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Biostatistik, Sommer 2017Folgen, Summen, Exponentialfunktion, Lambert-Beer

Prof. Dr. Achim Klenke

http://www.aklenke.de

2. Vorlesung: 28.04.2017

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http://www.aklenke.de

Inhalt1 Folgen

BegriffsbildungGrenzwerte

2 Summen und ProdukteSummenzeichenProduktzeichen

3 ExponentialfunktionExponentialfunktionenLogarithmusLambert-Beer Gesetz

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Folgen Begriffsbildung

Eine Folge von Zahlen ist...eine Folge von Zahlen a1,a2,a3, . . ..

Beispiele fur Folgen1 1, 1, 1, . . ., an = 1 fur jedes n2 1, −2,4,−8, . . ., an = (−2)n−1 fur jedes n3 1,1,2,3,5,8,13, . . ., a1 = a2 = 1, an+1 = an−1 + an

(Fibonacci Zahlen)4 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . an ist die n-te Primzahl,5 6,3,5,2,3,2,6,1,4,6,5,4, . . .. Wurfelergebnisse

Ein Bildungsgesetz...kann manchmal explizit angegeben werden (1), (2)kann manchmal rekursiv angegeben werden (3)ist manchmal sehr komplex (4)gibt es manchmal nicht (5)

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Folgen Grenzwerte

GrenzwerteWir schreiben a = limn→∞ an, falls sich an fur großes n immer weiteran a annahert.

Beispiele

limn→∞

1n= 0

limn→∞

n2 =∞

limn→∞

2 + 1/n2

3 + 1/n=

23

limn→∞

(−1)n existiert nicht

limn→∞

(1 + 1/n)n = 2.71828 . . . = e (Euler’sche Zahl)

limn→∞

(1 + 3/n)−n =1

limm→∞

(1 + 1/m)3m =1

limm→∞

((1 + 1/m)m)3 =

1/e3 = 0.04978 . . . (mit 3m = n); vergleiche Stausee

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Summen und Produkte Summenzeichen

Summenzeichen

Wir definierenn∑

i=1

ai = a1 + a2 + . . .+ an.

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Beispiel: Arithmetische Summe10∑

i=1

i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.

100∑i=1

i = 1 + 2 + 3 + . . .+ 99 + 100

= (1 + 100) + (2 + 99) + . . .+ (50 + 51)= 50 · 101 = 5050.

Allgemein fur n = 1,2,3, . . .

n∑i=1

i =n(n + 1)

2

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Beispiel: Geometrische Summe/Reihe9∑

i=0

2i = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29

= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512

= 1023 = 210 − 1.

Allgemein istn∑

i=0

ai =an+1 − 1

a− 1.

Fur −1 < a < 1 ist

∞∑i=0

ai =1

1− a.

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Summen und Produkte Produktzeichen

Produktzeichen

Wir definierenn∏

i=1

ai = a1 · a2 · · · an.

Beispiel

1

5∏i=1

(2 + i) = 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 2520

2 n! =n∏

i=1

i = 1 · 2 · 3 · · · n (sprich: ”n Fakultat“)

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Summen und Produkte Produktzeichen

Beispiel: GeburtstagsproblemWie groß ist die Wahrscheinlichkeit p dafur, dass von 23 Leutenmindestens zwei am selben Tag Geburtstag feiern?

1− p = 1 · 364365· 363

365· · · 365− 22

365.

Also ist

p = 1−22∏

i=0

365− i365

.

Taschenrechner:p = 0.5073.

Die Wahrscheinlichkeit dafur, dass mindestens zwei Personenam selben Tag Geburtstag feiern, betragt 50.73%.

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Exponentialfunktion Exponentialfunktionen

Definition der Exponentialfunktionen

Fur a > 0 seifa(x) = ax fur x ∈ R.

