Jahrgang 39 • 1986 • Heft 1-8

Der mathematische und naturwissenschaftliche

Unterricht

F E R D . D Ü M M L E R S V E R L A G

5300 B O N N 1 - P O S T F A C H 1480

DER MATHEMATISCHE UND NATURWISSENSCHAFTLICHE U N T E R R I C H T

Organ des Deutschen Vereins zur Förderung des mathematischen und naturwissenschafdichen Unterrichts e.V.

Schriftleitung: Hauptschriftleitung: OStD a. D. HERBERT NOACK

Feldstr. 108, 2300 Kiel, (04 31) 8 55 96 Mathematik: StD GERT STARKE

Wittenbrook 14 a, 2300 Kiel 17, (04 31) 36 23 12 Physik: MinR HERWIG KRÜGER

Untereisseiner Str. 33, 2305 Heikendorf, (0431)241538

Chemie: StD OTTHEINRICH DÜLL Breidenbornerstr. 8, 6750 Kaiserslautern, (0631)9 2883

Biologie: Prof. Dr. KARL-HEINZ BERCK Institut für Biologiedidaktik der Universität Gießen, Karl-Glöckner-Str. 21C, 6300 Gießen, (0641)81462

Verlag:

FERD. DÜMMLERS VERLAGSBUCHHANDLUNG, Postfach 1480; Kaiser­straße 31-37 (Dümmlerhaus), 5300 Bonn 1, Telefon 02 28/22 30 31. Satz, Druck und buchbinderische Verarbeitung: Boss-Druck, Kleve. Abdruck, auch auszugsweise, nur mit Genehmigung des Verlages.

Anzeigen- und Beilagenverwaltung:

F E R D . D U M M L E R 8 V E R L A G , Postfach 1480; Kaiserstraße 31-37 (Dümmlerhaus), 5300 B O N N 1, Telefon 02 28/22 30 31. Anzeigen- und Beilagenpreise gemäß Tarif Nr. 20 vom 1.1.1981. Für Stellengesuche und Behördenanzeigen gilt ein vergünstigter Tarif. Anzeigenschluß jeweils 4 Wochen vor Erscheinen.

Erscheinungsweise: 8 mal jährlich mit je 64 Seiten Umfang: Zum 15. Jan./l. März/ 15. April/1. Juni/15. Juli/1. Sept./15. Okt./I. Dez.

Bezugsbedingungen: Pro Jahrgang 8 Hefte = 512 Seiten plus 8 Seiten Jahresinhaltsver­zeichnis: D M 72,-, Einzelheft D M 12,-, zuzüglich Versandspesen. Hefte früherer Jahrgänge zu gleichem Preis teilweise noch lieferbar. Vorzugspreis für Studenten gegen Studienbescheinigung D M 57,60 (nur direkt vom Verlag). Für Mitglieder des F ö r d e r v e r e i n s ist der Bezugspreis im Ver­einsbeitrag enthalten (siehe unten). Einbanddecken: auch früherer Jahrgänge jeweils D M 9,80. Eine Kündigung des Jahresabonnements kann nur anerkannt wer­den, wenn die schriftliche Kündigung am 1. Oktober für das folgende Jahr beim Verlag vorliegt. A n s c h r i f t e n ä n d e r u n g e n bitte rechtzeitig dem Dümmler Verlag (nicht dem Geschäftsführer des Fördervereins und nicht der Post) mitteilen. Bei Anschriftenänderungen, die nicht mindestens 4 Wochen vor Erscheinen des nächsten Heftes Dümmler gemeldet sind, kann bei Verlust Ersatz nur gegen Berechnung gestellt werden, da die Post Zeitschriften weder nachsendet noch an die Verlage zurückgibt. Besprechungsstücke: nur an die zuständigen Fachschriftleiter. Für unverlangte Sendungen besteht keine Verpflichtung zur Rezension bzw. zur Erwähnung, noch wird eine Haftung oder Rücksendungs­verpflichtung übernommen. Namentlich gekennzeichnete Beiträge geben nicht unbedingt in jedem Falle die Meinung der Schriftleitung und des Verlages wieder.

DEUTSCHER VEREIN ZUR FÖRDERUNG DES MATHEMATISCHEN UND NATURWISSENSCHAFTLICHEN UNTERRICHTS E.V.

Der Verein ist durch Verfügung des Finanzamtes für Körperschaften in Hamburg als gemeinnützig anerkannt.

Ehrenvorsitzender: OStD Prof. Dr. FR. MUTSCHELLER, Damaschkestr. 46, 7500 Karlsruhe 1. (0721) 738 86

Ehrenvorsitzender: OStD i . R. A. KLEIN, Stachelsweg 28, 5000 Köln 91. (02 21)86 22 61

1. Vorsitzender: StD H . LOCHHAAS, Ringstr. 105, 6101 Roßdorf über Darmstadt. (0 61 54) 92 81

2. Vorsitzender: OStD Dr. H . WAMBACH, Preußen-str. 20, 4040 Neuss 1. (0 2101) 8 3681

Geschäf tsführer : StD FRIEDR. BECKER, Bielfeldtstr. 14, 2000 Hamburg 50. (0 40) 8806781. Postgirokonto:

Deutscher Verein zur Förderung des mathematischen und naturwissen­schaftlichen Unterrichts. Hamburg 43919-202

Geschäftsjahr ist das Kalenderjahr. Der Eintritt kann jederzeit erfolgen. Der Beginn der Mitgliedschaft rechnet je nach Wunsch des Eintretenden vom 1 .Januar oder 1 .Juli an. Der Austritt ist nur zum 31. Dezember möglich und muß bis zum 1. Oktober dem Geschäftsführer gemeldet werden. Schulen und Hochschulinstitute können nicht Mit­glied werden.

Der Jahresbeitrag beträgt D M 52,- (für Pensionäre D M 42,-); in ihm ist die Belieferung mit der Zeitschrift »Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht« ein­geschlossen. Studenten und Studienreferendare, Assessoren, Hochschulassistenten und Junglehrer, die noch nicht die volle tarifliche Besoldung erhalten, bezahlen nur D M 32,-

B ei sitzer: StD F. BARTH, Abbachstr. 23, 8000 München 50. (0 89) 1 41 36 46 (Mathematik) OStD P. WESSELS, Arensburgstr. 28, 2800 Bre­men. (0421) 443703 (Physik) StD W. ASSELBORN, Konrad-Adenauer-Allee 26, 6630 Saarlouis. (0 68 31) 8 36 04 (Chemie) OStR K. THAMERUS, Walther-Bothe-Str. 9, 7500 Karlsruhe 41. (0721) 474142 (Biologie) StD D. POHLMANN, Heidmühlenweg 59d, 2200 Elmshorn. (0 4121) 9 40 30 (Information und Auskunftsdienst)

Jahresbeitrag, wenn sie darüber eine mit dem Stempel der Schulleitung oder der Hochschule versehene Bescheinigung dem Geschäftsführer einreichen.

Der Jahresbeitrag ist bis zum 1. Juni im ganzen zu zahlen. Später noch ausstehende Beträge werden zuzüg­lich der Kosten der Einziehung durch Postnachnahme er­hoben.

An- und Abmeldungen sind nur an den Geschäftsführer zu richten. Adressenänderungen müssen spätestens 4 Wo­chen vor Erscheinen beim Dümmler Verlag vorliegen (alte und neue Adresse). Da die Post Zeitschriften nicht nach­sendet, sondern vernichtet, kann verlagsseits Ersatz nur gegen Berechnung geleistet werden.

