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Prof. Dr. Hans Hirth 1

Lehrstuhl für Finanzierung und Investition Prof. Dr. Hans Hirth

Modul „Investition und Finanzierung“

2 SWS VL + 2 SWS TUT

Tutorien starten ab ….. genaue Termine der Tutorien und Sprechzeiten der Tutoren folgen

http://www.finanzierung.tu-berlin.de/

Downloadbereich mit VL-Skript + Altklausuren samt Lösungen

Benutzername: fin Paßwort: finanzen

Zuständiger Wissenschaftlicher Mitarbeiter:

Dipl.-Kfm. Norman Zimmermann

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Investition und Finanzierung

Gliederung I. Einführung II. Investitionsrechnung 1. Grundlagen 1.1 Arten von Investitionen 1.2 Typen von Investitionsentscheidungen 1.3 Diskontierung 1.4 Statische und dynamische Investitionsrechnungen 1.4.1 Statische Investitionsrechnungen 1.4.2 Dynamische Investitionsrechnungen

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2. Investitionsentscheidungen bei Sicherheit und exogenem Kalkulationszinssatz 2.1 Entscheidungen auf Basis des Kapitalwerts 2.1.1 Kapitalwert und Endwert 2.1.2 Annuität 2.1.3 Interner Zinssatz 2.1.4 Kapitalwertrate 2.1.5 Einbeziehung von Steuern 2.1.6 Einbeziehung nicht-flacher Zinskurven 2.1.7 Einbeziehung von Risiko 2.2 Investitions- u. Konsumentscheidung 2.2.1 Fisher-Modell und vollkommener Kapitalmarkt 2.2.2 Hirshleifer-Modell und unvollkommener Kapitalmarkt 2.3 Nutzungsdauerentscheidungen 2.3.1 Ohne Ersatzinvestition 2.3.2 Mit Ersatzinvestition 3. Endogene Kalkulationszinssätze

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III. Finanzierung 1. Finanztitel als Instrumente der Finanzierung 1.1 Abstimmungsbedarf zw. Unternehmen u. Haushalten 1.2 Transformationsaufgaben von Finanztiteln 1.3 Eigen- und Fremdfinanzierung 1.4 Innen- und Außenfinanzierung 2. Liquiditätssicherung 2.1 Liquidität, Nutzen und Kosten 2.2 Liquiditätsplanung 3. Bedeutung der Kapitalstruktur 3.1 Kapitalkosten 3.2 Leverage-Effekt und Leverage-Risiko 3.3 Irrelevanz d. Verschuldungsgrads bei vollk. Kapitalmarkt 3.4 Relevanz d. Verschuldungsgrads bei unvollk. Kap.markt Zur Vorlesung gibt es das Lehrbuch: Hirth, Hans: Grundzüge der Finanzierung und Investition, Oldenbourg Verlag, 3. Auflage, 2012.

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I. Einführung

Beispiel: Haus gemeinsam mit Bruder geerbt

€ A1: Haus für 400.000 € verkaufen

eigener Anteil 200.000

weiter Miete zahlen für ähnl. Haus (20 J.) 24.000 p. a.

A2: Bruder auszahlen und 20 Jahre selbst drin wohnen

Auszahlen des Bruders 200.000

jährliche Instandhaltungen 4.000 p. a.

geschätzter Endwert des Hauses 450.000

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A3: Bruder auszahlen, 20 Jahre vermieten, dann verkaufen

Auszahlen des Bruders 200.000

weiter Miete zahlen für ähnl. Haus 24.000 p.a.

jährliche Mieteinzahlungen 24.000 p. a.

jährliche Instandhaltungen 5.000 p. a.

geschätzter Endwert des Hauses 450.000

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Welche Alternative ist besser?

Jahr A1 A2 A3

0 + 200.000 200.000 200.000

1 24.000 4.000 24.000 + 24.000

5.000 = 5.000

2 24.000 4.000 5.000

3 24.000 4.000 5.000

..... ......... ........... .........

20 24.000 + 450.000 + 450.000

A3 ineffizient, da von A2 dominiert.

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Vergleich A1 und A2 ohne weiteres schwierig, denn - unterschiedl. Zahlungen fallen zu unterschiedl. Zeiten an

Auf- und Abzinsung - zukünftige Zahlungen i.d.R. unsicher

Risikoprämien Außerdem verstecktes Finanzierungsproblem: Haben Sie 200.000 Eigenmittel, um Bruder auszuzahlen?

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Ist eventuelle Kreditaufnahme sinnvoll? In der Regel ist Kreditzins (Sollzins) > Anlagezins (Habenzins).

Warum?

Transaktionskosten in weitem Sinn

Vertragsanbahnung -verhandlung -überwachung -durchsetzung z.B. Kosten Kredit- Konto- Gerichts- e. Bankfiliale verhandlung überwachung verfahren

Transaktionskosten durch Zinsdifferenz zu decken

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Fälle von Unsicherheit

Sicherheit nur eine künftige Entwicklung vorstellbar

Bsp.: Fliegender Hubschrauber kommt irgendwann wieder herunter.

Quasi-Sicherheit mehrere künftige Entwicklungen vorstellbar, aber nur eine wird zu-grundegelegt (z. B. die wahrscheinlichste oder die gefährlichste) Bsp.: Siemens stellt morgen keinen Insolvenzantrag.

Risiko mehrere denkbare Entwicklungen, deren Eintrittswahrscheinlichkei-

ten berücksichtigt werden (können) Wahrscheinlichkeitsverteilung Bsp.: Wkt., daß Siemens in den nächsten 50 J. insolvent wird, ist 10%.

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Ungewißheit

mehrere künftige Entwicklungen vorstellbar, deren Eintrittswahr-scheinlichkeiten nicht berücksichtigt werden (können) Bsp.: In den nächsten 50 J. wird Siemens insolvent oder eben nicht. Im folgenden meistens zur Vereinfachung: Sicherheit!

Als Problem verbleibt:

unterschiedl. Zahlungen zu unterschiedl. Zeiten

Vergleichbarmachung durch Ab-/Aufzinsung

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Untersuchungsgegenstand der Investition & Finanzierung:

Beurteilung von Zahlungsströmen, egal wodurch generiert.

Investitionsmaßnahme

generiert Zahlungsstrom durch Mittelverwendung

beginnt normalerweise mit Auszahlung

mit der Absicht, Mittel langfristig zu binden Daher: Laufende Auszahlungen wie z. B. für kleinere Beschaf-fungen sind keine Investition.

Finanzierungsmaßnahme

generiert Zahlungsstrom durch Mittelbeschaffung

beginnt normalerweise mit Einzahlung

kurzfristig (Liquidität) und langfristig (Kapitalaufbringung) universaler Anwendungsbezug, nicht nur in Unternehmen

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II. Investitionsrechnung

1. Grundlagen

1.1 Arten von Investitionen

Realinvestitionen (Sachinvestitionen)

Erwerb von Vermögensgegenständen.

Erst deren produktiver Einsatz führt zu Zahlungsrückflüssen.

= + Mehrung der Substanz Erhaltung der Substanz Abgrenzung teilweise uneindeutig; z.B. bei Rationalisierung: Ersatz, aber nicht gleichwertiger, sondern qualitativ besser

Bruttoinvestition Schienennetz

Nettoinvestition

neue Strecken

Ersatzinvestition

Instandhaltung alter Strecken

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Finanzinvestitionen

Erwerb von Zahlungsansprüchen, z. B. durch Wertpapierkauf, Beteiligungen

Abgrenzung teilweise uneindeutig; z.B. Aufbau einer Beteiligung: reine Finanzanlage oder unmittelbare Verfügungsgewalt über Vermögensgegenstände des Unternehmens? 1.2 Typen von Investitionsentscheidungen

Entscheidung über Durchführung einer Investition („absolute Vorteilhaftigkeit“; aber Unterlassensalternative? s.u.)

Auswahl zwischen einander ausschließenden Investitionen („relative Vorteilhaftigkeit“)

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Beachte zur Unterlassensalternative bei vorhandenen Eigenmitteln:

Alternative ist nicht Verzicht auf jegliche Investition,

sondern Durchführung einer Finanzinvestition (durch Unternehmen oder durch Financiers nach Ausschüttung)

OPPORTUNITÄTSKOSTEN Bei identischem Kredit- und Anlagezinssatz:

Unterscheidung, ob Eigenmittel vorhanden sind, ist überflüssig, da

Zinskosten identisch.

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1.3 Diskontierung Fragestellung: Zahlungen fallen zu unterschiedlichen Zeitpunkten an

Vergleichbarkeit erforderlich

Zwei Möglichkeiten

(1) zeitliche Verschiebung v. Zahlungen durch Markttransaktionen

auf einen einheitlichen Zeitpunkt

objektiver Vergleich allein über Zahlungshöhe möglich

(2) subjektiver Vergleich der Zahlungen durch indiv. Zeitpräferenz

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Vergleich mittels Markttransaktionen

Vergleich zweier Zahlungsansprüche z0 bzw. zt.

Was ist mehr wert?

Zinssatz für Anlage und Verschuldung sei i. Variante A: Transformation von z0 in die Zukunft t durch Anlage

in = 1: z0 + z0 i = (1+i) z0 (Rückz.) (Zins)

Zeit

0 1 2 t …...

z0 zt

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in = 2: Wiederanlage auch des Zinses

(1+i) z0 + (1+i) z0 i = (1+i)² z0

Betrag in = 1 Zinsen von = 1 bis 2 usw.

in = t: (1+i)t z0

Beispiel: Ist z0 = 100 oder z2 = 120 besser?

für i = 8 %: (1,08)2 100 = 116,64 < 120 z0 schlechter!

für i = 10 %: (1,1)2 100 = 121 > 120 z0 besser!

Vergleich: (1+i)t z0 > (<) zt

z0 ist besser (schlechter) als zt.

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Variante B: Transformation von zt in die Gegenwart durch Kreditaufnahme zt muß für Tilgung und Bedienung aller Zinsen und Zinseszinsen ei-ner gegenwärtigen Kreditaufnahme zum Zinssatz i ausreichen: zt = Kt wobei Kt: Kreditbestand inclusive Zinseszinsen in t Kt ergibt sich schrittweise wie folgt:

Kt = Kt1 + i Kt1 = (1+i) Kt1 = (1+i) (1+i) Kt2 = .. usw.

= (1+i)t K0

wobei K0: aufgenommener Kreditbetrag in = 0

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Anforderung (s.o.)

zt = Kt = (1+i)t K0

K0 = t

t

)i1(

z

= (1+i)

t zt

Beispiel: Ist z0 = 100 oder z2 = 120 besser?

für i = 8 %: 100 < (1,08)2 120 = 102,88 z0 schlechter

für i = 10 %: 100 > (1,1)2 120 = 99,17 z0 besser

Nun Vergleich mit z0 möglich:

z0 > (<) (1+i)t zt

z0 ist besser (schlechter) als zt

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Erkenntnisse

Vergleich nicht nur von z0 und zt, sondern auch von i abhängig.

Vergleichbarkeit durch Auf- oder Abzinsung erbringt immer das-

selbe Ergebnis (bei einheitlichem Zinssatz)

Wert von zt zu einem beliebigen Zeitpunkt t*:

Beispiel mit t* = 2

Zeit t

0 1 2 4 3

z0 = 10 10 (1+i)20

z4 = 10 10 (1+i) 24

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allgemeine Formel:

Sonderfälle t* = 0: B0 heißt Barwert Beispiel: Barwert von z2 = 120 ist für i = 10 %

B0 = (1+i)02

120 = 99,17 t* = T: BT heißt Endwert (mit T als Ende des Planungshorizonts) Beispiel: Endwert von z0 = 100 ist für i = 10 % und T = 2

B2 = (1+i) 20

100 = 121

Bt* = (1+i) t* t

zt bei t* > t: Aufzinsung

bei t* < t: Abzinsung

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Unterjährige Verzinsung Ein unterjähriger Zins r (hier z. B. Monatszins) entspricht einem Jahreszins i mit

i1r112

Oder anders herum: Der Jahreszins beträgt z. B. i = 5 %. Äquivalent dazu wäre ein Monatszins von

%4,000404,0105,11i1r 1212

der monatlich ausgeschüttet und wiederverzinslich zu Monatszins-sätzen von 0,4 % angelegt werden kann.

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Zeitstetige (kontinuierliche) Verzinsung Ein Betrag B verzinst sich nach jedem unendlich kleinen Zeitintervall und diese Zinsen erwirtschaften danach wiederum Zinsen usw. ● Erhöhung von B nach einem unendlich kleinen Zeitintervall ∂t

B‘(t)

● Verzinsung r nach diesem Zeitintervall

)t(B

)t('B

satzKapitalein

ngWerterhöhur

● Integration über t

)t(BlnAtr

mit A= Integrationskonstante

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Beide Seiten als Exponent zur Basis e (Eulersche Zahl):

)t(Bee

ee

trA

)t(BlnAtr

Für t = 0 folgt

)0(BeA

Einsetzen führt zu

tre)0(B)t(B

Das Startkapital B(0) verzinst sich nach Zeitdauer t mit dem

Aufzinsungsfaktor tre auf den Betrag B(t).

r heißt „zeitstetige“ oder „kontinuierliche“ Zinsrate.

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Zusammenhang zw. kontinuierl. Zinsrate und Jahreszinssatz Definiere: 1 Jahr läuft von τ = 0 bis τ = 1.

Aufzinsungsfaktor für ein Jahr ist also: 1re Welcher Jahreszins i führt zum gleichen Endbetrag nach einem Jahr wie eine kontinuierliche Verzinsung mit r?

B(0) ∙ re = B(0) ∙ (1+i)

re = 1+i

oder

r = ln(1+i)

Endwert mit einfa-chem Jahreszins

Endwert bei kontinuier-licher Verzinsung

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Beispiel Eine Anleihe mit Zinssatz von i = 5 % pro Jahr Entsprechende kontinuierliche Zinsrate r wäre etwas geringer:

r = ln 1,05 = 0,04879 = 4,879 % Denn:

Bei kontinuierlicher Verzinsung werden zwischendurch ständig Zin-sen berechnet, auf die wiederum Zinsen verdient werden.

Bei der diskreten Verzinsung werden die Zinsen dagegen erst am Ende abgerechnet.

