modellieren und offene aufgaben eine lohnende (aber schwierige) Öffnung für den...
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Modellieren und offene Aufgaben
Eine lohnende (aber schwierige) Öffnung für den Mathematikunterricht
Matthias LudwigPH Weingarten
17.11.2008Waldfischbach
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
PH Weingarten
Struktur
• Kurze theoretische Einführung
• Fermiaufgaben
• Kleine Modellierungsaufgaben
• Forschung zu den Modellierungsaufgaben
• Weitere Vorschläge
• Zusammenfassung
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
PH Weingarten
• „Unsere mathematischen Begriffe, Strukturen und Vorstellungen sind erfunden worden als Werkzeuge, um die Phänomene der natürlichen, sozialen und geistigen Welt zu ordnen.“ (Freudenthal 1983)
• Erzeugen einer a-didaktischen Situation (Brousseau1997)
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
PH Weingarten
• Mathematische Begriffe sind Werkzeuge zur Erschließung der „Welt“.
• Ziele mathematischer Grundbildung sind begriffliches Verstehen und funktionales Verwenden von Mathematik, nicht nur „technische“ Fertigkeiten und Kenntnisse.
• Zur Lösung einer typischen (hochbepunkteten) PISA-Aufgabe gehört vor allem das Modellieren außer- und innermathematischer Problemsituationen.
Grundbildung nach PISA
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
PH Weingarten
Mathematisches Modellieren im Sinne von:
• Beschreibung realer funktionaler Zusammenhänge (Flugbahn)
• Nachbauen, bzw. Nachbilden
• Finden einer Erklärung
• Vorhersagen treffen (Wetter/ Fußballergebnisse, Sonnenfinsternisse)
• Vorschreiben (Tarife)
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
PH Weingarten
Modellieren aus dem Blickwinkel von Lehrenden und Lernenden:
• Rechnen mit dem was man weiß und kann.
• Sich irgendwie durchschlängeln.
• Ob´s richtig ist ,weiß der Lehrer ja auch nicht immer.
• Das ist alles so diffus.
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
PH Weingarten
Fermiaufgaben
• Klavierstimmer
• Tankstellen
• Friseure
• Todesfälle pro Tag (Anzahl der Bestatter)
• Infos: www.welt-in-zahlen.de
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
PH Weingarten
Der Elfmeter
Kann man mathematisch die Verwandlungshäufigkeit abschätzen?
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
PH Weingarten
Der Elfmeter
• Mathematische Modellbildung für Verwandlungshäufigkeit
• Genial einfache Idee: – Das Tor hat vier Ecken (und eine Mitte)
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
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Der Elfmeter
• Die Flächenidee– Tor 8Yard x 8Fuß= 7,32m x 2,44m =ca. 18m2
– Torwart 1,6m x1,9m+ 0.5x 0.95m2 x =4,45m2
– 75% der Torfläche sind nicht abgedeckt .
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
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Elfmeter
• Bayern München 190:245 =>77,5%
• Frankfurt 143:196 =>73%
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
PH Weingarten
Theoriebasis
• Basis ist der klassische idealisierte Modellierungskreislauf (z.B. Blum et al.)
RS SM
RM MM
MERE
Verstehen
Vereinfachen Strukturieren
Mathematisieren
Rechnen
Interpretieren
Validieren
Vermitteln/Erklären
Stufe 0
Stufe 1 Stufe 2
Stufe 3
Stufe 4
Stufe 5
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
PH Weingarten
Gedanken zum Ball:Wie lange braucht man um einen
Fußball zu nähen?
Wie viele Stiche braucht man für einen Fußball?
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
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90 Kanten10 Stiche für jede Kante.
10 Sekunden für jeden Stich.9000 Sekunden
2,5 Stunden
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
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Stufe 0: Die Realsituation wurde nicht erfasst. Es fällt schwer die
Aufgabenzeichnungen der SchülerInnen mit der Aufgabenstellung in Verbindung zu bringen. Die SchülerInnen haben also nicht den Einstieg in den Modellierungskreislauf gefunden.
Bsp: • Die SchülerInnen haben einfach nur geschätzt, wie lange
es dauert um einen Fußball zu nähen, ohne genauere Angaben zu machen, wie sie zu dieser Schätzung gekommen sind.
• Sie schreiben Zusammenhangloses auf ihr Arbeitsblatt.• Sie geben ein unbeschriftetes Arbeitsblatt ab.
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
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Stufe 1: Die SchülerInnen haben die reale Situation erkannt und versuchen diese zu strukturieren um ein mathematisches Modell zu finden, letztendlich mündet dies aber in keiner weiterführenden Idee.
