baumechanik 1 (modul 3104) veranstaltungen ws 2012 / 2013 · baumechanik 1 prof. dr.- ing. andreas...

Baumechanik 1 (Modul 3104)

Veranstaltungen WS 2012 / 2013

Vorlesung Mi. 10:00 – 11:30 Uhr, 3.103 (Casino-Gebäude)

Beginn: 26.9.2012

Hörsaalübung Gruppe Bauingenieure A

Di. 11:45 - 13:15 Uhr, R. 1.116 Beginn: 25.9.2012

Gruppe Bauingenieure B

Do. 11:45 – 13:15 Uhr, R. 3.107 Beginn: 27.9.2012

Wirtschaftsingenieure

Di. 10:00 – 11:30 Uhr, R. 1.017 Beginn: 25.9.2012

Übungsseminar montags 8:15 – 9:45 Uhr, 3.107

(Tutorium) Beginn: 1.10.2012

Ansprechpartner Prof. Dr.-Ing. Andreas Falk

Sprechstunde: Mo. 12:00 – 14:00, R. 1.110

Tel.: 05231 / 769 815

email: [email protected]

Internet: http://www.hs-owl.de/fb3/labore/tm0.html

mailto:[email protected]

Baumechanik 1

Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk Blatt

04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 2

Literaturangaben

[1] Bochmann, F.: Statik im Bauwesen, Bd. 1, Statisch bestimmte Systeme. 21. Auflage 2003, Huss-Medien

XBK 128

[2] Bochmann, F.: Statik im Bauwesen, Bd. 2, Festigkeitslehre. 18. Auflage 2003, Huss-Medien

XBK 128

[3] Brommundt, E.; Sachs, G.: Technische Mechanik, Eine Einführung. 3. Aufl. 1998, Springer Verlag

WCA 138

[4] Bruns, O.T.; Lehmann, Th.: Elemente der Mechanik

Bd. 1 Einführung, Statik. 1. Aufl. 1993, Vieweg

-

Bd. 2 Elastostatik. 1. Aufl. 1999, Vieweg -

Bd. 3 Kinetik. 1. Aufl. 1994, Vieweg -

[5] Bruns, O.T.: Aufgabensammlung Technische Mechanik

Bd. 1 Statik, 1. Aufl. 2000, Vieweg

-

Bd. 2 Festigkeitslehre, 1. Aufl. 2000, Vieweg -

Bd. 3 Kinetik, 1. Aufl. 1999, Vieweg -

[6] Dallmann, R.: Baustatik 1- Berechnung statisch bestimmter Tragwerke. 1. Auflage, 2006, Hanser Fachbuchverlag

XBK 266

[7] Dankert, H.; Dankert, J.: Technische Mechanik, computerunterstützt, Statik, Festigkeitslehre, Kinematik / Kinetik, 4. Auflage, 2006, Teubner

WCA 149

[8] Gross, D.; Hauger, W.; Schröder, J., Wall, W.A.: Technische Mechanik, Bd. 1, Statik. 9. Aufl. 2006, Springer Verlag

WCA 132

[9] Gross, D.; Schnell, W. ; Ehlers, W.; Wriggers, P.: Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik, Bd. 2 Elastostatik, Hydrostatik; 5. Aufl. 1998, Springer Verlag

WCA 132

[10] Gross, D.; Schnell, W. ; Ehlers, W.; Wriggers, P.: Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik, Bd. 3 Kinetik, Hydrodynamik. 5. Aufl. 1999, Springer Verlag

WCA 132

[11] Gross, D.; Hauger, W.; Schnell, W. ;Wriggers, P.: Technische Mechanik, Bd. 4, Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden. 3. Aufl. 1999, Springer Verlag

WCA 132

[12] Hauger, W. ; Schnell, W.; Gross, D. : Technische Mechanik, Bd. 3 Kinetik. 6. Aufl. 1999, Springer Verlag

WCA 132

[13] Krings, W.; Wanner, A.: Kleine Baustatik – Grundlagen der Statik und Berechnung von Bauteilen. 14. Auflage 2009. Teubner Verlag

XBK 103

[14] Lohmeyer, G.C.O. : Baustatik 1, Grundlagen. 10. Aufl. 2008, Teubner Verlag

XBK 110

[15] Lohmeyer, G.C.O., Baar, S. : Baustatik 2, Bemessung und Festigkeitslehre. 11. Aufl. 2009, Teubner Verlag

XBK 110

Baumechanik 1



[16] Mayr, M.: Technische Mechanik - Statik, Kinematik, Kinetik, Schwingungen, Festigkeitslehre; 2. Aufl. 1999, Hanser Elektronik

WCA 153

[17] Mayr, M.: Mechanik Training - Übungsbeispiele und Prüfungsaufgaben; 2. Aufl. 2000, Hanser Elektronik

-

[18] Meskouris, K.; Hake, E.: Statik der Stabtragwerke - Einführung in die Tragwerkslehre; 1. Auflage 1999, Springer-Verlag.

XBK 204

[19] Müller, K.; Ferber, E.: Technische Mechanik für Ingenieure. 2.Auflage 2004, Hanser-Verlag.

WCA 293

[20] Romberg, O. ; Hinrichs, N.: Keine Panik vor Mechanik. Taschenbuch. 2. Aufl. 2000, Vieweg

WCA 162

[21] Schatz, D.: Klausurtraining Statik, 2. Aufl. 2003, Teubner Verlag XBK 208

[22] Schnell, W.; Gross, D.; Hauger, W.: Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik, Bd. 1, Statik; 5. Aufl. 1998, Springer Verlag

WCA 132

[23] Schnell, W.; Gross, D.; Hauger, W.: Technische Mechanik, Bd. 2 Elastostatik. 6. Aufl. 1998, Springer Verlag

WCA 132

[24] Wetzell, O.W.: Technische Mechanik für Bauingenieure, Bd. 1, Statisch bestimmte Stabtragwerke. 2. Aufl. 2004, Teubner Verlag

WCI 121

[25] Wriggers, P. et al.: Technische Mechanik kompakt. 1. Auflage 2005, Teubner Verlag.

WCA 292

Internet-Hinweise

Literatur www.hs-owl.de/skim; www.amazon.de

Bauwerke www.structurae.de, www.brueckenweb.de

Hochschulen

www.hs-owl.de/fb3, www.ibnm.uni-hannover.de

www.ki-smile.de (Fachhochschule Potsdam)

http://www.hs-owl.de/skim

http://www.amazon.de/

http://www.structurae.de/

http://www.brueckenbau-links.de/

http://www.hs-owl.de/fb3

http://www.uni-hannover.de/

http://www.ki-smile.de/

Baumechanik 1



Inhalt

1 EINFÜHRUNG 10

1.1 Einteilung der Mechanik 10

1.2 Historischer Überblick 11

1.3 Begriffe 17

1.4 Griechisches Alphabet 18

2 EINWIRKUNGEN UND KRAFTBEGRIFF 19

2.1 Allgemeines 19

2.2 Physikalische Größen, Einheiten 20

2.3 Masse und Gewichtskraft 20 2.3.1 Masse 20 2.3.2 Gravitation ist die Ursache der Gewichtskraft 21 2.3.3 Berechnung der Gewichtskraft über die Wichte 22 2.3.4 Flächenkräfte p 23 2.3.5 Linienkräfte (Streckenlasten) q 25 2.3.6 Einzelkräfte F 26 2.3.7 Weitere Einteilungsmöglichkeiten für Kräfte 27 2.3.8 Bestimmungsgrößen einer Kraft 27

2.4 Kleine Übungsaufgaben 28 2.4.1 Massenermittlungen 28 2.4.2 Masse – Gewichtskraft 28 2.4.3 Kleines Tragwerk - Wartehäuschen 29

2.5 Axiome der Statik und Schnittprinzip 30

3 ZENTRALE KRAFTSYSTEME IN DER EBENE 33

3.1 Allgemeines 33

3.2 Kräfteaddition (Reduktion) 34 3.2.1 Grafische Methode 34 3.2.2 Analytische Methode 35 3.2.3 Trigonometrische Formeln 37

3.3 Bedingungen für das Gleichgewicht 38 3.3.1 Grafische Methode 38 3.3.2 Analytische Methode 38 3.3.3 Beispiel zur Reduktion und zum Gleichgewicht (Öse) 39 3.3.4 Beispiel 2 40

3.4 Kräftezerlegung in 2 Richtungen 41 3.4.1 Grafische Methode 41 3.4.2 Analytische Methode 42 3.4.3 Beispiel 1 zur Kräftezerlegung 44 3.4.4 Beispiel 2 zur Kräftezerlegung 44

3.5 Zusammenfassung 45

Baumechanik 1



4 ALLGEMEINE KRAFTSYSTEME IN DER EBENE 46

4.1 Allgemeines 46

4.2 Moment und Kräftepaar 47 4.2.1 Allgemeines, Definitionen 47 4.2.2 Komponentendarstellung des Momentes 48 4.2.3 Verschiebung einer Kraft parallel zur Wirkungslinie 50

4.3 Beispiele zu nicht-zentralen Kraftsystemen 51 4.3.1 Bsp. 1 zum nicht-zentralen Kraftsystem 51 4.3.2 Bsp. 2 zum nicht-zentralen Kraftsystem 52 4.3.3 Beispiel 3 zum nicht-zentralen Kraftsystem 53 4.3.4 Beispiel 4 zum nicht-zentralen Kräftesystem 54

4.4 Zusammenfassung 56

5 LAGERREAKTIONEN EBENER STABTRAGWERKE 57

5.1 Allgemeines 57 5.1.1 Mögliche Tragwerksarten 57 5.1.2 Tragwerksarten ebener Stabwerke 58 5.1.3 Räumliches Koordinatensystem, Freiheitsgrade 59

5.2 Lagerarten und Gelenke für ebene Stabtragwerke 61 5.2.1 Lager- und Gelenkarten bei ebenen Stabtragwerken 62 5.2.2 Ausführung von Lagern und Anschlüssen 63

5.3 Beispiele für Auflagerkraftberechnung 64 5.3.1 Beispiel 1 64 5.3.2 Beispiel 2 64 5.3.3 Beispiel 3 65 5.3.4 Beispiel 4 65 5.3.5 Beispiel 5 66 5.3.6 Beispiel 6 66

6 FACHWERKE 67

6.1 Allgemeines 67

6.2 Bezeichnungen, Fachwerkarten 68

6.3 Abzählkriterium für ebene Fachwerke 69

6.4 Berechnung der Stabkräfte 70 6.4.1 Knotenpunktverfahren 70 6.4.2 Identifizierung von Nullstäben 71 6.4.3 Ritterschnittverfahren 72

6.5 Beispiele 73 6.5.1 Fachwerkbeispiel 1 73 6.5.2 Fachwerkbeispiel 2 74 6.5.3 Fachwerkbeispiel 3 (Klausuraufgabe) 75 6.5.4 Fachwerkbeispiel 4 76

Baumechanik 1



7 SCHNITTGRÖßENERMITTLUNG BEI EBENEN STABWERKEN 77

7.1 Definition von Schnittgrößen, Schnittufern 77

7.2 Mögliche Schnittgrößen (innere Kräfte) an ebenen Balkentragwerken 78

7.3 Resultierende von Streckenlasten 79

7.4 Statische Bestimmtheit 79 7.4.1 Abzählkriterium für ebene Balken und Rahmen 79 7.4.2 Zur Bestimmung der Anzahl der Zwischenbindungen z 80 7.4.3 Der Ausnahmefall der Statik 80 7.4.4 Beispiele zum Abzählkriterium 81

7.5 Schnittgrößenermittlung durch Gleichgewichtsbedingungen 82 7.5.1 Beispiel 1 82 7.5.2 Beispiel 2 83 7.5.3 Beispiel 3 84 7.5.4 Beispiel 4 84 7.5.5 Beispiel 5 85 7.5.6 Beispiel 6 87 7.5.7 Ermittlung maximaler Momente mithilfe der Anfangsschnittgrößen 88 7.5.8 Beispiel 7 89 7.5.9 Beispiel 8: Gelenkträger 91

7.6 Zusammenhang zwischen äußeren Lasten und Schnittgrößen 92

7.7 Analytische Ermittlung von Schnittgrößen mithilfe der Differenzialbeziehungen 96 7.7.1 Beispiel 1 96 7.7.2 Beispiel 2 97 7.7.3 Klausuraufgabe 98 7.7.4 Weiteres Beispiel 100

7.8 Schnittkraftlinien am Kragarm 102

7.9 Schnittgrößenermittlung mit Stabwerksprogrammen 103 7.9.1 Allgemeines 103 7.9.2 Fachwerk mit STAB2D 104 7.9.3 Balkentragwerk mit Stabwerkprogramm STAB2D 104 7.9.4 Verbreitete Stabwerksprogramme (Auswahl) 105

8 BERECHNUNG VON FLÄCHENWERTEN 106

8.1 Allgemeines 106

8.2 Flächenschwerpunkt 107 8.2.1 Einführendes Beispiel 107 8.2.2 Definitionen zum Schwerpunkt 108 8.2.3 Erläuterungen zum statischen Moment / Schwerpunktsberechnung 109 8.2.4 Beispiel: Schwerpunktermittlung für ein Dreieck 109