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Zeitanteilige Verzinsung In praxi werden unterjährige Zinsen mitunter vereinfacht berechnet. Bsp. Stückzinsberechnung Wie wird mit zwischenzeitlich aufgelaufenen Zinsen e. Anleihe ver-fahren, wenn Anleihe vor dem nächsten Zinstermin verkauft wird?

Der Käufer der Anleihe zahlt dem Verkäufer die zwischenzeitlich aufgelaufenen Zinsen (Stückzinsen).

Zitat: „Die Stückzinsen werden ermittelt, indem das Produkt aus Zinssatz und erworbenen Nennwert mit dem Quotienten aus der Anzahl der Tage seit der letzten Zinszahlung und der Anzahl der Tage zwischen zwei Zinsterminen gebildet wird.“ (Finanzagentur der Bundesrepublik Deutschland: Informationen für Privatanleger über infla-tionsindexierte Wertpapiere der Bundesrepublik Deutschland, Stand 3. Mai 2011, S.3)

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Beispiel Anleihe mit Nennwert 100 € (= Bezugsgröße für Zinssatz)

Zinssatz von 5 % pro Jahr

Zinszahlung jährlich am 31. Dezember Anleihe wird am 31. März verkauft (also 1 Quartal = 360/4 = 90 Ta-ge nach dem letzten Zinstermin).

Käufer zahlt einen Zeitanteil von 90/360 = 1/4 der Jahreszinsen an den Verkäufer (zusätzlich zum Kurs der Anleihe):

%25,14

%5r für das Quartal

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Fehler durch Vereinfachung, denn: Korrekter unterjähriger Quartalszins r bei gegebenem Jahreszins i = 5 % wäre ungefähr

%227,11i1r 4

< 1,25 % zeitanteiliger Zins

Käufer zahlt 0,023 Prozentpunkte zuviel. Reaktion

Kompensation durch Kursabsenkung um 0,023 Prozentpunkte. (Annahme hierbei: Verkäufer hatte zum Nennwert gekauft und ursprünglicher Marktzins 5 % p. a. hat sich zwischenzeitlich nicht geändert.)

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Vergleich mittels individueller Zeitpräferenz Idee: Zahlungen nur Mittel zum Zweck letzte Zielgröße: Konsum zu unterschiedlichen Zeitpunkten Bewertung unterschiedl. Konsumströme durch Nutzenfunktionen

U = U(c0, c1, ..., cT)

einfaches Beispiel:

U = c00,4

c10,5

„Indifferenzkurve“: 4,0

0

5,0

1c

Uc 8,0

0

2

1c

Uc Hyperbel

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Abb.: Indifferenzkurven, Isonutzenlinien

c1

c0

steigender Nutzen

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Bewertung zweier unterschiedl. Konsumpläne:

Plan A: (c0; c1) = (40; 60)

Plan B: (c0, c1) = (60, 40)

Investor I: UI = c00,5

c10,4

UI(A) = 32,53 und UI(B) = 33,88 bevorzugt B

Investor II: UII = c00,4

c10,5

UII(A) = 33,88 und UII(B) = 32,53 bevorzugt A

Investor I hat stärkere Gegenwartspräferenz

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Abb.: subjektive Bewertung von Konsumplänen (c0, c1) Erkenntnis Je steiler Indifferenzkurve, desto stärker Neigung zu gegenwärti-

gem Konsum, desto größer „individuelle Diskontrate“.

Zshg. zw. indiv. Diskontrate und Marktzins wird in II.2.2 vertieft.

Investor I

c1

c0

A

B

Investor II

40 60

40

60

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1.4 Statische und dynamische Investitionsrechnungen 1.4.1 Statische Investitionsrechnungen

(1) Gewinnvergleichsrechnung

Wähle das Projekt mit dem größten Gewinn (durchschnittl. bzw.

der einer repräsentativen Periode) und

verzichte auf Projekte, die Verluste bringen!

Zeitkomponente wird nicht angemessen berücksichtigt meist Betrachtung nur einer Periode, die ● repräsentativ (= identisch) für alle Perioden ist oder ● dem Durchschnitt aller Perioden gleicht

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Werden bei der Gewinnermittlung kalkulatorische Zinsen auf das

gebundene Kapital angesetzt?

→ Hier im folgenden „Nein“.

Andernfalls Inkonsistenz zu ansonsten statischer Betrachtung.

GVR ist nur dann unproblematisch, wenn alle Projekte mit

identischer Nutzungsdauer (nicht: 2 Mio für 2 J. vs. 1 Mio. 10 J.)

identischem Kapitaleinsatz (falls Kap.ko. nicht im Gewinn berück-

sichtigt) (nicht: 1 Mio. Gewinn mit Einsatz von 10 € vs. 1 Mrd. €)

und

konstanten Periodengewinnen (nicht: (1; 2; 3) vs. (3; 2; 1))

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(2) Kostenvergleichsrechnung

Unsinnige Entscheidungsregel wäre:

„Minimiere Gesamtkosten einer Periode“

Produktionsverzicht optimal!

sinnvolle Entscheidungsregel:

„Minimiere Gesamtkosten einer Periode bei gegebenen Erträgen“

Äquivalenz zur Gewinnvergleichsrechnung!

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(3) Renditevergleichsrechnung Wähle das Projekt mit der höchsten durchschnittlichen (repräsen-

tativen) Rendite,

solange diese eine Mindestverzinsung übersteigt!

Rendite = KapitaleseingesetztZinsen)vor(Gewinn „Return on Investment“

„eingesetztes Kapital“: Falls Rückflüsse bereits während der Periode

anfallen → Durchschnittswert in der Periode

Bei identischem Kapitaleinsatz der Alternativen

RVR erbringt gleiche Entscheidung wie GVR.

gleiche Problematik wie bei GVR

RoI

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(4) Amortisationsrechnung Wähle das Projekt, dessen gesamte Auszahlungen am schnellsten durch Einzahlungen gedeckt werden.

„Amortisationsdauer“:

Zeitdauer, nach der sich das Projekt amortisiert.

unmittelbarer Zahlungsbezug (i. Ggs. zu GVR, KVR und RVR)

Beispiel

Anfangsauszahlung in t=0: 100.000

t=1 t=2 t=3 t=4

EZÜ in Folgeperioden: (30.000; 50.000; 40.000; 20.000)

Amortisationsdauer: 3 Perioden

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Problem: Vernachlässigung

aller Zahlungen jenseits der Amortisationsdauer sowie

der Zeitstruktur innerhalb der Amortisationsdauer

eher zur Risikoabschätzung geeignet

Je weiter die Zukunft, desto riskanter die Prognose.

Kurze Amortisationsdauer birgt weniger Unsicherheit.

Unsicherheit bezieht sich dabei aber nur auf die Amortisation,

nicht auf den Gewinn.

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Beachte:

Wenn das Projekt auch später noch Auszahlungen benötigt, müssen sich diese ebenfalls amortisieren.

Beispiel: ( 100; 80; 80; 70; 40; 20)

Amortisationsdauer: 4 Perioden

Falls Möglichkeit des Projektabbruchs besteht:

Amortisationsdauer: entweder 2 oder 4 Perioden,

je nach Absicht bzgl. Projektabbruchs

Im folgenden grundsätzlich gemeint: ohne Abbruchmöglichkeit,

sonst bestünde ein Projekt ja selbst aus mehreren Alternativen.

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1.4.2 Dynamische Investitionsrechnungen

Eigenschaften

Erfassung der gesamten Dauer der Projekte

Einbeziehung der zeitlichen Verteilung über Diskontierung

„dynamisch“?

im folgenden meist: einmalige Plang. im Entscheidungszeitpunkt,

keine Abfolge von Entscheidungen

schwach ausgeprägte Dynamik

echte Dynamik:

Wie wirken heutige Entscheidungen auf morgige?

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2. Investitionsentscheidungen bei Sicherheit und exogenem Kalkulationszinssatz 2.1 Entscheidungen auf Basis des Kapitalwerts 2.1.1 Kapitalwert und Endwert

Abb.: Notation der Zeitpunkte bzw. Perioden

0 1 2 ..... t 1 t .... T1 T Zeitpunkte 1 2 .... .... t .... .... T Perioden

Zahlungen am Ende der Perioden

et: Einzahlungsüberschuß Et At im Zeitpunkt t

(am Ende der Periode t)

e0: bei Investition mit Anfangsauszahlung A0 ist e0 = A0 < 0

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Kapitalwert K + + + +

T

1t

t

t0

T

0t

t

t i)(1eAi)(1eK

Zeit t 0 1 2 T = 4 3

e4

e1

e2

e3

e0

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Beispiel

Zahlungsreihe ab t = 0: {100; 50; 40; 30; 20; 10}

i = 10 %

Kapitalwert K

= 100 + 50 1,11 + 40 1,12

+ 30 1,13 + 20 1,14

+ 10 1,15

= 20,92

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Tab.: Finanzplan bei Entnahme des Kapitalwerts

Zeitpunkt t 0 1 2 3 4 5

EZÜ et

100 50 40 30 20 10

Entnahme

ct 20,92

Zinsen

i ∙ KBt-1

– 12,09 8,30 5,13 2,64 0,91

Kapitalfreisetzung

(et ct i∙KBt-1) – 37,91 31,70 24,87 17,36 9,09

Kapitalbindung KBt

120,92 83,01 51,31 26,44 9,08 0

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„Kapitalbindung“

eingesetztes Kapital incl. Zinsen darauf, das noch nicht durch

entsprechende EZÜ zurückgeflossen ist („freigesetzt“ wurde).

hier eingesetzt (gebunden) für Investition und Konsum

bei vollst. Fremdfinanzierung: Kapitalbindung = Kreditbestand.

„Kapitalfreisetzung“

Verringerung der Kapitalbindung = KBt KBt1

hier mittels verbleibenden Überschuß et ct i KBt1

bei vollst. Fremdfinanzierung: Kap.freisetzung = Kredittilgung

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Endwert BT + + + +

Ki)(1i)(1ei)(1i)(1eB TT

0t

t

t

TT

0t

tT

tT

Zeit t 0 1 2 T = 4 3

e4

e1

e2

e3

e0

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proportional zum Kapitalwert; führt immer zu derselben Entscheidung

K > 0 BT > 0

KA > KB BTA > BTB Achtung: Für den Vergleich müssen sich die Endwerte sich auf den-selben Zeitpunkt T beziehen. Interpretation: Betrag, der am Ende der Laufzeit entnommen werden kann, ohne daß eigene Mittel eingesetzt werden. Beispiel: dieselben Daten wie oben

BT = 1,15 K = 1,1

5 20,92 = 33,69

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Tab.: Finanzplan bei Entnahme des Endwerts

Zeitpunkt t 0 1 2 3 4 5

EZÜ et 100 50 40 30 20 10

Entnahme

ct 33,69

Zinsen

i ∙ KBt-1

– 10 6 2,6 +0,14 +2,15

Kapitalfreisetzung

(et ct i∙KBt-1) – 40 34 27,4 20,14 +21,54

Kapitalbindung KBt

100 60 26 1,4 21,54 0

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2.1.2 Annuität = maximale, konstante Entnahme g

in jeder Periode bis zum Projektende T

Barwert des Entnahmestroms muß Kapitalwert des Projekts gleichen.

Barwert der Annuitäten = Kapitalwert des Projekts

Ki)(1

1g

Ki)(1g

T

1t

t

T

1t

t

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„Rechentrick“

Der Nenner ist (1): N = q1 + q2

+ q3 + ... + qT

mit Bruttozins q = 1 + i.

Dann gilt (2): q N = 1 + q1 + q2

+ q3 +...+ q(T1)

.

Dann ist (2) (1): (q 1) N = 1 qT

N = i

)i1(1

1q

q1TT

.

Dann folgt:

Ki)(11

ig

T

Renten-Wiedergewinnungsfaktor = 1/Renten-Barwertfaktor (hier nachschüssig, d.h. erste Rente erst in t=1)

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Beispiel: Dieselben Daten wie oben T = 5; i = 10 %, K = 20,92

52,592,202638,092,201,11

1,0g

5

g ist proportional zum Kapitalwert, führt also zu derselben Vorteilhaftigkeitsentscheidung.

absolut: K > 0 g > 0

relativ: KA > KB gA > gB falls TA = TB Vorsicht: Falls TA > TB ist, kann KA > KB , aber gA < gB vorkommen.

Spezialfall: „unendliche (oder ewige) Rente“

Setze T , dann folgt: g = i K

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Tab.: Finanzplan bei Entnahme der Annuitäten

Zeitpunkt t 0 1 2 3 4 5

EZÜ et 100 50 40 30 20 10

Entnahme

ct

– 5,52 5,52 5,52 5,52 5,52

Zinsen

i ∙ KBt-1

– 10 6,55 3,76 1,69 0,41

Kapitalfreisetzung

(et ct i∙KBt-1) – 34,48 27,93 20,72 12,79 4,08

Kapitalbindung KBt

100 65,52 37,59 16,87 4,08 0

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Erkenntnis

Entnahmestrom mit festem Kapitalwert kann beliebig auf die Zeit-

punkte verteilt werden.

wurde jetzt an drei Beispielen belegt

2.1.3 Interner Zinssatz = Kalkulationszinssatz i*, bei dem der Kapitalwert einer Investition den Wert Null annimmt. (kritische) Interpretation:

Investition ist in der Lage, einen Kreditzins bis i* zu verkraften.

Vorteilhaftigkeitskriterium: Investition lohnt, wenn i < i*.

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K(i*) = 0

e0 + e1 (1+i*)1 + e2 (1+i*)

2 + ..... + eT (1+i*)

T = 0

Lösung: Nullstellen eines Polynom T-Grades

analytische Probleme

1) geschlossene Lösungen nur bis T = 4 möglich (bewiesen von Niels Hendrik Abel, norweg. Mathematiker; T=2: Vietascher Wurzelsatz; T=3: Cardanische Formel; T=4: geeignete Subst. des kubischen Terms; T > 4: nur in Spezialfällen)

belanglos, da numerische Approximationslösungen

Newtonsches Näherungsverfahren, siehe unten

2) möglicherweise mehrere Lösungen, keine reelle Lösung, keine positive Lösung

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Kapitalwertfunktion K(i)

T

1t

2)(t

t

T

1t

1)(t

t

T

0t

t

t

i)(1e1)(tt(i)'K'

i)(1et(i)K'

i)(1eK(i)

Wenn ab t = 1 nur noch positive EZÜs (also et > 0 ab t 1), dann K’(i) < 0 und K’’(i) > 0 für alle i > − 100 %

konvexer Verlauf, monoton fallend.