II

I N H A L T S V E R Z E I C H N I S

A B H A N D L U N G E N - B E I T R A G E Z U R S C H U L P R A X I S

Mathematik

AUMANN, G.: Zur Bogenlänge einer ebenen Kurve . . 430

BENTZ, H.-J. - BOROVCNIK, M . : Zur Repräsentativi-tätsheuristik - eine fundamentale statistische Stra­tegie 398

ENGEL, O.-E.: Ein Näherungsverfahren zur Winkel­dreiteilung 209

FRITSCH, R.: Vorschläge für die Raumgeometrie in der Mittelstufe 339

- Historische Anmerkung zu »Affin-reguläre n-Ecke und ihre regulären Komponenten« 502

HEIDLER, K . : Gleichungslehre mit Undefinierten Ter-men in der Schule 269

HEUNECKE, W.: Ein magischer Würfel 85

HOHLER, P.: Die Seitenhalbierenden im Dreieck . . . 429

HOMAGK, F . : Zur Behandlung von Induktion und Re­kursion im Mathematikunterricht 14

KILIAN, H . : Direkte Prozentrechnung 77

KUPPE, J . : Ein Satz über das Parallelogramm 22

MÜLLER, H . : Das Produkt komplexer Zahlen in Polar­koordinaten ohne Additionstheoreme für sin und cos 208

SAUTER, E.: Eigenschaften pythagoreischer Zahlen . . 146

SCHMIDT, E. : Affin-reguläre rc-Ecke und ihre regulären Komponenten 193

SCHÖNWALD, H . G.: ZU »Eine einfache Polynomdar­stellung der Potenzsumme L v* (k 6 IN*)« von J . Dufner . . . v :° 368

- Zu »Ein Satz über das Parallelogramm« von J . Kuppe 431

STEINER, A . : Der Satz von Pythagoras 105

THOMAS, B.: Systemtheoretische Konzepte für facher-übergreifenden Unterricht 464

TREIBER, D.: Benachbarte Gewinnzahlen im Zahlen­lotto 403

TYSIAK, W.: Elemente der linearen Algebra am Bei­spiel magischer Quadrate 206

WALTHER, G. : Von vollständigen Strecken zum Sper-ner-Lemma 150

WEYL, H . : Reifeprüfung 1904: Mathematische Arbeit 451 ZEITLER, H . : Anwendungen von Kreis- und Kugel­

spiegelung 202 Aufgaben für Mathematikzirkel mit Mittelstufenschü­

lern 64, 128, 192, 256, 320, 384, 448, 512

Physik

BREDTHAUER, W. - WESSELS, P.: Eine Erschließung der Balmerformel im Unterricht 91

BROSOWSKI, G.: Ein Modellversuch zur Wilsonschen Nebelkammer 415

ENGELHARDT, W.: Columbus kommt - Die Europäer planen eine Raumstation 1

- Space Telescope 129 HAASE, E.: Auswertbarer Modellversuch eines Doppel-

sternin terferometers 477 HEISE, H . : Mechanische Kippschwingungen 410 HERRMANN, F.: Eine elementare Einführung in die

Physik des Drehimpulses 274 HOFNAGEL, J . K . : Der Foucaultsche Pendelversuch im

Klassenzimmer 156 JÄKEL-FESSENMAIER, C H . : Der »Looping« - unter die

Lupe genommen 210 JUNGE, H . : Die Brownsche Molekularbewegung, beob­

achtet in der Millikan-Kammer. Eine quantitative Auswertung zur Bestimmung der Boltzmann-Kon-stanten 86

KLEMT, M . : Optimale Planetenlandung 482 LABUDDE, R: Zum Begriff der Arbeit: Wie lassen sich

Alltagserfahrung des Schülers und physikalische De­finition besser in Einklang bringen? 406

LINCKE, R.: Physikalische Experimente mit dem Com-modore 64, Teil 3 25

LUCHNER, K . : Realbeobachtung und Vorstellungsver­mögen - Ein einfaches Demonstrationsmodell zur Erklärung der scheinbaren Sonnenbahn 412

MELCHER, H . : Analyse physikalischer Meßkurven mit Sättigungscharakter 217

III

MERZYN, G.: Zur Abhandlung »Die Drehung eines Körpers um eine feste Achse - ein Lehrstück« von W. Theis 502

MÜLLER, N . : Schülerversuche zum Anfangsunterricht in Elektrizitätslehre 352

PRAMSCHÜFER, K . : Zur Didaktik der Protonenüber­tragungen, Teil 2 (Berichtigung) 298

RANG, O.: Zur Einheiteninvarianz von Größenglei­chungen 330

SAUERZAPFE, G.: Zur Energieverteilung in linearen mechanischen Wellen 348

SCHULTZ, A. : Alles unter einem Dach - Wurfparabeln mit Hüllkurven 354

UCKE, CH . : Physik auf Münzen 198

Chemie

ASSELBORN, W.: Computersimulation im Chemieunter­richt 356

BLUME, R. : Modellversuche zur katalytischen Abgas­reinigung 282

DIERKS, W.: Fragen und Ergebnisse fachdidaktischer Forschung und ihre Berücksichtigung im IPN-Lehr-gang »Stoffe und Stoffumbildungen« und in den MNU-Empfehlungen zur Gestaltung von Chemie­lehrplänen auf der Sekundarstufe I 457

HAMANN, C. H . : Neue Sekundärbatterien für die Elek­trotraktion 3

JANSEN, W. - FICKENFRERICHS, H . - FLINTJER, B. -MATUSCHEK, C. - PEPER-BIENZEILER, R. - RALLE, B. - WIENEKAMP, H . : Geschichte der Chemie im Chemieunterricht - das historisch-problemorien-tierte Unterrichtsverfahren Teil 1 321 Teil 2 391

KEUNE, H . - WINKLER, A . : Zur Änderung des räum­lichen Baues von Molekülen bei chemischen Reak­tionen - Die Änderung der Chiralität bei Substitu­tionsreaktionen 488

KOBER, F.: Lavoisier contra Stahl 73 - Berichtigung 431 RALLE, B. - JANSEN, W.: Zur Behandlung des chemi­

schen Gleichgewichts und des Massenwirkungsge­setzes in der Sekundarstufe II der Gymnasien unter Einbeziehung der geschichtlichen Entwicklung Teil 1 161 Teil 2 220

SCHMIDT, H . -J .: Die geplante Verführung - zur Er­mittlung von Schülervorstellungen beim stöchio-metrischen Rechnen 33

SCHMIDT, M . : Gesicherte Experimentalbefunde - Hy­pothesen im Wandel. Einige Beispiele aus dem Pro­blemkreis des Chemieunterrichts 261

SCHWANKNER, R. J . - EISWIRTH, M . : Alpha-Zerfall in einer kontinuierlichen Nebelkammer - Zusammen­hang zwischen Zerfallskonstante und Energie . . . . 139

SUMFLETH, E. - GRAMM, A. - DANNAT, F.: Analytik der Citronensäure - Eine Unterrichtsreihe für die Jahrgangsstufe 13 415

WENZL, E.: Löslichkeit und Löslichkeitsangaben . . . 94 WIEDERHOLT, E.: Zu den »Empfehlungen zur Gestal­

tung von Chemielehrplänen« 104

Biologie

DYLLA, K . : Unterrichtspraktische Versuche - Ein Weg zur Verwissenschaftlichung des eigenen Unterrichts 98

ERBER, D. - KLEE , R.: Zwei Modelle zur Akkomoda­tion des menschlichen Auges 233

GRAF, D.: Begriffsbildung im Biologieunterricht - am Beispiel der Begriffe »Ernährung« und »Verdauung« 335

HANUS, H . : Chemie in der Landwirtschaft - Segen oder Fluch? 65

HESSE, M . : Aigenmassenkulturen und ihre Darstel­lung im Biologieunterricht 168

KLÄMT, D. - RÜTHER, F.: Zwei neue Biologie-Filme des WBF 237

KLEE , R. - ERBER, D.: Die Wirkung von Schwefel­dioxid auf die Regulationsfahigkeit von Spaltöff­nungen - Ein Schulversuch zum Thema Wald­sterben (Saurer Regen) 494

LAHAUNE, G. : Der Gebrauch der Lupe als Meßinstru­ment im Biologieunterricht 227

LÜTHJE, E.: Kunsthöhlen für Fledermäuse - Gedan­ken über die Behandlung eines Naturschutzprojek­tes im Biologieunterricht Teil 1 287 Teil 2 360

POHL, E.: Chemische Untersuchung von Fließgewäs­sern im Biologieunterricht 39, 298

SCHWARZ, E.: Experimentelle Erarbeitung von Streu­salzeffekten 425

WUKETITS, F. M . : Evolutionäre Erkenntnistheorie -die neue Synthese von Natur und Geist 385

Allgemeines

DEPPERT, W.: Uber den Zusammenhang von Mathe­matik, Physik und Philosophie. Gedanken zum Werk Hermann Weyls 449

KLEIN, A. : Begrüßungsansprache auf der Festsitzung (Hauptversammlung in Würzburg) 257

IV

M I T T E I L U N G E N

Deutscher Verein zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts

Vorstandssitzung in Würzburg, 19. und 20. Okto­ber 1985 46

Reisestipendien zum Deutschen Museum - Merkblatt 48

Beitragszahlung 1986 49

Empfehlungen zur Gestaltung von Lehrplänen für die informationstechnische Bildung in der Sekundar­stufe I bzw. II und für den Computer-Einsatz im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II 106

