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Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Primzahlen und die Riemannsche Vermutung
Benjamin Klopsch
Mathematisches InstitutHeinrich-Heine-Universität zu Düsseldorf
Tag der Forschung ◦ November 2005
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
„Untersuchung über die Häufigkeit der Primzahlen“
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was erwartet uns in den kommenden 45 Minuten?
„Der Stoff, aus dem die Zahlen sind“Was sind Primzahlen?Wie viele Primzahlen gibt es?
Riemann – Mitbegründer der FunktionentheorieVon unendlichen Reihen und komplexen FunktionenRiemann und die Zetafunktion ζ(s)
„Eine wundersame Formel“Die Riemannsche FormelDie Riemannsche Vermutung
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was erwartet uns in den kommenden 45 Minuten?
„Der Stoff, aus dem die Zahlen sind“Was sind Primzahlen?Wie viele Primzahlen gibt es?
Riemann – Mitbegründer der FunktionentheorieVon unendlichen Reihen und komplexen FunktionenRiemann und die Zetafunktion ζ(s)
„Eine wundersame Formel“Die Riemannsche FormelDie Riemannsche Vermutung
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was erwartet uns in den kommenden 45 Minuten?
„Der Stoff, aus dem die Zahlen sind“Was sind Primzahlen?Wie viele Primzahlen gibt es?
Riemann – Mitbegründer der FunktionentheorieVon unendlichen Reihen und komplexen FunktionenRiemann und die Zetafunktion ζ(s)
„Eine wundersame Formel“Die Riemannsche FormelDie Riemannsche Vermutung
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was sind Primzahlen?
DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was sind Primzahlen?
DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was sind Primzahlen?
DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was sind Primzahlen?
DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was sind Primzahlen?
DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was sind Primzahlen?
DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was sind Primzahlen?
DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was sind Primzahlen?
DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was sind Primzahlen?
DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was sind Primzahlen?
DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was sind Primzahlen?
DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was sind Primzahlen?
DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was sind Primzahlen?
DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001 = 7 · 143.
und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was sind Primzahlen?
DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001 = 7 · 11 · 13
und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was sind Primzahlen?
DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001 = 7 · 11 · 13
und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Was sind Primzahlen?
DefinitionEine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teilerhat, nämlich 1 und p.Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge derFaktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001 = 7 · 11 · 13
und ähnlich112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7273 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 8485 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 9697 98 99
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7273 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 8485 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 9697 98 99
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7273 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 8485 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 9697 98 99
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7273 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 8485 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 9697 98 99
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
2 3 5 7 9 1113 15 17 19 21 2325 27 29 31 33 3537 39 41 43 45 4749 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 7173 75 77 79 81 8385 87 89 91 93 9597 99
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
2 3 5 7 9 1113 15 17 19 21 2325 27 29 31 33 3537 39 41 43 45 4749 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 7173 75 77 79 81 8385 87 89 91 93 9597 99
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
2 3 5 7 9 1113 15 17 19 21 2325 27 29 31 33 3537 39 41 43 45 4749 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 7173 75 77 79 81 8385 87 89 91 93 9597 99
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
2 3 5 7 1113 17 19 2325 29 31 3537 41 43 4749 53 55 5961 65 67 7173 77 79 8385 89 91 9597
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
2 3 5 7 1113 17 19 2325 29 31 3537 41 43 4749 53 55 5961 65 67 7173 77 79 8385 89 91 9597
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
2 3 5 7 1113 17 19 23
29 3137 41 43 4749 53 5961 67 7173 77 79 83
89 9197
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
2 3 5 7 1113 17 19 23
29 3137 41 43 4749 53 5961 67 7173 77 79 83
89 9197
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
2 3 5 7 1113 17 19 23
29 3137 41 43 47
53 5961 67 7173 79 83
8997
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
2 3 5 7 1113 17 19 23
29 3137 41 43 47
53 5961 67 7173 79 83
8997
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Satz (Euklides um 300 v. Chr.)Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
• Angenommen, p1 = 2,p2 = 3, . . . ,pr sind alle Primzahlen.• Setze N := p1 · p2 · · ·pr + 1.• Dann ist N ≥ 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar.• Widerspruch!
Frage: Wieviel ist „unendlich viele“?
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Es gibt unendlich viele Primzahlen
Satz (Euklides um 300 v. Chr.)Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
• Angenommen, p1 = 2,p2 = 3, . . . ,pr sind alle Primzahlen.• Setze N := p1 · p2 · · ·pr + 1.• Dann ist N ≥ 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar.• Widerspruch!
Frage: Wieviel ist „unendlich viele“?
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Es gibt unendlich viele Primzahlen
Satz (Euklides um 300 v. Chr.)Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
• Angenommen, p1 = 2,p2 = 3, . . . ,pr sind alle Primzahlen.• Setze N := p1 · p2 · · ·pr + 1.• Dann ist N ≥ 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar.• Widerspruch!
Frage: Wieviel ist „unendlich viele“?
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Satz (Euklides um 300 v. Chr.)Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
• Angenommen, p1 = 2,p2 = 3, . . . ,pr sind alle Primzahlen.• Setze N := p1 · p2 · · ·pr + 1.• Dann ist N ≥ 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar.• Widerspruch!
Frage: Wieviel ist „unendlich viele“?
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Satz (Euklides um 300 v. Chr.)Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
• Angenommen, p1 = 2,p2 = 3, . . . ,pr sind alle Primzahlen.• Setze N := p1 · p2 · · ·pr + 1.• Dann ist N ≥ 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar.• Widerspruch!
Frage: Wieviel ist „unendlich viele“?