Prof. Dr. Hans Hirth 58

Abb.: Kapitalwertfunktion einer Investition mit et > 0 ab t = 1

e0 = A0

1

K (i)

i i*

T

0tte

Prof. Dr. Hans Hirth 59

Newtonsches Näherungsverfahren

α

K(q1)

K(q0)

q*q2q1q0

q

K

Prof. Dr. Hans Hirth 60

- Start mit einem beliebigen Wert q0

- Kapitalwert K(q0) und Ableitung K‘(q0) berechnen.

- Außerdem gilt

1.) tan α = 01

0

qq

)q(K

und 2.) tan α = )q('K 0

- Gleichsetzen von 1.) und 2.)

01

00

qq

)q(K)q('K

Auflösen nach q1:

)q('K

)q(Kqq

0

001

Prof. Dr. Hans Hirth 61

Berechnete Werte von K(q0) und K‘(q0) einsetzen und so q1 ermitteln.

Test, ob Kapitalwert an der Stelle q1 bereits fast null ist.

Falls nicht, zweiter Näherungsschritt nötig, bei dem q2 ermittelt wird.

Hierfür in obiger Gleichung q0 durch q1 ersetzen und q1 durch q2 er-

setzen.

Weitere Näherungsschritte bis Kapitalwert hinreichend nahe an Null

und q* gefunden.

Prof. Dr. Hans Hirth 62

Beispiel

Projekt mit Zahlungsstrom ( 100; 50; 40; 30; 20; 10) Wir starten mit z. B. i0 = 15 %, also q0 = 1,15. Kapitalwertfunktion:

K(q) = 100 + 50 q1 + 40 q2

+ 30 q3 + 20 q4

+ 10 q5

Ableitung:

K’(q) = 50 q2 80 q3

90 q4 80 q5

50 q6

An der Stelle q0 = 1,15 betragen

K(q0) = 9,85 und K’(q0) = 203,26

Prof. Dr. Hans Hirth 63

Einsetzen in hergeleitete Formel

1985,126,203

85,915,1

)q('K

)q(Kqq

0

001

Berechnung „neuer“ Kapitalwert

K(q1) = 0,73 ….. ist noch nicht nahe genug an Null. Neuer Start bei q1 = 1,1985

Ableitung der Kapitalwertfunktion an der Stelle q1 beträgt

K’(q1) = 174,12.

Prof. Dr. Hans Hirth 64

Einsetzen K(q1) und K‘(q1) in hergeleitete Formel

2027,112,174

73,01985,1

)q('K

)q(Kqq

1

112

Kapitalwert bei i = 20,27 % berechnen: K(20,27) = 0,00338 Das ist schon sehr nahe an der Null. Damit beträgt der interne Zins ungefähr i* = 20,27 %.

Prof. Dr. Hans Hirth 65

„Normalinvestition“

zunächst nur Auszahlungsüberschüsse

anschließend nur Einzahlungsüberschüsse

nur ein Vorzeichenwechsel in der Zahlungsreihe

(−A0; −A1; …; −As; Es+1; ….; ET)

mit At, Et > 0

Im ökonomisch sinnvollen Bereich q 0 besitzt eine Normalinvesti-

tion genau einen einzigen internen Zinssatz!

Prof. Dr. Hans Hirth 66

Exkurs: Beweisskizze (nur für diejenigen, die es interessiert)

K kommt an der Stelle q ↓ 0 aus dem positiven Unendlichen. K konvergiert an der Stelle q → ∞ gegen den Wert – A0. Wegen des Vorzeichenwechsels muß die Kapitalwertkurve die q-Achse also mindestens einmal schneiden. Im Bereich K ≥ 0 ist die Ableitung K‘(q) stets negativ (Beweis siehe unten). Wichtig ist, daß K‘ auch für alle K = 0 negativ ist! Daraus ergibt sich: Die Kapitalwertkurve muß die q-Achse einmal an ihrer ersten Nullstelle schneiden und verläuft dabei „von links oben“ nach „rechts unten“. Eine zweite Nullstelle kann es nicht geben. Denn dann müßte die Kurve „von unten“ kommend die q-Achse entweder erneut schneiden (K‘ > 0) oder tangieren (K‘ = 0). Beides ist wegen K‘ < 0 für alle K = 0 ausgeschlossen. Beweis für K‘(q) < 0 im Bereich K ≥ 0: Der Zahlungsstrom (−A0; −A1; …; −As; Es+1; ...; ET) hat den Kapitalwert

K = At∙q-t s

0 + Et∙q-t

s+1

Dessen erste Ableitung beträgt

K (q) = At∙q-t-1 s

0 + Et∙q-t-1

s+1

Prof. Dr. Hans Hirth 67

Es ist K (q) >=< 0, wenn

At∙q-t-1 s

0 >=< Et∙q

-t-1 s+1

Multiplikation mit q 0 ergibt

At∙q-t s

0 >=< Et∙q

-t s+1

Nun ist folgende Zusatzüberlegung hilfreich. Wir teilen den Kapitalwert auf in

K = BE − BA mit BE= Et∙q-t

s+1 Kapitalwert aller Einzahlungen

BA= At∙q-t s

0 Kapitalwert aller (positiv definierten) Auszahlungen

Dann ist

t∙

s

0

At∙q t

BA

der gewogene Durchschnitt aller Auszahlungszeitpunkte. Dabei wird jeder dieser Zeitpunkte t = 0, …, s mit dem Anteil des Barwerts von At (im Zähler) am Barwert sämtlicher Auszahlungen (im Nenner) gewichtet. Dieser gewogene Durchschnitt liegt irgendwo zwischen 0 und s.

Prof. Dr. Hans Hirth 68

Analog ist

t∙

s+1

Et∙q t

BE

der gewogene Durchschnitt aller Einzahlungszeitpunkte. Dabei wird jeder dieser Zeitpunkte t = s+1, …, T mit dem Anteil des Barwerts von Et (im Zähler) am Barwert sämtlicher Einzahlungen (im Nenner) gewichtet. Dieser gewogene Durchschnitt liegt irgendwo zwischen s+1 und T. Für die beiden Durchschnitte gilt eindeutig:

t∙s0

At∙q-t

BA t∙

s+1

Et∙q-t

BE

BE

BA t∙s0 At∙q

-t t∙ s+1 Et∙q

-t

Im Bereich BE ≥ BA (d. h. K ≥ 0) muß dann gelten:

t∙s0 At∙q

-t t∙ s+1 Et∙q

-t

woraus folgt (s. o.): K‘(q) < 0 im Bereich K ≥ 0.

Prof. Dr. Hans Hirth 69

Abb.: kein reeller interner Zinssatz

K(i) < 0 für alle i nie lohnend Beispiel: (200; 10; 100)

K(i) > 0 für alle i stets lohnend Beispiel: (200; 10; 100) uninteressante Sonderfälle, untypische Investitionen!

i

K

Prof. Dr. Hans Hirth 70

mehrere reelle interne Zinssätze Beispiel

e = (100; 235; 138) i1* = 15 % und i2* = 20 %

20 % wäre der „richtige“, aber nur solange i > 15 %.

i

K

3

0,05

0,15 0,20

Prof. Dr. Hans Hirth 71

Finanzplan und Kapitalbindung Beispiel 1

e = (100; 50; 40; 30; 20; 10) i* = 20,27 %

Tab.: Kapitalfreisetzung Beispiel 1

Zeitpunkt t 0 1 2 3 4 5

EZÜ et 100 50 40 30 20 10

Zinsen – i* ∙ KBt-1

– 20,27 14,24 9,02 4,77 1,68

Kapitalfreisetzung

(et i∙KBt-1) – 29,73 25,76 20,98 15,23 8,32

Kapitalbindung KBt

100 70,27 44,51 23,53 8,30 0,02

0

Prof. Dr. Hans Hirth 72

Beispiel 2

e = (100; 235; 138) (s.o.) i1* = 15 % u. i2* = 20 % Bei Verwendung von i2* = 20 %:

Tab.: Kapitalfreisetzung Beispiel 2.1

Zeitpunkt t 0 1 2

EZÜ et 100 235 138

Zinsen – i* ∙ KBt-1

– 20 + 23

Kapitalfreisetzung

(et i∙KBt-1) – 215

(138+23) =115

Kapitalbindung KBt 100 115 0

Implizite Annahme, daß bei negativer Kapitalbindung das Gutha-

ben zu i* angelegt werden kann. „Wiederanlageprämisse“

Prof. Dr. Hans Hirth 73

Ähnliches bei Verwendung von i1* = 15:

Tab.: Kapitalfreisetzung Beispiel 2.2

Zeitpunkt t 0 1 2

EZÜ et 100 235 138

Zinsen – i* ∙ KBt-1

– 15 + 18

Kapitalfreisetzung

(et i∙KBt-1) – 220

(138+18) =120

Kapitalbindung KBt 100 120 0

Prof. Dr. Hans Hirth 74

Erkenntnisse

Kriterium des internen Zinssatzes nur sinnvoll, wenn Kapitalbin-

dung stets positiv

Pos. Kap.bindg. bei allen Normalinvestitionen erfüllt, aber auch

bei anderen denkbar.

Dann gilt: Kapitalwert ist genau dann positiv, wenn Kalkulations-

zinssatz kleiner ist als der interne Zinssatz (i < i*).

Dann Interpretation: i* ist Rendite auf das im Zeitablauf gebunde-

ne Kapital.

Prof. Dr. Hans Hirth 75

Auswahlentscheidungen mit dem internen Zinsfuß

möglicher Gedanke: A besser als B, wenn iA* > iB*

nur richtig, wenn KA(i) > KB(i) für alle i

Abb.: richtige Auswahl mit internem Zinssatz

i

K

iB* iA* KA(i)

KB(i)

Prof. Dr. Hans Hirth 76

sonst möglich:

Abb.: falsche Auswahl mit internem Zinssatz

i

K

iB* iA*

KA(i)

KB(i) î

Prof. Dr. Hans Hirth 77

Beispiel

eA = (150; 90; 82,5) iA* = 10 %

eB = (80; 49,6; 44,8) iB* = 12 %

î = 7,7 %

Trotz iB* > iA* ist für i < î Projekt A besser als B.

Test bei i = 6 %: KA = 8,33 > KB = 6,66

Prof. Dr. Hans Hirth 78

Vorgehen bei Auswahl zwischen Normalinvestitionen A und B mit Hilfe des internen Zinssatzes

Sind A und B lohnend? iA* > i und iB* > i ?

falls nein: entspr. Projekt unvorteilhaft, kein Auswahlproblem

falls ja: weiter! (im Bsp. mit i = 6 % erfüllt)

Hat Investition mit höherer Kapitalbindung auch höheren internen Zinsfuß? (Problem: Kapitalbindung vorab bestimmen)

falls ja: „große“ Invest. A besser (im Bsp. nicht wegen iA* < iB*)

falls nein: „kleine“ Invest. B könnte besser sein.

Übergang von „kleiner“ (rentierlicheren) zu „großer“ Investition vorteilhaft?

Prof. Dr. Hans Hirth 79

Betrachtung der „Differenzinvestition“:

Mehrausz./-einz. der großen Investition

Im Beispiel

eA = (150; 90; 82,5)

eB = (80; 49,6; 44,8)

eAB = (70; 40,4; 37,7)

Ist Differenzinvestition eine Normalinvestition?

falls nein: i* nicht zweckmäßig; spätestens jetzt Kapitalwertkri-

terium K(AB)

falls ja: Übergang zu großer Investition A genau dann lohnend,

wenn i*AB > i.

im Bsp. i*AB = 7,7 % > i = 6 %, also A besser als B.

Prof. Dr. Hans Hirth 80

Erkenntnisse zum internen Zinssatz

oft nur numerisch lösbar, jedoch kein Gegenargument

echte Probleme bei Nicht-Normalinvestitionen

Mehrdeutigkeit

Wiederanlageprämisse bei negativer Kapitalbindung

bei Normalinvestitionen

Durchführung lohnend, wenn i* > i

Auswahlentscheidung ggf. mit Differenzinvestition

Rekonstruktion der richtigen Entscheidung ist mühsam. Kapitalwert ist vorzuziehen.

Prof. Dr. Hans Hirth 81

2.1.4 Kapitalwertrate

KWR setzt den Kapitalwert K eines Projekts ins Verhältnis zum ein-gesetzten Kapital A0:

0A

KKWR

Annahme: negativer Einzahlungsüberschuß nur in t = 0. A0 steht also wirklich für das gesamte eingesetzte Kapital.

Interpretation:

KW = heutiger Verm genszuwachs

eingesetztes Verm gen

oder auch:

KWR drückt aus, wieviel Kapitalwert pro eingesetztem Euro erwirt-schaftet wird.

Prof. Dr. Hans Hirth 82

Wofür braucht man dieses Kriterium? Beispiel

● Kalkulationszins 10 %

● Festes Investitionsbudget 10 Mio. €.

● 3 Projekte (weder teilbar, noch mehrfach durchführbar)

A = (−10 Mio.; 2 Mio.; 12 Mio.)

B = ( − 6 Mio.; 7 Mio.; 1 Mio.)

C = ( − 4 Mio.; 1 Mio.; 5 Mio.)

Prof. Dr. Hans Hirth 83

Kapitalwert Kapitalwertrate Interner Zins

A: 1,74 Mio. (1) 17 % (3) 20 % (3)

B: 1,19 Mio. (2) 20 % (2) 30 % (1)

C: 1,04 Mio. (3) 26 % (1) 25 % (2)

In Klammern steht die jeweilige Rangposition des Projekts nach dem jeweiligen Kriterium.

Reihung hängt vom Kriterium ab.

In welche Projekte soll nun das Budget fließen? Antwort:

Nicht in Projekt A - obwohl es den höchsten Kapitalwert aufweist -, weil es gleichzeitig das gesamte Budget verschlingt.

Prof. Dr. Hans Hirth 84

Denn entscheidend ist hier:

Wieviel Kapitalwert wird pro eingesetzter Geldeinheit erwirtschaftet.

Kapitalwertrate Pro eingesetztem Euro bekommt man bei C den höchsten Kapital-wert und bei B den zweithöchsten. Daher Lösung: C und B Budget ist damit ausgeschöpft. KC + KB = 1,19 Mio. + 1,04 Mio. = 2,23 Mio. > KA = 1,74 Mio.