Hauptversammlung in Würzburg 115

8. Fachleitertagung für Biologie 1985 178

Jahrestagung der »Union des Physiciens« in Poitiers vom 25. bis 29. 10. 1985 179

9. Fachleitertagung für Mathematik 180

Lehrerbedarf und Wahlverhalten 238

23. Jahrestagung der Association for Science Educa-tion (ASE) 238

Jahrestagung der N V O N 239

78. Jahreshauptversammlung Ostern 1987 in Köln 240, 304, 369, 433

Bericht über die 78. Hauptversammlung vom 23. bis 27. März 1986 in Würzburg 298

Mitgliederversammlung auf der 77. Hauptversamm­lung in Würzburg am 26. 3. 1986, 15.30 Uhr . . . . 302

Kassenbericht 1985 304

Offener Brief an die Kultusminister der Länder in der Bundesrepublik Deutschland 432

Aus den L a n d e s v e r b ä n d e n

Baden-Württemberg 110, 369

Bremen: Bezirksgruppe Bremerhaven 111

Hessen 111

Niedersachsen: Bezirksgruppe Emsland 112

Nordrhein 112

Saar 113

Schleswig-Holstein 113

Südbayern 180,432

Westfalen 114

Regionale Tagungen des Fördervereins M N U 239

Allgemeines

ARBEITSKREIS ENERGIE DER DPG: Warnung vor einer drohenden Klimakatastrophe 240

BLANK, R. - SCHLEIP, A. : Berufsaussichten für Che­mielehrer in den nächsten 20 Jahren 305

GESELLSCHAFT FÜR DIDAKTIK DER MATHEMATIK (GDM): Überlegungen und Vorschläge zur Problematik Computer und Unterricht 370

MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHER FAKULTÄ­TENTAG: Resolutionen zur Lehrerfortbildung und zur informationstechnischen Bildung in der Sekun­darstufe 434

Tagungen, Veranstaltungen

ENGEL, A. : X X V I . Internationale Mathematik-Olym­piade (IMO) 49

- X X V I I . Internationale Mathematik-Olympiade (IMO) 434

HEDEWIG, R.: Biologieunterricht außerhalb des Schul­gebäudes 372

HEISE, H . - LIND, G.: 16. Internationale Physikolym­piade 1985 - 2. Platz für die Bundesrepublik . . . . 50

KÜSTER, J . : 21. Bundes Wettbewerb »Jugend forscht« 435 SCHMIDT, H.-J.: 6. Dortmunder Sommersymposium 372 WALTHER, G.: Bundestagung für Didaktik der Mathe­

matik 309 WAMBACH, H . : 7. Vortragstagung der GDCh-Fach-

gruppe »Chemieunterricht« und Preisverteilung bei der Jahrestagung 1985 181

Tagungsankündigungen 52, 53, 115, 116, 181, 243, 309, 374, 437, 503

Kurzberichte, Hinweise

Ausschreibungen: Microthek-Preis für Mikrofotografie 52 Hörlein-Preis 1986 52 Karlson-Preis 1986 53

Abituraufgaben zur Stochastik 243 FWU-Produktion »Biotechnologie« 437 Tagungsbände des Fachausschusses Didaktik der DPG 437 Informationen zur Strahlenbelastung und Kernenergie 437 Sonderhefte der Schriftenreihe des Fördervereins M N U 504 Wechsel in der Schriftleitung M N U 504

V

B E S P R E C H U N G E N

Zeitschriften

DÜLL, O.: Chemie Oktober 1985 bis März 1986 244 April bis September 1986 506

GOLF, E . - GOLF, S.: Biologie April bis September 1985 53 Oktober 1985 bis März 1986 310

KRÜGER, H . : Physik Juli bis Dezember 1985 181 Januar bis Juni 1986 437

NOACK, H . : Mathematik Juli bis Dezember 1985 116

SOLONDZ, W. - STARKE, G. : Mathematik Januar bis Juli 1986 374

Bücher

Mathematik

AMANN, H . : Gewöhnliche Differentialgleichungen (D. Rüthing) 61

BECKER, G. U. a.: Neue Beispiele zum Anwendungs-orientierten Mathematikunterricht in der Sekundar­stufe I (Band 2) (G. Starke) 511

BIGALKE, H.-G.: Kugelgeometrie (J. Schönbeck) 510

BLUM, W. - TÖRNER, G.: Didaktik der Analysis (D. Rüthing) 249

BLUMAN, G. W.: Problem Book for First Year Cal-culus ( W Solondz) 445

BÖHME, G. (Hg.): Prüfungsaufgaben Informatik (J. Küster) 250

BOROVCNIK, M . : Was bedeuten statistische Aussagen? (D. Rüthing) 251

BOSLER, U . u. a. (Hg.): Grundbildung Informatik -Ziele, Anregungen, Beispiele (G. Starke) 248

BROMM, K . U . : Anwendungen für BASIC-Taschen-computer (G. Starke) 319

DEUTLER, T. - SCHAFFRANEK, M . - STEINMETZ, D.: Statistik-Übungen im wirtschaftswissenschaftlichen Grundstudium (H. Wiedling) 444

EBBINGHAUS, H.-D. U. a.: Zahlen (R. Bodendiek) . . . . 61

FRANK, C.-G. - STADLER, U . - BURGER, P. - KRETSCH-MER, P.: Lineare Algebra für Wirtschaftsgymnasien (J. Ramcke) 445

FREY, G.: Elementare Zahlentheorie (R. Bodendiek) . . 318 GAL , I. u.a.: Mathematik für Wirtschaftswissenschaft­

ler Bd. 1: Lineare Algebra - Bd. 2: Analysis -Bd. 3: Lineare Optimierung (H. Wiedling) 61

GERICKE, H . : Mathematik in Antike und Orient (J. Kühl) 380

GLATFELD, M . (Hg.): Anwendungsprobleme im Ma­thematik-Unterricht der Sekundarstufe I ( W Olsson) 249

GOLAS, H . G.: Einführung in die Datenverarbeitung (W. Olsson) 318

HERING, E.: Software Engineering (G. Walther) . . . . 318 HERRMANN, D.: Numerische Mathematik (G. Starke) 317 HEYMANN, H . W. (Hg.): Mathematikunterricht zwi­

schen Tradition und neuen Impulsen (R. Bodendiek) 251 JAEGER, J . - SCHUPP, H . : Curriculum Stochastik in

der Hauptschule (K. Baginski) 190 KAIER, E.: BASIC-Programmierbuch ( W Olsson) . . . 250 - BASIC-Wegweiser für den Commodore 64 (W. Ols­

son) 319 KOECHER, M . : Lineare Algebra und analytische Geo­

metrie (R. Bodendiek) 248 KROLL, W.: Grund- und Leistungskurs Analysis. Bd. 1:

Differentialrechnung 1 (M. Sienknecht) 125 LORENZ, J . H . (Hg.): Lernschwierigkeiten: Forschung

und Praxis (R. Bodendiek) 250 PIEPER, H . : Zahlen aus Primzahlen. Eine Einführung

in die Zahlentheorie (R. Bodendiek) 317 POHLMANN, D. (Hg.): Materialien zum Kursunterricht

Mathematik. Teil 1, 2, 3 (A. Bikner) 380 PYENSON, L . : Neohumanism and the Persistance of Pure

Mathematics in Wilhelmian Germany (H. Kühl) . . 190 REISS, K . - STEINER, H.-G. (Hg.): Mathematikkennt­

nisse - Leistungsmessung - Studierfahigkeit (R. Bo­dendiek) 318

REMMERT, R.: Funktionentheorie I (R. Bodendiek) . . . 190 RESNIKOFF, H . L. - WELLS, R. O.: Mathematik im

Wandel der Kulturen (H. Kühl) 126 ROLLKE, K . - H . : Grundkurs in PASCAL (W. Olsson) 380 SCHUMNY, H . (Hg.): BASIC und PASCAL im Ver­

gleich (W. Olsson) 249 SMULLYAN, R.: Dame oder Tiger? (R. Bodendiek) . . . 126 STAMPE, E.: Repetitorium Mathematik (G. Starke) . . 380 VOLLRATH, H.-J.: Methodik des Begriffslehrens im

Mathematikunterricht (G. Starke) 251 WAHNER, W.: BASIC Programmieren lernen mit Sy­

stem für alle Commodore Computer (G. Walther) 319

VI

Physik

BECKER, F.: Neue Erkenntnisse über die Aggregat­zustände der Materie und . ihre Umwandlungen (J. Bruhn) 254