8.3 Formeln für Schwerpunktkoordinaten 110

8.4 Beispiele zur Schwerpunktermittlung 111 8.4.1 Mustertabelle zur Bestimmung des Schwerpunktes einer zusammengesetzten Fläche 111 8.4.2 Beispiel 1 111 8.4.3 Beispiel 2 112 8.4.4 Beispiel 3 112 8.4.5 Beispiel 4 113 8.4.6 Beispiel 5 114

Baumechanik 1



8.4.7 Beispiel 6 114

8.5 Genormte Walzprofile 115 8.5.1 Bezeichnungen 115 8.5.2 Tabellen mit Querschnittswerten 116

8.6 Berechnung von Flächenträgheitsmomenten (FTM) 118 8.6.1 Definition 118 8.6.2 Auswertung für einen Rechteckquerschnitt 118 8.6.3 Flächenträgheitsmomente für einfache Querschnitte 119 8.6.4 Kleine Übungen 120 8.6.5 Gegenüberstellung Flächenmoment 1. Grades – Flächenmoment 2. Grades 122 8.6.6 Flächenträgheitsmomente bzgl. parallel verschobener Schwerpunktachsen 123 8.6.7 Beispiel 1: Doppel-T-Querschnitt 123 8.6.8 Beispiel 2: Zusammengesetzter Querschnitt 124 8.6.9 Beispiel 3: Klausuraufgabe 125

8.7 Transformation der FTM / Hauptträgheitsachsen 126 8.7.1 Deviationsmoment (Zentrifugalmoment) 126 8.7.2 Drehung des Koordinatensystems 126 8.7.3 Hauptachsen 127 8.7.4 Beispiel L-Profil 128 8.7.5 Beispiele für unsymmetrische Profile in der Praxis 129 8.7.6 Transformation bei dünnwandigen Querschnittsteilen 130 8.7.7 Beispiel: Zusammengesetzter dünnwandiger Querschnitt 132 8.7.8 Beispiel: Einfachsymmetrischer dünnwandiger Querschnitt 133

Baumechanik 1



Abbildungsverzeichnis Bild 1-1: Übersicht zur Mechanik 10 Bild 1-2: Idealisierung im Bauingenieurwesen (Modellbildung) 17 Bild 2-1: Einwirkungen und Widerstand 19

Bild 2-2: Beispiele für Flächenlasten 23 Bild 2-3: Winddruck und Wasserdruck 24 Bild 2-4: Zusammenfassung von Flächenlasten zu Streckenlasten 25 Bild 2-5: Einzelkräfte 26 Bild 2-6: Vektorielle Addition von Kräften in der Ebene 32

Bild 3-1: Zentrales Kraftsystem in der Ebene 33 Bild 3-2: Zusammenfassung: Zentrale Kraftsysteme in der Ebene 45

Bild 4-1: Nicht-zentrales Kraftsystem 46 Bild 4-2: Außermittig belasteter Querschnitt 50 Bild 5-1: Tragwerksarten 57 Bild 5-2: Statische Systeme bei ebenen Stabtragwerken 58 Bild 5-3: Koordinatenrichtungen und Rechte-Hand-Regel 59

Bild 5-4: Drehrichtungen zu den Koordinatenachsen und Rechte-Hand-Regel 60

Bild 5-5: Koordinatensystem und Freiheitsgrade 60 Bild 5-6: Lagerarten und Gelenke 61 Bild 5-7: Lager- und Gelenksymbole 62

Bild 5-8: Ausbildung von Lagern und Anschlüssen 63

Bild 6-1: Ideales Fachwerk 67

Bild 6-2: Bezeichnungen beim Fachwerk 68 Bild 6-3: Einteilung der Fachwerke nach Trägerform 68

Bild 6-4: Einteilung nach Art der Ausfachung 69 Bild 6-5: Weitere Fachwerkarten 69 Bild 6-6: Knotenpunktverfahren 70

Bild 7-1: Definition von Schnittufern und Schnittgrößen 77 Bild 7-2: Zustandslinien 78 Bild 7-3: Zur Bestimmung von Resultierenden bei Streckenlasten 79 Bild 7-4: Gelenksituationen / Anzahl der Unbekannten 80 Bild 7-5: Ausnahmefall der Statik 80

Bild 7-6: Beispiele zum Abzählkriterium 81 Bild 7-7: Schnittkraftverläufe und Formeln für Schnittgrößen am Kragarm 102 Bild 8-1: Zur Herleitung der Formel zur Ermittlung von Flächenschwerpunkten 107

Bild 8-2: Genormte Walzträger 115 Bild 8-3: Bezeichnungen und Abkürzungen der Querschnittswerte 115 Bild 8-4: Querschnittswerte U-Profil 117

Baumechanik 1



Tabellenverzeichnis

Tabelle 1-1: Griechisches Alphabet .......................................................................... 18

Tabelle 2-1: Physikalische Basisgrößen in der Statik ............................................... 20

Tabelle 2-2: Abgeleitete Größen (Auswahl) .............................................................. 20

Tabelle 2-3: Umrechnung Masse – Gewichtskraft .................................................... 21

Tabelle 2-4: Rohdichten und Wichten wichtiger Stoffe ............................................. 22

Tabelle 3-1: Werte der trigonometrischen Funktionen für ausgewählte Winkel ........ 37

Tabelle 7-1: Grafische Zusammenfassung: Eigenschaften von Schnittkraftverläufen .......................................................................................................................... 93

Tabelle 7-2: Typische Schnittgrößenverläufe beim Balken auf zwei Stützen............ 94

Tabelle 7-3: Zusammenhang zwischen q(x), V(x) und M(x) ..................................... 95

Tabelle 8-1: Querschnittswerte für übliche Doppel-T-Träger .................................. 116

Tabelle 8-2: Querschnittswerte für ausgewählte U-Profile ...................................... 117

Tabelle 8-3: Eigen-Flächenträgheitsmomente für übliche Querschnitte ................. 119

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 10

1 Einführung

1.1 Einteilung der Mechanik

Die Mechanik ist das älteste Teilgebiet der Physik

Lehre von den Bewegungen materieller Körper (Kinematik)

Lehre von den Kräften, die Bewegungen verursachen (Dynamik)

Technische Mechanik oder Baumechanik sind die anwendungsorientierten Darstellungen der Mechanik

Bild 1-1: Übersicht zur Mechanik

Mechanik

fester Körper

Kinematik Dynamik

Statik Kinetik

Bewegungslehre

kinesis = Bewegung

geometrische Darstellung der Bewegungsabläufe

Länge , Zeit

Aerodynamik Hydromechanik

Gleichgewicht ruhender Kräfte

status = das Stehen

Statik (1. Semester) Elastostatik (2. Sem.) Hydrostatik (2. Sem.)

Kraft, Länge

Gleichgewicht bewegter Körper

Zusammenhang Kraft - Bewegung

Kraft, Länge, Zeit

starre Körper elastische Körper plastische Körper

Lehre v. d. Kräften

dynamis = Kraft

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04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 11

1.2 Historischer Überblick

Altertum

287 – 212 v.Chr.

Archimedes

Griechischer Mathematiker in Syrakus und Alexandrien

Kreis- und Kugelberechnung

Hebelgesetz: Kraft * Kraftarm = Last * Lastarm

spezifisches Gewicht, Körper unter Auftrieb

Renaissance

1452 – 1519

Leonardo da Vinci

Bildhauer, Maler, Baumeister, Mathematiker in Florenz, Mailand, Frankreich

Betrachtungen zum Gleichgewicht

1548 – 1620

Simon Stevin

Generalquartiermeister der holländischen Armee

Gleichgewicht auf schiefer Ebene

Kräfteparallelogramm

1564 – 1643

Galileo Galilei, Professor an den Universitäten Pisa, Padua

Discorsi e dimonstrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze

Gesetze des freien Falles und der Wurfbewegung

Pendelschwingung

Prinzip der virtuellen Arbeit

Trägheitsaxiom, Kraft, Moment

Frage nach der Biegefestigkeit von Balken

Optik, Fernrohr

Astronomie

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04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 12

1596 – 1650

René Descartes

Französischer Mathematiker und Philosoph

Cogito ergo sum

Analytische Geometrie

Kartesisches KOS

Arbeit = Kraft * Weg

1629 – 1695

Christiaan Huygens

Holländischer Physiker und Mathematiker

Elastischer Stoß

Schwingungsmittelpunkt des elastischen Pendels

astronomische Entdeckungen

1635 – 1703

Robert Hooke

Physiker, Ingenieur, Professor in London

Hooke´sches Gesetz

Ut tensio sic vis – Wie die Dehnung so die Kraft

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04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 13

Aufklärung

1642 – 1727

Isaac Newton

Physiker, Mathematiker, Professor in Cambridge

Philosophiae naturalis principia mathematica

Präsident der Royal Society in London, Begründer der klassischen Physik

Ausbau der Differenzial- und Integralrechnung

Gravitationsgesetz

Bewegungsgesetze

Axiome der Mechanik

1646 – 1716

Gottfried Wilhelm Leibniz,

Philosoph, Mathematiker, Physiker, Jurist

Lösung einer Vielzahl von Ingenieurproblemen

Infinitesimalrechnung

Konstruktion von Rechenmaschinen

1654 -1722

Pierre Varignon

Seileckverfahren

1654 – 1705

Jakob Bernoulli

Unendlich kleine Größen

Schwingungen

Balkenstatik / Ebenbleiben der Querschnitte

Balkentheorem

Kettenlinie

1667 - 1748

Johann Bernoulli

Prinzip der virtuellen Verschiebungen

Strömungsmechanik

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04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 14

1707 - 1783

Leonard Euler

Mathematiker, Physiker, Petersburger und Berliner Akademie der Wissenschaften

Mathematik

Hydromechanik

Biegelinie (1744)

Schnittprinzip

Stabilitätsprobleme (1759)

1736 - 1813

Joseph Louis Lagrange

Mathematiker, Professor in Turin und Paris, Akademie der Wissenschaften in Berlin

Hauptprinzipe der Mechanik

Prinzip der virtuellen Verrückungen

Variationsrechnung

1736 - 1806

Charles Augustin de Coulomb

Französischer Ingenieur und Physiker

Elektrizitätslehre

Reibung, Kraftumwandlung

Lösung der Balkenbiegung

Schubprobleme

Grundlagen zur Erddruckberechnung

1781 - 1840

Simeon Denis Poisson

Physiker und Mathematiker, Professor an der Faculté des sciences in Paris

Theoretische Physik

Potentialtheorie

Elastizitätstheorie, Akustik, Wärmeleitung

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zusammenhang zwischen Längs- und Querverformung

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04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 15

Neuzeit

1785 - 1836

Louis Marie Henri Navier

Ingenieur und Professor, Polytechnische Hochschule Paris

Spannungsverteilung beim Balken

Torsion beim Balken

Knickprobleme

Platten- und Membrantheorie

Begründer der wissenschaftlichen Elastizitätslehre

1789 – 1857

Augustin Louis Baron Cauchy

Gleichgewicht am Element, Spannungen

Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen

1797 – 1886

Adhemar Jan Claude de Saint-Venant

Physiker in Paris

Arbeiten zur Theorie der Balkenbiegung, Torsion, Stabschwingungen

Verteilung der Elastizität um einen Punkt

Spannungsbestimmungen an teilweise plastischen Körpern

Torsion von Stäben

1799 – 1864

Benoit Paul Emile Clapeyron

Dreimomentensatz

Kraftgrößenverfahren

1821 - 1881

Karl Culmann

graphische Statik

Biegemomente im Balken mit Seilpolygon

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04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 16

1824 – 1887

Gustav Robert Kirchhoff

Physiker, Professor in Breslau, Heidelberg, Berlin

Elektrizitätslehre

Thermodynamik

Stabschwingungen

Plattentheorie

1826- 1908

Georg Dietrich August Ritter

Professor an der Polytechnischen Schule Aachen

graphische Statik

Stabkraftermittlung bei Fachwerken

1830- 1903

Antonio Luigi Gaudenzio Giuseppe Cremona

graphische Statik

Stabkraftermittlung bei Fachwerken (Cremonaplan)

1835 – 1918

Christian Otto Mohr

Bauingenieur, Professor an der Techn. Hochschule Dresden

Festigkeitslehre

Mohrscher Spannungskreis

1847- 1884

Alberto Castigliano

Energiebetrachtungen zur Berechnung von Schnittkräften und Verformungen

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 17

1.3 Begriffe

Die Mechanik

basiert auf Axiomen und Idealisierungen

und bedient sich der Mathematik

Axiome

Axiome sind Grundaussagen, die nicht beweisbar sind,

jedoch durch Beobachtungen bestätigt werden und plausibel erscheinen.

Bild 1-2: Idealisierung im Bauingenieurwesen (Modellbildung)

Die Mechanik ist das Paradies der mathematischen Wissenschaften, weil man mit ihr zur schönsten Frucht des mathematischen Wissens gelangt.