Prof. Dr. Hans Hirth 85

Warum hier Kapitalwert kein sinnvolles Reihungskriterium?

(1) Kapitalwertberechnung berücksichtigt zwar unterschiedliche

Höhe des eingesetzten Kapitals,

allerdings nur über die Zinskosten des gebundenen Kapitals. (2) Hier gibt es die zusätzliche Restriktion, daß das eingesetzte Ka-

pital nicht nur Zinskosten verursacht, sondern außerdem in nur begrenztem Umfang zur Verfügung steht.

(3) Bei festem Budget verdrängen sich die Projekte gegenseitig.

Dies wird allein durch den Kalkulationszins (als „Preis“ für den Kapitaleinsatz) nicht hinreichend widergespiegelt.

Prof. Dr. Hans Hirth 86

Bei nur einer Periode mit Zahlungsstrom (−A0; e1) führen KWR und

interner Zins zur gleichen Reihung.

Beweis:

interner Zinssatz: 1A

e*i

0

1

Kapitalwertrate: 1Aq

e

A

q

eA

A

KKWR

0

1

0

10

0

Als Bruttorenditen formuliert:

q* = 1 + i* = 0

1

A

e bzw. qKWR = 1 + KWR =

0

1

Aq

e

Prof. Dr. Hans Hirth 87

Man erkennt:

q* = qKWR ∙ q Bei geg. Kalkulationszins q hat ein Projekt immer dann einen höhe-

ren internen Zins als ein anderes, wenn es eine höhere KWR besitzt.

2.1.5 Einbeziehung von Steuern

Schon ein unverdächtig simples Steuersystem kann die Vorteilhaftigkeit von Investitionen umkehren.

keine Entscheidungsneutralität

Prof. Dr. Hans Hirth 88

Ein simples Steuersystem

proport. Gewinnsteuer, keine Freibeträge, voller Verlustausgleich

Gewinn der Realinvestition: gt = et dt

Abschreibung: dt

allgemein: dt steht für nicht auszahlungswirks. Aufwand in t

außerdem: dt = A0

Steuerzahlung: st = v gt = v (et dt) Steuersatz

Prof. Dr. Hans Hirth 89

Einzahlungsüberschuß nach Steuern:

ets = et st = et v (et dt)

Diskontsatz nach Steuern: is = i (1 v)

Grund: Rendite der Alternativanlage unterliegt derselben Steuer.

Bruttozinssatz: qs = 1 + is

Prof. Dr. Hans Hirth 90

Abb.: Steuereffekte in der Kapitalwertfunktion

Wenn Zinseffekt stärker als Volumeneffekt „Steuerparadoxon“

Zins

K

is i K(e;Zins)

Ks(e

s;Zins)

Zinseffekt Volumen- effekt

Prof. Dr. Hans Hirth 91

Formel: Kapitalwert mit Steuern

T

1t

tstt0s i1seAK

Steuereffekte analytisch Sei

e Zahlungstrom vor Steuern

es Zahlungsstrom nach Steuern mit e

s = e s

i Kalkulationszinssatz ohne Steuern

is Kalkulationszinssatz mit Steuern

Prof. Dr. Hans Hirth 92

K(es; is) K(e; i)

= K (es; is) K (e; is) + K(e; is) K(e; i)

= “Volumeneffekt” + “Zinseffekt”

T

1t

tt

st

t

st

T

1t

t

t

t

st

t

st

t

stt

T

1t

t

t

t

st

t

st

t

s

s

t

)qq(eqs

qeqeqeqse

qeqeqeqe

„Volumeneffekt“ < 0 „Zinseffekt“ > 0 = Barwert der = Erhöhung des Barwerts Steuerausz. der EZÜ durch Zinssenkung

(beachte: qs < q qst > qt

)

Prof. Dr. Hans Hirth 93

Beispiel eines Steuerparadoxons Daten: e und d wie in Tabelle

i = 10 %; v = 50 % is = 5 %

Tab.: Steuerparadoxon

t et dt gt

= et dt

st

= v gt

ets

= et st

0 100 -- -- -- 100

1 20 40 20 10 30

2 30 30 0 0 30

3 40 20 20 10 30

4 45 10 35 17,5 27,5

K = 3,76 Ks = 4,32

= K(e; i) = K(es; is)

Prof. Dr. Hans Hirth 94

Zur Interpretation

positiver Kapitalwert relative Vorteilhaftigkeit i. Vgl. zur alterna-tiven (Finanz-)Anlage

Steuerparadoxon Alternative (Finanz-)Anlage wird durch Steu-er stärker beeinträchtigt als Sachinvestition.

Stärkere Entlastung bei den Zinskosten als Belastung der Investiti-

onsrückflüsse bringt insgesamt Vermögenszuwachs.

2.1.6 Einbeziehung nicht-flacher Zinskurven bisherige Annahme: einheitl. Zinssatz für alle Laufzeiten („flache Zinskurve“) realistischer jedoch: ansteigende Zinskurve

Prof. Dr. Hans Hirth 95

Abb.: Fristigkeitsstruktur der Zinssätze

Achtung: it ist nicht Zinssatz in Periode t, sondern der Periodenzinssatz bei Laufzeit vom Zeitpunkt 0 bis t

inverse

flache

normale

Laufzeit t

it

Prof. Dr. Hans Hirth 96

Differenzierung verschiedener Arten von Zinssätzen

Kassazinssätze Zinssatz für Geschäfte, die sofort durchgeführt werden

Zerobond-Zinssatz z0t („spot rate“) keine zwischenzeitliche Zinszahlung, gesamte Zinszahlung erst am Ende der Laufzeit (z.B. Zero-Bonds) Bsp. Wertpapier mit 3 Jahren Laufzeit u. Zerobond-Zinssatz z03 = 6 % t 0 1 2 3

Zahlung 10.000 0 0 (1,06)3 10.000

= 11.910,16

Prof. Dr. Hans Hirth 97

Kupon-Zinssatz i0t mit zwischenzeitl. Zinszahlung (z.B. übliche Kreditverträge, Kupon-anleihen) Bsp. Wertpapier mit 3 Jahren Laufzeit u. Kupon-Zinssatz i03 = 6 % t 0 1 2 3

Zahlung 10.000 600 600 10.600 Terminzinssatz zst oder ist („forward rates“) Zinssätze für Geschäfte, die jetzt vereinbart, aber erst künftig durch-geführt werden.

Prof. Dr. Hans Hirth 98

Bsp. Wertpapierkauf auf Termin zum Terminkurs 10.000 (soll hier dem Nennwert gleichen) a) mit z24 = 6% t 0 1 2 3 4

Zahlung 0 0 10.000 0 (1,06)2 10.000

= 11.236 b) mit i24 = 6% t 0 1 2 3 4

Zahlung 0 0 10.000 600 10.600 Im folgenden sind mit Terminzinssätzen stets die zst gemeint, die ist werden keine Rolle spielen.

Prof. Dr. Hans Hirth 99

Beziehung zwischen den Zinssätzen

..... über das Prinzip der Arbitragefreiheit herstellbar: arbitrage (frz.):

- w rtliche Übersetzung „Schiedsgericht“ - Ökonomen meinen damit „Ausnutzen von Preisunterschieden“. Auf vollkommenen Märkten ist Arbitragefreiheit notwendige Bedin-gung für ein Marktgleichgewicht.

Äquivalente Positionen haben gleiche Preise.

Dominante Positionen haben höhere Preise.

Prof. Dr. Hans Hirth 100

Arbitragefreiheit bei Finanzanlagen impliziert:

Finanzanlagen, die den gleichen Rückfluß generieren, müssen den gleichen „Preis“ haben.

Die gegebene Zinsstruktur muß so sein, daß bei Anlage eines geg. Betrags von 0 bis t jede beliebige Kombination möglicher Zinssätze zum gleichen Kapitalwert führt.

Der Preis jeder Anlagemöglichkeit entspricht dem Barwert ihrer Rückflüsse. Oder anders: Der Kapitalwert jeder Finanzanlage be-trägt null.

Prof. Dr. Hans Hirth 101

Welche Zinssatzarten können für die Berechnung des Kapitalwerts verwendet werden?

Bsp: Kapitalwertberechnung des Zahlungsstroms (−100; 40; 60)

20?)1(

60

?1

40100K

Abb.: Zinssatzarten

et = 100 40 60 t = 0 1 2

z02

z01 = i01 z12

i02 i02

Prof. Dr. Hans Hirth 102

Lösung: Entweder

2

0201 )z(1

60

z1

40100K

oder

)z(1)z(1

60

z1

40100K

120101

oder

12020201 zii21

60

z1

40100K

Diskontierung von 40 auch mit i01 möglich, aber nicht mit i02 oder

z02, da unterschiedliche Frist (logisch).

Prof. Dr. Hans Hirth 103

Diskontierung von 60 bedeutet, danach zu fragen, wie hoch der heu-tige Kredit X sein darf, für dessen Tilgung samt Zinseszinsen die 60 in t = 2 verwendet werden.

Variante 1 Es wird heute ein zweijähriger Kredit zum Zerobondzins z02 aufge-

nommen, der aufgezinst den Betrag 60 ergibt:

X ∙ (1+z02)² = 60

X = 202z1

60

Prof. Dr. Hans Hirth 104

Variante 2 Es wird heute ein einjähriger Kredit zum Zins z01 (bzw. i01) aufge-

nommen. Die Tilgung und Zinszahlung wäre

in t = 1: (1+z01) ∙ X

Diese künftige Auszahlung wird auf Termin über einen Anschluß-

kredit zum Zins z12 finanziert. Endwert dieses Anschlußkredits ist

in t= 2: (1+z01) ∙ X ∙ (1+z12)

Wenn dieser Endwert gleich 60 sein soll, wäre der „passende“ heu-

tige Kredit

)z(1)z(1

60X

1201

Prof. Dr. Hans Hirth 105

Variante 3 Es wird heute ein zweijähriger Kredit zum Kuponzins i02 aufgenom-

men. Die daraus fälligen Auszahlungen sind

in t = 1: i02 ∙ X (zwischenzeitliche Zinszahlung)

in t = 2: (1+i02) ∙ X

i02 ∙ X wird über einen zusätzlichen Kredit auf Termin finanziert.

Dessen Endwert ist in t = 2: i02 ∙ X ∙ (1+z12)

Dann ist der Endwert beider Kredite

in t = 2: (1+i02) ∙ X + i02 ∙ X ∙ (1+z12)

= X ∙ (1+ 2 ∙ i02 + i02 ∙ z12)

Prof. Dr. Hans Hirth 106

Wenn dieser Endwert gleich 60 sein soll, wäre der „passende“ heu-

tige Kredit

120202 zii21

60X

Die ersten beiden Varianten implizieren wegen Arbitragefreiheit

(1 + z02)2 = (1 + z01) (1+z12)

1z1

)z1(z

01

2

0212

„impliziter erminzinssatz“

Prof. Dr. Hans Hirth 107

Abb.: arbitragefreie Zinssätze bei t Perioden

1 €

z01 z12 z23 zt-1;t

Zeit

z0t

Endbetrag in t: 1 € ∙ (1+z01) ∙ (1+z12) ∙ ….. ∙ (1+zt-1;t)

Endbetrag in t: 1 € ∙ (1+z0t)

t

t 0 1 2 3

Prof. Dr. Hans Hirth 108

Allgemein: Termin- und Zerobond-ZInssätze

(1 + z0t)t = (1 + z01) (1+z12) ... (1+zs1,s) (1+zs,s+1) ..... (1+zt1,t)

bei Arbitragefreiheit:

(1+z0t)t = (1+z0s)

s (1+zst)

ts

s

s0

t

t0st

st)z1(

)z1()z1(

(1+z0s)s (1+zst)

ts

Prof. Dr. Hans Hirth 109

Formel: Kassa- und passendeTermin-Zerobond-Zinssätze

1

)z1(

)z1(z st

s

s0

t

t0st

mit s < t. Erkenntnisse bei nichtflacher Zinsstruktur

Berechnung des Kapitalwerts wie gehabt, aber auf Basis der Ze-

robond-Zinssätze, nicht mit Kupon-Zinssätzen (allein)

Arbitragefreiheit nur gewährleistet, wenn die Sätze der unter-

schiedlichen Zinsarten in bestimmtem Verhältnis zueinander ste-

hen.

Prof. Dr. Hans Hirth 110

2.1.7 Einbeziehung von Risiko Wenn Rückzahlungen risikobehaftet

Bewertungsabschlag durch risikoaversen Entscheider Zwei Ansatzpunkte in Kapitalwertformel für Einbezug einer Risikoprämie

Abschlag auf EZÜ: K0 = E(et) - Pt

1+i t t=0

Zuschlag* auf Kalk.zins: K0 = E(et)

1+i+rpt t

t=0

* bzw. Abschlag, falls E(et) < 0

Bemessung der Risikoprämie RP bzw. rp durch

individuelle Risikopräferenz oder

Marktbewertung des Risikos

Genaueres in F&I 1 „Risikomanagement und Kapitalmarkt“

Prof. Dr. Hans Hirth 111

2.2 Investitions- und Konsumentscheidung

2.2.1 Fisher-Modell und vollkommener Kapitalmarkt a) subjektive Bewertung über indiv. Zeitpräferenz

Beispiel zwei Zeitpunkte

Anfangsausstattung mit liquiden Mitteln L = 100

Sachinvestitionsmöglichkeiten wie folgt:

Tab.: Investitionserträge

Gesamtinvestitionen I0 in t = 0

Rückfluß I1 in t = 1

0 0

40 60

80 108

100 124

Prof. Dr. Hans Hirth 112

Abb.: vier Investitions- und Konsumalternativen

c0

c1

124

108

60

0 20 60 100

Prof. Dr. Hans Hirth 113

Wieviel soll investiert werden? Ziel: Nutzenmaximierung! Investor I

z.B. mit U = c00,5

c10,4

Tab.: Nutzen I

I0 I1 = c1 100I0 = c0 U

0 0 100 0

40 60 60 39,84

80 108 20 29,10

100 124 0 0

Prof. Dr. Hans Hirth 114

Abb.: Optimierung I

c0

c1

124

108

60

0 20 60 100

Prof. Dr. Hans Hirth 115

Investor II

z.B. mit U = c00,1

c10,8

Tab.: Nutzen II

I0 I1 = c1 100I0 = c0 U

0 0 100 0 40 60 60 39,84

80 108 20 57,13

100 124 0 0

Prof. Dr. Hans Hirth 116

Abb.: Optimierung II

c0

c1

124

108

60

0 20 60 100

Prof. Dr. Hans Hirth 117

Ergebnis: Investor I bevorzugt I0 = 40. Investor II bevorzugt I0 = 80. Optimale Höhe d. Sachinvestition hängt v. indiv. Nutzenfunktion ab!

keine Einigkeit bei mehreren Gesellschaftern

schlechte Delegierbarkeit b) Bewertung mit zusätzl. Einbeziehung des Kapitalmarkts ● zusätzliche Möglichkeit, Mittel anzulegen und aufzunehmen

● Beispiel

─ einheitlicher Zinssatz i = 10% für Anlage und Kredit

─ zeitliche Transformation von Zahlungen in t = 0 nach t = 1 (oder umgekehrt) im Verhältnis 1 : 1,1 (oder 1,1 : 1)

Prof. Dr. Hans Hirth 118

Abb.: Zinsgeraden

c0

c1

Steigung

(1+ i)

Prof. Dr. Hans Hirth 119

Abb.: Optimierung mit vollkommenem Kapitalmarkt

c1

c0

Investor I

Investor II

I0=80

I0=40

I0=0

I0=100

Prof. Dr. Hans Hirth 120

Ergebnisse

Beide Investoren bevorzugen nun Sachinvestition I0 = 80, auch Investor I.