Bsp: • Sie versuchen, die einzelnen Panels zu zählen,
erkennen aber nicht, dass der Ball aus 5- und 6-Ecken besteht.
• Sie versuchen einen Fußball aufzuzeichnen.
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
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Stufe 2: Die SchülerInnen äußern eine sinnvolle Vermutung und sind in der Lage ein mathematisches Modell vorzuschlagen, aber dieses Modell wurde nicht konsequent mathematisiert.
Bsp: • Sie zählen die 5- und 6-Ecke des Balls.
Anschließend versuchen sie die Anzahl der Kanten herauszubekommen, erkennen aber nicht, dass eine Nahtstelle aus zwei Kanten besteht.
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
PH Weingarten
ErgebnisseFußballaufgabe
0
0,5
1
1,5
2
2,5
5.Klasse 6.Klasse 7.Klasse 8.Klasse
Niv
eau
stu
fen
Signifikante Unterschiede zwischen den Jahrgangstufen 5, 6/7 und 8
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
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ErgebnisseFußballaufgabe
0,0%
5,0%
10,0%
15,0%
20,0%
25,0%
30,0%
35,0%
level 0 level 1 level 2 level 3 Level4 level5
girls
boys
Keine signifikanten Unterschiede zwischen Jungs und Mädchen.
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
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ErgebnisseFußballaufgabe -Jungs
0%5%
10%15%20%25%30%35%40%45%
Level 0 Level 1 Level 2 Level 3 Level4 Level 5
deutsch
ndeutsch
Fußballaufgabe-Mädchen
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
Level 0 Level 1 Level 2 Level 3 Level4 Level 5
deutsch
ndeutsch
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
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Konsekutive Stufen
• Durchlauf nicht immer konsekutiv .(Boromeo Ferri)
• Jede Stufe stellt aber eine kognitive Hürde dar (Blum/ Leiß).
• Je weiter im Kreislauf desto mehr Stufen musste man (kognitiv) überwinden.
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
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Forschungsfragen
• Ergeben sich bei der Lösung der Modellierungsaufgabe Unterschiede bzgl. der Jahrgangstufe, der Kulturen und des Geschlechts?
• Welches Niveau wird erreicht?
• Welche Hürden bilden besondere Schwierigkeiten?
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
PH Weingarten
Ergebnisse• Insgesamt geringes Niveau.• Kaum Unterschiede zwischen den
Kulturen in der Gesamtperformance.• Unterschiede zwischen Jungs und
Mädchen (Performance & Level) .• Nach jeder Jahrgangstufe (hoch-)
signifikante Leistungsunterschiede.• Verschiedene Barrierestufen.
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
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Ergebnisse
Kl. 9 Kl. 10 Kl. 11
N SD N SD N SD
C (676) 206 1,41 1,25 249 1,67 1,12 221 2,18 1,40
D (428). 145 1,59 1,41 147 1,67 1,43 136 2,16 1,38
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
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„Entwicklung“ der Jungs und Mädchen
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
grade 9 grade 10 grade 11
chinese girls chinese boys german girls german boys
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
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Deutsche Jungs. hochsignifikante Zuwächse 11 gegen 10 und 9 (p<.005) Effektstärke (0,49)
Deutsche Mädchen: keine signifikanten Unterschiede zwischen den Jahrgangsstufen
Keine statistisch signifikanten Unterschiede zwischen Jungs und Mädchen in Klasse11.
In den Kl. 9 und 10 sind diese Unterschiede größer aber auch nicht signifikant.
Differentielle Analyse
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
PH Weingarten
UnterschiedeAll german students
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
level 0 level 1 level 2 level 3 Level4 level5
girls
boys
Auffallend: Level 5 wird nur von Jungs erreicht.
Level 4 scheint für Mädchen eine Barriere zu sein.
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
PH Weingarten
Probleme beim Modellieren(Blum et al.)
• Alle Schritte des Kreislaufes sind potentielle kognitive Hürden
• Schüler benutzen keine bewussten Lösungsstrategien
• Schüler dürfen nicht alleine arbeiten
• Lehrende geben zu viele Inhaltliche Hilfen.
Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008
PH Weingarten
Ideales Stundenskript
• Vorstellung der Aufgabe im Plenum• Zunächst Einzelarbeit• Gruppenarbeit• Individuelles Aufschreiben der
Lösungen• Präsentation von Lösungen im Plenum• Vergleich der Lösungen und
reflektierender Rückblick
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