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Satz (Euklides um 300 v. Chr.)Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
• Angenommen, p1 = 2,p2 = 3, . . . ,pr sind alle Primzahlen.• Setze N := p1 · p2 · · ·pr + 1.• Dann ist N ≥ 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar.• Widerspruch!
Frage: Wieviel ist „unendlich viele“?
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Größe
DefinitionFür jede reelle Zahl x bezeichne π(x) dieAnzahl der Primzahlen zwischen 1 und x .
x π(x) x/π(x)
100 25 4.01000 168 ≈ 6.0
10,000 1,229 ≈ 8.1100,000 9,592 ≈ 10.4
1,000,000 78,498 ≈ 12.710,000,000 664,579 ≈ 15.0
100,000,000 5,761,455 ≈ 17.4
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Größe
DefinitionFür jede reelle Zahl x bezeichne π(x) dieAnzahl der Primzahlen zwischen 1 und x .
x π(x) x/π(x)
100 25 4.01000 168 ≈ 6.0
10,000 1,229 ≈ 8.1100,000 9,592 ≈ 10.4
1,000,000 78,498 ≈ 12.710,000,000 664,579 ≈ 15.0
100,000,000 5,761,455 ≈ 17.4
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Größe
DefinitionFür jede reelle Zahl x bezeichne π(x) dieAnzahl der Primzahlen zwischen 1 und x .
x π(x) x/π(x)
100 25 4.01000 168 ≈ 6.0
10,000 1,229 ≈ 8.1100,000 9,592 ≈ 10.4
1,000,000 78,498 ≈ 12.710,000,000 664,579 ≈ 15.0
100,000,000 5,761,455 ≈ 17.4
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Der Integrallogarithmus
Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlichglatt. Die „Dichte“ der Primzahlen um eine große Zahl x istungefähr 1/log(x).Anmerkung: log(x) ≈ 2.3 · (# Vorkommastellen von x).Näherungsweise gilt also π(x) ≈ x/ log(x).Gauß schlug als präzisere Näherung das folgendelogarithmische Integral Li(x) vor:
Li(x) :=
∫ x
2
1log(t)
dt ≈ 1log(2)
+1
log(3)+ . . .+
1logbxc
.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Der Integrallogarithmus
Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlichglatt. Die „Dichte“ der Primzahlen um eine große Zahl x istungefähr 1/log(x).Anmerkung: log(x) ≈ 2.3 · (# Vorkommastellen von x).Näherungsweise gilt also π(x) ≈ x/ log(x).Gauß schlug als präzisere Näherung das folgendelogarithmische Integral Li(x) vor:
Li(x) :=
∫ x
2
1log(t)
dt ≈ 1log(2)
+1
log(3)+ . . .+
1logbxc
.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Der Integrallogarithmus
Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlichglatt. Die „Dichte“ der Primzahlen um eine große Zahl x istungefähr 1/log(x).Anmerkung: log(x) ≈ 2.3 · (# Vorkommastellen von x).Näherungsweise gilt also π(x) ≈ x/ log(x).Gauß schlug als präzisere Näherung das folgendelogarithmische Integral Li(x) vor:
Li(x) :=
∫ x
2
1log(t)
dt ≈ 1log(2)
+1
log(3)+ . . .+
1logbxc
.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Der Integrallogarithmus
Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlichglatt. Die „Dichte“ der Primzahlen um eine große Zahl x istungefähr 1/log(x).Anmerkung: log(x) ≈ 2.3 · (# Vorkommastellen von x).Näherungsweise gilt also π(x) ≈ x/ log(x).Gauß schlug als präzisere Näherung das folgendelogarithmische Integral Li(x) vor:
Li(x) :=
∫ x
2
1log(t)
dt ≈ 1log(2)
+1
log(3)+ . . .+
1logbxc
.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Der Integrallogarithmus
Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlichglatt. Die „Dichte“ der Primzahlen um eine große Zahl x istungefähr 1/log(x).Anmerkung: log(x) ≈ 2.3 · (# Vorkommastellen von x).Näherungsweise gilt also π(x) ≈ x/ log(x).Gauß schlug als präzisere Näherung das folgendelogarithmische Integral Li(x) vor:
Li(x) :=
∫ x
2
1log(t)
dt ≈ 1log(2)
+1
log(3)+ . . .+
1logbxc
.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Der Integrallogarithmus
Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlichglatt. Die „Dichte“ der Primzahlen um eine große Zahl x istungefähr 1/log(x).Anmerkung: log(x) ≈ 2.3 · (# Vorkommastellen von x).Näherungsweise gilt also π(x) ≈ x/ log(x).Gauß schlug als präzisere Näherung das folgendelogarithmische Integral Li(x) vor:
Li(x) :=
∫ x
2
1log(t)
dt ≈ 1log(2)
+1
log(3)+ . . .+
1logbxc
.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Der Integrallogarithmus
Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlichglatt. Die „Dichte“ der Primzahlen um eine große Zahl x istungefähr 1/log(x).Anmerkung: log(x) ≈ 2.3 · (# Vorkommastellen von x).Näherungsweise gilt also π(x) ≈ x/ log(x).Gauß schlug als präzisere Näherung das folgendelogarithmische Integral Li(x) vor:
Li(x) :=
∫ x
2
1log(t)
dt ≈ 1log(2)
+1
log(3)+ . . .+
1logbxc
.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Der Integrallogarithmus
Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlichglatt. Die „Dichte“ der Primzahlen um eine große Zahl x istungefähr 1/log(x).Anmerkung: log(x) ≈ 2.3 · (# Vorkommastellen von x).Näherungsweise gilt also π(x) ≈ x/ log(x).Gauß schlug als präzisere Näherung das folgendelogarithmische Integral Li(x) vor:
Li(x) :=
∫ x
2
1log(t)
dt ≈ 1log(2)
+1
log(3)+ . . .+
1logbxc
.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Wir bilden unendliche Summen
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Wir bilden unendliche Summen
• Die harmonische Reihe divergiert gegen Unendlich:
∞∑n=1
1n
= 1 +12
+13
+14
+15
+ . . . = ∞.
zum Beweis
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Wir bilden unendliche Summen
Denn∞∑
n=1
1n
= 1 +12
+
(13
+14
)+
(15
+16
+17
+18
)+ . . .
