institut für kartographie und geoinformation prof. dr. lutz plümer diskrete mathematik ii...

Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer

Diskrete Mathematik IIVorlesung 4

SS 2002

Dijkstra-Erweiterungen zur Behandlung realer Straßennetze

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

2 2

Überblick: zwei Dijkstra - Erweiterungen

• Dijkstra: Finden kürzester Wege in Graphen• Reale Netze stellen besondere Anforderungen

– Größe des Netzwerkes (Effizienz)• Dijkstra-Erweiterung "Dijkstra mit Geometrie"

– Straßenverkehrsordnung (Abbiege- und Wendeverbote)• Übergang von Netzen zu Graphen• Ansätze:

– Modifikation des Graphen

– Modifikation von Dijkstra

• nur kurzer Ausblick

Do

Ha

W

Du

K

D

15

8015

80

20

3020

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

4 4

Do

Ha

W

Du

K

D

20

15

80

80

20 30

15

Beispiel

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

5 5

Do

Ha

W

Du

K

D

20

15

80

80

20 30

15

Algorithmus von Dijkstra: Beispiel

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

6 6

Do

Ha

Du 20

80

20 30

W

K

D

8015

15

Do

Du

Ha

Do

Algorithmus von Dijkstra: Beispiel

MinimalerAbstand von Do

Du

80

Ha

20

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

7 7

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

15

W

Algorithmus von Dijkstra: Beispiel

Do

Du Ha

80 20

W

15

MinimalerAbstand von DO

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

15

W

Algorithmus von Dijkstra: Beispiel

abgearbeitet

noch in Arbeit

noch nicht betrachtet

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

9 9

Do

Du Ha

W

80 20

15

15

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

Bereits vorhanden Du

Kürzester Weg

Algorithmus von Dijkstra: Beispiel

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

10 10

Du

Do

Ha

W

20

15

15

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

K

D

Du

Algorithmus von Dijkstra: Beispiel

30

K

80

D

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11 11

Du D K

Do

Ha

W

20

15

30 80

D

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

15

Bereits vorhanden

kürzester Weg

Algorithmus von Dijkstra: Beispiel

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

12 12

Du K

Do

Ha

W

D

20

15

30 80

D

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

15

Algorithmus von Dijkstra: Beispiel

20

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

13 13

20

Do

Ha

W

Du

K

D

80

80

20 30

15

15

Bereits vorhanden

Algorithmus von Dijkstra: Beispiel

kürzester WegDu K

Do

Ha

W

D

20

15

30 80

20

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

14 14

Do

Ha

W

Du

K

D

20

80

80

20 30

15

15

D

K

Algorithmus von Dijkstra: Beispiel

KDu

Do

Ha

W

D

20

15

30 80

20

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

15 15

Do

Ha

W

D

K

Du

20

15

30

20

K

Do

Ha

W

Du

D

20

80

80

20 30

15

15

D

KK

Algorithmus von Dijkstra: Beispiel

15

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16 16

Algorithmus von Dijkstra - Wiederholungalgorithmus Dijkstra (S)BLAU = ; GRÜN = {S}; dist(S) = 0;while( GRÜN )

wähle Knoten K aus GRÜN mit kleinstem dist(K)nimm K aus GRÜN heraus und färbe ihn BLAU;

für jeden Nachfolger Ki von K

wenn Ki noch nicht besucht

färbe Kante von K zu Ki rot und Ki grün;

dist(Ki) = dist(K) + dist(K,Ki)

wenn Ki GRÜN (erneut erreicht)wenn neuer Weg kürzer als alter Weg

setze neuen Weg rot und alten grün

setze dist(Ki) auf neuen Wert

färbe Ki BLAU

wenn Ki bereits BLAU färbe Kante von K zu Ki grün

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17 17

Eigenschaften von Dijkstra - Wiederholung

• Ermittelt kürzeste Wege von einem Startknoten zu allen anderen

• Praxis: kürzester Weg von Startknoten zu einem Zielknoten

• man kann aufhören, sobald Zielknoten blau ist(kürzester Weg gefunden)

• dennoch ....