Leonardo da Vinci, 1488 -1523

Reale Struktur (Bauwerk)

Mechanisches Modell Idealisierungen

(z.B. starrer Körper, Punktlasten)

Mathematisches Modell

Analytische Lösung

Algebraische Gleichungen

Differenzialgleichungen

Handrechenverfahren der Baustatik

Numerische Lösung

Algebraische Gleichungssysteme

Variationsrechnung

Finite-Element-Methode

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 18

1.4 Griechisches Alphabet

Tabelle 1-1: Griechisches Alphabet

(entnommen aus http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Griechisches_alphabet.png

http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Griechisches_alphabet.png

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 19

2 Einwirkungen und Kraftbegriff

2.1 Allgemeines

Bild 2-1: Einwirkungen und Widerstand

Einwirkungen (external impacts)

E

Widerstand (resistance)

R

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 20

2.2 Physikalische Größen, Einheiten

Tabelle 2-1: Physikalische Basisgrößen in der Statik

Basisgröße Abkürzung Einheit

Länge [] = 1 m

Zeit t [t] = 1 s

Masse m [m]= 1 kg

Tabelle 2-2: Abgeleitete Größen (Auswahl)

Basisgröße Dimension Einheit

Kraft dim F = dim (m / t2) [F] =

Moment dim M = dim ( F) [M] =

Spannung dim = dim ( F / 2) [] = = 1 Pa

[] = = 1 MPa

Rohdichte

Wichte

2.3 Masse und Gewichtskraft

2.3.1 Masse

Die Masse m eines Körpers wird mit dem Volumen und der Rohdichte ermittelt:

Vm

Die Rohdichte wird in 3m

kgangegeben, z. B.

Wasser

Beton

Stahl

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04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 21

2.3.2 Gravitation ist die Ursache der Gewichtskraft

Tabelle 2-3: Umrechnung Masse – Gewichtskraft

Masse Umrechnung , gmG Gewichtskraft

1 Kg

2101

s

mkgG

10 Kg

100 kg

(Maurer)

1000 kg

Auto

2500 kg

Umrechnung

1 N =

1 kN = 1000 N

1 MN = 1000000 N

Kraft = Masse * Beschleunigung

Gewichtskraft auf der Erde = Masse * Erdbeschleunigung

gmG

2111

s

mkgN

Erdbeschleunigung 221081,9

s

m

s

mg

Merke: Ein gut ernährter Maurer erzeugt die Gewichtskraft von 1 kN

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 22

2.3.3 Berechnung der Gewichtskraft über die Wichte

Die Wichte, auch spezifisches Gewicht genannt, gibt die volumenbezogene

Gewichtskraft an. Durch Multiplikation der Rohdichte (Masse/Volumen) mit der

Erdbeschleunigung g erhält man die spezifische Gewichtskraft, die Wichte .

323

111m

N

s

m

m

kgg

g

gWasserWasser

Stahl

Tabelle 2-4: Rohdichten und Wichten wichtiger Stoffe

Material Rohdichte ,

3m

kg Wichte ,

3m

kN

Pulverschnee

Pappschnee

Nadelholz

Wasser

Putz

Stahlbeton

Glas

Aluminium

Stahl

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 23

2.3.4 Flächenkräfte p

Das Eigengewicht von Decken, Windlasten oder Schneelasten werden als

Flächenlasten in kN/m2 angegeben. Es kann mit Hilfe der Dicke berechnet werden:

23

111;m

kNm

m

kNptp

Mit : Wichte

t : Dicke des Bauteils oder der Schicht

Beispiel: 16 cm dicke Stahlbetondecke

tp

Beispiel: 40 cm Pappschnee

tp

Bild 2-2: Beispiele für Flächenlasten

t = 16 cm

t = 40 cm

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 24

Weitere Beispiele

Winddruck

Wasserdruck auf eine Staumauer

Bild 2-3: Winddruck und Wasserdruck

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 25

2.3.5 Linienkräfte (Streckenlasten) q

Belastungen auf einzelne Träger

qepq ;

Idealisierung. Zusammenfassung von Flächenkräften bezogen auf eine Achse.

Last auf einen Träger (z.B. Dachsparren, Pfette)

Bild 2-4: Zusammenfassung von Flächenlasten zu Streckenlasten

Eigengewicht von Trägern als Streckenlast

qAgqEG ;

Beispiel:

z

q

x

e

e

e

Holzbalken

q (kN/m)

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 26

2.3.6 Einzelkräfte F

GVG ;

FApF ;

QlqQ ;

Idealisierung. Zusammenfassung von Volumen-und Flächenkräften bezogen auf einen Punkt. Z.B: Klaviere, Herforder-Pils-Fässer, Maurer, Professoren

Statisches Modell

Achslasten / Radlasten

Statisches Modell

Bild 2-5: Einzelkräfte

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 27

2.3.7 Weitere Einteilungsmöglichkeiten für Kräfte

Eingeprägte Kräfte – Reaktionskräfte

Fernkräfte – Nahkräfte

Äußere Kräfte – Innere Kräfte

2.3.8 Bestimmungsgrößen einer Kraft

Eine Kraft ist bestimmt durch

B . . . . . . .

R . . . . . . . (Wirkungslinie)

E . . . . . . . .

Die Kraft ist eine vektorielle Größe und wird komponentenweise berechnet.

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 28

2.4 Kleine Übungsaufgaben

2.4.1 Massenermittlungen

Vm

Welche Masse hat

a) ein Kantholz 6 cm / 20 cm der Länge 7 m? ( = kg/m3 )

b) ein Stahlträger HEA 200 (A = 5380 mm2) der Länge 4 m? ( = kg/m3 )

c) eine Betonrohr di = 800 mm / da = 900 mm der Länge 2 m? ( = kg/m3 )

d) eine Betondecke d = 18 cm, ℓ = 6 m , b = 4 m? ( = kg/m3 )

e) die Getreidefüllung eines Silos d = 4 m, h = 8 m? ( = kg/m3 )

2.4.2 Masse – Gewichtskraft

gmG ;

VG

a) Welche Gewichtskraft erzeugt ein Kantholz 8 cm / 16 cm der Länge 1 m? Wie

groß ist die Masse des Kantholzes?

b) Welche Gewichtskraft erzeugt ein Stahlträger HEA 100 (A = 21,2 cm2) der

Länge 1 m? Wie groß ist die Masse des Stahlträgers?

c) Die Achslast eines Schwerlastfahrzeuges beträgt 240 kN. Pro Rad entspricht

diese Last einer Masse von ……. kg.

Die Aufstandsfläche eines Reifens wird mit 40 cm * 40 cm angegeben.

Wie groß ist die Spannung (Kraft pro Fläche) unter einem Reifen in

?

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 29

2.4.3 Kleines Tragwerk - Wartehäuschen

Gesucht sind Masse und Gewichtskraft

der Dachhaut,

der Stahlträger,

der Stahlbetonwände,

der Stahlbetonfundamente,

Weiterhin sind zu ermitteln

Flächenlast der Dachhaut,

Streckenlast der Dachhaut bezogen o auf einen Innenträger

o auf einen Randträger

Belastung der Wand oben als

o Einzellasten (von 2 Außen- und 2 Innenträgern)

o Streckenlast

Belastung des Bodens als

o Streckenlast

o Flächenlast in kN/m2, MN/m2, kN/cm2

4,40 m

4,00 m

3,0 m

60 cm m

60 cm m

20 cm m

20 cm m

2 Lagen Bitumendichtungsbahn, 0,06 kN/m2 je Lage

OSB – Platte, d = 3cm, =10 kN/m3

4 IPE 120, g=0,104 kN/m

Stahlbeton-Seitenwände und -fundamente

2,0 m

e = 65 cm m

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 30

2.5 Axiome der Statik und Schnittprinzip

Das Gleichgewichtsaxiom (Lex prima, Newton, 1642-1727)

Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe

(oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung),

wenn er nicht durch Kräfte dazu gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern.

oder anders ausgedrückt:

Wirken auf einen Körper zwei gleich große, entgegengesetzt wirkende Kräfte,

und wirken diese auf der selben Wirkungslinie,

so befindet sich dieser Körper im Gleichgewicht.

Die Resultierende aller Kräfte ist Null.

Das dynamische Grundgesetz (Lex secunda, Newton, 1642-1727)

Die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße mv

ist proportional zur einwirkenden Kraft F.

dt

mvdF

)(

amdt

dvmF

Kraft = Masse Beschleunigung

F2 F1

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 31

Das Wechselwirkungsgesetz (Lex tertia, Newton, 1642-1727)

actio = reactio, Reaktionsprinzip

Zu jeder Kraft existiert

eine gleich große, entgegen gesetzt gerichtete Gegenkraft.

Beide Kräfte liegen auf einer Wirkungslinie.

Beispiele

Gravitation

Rasenmäher

Das Verschiebungsaxiom (Varignon, 1654-1722)

(Axiom von der Linienflüchtigkeit der Kräfte)

Die Wirkung einer Kraft auf einen Körper bleibt unverändert,

wenn sie entlang der Wirkungslinie verschoben wird.

Kraft auf Handgelenk / Arm

Kraft auf Rasenmäher

=

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 32

Das Axiom vom Kräfteparallelogramm (Stevin, 1548 - 1620)

Die Resultierende R zweier Kräfte F1 und F2 ergibt sich als Diagonale

in dem von F1 und F2 aufgespannten Parallelogramm (grafische Vektoraddition).

Die Wirkung zweier an einem Punkt einwirkenden Kräfte F1 und F2

ist äquivalent zur Wirkung der Resultierenden R.

Bild 2-6: Vektorielle Addition von Kräften in der Ebene In der Regel genügt es, das Kräftedreieck zu zeichnen.

Das Schnittprinzip (Euler, 1707 - 1783)

Zur Erfassung aller Kräfte an einem Körper

ist ein gedankliches Freischneiden aller Bindungen des Körpers erforderlich.

An beiden Schnittufern werden unter

Beachtung des Wechselwirkungsgesetzes die Schnittkräfte eingetragen.

Beispiel: Balkentragwerk (Brücke)

R

F2

F1 F1

R

F2

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 33

3 Zentrale Kraftsysteme in der Ebene

3.1 Allgemeines

Kennzeichen von zentralen Kraftsystemen in der Ebene:

Die Wirkungslinien aller Kräfte Fi schneiden sich in einem Punkt P.

Alle Kräfte liegen in einer Ebene.

Bild 3-1: Zentrales Kraftsystem in der Ebene

F1

F2

F3

P

3 Grundaufgaben

Reduktion (Kräfteaddition) aller (i.d.R. äußeren) Kräfte Fi (i=1 … n) zu einer Resultierenden R

Bedingungen für das Gleichgewicht (Berücksichtigung aller Kräfte – innere und äußere Kräfte),aufstellen (dann muss gelten: R = 0)

Zerlegung einer Kraft in 2 oder mehr Richtungen

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 34

3.2 Kräfteaddition (Reduktion)

3.2.1 Grafische Methode

Lageplan Längenmaßstab: = 1 m

Kräfteplan

Kräftemaßstab: = 10 KN

F3 = 20 KN

F2 = 40 KN

F1 = 10 KN

Vorgehen

Längenmaßstab für Lageplan festlegen

Kräfte und deren Richtungen in den Lageplan eintragen

Kräftemaßstab für Kräfteplan festlegen

Richtungen für 2 Kräfte aus Lageplan in den Kräfteplan übertragen

Kräfteparallelogramm für

2,121 RFF

zeichnen

Kräfteparallelogramm für

RFR

32,1zeichnen

Resultierende R einzeichnen, Länge messen

Richtung der Resultierenden R aus dem Kräfteplan in den Lageplan übertragen

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 35

alternativ: Kräftepolygon

3.2.2 Analytische Methode

cosF

Fx

; sinF

Fy

cos FFx

; sin FFy

n

iixx

FR1

= i

n

ii

F cos1

n

iiyy

FR1

= i

n

ii

F sin1

22

yxRRR ;

x

y

R

R

Rtan

F1 = 10 KN

F2 = 40 KN

F3 = 20 KN

gemessen:

R 62 KN

y

x

Vorgehen

Richtung der Kräfte aus dem Lageplan in den Kräfteplan übertragen

Vektorpfeile aneinander reihen (Reihenfolge beliebig)

Resultierende messen und Richtung in den Lageplan übertragen

Kräftepolygon liefert

Länge und Richtung der Resultierenden

Lageplan liefert

Lage der Resultierenden

F3 = 20 KN

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 36

Zur Ermittlung des Winkels mit Hilfe der Funktion arc tan

y

x

Ry

Rx

R

y

x

y

x

y

x

Fall 1: R im 1. Quadranten

….. ≤ ≤ …….

Ry 0; Rx 0

.....~....

)arctan()arctan(~

x

y

R

R


…… ≤ ≤ …….

Ry 0; Rx 0

.....~....

)arctan()arctan(~

x

y

R

R


….. ≤ ≤ …….

Ry 0; Rx 0

.....~....