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Wir bilden unendliche Summen
Denn∞∑
n=1
1n
= 1 +12
+
(13
+14
)+
(15
+16
+17
+18
)+ . . .
≥ 1 +12
+
(14
+14
)+
(18
+18
+18
+18
)+ . . .
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Wir bilden unendliche Summen
Denn∞∑
n=1
1n
= 1 +12
+
(13
+14
)+
(15
+16
+17
+18
)+ . . .
≥ 1 +12
+
(14
+14
)+
(18
+18
+18
+18
)+ . . .
= 1 +12
+24
+48
+ . . .
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Wir bilden unendliche Summen
Denn∞∑
n=1
1n
= 1 +12
+
(13
+14
)+
(15
+16
+17
+18
)+ . . .
≥ 1 +12
+
(14
+14
)+
(18
+18
+18
+18
)+ . . .
= 1 +12
+24
+48
+ . . .
= 1 +12
+12
+12
+ . . . = ∞.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Wir bilden unendliche Summen
• Die harmonische Reihe divergiert gegen Unendlich:
∞∑n=1
1n
= 1 +12
+13
+14
+15
+ . . . = ∞.
zum Beweis
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Wir bilden unendliche Summen
• Die harmonische Reihe divergiert gegen Unendlich:
∞∑n=1
1n
= 1 +12
+13
+14
+15
+ . . . = ∞.
• Dagegen ist die Summe der quadratischen Kehrwerte
∞∑n=1
1n2 = 1 +
122 +
132 + . . . = 1 +
14
+19
+ . . .
nach oben beschränkt und konvergiert. zum Beweis
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Wir bilden unendliche Summen
Denn∞∑
n=1
1n2 = 1 +
∞∑n=2
1n2
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Wir bilden unendliche Summen
Denn∞∑
n=1
1n2 = 1 +
∞∑n=2
1n2 ≤ 1 +
∞∑n=2
1(n − 1)n
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Wir bilden unendliche Summen
Denn∞∑
n=1
1n2 = 1 +
∞∑n=2
1n2 ≤ 1 +
∞∑n=2
1(n − 1)n
= 1 +∞∑
n=2
n − (n − 1)
(n − 1)n= 1 +
∞∑n=2
(1
n − 1− 1
n
)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Wir bilden unendliche Summen
Denn∞∑
n=1
1n2 = 1 +
∞∑n=2
1n2 ≤ 1 +
∞∑n=2
1(n − 1)n
= 1 +∞∑
n=2
n − (n − 1)
(n − 1)n= 1 +
∞∑n=2
(1
n − 1− 1
n
)= 1 +
(1 − 1
2
)+
(12− 1
3
)+
(13− 1
4
)+ . . .
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Wir bilden unendliche Summen
Denn∞∑
n=1
1n2 = 1 +
∞∑n=2
1n2 ≤ 1 +
∞∑n=2
1(n − 1)n
= 1 +∞∑
n=2
n − (n − 1)
(n − 1)n= 1 +
∞∑n=2
(1
n − 1− 1
n
)= 1 +
(1 − 1
2
)+
(12− 1
3
)+
(13− 1
4
)+ . . .
= 1 + 1 +
(−1
2+
12
)+
(−1
3+
13
)+
(−1
4+
14
)+ . . .
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Wir bilden unendliche Summen
Denn∞∑
n=1
1n2 = 1 +
∞∑n=2
1n2 ≤ 1 +
∞∑n=2
1(n − 1)n
= 1 +∞∑
n=2
n − (n − 1)
(n − 1)n= 1 +
∞∑n=2
(1
n − 1− 1
n
)= 1 +
(1 − 1
2
)+
(12− 1
3
)+
(13− 1
4
)+ . . .
= 1 + 1 +
(−1
2+
12
)+
(−1
3+
13
)+
(−1
4+
14
)+ . . .
= 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + . . . = 2.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Wir bilden unendliche Summen
• Die harmonische Reihe divergiert gegen Unendlich:
∞∑n=1
1n
= 1 +12
+13
+14
+15
+ . . . = ∞.
• Dagegen ist die Summe der quadratischen Kehrwerte
∞∑n=1
1n2 = 1 +
122 +
132 + . . . = 1 +
14
+19
+ . . .
nach oben beschränkt und konvergiert. zum Beweis
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Wir bilden unendliche Summen
• Die harmonische Reihe divergiert gegen Unendlich:
∞∑n=1
1n
= 1 +12
+13
+14
+15
+ . . . = ∞.
• Dagegen ist die Summe der quadratischen Kehrwerte
∞∑n=1
1n2 = 1 +
122 +
132 + . . . = 1 +
14
+19
+ . . .
nach oben beschränkt und konvergiert.
Frage: Wogegen konvergiert die Summe der quadratischenKehrwerte?
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Euler und die „reelle Zetafunktion“
Es gilt∞∑
n=1
1n2 =
π2
6≈ 1.6449,
wobei π = 3.1415... die Kreiszahl bezeichnet.
Euler betrachtete allgemeiner die reelle Funktion
ζ(s) =∞∑
n=1
1ns für s > 1
und berechnete ζ(2m) für alle geraden Zahlen 2,4, 6, . . .