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18 18

Dijkstra: RichtungslosHamburg

Frankfurt

BrüsselPrag

Berlin

Mailand

München

• kürzester Weg von Frankfurt nach Hamburg

Wien

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19 19

Dijkstra: RichtungslosHamburg

Frankfurt

BrüsselPrag

Berlin

Mailand

München

• kürzester Weg von Frankfurt nach Hamburg

Wien

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20 20

Dijkstra: RichtungslosHamburg

Frankfurt

BrüsselPrag

Berlin

Mailand

München

• kürzester Weg von Frankfurt nach Hamburg

Wien

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21 21

Dijkstra: RichtungslosHamburg

Frankfurt

BrüsselPrag

Berlin

Mailand

München

• kürzester Weg von Frankfurt nach Hamburg

Wien

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22 22

Dijkstra: RichtungslosHamburg

Frankfurt

BrüsselPrag

Berlin

Mailand

München

• kürzester Weg von Frankfurt nach Hamburg

Wien

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23 23

Dijkstra: Richtungslos

• kürzester Weg von Frankfurt nach Hamburg

• Alle Knoten innerhalb des Kreises werden bearbeitet

Hamburg

Frankfurt

BrüsselPrag

Berlin

Mailand

München

Wien

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24 24

Schön wäre ...

Hamburg

Frankfurt

BrüsselPrag

Berlin

Mailand

München

• kürzester Weg von Frankfurt nach Hamburg

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25 25

Erweiterung von Dijkstra

• Dijkstra nutzt die Geometrie der Knoten/Kanten nicht aus

• richtungslos: Die Richtung von Start- zum Zielknoten wird nicht berücksichtigt

• Erweiterung von Dijkstra "Dijkstra mit Geometrie"

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26 26

390

330

Dijkstra mit Geometrie: Idee

D

K

HH

20BN

30

• Gesucht: kürzester Weg von K nach HH

• Dijkstra wählt BN aus (Weg zu K minimal)

• Dijkstra mit Geometrie wählt D aus (Summe von Weg zu K und Abstand zu HH minimal)

• Richtung: minimaler Abstand zu Zielknoten

30+330=360

20+390=410

30

20

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27 27

Von Dijkstra zu "Dijkstra mit Geometrie"

• Nur eine Änderung: Auswahl des nächsten zu bearbeitenden (grünen) Knotens– Dijkstra: Knoten mit minimalem besten bisher gefundenen Weg– Dijkstra mit Geometrie: Knoten, bei dem Summe aus

• besten bisher gefundenem Weg und • Euklidscher Abstand des Knotens zu Zielknoten

minimal ist

• Beispiel ....

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28 28

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

Gesucht: Kürzester Weg von S nach E

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29 29

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

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30 30

6 54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=7

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31 31

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

6

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32 32

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5

2

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

33 33

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

Summe minimal

2

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

34 34

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

35 35

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

36 36

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=10 3

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37 37

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=109+0=9

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

38 38

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=109+0=9

Summe minimal

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

39 39

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=109+0=9

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

40 40

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=109+0=9

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

41 41

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=106+0=6

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

42 42

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=106+0=6

9+4=13

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

43 43

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=106+0=6

9+4=13Summe minimal

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

44 44

54

3

22

4

Dijkstra mit Geometrie: Beispiel

2

3

6

2 1

4

55

S

43

89

10

7

1

E

2

1+6=72+6=8

3+2=5 4+2=6

7+3=106+0=6

9+4=13

Fertig, da Zielknoten E blaukürzester Weg gefunden

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45 45

Dijkstra mit Geometrie: Abstand

• Euklidscher Abstand: Schätzung für den unbekannten noch zurückzulegenden Weg

• einfach zu ermitteln• Problem: berücksichtigt nicht

– tatsächlichen Verlauf von Wegen– Topographie (Flüsse, Gebirge, etc.)