BLECKMANN, A . : Physik mit vollständig durchgerech­neten Beispielen (G. Becker) 253

BORN, M . : Physik im Wandel meiner Zeit (E.-R. Mernes) 252

DIAZ-SANTANILLA, G.: Technik der Solarzelle (H. Glunde) 62

FEICHTINGER, H . : Programmierpraxis mit dem 6502. Tips und nützliche Programmbeispiele in Maschi­nensprache (]. Bruhn) 253

- Mit Computern steuern. Aufbau und Anwendung von Einplatinen-Mikrocomputern (J. Bruhn) 253

FINZEL, H . -U. : Prüfungsfragen Physik (H. Raethjen) . 62

FRANKLIN, B.: Briefe von der Elektrizität (E. Dössel) 126

HENKEL, H . R.: Astronomie - Eine Einführung für Schulen, Volkshochschulen und zum Selbststudium (E.-R. Mewes) 62

HERPY, M . - BERKA, J . - C : Aktive RC-Filter (E. Dös­sel) 254

HIGATSBERGER, M . J . : Physikalische Problemstellungen und Übungsaufgaben mit Lösungen für Pharma­zeuten, Chemiker und Biologen (H. Raethjen) . . . . 127

JELITTO, R. J . : Dynamik und Thermodynamik. Über die Wurzeln der Irreversibilität und der Richtung der Zeit (f. Bruhn) 253

JUNG, W.: Anstöße. Ein Essay über die Didaktik der Physik und ihre Probleme (W. Behnsen) 381

KLEIN, R.-D.: Mikrocomputer selbstgebaut und pro­grammiert. Vom Bauelement zum fertigen Z 80-Computer (f. Bruhn) 319

KOHLRAUSCH, F.: Praktische Physik zum Gebrauch für Unterricht, Forschung und Technik. Bd. I, 23. Aufl. (E. Haase) 191

KUNZE, R.: Rechenprogramme für den Physikunter­richt (CBM-Version) (f. Bruhn) , 254

LANGE, D.: Analyse elektrischer und elektronischer Netzwerke mit BASIC-Programmen (SHARP PC-1251 und PC-1500) (f. Bruhn) 126

LICHTENBERG, G. C : Aphoristisches zwischen Physik und Dichtung (E. Dössel) 253

LINK, W.: Messen, Steuern und Regeln mit BASIC-Programmierung und lauffahige Programme für die elektronische Meßtechnik (f. Bruhn) 252

NEWTON, L : Optik oder Abhandlungen über Spiege­lungen, Brechungen, Beugungen und Farben des Lichts (H. Raethjen) 381

NÜHRMANN, D.: Das große Werkbuch der Elektronik (G. Boysen) 319

OSINGA, J . - MAASKANT, J . M . : Handbuch der elektro­nischen Meßgeräte (E. Dössel) 252

PETIT, J . -P.: Die Abenteuer des Anselm Wüßtegern. Bd. 6: Der Urknall - Bd. 7: Wovon träumen Robo­ter? (G. Boysen) 319

SAYIR, M . - ZIEGLER, H . : Mechanik 2. Festigkeits­lehre (f. Bruhn) 254

SCHARMANN, A . - SCHRAMM, H . (Hg.): Physik. Theo­rie - Experiment - Geschichte - Didaktik (E. Dössel) 252

SCHMIDT, H . : Messen und Experimentieren mit dem Commodore 64/128 (M. Bormann) 381

SCHRÖDER, W.: Das Phänomen des Polarlichts (E.-R. Mewes) 445

STÖCKLER, M . : Philosophische Probleme der relativi­stischen Quantenmechanik (f. Bruhn) 252

WILK, K . : Geigerzähler. Gebrauchsfertige Schaltun­gen für die praxisnahe Anwendung von Geiger­zählern (]. Bruhn) 253

WUSSING, H . (Hg.): Geschichte der Naturwissenschaften (H. Raethjen) 446

ZEIER, E.: Kurzweil durch Physik (f. Bruhn) 62

Chemie

CZERNY, R. - KRAMMER, U . : Quantitative Chemie am Gymnasium (A. Müller) 382

FUHRHOP, J . - H . : Bio-organische Chemie. Struktur, Reaktivität und Wechselwirkungen von Naturstoffen (K. Freytag) 446

STORK, H . (Hg.): Symmetrie (R. Wolf) 382

Biologie

BICK, H . u. a.: Angewandte Ökologie - Mensch und Umwelt. Bd. I, II (]. Wöhrmann) 254

BONNER, J . T : Kulturrevolution bei Tieren (D. Graf) 255

EISENBEIS, G. - WICHARD, W.: Atlas zur Biologie der Bodenarthropoden (D. Erber) 447

ESCHENHAGEN, D. U. a.: Fachdidaktik Biologie (D. Graf) 511

HERDER (Hg.): Lexikon der Biologie in acht Bänden ( K . - H . Berck) 447

JAENICKE, J . (Hg.): Materialien zum Kursunterricht Biologie (f. Wöhrmann) 63

KLEINIG, H . - SITTE, P.: Zellbiologie (R. Klee) 446

VII

LICHTENTHALER, K . H . - BUSCHMANN, G.: Das Wald­sterben aus botanischer Sicht (D. Graf) 127

METZNER, H . : Pflanzenphysiologische Versuche (R. Klee) 127

OBERDORFER, E. (Hg.): Süddeutsche Pflanzengesell­schaften. Teil III: Wirtschaftswiesen und Unkraut­gesellschaften. 2. Aufl. (A. Fischer) 63

PETERSON, R. U. a.: Die Vögel Europas (K.-H. Berck) 511

RENNER, M . : Kükenthals Leitfaden für das Zoologische Praktikum. 19. Aufl. (D. Erber) 191

WEBSTER, J . : Pilze - Eine Einführung (R. Klee) . . . . 191

WINNACKER, E.-L.: Gene und Klone. Einführung in die Gentechnologie (M. Henze) 383

WUKETITS, F. M . : Biologische Erkenntnis: Grundlagen und Probleme (P. Petersen) 383

Allgemeines

ASCHERSLEBEN, K . : Didaktik (H. Kühl) 255

HEURSEN, G. (Hg.): Didaktik im Umbruch - Aufgaben und Ziele der (Fach-) Didaktik in der integrierten Lehrerbildung (R. Bodendiek) 255

PETERSSEN, W. H . : Lehrbuch Allgemeine Didaktik (f. Schönbeck) 444

MNU Jahrgang 39 (1986). Hefteinteilung

Heft erschienen Seiten Heft erschienen Seiten

1 15.1. 1- 64 5 15. 7. 257-320 2 01.3. 65-128 6 01. 9. 321-384 3 15.4. 129-192 7 15.10. 385-448 4 01.6. 193-256 8 01.12. 449-512

© 1986 Ferd. Dümmlers Verlag, Kaiserstraße 31-37 (Dümmlerhaus), 5300 Bonn 1

VIII

Aus der Schulpraxis - Für die Schulpraxis 339

Aus der Schulpraxis • Für die Schulpraxis

Vorschläge für Raumgeometrie in der Mittelstufe1

Von RUDOLF FRITSCH

M i t 1 4 Abbildungen

Der systematische Geometrieunterricht beginnt in Klasse 7 m i t einfachen raumgeometrischen Überlegungen und endet in Klasse 1 0 gelegentlich m i t etwas Stereometrie oder darstellender Geometrie. D a z w i s c h e n liegt eine lange Periode mit fast nur ebenen Betrachtungen. M i t den entwickelten Methoden der ebenen Geometrie lassen sich aber auch einfache raumgeometri­sche Beziehungen herleiten, die gelegentlich in den Unterricht einfließen sollten. E i n e besondere R o l l e spielt dabei das (allge­meine) Tetraeder: es ist das räumliche Analogon des ebenen Dreiecks. Uberhaupt führt der Gesichtspunkt der Analogie-Übertragung von der Ebene in den Raum zu anschaulichen und interessanten Ergebnissen.

1 Vortrag auf der 76. Hauptversammlung des Deutschen Vereins zur För­derung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts in Braunschweig 1985.

1 Einleitung

Unbestritten gehört die Vermittlung eines räum­lichen Anschauungsvermögens zu den wesentlichen Zielen der allgemeinbildenden Schule. Im Prinzip han­delt es sich dabei um eine facherübergreifende Auf­gabe: - Gegenstandsbeschreibungen übt man im Sprach­

unterricht, - um die Darstellung räumlicher Figuren geht es

häufig in der Kunst, - der Geograph erklärt den Raum um unsere Erde.

