vii. Band t935. Eck: Beitrag zur Tragflfigeltheorie. 203

B e i t r a g z u r T r a g f l i i g e i t h e o r i e .

Von Bruno Eck in K61n.

Der induzierte Widerstand eines Tragflfigels entsteht durch die Umstr6mung der Fltigelenden und bewirkt gleichzeitig einen Abfall des Auftriebes. Es ist bekannt, daft die nachteil ige Wirkung der Umstr6mung dutch Endscheiben zumindest stark vermindert werden kann. Man sollte deshalb vermuten, dat3 beim Ann~ihern einer solchen Endscheibe an ein Tragfltigelende der induzierte Widerstand abnimmt. Ver- suche dieser Art, die Verfasser mit der in Abb. I dargestellten Dreikomponenten- waage durchffihrte, zelgten, dat~ eine Widerstandsiinderung kaum feststellbar ist, w/ihrend die Auftriebswaage kr/~ftig anzeigte. Diese Auftriebsvergr6t3erung bei gleichbleibendem Widerstand zeigt zwar indirekt den Einflut~ des gr6t3eren Seitenverhliltnisses, indem die Gleitzahl Widerstand kleiner wird, doch wtirde

Auftrieb man bei dieser Betrachtungsweise eher yon einem i n d u z i e r t e n A u f t r i e b als yon einem i n d u z i e r t e n W i d e r s t a n d sprechen.

Die bekannte Berechnung des indu- zierten Widerstandes setzt gleichen Auf- trieb (d. h. Zirkulationswirbel gleicher Abb. z. Dre tkomponentenwaage z u m unmittelbaren Ablesen yon

Auitriebp Widerstand und Drehmoment. Stiirke) voraus, weil ftir die exakte Rech- hung diese Annahme am einfachsten ist. Gegentiber dem unendlich langen Fltigel stellt man zunlichst einen zusiitzlichen sog. induzierten Widerstand fest:

c~ t ( b Seitenverh~iltnis ) (I) CW--b Vergleicht man zwei geometrisch iihnliche Fltigel, die die Seitenverh~ltnisse t2/b~ und tl/b 1 haben, so ist bei gleichen Auftriebsbeiwerten der Unterschied der Widerstands- beiwerte'leicht zu berechnenX:

c . ( t . t~) b, " (2)

Gleichzeitig wird die mittlere Anstr6mrichtung der Luft um folgenden Wert gefindert:

- = (3)

Gegenfiber dem unendlich langen Flfigel ergibt sich eine Winkellinderung A o t ~ ca t

b " (4)

Die Theorie fordert also bei Vergleichen eine Anstellwinkel~inderung bzw. Ein- stellung auf gleichen Auftrieb. Da bei obigem Versuch der Anstellwink61 konstant bleibt, ist also beim Abdecken der Fltigelenden die Widerstands~inderung dutch die bekannte Theorie nicht bestimmbar.

x Siehe z.B. Eck, Str6mungslehre, Bd. I S. 1o 4. Berlin 1935.

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Es ist somit die Frage zu stellen: Welchen EinfluB hat das Seitenverh~iltnis auf Auftrieb und Widerstand, wenn der Anstellwinkel konstant bleibt, eine Fragestellung, die vielleicht dem Anf~nger einleuclatender sein dfirfte als die frfihere Annahme.

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Abb. 2. Auftriebsbeiwerte ftir versehiedene SeitenverhMtnisse in Abh~tngigkeit yore Anstellwinkel.

Wir gehen aus yon der Abh~ngig- keit des Auftriebes bzw. des Auf- triebsbeiwertes vom Anstellwinkel. Ftir ein bestimmtes Profil ergeben sich bei verschiedenen Seitenverh~ilt- nissen gerade Linien, die sich in dem Punkte verschwindenden Auftriebes schneiden. Abb. 2 zeigt diesbezfig- liche G6ttinger Messungen 1. Bei einem negativen Anstellwinkel yon 5 0 laufen alle Linien sehr gut zu- sammen. Mit gr6t3erem Seitenver- hMtnis werden die Geraden steiler. Die gr6i3te St.eigung wtirde bei un- endlich groflem Seitenverhiiltnis, d.h. unendlich langem Fltigel erreicht werden. Ffir unsere Berechnungen wollen wir dieses Bild fibernehmen

�9 und zeichnen uns in Abb. 3 noch

Diese Ger~de hat die Gleichung

ca | = a (~o + ~) ; (5)

bedeutet hier den geometrischen Anstellwinkel urxd - - % den Winkel,

wo c~ gleich Null ist; a gibt die Steigung an. Ftir das Kreisbogenprofilergibt sich a = 2 ~. Die geometrische Bedeutung yon % beim Kreisbogenprofil, d~s den weiteren Berechnungen der Einfachheit halber zugrunde gelegt wird, geht aus Abb. 4 hervor.

c ~ [ / SeitenverhiiltnisGehen wir bei konstantem ca zu endlichem3 ~ r - ~ / / / fiber, so muff nach Abb.

0c um A 0c vergr6i~ert werden. Nach der Tragfttigeltheorie ergibt sich dieser Wert

ca t Gehen wir nun bei kon- zu A ~ = K~- . stantem Anstellwinkel ~ zu endliehem Seitenverhiiltnis tiber, so ergibt sieh eine

t I Abh. 3. Ca ~ ] (ct) bei Annahme linearer Abh~ngigkeit. Abb. 4. Kreisbogenprofil.