)arctan()arctan(~

x

y

R

R


….. ≤ ≤ …….

Ry 0; Rx 0

.....~....

)arctan()arctan(~

x

y

R

R

R

R

R

Ry

Rx

Ry

Rx

Ry

Rx

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 37

3.2.3 Trigonometrische Formeln

; ;

;

Tabelle 3-1: Werte der trigonometrischen Funktionen für ausgewählte Winkel

Weitere mathematische Beziehungen

0° 30° 45° 60° 90°

0

sin 0 0,5

1

cos 1

0,5 0

tan 0

1

cot 1

0

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 38

3.3 Bedingungen für das Gleichgewicht

n

iixx

FR1

= i

n

ii

F cos1

= 0

n

iiyy

FR1

= i

n

ii

F sin1

= 0

0R

Das Krafteck muss sich im einheitlichen Drehsinn schließen.


Geg.: F1= 30 kN, F2 = 40 kN, f1, f2

Ges.: F3 für Gleichgewicht


Krafteck mit allen gegebenen Kräften zeichnen

Krafteck im einheitlichen Drehsinn schließen

F1

F2

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 39

3.3.3 Beispiel zur Reduktion und zum Gleichgewicht (Öse)

E

F1

F2

F3

Geg.: F1 = 2 kN; F2 = 3 kN; F3 = 4 kN;

= 45°; = 60°

Gesucht:

a) Betrag und Richtung der Resultierenden R1,2,3

b) Betrag und Richtung der Gegenkraft E, die das Gleichgewicht gewährleistet

GRAFISCH und ANALYTISCH

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 40

3.3.4 Beispiel 2

3:1

4:1

Geg.: F1, F2 , G gem. Skizze

Gesucht:

a) Betrag und Richtung der Resultierenden R1,2,3

b) Betrag und Richtung der Gegenkraft E, die das Gleichgewicht gewährleistet

c) Stabkräfte S1 und S2

d) Welcher Pfahl trägt auf Druck, welcher auf Zug?

GRAFISCH und ANALYTISCH

F1 = 120 kN

F2 = 80 kN G = 300 kN

30°

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 41

3.4 Kräftezerlegung in 2 Richtungen


geg. : F = 3 kN, f1, f2 gem. Lageplan

ges.: F1, F2

Lageplan Kräfteplan

Vorgehen

Gegebene Kraft im Kräfteplan zeichnen

Richtungslinie f1 vom Lageplan in den Kräfteplan übertragen und mit dem Anfangspunkt der gegebenen Kraft zum Schnitt bringen.

Richtungslinie f2 vom Lageplan in den Kräfteplan übertragen und mit dem Endpunkt der gegebenen Kraft zum Schnitt bringen.

Das Krafteck zeichnen. Längen und Winkel messen.

Bitte Aufgabenstellung beachten: ÄQUIVALENZ oder GLEICHGEWICHT

Auswirkung auf die Pfeilspitzen

Eine Kraftzerlegung in 2 Richtungen ist eindeutig möglich;

bei 3 Richtungen gibt es unendlich viele Lösungen.

f1 f2

F

f1

f2 F

f3

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 42


Methode 1: Halbgrafisch mit Sinussatz

geg.: F, F = 30°, 1 = 60°, 2 = 45°

ges.: F1, F2

Methode 2: Gleichungssystem unter Verwendung von Additionstheoremen lösen

Äquivalenzbeziehung (kein Gleichgewicht):

F1 cos 1 + F2 cos 2 = F cos F

F1 sin 1 + F2 sin 2 = F sin F

Mit dem Additionstheorem (s. Blatt 2.5)

sin (-) = sin cos - cos sin

folgt

F2 sin (1 - 2) = F sin (1 - F)

Für reine Zerlegung einer Kraft in 2 vorgegebene Richtungen:

(Äquivalenz, kein Gleichgewicht):

)sin(

)sin(

12

21

FFF ;

)sin(

)sin(

21

12

FFF

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 43

Zerlegung und Gleichgewicht analytisch:

S1 cos 1 + S2 cos 2 + F cos F = 0

S1 sin 1 + S2 sin 2 + F sin F = 0

S1 cos 1 + S2 cos 2 = - F cos F

S1 sin 1 + S2 sin 2 = - F sin F

Mit dem Additionstheorem

sin (-) = sin cos - cos sin

folgt

S2 sin (1 - 2) = F sin (F - 1)

Für Zerlegung einer Kraft in 2 vorgegebene Richtungen unter Beachtung des Gleichgewichts:

)sin(

)sin(

12

2

1

FFS ;

)sin(

)sin(

21

1

2

FFS

F S1

S2

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 44

3.4.3 Beispiel 1 zur Kräftezerlegung

Sonderfall: rechtwinklige Zerlegung

3.4.4 Beispiel 2 zur Kräftezerlegung

G = 1 KN

Geg.: G1 = 1 kN; = 30°; = 45°

Gesucht: Stabkräfte S1; S2 (für Gleichgewicht !)

a) grafisch

b) halbgrafisch

c) analytisch

FII

F F

Gegeben sind F und .

Gesucht sind die Komponenten der Kraft F

senkrecht zum Stab (F)

und parallel zum Stab( FII )

S1

S2

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 45

3.5 Zusammenfassung

Zentrale Kraftsysteme in der Ebene

Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich in einem Punkt

Drei Grundaufgaben

Grafische Lösung

Analytische Lösung

Reduktion

n

i

ixx FR

1

= i

n

i

iF cos1

; 22yx RRR

n

i

iyy FR

1

= i

n

i

iF sin1

; x

y

RR

Rtan

Kräftezerlegung

zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten

Sinussatz

Sonderfall: rechtwinkliges Dreieck

F = F cos , F = F sin

Gleichgewicht

Das Krafteck ist geschlossen

n

iix

HF1

00

001

VFn

iiy

Bild 3-2: Zusammenfassung: Zentrale Kraftsysteme in der Ebene

x

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 46

4 Allgemeine Kraftsysteme in der Ebene

4.1 Allgemeines

Kennzeichen von allgemeinen (nicht-zentralen) Kraftsystemen in der Ebene:

Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich nicht in einem Punkt.

o Die Wirkungslinien von gleichgerichteten Kräften können parallel verlaufen.

o Die Wirkungslinien von entgegengesetzt gerichteten Kräften können parallel verlaufen. Hierfür ist die Definition des Kräftepaares und des Momentes eines Kräftepaars erforderlich.

Alle Kräfte liegen in einer Ebene.

Bild 4-1: Nicht-zentrales Kraftsystem

3 Grundaufgaben

Reduktion (Kräfteaddition) aller Kräfte Fi (i=1 … n) zu einer Resultierenden R und Ermittlung der Lage von R

Ggfs. Ermittlung des resultierenden Momentes MR bzgl. eines Punktes

Mehrere Fälle sind möglich:

a) R 0; MR 0

b) R = 0; MR 0

c) R 0; MR = 0

Bedingungen für das Gleichgewicht aufstellen

Es muss gelten: Rges = 0, Mges = 0

Zerlegung einer Kraft in 2 oder mehr Richtungen

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 47

4.2 Moment und Kräftepaar

4.2.1 Allgemeines, Definitionen

Das Moment einer Kraft F bezüglich eines Punktes A ist das Produkt von Kraft mal Hebelarm. Der Hebelarm a ist die kürzeste Verbindung von der Wirkungslinie der Kraft zum Bezugspunkt A. Anders ausgedrückt:

Fälle das Lot von Bezugspunkt zur Wirkungslinie; das Maß vom Bezugspunkt zum Schnittpunkt des Lots mit der Wirkungslinie ist der Hebelarm a.

Moment = Kraft Hebelarm

MA = a F, [M] = 1 N m

Bestimmungsgrößen eines Momentes

Größe der Kraft F

Abstand a

Drehsinn

Das Moment eines Kräftepaares

2 gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kräfte mit parallelen Wirkungslinien nennt man Kräftepaar. Ein Kräftepaar kann nicht weiter reduziert werden.

Kräftepaar Moment

Das Moment eines Kräftepaares wird definiert als Produkt der Kraft mit dem Abstand der beiden Wirkungslinien.

M = a F, [M] = 1 N m

Ein Kräftepaar wird üblicherweise durch sein Moment dargestellt.

r

a F

A

a

F

F

A

F

x

y

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 48

4.2.2 Komponentendarstellung des Momentes

Geg.: F, F, A, xP, yP

Ges.: MA

Der Koordinatenursprung wird in den gewählten Bezugspunkt A gelegt

P wird beliebig auf der Wirkungslinie von F festgelegt

x,y wird dann abgelesen

MA = Fy x – Fx y

MA = F sin x – F cos y

Bei mehreren Kräften:

MA = MAi = Fyi xi – Fxi yi

Gleichung der Geraden (Lage von F)

x

A

x

y

F

Mx

F

Fy

F

Fy

x

Fx

A

P

y

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 49

Beispiel mit Zahlen

Geg: F, F, xP, yP

Ges: MA

F = 14,14 kN

x A

P

y

5

3

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 50

Weitere Eigenschaften von Momenten

Das Moment eines Kräftepaares ist unabhängig vom Bezugspunkt.

Das Moment ist ein freier Vektor. Die Wirkung von M auf einen Körper ist unabhängig vom Bezugspunkt.

Momente werden algebraisch addiert (Drehsinn beachten !).

Momente befinden sich im Gleichgewicht, wenn gilt Mi = 0.

4.2.3 Verschiebung einer Kraft parallel zur Wirkungslinie

= +

Bild 4-2: Außermittig belasteter Querschnitt

a

F

F

A

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 51

4.3 Beispiele zu nicht-zentralen Kraftsystemen

4.3.1 Bsp. 1 zum nicht-zentralen Kraftsystem

Geg.: F1, F2, F3, f1, f2, f3 gem. Lageplan

Ges.: Reduktion des Kräftesystems

Lageplan

Kräfteplan

F3 = 5,66 kN

F1 = 4 kN F2 = 4 kN

2 m

2 m

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 52

4.3.2 Bsp. 2 zum nicht-zentralen Kraftsystem

Geg.: F1, F2, F3, F4 , F5, f1, f2, f3 , f4, f5 gem. Lageplan

Ges.: Reduktion des Kräftesystems

Lageplan

Kräfteplan

F5 = 20 kN

1,11

F4 = 90 kN

F2 = 30 kN F1 = 28,3 kN F3 = 56,6 kN

3,0 2,89

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 53

4.3.3 Beispiel 3 zum nicht-zentralen Kraftsystem

Geg.: Belastung und Abmessungen gemäß Skizze

Ges.:

a) Betrag, Richtung und Lage der Resultierenden der einwirkenden Kräfte G,H,V

b) Die Stabkräfte S1 , S2 , S3

G= 0,5 kN

H=0,2 kN

V= 1 kN

0,5 m 0,5 m

1,0 m

0,4 m

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04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 54

4.3.4 Beispiel 4 zum nicht-zentralen Kräftesystem

Geg.: System gem. Zeichnung

Gesucht:

a) Zusammenfassung der äußeren Kräfte zu einer Resultierenden R.

b) Angabe der Wirkungslinie für R im Lageplan.

c) Pfahlkräfte S1, S2, S3

d) Welcher Pfahl wird durch eine Zugkraft beansprucht ?

0,5 m 1 m

F=100 kN Z=50 kN E=40 kN

G=200 kN

1 2

3

3

10 m

5 m

4 m

2 m

20° 1,5 m

0,65 m

0,4m

4:1 3:1

5 m

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 55

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 56

4.4 Zusammenfassung

Allgemeine Kraftsysteme in der Ebene

Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich nicht in einem Punkt. Neben Kräften wird das Kräftepaar (Moment) eingeführt.