Der wichtigste Platz dafür ist aber der Geometrie-Unterricht, und da geschieht meines Erachtens zu wenig. Gerade in der Mittelstufe, d. h. genauer in den Klassen 7 bis 10, beschränkt man sich zu großen Teilen

340 39. JAHRG., 1986 HEFT 6

auf die Planimetrie. Für diesen Bereich möchte ich Ihnen nun einige Vorschläge zur Anreicherung mit räumlichen Betrachtungen vortragen. M i r geht es dabei nicht um eine Änderung der Lehrpläne. Ich meine, daß die vorhandenen Curricula dem Lehrer ge­nügend Freiraum lassen, gelegentlich von der Ebene abzuheben. Zur Vermeidung von Mißverständnissen möchte ich aber von vornherein betonen, daß das fol­gende Material nicht als geschlossenes Paket für den Unterricht gedacht ist; das würde wirklich zuviel Zeit in Anspruch nehmen. Etwas davon habe ich gerade selbst in einer 8. Klasse unterrichtet, und so ist mir klar, wie schnell, d. h. wie langsam, man vorwärts kommt. Ich biete Ihnen Anregungen, von denen die eine oder andere an passender Stelle in die Klasse ein­gebracht werden könnte. Daß das im Moment so wenig geschieht, liegt aber wohl auch daran, daß bedauer­licherweise in der Lehre an den Hochschulen diese doch sehr anschaulichen Dinge stark vernachlässigt werden.

2 Wie findet man Sätze der räumlichen Geometrie ?

Nun aber zur Sache: Nach einer propädeutischen Raumlehre bis einschließlich Klasse 6, in der einfache Flächen und Körper behandelt werden, beginnt üb­licherweise in der 7. Jahrgangs stufe der systematische Geometrie-Unterricht. Der Einstieg erfolgt durchaus über räumliche Betrachtungen, danach kommt man aber relativ schnell zur Dreiecks- und Viereckslehre, zum Kreis und zur ebenen Trigonometrie. Die Jahre vergehen bis Klasse 10, wo je nach Lehrplan noch etwas Stereometrie oder darstellende Geometrie, viel­leicht auch sphärische Trigonometrie, möglicherweise aber gar nichts Räumliches mehr behandelt wird.

Jedoch man beginnt mit den Inzidenzen von Punk­ten, Geraden und Ebenen im Raum; man klärt die möglichen Lagen von zwei Geraden, von einer Gera­den und einer Ebene zueinander. Begriffe wie Paralle­lität und Orthogonalität werden durchaus unter räum­lichen Gesichtspunkten eingeführt. Hier will ich gleich eine simple, aber für meine Absichten sehr nützliche Ergänzung zum Üblichen erwähnen, die H . TIETZ in Hannover einmal explizit formuliert hat [11]. Es han­delt sich um den kleinen Satz:

Vier Geraden, die sich paarweise schneiden, liegen in einer Ebene oder gehen durch einen P u n k t .

Diese Tatsache ist leicht einzusehen. Wir nehmen uns zwei dieser vier Geraden her; sie schneiden sich und bestimmen eine Ebene E (Abb. 1). Gehen die bei­den anderen Geraden durch den Schnittpunkt, so sind wir fertig. Andernfalls haben wir eine dritte Gerade, die beide schneidet, aber nicht durch den Schnittpunkt geht: Sie hat demnach mit der Ebene E mindestens zwei verschiedene Punkte gemeinsam, liegt also ganz

Abb. 1

in E . Die vierte Gerade, die die drei anderen schneidet, muß dieses in mindestens zwei verschiedenen Punkten der Ebene E tun - es können auch drei verschiedene Schnittpunkte auftreten - und gehört deshalb auch ganz zu E .

Bevor ich mit der Mathematik fortfahre, will ich Ihnen noch das Fabrikgeheimnis verraten, das zu den folgenden Einsichten führt. Ich bin nämlich überzeugt, daß diese eigentlich metamathematischen Überlegun­gen den Lehrer, aber auch die Schüler in die Lage ver­setzen, Sätze und Beweise der räumlichen Geometrie selbst zu finden, die zwar nicht absolut neu sind, aber nicht in den üblichen Lehrbüchern stehen und durch den Reiz der eigenen Entdeckung zu besonders positi­ven mathematischen Erfahrungen führen. Es handelt sich 1. um den Gedanken, ebene Erkenntnisse auf dem

Wege der Analogiebildung in den Raum zu über­tragen, und

2. um die Beachtung der Tatsache, daß - im Gegen­satz zur Situation in der Ebene - räumliche Objekte der Dimension 1, das sind Geraden und Kurven und Stücke von solchen, grundsätzlich verschieden sind von Objekten der Kodimension 1, das sind Ebenen und krumme Flächen und Stücke von solchen. Ein einfaches Beispiel dafür bildet der Begriff des

Lotes (Abb. 2): I n einer Ebene gibt es zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen P u n k t genau eine Lotgerade. I m Raum gibt es zu einer gegebenen Ebene durch einen gege­benen P u n k t genau eine Lotgerade, zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen P u n k t genau eine Lotebene. Wenn wir diesen Gedanken weiterverfolgen, kom­

men wir fast unmittelbar zum Begriff der Mittelsenk­rechten bzw. des Mittelpunktes (Abb. 3). In der Ebene haben wir die Mittelsenkrechte einer Strecke, eine Ge­rade, als den geometrischen Ort aller Punkte, die von den Endpunkten der Strecke, zwei voneinander ver­schiedenen Punkten, gleiche Abstände haben, und den

Aus der Schulpraxis - Für die Schulpraxis 341

Abb. 3

Umkreis-Mittelpunkt eines Dreiecks, das ist der ein­deutig bestimmte Punkt, der von den drei Ecken des Dreiecks, drei Punkten, die nicht in einer Geraden liegen, gleiche Abstände hat.

Im Raum finden wir zunächst die mittel senkrechte Ebene zu einer durch zwei verschiedene Punkte be­stimmten Strecke und das Mittellot zu einem durch drei nicht in einer Geraden liegende Punkte bestimm­ten Dreieck: Zu jeder der drei Seiten des Dreiecks haben wir eine mittelsenkrechte Ebene, und diese drei

Ebenen schneiden sich in einer Geraden (Abb. 4). Aber jetzt liegt noch ein nächster Schritt auf der Hand. Im Raum läßt sich die Reihe »zwei verschiedene Punkte«, »drei Punkte nicht auf einer Geraden« noch um ein Glied verlängern, nämlich »vier Punkte nicht in einer Ebene«. Das von vier solchen Punkten bestimmte räumliche Gebilde ist ein neues interessantes geometri­sches Objekt, das dreidimensionale Analogon des ebenen Dreiecks, das Tetraeder! Bis zur »Tetrapak-Affare« war unseren Schülern dieser Körper als Milch-,

342 39. JAHRG., 1986 ^Ji HEFT 6

Abb. 5

Kakao- und Limonadenbehältnis wohlbekannt, aber auch jetzt gibt es mit einer anschaulichen Vorstellung keine Schwierigkeiten: allerdings dürfte die Bezeich­nung als dreiseitige Pyramide geläufiger sein.

Bevor wir uns dem systematischen Studium des Te­traeders zuwenden, das auf wissenschaftlicher Ebene mit einer 1775 veröffentlichten Arbeit von LAGRANGE (1736-1813) begann [8], sollten wir erst die hinfüh­rende Idee abschließen. Sie fordert ja nun einen Punkt, der von vier nicht in einer Ebene liegenden Punkten gleiche Abstände hat. Dessen Existenz ergibt sich ein­fach: Wir nehmen drei der vier Punkte, sie können nicht auf einer Geraden liegen und bestimmen deshalb ein Dreieck; dessen Mittellot / ist der geometrische Ort aller Punkte, die von ihnen gleiche Abstände haben. Die mittelsenkrechte Ebene zu einem dieser drei und dem vierten Punkt kann nicht parallel zur Geraden / sein, wird also in genau einem Punkt von / geschnitten: das ist der gesuchte Punkt (Abb. 5). Etwas systemkon­former, aber vielleicht umständlicher ist die folgende Argumentation: Je drei der vier gegebenen Punkte be­stimmen ein Mittellot. Es gibt vier solcher Mittellote, sie liegen sicher nicht in einer Ebene. Aber je zwei die­ser Mittellote liegen in einer Ebene, der mittelsenk­rechten Ebene zur gemeinsamen Kante der zugehöri­gen Dreiecke. Keine zwei der Mittellote können aber parallel sein, sonst lägen die vier gegebenen Punkte ja in einer Ebene. Also schneiden sich je zwei dieser Mi t ­tellote, und damit gehen alle vier nach dem eingangs genannten Sätzchen durch einen Punkt.