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46 46

Dijkstra mit Geometrie: Heuristik

• Einbeziehung der Geometrie/Richtung: "Heuristik"• Heuristik: Daumenregel, die beim Suchen hilft• findet oft keine optimale Lösung, sondern nur Annäherungen an

optimale Lösung• Dijkstra mit Geometrie: optimale Lösung, wenn

– Euklidscher Abstand zu Zielknoten kleiner als tatsächlicher kürzester Weg

• OK, wenn Kantenkosten = Weglänge• Kantenkosten = Fahrtzeit?

S

E

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47 47

21

10

2

1S

3

E

Beispiel: Kann die Richtung auf den falschen Weg führen?

1010

10

Gesucht: kürzester Weg von S nach E

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

48 48

21

10

2

1S

3

E

Beispiel: Kann die Richtung auf den falschen Weg führen?

1010

1010+20=30

10+10=20

Gesucht: kürzester Weg von S nach E

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

49 49

21

10

2

1S

3

E

Beispiel: Kann die Richtung auf den falschen Weg führen?

1010

1010+20=30

10+10=20

Gesucht: kürzester Weg von S nach E

31+0=31

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

50 50

21

10

2

1S

3

E

Beispiel: Kann die Richtung auf den falschen Weg führen?

1010

1010+20=30

10+10=20

Gesucht: kürzester Weg von S nach E

31+0=31

20+10=30

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

51 51

10

2

1S

3

E

Beispiel: Kann die Richtung auf den falschen Weg führen?

1010

10

21

10+20=30

10+10=20

Gesucht: kürzester Weg von S nach E

31+0=31

20+10=30

30+0=30

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

52 52

10

2

1S

3

E

Beispiel: Kann die Richtung auf den falschen Weg führen?

1010

10

21

10+20=30

10+10=20

Abstand von 3 zu E größer als Länge der Kante von 3 zu E E würde vor 3 ausgewählt (nicht optimal)

31+0=31

20+10=30

30+0=30

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53 53

Resümee

• Algorithmus "Dijkstra mit Geometrie"• Erweiterung von Dijkstra durch Einbeziehung der

Richtung zum Ziel (Heuristik)• zielgerichtete Suche

• findet optimale Lösung, wenn Kantenkosten=Weglänge• Im Bereich Informatik/"Künstliche Intelligenz" unter dem

Namen A* („A Stern“) bekannt

Hamburg

Frankfurt

MailandMailand

Hamburg

Frankfurt

Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4 Gerhard Gröger - Diskrete Mathematik II - 2. Semester - SS 2002 - Vorlesung 4

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Teil 2: Dijkstra - Straßenverkehrsordnung

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Abbiegeverbote

C

DAZ

S

B

1

1

1

1

1

1

Abbiegeverbot: Wenn man von S kommt, darf man bei A nicht links abbiegen

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Abbiegeverbote und Dijkstra

C

DAZ

S

B

1

1

1

1

1

1

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Abbiegeverbote und Dijkstra

C

DAZ

S

B

1

1

1

1

1

1

1

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Abbiegeverbote und Dijkstra

C

DAZ

S

B

1

1

1

1

1

1

1

2

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Abbiegeverbote und Dijkstra

C

DAZ

S

B

1

1

1

1

1

1

Da A bereits abgearbeitet (blau) ist, bricht Algorithmus hier ab(findet keine Lösung)

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Abbiegeverbote und Dijkstra

C

DAZ

S

B

1

1

1

1

1

1

Problem 1: Dijkstra findet keine LösungProblem 2: Lösungspfad (rot) enthält Zyklus!

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Lösungsansätze

• Änderung des Algorithmus• Änderung des Graphen

– Transformation des Graphen mit Abbiegeverbot in einen ohne

– dann Anwendung von Standard-Dijkstra

A A1

A2

Fortsetzung in der Übung .....