Drei Grundaufgaben

Krafteck Seileck Analytische Lösung

Reduktion Krafteck liefert Größe und Richtung von R

a) Resultierende Kraft

b) R = 0, jedoch:

Resultierendes Moment

Seileck liefert Lage von R

Lage von R

Seileck nicht geschlossen; erster und letzter Polstrahl verlaufen im Lageplan parallel

n

i

ixx FR

1

n

i

iyy FR

1

MA= Fyi xi –Fxi yi

Kräftezerlegung

(in 3 Kräfte)

Hilfskraft C einführen

Culmannsche Gerade (bei Zerlegung in 3 Kräfte)

Drei Gleichungen mit drei Unbekannten

Gleichgewicht

Das Krafteck ist geschlossen

Das Seileck ist geschlossen H =

n

i

ixF1

= 0

V =

n

i

iyF1

= 0

M = 0

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 57

5 Lagerreaktionen ebener Stabtragwerke

5.1 Allgemeines

5.1.1 Mögliche Tragwerksarten

Stäbe (Fachwerkstäbe) (nur Zug- oder Druckübertragung)

(Biege-)Balken

Bogen, Rahmen (gekrümmte oder abgewinkelte Balkentragwerke)

Scheiben (Wandscheiben)

Platten (Deckenplatten, Plattenbrücken)

Schalen (Kühltürme, Hypar-Schalen)

Bild 5-1: Tragwerksarten

Querkraft

Biegemoment Normalkraft

Druck

Zug

L

B d

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 58

5.1.2 Tragwerksarten ebener Stabwerke

Einfeldträger

Kragträger

Gelenkträger

Durchlaufträger

(Mehrfeldträger)

Dreigelenkrahmen/

Dreigelenkbogen

Zweigelenkrahmen/

Zweigelenkbogen

Eingespannter Rahmen/

Eingespannter Bogen

Bild 5-2: Statische Systeme bei ebenen Stabtragwerken

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 59

5.1.3 Räumliches Koordinatensystem, Freiheitsgrade

Die Rechte-Hand-Regeln

Bild 5-3: Koordinatenrichtungen und Rechte-Hand-Regel

Translationsfreiheitsgrad in x-Richtung: u

Translationsfreiheitsgrad in y-Richtung: v

Translationsfreiheitsgrad in z-Richtung: w

Drehfreiheitsgrad um die x-Achse: x oder x

Drehfreiheitsgrad um die y-Achse: y oder y

Drehfreiheitsgrad um die z-Achse: z oder z

Daumen der rechten Hand = X-Achse

Zeigefinger der rechten Hand = Y- Achse

Mittelfinger der rechten Hand = Z-Achse

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 60

Positive Drehrichtungen zu den positiven Koordinatenachsen

Bild 5-4: Drehrichtungen zu den Koordinatenachsen und Rechte-Hand-Regel Zusammenfassende Darstellung

3 Translationen: u,v,w

3 Rotationen: x, y, z

Bild 5-5: Koordinatensystem und Freiheitsgrade

x

y

w

v

y

u z

x

z

Positive Koordinatenrichtung

Darstellung der positiven Drehgröße

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 61

5.2 Lagerarten und Gelenke für ebene Stabtragwerke

Tragwerke sind durch Auflager mit ihrer Umgebung verbunden.

(z.B. Mauerwerk, Brückenlager)

Auflagerreaktionen sind die vom Auflager auf das Bauteil ausgeübten Auflagerkräfte und Auflagermomente

Auflagerreaktionen erhält man mit dem Schnittprinzip:

Einwertige Lager: nur eine Kraftgröße kann übertragen werden

Meistens: Vertikalkraft

Rollenlager

Gleitlager

Pendelstütze

Zweiwertige Lager: zwei Kraftgrößen können übertragen werden

z.B: Vertikal- und Horizontalkräfte

Gelenklager

Doppelstütze

Dreiwertige Lager: drei Kraftgrößen können übertragen werden

Betonplatte

Einspannung

Bild 5-6: Lagerarten und Gelenke

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 62

5.2.1 Lager- und Gelenkarten bei ebenen Stabtragwerken

Bild 5-7: Lager- und Gelenksymbole

My

y

y

A

A

My

w

GH

My

GV

My

u

GH

GV

u

AH

AH

AH

A

A

w

2

1

3

2

y

2

2

2

2

Symbol Auflagerkräfte Freiheitsgrade

Wertigkeit

w = 0

Bezeichnung

Bewegliches

Lager

Festes Lager

Starre Einspannung

Bewegliche

Einspannung

Bewegliche

Einspannung

Momenten-

gelenk

Querkraft-

gelenk

Bindungen

u = 0 w = 0

u = 0 w = 0

y = 0

u = 0

y = 0

w = 0

y = 0

u = 0 w = 0

Normalkraft-

gelenk

u = 0

y = 0 w = 0

y = 0

u

My

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 63

5.2.2 Ausführung von Lagern und Anschlüssen

Bild 5-8: Ausbildung von Lagern und Anschlüssen

Bewegliches

Lager

Festes Lager

Starre

Einspannung

Querkraft-

gelenk

Momenten-

gelenk

Rollenlager

Linienkipplager

Normalkraft-

gelenk

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 64

5.3 Beispiele für Auflagerkraftberechnung

5.3.1 Beispiel 1

5.3.2 Beispiel 2

Gesucht: Auflagerreaktionen

45°

F2

F1

2m 2m

2m

MLast

1 2 3

Gegeben: F1 = F2 = 10 kN

MLast = 20 kNm

Gesucht: Stabkräfte S1, S3, S3

F1 = 4 2 kN F2 = 2 kN

1 1

ML = 4 kNm

1

45°

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 65

5.3.3 Beispiel 3

5.3.4 Beispiel 4

60°

30°

F1 = 2 kN

F2 = 20 kN

F1 = 10 kN F2 = 3 kN

1

2

3 3

2 m

4 m 2 m

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 66

5.3.5 Beispiel 5

5.3.6 Beispiel 6

Gesucht: a) Auflagerreaktionen infolge F1 , Z und ML

b) Wie groß muss F2 mindestens sein, damit am linken Auflager keine vertikale Zugkraft verankert werden muss ?

1 m

ML = 3 kNm

60°

F1 = 3 kN F3 = 1 kN

F2 = 2 kN

1 m 1 m 1 m

F2 = ?

F1 = 5 kN

3 m 1 m

Z = 2 kN

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 67

6 Fachwerke

6.1 Allgemeines

Ein ideales Fachwerk besteht aus geraden Stäben, die an ihren Enden, d.h. in den Fachwerkknoten, durch reibungsfreie Gelenke miteinander verbunden sind.

Bild 6-1: Ideales Fachwerk

Die Stabachsen schneiden sich knotenweise in einem Punkt.

Die Belastung wird ausschließlich an den Knoten eingeleitet (Knotenlasten = Einzelkräfte).

Das Fachwerk trägt nur durch Normalkräfte in den Stäben (Zug oder Druck). Es treten keine Querkräfte und Biegemomente auf.

Bei der zeichnerischen Darstellung wird auf die Gelenkdarstellung verzichtet.

Diese Idealisierungen stellen eine sinnvolle Näherung für eine überschaubare Fachwerkberechnung und –bemessung dar.

Die in der Realität verteilten Lasten (insbesondere Verkehrslasten) werden für die Berechnung als Teilresultierende in den Knoten zusammengefasst.

Das einfachste Fachwerk ist ein Stabdreieck.

Einfache ebene Fachwerke bestehen aus Stabdreiecken.

An jedem Knoten

H = 0; V = 0

Zugstab

Druckstab

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 68

6.2 Bezeichnungen, Fachwerkarten

Bild 6-2: Bezeichnungen beim Fachwerk

Bild 6-3: Einteilung der Fachwerke nach Trägerform

Vertikalstab = Pfosten

Untergurt Diagonalstab

Trapezträger Parallelgurtträger

Linsenträger

Dreieckträger Fischbauchträger

Obergurt

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 69

Bild 6-4: Einteilung nach Art der Ausfachung

Bild 6-5: Weitere Fachwerkarten

6.3 Abzählkriterium für ebene Fachwerke

Für jeden Knoten k stehen 2 Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung.

Unbekannte sind: s Stabkräfte und a Auflagerreaktionen

Die Berechnung von Fachwerken ist einfach lösbar, wenn gilt: 2k = a + s

n = ( a + s ) - 2k =

ichverschiebl

bestimmtstatisch

unbestimmtstatisch

:0

...:0

...:0

K-Fachwerk Strebenfachwerk

Strebenfachwerk (ohne Pfosten)

Rautenfachwerk

Gelenk-Fachwerkträger

Dreigelenk-Fachwerkrahmen

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 70

6.4 Berechnung der Stabkräfte

Knotenpunktverfahren

Ritterschnitt

Cremonaplan (grafisches Verfahren)

6.4.1 Knotenpunktverfahren

Bild 6-6: Knotenpunktverfahren

Vorgehen

Nullstäbe bestimmen

Knoten nummerieren, Stäbe bezeichnen

Auflagerkräfte am Gesamtsystem bestimmen

Knoten herausschneiden

o man beginnt mit einem Knoten, an dem max. 2 Stabkräfte unbek. sind

Knotenkräfte als Zugkräfte einzeichnen

Gleichgewichtsbedingungen ( H = 0, V = 0) für jeden Knoten aufschreiben

o Positiv berechnete Kräfte sind Zugkräfte

o Negativ berechnete Kräfte sind Druckkräfte

An jedem Knoten

H = 0; V = 0

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 71

6.4.2 Identifizierung von Nullstäben

Nullstäbe sind normalkraftfrei und dienen zur Versteifung der Konstruktion.

Es gibt drei charakteristische Fälle:

Fall 1: Unbelasteter Knoten

Fall 2: Belasteter Knoten (nur eine Last)

Fall 3: Unbelasteter Knoten

F

S1 = 0

S2 = 0

S1 = F

S2 = 0

S1 = S2

S3 = 0

Wenn an einem unbelasteten Knoten lediglich zwei nicht in einer Richtung verlaufende Stäbe zusammentreffen, so sind diese beiden Stäbe Nullstäbe.

Wenn an einem belasteten Knoten lediglich zwei nicht in einer Richtung verlaufende Stäbe zusammentreffen, und die eine äußere Last in Richtung des einen Stabes einwirkt, so ist der andere Stab ein Nullstab.

Wenn an einem unbelasteten Knoten drei Stäbe angeschlossen sind, von denen zwei in einer Richtung verlaufen, so ist der dritte Stab ein Nullstab.

S1 = S2

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 72

6.4.3 Ritterschnittverfahren

Vorgehen

Nullstäbe bestimmen

Auflagerkräfte am Gesamtsystem bestimmen.

Einen Schnitt durch das Fachwerk führen, bei dem höchstens drei Stabkräfte unbekannt sind.

Stabkräfte als Zugkräfte einzeichnen.

Gleichgewichtsbedingungen ( M= 0, H = 0, V = 0) am Teilsystem aufschreiben.

Mögliche Schnittführungen

Schnitt A-A: Schnitt durch 2 Stäbe

(wie Knotenpunktverfahren)

Schnitt B-B: Schnitt durch max. 3 Stäbe,

die sich nicht in einem Punkt schneiden

(3 Gleichgew.-Bed.)

Schnitt C-C: Schnitt durch einen Stab

und einen Knoten

MG= 0 U

AH

A

A B

C A

B

C

B

G

U

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 73

6.5 Beispiele

6.5.1 Fachwerkbeispiel 1

F1 = 10 kN

F2 = 10 kN

12 m 12 m

6 m

F2 = 50 kN

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 74


AH

A

F1 = 4 kN

2 m

A

B

C A

B

C

B

2 m 2 m 2 m 2 m

F3 = 3 kN

F2 = 2 kN

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 75

6.5.3 Fachwerkbeispiel 3 (Klausuraufgabe)

F1 = 12 kN

F2 = 18 kN

4 m

F3 = 6 kN

3 m

4 m 4 m

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 76


60° 60°

F1 = 20 kN F2 = 10 kN

2 m 2 m

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 77

7 Schnittgrößenermittlung bei ebenen Stabwerken

7.1 Definition von Schnittgrößen, Schnittufern

Bild 7-1: Definition von Schnittufern und Schnittgrößen

Lokales Koordinatensystem : x in Richtung der Stabachse

z senkrecht zur Stabachse

Gestrichelte Faser: parallel zur x-Achse an der Unterseite des Trägers

Bei ebenen Balkentragwerken werden die Schnittgrößen

Normalkraft N, Querkraft V und Biegemoment M ermittelt.

Positive Schnittgrößen weisen

am positiven Schnittufer am negativen Schnittufer

in positive Koordinatenrichtungen in negative Koordinatenrichtungen.

V

M

N

Negatives Schnittufer

Positives Schnittufer

z

Schnitt

Biegemoment

Querkraft

Normalkraft Stabachse

Gestrichelte Faser

Lokales KOS

x

M

V

N

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 78

7.2 Mögliche Schnittgrößen (innere Kräfte) an ebenen Balkentragwerken

Die Normalkraft wirkt normal zur Querschnittsfläche als Druck oder Zug.

Die Normalkraft dehnt oder staucht einen Stab und erzeugt Normalspannungen.

Zug Dehnung Druck Stauchung

Ein positives Biegemoment erzeugt an der Unterseite des Stabes Zug (gestrichelte Faser) und führt zu einer Krümmung des Stabes.

Biegemomente erzeugen Krümmungen und Normalspannungen.

Eine Grundaufgabe des Tragwerksplaners besteht darin, an jeder Stelle x des Tragwerks die inneren Schnittgrößen Normalkraft, Querkraft und das Biegemoment zu ermitteln. Gesucht sind also die Verläufe N(x), V(x) und M(x). Diese Verlaufsfunktionen nennt man Zustandslinien.

Zustandslinien = Verlauf der Schnittgrößen entlang der Stabachse.

Bild 7-2: Zustandslinien

M

N N N N

V

V

M

Die Querkraft wirkt senkrecht zur Stabachse und erzeugt Schubverzerrungen sowie Schubspannungen.

V(x)

M(x)

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 79

7.3 Resultierende von Streckenlasten

R1 (kN) = q (kN/m) (m) R2 (kN) = 12 qA (kN/m) (m)

Bild 7-3: Zur Bestimmung von Resultierenden bei Streckenlasten

Der Betrag der Resultierenden entspricht dem Flächeninhalt des Lastbildes.