Investor I nimmt Kredit am Kapitalmarkt auf und konsumiert rela-tiv viel in t = 0.

Investor II legt zusätzlich Mittel am Kapitalmarkt an und konsu-miert relativ wenig in t = 0.

Grund für identische Investitionsentscheidungen

Bei I0 = 80 könnten die meisten Mittel sofort entnommen werden.

Diese Mittel müssen aber nicht sofort entnommen und konsumiert werden, sondern können wiederum über Kapitalmarktanlage (teilweise) in morgigen Konsum transformiert werden.

Prof. Dr. Hans Hirth 121

Nachweis

■ Bei welchem Investitionsvolumen ist derjenige Betrag am höchsten, der sofort entnommen werden könnte,

■ wenn sämtliche Investitionsrückflüsse zur Tilgung der Finanzie-rung verwendet würden?

Tab.: maximale Entnahme

I0 I1 max. Kredit

I1 1,11

verbleibende Anfangsmittel

nach I0

max. Mittel V0

in t = 0:

0 0 0 100 100

40 60 54,54 60 114,54

80 108 98,18 20 118,18

100 124 112,72 0 112,72

Prof. Dr. Hans Hirth 122

Allgemeine Regel für Investitionsentscheidungen bei vollkom-

menem Kapitalmarkt:

Maximiere das Gegenwartsvermögen V0 vor Konsumentscheidung!

V0 = (L I0) + I1 (1+i)1 = L + { I0 + I1 (1+i)

1}

Überschuß d. diskontierten Rück- flüsse über d. Anfangsauszahlung „Kapitalwert“ der Investition, „Nettobarwert“ (net present value)

Daraus folgt das Kapitalwertkriterium für Investitionsentscheidun-gen:

Prof. Dr. Hans Hirth 123

Eine Investition lohnt sich, wenn ihr Kapitalwert positiv ist. Wenn sich verschiedene Investitionsprojekte ausschließen, wähle

diejenige mit dem höchsten Kapitalwert.

Fisher-Separation (Irving Fisher)

(1) Sachinvestitionsentscheidung unabh. von indiv. Zeitpräferenz;

Ziel: Kapitalwertmaximierung

(2) Konsumentscheidung durch Aufteilung des Gegenwartsvermö-

gens aus (1) auf die verschiedenen Zeitpunkte via Kapitalmarkt

Folge

Einstimmigkeit der Gesellschafter

Möglichkeit der Delegation von Investitionsentscheidungen

Prof. Dr. Hans Hirth 124

Aufteilung des Gegenwartsvermögens auf den intertemporalen Konsum im Beispiel

Bei I0 = 80 maximales Gegenwartsvermögen V0 = 118,18

Investor mit U = c0 c1

Wie teilt Investor die 118,18 optimalerweise auf seinen Konsum heute und morgen auf?

U = c0 c1

= (V0 s0) [(1+i) s0]

über s0 zu maximieren! mit s0: Teil des Gegenwartsvermögens V0, der nicht gegenwärtig konsumiert wird (s0 > 0)

Prof. Dr. Hans Hirth 125

U’(s0) = (V0 s0)1

[(1+i) s0]

+ (V0 s0) (1+i) [(1+i) s0]

1 = 0 : (V0s0)

: [(1+i) s0]

(V0 s0) 1

+ (1+i) [(1+i) s0] 1

= 0 (V0s0)

s0

s0 + (V0 s0) = 0

s0* = 0V

c0* = V0 s0

* = 0V

c1* = (1+i) s0

* = (1+i) 0V

Prof. Dr. Hans Hirth 126

Einsetzen von V0 = 118,18 und i = 0,1 sowie α und β in c0* und c1

*:

Tab.: Konsumaufteilung

Investor I

= 0,5 und = 0,4

Investor II

= 0,1 und = 0,8

c0*

65,66 13,13 c1

* 57,78 115,55

U mit Kapitalmarkt 41,05 57,81

U ohne Kapitalmarkt (s.o.) 39,84 57,13

Berücksichtigung des Kapitalmarkts verbessert beide Investoren.

Selbst Investor II verbessert sich, obwohl seine Sachinvestition unverändert bleibt.

Prof. Dr. Hans Hirth 127

Maßnahmen der Investoren

Investor I in t = 0

Sachinvestition 80

verbleibende Eigenmittel 20

zusätzl. Kredit c0 20 = 65,66 20 = 45,66

Konsum c0 = 65,66 in t = 1

Investitionsrückfluß 108

Kredittilg. + Zins 1,1 45,66 = 50,226

Konsum c1 = 108 50,226 = 57,774

Prof. Dr. Hans Hirth 128

Investor II in t = 0

Sachinvestition 80

verbleibende Eigenmittel 20

zusätzl. Finanzanlage 20 c0 = 20 13,13 = 6,87

Konsum c0 = 13,13 in t = 1

Investitionsrückfluß 108

Rückfluß aus Finanzanlage 1,1 6,87 = 7,557

Konsum 108 + 7,557 = 115,557

Prof. Dr. Hans Hirth 129

2.2.2. Hirshleifer-Modell und unvollkommener Kapitalmarkt ● Unvollkommenheit abgebildet über Habenzins < Sollzins

● Projekte stilisiert über stetige Investitionsertragskurve.

c1

c0

Habenzinsgerade

Sollzinsgerade

Investitions-ertragskurve

Anfangs-vermögen

B

A

Prof. Dr. Hans Hirth 130

Je nach Steigung der Indifferenzkurven liegt Tangentialpunkt der bestmöglichen Indifferenzkurve

(1) auf der Habenzinsgerade (links von A).

(2) auf der Investitionsertragskurve (zwischen A und B).

(3) auf der Sollzinsgerade (rechts von B). Diese drei Fälle sind wie folgt zu interpretieren:

(1) Investor investiert bis A und legt außerdem noch etwas am Kapitalmarkt an.

(2) Investor investiert bis in den Bereich zwischen A und B. Er legt weder etwas am Kapitalmarkt an, noch nimmt er Kredit auf.

(3) Der Investor investiert bis B und nimmt noch einen Kredit auf. keine Fisher-Separation mehr (nur noch bereichsbezogene)

Prof. Dr. Hans Hirth 131

2.3 Nutzungsdauerentscheidungen ND: nicht gemeint „technisch mögliche“, sondern „ökonomisch sinnvolle“

Entscheidung über optimalen Zeitpunkt der Ersetzung zahlreiche Varianten:

ohne Ersatzinvestition

mit identischer Ersatzinvestition

mit besserer Ersatzinvestition 2.3.1 ohne Ersatzinvestition bei Beendigung: Liquidationserlös statt weiterer lfd. Überschüsse

Prof. Dr. Hans Hirth 132

Beispiel: keine Ersatzinvestitionen i = 10 %, et

n: EZÜ in t bei Beendigung im Zeitpunkt n (≥ t)

Tab.: keine Ersatzinvestition

t et Lt et1 et

2 et

3 et

4 et

5

0 100 100 100 100 100 100 100

1 50 60 110 50 50 50 50

2 40 36 -- 76 40 40 40

3 30 22 -- -- 52 30 30

4 20 10 -- -- -- 30 20

5 10 0 -- -- -- -- 10

K(n) 0 8,26 17,58 21,54 20,92

Bei Laufzeit n = 4 ist Kapitalwert am höchsten.

Prof. Dr. Hans Hirth 133

Aber:

Vollst. Vergleich aller alternativen Zahlungsströme ist aufwendig. Behelf:

Analyse der Wirkung der Verlängerung der ND um eine Periode Ausgangspunkt:

K(n) = n

n

n

0t

t

t qLqe

Prof. Dr. Hans Hirth 134

Erhöhung des Kapitalwerts durch Verlängerung der ND um eine Pe-

riode (von n1 bis n):

K(n) K(n1)

=

)1n(

1n

1n

0t

t

t

n

n

n

0t

t

t qLqeqLqe

= en qn

+ Ln qn

Ln1 q(n1)

= en qn

+ Ln qn

Ln1 qn

(1+i)

= qn [en (Ln1 Ln) i Ln1]

Barwert von EZÜ kalk. Zinsen auf Liqu.erlös)

Minderung des Liqu.erlöses

Prof. Dr. Hans Hirth 135

Falls K(n) K(n1) > 0:

Weiternutzung von n1 bis n vorteilhaft.

Falls K(n) K(n1) < 0:

Weiternutzung von n1 nur bis n unvorteilhaft.

Aber: Weiternutzung bis (n+x) könnte höheren Kapitalwert erbringen.

„Behelf“ kann nur die Vorteilhaftigkeit einer Fortführung nachweisen,

aber nicht die eines Abbruchs (außer vor der letzten Periode).

Prof. Dr. Hans Hirth 136

2.3.2 mit Ersatzinvestition hier: unendliche Investitionskette identischer Investitionen

Beispiel: identische Ersatzinvestitionen i = 10 % et

n: EZÜ in t, wenn Projekt nach n Perioden beendet wird

und dann das gleiche Projekt neu beginnt.

Prof. Dr. Hans Hirth 137

Tab.: identische Ersatzinvestionen t et Lt et

1 et

2 et

3 et

4 et

5

0 100 100 100 100 100 100 100

1 50 60 110100 50 50 50 50

2 40 36 110100 76100 40 40 40

3 30 22 110100 50 52100 30 30

4 20 10 110100 76100 50 30100 20

5 10 0 110100 50 40 50 10100

6 usw. 76100 52100 40 50

7 usw. usw. 30 40 8 30100 30

9 usw. 20 10 10100 11 usw.

Beachte: Wenn der Ersatz der 1. Investition in t = n optimal ist, dann ist der Ersatz der 2. Investition in t = 2n optimal.

Prof. Dr. Hans Hirth 138

K(n): Kapitalwert der unendlichen Investitionskette

K (n): Kapitalwert der endlichen Investition Zusammenhang zwischen beiden:

K(n)

= K(n) + qn K(n) + q2n

K(n) + usw. Kapitalwert 1. Invest. Kapitalwert 2. Invest. Kapitalwert 3. Invest.

= K(n) (1 + qn + q2n

+ q3n + .....)

(1): Q

Prof. Dr. Hans Hirth 139

Rechentrick:

Dann ist (2): qn Q = qn

+ q2n + q3n

+ .....

(1)(2): Q qn Q = 1

Qn = nq1

1

Also ist K(n) = K (n) nq1

1

Tab.: Vergleich der K(1), K(2), ....., K(5) im obigen Beispiel n K(n)

siehe oben Qn K(n)

= Qn K(n)

1 0 11* 0 2 8,26 5,762 47,59 3 17,58 4,021 70,69 4 21,54 3,155 67,96 5 20,92 2,638 55,19

Optimale ND beträgt 3 Jahre * 1 / (1 – 1,11) = 11

Prof. Dr. Hans Hirth 140

Erkenntnis bei Ersatzinvestitionen

optimale Nutzungsdauer kürzer als ohne Ersatzinvestitionen

Grund:

bei einmaliger Durchführung kein zeitlicher Aufschub des posi-tiven Kapitalwerts nachfolgender Projekte mit entspr. Zinsver-lust

bei Folgeprojekten dagegen Trade-off zw. Restzahlungen und frühzeitigem positiven Kapitalwert der Folgeinvestitionen

3. Endogene Kalkulationszinssätze Kapitalbudgetierung simultane Investitions- und Finanzierungsplanung

Prof. Dr. Hans Hirth 141

Dean-Modell (Joel Dean, 1951)

Situation verschiedene Investitionsprojekte: schließen sich nicht aus und sind unabhängig voneinander verschiedene Finanzierungsquellen: unabhängig voneinander, mit jeweils begrenztem Volumen Grundidee: Vorgezogen werden

Investitionen mit höchster Rendite (int. Zinssatz)

Finanzierungsquellen mit niedrigstem Kapitalkostensatz

Ausdehnung des Budgets, solange: Rendite zusätzl. Investition > Kapitalkostensatz zusätzl. Fin.

Prof. Dr. Hans Hirth 142

Abb.: Dean-Modell

F1

F2

F3

I1

I2

I3

I1

I4

I5

Kapitalangebotskurve

Kapitalnachfragekurve

Kapital

Zinssatz

optimales Budget

endog. Kalk.zins-satz i

Prof. Dr. Hans Hirth 143

Für den endogenen Kalkulationszinssatz gilt:

Kein vorteilhaftes Projekt erzielt geringere Rendite.

Keine vorteilhafte Finanzquelle hat höhere Kapitalkosten.

nichtnegativer Kapitalwert jedes Projekts und jeder Finanzquelle unproblematische Modellerweiterungen Investitionsprojekte, die nicht unabhängig voneinander sind, oder

Finanzierungsquellen, die nicht unabhängig voneinander sind

Kombi als „eigene“ Alternative explizite Berücksichtigung der Unteilbarkeit von Projekten

Flächenvergleich (siehe nächste Seite) grundlegende Schwächen

Kapitalkosten unabh. von Eigenschaften der Investitionen

kein echtes Simultanmodell

keine Begründung der unterschiedlichen Kapitalkosten

Mehrperiodigkeit → Probleme mit internem Zinssatz

Prof. Dr. Hans Hirth 144

Abb.: Lösungsvorschlag bei unteilbaren Projekten Wenn G > V, sollte auch I2 durchgeführt werden.