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Euler und die „reelle Zetafunktion“
Es gilt∞∑
n=1
1n2 =
π2
6≈ 1.6449,
wobei π = 3.1415... die Kreiszahl bezeichnet.
Euler betrachtete allgemeiner die reelle Funktion
ζ(s) =∞∑
n=1
1ns für s > 1
und berechnete ζ(2m) für alle geraden Zahlen 2,4, 6, . . .
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Euler und die „reelle Zetafunktion“
Es gilt∞∑
n=1
1n2 =
π2
6≈ 1.6449,
wobei π = 3.1415... die Kreiszahl bezeichnet.
Euler betrachtete allgemeiner die reelle Funktion
ζ(s) =∞∑
n=1
1ns für s > 1
und berechnete ζ(2m) für alle geraden Zahlen 2,4, 6, . . .
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die Eulersche ProduktformelEin Zusammenhang zwischen der Funktion ζ(s) undPrimzahlen besteht aufgrund der Eulerschen Produktformel
ζ(s) = 1 +12s +
13s +
14s +
15s +
16s + . . .
=
(1 +
12s +
122s +
123s + . . .
)·(
1 +13s +
132s +
133s + . . .
)·(
1 +15s +
152s +
153s + . . .
)· · ·
=∏
p Primzahl
(1 +
1ps +
1p2s +
1p3s + . . .
)=
∏p Primzahl
11 − p−s .
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die Eulersche ProduktformelEin Zusammenhang zwischen der Funktion ζ(s) undPrimzahlen besteht aufgrund der Eulerschen Produktformel
ζ(s) = 1 +12s +
13s +
14s +
15s +
16s + . . .
=
(1 +
12s +
122s +
123s + . . .
)·(
1 +13s +
132s +
133s + . . .
)·(
1 +15s +
152s +
153s + . . .
)· · ·
=∏
p Primzahl
(1 +
1ps +
1p2s +
1p3s + . . .
)=
∏p Primzahl
11 − p−s .
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die Eulersche ProduktformelEin Zusammenhang zwischen der Funktion ζ(s) undPrimzahlen besteht aufgrund der Eulerschen Produktformel
ζ(s) = 1 +12s +
13s +
14s +
15s +
16s + . . .
=
(1 +
12s +
122s +
123s + . . .
)·(
1 +13s +
132s +
133s + . . .
)·(
1 +15s +
152s +
153s + . . .
)· · ·
=∏
p Primzahl
(1 +
1ps +
1p2s +
1p3s + . . .
)=
∏p Primzahl
11 − p−s .
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die Eulersche ProduktformelEin Zusammenhang zwischen der Funktion ζ(s) undPrimzahlen besteht aufgrund der Eulerschen Produktformel
ζ(s) = 1 +12s +
13s +
14s +
15s +
16s + . . .
=
(1 +
12s +
122s +
123s + . . .
)·(
1 +13s +
132s +
133s + . . .
)·(
1 +15s +
152s +
153s + . . .
)· · ·
=∏
p Primzahl
(1 +
1ps +
1p2s +
1p3s + . . .
)=
∏p Primzahl
11 − p−s .
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die komplexe Zahlenebene
Die reelle Zahlengerade R läßtsich zur sogenanntenkomplexen ZahlenebeneC = R + iR erweitern.
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
Die Zahl i ist die sogenannte imaginäre Einheit und hat dieEigenschaft, daß ihr Quadrat gleich −1 ist.
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
w = 1 − 0.5 i
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
3.5 + 1.5 i
z + w =
w = 1 − 0.5 i
Die GrundrechenartenAddition, Subtraktion,Multiplikation und Divisionsetzen sich von den reellen aufdie komplexen Zahlen fort.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die komplexe Zahlenebene
Die reelle Zahlengerade R läßtsich zur sogenanntenkomplexen ZahlenebeneC = R + iR erweitern.
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
Die Zahl i ist die sogenannte imaginäre Einheit und hat dieEigenschaft, daß ihr Quadrat gleich −1 ist.
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
w = 1 − 0.5 i
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
3.5 + 1.5 i
z + w =
w = 1 − 0.5 i
Die GrundrechenartenAddition, Subtraktion,Multiplikation und Divisionsetzen sich von den reellen aufdie komplexen Zahlen fort.
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Die komplexe Zahlenebene
Die reelle Zahlengerade R läßtsich zur sogenanntenkomplexen ZahlenebeneC = R + iR erweitern.
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
Die Zahl i ist die sogenannte imaginäre Einheit und hat dieEigenschaft, daß ihr Quadrat gleich −1 ist.