Die Resultierende greift im Schwerpunkt der Belastungsfläche an.

Bei Trapezlasten: Zerlegen in Rechteck und Dreieck

= +

7.4 Statische Bestimmtheit

7.4.1 Abzählkriterium für ebene Balken und Rahmen

n = a + z – 3 p =

ichverschiebl

bestimmtstatisch

unbestimmtstatisch

:0

...:0

...:0

a: Anzahl Auflagerkräfte

z: Anzahl Gelenkkräfte (Zwischenbindungen)

p: Anzahl von Systemteilen (Scheiben)

Systemteile sind durch Gelenke miteinander verbunden.

qE

qE

qA

/3

R2 (kN)

R1 (kN)

qA (kN/m)

q (kN/m)

/2

qA – qE

/2 /3 ??

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 80

7.4.2 Zur Bestimmung der Anzahl der Zwischenbindungen z

Mögliche Gelenke siehe Blatt 4.5

Treffen mehrere Stäbe s an einem Gelenk zusammen, so gilt: z = 2 (s-1)

Bild 7-4: Gelenksituationen / Anzahl der Unbekannten

7.4.3 Der Ausnahmefall der Statik

Das Abzählkriterium liefert bei allen nachfolgend dargestellten Systemen n = 0.

Jedoch sind alle Systeme verschieblich (Ausnahmefall der Statik).

n = 3 – 3 = 0, bzw. n = 6 + 6 – 3 4 = 0;

es können jedoch keine Horizontalkräfte aufgenommen werden !

Das System ist horizontal verschieblich !

n = 3 – 3 = 0;

es können jedoch können keine Momente aufgenommen werden !

Das System kann sich verdrehen !

Bild 7-5: Ausnahmefall der Statik

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 81

7.4.4 Beispiele zum Abzählkriterium

Gesucht ist der Grad der statischen Bestimmtheit für die folgenden Systeme:

Bild 7-6: Beispiele zum Abzählkriterium

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 82

7.5 Schnittgrößenermittlung durch Gleichgewichtsbedingungen

Zur Ermittlung der

Schnittgrößenverläufe als Funktion der Stabkoordinate x

( Zustandslinien M(x), V(x), N(x) )

werden die Balkensysteme an beliebigen Stellen x durch Anwendung des Schnittprinzips gedanklich geschnitten. An der Schnittstelle sind die unbekannten Schnittgrößen anzutragen. Unter Berücksichtigung der äußeren Lasten, der Lagerreaktionen und der gesuchten Schnittgrößen im Schnitt x muss sich jedes Systemteil im Gleichgewicht befinden.

7.5.1 Beispiel 1

Wichtige Merkregeln Für die Querkraftlinie:

In lastfreien Bereichen ist die Querkraft konstant, d.h. der Wert der Querkraft ändert sich nicht.

An der Stelle, wo eine äußere Einzellast einwirkt, hat die Querkraftlinie einen Sprung in der Größe der einwirkenden vertikalen Lastkomponente.

Für die Momentenlinie:

In lastfreien Bereichen verläuft die Momentenlinie linear veränderlich. Sie ist also eine Gerade. In Sonderfällen ist die Momentenlinie dort Null.

An der Stelle, wo eine äußere Einzellast einwirkt, hat die Momentenlinie einen Knick.

Für mittige Einzellast ist

z

F

a

x

b

4max

FM

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 83

7.5.2 Beispiel 2

F1 = 160 kN

z

F2 = 280 kN

x

8,00

3,40 2,60 2,0

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 84

7.5.3 Beispiel 3

7.5.4 Beispiel 4

60°

z

F = 10 kN

4

x

2

F1 = 2 kN

2 2 2 2

F2 = 3 kN F3 = 13 kN

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 85

7.5.5 Beispiel 5

Weitere Merkregeln bei Gleichstreckenlasten Für die Querkraftlinie:

In Bereichen mit konstanter Streckenlast verläuft die Querkraftlinie linear.

Die Summe der auf die Länge verteilten Veränderung der Querkraft entspricht der Bereichsresultierenden.

Für die Momentenlinie:

In Bereichen mit konstanter Streckenlast verläuft die Momentenlinie quadratisch.

Die Momentenlinie hat einen Extremwert an der Stelle, wo die Querkraftlinie einen Nulldurchgang hat.

Beim Balken auf zwei Stützen unter Gleichstreckenlast ist der Extremwert der

Momentenlinie 8

2q

z

q

x

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 86

Zusammenfassung

z

q

x

x

.)(: constqxqgeg

2)(

lqxqxV

xl

qx

qxM 22

)(2

qxV )(

)(2

)( xVl

qxqxM

Die (negative) Steigung der

Querkraftlinie V(x) ist in der

Belastungsfunktion q(x) gegeben.

Geradengleichung (y=mx + b)

Quadratische Parabel

Die Steigung der Momentenlinie

M(x) ist in der Querkraftlinie V(x)

gegeben.

Belastung

Querkraftverlauf

Momentenverlauf

+

-

+

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 87

7.5.6 Beispiel 6

z

q

x

4,80 2,40

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 88

7.5.7 Ermittlung maximaler Momente mithilfe der Anfangsschnittgrößen

(gilt nur bei Gleichstreckenlast !)

q

VMM

q

VxMMVVFall

q

AMM

q

AxMMAVFall

q

AM

q

AxMAVFall

q

VMM

q

VxemeinAl

reB

B

reB

BAnfreBAnf

AAAnfAnf

AnfAnf

Anf

Anf

Anf

2max;;:3

2max;;:2

2max;0;:1

2max;:lg

2

,,

max,

2

max

2

max

2

max

VAnf

A

MAnf

V(xmax)=0

q

xmax

max M

R(xmax)

VAnf=A

MAnf=0

VAnf=VB,re

MAnf= MB

VAnf=A

MAnf=MA

A

B q

VM

q

VqMM

q

Vx

xxqMM

xxVx

xRMM

M

q

VxxVxqVV

Anf

Anf

Anf

Anf

Anf

Anf

Anf

Anf

Anf

Anf

22max

;2

max

0)(2

)(max

0

0)(0

22

max

max

max

maxmax

max

max

maxmaxmax

Fall 1: Ein oder zweiwertiges Endauflager

Fall 2: Einspannung

Fall 3: Mittelauflager

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 89

7.5.8 Beispiel 7

Auflagerkräfte

q2 = 60 kN/m

1,3 1,8

q1 = 40 kN/m

3,0

3,2

2,4

3,1

4,0

F1 = 48 kN

F2 = 32 kN

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 90

Normalkraftverlauf

Querkraftverlauf

Biegemomentenverlauf

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 91

7.5.9 Beispiel 8: Gelenkträger

Gesucht: Auflagerkräfte, Gelenkkräfte, Schnittkraftverläufe

Auflagerkräfte

Querkraftlinie

Biegemomente

q = 6 kN/m

3,0

F1 = 10 kN

4,0

Besteht ein statisch bestimmtes Tragwerk aus mehreren Tragwerksteilen, die durch Gelenke miteinander verbunden sind, so sind bei der Ermittlung der Auflagerkräfte Teilsysteme direkt neben den Gelenken zu betrachten.

Bei Biegemomentengelenken muss am Teilsystem gelten: MG = 0

Greift im Gelenk eine Kraft an, so hat die Querkraftlinie dort einen Sprung (wie sonst auch). Die Querkräfte links und rechts vom Gelenk sind dann unterschiedlich groß.

Wirkt im Gelenk keine Kraft, so haben V und N dort keinen Sprung.

4,0 4,0

F2 = 20 kN

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 92

n(x)

V+dV

M

N

q(x)

V

M+dM

N+dN

dx

7.6 Zusammenhang zwischen äußeren Lasten und Schnittgrößen

V

x

x

CdxqVqV

xqdx

dVdxxqdV

dxxqVdVVV

e

a

)(;)(

0)(:0

Merkregeln

1. In lastfreien Bereichen sind N und V konstant, während sich M linear

verändert, falls V 0 ist.

2. In den Bereichen, in welchen ein konstantes nx oder qz wirkt, ändert sich N bzw. V linear. Einer linearen V-Linie entspricht ein quadratischer Momenten-verlauf.

3. Eine linear veränderliche Belastung qz bedingt bei V einen quadratischen, bei M einen kubischen Verlauf.

4. Wo V verschwindet, nimmt M einen Extremwert an.

5. Im Einwirkungspunkt von Einzellasten quer zur Stabachse hat die V-Linie einen Sprung, die M-Linie einen Knick.

6. Im Einwirkungspunkt einer Einzellast in Richtung der Stabachse besitzt die N-Linie einen Sprung.

7. Im Einwirkungspunkt von Einzelmomenten hat die M-Linie einen Sprung, die V-Linie bleibt unbeeinflusst, desgleichen die Neigung der M-Linie.

8. In der Symmetrieachse eines Systems ist bei symmetrischer Belastung die Querkraft gleich Null, bei antimetrischer Belastung verschwinden die Normal-kraft und das Biegemoment.

9. Ein zwischen zwei Gelenken gelegenes, gerades Stabelement ohne Lasten quer zur Stabachse überträgt nur Längskräfte.

10. Die Normalkraft ist völlig unbeeinflusst von Querkraft und Moment und umge-kehrt.

11. In einem Bereich mit positivem nx oder qz nimmt N bzw. V ab.

12. In einem Bereich mit positiver Querkraft V wächst das Biegemoment an.

N

x

x

x

xx

x

CdxnxNxnxN

xndx

dNdxxndN

dxnNdNNH

e

a

)()()(

)(;)(

0:0

M

x

x

CdxVxMxVxM

xVdx

dMdxxVxdM

dxqdxVMdMMM

e

a

)()()(

)(;)()(

02

:02

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 93

Tabelle 7-1: Grafische Zusammenfassung: Eigenschaften von Schnittkraftverläufen

Keine Belastung Einzellast Gleichstreckenlast Dreieckslast Einzelmoment

Lastbild

Querkraft- verlauf

Biege- momenten-

verlauf

konst

Knick

Sonderfall bei V=0: M=konst

Sprung

linear veränderlich

Sonderfall: V=0

linear

konst

Keine Knicke

quadratisch

Sprung

linear

konstant

quadratisch

kubisch

linear

linear linear

linear

konstant

konstant

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 94

Tabelle 7-2: Typische Schnittgrößenverläufe beim Balken auf zwei Stützen

Lastbild Querkraftverlauf Biegemomentenverlauf

ℓ/2

+

-

+

+

+

+

+

-

-

ML

+

-

+

+

F

q

ℓ

a b

F

-

ℓ/2

F F

a b

a

+

-

-

+

+

a b

q

ℓ

q

ℓ

a b

q

c

+

+

+

a b

+

+

+

-

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 95

Tabelle 7-3: Zusammenhang zwischen q(x), V(x) und M(x)

Bereich x V

CdxxqxV )( M

CdxxVxM )(

lineare Belastung konstante Belastung keine Belastung

Bsp.: q(x) = 4x Bsp.: q(x) = 5 kN/m Bsp.: q = 0

reA

V

Vx

CdxxxV

2

4

4)(

2

reA

V

Vx

CdxxV

,5

5)(

reA

V

V

CdxxV

,

0)(

quadratisch

AA

MA

MxVx

CdxVx

xM

re

re

,

3

2

3

2

2

4)(

AA

MA

MxVx

CdxVxxM

re

re

,

2

2

5

5)(

AA

MA

MxV

CdxVxM

re

re

,

)(

kubisch

quadratisch

A x

V = const.

A x

A x

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 96

7.7 Analytische Ermittlung von Schnittgrößen mithilfe der Differenzialbeziehungen

7.7.1 Beispiel 1

Gesucht: Auflagerkräfte, Zustandslinien mit Angabe von Ordinaten

Auflagerkräfte

Querkraftlinie

Momentenlinie

qE = 12 kN/m F = 20 kN

3,0 4,0 4,0

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 97

7.7.2 Beispiel 2

Gesucht: Auflagerkräfte, Zustandslinien mit Angabe von Ordinaten

Auflagerkräfte

Querkraftlinie

Biegemomentenlinie

q = 4 kN/m

3 4 2

ML = 6 kNm

2

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 98

7.7.3 Klausuraufgabe

Gesucht: Auflagerkräfte; Zustandslinien N, V, M mit Angabe von Ordinaten

Auflagerkräfte

Normalkraftlinie

ML = 40 kNm

q = 5 kN/m

4

45°

4

2 *40 kN

4 8

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 99

Querkraftlinie

Biegemomentenlinie

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 100

7.7.4 Weiteres Beispiel

Gesucht: Auflagerkräfte; Zustandslinien N, V, M mit Angabe von Ordinaten

Auflagerkräfte

F2=10 kN

60°

F1= 2 10 kN

3 2 3 2

45°

3

q= 3 kN/m

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 101

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 102

7.8 Schnittkraftlinien am Kragarm

Bild 7-7: Schnittkraftverläufe und Formeln für Schnittgrößen am Kragarm

A

VA,rechts

MA

N A,rechts

qE

q

ℓ

ℓ

ℓ

F

A

VA,rechts

MA

N A,rechts

A

VA,rechts

MA

N A,rechts

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 103

7.9 Schnittgrößenermittlung mit Stabwerksprogrammen

7.9.1 Allgemeines

Die Geometrie eines Stabwerkes ist gekennzeichnet durch Koordinaten von Punkten und Linien von Punkt zu Punkt.