F1

F2 I1

I2

I3

I1

Kapitalangebotskurve

Kapitalnachfragekurve

Kapital

Zinssatz

optimales Budget

V

G

Prof. Dr. Hans Hirth 145

Problem bei unteilbaren Projekten

Beispiel

I1 mit Kapitaleinsatz von 1.000 € und 10 % endite.

I2 mit Kapitaleinsatz von 2.000 € und 9 % Rendite.

F1 mit maximal 2.000 € und 2 % Zinssatz.

F2 in unbegrenzter Höhe und 18 % Zinssatz.

Prof. Dr. Hans Hirth 146

Abb.: Problem bei Unteilbarkeit von Projekten

V

I2

G

Kapital

Zinssatz

18 %

10 %

9 %

2 %

1000 € 2000 € 3000 €

Y

F1

I1

F2

Prof. Dr. Hans Hirth 147

G = 1.000 € ∙ (9 % - 2%) = 70 €

V = 1.000 € ∙ (18 % - 9 %) = 90 €

würde Ablehnung von I2 bedeuten

I1 allein erbrächte den Gewinn

Y = 1.000 € ∙ (10 % - 2 %) = 80 €

….. ist aber nicht optimal.

Prof. Dr. Hans Hirth 148

Besser: Verzicht auf Projekt I1 Durchführung nur Projekt I2

Gewinn

2.000 € ∙ (9 % - 2 %) = 140 € > 80 €. Fazit

Kleineres I1 trotz höherer Rendite schlechter als größeres I2.

Ähnliches Problem wie bei Renditevergleichsrechnung mit unter-

schiedlichen Kapitaleinsätzen.

Bei Teilbarkeit kein Problem, weil es dann stets nur um einen

Renditevergleich des letzten Euros geht.

Prof. Dr. Hans Hirth 149

III. Finanzierung 1. Finanztitel als Instrumente der Finanzierung 1.1 Abstimmungsbedarf zwischen Unternehmen u. Haushalten

Unternehmen: investieren mit grundsätzlich ..... hohem relativ langfristiger riskanten Kapitalbedarf Kapitalbindung Rückflüssen geringem Präferenz für Präferenz für Anlagevolumen kurzfr. Verfügbarkeit wenig Risiko Haushalte: Sparen/Entsparen zur Gestaltung des intertemporalen

Konsumstroms (jeweils) mit grundsätzlich ....

Höhe Laufzeit Risiko

Prof. Dr. Hans Hirth 150

1.2 Transformationsaufgaben von Finanztiteln Finanztitel vertragliche Festlegung der Rechte und Pflichten von Kapitalgeber und -nehmer a) Abstimmung von Kapitalbedarf und Anlagewünschen Größentransformation: Zerlegung des volumenmäßigen Kapital-bedarfs in kleinere Parten und Aufteilung auf viele Financiers

Prof. Dr. Hans Hirth 151

Fristentransformation: Deckung eines langfristigen Kapitalbedarfs durch revolvierende Finanzierung mit Titel kurzer Fristigkeit Risikotransformation: Zerlegung der unsicheren Gesamtrückzah-lung in unterschiedlich riskante Parten (Bsp. Beteiligung u. Kredit) Risikoübernahme durch Anleger je nach indiv. Risikobereitschaft und –tragfähigkeit

t

sicher unsicher

Prof. Dr. Hans Hirth 152

b) Unterstützung der Transformationsaufgaben

(1) Unterstützung durch Sekundärmarkt

Primärmarkt (Emissionsmarkt)

Ausgabe neuer Finanztitel

unmittelbare Beziehung zwischen Emittent und Anleger

ohne Primärmarkt Sekundärmarkt unterstützt Primärmarkt: kein Sekundärmarkt Liquidität durch Veräußerbarkeit

Preise als Informationssignale

Sekundärmarkt (Umlaufsmarkt)

Handel mit bereits vorhandenden Finanztiteln

Beziehung zwischen verschiedenen Anlegern

Prof. Dr. Hans Hirth 153

Erleichterung des Handels, wenn

keine Nachschußverpflichtung (begrenzte Haftung) Begrenzung des Risikos beim Handel mit den Finanztiteln, außerdem: Kreditwürdigkeit des Unternehmens unabhängig vom Privatvermögen der jeweiligen Eigner

Standardisierung des gehandelten Titels Senkung des Informationsbedarfs über Rechte/Pflichten

hinreichende Publizität über den Emittenten erleichterte Informationsbeschaffung (2) Unterstützung durch Finanzintermediäre z. B. Banken, Fondsgesellschaften, Versicherungen, Kapitalanlage-gesellschaften, .....

Prof. Dr. Hans Hirth 154

Erleichterung der Partnersuche

Senkung des Informationsbedarfs

Information über Bank reicht aus

Bank erhält leichter u. mehr Infos über Emittent (dauernde Beziehung, Verhandl.macht, Vertraulichkeit)

erleichterte Risikostreuung aufgrund hinreichender Größe (letztlich wegen Fixkosten und Unteilbarkeiten) c) Rechte und Pflichten ..... der Emittenten und Anleger

Gegenleistung des Emittenten: Rückzahlung von Mitteln

Leistung des Anlegers: Bereitstellung liquider Mittel

Prof. Dr. Hans Hirth 155

Problem: Gegenleistung erst in der Zukunft und damit unsicher

Einfluß des Zufalls: Einfluß der Handlungen unbeeinflußbar; exogen des Emittenten/Kapitalnehmers: Bsp. Konjunktur beeinflußbar, endogen Bsp. Mißmanagement

Folge: Bedarf an Sicherung der Gegenleistung z. B. durch

Zugriff auf weitere Vermögensgegenstände (Bsp. Kreditsicherheiten, Bürgschaften)

Informationsrechte (Bsp. Einblick in Geschäftsbücher)

Mitspracherechte (Bsp. bei Großinvestitionen)

Wahlrechte (z.B. Verkaufsoptionen)

Kündigungsrechte

Prof. Dr. Hans Hirth 156

1.3 Eigen- und Fremdfinanzierung (a) Idealtypen (1) Fremdkapital (Forderungstitel, Kredite) Merkmal: Kapitalüberlassung

für festgelegte Frist

vom Unternehmenserfolg unabhängiger (= unbedingter) Zins- und ilgungsanspruch („Festbetragsanspruch“)

Folgen

normalerweise nur geringe Risikobeteiligung

Ausfall nur, wenn Vermögen des Schuldners u. evtl. Haftungserweiterungen nicht ausreichen

vorrangige Bedienung bei Insolvenz

Prof. Dr. Hans Hirth 157

Abb.: Eigenkapital als Verlustpuffer

Aktiva Passiva

Vermögen

EK

FK

Verlust

Prof. Dr. Hans Hirth 158

weitere Folgen für FK-Geber

geringer Informationsbedarf:

nur Infos, ob Festbetragsanspruch erfüllt werden kann

Mitgestaltungsrechte überflüssig, solange Untern.vermögen absehbar ausreicht

Gefahr droht, wenn EK nahezu aufgezehrt ist:

Neigung zu riskanterem Verhalten des Kreditnehmers

„ isikoanreizproblem“

(nicht das einzige, aber das wichtigste)

Prof. Dr. Hans Hirth 159

Beispiel zum Risikoanreizeffekt Ausgangssituation: EK = 20 V = 80 FK = 60 2 alternative Projekte 20 mit Wkt. 0,6

Projekt A führt zu Gewinn V = E(V) = 4

20 mit Wkt. 0,4 40 mit Wkt. 0,5

Projekt B führt zu Gewinn V = E(V) = 0

40 mit Wkt. 0,5

A besser als B, da höherer Erw.gewinn und geringeres Risiko

Prof. Dr. Hans Hirth 160

Entscheidungskriterium der EK-Geber: E(EK) („ isikoneutralität“)

Projekt A wird durchgeführt

Erfolg mit 0,6 Mißerfolg mit 0,4 E(EK)

EK = 40 EK = 0 = 0,620 + 0,4(20) V = 100 V = 60 = 4 FK = 60 FK = 60

Projekt B wird durchgeführt

Erfolg mit 0,5 Mißerfolg mit 0,5 E(EK)

EK = 60 EK = 0 = 0,540 + 0,5(20) V = 120 V = 40 = 10 FK = 60 FK = 40 (Haftung nur mit V)

Prof. Dr. Hans Hirth 161

Ergebnis: riskanteres (und insgesamt schlechteres) Projekt wird vorgezogen Ursache: asymmetr. Partizipation der EK-Geber an Gewinnen und Verlusten

Folgerungen

Erweiterung des haftenden Vermögens durch zusätzl. Sicherhei-ten außerhalb des Unt. und durch Bürgschaften Dritter

Aktiva Passiva

Vermögen

EK

FK

Haftungs-

erweiterung

Prof. Dr. Hans Hirth 162

Einengung der Möglichkeit riskanter Projekte durch Sicherheiten innerhalb des Unt. (Eigentumsvorbehalt bei Fuhrpark)

Aktiva Passiva

Kündigungsrechte bei Verringerung der EK-Quote (EK/GK)

Rückzahlung oder Mitsprache über Investitionspolitik

Insolvenzregel: Übernahme des Unt. durch Gläubiger bei Verzehr des EK

Verknüpfung von Entscheidung und Haftung

Vermögen

EK

FK Verfügungs-

beschränkung

Prof. Dr. Hans Hirth 163

bisher: Bankkredite

etwas anders: börsengehandelte Schuldverschreibungen mit vielen Gläubigern

Vorteile eines organisierten Sekundärmarktes, z. B. bzgl. Weiterveräußerung und Risikoteilung

nachvertragl. Einflußnahme auf das endogene Risiko schwieriger (2) Eigenkapital (Beteiligungstitel, Geschäftsanteile) Merkmal: Kapitalüberlassung

i.d.R. für unbegrenzte Frist

vom Unternehmenserfolg abhängiger (= bedingter) Zahlungs- anspruch („ estbetragsanspruch“, esidualanspruch)

Prof. Dr. Hans Hirth 164

Folgen

grundsätzlich Risikobeteiligung (nicht erst im Konkurs, dort übrigens nachrangige Bedienung)

hoher Info.bedarf

Bedarf an Mitgestaltung ( Verknüpfung v. Haftung u. Ent.) Ausgestaltung der Gesellschafterrechte in HGB, GmbHG, AktG Beteiligungen

mit begrenzter Haftung

in allen Kapitalgesellschaften: GmbH, AG

in Personenges.: Kommanditeinlagen in KG

mit „unbegrenzter“ Haftung Haftung auch mit Privatverm.

in Personengesellschaften KG, OHG, ...

bei Einzelkaufmann sowieso

Prof. Dr. Hans Hirth 165

b) Beispiele für Mischformen (1) Optionsschuldverschreibung (bei Aktiengesellschaften) börsennotierte Anleihe, ergänzt um Kaufoption „Option“ = echt

nach oder während einer best. Frist (europ. oder amerikan.)

einen best. Vermögensgegenstand (Basistitel)

zu einem best. Preis (Ausübungspreis)

zu kaufen oder zu verkaufen (Kauf- od. Verkaufsopt.; bzw. call od. put)

hier gemeint: Kaufoptionen auf zusätzliche (neue) Aktien

Ausübung e. Kaufoption, wenn Ausübungspreis < Marktpreis.

Prof. Dr. Hans Hirth 166

(2) Wandelschuldverschreibung

anders als bei (1) keine Ergänzung um Option,

sondern Recht des Gläubigers auf Wandelung der gesamten

Schuld in EK.

Für (1) und (2) gilt: Anleihe + bed. Kapitalerhöhung (§ 192 AktG)

typisch: niedrige Nominalverzinsung der Anleihe → Schonung der Liquidität des Emittenten

aber: kein Geschenk der Kapitalgeber an Emittent, da Ausgleich durch Wert der Option bzw. des Wandlungsrechts

außerdem: Informationsvorteile des Emittenten? Emission ein „schlechtes Signal“?

Prof. Dr. Hans Hirth 167

Beispiel: Wandelschuldverschreibung von TUI 2011

Aktienkurs bei Emission 9,1158 € (volumengewichteter Kurs)

Wandlungspreis 11,8506 €

Wandelprämie (11,8506 / 9,1158) 1 = 30 %

Wandlung vorteilhaft, wenn Aktienkurs > 11,8506 €.

Bei Anlagebetrag 1 Mio. € und Wandlung 1 Mio. / 11,8506 ≈ 84.384 Aktien

magerer Kuponzins 2,75 %

Wandlung bis Laufzeitende 2016 möglich

TUI darf ab 14.4.2014 vorzeitig kündigen, falls Aktienkurs über e. best. Zeitraum höher als 130 % des Wandlungspreises

Prof. Dr. Hans Hirth 168

(3) Aktienanleihen

Recht des Schuldners auf Rückzahlung der Schuld durch Aktien

vorteilhaft für ihn, wenn Kurs bestimmte Grenze unterschreitet

wird „erkauft“ durch h here Nominalverzinsung

Das Recht, Aktien der AG des Schuldners anzudienen, wird spe-ziell auch als „umgekehrte Wandelanleihe“ bezeichnet.

(4) stille Beteiligung/Gesellschaft

Beteiligung am Gewinn zwingend, Verlustbeteiligung kann ausgeschlossen werden (§ 231 HGB)

Anspruch auf Rückzahlung der Einlage

keine Mitspracherechte

(evtl. nachrangige) Forderung im Konkursfall

Verbindung einiger Merkmale idealtyp. Beteiligungen u. Ford.

Prof. Dr. Hans Hirth 169

1.4 Innen- und Außenfinanzierung bisherige Beispiele: Finanzierung durch Zuführung liquider Mittel durch Dritte von außen

(Beteil.- oder Kreditgeber) externe Finanzierung (Außenfin.) jedoch: erheblicher Teil d. Unternehmensfinanzierung durch interne Quellen

interne Finanzierung (Innenfinanzierung)

Verhinderung des Abflusses von EZÜ aus dem Unternehmen, die in der betrachteten Periode realisiert wurden.