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
w = 1 − 0.5 i
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
3.5 + 1.5 i
z + w =
w = 1 − 0.5 i
Die GrundrechenartenAddition, Subtraktion,Multiplikation und Divisionsetzen sich von den reellen aufdie komplexen Zahlen fort.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Von komplexen Funktionen
Einfache Abbildungen der komplexen Zahlenebene in sich, wiezum Beispiel die Polynomfunktion
f (z) = f (x + iy) := z3 − 64z
werden als Landschaft mit Höhenprofil greifbar.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Von komplexen Funktionen
Einfache Abbildungen der komplexen Zahlenebene in sich, wiezum Beispiel die Polynomfunktion
f (z) = f (x + iy) := z3 − 64z
werden als Landschaft mit Höhenprofil greifbar.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Georg Friedrich Bernhard Riemann• geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg• Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin• 1851 Promotion mit der epochemachenden
Inauguraldissertation „Grundlagen für eine allgemeineTheorie der Functionen einer veränderlichen complexenGrösse“
• 1854 Habilitationsvortrag „Über die Hypothesen, welcheder Geometrie zu Grunde liegen“ - Geburt der modernenDifferentialgeometrie
• 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl,Publikation der Arbeit „Ueber die Anzahl der Primzahlenunter einer gegebenen Grösse“
• gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, LagoMaggiore, Italien
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Georg Friedrich Bernhard Riemann• geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg• Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin• 1851 Promotion mit der epochemachenden
Inauguraldissertation „Grundlagen für eine allgemeineTheorie der Functionen einer veränderlichen complexenGrösse“
• 1854 Habilitationsvortrag „Über die Hypothesen, welcheder Geometrie zu Grunde liegen“ - Geburt der modernenDifferentialgeometrie
• 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl,Publikation der Arbeit „Ueber die Anzahl der Primzahlenunter einer gegebenen Grösse“
• gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, LagoMaggiore, Italien
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Georg Friedrich Bernhard Riemann• geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg• Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin• 1851 Promotion mit der epochemachenden
Inauguraldissertation „Grundlagen für eine allgemeineTheorie der Functionen einer veränderlichen complexenGrösse“
• 1854 Habilitationsvortrag „Über die Hypothesen, welcheder Geometrie zu Grunde liegen“ - Geburt der modernenDifferentialgeometrie
• 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl,Publikation der Arbeit „Ueber die Anzahl der Primzahlenunter einer gegebenen Grösse“
• gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, LagoMaggiore, Italien
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Georg Friedrich Bernhard Riemann• geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg• Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin• 1851 Promotion mit der epochemachenden
Inauguraldissertation „Grundlagen für eine allgemeineTheorie der Functionen einer veränderlichen complexenGrösse“
• 1854 Habilitationsvortrag „Über die Hypothesen, welcheder Geometrie zu Grunde liegen“ - Geburt der modernenDifferentialgeometrie
• 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl,Publikation der Arbeit „Ueber die Anzahl der Primzahlenunter einer gegebenen Grösse“
• gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, LagoMaggiore, Italien
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Georg Friedrich Bernhard Riemann• geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg• Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin• 1851 Promotion mit der epochemachenden
Inauguraldissertation „Grundlagen für eine allgemeineTheorie der Functionen einer veränderlichen complexenGrösse“
• 1854 Habilitationsvortrag „Über die Hypothesen, welcheder Geometrie zu Grunde liegen“ - Geburt der modernenDifferentialgeometrie
• 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl,Publikation der Arbeit „Ueber die Anzahl der Primzahlenunter einer gegebenen Grösse“
• gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, LagoMaggiore, Italien
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Georg Friedrich Bernhard Riemann• geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg• Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin• 1851 Promotion mit der epochemachenden
Inauguraldissertation „Grundlagen für eine allgemeineTheorie der Functionen einer veränderlichen complexenGrösse“
• 1854 Habilitationsvortrag „Über die Hypothesen, welcheder Geometrie zu Grunde liegen“ - Geburt der modernenDifferentialgeometrie
• 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl,Publikation der Arbeit „Ueber die Anzahl der Primzahlenunter einer gegebenen Grösse“
• gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, LagoMaggiore, Italien
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die Riemannsche Zetafunktion
Die unendliche Reihe
ζ(s) =∞∑
n=1
1ns = 1 +
12s +
13s +
14s + . . .
konvergiert für alle komlpexen Zahlen s = x + yi mit Realteilx > 1.Zudem setzt sich die Funktion ζ(s), mit Ausnahme eines Polsbei s = 1, eindeutig auf die ganze komplexe Zahlenebene fort.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die Riemannsche Zetafunktion
Die unendliche Reihe
ζ(s) =∞∑
n=1
1ns = 1 +
12s +
13s +
14s + . . .
konvergiert für alle komlpexen Zahlen s = x + yi mit Realteilx > 1.Zudem setzt sich die Funktion ζ(s), mit Ausnahme eines Polsbei s = 1, eindeutig auf die ganze komplexe Zahlenebene fort.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die Riemannsche Zetafunktion
Die unendliche Reihe
ζ(s) =∞∑
n=1
1ns = 1 +
12s +
13s +
14s + . . .
konvergiert für alle komlpexen Zahlen s = x + yi mit Realteilx > 1.Zudem setzt sich die Funktion ζ(s), mit Ausnahme eines Polsbei s = 1, eindeutig auf die ganze komplexe Zahlenebene fort.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Der kritische Streifen
Die Fortsetzung von ζ(s) auf die ganzeZahlenebene gelingt mit Hilfe derFunktionalgleichung
Λ(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
Pol
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
Pol
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
0.5 + i (14.13...)
0.5 + i (21.02...)
0.5 − i (21.02...)
0.5 − i (14.13...)
. . .
. . .
Nullstellen
Pol
nicht−triviale
Von besonderem Interesse sind die Nullstellenvon Λ(s). Diese entsprechen den nicht-trivialenNullstellen von ζ(s) und liegen alle in demkritischen Streifen S := {x + yi | 0 ≤ x ≤ 1}.
Alle bekannten Nullstellen von Λ(s) liegen sogarauf der Geraden G := {x + yi | x = 1/2}.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Der kritische Streifen
Die Fortsetzung von ζ(s) auf die ganzeZahlenebene gelingt mit Hilfe derFunktionalgleichung
Λ(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
Pol
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
Pol
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
0.5 + i (14.13...)
0.5 + i (21.02...)
0.5 − i (21.02...)
0.5 − i (14.13...)
. . .
. . .
Nullstellen
Pol
nicht−triviale
Von besonderem Interesse sind die Nullstellenvon Λ(s). Diese entsprechen den nicht-trivialenNullstellen von ζ(s) und liegen alle in demkritischen Streifen S := {x + yi | 0 ≤ x ≤ 1}.