3 Die Eulersche Gerade im Tetraeder

Nun kann man ein Stück weit eine Tetraederlehre entwickeln, die sich an den vertrauten Stoffen der Drei­eckslehre orientiert. Den drei Ecken eines Dreiecks entsprechen dabei die vier Ecken eines Tetraeders. Der Begriff der Dreiecksseite zerfallt aber wieder: den drei Seiten eines Dreiecks entsprechen einerseits sechs Kan­ten, die drei Paare von Gegenkanten bilden, und ande­rerseits vier Seiten(dreiecke) eines Tetraeders.

Hierbei sollte man erklären, daß das Wort »Tetra­eder« zu deutsch »Vierflächner« bedeutet, also die Ter­minologie auf die vier Seiten und nicht auf die vier Ecken des Tetraeders Bezug nimmt, was sich auch aus den Benennungen der platonischen Körper ergibt. Bei einem direkten Einstieg in die Geometrie des Tetra­eders anhand von Modellen habe ich auch gute Erfah­rungen damit gemacht, zunächst das Tetraeder seinem Namen gemäß als einen von vier ebenen Dreiecken be­grenzten Körper zu definieren. Beim Abzählen von Kanten und Ecken kamen wir dann auf die Tatsache, daß vier nicht in einer Ebene liegende Punkte immer genau ein Tetraeder bestimmen. Erst von da aus haben wir die Analogie zum Dreieck hergestellt; aber nun ge­lang es sogar einer sehr schwachen Schülerin, auch die Strecke noch in das System miteinzubeziehen.

0

A c B Abb. 6

Günstig ist es, die Ecken eines Tetraeders (Abb. 6) analog zum Dreiecke, B , C, D zu nennen; die Kanten, die Seiten des Dreiecks A B C sind in üblicher Weise a, b, c und die jeweiligen Gegenkanten d, b'} c. (Man muß natürlich darauf hinweisen, daß im allgemeinen keine der vier Seiten eines Tetraeders ausgezeichnet ist, daß es aber für konkrete Berechnungen oft bequem ist, eine Seite als Basis und die gegenüberliegende Ecke als Spitze anzusehen, was der Vorstellung von der drei­seitigen Pyramide entspricht.)

Aus der Schulpraxis - Für die Schulpraxis 343

Analog zu U m - , In- und Ankreisen hat man Um- , In- und Ankugeln beim Tetraeder, aber darüber hin­aus noch etwas Besonderes: die Kantenkugel. Sie exi­stiert nicht immer, sondern dann und nur dann, wenn die Längensummen der drei Gegenkantenpaare einan­der gleich sind, d.h.

a + a'= b + b'= c + c'.

Einen für die Mittelstufe geeigneten Beweis für diese Aussage hat H . TIETZ mit Hilfe seines Sätzchens angegeben [11]. Der Schlüssel dazu liegt in der simplen Beobachtung, daß eine Kantenkugel die Seiten des Tetraeders in den Inkreisen schneidet. Bemerkenswert fand ich im Unterricht, daß die Schüler, die gerade Kreise am Dreieck und am ebenen Viereck behandelt hatten, auf die direkte Frage »Was schneidet die Kan­tenkugel aus einer Seite des Tetraeders aus?« keine Antwort gegeben haben. Besser wären wohl zwei Fra­gen gewesen: 1. Wie sieht der Durchschnitt einer Kugel mit einer

Ebene aus (deren Abstand vom Mittelpunkt der Kugel kleiner ist als der Radius)?

2. Welcher Kreis in bezug auf das Seitendreieck ergibt sich im speziellen Fall? Weiter möchte ich darauf aber nicht eingehen;

»Merkwürdige Kugeln am Tetraeder« habe ich aus­führlich in [6] behandelt.

Schwerer zu finden ist die Verallgemeinerung der Eulerschen Geraden auf Tetraeder, die MONGE

(1746-1818) im Jahre 1811 angegeben hat [9]. Lassen Sie mich deshalb dies etwas genauer ausführen. Ich finde es allerdings erschreckend, wie viele Mathema­tikstudenten heute erklären, in der Schule nie etwas von der Eulerschen Geraden des Dreiecks gehört zu haben. Ich schlage vor, wenn schon nicht die Eulersche Gerade des Tetraeders, so doch wenigstens die des Dreiecks im Unterricht anzusprechen (Abb. 7). Sie ist ja der Ausdruck der merkwürdigen Tatsache, daß in einem Dreieck Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt immer auf einer Geraden lie­gen, und zwar so, daß der Schwerpunkt die Verbin­dungsstrecke der beiden anderen Punkte im Verhältnis 1:2 teilt. (Dies folgt einfach daraus, daß die zentrische Streckung mit dem Schwerpunkt als Zentrum und dem Faktor - 2 die Seitenmitten des Dreiecks in die Ecken und damit die Mittelsenkrechten in die Höhen ab­bildet.)

Zunächst kommt es darauf an, drei entsprechende Punkte in einem Tetraeder zu finden. Für den U m ­kreismittelpunkt ist das klar: Wi r haben ja vorhin schon den Umkugelmittelpunkt M eines Tetraeders bestimmt. Der Schwerpunkt im Dreieck ist der Schnitt­punkt der Seitenhalbierenden und teilt jede von ihnen im Verhältnis 1:2. Im Tetraeder finden wir einerseits die kantenhalbierenden Ebenen, die sechs Ebenen, die bestimmt sind durch eine Kante und den Mittelpunkt der Gegenkante, und andererseits die vier Schwer­linien, die die Ecken mit den Schwerpunkten der Ge-

/

Abb. 7

344 39. JAHRG., 1986 P^i HEFT 6

Abb. 8

genseiten verbinden. Jede kantenhalbierende Ebene schneidet aus dem Tetraeder ein Dreieck aus. Betrach­ten wir nun einmal ein spezielles dieser Dreiecke (Abb. 8), das Dreieck ABMC>, wobei M d natürlich den Mittelpunkt der Kante c' bezeichnet. Die Seite AMC< ist Seitenhalbierende des Dreiecks A C D und enthält den Schwerpunkt SB dieses Dreiecks, der sie im Verhältnis 2:1 teilt. Also finden wir im Dreieck ABMC> die Schwer­linie BSß des Tetraeders und ebenso die Schwerlinie ASA: Wir sehen, daß diese beiden Schwerlinien sich in einem Punkt S schneiden. Eine Hilfslinie klärt den Sachverhalt vollständig: Wi r zeichnen die Parallele zur Schwerlinie BSB durch den Punkt SA. Ihr Schnitt­punkt L mit der Seite AMC> teilt die Strecke SBMC- im Verhältnis 2:1, und damit teilt der Punkt SB die Strecke A L im Verhältnis 6:2. Dieses Verhältnis über­trägt sich auf die Schwerlinie ASA, die also durch den Punkt S im Verhältnis 3 :1 geteilt wird. Analog teilen auch die beiden übrigen Schwerlinien des Tetraeders die Schwerlinie ASA im Verhältnis 3:1. Also gehen alle

Schwerlinien durch den Punkt S, den Schwerpunkt des Tetraeders! Wi r bemerken noch, daß der Schwerpunkt auch den Durchschnitt der sechs kantenhalbierenden Ebenen des Tetraeders bildet.