Letztlich stammen die natürlich auch aus externen Quellen.

Aber: Externe Quellen geben die Zahlungsmittel nicht zum Zweck der Finanzierung.

Beispiel:

Zahlungswirksamer Umsatz wird zur Finanzierung verwendet.

Prof. Dr. Hans Hirth 170

Vorabüberlegungen

nach einer Periode zusätzlich generiertes Finanzierungsvolumen

= erfolgswirksame EZÜ

+ erfolgsneutrale EZÜ

Gewinn = erfolgswirksame EZÜ

+ nicht einzahlungswirks. Erträge (Bsp. Höherbewertung)

nicht auszahlungswirks. Aufwand (Bsp. Abschreibung) umgeformt zu

Prof. Dr. Hans Hirth 171

erfolgswirksame EZÜ = Gewinn

+ nicht ausz.wirks. Aufwand

nicht einz.wirks. Ertrag

eingesetzt in

nach einer Periode zusätzlich generiertes Finanzierungsvolumen

= Gewinn

+ nicht ausz.wirks. Aufwand

nicht einz.wirks. Ertrag

+ erfolgsneutrale EZÜ

erfolgswirksame EZÜ

Prof. Dr. Hans Hirth 172

Wie kommt man jetzt zur Innenfinanzierung?

Anpassung 1

Außenfinanzierung aus „erfolgsneutrale EZÜ“ herausnehmen (z. B.

Krediteinzahlung oder Eigenkapitalerhöhung)

Anpassung 2

Annahme: Gewinnausschüttung noch nicht in erfolgsneutralen EZÜ

berücksichtigt.

→ Vom Gewinn noch ausgeschütteten Gewinn abziehen.

Prof. Dr. Hans Hirth 173

Innenfinanzierung

= einbehaltener Gewinn

+ nicht ausz.wirks. Aufwand

nicht einz.wirks. Ertrag

+ erfolgsneutrale EZÜ (ohne Außenfinanzierung)

Prof. Dr. Hans Hirth 174

Abb. Finanzierungsformen

Außenfinanzierung

Beteiligungsfinanzierung (Form der Eigenfinanzierung)

Kreditfinanzierung (Form der Fremdfinanzierung)

Innenfinanzierung

Selbstfinanzierung (Form der Eigenfinanzierung)

Finanzierung aus nicht auszahlungswirksamen Aufwendungen z. B. Abschreibungen, Rückstellungen

Minderfinanzierung aus nicht einzahlungswirksamen Erträgen z. B. Zuschreibungen

Finanzierung aus erfolgsneutralen Einzahlungen (ohne Außenfinanzierung) z. B. erfolgsneutraler Verkauf von Vermögensgegenständen

Minderfinanzierung aus erfolgsneutralen Auszahlungen (ohne Außenfinanz.) z. B. erfolgsneutraler Kauf von Vermögensgegenständen

Prof. Dr. Hans Hirth 175

Selbstfinanzierung

einbehaltene Gewinne, unabh. von ihrer Zahlungswirksamkeit

Abweichung vom reinen Zahlungsbezug

Form der Eigenfinanzierung

offene SF: aus Bilanz ersichtlich

stille SF: stille Reserven durch

Unterbewertung von Aktiva

Überbewertung von Verbindlichkeiten

+

Finanzierung aus Abschreibungen

nicht auszahlungswirksamer Aufwand

„Lohmann-Ruchti-Effekt“ scheinbarer Kapazitätserweiterung

soweit Abs. höher als tatsächlicher Wertverlust:

Unterbewertung von Aktiva stille SF (s.o.)

Prof. Dr. Hans Hirth 176

+

Finanzierung aus Rückstellungen

ebenfalls nicht auszahlungswirksamer Aufwand

meist Form der Fremdfinanzierung: z.B. Pensionsrückstellg., Garantierückstellg.

aber nicht immer: z.B. Rückstellg. für unterlassene Instandhaltung,

Drohverlustrückst. z.T. als zweckgebundenes EK bezeichnet

Minder-Finanzierung durch nicht einzahlungswirksame Gewinnkomponenten

z.B. Zuschreibungen

Prof. Dr. Hans Hirth 177

weitere Innenfinanzierung durch erfolgsneutrale Zahlungsvorgänge Anmerkung: erfolgswirksame Anteile zahlungswirksamer Transak-tionen sind bereits in Selbstfinanzierung berücksichtigt.

+

erfolgsneutraler Verkauf von Vermögensgegenständen z. B. Desinvestition oder Forderungsverkauf zum Buchwert

erfolgsneutraler Kauf von Vermögensgegenständen z. B. Kauf eines Bürohauses

Prof. Dr. Hans Hirth 178

Beispiel: Innenfinanzierung

zahl.wirks. Umsatz 50.900 gesamte Einz.:

Lohnauszahlungen 29.300 Umsatz 50.900

Desinvestitionserlös 1.600 Desinvest. + 1.600

fortfallender Buchwert 52.500

durch Desinvestition 700

Abschreibungen 7.700 gesamte Ausz.:

Zuführung in Rückstellg. 2.500 Lohnausz. 29.300

Zinsauszahlungen 2.300 Zinsen 2.300

Gewinnausschüttung 4.000 Steuern 3.300

Gewinnsteuerzahlung 3.300 Ausschüttg. 4.000

38.900

Innenfin. 13.600

Prof. Dr. Hans Hirth 179

Aufgeteilt auf Selbstfin.

= einbehaltene Gewinne, unabh. von ihrer Zahlungswirksamkeit

= Umsatz + (Desinv.erlös Buchwert) Löhne Abs. Rückst.

50.900 + ( 1.600 700 ) 29.300 7.700 2.500

Zinszahlg. Steuern Ausschüttung

2.300 3.300 4.000

= 2.700 Fin. aus Abs.

= 7.700

Prof. Dr. Hans Hirth 180

Fin. aus Rückst.

= 2.500 Fin. durch erfolgsneutralen Verkauf v. Vermögensgegenständen

= 700

= 13.600 = Innenfinanzierung

Prof. Dr. Hans Hirth 181

Zu Finanzierung durch Abschreibungen: „Lohmann-Ruchti-Effekt“

Anschaffung von 10 Overhead-Projektoren zu je 1.000 €

Abschreibung pro Jahr und Projektor: 500 €

Fin. in Höhe der Abschreibungen (durch EZÜ gedeckt)

Ende 1. Jahr

Fin. aus Abs. = 10 500 = 5.000 Kauf zusätzl. 5 Projektoren Endbestand: 15 Ende 2. Jahr

Fin. aus Abs. = 15 500 = 7.500 Kauf zusätzl. 7 Projektoren vollst. abgeschrieben: 10

Endbestand: 15 + 7 10 = 12 (500 in Kasse)

Prof. Dr. Hans Hirth 182

Ende 3. Jahr

Fin. aus Abs. = 12 500 = 6.000 Kauf zusätzl. 6 Projektoren vollst. abgeschrieben: 5

Endbestand: 12 + 6 5 = 13 (500 noch in Kasse) Ende 4. Jahr

Fin. aus Abs.= 13 500 = 6.500 + 500 aus Kasse = 7.000

Kauf zusätzl. 7 Projektoren vollst. abgeschrieben: 7

Endbestand 13 + 7 7 = 13 usw.

Aussage: Kapazität steigt scheinbar von 10 auf 13.

aber: Periodenkapazität Gesamtkapazität (incl. Restlaufzeiten)

Anfangs-Gesamtkapazität = 10 2 Jahre = 20 Projektoren-Jahre

End-Gesamtkapazität = 7 2 Jahre + 6 1 Jahr = 20 Projektoren-Jahre

Prof. Dr. Hans Hirth 183

2. Liquiditätssicherung 2.1 Liquidität, Nutzen und Kosten

Liquidität

Fähigkeit des Unternehmens, die zu e. Zeitpunkt zwingend fälligen Zahlungsverpflichtungen uneingeschränkt erfüllen zu können.

„zwingend fällig“

rechtlich verbindlich: Bsp. Kreditzinsen, Tilgung, Löhne

Gefahr: Insolvenz Gefährdung des Bestands d. Unt.

ökonomisch geboten: Bsp. Auszahlung für lohnende Investition sonst Gefahr des langfristigen Verlustes der Ertragskraft

Prof. Dr. Hans Hirth 184

Quellen der Liquidität

EZÜ, Zahl.mittelbestände, Finanzierungsreserven (= Sekundärreserven)

Nutzen der Liquidität

Sicherung der Zahlungsfähigkeit und Anpassungsfähigkeit („Schlagkraft“)

Kosten der Liquidität

Opportunitätskosten (z.B. kein Zins für liquide Mittel) Bei sicherer Zukunft: Liquiditätsplanung trivial denn: exakte Abstimmung von EZ und AZ möglich, Reserven überflüssig

Prof. Dr. Hans Hirth 185

Bei Unsicherheit: echtes Entscheidungsproblem

Reserven erforderlich, um Mindereinz. oder Mehrausz. auffan- gen zu können

Umfang und Auswahl der Reserven?

Abwägung von

(Opportunitäts-)Kosten der Vermeidung von Illiquidität („Vermeidungskosten“)

Verluste durch Anpassungsmaßnahmen bei Illiquidität („Anpassungskosten“)

Prof. Dr. Hans Hirth 186

Vermeidungskosten durch

Halten von Zahlungsmittelbeständen sowie Sekundärreserven: Verzicht auf (höhere) Rendite

offene Kreditlinien: Vorab-Gebühren Anpassungskosten durch

Liquidation illiquider Vermögensgegenstände: Liquidationsverluste

Inanspruchnahme offener Kreditlinien: Zinsaufschläge

Verschlechterung des Standing schlechtere Konditionen („indirekte Insolvenzkosten“)

Prof. Dr. Hans Hirth 187

Vermeidungskosten können auch dadurch eine Illiquidität vermeiden

helfen, indem sie spätere Anpassungsmaßnahmen erst ermöglichen

oder deren Kosten senken.

2.2 Liquiditätsplanung (a) Finanzplan

zentrales Instrument der kurzfr., zahl.bezogenen Finanzplanung

systematische Zusammenstellung aller Ein- u. Auszahlungen für

best. Zeiträume, die mit zunehmender Entfernung vom Planungs-

zeitpunkt größer werden

Prof. Dr. Hans Hirth 188

Abb.: Ein- und Auszahlungen im Verlauf von Subperioden

1.Dekade 2.Dek. 3.Dek. 2.Monat 3.

Monat 2.

Quartal 3.

Quartal 4.

Quartal

AB 50 10 90 70 30 280 450 820

lfd.EZ 300 320 350 1.000 950 2.900 2.800 2.500

lfd.AZ 250 240 220 700 600 2.000 2.200 2.300

Desinv. - - - - 100 - - -

Inv. - - 500 800 - - - 2.000

Zinsausz. - - 50 50 50 200 200 200

K.-Tilg. 80 - - 80 80 - - -

K.-Aufn. - - 400 540 - - - 1.300

Steuern - - - - - 500 - -

Entnahme 10 - - 10 10 30 30 30

EB 10 90 70 30 280 450 820 90

Prof. Dr. Hans Hirth 189

Beurteilung (1) negativer Zahlmittelbestand am Ende des 2. Monats

Insolvenz? Nein, unzulässiger Finanzplan. Denkbare Plananpassungen:

Aufschieben v. Ausz.: z.B. Investition

Vorziehen v. Einz.: z.B. Desinvestition aus 3. Monat

Erhöhung der Finanzeinzahlungen: Kreditaufnahme (2) starkes Anwachsen des Zahl.mittelbestands im 2. u. 3. Quartal Denkbare Plananpassungen:

teilweise Kredittilgung (wenn möglich)

Investition aus 4. Quartal teilweise vorziehen

Finanzanlage

Prof. Dr. Hans Hirth 190

Allgemein

Suche nach Anpassungsmöglichkeiten, die die Schlagfähigkeit der Unt. erhalten, aber Opportunitätskosten vermeiden

bei Frist länger als 1 Jahr: Prognosen zu ungenau (b) Bilanzielle Liquiditätskennzahlen Aussagen über die aktuelle Liquidität aus Kennzahl der aktuellen Bi-lanz.

Liquidität 1. Grades („Barliquidität“)

Zahlungsmittelbestand

kurzfristige Verbindlichkeiten ≥ 1

kurzfristig = Laufzeit bis 1 J.

Prof. Dr. Hans Hirth 191

Liquidität 2. Grades

ZMB + kurzfr. Forderungen

kurzfr. Verbindlichkeiten =

monetäres Umlaufverm gen

kurzfr. Verbindlichkeiten ≥ 1

Liquidität 3. Grades ( « Current ratio ») ZMB + kurzfr. Forderungen + Vorräte

kurzfr. Verbindlichkeiten =

kurzfr. Umlaufverm gen

kurzfr. Verbindlichkeiten ≥ 1

sind jeweils Ausprägungen der allgemeinen Fristenkongruenzregel

Prof. Dr. Hans Hirth 192

Fristenkongruenzregel

Grundidee:

Vermögensgegenstände erwirtschaften rechtzeitig Zahlungsmittel, die für die Bedienung der Kapitalgeber verwendet werden können.

vereinfachte Bilanz

Aktiva Passiva

● Aktiva mit langfristiger Kapitalbindung (A3)

● Eigenkapital und langfristige Verbindlichkeiten (P3)

● Aktiva mit mittelfristiger Kapitalbindung (A2)

● mittelfristige Verbindlichkei-ten (P2)

● Aktiva mit kurzfristiger Kapitalbindung (A1)

● kurzfristige Verbindlichkeiten (P1)

Das Volumen aller Aktiva mit einer Kapitalbindung bis sollte höher

sein als der Kapitalbetrag aller Passiva mit Fälligkeit bis .