Alle bekannten Nullstellen von Λ(s) liegen sogarauf der Geraden G := {x + yi | x = 1/2}.
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Der kritische Streifen
Die Fortsetzung von ζ(s) auf die ganzeZahlenebene gelingt mit Hilfe derFunktionalgleichung
Λ(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
Pol
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
Pol
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
0.5 + i (14.13...)
0.5 + i (21.02...)
0.5 − i (21.02...)
0.5 − i (14.13...)
. . .
. . .
Nullstellen
Pol
nicht−triviale
Von besonderem Interesse sind die Nullstellenvon Λ(s). Diese entsprechen den nicht-trivialenNullstellen von ζ(s) und liegen alle in demkritischen Streifen S := {x + yi | 0 ≤ x ≤ 1}.
Alle bekannten Nullstellen von Λ(s) liegen sogarauf der Geraden G := {x + yi | x = 1/2}.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die Chebyshevsche ψ-Funktion
Erinnerung: Wir möchten zeigen, daß für große x die Anzahlπ(x) der Primzahlen kleinergleich x gut durch denIntegrallogarithmus Li(x) approximiert wird. Grafik
Handlicher als die Primzahl-Zähl-Funktionπ(x) =
∑p≤x 1 erweist sich die von
Chebyshev eingeführte Variante
ψ(x) :=∑pk≤x
log(p),
bei der die Primzahlen mit logarithmischenGewichten gezählt werden.
Grob gesprochen ist die Näherung π(x) ≈ Li(x)äquivalent zu ψ(x) ≈ x .
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die Chebyshevsche ψ-Funktion
Erinnerung: Wir möchten zeigen, daß für große x die Anzahlπ(x) der Primzahlen kleinergleich x gut durch denIntegrallogarithmus Li(x) approximiert wird. Grafik
Handlicher als die Primzahl-Zähl-Funktionπ(x) =
∑p≤x 1 erweist sich die von
Chebyshev eingeführte Variante
ψ(x) :=∑pk≤x
log(p),
bei der die Primzahlen mit logarithmischenGewichten gezählt werden.
Grob gesprochen ist die Näherung π(x) ≈ Li(x)äquivalent zu ψ(x) ≈ x .
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Die Chebyshevsche ψ-Funktion
Erinnerung: Wir möchten zeigen, daß für große x die Anzahlπ(x) der Primzahlen kleinergleich x gut durch denIntegrallogarithmus Li(x) approximiert wird. Grafik
Handlicher als die Primzahl-Zähl-Funktionπ(x) =
∑p≤x 1 erweist sich die von
Chebyshev eingeführte Variante
ψ(x) :=∑pk≤x
log(p),
bei der die Primzahlen mit logarithmischenGewichten gezählt werden.
Grob gesprochen ist die Näherung π(x) ≈ Li(x)äquivalent zu ψ(x) ≈ x .
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Die Chebyshevsche ψ-Funktion
Erinnerung: Wir möchten zeigen, daß für große x die Anzahlπ(x) der Primzahlen kleinergleich x gut durch denIntegrallogarithmus Li(x) approximiert wird. Grafik
Handlicher als die Primzahl-Zähl-Funktionπ(x) =
∑p≤x 1 erweist sich die von
Chebyshev eingeführte Variante
ψ(x) :=∑pk≤x
log(p),
bei der die Primzahlen mit logarithmischenGewichten gezählt werden.
Grob gesprochen ist die Näherung π(x) ≈ Li(x)äquivalent zu ψ(x) ≈ x .
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Riemanns Formel für die Primzahl-Zähl-Funktion
Die Stufenfunktion ψ(x) läßt sich präzise mit Hilfe derkomplexen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktionausdrücken:
ψ·(x) = x − log(2π) −∑
ρ
xρ
ρ− 1
2log
(1 − 1
x2
).
Die nachfolgenden Graphiken zeigen schrittweise dieApproximation der gewichteten Primzahl-Zähl-Funktion ψ(x)mittels der ersten 300 Nullstellenpaare der RiemannschenZetafunktion. Graphiken
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Riemanns Formel für die Primzahl-Zähl-Funktion
Die Stufenfunktion ψ(x) läßt sich präzise mit Hilfe derkomplexen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktionausdrücken:
ψ·(x) = x − log(2π) −∑
ρ
xρ
ρ− 1
2log
(1 − 1
x2
).
Die nachfolgenden Graphiken zeigen schrittweise dieApproximation der gewichteten Primzahl-Zähl-Funktion ψ(x)mittels der ersten 300 Nullstellenpaare der RiemannschenZetafunktion. Graphiken
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Riemanns Formel für die Primzahl-Zähl-Funktion
Die Stufenfunktion ψ(x) läßt sich präzise mit Hilfe derkomplexen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktionausdrücken:
ψ·(x) = x − log(2π) −∑
ρ
xρ
ρ− 1
2log
(1 − 1
x2
).
Die nachfolgenden Graphiken zeigen schrittweise dieApproximation der gewichteten Primzahl-Zähl-Funktion ψ(x)mittels der ersten 300 Nullstellenpaare der RiemannschenZetafunktion. Graphiken
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die Riemannsche Vermutung
Riemannsche VermutungAlle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktionliegen auf der Geraden G = {x + yi | x = 1/2}.
Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.Äquivalent zu der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung istdie Aussage:
Äquivalente Form der Riemannschen VermutungEs gibt eine Konstante C, so daß π(x) von Li(x) nicht mehr alsC ·
√x log(x) abweicht.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die Riemannsche Vermutung
Riemannsche VermutungAlle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktionliegen auf der Geraden G = {x + yi | x = 1/2}.
Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.Äquivalent zu der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung istdie Aussage:
Äquivalente Form der Riemannschen VermutungEs gibt eine Konstante C, so daß π(x) von Li(x) nicht mehr alsC ·
√x log(x) abweicht.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die Riemannsche Vermutung
Riemannsche VermutungAlle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktionliegen auf der Geraden G = {x + yi | x = 1/2}.
Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.Äquivalent zu der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung istdie Aussage:
Äquivalente Form der Riemannschen VermutungEs gibt eine Konstante C, so daß π(x) von Li(x) nicht mehr alsC ·
√x log(x) abweicht.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die Riemannsche Vermutung
Riemannsche VermutungAlle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktionliegen auf der Geraden G = {x + yi | x = 1/2}.
Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.Äquivalent zu der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung istdie Aussage:
Äquivalente Form der Riemannschen VermutungEs gibt eine Konstante C, so daß π(x) von Li(x) nicht mehr alsC ·
√x log(x) abweicht.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die Riemannsche Vermutung
Riemannsche VermutungAlle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktionliegen auf der Geraden G = {x + yi | x = 1/2}.
Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.Äquivalent zu der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung istdie Aussage:
Äquivalente Form der Riemannschen VermutungEs gibt eine Konstante C, so daß π(x) von Li(x) nicht mehr alsC ·
√x log(x) abweicht.
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Die Riemannsche Vermutung
„. . . Man findet nun in der That etwa so viel reelleWurzeln innerhalb dieser Grenzen, und es ist sehrwahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervonwäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ichhabe indess die Aufsuchung desselben nach einigenflüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seitegelassen, da er für den nächsten Zweck meinerUntersuchung entbehrlich schien. . . . “
Riemann
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Nach Riemann . . .
. . . von Mangoldt . . . Hadamard . . . de la Vallée Poussin. . . Hardy . . . Littlewood . . . Selberg . . . Montgomery . . .
Primzahlen Von Euler zu Riemann „Eine wundersame Formel“ Ende
Ende
Vielen Dankfür Ihre Aufmerksamkeit
und herzlichen Dank anTobias Ebel
für die computer-technische Unterstützung
Anhang mit Bildern und Graphiken
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Satz (Euklides um 300 v. Chr.)Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
• Angenommen, p1 = 2,p2 = 3, . . . ,pr sind alle Primzahlen.• Setze N := p1 · p2 · · ·pr + 1.• Dann ist N ≥ 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar.• Widerspruch!
Frage: Wieviel ist „unendlich viele“?
Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Größe
DefinitionFür jede reelle Zahl x bezeichne π(x) dieAnzahl der Primzahlen zwischen 1 und x .
x π(x) x/π(x)
100 25 4.01000 168 ≈ 6.0
10,000 1,229 ≈ 8.1100,000 9,592 ≈ 10.4
1,000,000 78,498 ≈ 12.710,000,000 664,579 ≈ 15.0
100,000,000 5,761,455 ≈ 17.4
Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Größe
DefinitionFür jede reelle Zahl x bezeichne π(x) dieAnzahl der Primzahlen zwischen 1 und x .
x π(x) x/π(x)
100 25 4.01000 168 ≈ 6.0
10,000 1,229 ≈ 8.1100,000 9,592 ≈ 10.4
1,000,000 78,498 ≈ 12.710,000,000 664,579 ≈ 15.0
100,000,000 5,761,455 ≈ 17.4
Euler und die „reelle Zetafunktion“
Es gilt∞∑
n=1
1n2 =
π2
6≈ 1.6449,
wobei π = 3.1415... die Kreiszahl bezeichnet.
Euler betrachtete allgemeiner die reelle Funktion
ζ(s) =∞∑
n=1
1ns für s > 1
und berechnete ζ(2m) für alle geraden Zahlen 2,4, 6, . . .
Euler und die „reelle Zetafunktion“
Es gilt∞∑
n=1
1n2 =
π2
6≈ 1.6449,
wobei π = 3.1415... die Kreiszahl bezeichnet.
Euler betrachtete allgemeiner die reelle Funktion
ζ(s) =∞∑
n=1
1ns für s > 1
und berechnete ζ(2m) für alle geraden Zahlen 2,4, 6, . . .
Die komplexe Zahlenebene
Die reelle Zahlengerade R läßtsich zur sogenanntenkomplexen ZahlenebeneC = R + iR erweitern.
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
Die Zahl i ist die sogenannte imaginäre Einheit und hat dieEigenschaft, daß ihr Quadrat gleich −1 ist.
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
w = 1 − 0.5 i
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
3.5 + 1.5 i
z + w =
w = 1 − 0.5 i
Die GrundrechenartenAddition, Subtraktion,Multiplikation und Divisionsetzen sich von den reellen aufdie komplexen Zahlen fort.
Die komplexe Zahlenebene
Die reelle Zahlengerade R läßtsich zur sogenanntenkomplexen ZahlenebeneC = R + iR erweitern.
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
Die Zahl i ist die sogenannte imaginäre Einheit und hat dieEigenschaft, daß ihr Quadrat gleich −1 ist.
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
w = 1 − 0.5 i
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
3.5 + 1.5 i
z + w =
w = 1 − 0.5 i
Die GrundrechenartenAddition, Subtraktion,Multiplikation und Divisionsetzen sich von den reellen aufdie komplexen Zahlen fort.
Die komplexe Zahlenebene
Die reelle Zahlengerade R läßtsich zur sogenanntenkomplexen ZahlenebeneC = R + iR erweitern.
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
Die Zahl i ist die sogenannte imaginäre Einheit und hat dieEigenschaft, daß ihr Quadrat gleich −1 ist.
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
w = 1 − 0.5 i
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
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imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
3.5 + 1.5 i
z + w =
w = 1 − 0.5 i
Die GrundrechenartenAddition, Subtraktion,Multiplikation und Divisionsetzen sich von den reellen aufdie komplexen Zahlen fort.