Aber wie weiter? Natürlich kann man von einer Ecke aus das Lot auf die Gegenseite fallen. So erhalten wir vier Raumhöhen. Aber einfache Modelle zeigen, daß diese Lote windschief aneinander vorbeilaufen können! Es ist leicht zu zeigen - ich verweise dazu auf die Bemerkung von H . TIETZ [10] - , daß diese Raum­höhen sich genau dann in einem Punkt schneiden, wenn Gegenkanten zueinander orthogonal sind. Etwas Vektorrechnung unter Benutzung des inneren Pro­dukts führt dann noch auf die äquivalente algebraische Bedingung:

Das geht also nicht, jedenfalls nicht im allgemei­nen! Aber wir haben ja noch die zweite Möglichkeit: Höhenebenen. Das war die Idee von MONGE . Wi r be­trachten die sechs Lotebenen zu den Kanten, die den Mittelpunkt der jeweiligen Gegenkante enthalten. Für jede Kante x bezeichne h x die entsprechende Lotebene. Eine gute Vorstellung von dieser Situation liefert die orthogonale Projektion des Tetraeders in die Ebene des Dreiecks A B C (Abb. 9). Es sei D ' der Bildpunkt von D , also der Fußpunkt der Raumhöhe durch D . Dann sind die Bildpunkte M ' ^ , M ^ , M ' c der Kantenmittelpunkte M ä i Mb>, M c . die Mittelpunkte der Strecken A D \ B D \ C D ' . Die Ebenen h a , h b , h c werden in zu a bzw. b bzw. c senkrechte Geraden h'a, h'b, h'c durch die Punkte M ' ä , M'y, M'c- projiziert. Der Kernpunkt liegt nun darin, daß sich ja das Dreieck MjM'yM'j aus dem Dreieck A B C

Abb. 9

Aus der Schulpraxis - Für die Schulpraxis 345

durch zentrische Streckung mit Zentrum D ' und

Faktor ergibt, daß also seine Seiten parallel zu den

Seiten des Dreiecks A B C sind. Damit sind aber die Geraden h ' a i h'b, Kc die Höhen des Dreiecks MjMyMj und schneiden sich in einem Punkt H \ dem Höhen­schnittpunkt! Nun folgt aber, daß die Ebenen h a , h b , h c

selbst eine Gerade gemeinsam haben, die Lotgerade lD

zur Projektionsebene durch den Punkt H \ Analog fin­den wir ausgezeichnete Lotgeraden lA, lB> lc zu den Trägerebenen der anderen Seiten des Tetraeders. Die vier so erhaltenen Geraden sollte man als Höhen zwei­ter Art bezeichnen. Sie liegen offensichüich nicht in einer Ebene, und keine zwei von ihnen sind parallel. Je zwei liegen aber in einer der Ebenen kx, z. B. liegen lD

und lc in der Ebene h c . Also schneiden sich je zwei die­ser Höhen zweiter Art, und nach dem Satz von TIETZ gehen alle vier durch einen Punkt H . Dieser Punkt wird in der Literatur als »Punkt von Monge« bezeichnet, verdient aber in unserem Zusammenhang durchaus den Namen Höhenschnittpunkt des Tetraeders. Es ist auch leicht zu sehen, daß Höhen erster und zweiter Art zusammenfallen, wenn sich die Raumhöhen (Höhen erster Art) in einem Punkt schneiden.

Nun wird behauptet, daß die so definierten merk­würdigen Punkte M , *S*und Z/des Tetraeders auf einer Geraden liegen. Um das einzusehen, hat mein Student B. BANNES in seiner Zulassungsarbeit für das Lehramt an Realschulen eine einfache Methode angegeben. Es genügt ja offensichtlich nachzuweisen, daß die ortho­gonalen Projektionen der drei Punkte in die Träger­ebenen der Seiten des Tetraeders jeweils auf einer Ge­raden liegen. Dazu betrachten wir wieder die Projek­tion in die Ebene des Dreiecks A B C (Abb. 10). Zunächst bemerken wir, daß H ' einerseits durch die vorhin beschriebene zentrische Streckung aus dem Höhenschnittpunkt H D des Dreiecks A B C erhalten werden kann und damit die Strecke D ' H D im Verhält­nis 1:1 teilt, andererseits aber bereits das Bild von H

Abb. 1 0

unter der orthogonalen Projektion darstellt. Da diese Projektion Teilverhältnisse erhält, folgt außerdem, daß das Bild S' des Schwerpunkts S die Strecke D ' S D im Verhältnis 3:1 teilt. Nun gibt es wieder eine geeignete Hilfslinie: Wir ziehen die Parallele zur Geraden S'H' durch den Punkt SD; sie schneide die Gerade D ' H D in dem Punkt K. Der Punkt H ' teilt dann die Strecke D ' K auch im Verhältnis 3:1. Aber daraus folgt, daß der Punkt K die Strecke H ' H D im Verhältnis 1:2 teilt. Dieses Verhältnis übertragen wir wieder auf die Ge­rade S d H D . Es folgt, daß der Punkt SD die Verbin­dungsstrecke des Schnittpunkts der Geraden S'H' und S D H D mit dem Punkt H D ebenfalls im Verhältnis 1:2 teilt. Nach dem Satz über die Eulersche Gerade eines Dreiecks ist dann aber dieser Schnittpunkt gerade der Umkreismittelpunkt M D des Dreiecks A B C , und dieser wiederum ist offensichtlich identisch mit der orthogo­nalen Projektion M ' des Umkugelmittelpunktes M , Also liegen die Projektionen M ' , S', H ' auf einer Gera­den, was zu beweisen war. Aus der Figur lesen wir schließlich noch die folgenden Streckenverhältnisse ab:

S'H'.SjyK-3:4, M ' H ' : S j J C = 3:2.

Hieraus folgt, daß S' der Mittelpunkt der Strecke M ' H ' ist. Also liegen die merkwürdigen Punkte M , S und H nicht nur auf einer Geraden, der Eulerschen Geraden des Tetraeders, sondern der Punkt S teilt auch die Strecke M H im festen Verhältnis 1:1! (Der Ubergang vom Verhältnis 1:2 in der Ebene zum Verhältnis 1:1 wird nur verständlich, wenn man die ganzen Überle­gungen n-dimensional durchführt, was mit Hilfe der linearen Algebra aus der Anfangervorlesung leicht möglich ist, aber natürlich über den hier gegebenen Rahmen weit hinausgeht. Das Teilverhältnis dieser drei Punkte in einem n-Simplex beträgt ( « ~ 1 ) : 2 , vgl. [3].)

Es gibt noch einen anderen Weg zur Eulerschen Geraden des Tetraeders, der analog zur Konstruktion im Dreieck verläuft. Er braucht jedoch eine kleine, aber auch für sich interessante Vorbereitung.

In einem Tetraeder halbiert der Schwerpunkt die Verbin­dungsstrecken der Mittelpunkte eines jeden Gegenkanten­paares. Um das einzusehen, betrachtet man wieder das

Dreieck ABMC> und die darin liegenden Schwerlinien ASA, BSß mit ihrem Schnittpunkt S(Abb. 11). Als Hilfs­linien benötigt man die Gerade M c S und ihre Parallele dazu durch SA. Erstere schneide die Kante A B in Uy

letztere in V. Aus der Figur liest man ab:

A U : U V = 3 : 1 , B U : U V = 3 : 1 ,

also U = M c > , und

U S : V S A = 3 A , U M C , : V S A = 3:2.

346 39. JAHRG., 1986 | £ | HEFT 6

Hieraus folgt, daß der Schwerpunkt S die Strecke UMC. = M J i i s halbiert.

Aus diesem Hilfssatz folgt nun aber sofort, daß die Spiegelung am Schwerpunkt S (zentrische Streckung mit Zentrum S und Faktor - 1 ) die mittelsenkrechten Ebenen zu den Kanten in die Höhenebenen, die Mit­tellote zu den Seiten in die Höhen zweiter Art und den Umkugelmittelpunkt in den Punkt von MONGE über­führt, womit alles bewiesen ist.

4 Der dreidimensionale Satz des Pythagoras

Nach diesem größeren Block nun ein kleines Thema: der dreidimensionale Satz des Pythagoras.

