Aufgaben zur Kombinatorik

Löse die Aufgaben sauber auf einem Blatt Papier oder im Schulheft.Für jede Aufgabe bekommst du bis zu 4 Minuten Zeit.

Und nun geht’s los!

Aufgabe 1

Die zehn Ziffern 0 bis 9 sollen so angeordnet werden, dassa) keinerlei Einschränkungen gelten sollen,b) zuerst alle ungeraden und dann alle geraden Ziffern kommen,c) sich ungerade und gerade Zahlen jeweils abwechseln,d) die 0 nicht am Anfang oder Ende der Reihe steht,e) die Primzahlen genau in der Mitte der Reihe stehen.

a) 10 Ziffern, also 10! 3628800

b) 5! 5! 120 120 14 400

c) 2 5! 5! 2 120 120 28800

d) 8 9! 8 362880 2903040

e) es gibt die vier Pr imzahlen 2, 3, 5 und 7, also4! 6! 24 720 17 280

Aufgabe 2

Wie viele (auch sinnlose) Worte mit 5 Buchstaben kann man mit den 6 Buchstaben a, e, i, n, s und t schreiben, wenna) jeder Buchstabe beliebig oft auftreten darf,b) jeder Buchstabe höchstens einmal auftreten darf,c) jeder Buchstabe nur einmal auftreten darf, aber alle Vokale vorkommen

müssen.

5a) 6 7776

c) von den 3 Konsonanten muss einer weggelassen werden.3 (3 2)! 3 5! 3 120 360

b) von den 6 Buchstaben muss einer weggelassen werden.6 (6 1)! 6 5! 6! 720

Aufgabe 3

Wie viele (auch sinnlose) Worte kann man mit genau den Buchstaben des Wortesa) NAGELb) SONNEc) KESSELd) MISSISSIPPIschreiben?

a) 5! 120

5! 120b) 602! 2

6! 720c) 1802! 2! 2 2

11! 39 916 800d) 34 6504! 4! 2! 24 24 2

Aufgabe 4 ( 2 Punkte )

Hans zieht aus einem Kartenspiel mit 32 Karten eine Karte heraus.Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten die folgenden Ereignisse ein?A = „Herz“B = „Dame oder König“C = „Kein König“D = A ∩ BE A B

A 8a) P(A) 25%32

B 4 4b) P(B) 25%32

C 32 4 28c) P(C) 87,5%32 32

D 2 28d) P(D) 6,25%32 32

E 8 (8 2) 14e) P(E) 43,75%32 32

Aufgabe 5

Peter wirft zwei Würfel. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten folgende Ereignisse ein?A = „Nur ungerade Zahlen“B = „Augensumme 8“C = „Augendifferenz 3“D = „Augenprodukt 12“

A 9a) 6 6 36 und A 3 3 P(A) 25%36

B 5b) 8 2 6 6 2 3 5 5 3 4 4 und P(B) 13,9%36

C 6c) 3 6 3 5 2 4 1 und P(C) 16,7%36

D 4d) 12 2 6 6 2 3 4 4 3 und P(D) 11,1%36

Aufgabe 6Petra wirft drei Würfel.Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten folgende Ereignisse ein?A = „Nur ungerade Augenzahlen“B = „Augensumme 9“C = „Augenprodukt 12“D = A ∩ B

3 3 27 1a) 6 216 und A 3 27 P(A) 12,5%216 8

3 31 4 4 2 2 5b) 93 2 1 25P(B) 11,6%

2

1

16 2

32 6 1 3 5 2 3 43

11

63!

2 1 15c) 12 P(C 3!1 2 6 ) 6,91 3 4 %216 216

32 2 3

7d) 9 P(D) 3!1 3 3,213 %216

31

52 6

3

Aufgabe 7 (Ausblick auf Klasse 9: Anzahl von Teilmengen)

Beim Lotto „6 aus 49“ muss man von 49 Zahlen genau 6 ankreuzen.Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?Peter überlegt: Für die erste Zahl gibt es 49 Möglichkeiten, für die 2. Zahl noch 48, für die 3. Zahl noch 47 usw. Z.B.: Zuerst die 6, dann die 5, dann die 4, die 3, die 2 und die 1.Also gibt es 49·48·47·46·45·44=10 068 347 520 Möglichkeiten.Überlege was an Peters Überlegung noch falsch ist. Warum gibt es deutlich weniger Möglichkeiten?

Bei der Zählweise von Peter spielt die Reihenfolge der getippten Zahlen eine Rolle.Die Reihenfolge 6,5,4,3,2,1 liefert aber das gleiche Ergebnis wie die Reihenfolge 1,2,3,4,5,6 oder jede andere beliebige Permutation der 6 getippten Zahlen. Peter zählt diese Permutationen aber als gesonderte Fälle alle mit. Kannst du nun die richtige Anzahl an Möglichkeiten angeben?

Jedes Tippergebnis wird von Peter 6! = 720 Mal gezählt.Die Anzahl an möglichen Tippergebnissen beträgt daher nur

49 48 47 46 45 44 49 48 47 46 45 44 13 983 8166! 1 2 3 4 5 6

4949 48 47 46 45 44Für den Term gibt es das Symbol ("6 aus 49" oder "49 über 6")61 2 3 4 5 6

Mit dem Taschenrechner kan man diesen Ausdruck mit 49 nCr 6 schnell berechnen.

Aufgabe 8

Aus der Klasse 8b mit 32 Schülern (davon 14 Mädchen) sollen 4 Schüler für einen Wettbewerb per Los ausgewählt werden. a) Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?b) Mit welcher Wahrscheinlichkeiten sind nur Mädchen in der Auswahl?

32 32 31 30 29a) Es gibt 35 960 Möglichkeiten.4 1 2 3 4

144 1 001b) P("nur Mädchen") 2,8%

32 35 9604

Aufgabe 9

In einem Konferenzraum befinden sich 12 Sitzplätze.Auf wie viele unterschiedliche Arten können die Konferenzteilnehmer Platz nehmen, wenna) 12 Personen teilnehmen,b) 8 Personen teilnehmen,c) 8 Personen teilnehmen, aber die 6 vorderen Plätze auf jeden Fall besetzt werden?

a) Es gibt 12! 479 001 600 Möglichkeiten.

12b) Es gibt 8! 495 40320 19 958 400 Möglichkeiten.

8

6c) Es gibt 8! 15 40320 604 800 Möglichkeiten.

2

Aufgabe 10

Peter spielt gerne „Schafkopf“.Er bekommt 8 der 32 in Bayern gut bekannten Karten.Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt era) die 4 Ober,b) weder Ober noch Unter,c) die 4 Unter, keinen Ober aber zusätzlich nur Herzkarten?

4 28 32 20475a) P("vier Ober") : 0,19%4 4 8 10518300

24 32 735471b) P("weder Ober noch Unter") : 7,0%8 8 10518300

4 6 32 15c) P("4 Unter, keinen Ober, Rest Herz") : 0,00014%4 4 8 10518300

Schöne Osterferien!