Die komplexe Zahlenebene
Die reelle Zahlengerade R läßtsich zur sogenanntenkomplexen ZahlenebeneC = R + iR erweitern.
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
Die Zahl i ist die sogenannte imaginäre Einheit und hat dieEigenschaft, daß ihr Quadrat gleich −1 ist.
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
w = 1 − 0.5 i
reelle Achse
1 2 3−1
i
2i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
3.5 + 1.5 i
z + w =
w = 1 − 0.5 i
Die GrundrechenartenAddition, Subtraktion,Multiplikation und Divisionsetzen sich von den reellen aufdie komplexen Zahlen fort.
Von komplexen Funktionen
Einfache Abbildungen der komplexen Zahlenebene in sich, wiezum Beispiel die Polynomfunktion
f (z) = f (x + iy) := z3 − 64z
werden als Landschaft mit Höhenprofil greifbar.
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Die Riemannsche Zetafunktion
Die unendliche Reihe
ζ(s) =∞∑
n=1
1ns = 1 +
12s +
13s +
14s + . . .
konvergiert für alle komlpexen Zahlen s = x + yi mit Realteilx > 1.Zudem setzt sich die Funktion ζ(s), mit Ausnahme eines Polsbei s = 1, eindeutig auf die ganze komplexe Zahlenebene fort.
Die Riemannsche Zetafunktion
Die unendliche Reihe
ζ(s) =∞∑
n=1
1ns = 1 +
12s +
13s +
14s + . . .
konvergiert für alle komlpexen Zahlen s = x + yi mit Realteilx > 1.Zudem setzt sich die Funktion ζ(s), mit Ausnahme eines Polsbei s = 1, eindeutig auf die ganze komplexe Zahlenebene fort.
Der kritische Streifen
Die Fortsetzung von ζ(s) auf die ganzeZahlenebene gelingt mit Hilfe derFunktionalgleichung
Λ(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
Pol
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
Pol
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
0.5 + i (14.13...)
0.5 + i (21.02...)
0.5 − i (21.02...)
0.5 − i (14.13...)
. . .
. . .
Nullstellen
Pol
nicht−triviale
Von besonderem Interesse sind die Nullstellenvon Λ(s). Diese entsprechen den nicht-trivialenNullstellen von ζ(s) und liegen alle in demkritischen Streifen S := {x + yi | 0 ≤ x ≤ 1}.
Alle bekannten Nullstellen von Λ(s) liegen sogarauf der Geraden G := {x + yi | x = 1/2}.
Der kritische Streifen
Die Fortsetzung von ζ(s) auf die ganzeZahlenebene gelingt mit Hilfe derFunktionalgleichung
Λ(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
Pol
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
Pol
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
0.5 + i (14.13...)
0.5 + i (21.02...)
0.5 − i (21.02...)
0.5 − i (14.13...)
. . .
. . .
Nullstellen
Pol
nicht−triviale
Von besonderem Interesse sind die Nullstellenvon Λ(s). Diese entsprechen den nicht-trivialenNullstellen von ζ(s) und liegen alle in demkritischen Streifen S := {x + yi | 0 ≤ x ≤ 1}.
Alle bekannten Nullstellen von Λ(s) liegen sogarauf der Geraden G := {x + yi | x = 1/2}.
Der kritische Streifen
Die Fortsetzung von ζ(s) auf die ganzeZahlenebene gelingt mit Hilfe derFunktionalgleichung
Λ(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
Pol
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
Pol
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
0.5 + i (14.13...)
0.5 + i (21.02...)
0.5 − i (21.02...)
0.5 − i (14.13...)
. . .
. . .
Nullstellen
Pol
nicht−triviale
Von besonderem Interesse sind die Nullstellenvon Λ(s). Diese entsprechen den nicht-trivialenNullstellen von ζ(s) und liegen alle in demkritischen Streifen S := {x + yi | 0 ≤ x ≤ 1}.
Alle bekannten Nullstellen von Λ(s) liegen sogarauf der Geraden G := {x + yi | x = 1/2}.
Der kritische Streifen
Die Fortsetzung von ζ(s) auf die ganzeZahlenebene gelingt mit Hilfe derFunktionalgleichung
Λ(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
Pol
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
Pol
10 i
20 i
30 i
−10 i
−20 i
1−1−2−3−4
reelle Achse
imaginäre Achse
kritischer Streifen
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
0.5 + i (14.13...)
0.5 + i (21.02...)
0.5 − i (21.02...)
0.5 − i (14.13...)
. . .
. . .
Nullstellen
Pol
nicht−triviale
Von besonderem Interesse sind die Nullstellenvon Λ(s). Diese entsprechen den nicht-trivialenNullstellen von ζ(s) und liegen alle in demkritischen Streifen S := {x + yi | 0 ≤ x ≤ 1}.
Alle bekannten Nullstellen von Λ(s) liegen sogarauf der Geraden G := {x + yi | x = 1/2}.
Die Chebyshevsche ψ-Funktion
Erinnerung: Wir möchten zeigen, daß für große x die Anzahlπ(x) der Primzahlen kleinergleich x gut durch denIntegrallogarithmus Li(x) approximiert wird. Grafik
Handlicher als die Primzahl-Zähl-Funktionπ(x) =
∑p≤x 1 erweist sich die von
Chebyshev eingeführte Variante
ψ(x) :=∑pk≤x
log(p),
bei der die Primzahlen mit logarithmischenGewichten gezählt werden.
Grob gesprochen ist die Näherung π(x) ≈ Li(x)äquivalent zu ψ(x) ≈ x .
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