Den geometrischen Bestandteilen des Stabwerkmodelles werden

Materialparameter, Querschnittswerte, Belastung und Lagerbedingungen

zugeordnet.

Ein Stabwerksprogramm (oder Finite-Element-Programm) unterteilt die vorgegebenen Linien (Stabzüge) in einzelne Stabelemente. Die Enden von Stabelementen werden als Knoten bezeichnet.

In einfachen Fällen sind Linien und Stabelemente gleich.

Vorgehen

1. Eingabe - System

(alle Eingaben einheitengetreu, also z.B. alle Angaben in m und kN)

a. Knoten

Die Knotenkoordinaten werden im vorher festgelegten globalen Koordinatensystem angegeben. Lagerbindungen werden festgelegt.

b. Stäbe

Stäbe werden von Knoten zu Knoten angegeben. Damit werden die Richtung der lokalen x-Achse und die Lage der gestrichelten Zone festgelegt.

Mit „Zeigen – Grafik“ kann man die Eingabe visuell kontrollieren.

c. Querschnittstypen

Nicht vergessen! Mindestens eine „1“ bei den vier Materialparametern angeben!

d. Gelenke

Bei Fachwerken: (s-1) Gelenke am Knoten

2. Eingabe - Belastung

a. Knotenlasten

b. Streckenlasten

c. Einzellasten

d. …

3. Berechnen – Th. 1. Ordnung

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04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 104

7.9.2 Fachwerk mit STAB2D

Koordinaten der Punkte (im globalen Koordinatensystem X-Z)

Punkt Nr X Z Punkt Nr X Z

1 4

2 5

3 6

7.9.3 Balkentragwerk mit Stabwerkprogramm STAB2D

Koordinaten der Punkte (im globalen Koordinatensystem X-Z)

Punkt Nr X Z

1

2

3

x

z

x

Z

X

Z

F1 = 10 kN

q = 10 kN/m

2

F3 = 20 kN

F2 = 5 kN

2 4

4

3

2

1

HEB 500

E = 210.000 N/mm2

= . . . . . . . . . . . . . . . kN/m2

h = 500 mm = . . . . . m

A = 239 cm2 = . . . . . . . . . m2

= 107.200 cm4 = . . . . . . . . . m4

F1 = 10 kN

F2 = 50 kN

12 m 12 m

6 m

Globales KOS (fest)

X Globales KOS

Lokales KOS (auf den Stab bezogen)

1 2

4

6

3

5

z

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04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 105

7.9.4 Verbreitete Stabwerksprogramme (Auswahl)

Stab2d

Gutes und einfaches Stabwerkprogramm zur Ermittlung von Schnittgrößen und Verformungen bei ebenen Stabtragwerken (auf den Rechnern der FH Lippe installiert)

Demoversion zum download unter

www.isd.uni-hannover.de/software.html

Ruckzuck

Gutes und einfaches Stabwerkprogramm zur Ermittlung von Schnittgrößen und Verformungen bei ebenen Stabtragwerken (Fachwerke, Durchlaufträger, Rahmentragwerke)

Demoversion zum download unter

http://www.ruckzuck.co.at/Download.aspx

PCAE

4H-NISI von PCAE Gutes Stabwerksprogramm zur statischen Berechnung und Bemessung beliebiger ebener Stabtragwerke aus Stahl, Holz oder Stahlbeton (Lehrversion auf den Rechnern der FH Lippe installiert)

Weiter Infos unter

http://www.pcae.de

Friedrich & Lochner

Weit verbreitetes Programmsystem mit DLT10 (Durchlaufträger) und ESK (Ebenes Stabwerk) zur statischen Berechnung und Bemessung beliebiger ebener Stabtragwerke aus Stahl, Holz oder Stahlbeton

Weitere Infos unter

http://www.frilo.de

RSTAB

RSTAB von Dlubal: Gutes Stabwerkprogramm insbesondere für die statische Berechnung und Bemessung von Stahltragwerken.

(Lehrversion auf den Rechnern der FH Lippe installiert)

http://www.dlubal.de

D.I.E

Gutes Statikprogrammsystem

Weitere Infos unter

http://www.die.de/

http://www.isd.uni-hannover.de/software.html

http://www.ruckzuck.co.at/Download.aspx

http://www.pcae.de/

http://www.frilo.de/

http://www.dlubal.de/

http://www.die.de/

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 106

8 Berechnung von Flächenwerten

8.1 Allgemeines

Schritte zur Tragwerksplanung / statischen Berechnung

1. Modellbildung

z.B. Balkentragwerk als dargestellt als Linie, Bestimmung der Länge

2. Lastzusammenstellung / Maßgebende Laststellungen

Ständige Einwirkungen: Eigengewicht, Erddruck

Veränderliche Einwirkungen: Verkehrslasten, Wind- und Schneelasten

3. Statische Berechnung

Maßgebende (extremale) Schnittgrößen M,N,V

4. Dimensionierung (Bemessung) durch Material- und Querschnittswahl mithilfe des Spannungsnachweises und des Durchbiegungsnachweises

Nachweis der Tragfähigkeit

Nachweis der Gebrauchstauglichkeit

Spannungsermittlung erforderlich z.B. : = N/ A

Hierfür ist die Ermittlung von Flächenwerten erforderlich.

5. Nachweise von Details und Anschlüssen

Mögliche Flächenwerte sind

1. Ordnung: Längen, Breiten, Höhen, Schwerpunkt-Abstand; [] = m

2. Ordnung: Querschnittsfläche; [A] = cm2 / m2

3. Ordnung: Vol., statisches Moment, Widerstandsmoment: [V]=[S]=[W]=cm3

4. Ordnung: Flächenträgheitsmoment; [] = cm4 / m4

6. Ordnung: Wölbwiderstand [] = cm6

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 107

8.2 Flächenschwerpunkt

8.2.1 Einführendes Beispiel

Bild 8-1: Zur Herleitung der Formel zur Ermittlung von Flächenschwerpunkten

x

y

A2

A1

ys=?

y1

y2

x

y ys=?

y1

y2

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04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 108

8.2.2 Definitionen zum Schwerpunkt

Volumenschwerpunkt

Flächenschwerpunkt Den Flächenschwerpunkt einer beliebiger Fläche wird mit Hilfe des Statischen Moment S der Fläche bestimmt. Ist bei zusammengesetzten Flächen der der Schwerpunkt der Teilflächen bekannt, wird der Gesamtschwerpunkt wie folgt berechnet:

Bei zusammengesetzten Flächen ist es oft sinnvoll, mit einer „umfassenden“ Fläche zu rechnen und die Fehlflächen dann abzuziehen. Es gilt das Superpositionsgesetz (Gesetz der Überlagerung).

Bei symmetrischen Flächen liegt der Schwerpunkt auf den Symmetrieachsen.

z

y

x

S

yS

xS

zS

dV

dVxxS

dV

dVzzS

dV

dVyyS

y

x

S yS

xS

dAxS

A

S

dA

dAxx y

y

S ;

dAyS

A

S

dA

dAyy x

xS ;

i

iiy

SA

Ax

A

Sx

i

iixS

A

Ay

A

Sy

y

x

S2

yS2

xS2

A2

A1

S1

xS1

yS1

A3

S3

xS3

yS3

yS

xS

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04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 109

8.2.3 Erläuterungen zum statischen Moment / Schwerpunktsberechnung

Unregelmäßig berandete Flächen

Zusammengesetzte Flächen mit bekannten Einzelflächen

8.2.4 Beispiel: Schwerpunktermittlung für ein Dreieck

)( A

y dAxS

y

x

S

xS = ?

x dA

)(

)(

)(;

A

y

y

A

A

S dAxSA

S

dA

dAx

x

)()( AA

SdAxdAx

Die Momentenwirkung der Gesamtfläche bzgl. einer Achse soll gleich der Summe aller Momentenwirkungen der Teilflächen bzgl. dieser Achse sein!

Die Momentenwirkung von Teilflächen bzgl. einer Achse nennt man „Statisches Moment“.

y

x

xS = ?

iiiS AxAx

x1 A1

A2

x2

A

S

A

Axx

y

i

ii

S

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 110

8.3 Formeln für Schwerpunktkoordinaten

Dreieck

Halbkreis

Viertelkreis Quadratische Parabel

y

x

h

y

x

r

y

x

y

x b

h

a

r

hyS3

1

ahA2

1

axS3

2

0Sx

rr

yS 4244,03

4

2

2

1rA

3

4rxS

3

4ryS

2

4

1rA

0Sx

hyS5

3

bhA3

4

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04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 111

8.4 Beispiele zur Schwerpunktermittlung

8.4.1 Mustertabelle zur Bestimmung des Schwerpunktes einer zusammengesetzten Fläche

Zuerst: Geeigneten Koordinatenursprung wählen! (für das Hilfskoordinatensystem)

Teilfläche i Ai (cm²) xi (cm) xi Ai (cm³) yi (cm) yi Ai (cm³)

1 … … … … …

2 … … … … …

3 … … … … …

4 … … … … …

A = ∑ Ai =… ∑ xi Ai =… ∑ yi Ai = …

A

xs

ii A x ;

A

yi

i

S

A y

8.4.2 Beispiel 1

Für die dargestellte Fläche ist die Lage des Schwerpunktes zu ermitteln !

TF Ai xi xi Ai yi yi Ai

1

2

A =

6 9

10

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04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 112

8.4.3 Beispiel 2

8.4.4 Beispiel 3

Für die dargestellte zusammengeschweißte Stütze aus einem HE 300 B und einem U 300 Träger ist der Schwerpunkt zu ermitteln. (Abmessungen aus Schneider oder Wendehorst)

TF Ai xi xi Ai

1

2

A =

TF Ai yi yi Ai

1

2

A =

U 300 HE 300 B

2

1

1

1

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 113

2

8.4.5 Beispiel 4

Maße in cm

Für die dargestellte Fläche ist der Schwerpunkt zu ermitteln.

TF Ai xi xi Ai yi yi Ai

1

2

3

4

A =

x 6

8

y

4

4

2

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 114

8.4.6 Beispiel 5

8.4.7 Beispiel 6

TF Ai yi yi Ai zi zi Ai

1

2

3

A =

TF Ai zi zi Ai

1

2

3

A =

15

20

4

8

5

45

60

20 38

5

8

12

10

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04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 115

8.5 Genormte Walzprofile

8.5.1 Bezeichnungen

-Träger („Doppel-T-Träger“), U-Stahl

Bild 8-2: Genormte Walzträger

-Träger Bild 8-3: Bezeichnungen und Abkürzungen der Querschnittswerte

Bezeichnung Abk. Einheit

Querschnittshöhe h mm

Querschnittsbreite b mm

Flanschdicke

(thickness of flange)

t

tf mm

Stegdicke

(thickness of web)

s

tw mm

Querschnittsfläche A cm2

Ausrundungshalbmesser r mm

Flächenträgheitsmoment cm4

Widerstandmoment W cm3

Trägheitsradius i cm

tw

r

z

y

Mittelbreite -Träger IPE

Breite -Träger HEA / HEB / HEM

U-Stahl

tf

b

h

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 116

8.5.2 Tabellen mit Querschnittswerten

Tabelle 8-1: Querschnittswerte für übliche Doppel-T-Träger

Quer-

schnitt

Bez. h b tw

(s)

tf (t)