Prof. Dr. Hans Hirth 193

A = Volumen einer Aktivposition mit Kapitalfreisetzung bis

P = Volumen einer Passivposition mit Fälligkeit bis

Nach der Fristenkongruenzregel sollte gelten

A1 P1

und

A1 + A2 P1 + P2

Verallgemeinert:

t

1

t

1

PA für t = 1; ..... ; n

„horizontale Bilanzkennzahl“: Relation zw. Aktiva u. Passiva

Prof. Dr. Hans Hirth 194

daneben: „vertikale Bilanzkennzahlen“; meist mit Passiva

- exponiert: Verschuldungsgrad = EKalEigenkapit

FKalFremdkapit

- bietet gleiche Info. wie FK- o. EK-Quote (FK/GK od. EK/GK)

Zusammenhang zwischen Verschuldungsgrad und Liquidität bei gegebenen Aktiva

VG

höhere feste Ausz.verpflichtungen (AV) bei gegebenen,

aber unsicheren Einz. E

höhere Wkt. dafür, daß AV > realisierte Einz. Er

Prof. Dr. Hans Hirth 195

Abb.: Ausfallwahrscheinlichkeit steigt in AV bzw. VG

F(E) = p(Er<E)

E (= EZÜ vor AV) AV1 AV2

p(Er<AV2)

p(Er<AV1)

1

Prof. Dr. Hans Hirth 196

außerdem

Ergänzung aktueller Bilanz durch Planbilanz

Infos über Veränderung der Liquiditätsituation

Einhaltung best. Kennzahlen weder notwendig noch hinreichend

zur Liquiditätssicherung

„Liquidität kraft Konvention“:

Geldgeber fordern Einhaltung bestimmter Kennzahlen.

Bei Nicht-Einhaltung:

aufgrund Dummheit schlechte Manager

aufgrund Unmöglichkeit geringe Flexibilität

Beides schlechte Signale

Prof. Dr. Hans Hirth 197

3. Bedeutung der Kapitalstruktur 3.1 Kapitalkosten

Kapitalkostensatz

von Financiers geforderte und marktlich durchsetzbare erwartete Rendite für die Bereitstellung von Kapital

Kalkulationszinssatz für die Investitionsrechnung pagatorische Kosten: unmittelbar aus Auszahlungen abgeleitet bei Forderungstiteln zweckmäßig:

nötige Annahme: Zins- u. Tilgungszahlungen sind sicher

Kapitalkostensatz = interner Zinssatz der Kredit-Zahlungsreihe

Prof. Dr. Hans Hirth 198

bei Beteiligungstiteln unzweckmäßig:

Annahme sicherer künftiger Zahlungen hier nicht angebracht. Welche Rendite wird erwartungsgemäß an die EK-Geber gelei-

stet? Tatsächliche Zahlungen können ex post davon deutlich abwei-

chen. Pagatorisches Kapitalkosten ungeeignet. Stattdessen Opportunitätskosten:

Welche erwartete Rendite entgeht EK-Gebern dadurch, daß sie auf vergleichbare Alternative verzichten? Genau diese Rendite werden sie fordern.

Vergleichbarkeit zu beachten hinsichtl. Volumen, Fristigkeit und Risiko (und ggf. Liquidierbarkeit)

Prof. Dr. Hans Hirth 199

3.2 Leverage-Effekt und Leverage-Risiko

Gesamtkapital GK = EK + FK

Einsatz des Gesamtkapitals GK erbringt Bruttogewinn und damit eine (unsichere) Gesamtkapitalrendite rG

GKnnBruttogewir

G

Nettogewinn der Eigenkapitalgeber Bruttogewinn FK-Kosten

Nettogewinn = rG GK – rF FK mit rF als Fremdkapitalzinssatz

Prof. Dr. Hans Hirth 200

Eigenkapitalrendite

EKFKrGKr

alEigenkapit

nNettogewinr FGE

Einsetzen von GK = EK + FK führt nach Umformung zu

VGrrrr

EKFKrrrr

EK

FKrFKEKrr

FGGE

FGGE

FG

E

mit dem Verschuldungsgrad VG = FK/EK.

Prof. Dr. Hans Hirth 201

Wenn rG > rF: rE steigt mit Verschuldungsgrad VG

Aber: rE unsicher, da rG unsicher

differenzierter Blick nötig:

E(rE) = E(rG) + [E(rG) rF] VG „Leverage-Effekt“

Var(rE) = [VG + 1]2 Var(rG) “Leverage- isiko”

Mit steigenden VG steigt zwar E(rE), aber auch Var(rE)!

Prof. Dr. Hans Hirth 202

Abb.: Leverage-Effekt

rF

E(rE)

E(rG)

VG

E(rE); rF

Prof. Dr. Hans Hirth 203

Abb.: Leverage-Risiko

Var(rG)

VG

Var(rE)

Prof. Dr. Hans Hirth 204

Voraussetzungen für positiven Leverage-Effekt

1.) E(rG) > rF

Sachinvestition im Erw.wert besser als Finanzinvestition

2.) rF ist unabh. vom Verschuldungsgrad. zu 1.): erscheint akzeptabel. Jedoch: Sachinvestition zwar im Erw.wert besser, aber riskanter. zu 2.): nicht akzeptabel. Ausfallrisiko für Kreditgeber steigt tendenziell im VG (s.o.)

geforderter rF steigt im VG Erkenntnis

bei EK: Leverage-Effekt wird durch Leverage-Risiko erkauft. bei FK: Ab kritischem VG steigt rF. Existiert ein „optimaler“ VG?

Prof. Dr. Hans Hirth 205

3.3 Irrelevanz des Verschuldungsgrads bei vollkommenem Kapitalmarkt

„Modigliani-Miller- hese I“ (1958, Nobelpreise 1985, 1990):

Der Marktwert einer Unternehmung ist unabhängig vom VG. Beweis durch

Einbeziehung der Kapitalmarktbewertung und

Prinzip der Arbitragefreiheit

Arbitragefreiheit impliziert Wertadditivität Wertadditivität:

Wert der Summe von Zahlungsströmen = Summe der Werte der Zahlungsströme

formal: MW(z1 + z2) = MW(z1) + MW(z2)

Prof. Dr. Hans Hirth 206

Beispiel

z1 = (100; 220; 60,5) mit Preis p1 = 250

z2 = ( 70; 66; 121) mit Preis p2 = 110 (z1+z2) = (170; 154; 60,5) mit Preis p1+2

Bei Wertadditivität muß gelten:

p1+2 = p1 + p2 = 250 + 110 = 360

Prof. Dr. Hans Hirth 207

Andernfalls: a) wenn z.B. p1+2 = 400 > p1 + p2 = 250 + 110 = 360

sicherer Arbitragegewinn durch

Kauf von z1 zu 250 und z2 zu 110

und gleichzeitig

Verkauf von (z1+z2) zu p1+2 = 400

ge- und verkaufte Zahlungsströme decken sich vollständig:

sicherer Arbitragegewinn von 400 360 = 40. b) wenn z.B. p1+2 < p1 + p2

Arbitragegewinn durch Verkauf von z1 und z2 sowie Kauf von (z1+z2).

Prof. Dr. Hans Hirth 208

Erkenntnis

Preisanpassung bis keine Arbitragegewinne mehr möglich sind

und Wertadditivität gilt.

notwendige Bedingung: vollk. Kapitalmarkt, insbes. keine Trans-

aktionskosten

Prof. Dr. Hans Hirth 209

Wertadditivität impliziert Irrelevanz der Kapitalstruktur

Abb.: Zahlungsströme an die Kapitalgeber Für die künftigen (unsicheren) Zahlungsströme gilt: zE+F = zE + zF

Aktiva

Vermögen V generiert für Ka-pitalgeber den Zahl.strom zE+F (von Kap.struktur unabh.)

EK-Geber

FK-Geber

zE+F wird aufge-teilt in zE und zF

zE

zF

Prof. Dr. Hans Hirth 210

Wegen Wertadditivität muß gelten: MW(zE+F) = MW(zE) + MW(zF) bzw. MW(V) = MW(EK) + MW(FK) Verschuldungsgrad soll annahmegemäß keine Auswirkung auf zE+F

und somit MW(zE+F) bzw. MW(V) haben.

Summe der Marktwerte aller Finanztitel MW(EK) + MW(FK) ist bei geg. Investition immer gleich, nämlich MW(V).

Diese Summe wird von Modiglian/Miller als Marktwert des Unter-

nehmens bezeichnet und ist dann unabh. vom VG.

Prof. Dr. Hans Hirth 211

Erkenntnis

Unterschiedliche VG können sich wohl auf Marktwerte des EK und des FK auswirken,

aber stets so, daß die Summe beider gleich bleibt. Ökonomische Begründung

Konstruktion eines bestimmten VG ist ebenso gut auf Anleger-ebene herstellbar (siehe nächste Seite).

Welchen VG ein Unt. wählt, ist dann irrelevant für Anleger.

Marktwert der Unt. allein durch Investitions-, aber nicht durch Fi-nanzierungspolitik bestimmt.

Voraussetzung: vollkommener Kapitalmarkt, insbes.

Anleger erhalten gleiche Konditionen auf Kapitalmarkt wie Unt.

keine finanzierungsabh. Steuern

gleiche Informationsstände („symmetrische Informationsverteilung“)

Prof. Dr. Hans Hirth 212

Individuell gewünschter VG ist auf Anlegerebene herstellbar!

Beispiel

- unverschuldetes Unternehmen mit GK = EK = 1 Mio. €

- Beteiligungsquote des Anlegers: α = 2 %

- von ihm gewünschter Verschuldungsgrad VGi = 1

selbstfinanzierende Strategie:

- Anleger nimmt Kredit K auf und

- kauft damit zusätzl. Anteile bis zu einer Beteiligungsquote β.

(β – α) ∙ 1 Mio = K

Prof. Dr. Hans Hirth 213

- Dann wäre sein individueller Verschuldungsgrad

VGi = individuelle Schulden

individuelles Eigenkapital =

K

∙ 1 Mio =

(β − α) ∙ 1 Mio

α ∙ 1 Mio

VGi = β − α

β = ∙ (1 + VGi)

β = 0,02 ∙ (1 + 1) = 0,04 = 4 % Ergebnisse

- doppelt so hohe Beteiligungsquote

- Die Hälfte davon ist fremdfinanziert.

- Auf diese Weise ist individuell ein beliebiger VGi herstellbar.

- Wert des individuellen Vermögens bleibt gleich.

Prof. Dr. Hans Hirth 214

- Aber: Erwartungswert und Risiko des Gewinns ändern sich.

Gewinn G E(G) Var(G)

vorher: 0,02 ∙ r G ∙ 1 Mio 20.000 ∙ E(rG) 20.0002 ∙ Var(rG)

nachher: 0,04 ∙ r G ∙ 1 Mio 40.000 ∙ E(rG) 40.0002 ∙ Var(rG)

− rF ∙ 20.000 − rF ∙ 20.000

Prof. Dr. Hans Hirth 215

3.4 Relevanz des Verschuldungsgrads bei unvollkommenem Kapitalmarkt

Situation Sollzins rF ≠ Habenzins rH bei Sicherheit Eigenkapitalgeber

besitzt insgesamt ein Vermögen V.

kann anstelle einer sicheren Investition in sein Unternehmen eine

sichere Alternativverzinsung von rH erzielen.

Wieviel seines Vermögen gibt er als Eigenkapital EK und wieviel in

die Alternativanlage A?

V = EK + A

Prof. Dr. Hans Hirth 216

Sein Endvermögen EV wäre

EV = (1+rE) EK + (1 + rH) A

Einsetzen A = V EK:

EV = (1+rE) EK + (1 + rH) (V EK)

EV = (rE rH) EK + (1 + rH) V

Einsetzen der Leverage-Gleichung EK

FKrrrr FGGE :

EV = V)r1(EKrEK

FKrrr HHFGG

= V)r1(FKrrEKrr HFGHG

Prof. Dr. Hans Hirth 217

Einsetzen FK = GK EK: EV = V)r1(EKGKrrEKrr HFGHG

= V)r1(GKrrEKrr HFGHF

exogene Größen, also konstant

Annahmen: rG > rF und rF unabhängig vom EK.

Maximierung des Endvermögens EV über Höhe des EK a) Falls rF > rH: EK höchstmöglich (bis V) → VG minimal!

b) Falls rF < rH: EK = 0 → VG unendlich!

c) Falls rF = rH: Irrelevanz (da vollkommener Markt)

Prof. Dr. Hans Hirth 218

Problem: Wieso sollten bei Sicherheit Haben- und Sollzins auseinanderfallen, wenn es keine Transaktionskosten gibt? Andere, informationsökonomische Ansätze überzeugender. Situation: Unterinvestition bei unbeobachtbarem Arbeitseinsatz Risikoneutraler Unternehmer verfügt über ein Projekt, das drei mög-liche Rückflüssen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten erwirtschaftet: 2 R R mit π ≤ 0,5 0 1−2π

π

π

Prof. Dr. Hans Hirth 219

Unternehmer kann über höheren Arbeitseinsatz den Parameter π erhöhen. Dabei entstehen ihm Arbeitskosten in Höhe von c = π². Welches π wählt er? Fall 1: vollständige Eigenfinanzierung Unternehmer maximiert erwarteten Projektrückfluß abzüglich seiner Arbeitskosten:

π ∙ 2 ∙ + π ∙ – π² 1. Ableitung nach π:

3 R – 2 π = 0

Prof. Dr. Hans Hirth 220

führt zum optimalen Arbeitseinsatz mit

π* = 1,5 ∙ Wegen π ≤ 0,5, müssen wir ≤ 1/3 annehmen. Insgesamt wird ein erwarteter Rückfluß abzüglich Arbeitskosten er-

wirtschaftet in Höhe von

π* ∙ 2 ∙ + π* ∙ – (π*)²

= (9/4) R²

Prof. Dr. Hans Hirth 221

Fall 2: teilweise Fremdfinanzierung Bank mit Festbetragsanspruch z. B. in Höhe R. Für Unternehmer bleibt nur noch im besten Zustand etwas übrig.

Daher maximiert er

π ∙ (2 ∙ – R) – π²

Seine Optimierungsbedingung erster Ordnung lautet

R – 2 π = 0 und führt zum optimalen Arbeitseinsatz mit

π** = 0,5 (< π* = 1,5 ∙ )

Prof. Dr. Hans Hirth 222

Insgesamt wird ein erwarteter Rückfluß abzüglich Arbeitskosten er-wirtschaftet in Höhe von

π** ∙ 2 ∙ + π** ∙ – (π**)² = (5/4) ²

also weniger als bei reiner Eigenfinanzierung (9/4) R².

Relevanz der Finanzierung, die hier zu einer Unterinvestition ge-

messen am geleisteten Arbeitseinsatz führen kann.

Je nach Kapitalstruktur wird mehr oder weniger erwirtschaftet, dem-

zufolge hat das Unternehmen einen höheren oder niedrigeren

Marktwert.