabilisierender Term ist neue Normalform

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Bifurkationsdiagramm für „instabile Bifurkation“

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Bifurkationsdiagramm für „stabile Bifurkation

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Wichtiges zur „stabilen Bifurkation“

Für koexistieren zwei stabile Zustände • Welcher Fixpunkt für angenommen wird,

ergibt sich aus der Anfangsbed. • Daher ist der Fixpunkt im Ursprung gegen kleine

Störungen stabil, nicht jedoch gegen große der Ursprungsfixpunkt ist nur lokal stabil

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Wichtiges zur „stabilen Bifurkation“

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Die Existenz von versch. stabilen Zuständen ermöglicht Sprünge und Hysteresen

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Nichtperfekte Bifurkationen

Normalerweise Systeme nicht perfekt symmetrisch, sondern nur näherungsweise Diese Syteme haben Unvollkommenheiten Betrachte hierzu :

• Für liegt normale Symmetrie vor • Für liegt Symmetriebrechung vor

Analyse hier deutlich schwieriger aufgrund zweier unabhängiger Parameter

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Analyse der Fixpunkte

graphischer Ansatz: Plotte in ein Koordinatensyst.

Suche nach Schnittpunkten Schnittpunkte sind Fixpunkte

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Analyse der Fixpunkte

Kritischer Fall: Gerade ist Tangente an Extrempunkt • Dann: Sattel-Knoten-Bifurkation

Suche Werte für h an denen Bifurkation auftritt: Für den Wert am lokalen Maximum gilt:

Sattel-Knoten-Bifurkation tritt auf , wenn

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Analyse der Fixpunkte

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Analyse der Fixpunkte

Bifurkationsdiagramme von für festes

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Analyse der Fixpunkte

Bifurkationsdiagramme von für festes

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Kurze Anmerkung zu Katastrophen

Spitzenkatastrophe

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Beispiel : Populationsentwicklung

Hier: Falterart aus Kanada Modell bedient sich der „Trennung von

Zeiträumen“ • Population wächst schnell (char. Zeitraum:

Monate) • Bäume wachsen langsam (char. Zeitraum Jahre)

Bei Betrachtung der Populationsentwicklung können also die „Waldvariablen“ konstant angenommen werden

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Populationsentwicklung

Für die Population gilt: wächst logistisch mit Wachstumsrate und

Tragfähigkeit (hierbei fest) (Todesrate aufgr. von Raubtieren) wächst

logistisch

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Populationsentwicklung

Hier Untersuche Modell nun auf einen sog.Ausbruch

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Dimensionlose Formulierung

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Analyse der Fixpunkte

Erster Fixpunkt bei (immer instabil) Weitere Fixpunkte durch Lösung von

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Analyse der Fixpunkte

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Bifurkationskurven errechnen

Wir untersuchen Kurven im für die eine Sattel-Knoten-B. vorliegt Wir können jedoch die Parameter nicht als

Funktion voneinander ausdrücken Wähle Parametrisierung

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Bifurkationskurven errechnen

Für S-K-B müssen erfüllt sein: Einsetzen von (3) in (1) liefert:

Einsetzen von (4) in (3) liefert:

Bifurkationskurven sind (5) und (4)

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Bifurkationskurven

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2D-Probleme

Betrachte nun nichtlineare Probleme vom Typ Fixpunkte dann gegeben durch

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2D-Probleme

baut Phasenebene auf ist dann Vektorfeld auf der Phasenebene

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2D-Probleme

Erst lineare Systeme untersuchen! Allgemeine Lösung:

Schreibe

Mit und

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Sattelpunkt

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Knoten

: Stabil : Instabil

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Periodische Lösung

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Spirale

: stabil : instabil

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Sonderfall: Stern-Knoten

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Sonderfall: Entarteter-Knoten

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Zusammenfassung

Was haben wir bisher gelernt? Fixpunkte zur Betrachtung der Dynamik Stabilität graphisch oder analytisch

bestimmen Graphisch: Vektorflusses visualisieren Analytisch: Lineare Stabilitätsanalyse In 2D viel mehr Möglichkeiten als in 1D

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Lotka-Volterra-Modelle

Beschreiben Wechselwirkung von mehreren Populationen Beispiel: Räuber-Beute-Problem Populationszahlen: (Beute), (Räuber) Ungestörte Wachstumsrate:

Begegnung Räuber-Beute:

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Lotka-Volterra-Modelle

Insgesamt also: Betrachte die Dynamik mit „Mathematica“!

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Quellenverzeichnis

Strogatz, Steven H. (1994): Nonlinear Dynamics and Chaos. Massachusetts

Suter, Dieter (2010): Skript zur Vorlesung „Analytische Mechanik“. [cited 02.06.2015]. https://e3.physik.uni-dortmund.de/~suter/Vorlesung/Physik_III_WS10/2.8_Chaos.pdf

[cited 29.05.2015] http://de.wikipedia.org/wiki/Kritischer_Punkt_(Dynamik)

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