Für die Seitenflächen F A , F B , F c , F D eines Tetraeders, bei dem die an der Spitze D zusammenstoßenden Seiten dort alle einen rechten Winkel aufweisen, gilt

Die Voraussetzung besagt

b'd da' a'b'

a 2 = b'2 + c'2

y & - & + <P9 c2 = a'2 + b'2. und

Daraus könnte man F% mit Hilfe der Heronischen Formel berechnen und auf die gewünschte Form brin­gen. Aber auch die Heronische Formel ist heutzutage fast aus dem Schulunterricht verschwunden, und das Einsetzen ist zugegebenermaßen nicht leicht. Der Satz läßt sich - mit einem Trick - auch einfacher begrün­den. Dazu stellen wir zur Abwechslung das Tetraeder einmal als Pyramide mit dem Dreieck A B D als Basis vor (Abb. 12). Wir bezeichnen mit h die zur Ecke C ge­hörige Höhe des nunmehr schrägliegenden Dreiecks A B C und mit K ihre Projektion in die Basis: das ist die zur Ecke D gehörige Höhe der Basis. Damit berechnen wir

also K = , und damit c aab'2

Ä W 2 + #W 2 + -c2

woraus sich schließlich ergibt

c2h2 c2c'2 + a % ' 2 b'2d2 c-a — : — +

aab'2

Dieser Satz hat eine interessante Geschichte. Er wurde von zwei Franzosen am Ende des 18. Jahrhun­derts als ihr geistiges Eigentum in Anspruch genom­men, in [12] von dem Baron TINSEAU D'AMONDANS (1748-1822), einem Schüler von MONGE, der aber die Mathematik bald aufgab und sich ganz dem Kampf gegen die Revolution verschrieb, und in [7] von dem Abbe G U A DE MALVES (1712-1786), dem ideellen Be­gründer der Enzyclopedie francaise. Wie BUZENGEIGER (1771-1835) aber in einem Brief an seinen Schüler K A R L FEUERBACH (1800-1834) bemerkt, stammt der Satz in Wirklichkeit von dem Ulmer Rechenmeister FAULHABER (1580-1635), der ihn 1622 veröffentlichte [2] und dem auch DESCARTES' (1596-1650) Anteil an der Eulerschen Polyederformel zugeschrieben wird. Allerdings muß man zugeben, daß TINSEAU eine etwas stärkere Aussage formuliert: Das Quadrat eines ebenen Flächenstückes im R a u m ist gleich der der Summe der Quadrate seiner Projektionen auf die Koordinatenebenen.

5 Kantenwinkel und Dreiecks-Ungleichung im Tetraeder

Einen anderen Gegenstand, der umfangmäßig klein gehalten, aber auch beliebig ausgeweitet werden kann, bildet die Betrachtung der Kantenwinkel eines Tetraeders. Auch dazu gibt es Veröffentiichungen in den Jahren 1981 [5] und 1983 [1], so daß ich mich hier wieder kurz fassen darf. Man kann zwei Problemkreise angehen. Den einen bilden die möglichen Verteilun-

Aus der Schulpraxis - Für die Schulpraxis 347

gen spitzer, rechter und stumpfer Winkel, den anderen die Summe der Kantenwinkel. Ich sollte hier berich­ten, daß bei meinem Unterricht nach der Erläuterung der Analogie zwischen Tetraeder und Dreieck auf meine Frage, welche Dreieckssätze wohl auf ihre Uber-tragbarkeit geprüft werden könnten, spontan der Win­kelsummensatz genannt wurde. Ich habe dann einige Grenzfalle besprochen und als Hausaufgabe unter anderem gestellt, die Tetraeder zu basteln, die man in zwei bestimmten Weisen aus einem Würfel mit der Kantenlänge 10 cm herausschneiden kann: Im ersten Fall sollten der Würfelmittelpunkt und drei in einer Seitenfläche liegende Ecken des Würfels die Ecken des Tetraeders bilden, im zweiten Fall der Würfelmittel­punkt, der Mittelpunkt einer Seitenfläche des Würfels und zwei nebeneinander liegende Ecken in dieser Sei­tenfläche. Ein Schüler hatte schon beim Herstellen be­merkt, daß der ganze Würfel aus 12 Tetraedern des ersten Typs zusammengesetzt werden kann, womit man die schwierigeren Kantenwinkel findet: Drei die­ser Modelle, richtig zusammengefügt, ergeben einen Vollwinkel; also hat jeder der einzelnen Winkel das Maß 120°. So kamen wir in einem Fall auf eine Winkel­summe von 420° und im anderen auf 435°. Großes Er­staunen löste dann aber die einfach zu begründende Tatsache aus, daß trotzdem beim Tetraeder durch fünf Kantenwinkel der sechste bestimmt ist.

Zum Schluß möchte ich noch kurz das Thema »Dreiecksungleichungen« ansprechen. Was ich dazu in unserer Zeitschrift geschrieben habe [4], eignet sich fast nur für den Leistungskurs. Aber etwas läßt sich darüber auch in der Mittelstufe sagen. Sicher kann man die notwendige Bedingung an die Seitenflächen klarmachen: Die größte Seite, als Basis betrachtet, wird von den Projektionen der anderen Seiten über­deckt. Da sich aber solche Flächen bei orthogonalen Projektionen höchstens verkleinern, muß also die größte Seitenfläche kleiner sein als die Summe der drei anderen. Das entspricht der üblichen Dreiecksunglei­chung: die größte Dreiecksseite muß kleiner sein als die Summe der beiden anderen. (Natürlich kann es bei einem Tetraeder mehrere »größte« Seiten geben.) Aus vier Flächenmaßzahlen, die diese Bedingung erfüllen, ein Tetraeder mit entsprechenden Seitenflächen zu konstruieren, ist jedoch eine Aufgabe, für die ich keine Lösung ohne Benutzung der linearen Algebra höherer Klassen anbieten kann.

Wiederum kann man aber auch die Frage noch in einer anderen Weise stellen: Welche Bedingung müs­sen sechs Längenmaßzahlen erfüllen, damit sie als Kantenlängen eines Tetraeders auftreten können? Dies ist im allgemeinen noch schwieriger zu beantwor­ten [4]. Es genügt jedenfalls nicht, daß je drei von ihnen, die sich zu einem Dreieck zusammenschließen

c Abb. 13

sollen, die Dreiecksungleichung erfüllen. Das kann man leicht an einem Bild (Abb. 13) erläutern: Es kann ja vorkommen, daß das größte der entstehenden Drei­ecke größer ist als die Summe der drei anderen! Auf Grund der vorhin diskutierten notwendigen Bedin­gung ist aber ein Tetraeder mit solchen Seiten nicht möglich. Auch eine weitere Überlegung läßt sich schon in der 8. Klasse anstellen. Seien a , b, c , a ' , b' so gegeben, daß sowohl das Tripel (<z, b, c) als auch das Tripel (a\ b\ c) die Dreiecksungleichung erfüllt. Ein Tetraeder wäre dann durch Angabe des an der Kante c anliegen­den Kantenwinkels <pc eindeutig festgelegt (bis auf Ebe­nenspiegelung), und dieser Winkel kann beliebige Werte zwischen 0° und 180° annehmen (Abb. 14). Für die Kantenlänge c' ergibt sich daraus eine un­tere Grenze für <pc -* 0° und eine obere Grenze für <pc 180°. Daß wirklich eine untere Grenze vorliegt, ist anschaulich unmittelbar klar, an der oberen Grenze könnte man zweifeln. Ganz elementare trigonometri­sche Betrachtungen liefern jedoch die Darstellung

c' - k- l - cos (pc

mit k, /eIR + , woran das Monotonieverhalten von d in Abhängigkeit von <pc deutlich wird. Die Verwendung eines Modells von zwei an einer Achse c drehbar ange­brachten Dreiecken macht diese Überlegung wohl für jeden interessierten Schüler anschaulich und verständ­lich.

Damit möchte ich schließen in der Hoffnung, daß Ihnen diese Dinge auch unabhängig von ihrer unter­richtlichen Verwendbarkeit Freude gemacht haben und vielleicht doch die eine oder andere brauchbare Idee dabei war 2.

2 Ich danke Herrn Studiendirektor M . H O F F M A N N für die Gelegenheit, in seiner Klasse 8b am Pestalozzi-Gymnasium in München zu unterrichten, und dem Max-Planck-Institut für Biochemie in Plane'gg-Martinsried für die Mög­lichkeit zur Herstellung dieses Manuskripts.

348 39. JAHRG., 1986 fffgl HEFT 6

¥>C = 0°

Abb

Literatur [1] T. EGGER - R. FRITSCH - K . SEEBACH: Zum Winkel­

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1622. [3] R. FRITSCH: Höhenschnittpunkte für w-Simplizes. -

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. 1 4

veaux Memoires de l'academie royale des sciences et belles-lettres, S. 149-176. - Berlin 1773.

[9] G . MONGE: Sur la pyramide triangulaire. - Correspon-dance sur l'ecole imperiale polytechnique 2/3 (1811) 263-266.

[10] H . TIETZ: Die Raumhöhen des Tetraeders. - M N U 25 (1972) 19-20.

[11] H . TIETZ: Tetraeder mit berührenden Inkreisen. -Math.-Phys. Semesterberichte 21 (1974) 143-144.

[12] C . DE TINSEAU D'AMONDANS: Solution de quelques pro­blemes relatifs ä la theorie des surfaces courbes et des lignes ä double courbure. - Memoires de mathema-tique et de physique presentes . . . scavans 9 (1780) 593-624.

Anschrift des Verfassers: Prof. Dr. R. Fritsch, Math. Institut der Lud­wig-Maximilians-Universität, Theresienstraße 39, 8000 München 2