Verminderung yon c~ um A c~, das aus dem reehtwinkligen Dreieek bereehnet werden kann (Abb. 3). A c, -~ a A ~. Die Gerade ffir beliebiges t[b hat also die Gleichung

c a = a ( ~ + ~ ) - - a A ~ = a ( % + o O - - a C a t . n b ' (6) hieraus entsteht ~ a (ao + ~)

c . = a t " (7) X + n b

x Ergebnisse der~krodynamisehen Versuehsanstalt zu G6ttingen. I. Lief. S. 5x. Mtinchen I92I. 2 Im wesentlichen ist die Darstellung bis Gleichung (7) bekannt und befindet sich mit

~hnlichen Formeln in bekannten Lel~rbtichern.

VII. Band x936. Eck: Beitrag zur Tragfltigeltheorie. 20 5

Der Richtungstungens ffir beliebiges rib ist somit a a t "

I - ~ b Gehen wir bei gleiehem Anstellwinkel yon tl/bl zu t21bg, fiber, so ergibt sieh folgende

Anderung der Auftriebsbeiwerte:

C a ' - - c a ' = a ( ~ ~ 1 6 2 ~ t , - - a~ ~-~/" (8)

Setzen wir (7) in (I) ein, so erh~ilt man die Widerstands~inderung bei gleichem Anstell- winkel, wenn das Seitenverh~iltnis ge~indert wird:

' - , C~, -- Cw, a ~ (Co + e) ~ bi bl = ( ( ~

~+ ~-~;7 ~ + -~- -~ Wfihrend (2) und (3) die tknderungen bei konstantem c~ widergibt, erhiilt man aus (8) und (9) die .~nderungen bei kon- stantem Anstellwinkel.

Ersetzt man in Gleiehung (6) ca t dw SO aus Gleichung (I) -~--&-= c--,-'

entsteht r = a Ca (% + Cr -- a c. und hieraus

-~.(~o+ ~)-~ (Io)

"7

Abb. 5. Parabelu ~ ~ konst, und cc = konst.

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177117./2. I } , , . . . .

'/ Z 2 , " I

o qos ##o 4~s oAo

Abb. 6. Parabeln ~ -- konst, und --if-- konst, fftr verschiede~e

Anstellwinkel und Seitenve~h~ltnisse.

Die Gleichung zeigt den Zusammenhang zwischen ca u n d c , ffir konstanten Anstell- winkel bei Anderung des Seitenverhfiltnisses. Die Gleichung stellt eine Parabel dar, deren Achse parallel der c~-Achse ist. Fill" c, = o ergibt sieh ca = a (ao + 0t), d .h .

I I t ca-----ca.. Der Gr6~twert yon c~ wird bei ~ - c , . erreicht und betr~igt c~.-ax =~-c ; |

In Abb. 5 ist diese Parabel eingezeichnet; gleichzeitig ist die bekannte Parabel des c~t

induzierten Widerstandes angedeutet, die dureh die Gleichung c . = ~ b gekenn-

zeichnet ist (der Profilwiderstand wird bei diesen Berechnungen vernachl~issigt, weil er keinen Einflufl auf diese Erseheinungen hat). Das (ca, c~)-Diagramm erflihrt somit durch die neue Parabelsehar ~ - konst, eine Ergiinzung. Die Profileigenschaften k6nnen also dutch zwei Parabelscharen gut, dargestellt werden.

206 Eck: Beitrag zur Tragflfigeltheorie. Ingenieur-Amhtv

Um einen zahlenm~ifligen 0berblick zu erhalten, sei bemerkt, daft bei diesen l]'ber- legungen, wo der Profilwiderstand vernachl~issigt wird, die Eigenschaften des Trag- flfigels sehr gut durch das Kreisbogenprofil dargestellt werden k6nnen. Hier ist ca = 2 zt (xo + 0t). Bei den meist gebrauchten Profilen wird ca-~ 0 bei ungef~ihr

= -- 5 ~ so daft folgende Annahmen berechtigt sind: ao = 5~ a = 2 zt. Mit diesen Zahlen ergibt sich aus Gleichung (I0)

c~ c ~ = c a ( ~ o + ~ ) ~ "

Ftir oc = oO; 2o; 4o; 6o; 80; IO~ 15 o wurden in Abb. 6 die Parabeln eingezeichnet (gestrichelt). Des weiteren wurden fiir die Seitenverh~iltnisse t/b =-~/1; 1/1; 1/2; 1/3;

( a 1/4 ; 1/5 ; 1/e ; 1/8 ; 1/10; 1/a 5 die Parabeln des induzierten Widerstandes cw= ~-~- ] ein-

gezeichnet, cw wurde in fiblicher Weise in ffinffacher Vergr6t3erung aufgetragen. Bemerkenswert ist, daft bei einem best immten Seitenverh~iltnis die Scheitel aller

Parabeln geschnitten werden. Die Ausrechnung mit Hilfe der Gleichung (Io) und (I) ergibt hierffir das Seitenverh~iltnis t/b =1/2. Verfolgen wir deshalb einen gegebenen Tragfltigel bei konstantem geometrischen Anstellwinkel, dessen Seitenverh~iltnis etwa von 2 : I auf I : 6 wachsen soil. Bei dieser ~-nderung r/immt der induzierte Widerstand zuerst zu, um dann vom Seitenverh~iltnis ! : 2 an wider abzunehmen. Die praktische Bedeutung dieser Erscheinung ist natfirlich sehr beschr~inkt, da Seitenverh~iltnisse unter I : 2 sehr selten vorkommen. Dutch Versuche an der Waage Abb. I konnte der Effekt gut nachgewiesen werden.

(Mitteilungen aus dem Str6mungslaboratorium der H6heren Technischen Lehr- anstal ten K61n.)

(Eingegangen am 27. April 1936.)