r A y Wy iy z Wz iz

mm mm mm mm mm cm2 cm

4 cm

3 cm cm

4 cm

3 cm

IPE

120 120 64 4,4 6,3 7 13,2 318 53,0 4,90 27,7 8,65 1,45

140 140 73 4,7 6,9 7 16,4 541 77,3 5,74 44,9 12,3 1,65

160 160 82 5,0 7,4 9 20,1 869 109 6,58 68,3 16,7 1,84

180 180 91 5,3 8,0 9 23,9 1320 146 7,42 101 22,2 2.05

200 200 100 5,6 8,5 12 28,5 1940 194 8,26 142 28,5 2,24

300 300 150 7,1 10,7 15 53,8 8360 557 12,5 604 80,5 3,35

400 400 180 8,6 13,5 21 84,5 23130 1160 16,5 1320 146 3,95

500 500 200 10,2 16,0 21 116,0 48200 1930 20,4 2140 214 4,31

600 600 220 12,0 19,0 24 156,0 92080 3070 24,3 3390 308 4,66

HEA

100 96 100 5,0 8,0 12 21,2 349 72,8 4,06 134 26,8 2,51

120 114 120 5,0 8,0 12 25,3 606 106 4,89 231 38,5 3,02

140 133 140 5,5 8,5 12 31,4 1030 155 5,73 389 55,6 3,52

160 152 160 6,0 9,0 15 38,8 1670 220 6,57 616 76,9 3,98

180 171 180 6,0 9,5 15 45,3 2510 294 7,45 925 103 4,52

200 190 200 6,5 10,0 18 53,8 3690 389 8,28 1340 134 4,98

300 290 300 8,5 14,0 27 112,0 18260 1260 12,7 6310 421 7,49

400 390 300 11,0 19,0 27 159,0 45070 2310 16,8 8560 571 7,34

500 490 300 12,0 23,0 27 198,0 86970 3550 21,0 10370 691 7,24

600 590 300 13,0 25,0 27 226,0 141200 4790 25,0 11270 751 7,05

800 790 300 15,0 28,0 30 286,0 303400 7680 32,6 12640 843 6,65

1000 990 300 16,5 31,0 30 347,0 553800 11190 40,0 1400 934 6,35

HEB

100 100 100 6,0 10,0 12 26,0 450 89,9 4,16 167 33,5 2,53

120 120 120 6,5 11,0 12 34,0 864 144 5,04 318 52,9 3,06

140 140 140 7,0 12,0 12 43,0 1510 216 5,93 550 78,5 3,58

160 160 160 8,0 13,0 15 54,3 2490 311 6,78 889 111 4,05

180 180 180 8,5 14,0 15 65,3 3830 426 7,66 1360 151 4,57

200 200 200 9,0 15,0 18 78,1 5700 570 8,54 2000 200 5,07

300 300 300 11,0 19,0 27 149,0 25170 1680 13,0 8560 571 7,58

400 400 300 13,5 24,0 27 198,0 57680 2880 17,1 10820 721 7,40

500 500 300 14,5 28,0 27 239,0 107200 4290 21,2 12620 842 7,27

600 600 300 15,5 30,0 27 270,0 171000 5700 25,2 13530 902 7,08

800 800 300 17,5 33,0 30 334,0 359100 8980 32,8 14900 994 6,68

1000 1000 300 19,0 36,0 30 400,0 644700 12890 40,1 61280 1090 6,38

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 117

U-Profil Bild 8-4: Querschnittswerte U-Profil Tabelle 8-2: Querschnittswerte für ausgewählte U-Profile

U

Bez h

mm

b

mm

tw/s

mm

tf(t)

r1 mm

A

cm2

g kN/m

y

cm4

Wy

cm3

iy

cm z

cm4

Wz

cm3

iz

cm

ez

cm

yM

cm

100 100 50 6,0 8,5 13,5 0,106 206 41,2 3,91 29,3 8,49 1,47 1,55 2,93

120 120 55 7,0 9,0 17,0 0,134 364 60,7 4,62 43,2 11,1 1,59 1,60 3,03

140 140 60 7,0 10,0 20,4 0,160 605 86,4 5,45 62,7 14,8 1,75 1,75 3,37

160 160 65 7,5 10,5 24,0 0,188 925 116 6,21 85,3 18,3 1,89 1,84 3,56

180 180 70 8,0 11,0 28,0 0,220 1350 150 6,95 114 22,4 2,02 1,92 3,75

200 200 75 8,5 11,5 32,2 0,253 1910 191 7,70 148 27,0 2,14 2,01 3,94

300 300 100 10,0 16,0 58,8 0,462 8030 535 11,79 495 67,8 2,90 2,70 5,41

400 400 110 14,0 18,0 91,5 0,718 20350 1020 14,90 846 102 3,04 2,65 5,11

tw

tf

ez

r1

yM

z

y

b

h

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 118

z

8.6 Berechnung von Flächenträgheitsmomenten (FTM)

8.6.1 Definition

Flächenmomente 2. Grades = Flächenträgheitsmomente

8.6.2 Auswertung für einen Rechteckquerschnitt

dAzI y

2

y

2

2

322

3)(

h

hy

zbdzzbzdAzI

dzzbdA )(

b(z)

dz dA

z 128383

333 hbhhbI y

h

z

y

dz

dA z

b(z)

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 119

8.6.3 Flächenträgheitsmomente für einfache Querschnitte

Tabelle 8-3: Eigen-Flächenträgheitsmomente für übliche Querschnitte

Skizze y z yz P

12

3bh

12

3hb 0 )(

12

22 bhbh

36

3gh

beihg

bzw

gggggh

48.

)(36

3

2

22

2

)2(

722

2

gggh

)(36

2

22

22 gggghgh

36

3gh

36

3hg

72

22hg )(

36

22 ghgh

64

4d

64

4d 0

32

4d

)(64

44 dD

)(64

44 dD

0 )(32

44 dD

)649(72

24

R

8

4R 0 )329(

36

24

R

3

4ab

3

4ba

0 )(

4

22 baab

h

z

y S

b

⅓h

g

⅔h h

z

y S

d

y

z

S

D

S

y

z

d

S

z

y

d

R 3

d2

z

y S

b

a

h

g g2

z ⅓h

y

⅔g-⅓g2 ⅔h

S

g1

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 120

8.6.4 Kleine Übungen

Querschnitt und KOS Relation y z

12

24

z

y

4

40

60

10

30

30

z

y

z

y

z

y

z

y

15

45

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 121

Querschnitt und KOS Relation y z

20

30

z

y

20

40

20

z

y

z

y

z

y

z

y

50

R=30

R=20

z

y

R=50

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 122

8.6.5 Gegenüberstellung Flächenmoment 1. Grades – Flächenmoment 2. Grades

Flächenmoment 1. Grades = …………………………………….

n

i

iiiihy FlächeHebelarmAzS1

)( *

1

*i

iiy nFlächelcheHebelarmdAzS

Das Statische Moment für eine Fläche bezogen auf den Schwerpunkt verschwindet.

Flächenmoment 2. Grades = …………………………………….

n

i

iiiy FlächeHebelarmAzIih

1

22 *)(

1

22 *i

iiy nFlächelcheHebelarmdAzI

Für zusammengesetzte Flächen gilt:

AnteileSteiner

n

i

iis

BlrkeTabellenwe

gesy AzFTMEigenI

1

2

,

.8.;

,

Das FTM ist der geometrische Widerstand eines Querschnitts gegen Biegung.

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 123

8.6.6 Flächenträgheitsmomente bzgl. parallel verschobener Schwerpunktachsen

AzdAzI sy

22 0

Steiner-Anteil Eigen-FTM

8.6.7 Beispiel 1: Doppel-T-Querschnitt

Für den dargestellten zusammengesetzten Träger sind folgende Werte gesucht:

a) Lage des Schwerpunktes

b) y und z

TF Ai zi zi Ai

1

2

3

A =

y

dAzdAzzdAzI

dAzzzzI

dAzzI

constzzzzdAzI

ssy

ssy

sy

ssy

22

22

2

2

2

)2(

)(

.;;

z

z

y

Sz

z

z

6

6

24

30

18

6

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 124

8.6.8 Beispiel 2: Zusammengesetzter Querschnitt

Für den dargestellten zusammengesetzten Träger sind folgende Werte gesucht:

a) Lage des Schwerpunktes

b) y und z

TF y (EigenFTM) zi Ai z2i Ai z (EigenFTM) yi y2

i Ai

1

2

3

TF Ai zi zi Ai

1

2

3

4

5

A =


i Ai

1

2

3

4

5

12

40

30

8 32

15

8

10

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 125

8.6.9 Beispiel 3: Klausuraufgabe

Für den dargestellten Querschnitt sind y und z gesucht.

Querschnittskizze, Bemaßung in cm


i Ai

1

2

3

4

0,2

30 30

60

z

y

R =20

20

40 40

zs = 30,75

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 126

8.7 Transformation der FTM / Hauptträgheitsachsen

8.7.1 Deviationsmoment (Zentrifugalmoment)

AnteileSteiner

i

n

i

isis

tabelliertleEigenantei

zyyz AzydAzyII

)()(1

,,

,

Ist eine Symmetrieachse vorhanden, ist yz = 0.

Wenn yz = 0 ist, dann ist das y-z-KOS ein Hauptachsensystem.

8.7.2 Drehung des Koordinatensystems

= y cos + z sin

= - y sin + z cos

y

dA z

y

y

z

z cos

y sin

z sin

y cos

y

z

=?

=?

)2cos()2sin()(2

1

)2sin()2cos()(2

1)(

2

1

)2sin()2cos()(2

1)(

2

1

yzzy

yzzyzy

yzzyzy

IIII

IIIIII

IIIIII

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 127

8.7.3 Hauptachsen

Für welchen Winkel * verschwinden das Deviationsmoment ?

Für welchen Winkel werden die Flächenträgheitsmomente extremal ?

Ergebnis wie oben:

Die Flächenträgheitsmomente nehmen Extremwerte für die Hauptachsen an. In diesem Fall verschwinden die Deviationsmomente.

Liegt eine Symmetrieachse vor, so ist die Symmetrieachse eine Hauptachse.

Es gilt die Invarianzbedingung:

y + z = + =1 +2 =p =const.

(invariant = unabhängig vom Koordinatensystem)

p ist das polare Trägheitsmoment.

2

2

2,1

*

22;

22tan yz

zyzy

zy

yzI

IIIII

II

I

0)2cos()2sin()(2

1 yzzy IIII

0)2cos()2sin()(2

1

yzzy IIId

dI

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 128

8.7.4 Beispiel L-Profil

Gesucht sind a) Lage des Schwerpunktes

b) y , z , yz; c) * , 1, 2

ii

Eigen

yyAzII 2

ii

Eigen

zz AyII 2

iii

Eigen

yzyzAzyII


1

2

A =

TF y (EigenFTM) zi Ai z2i Ai

1

2

TF z (EigenFTM) yi Ai y2i Ai

1

2

TF yz (Eigen) yi zi Ai - ( yi zi Ai )

1

2

0,5

4

5,5

5

0,5

Maße im cm

z

y

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 129

8.7.5 Beispiele für unsymmetrische Profile in der Praxis

Einseitiger Plattenbalken

Brückenquerschnitt

z

y

L-Profile

Widerlagerfundament

z

y

z

y

z

y

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 130

8.7.6 Transformation bei dünnwandigen Querschnittsteilen

Beispiele:

Weitere Beispiele für dünnwandige Querschnitte Stahlträger Spundwandprofile

Trapezbleche

Einen Querschnittsteil nennt man dünnwandig, wenn die Dicke eines

Querschnittsteils kleiner ist als 1/5 der Länge, also d < ℓ/5; d < b/5 oder d < h/5.

Dann ist das Trägheitsmoment bezogen auf die schwache Achse gegenüber dem

Trägheitsmoment bezogen auf die starke Achse vernachlässigbar.

Dünnwandige Querschnitte werden bezogen auf die Profilmittellinien vermaßt.

d=6

h=100

b=100

d=6

z

y

z

y

b

z

y h

H

o

n B

e

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 131

Transformationsbeziehung für ein schief liegendes, rechteckiges,

dünnwandiges Querschnittsteil

Geg.

Ges.:

Mit

cos

cos 11bbundhh ergibt sich gleichermaßen:

2

33

3

11 cos1212

coscos

12

hbhb

hbI y

23

2

1 cos12

cos

hb

II yy 2

32

1 sin12

sin

hb

II yz

)2cos1(2

12cos

2

1

2

1

2sin2cos)(2

1)(

2

1

111

111111

yyyz

zyzyzyz

IIII

IIIIII

)2cos1(2

12cos

2

1

2

1

2sin2cos)(2

1)(

2

1

111

111111

yyyy

zyzyzyy

IIII

IIIIII

y1

z1

y

z

b

h1

h

h2

b1

b2

h1

h2

0;012

;12

; 11

3

1

3

1

zyzy Ibh

Ihb

I

yzzy III ,,

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 132

8.7.7 Beispiel: Zusammengesetzter dünnwandiger Querschnitt

Gesucht: a) Lage des Schwerpunktes; b) y , z , yz ; c) * , 1, 2

ii

Eigen

yyAzII 2

ii

Eigen

zz AyII 2


1

2

A =

TF y (EigenFTM) zi Ai z2i Ai

1

2

TF z (EigenFTM) yi Ai y2i Ai

1

2

60

30

y

z

40 Maße in cm, t = 0,5 cm = const.

Bemaßung wird bei dünnwandigen Profilen auf die Profilmittellinien bezogen

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 133

iii

Eigen

yzyzAzyII

8.7.8 Beispiel: Einfachsymmetrischer dünnwandiger Querschnitt

Gesucht: sind die Lage des Schwerpunktes sowie y , z

TF yz (EigenFTM) zi yi Ai - (yi zi Ai )

1 *NR

2

Maße in cm; Bemaßung auf die Profilmittellinien bezogen

z

y d=1,2

d=1,0 15

d=1,0

60 60 20 20

15

Baumechanik 1


04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 134

Einfluss auf das Behalten

Erzähle es mir – und ich werde es vergessen

Zeige es mir – und ich werde mich erinnern

Lass es mich tun – und ich werde es behalten

Kung Fu Dsi (551 -479 v. Chr)

(Konfuzius)

baumechanik 1 (modul 3104) veranstaltungen ws 2012 / 2013 · baumechanik 1 prof. dr.- ing. andreas...

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