Nach den Rechenregeln fur Potenzen ist

fa(0) = 1fa(1) = a

fa(x + y) = fa(x) · fa(y) fur alle x , y ∈ R.

Diese drei Eigenschaften legen die Funktion fa eindeutig fest.

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Asymptotik der Exponentialfunktionen

Fur a > 1 gilt a < a2 < a3 < . . . und

limn→∞

an =∞.

Alsolim

x→∞fa(x) =∞ falls a > 1.

Wegen fa(−x) · fa(x) = fa(−x + x) = fa(0) = 1 istfa(−x) = 1/fa(x). Also gilt

limx→−∞

fa(x) = 0 falls a > 1.

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Exponentialfunktionen fa mit a > 1

−3 −2 −1 0 1 2 3

02

46

810

1.5x

2x

3x

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Asymptotik der Exponentialfunktionen

Fur a < 1 gilt a > a2 > a3 > . . . und

limn→∞

an = 0.

Alsolim

x→∞fa(x) = 0 falls a < 1.

Wie oben gilt

limx→−∞

fa(x) =∞ falls a < 1.

Dies folgt auch aus fa(x) = ax = (1/a)−x = f1/a(−x).

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Exponentialfunktionen fa mit a < 1

−3 −2 −1 0 1 2 3

02

46

810

0.2x

0.5x

0.8x

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Zusammenfassung Exponentialfunktionenfa(x) = ax fur a > 0 und x ∈ R.

Satz (Rechenregeln)fa(0) = 1, fa(1) = afa(x + y) = fa(x) · fa(y)fa(x) = f1/a(−x)

Satz (Asymptotik)Fur a > 1 ist fa monoton wachsend und

limx→∞

fa(x) =∞ und limx→−∞

fa(x) = 0.

Fur a < 1 ist fa monoton fallend und

limx→∞

fa(x) = 0 und limx→−∞

fa(x) =∞.15/32


Euler’sche Zahl

Die Euler’sche Zahl e ist

e =∞∑

n=0

1n!

= 2.718 . . .

Man pruft leicht, z.B. mit dem Taschenrechner, dass

5∑n=0

1n!

=10!

+11!

+12!

+13!

+14!

+15!

= 1 + 1 +12+

16+

124

+1

120= 2.7167.

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Naturliche Exponentialfunktion

Mitexp(x) = ex

bezeichnen wir die naturliche Exponentialfunktion oder kurz dieExponentialfunktion.Wir werden noch sehen, was an dieser Wahl ”naturlich“ ist.

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Exponentialfunktion Logarithmus

Definition des LogarithmusSei a > 1 und y > 0. Wir wollen

fa(x) = ax = y (∗)

nach x auflosen. Wir wissen: ax → 0, falls x → −∞ undax →∞, falls x →∞. Also gibt es eine Losung von (∗).Wir nennen x den Logarithmus von y zur Basis a und schreiben

x = loga(y).

Es gilt alsoaloga(y) = y fur jedes y > 0.

Andererseits ist

loga(ax) = loga(y) = x fur jedes x ∈ R.

Wir sagen, dass loga die Umkehrfunktion von fa ist.18/32


Charakteristische Gleichung

Fur ax = y und ax ′= y ′ ist

loga(y · y ′) = loga(ax · ax ′

)

= loga(ax+x ′

)

= x + x ′

= loga(y) + loga(y′).

Analog wird loga fur 0 < a < 1 definiert.

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Naturlicher Logarithmus

Fur a = e = 2.718 . . . die Euler’sche Zahl nennen wir

ln = log = loge

den naturlichen Logarithmus. Dies ist die Umkehrfunktion zurnaturlichen Exponentialfunktion exp.

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Rechenregeln des Logarithmus

SatzFur x ∈ R und y , z > 0 sowie 0 < a < 1 oder a > 1 gilt

loga(ax) = x, aloga(y) = y

loga(yz) = loga(y) + loga(z)

loga(y) =log(y)log(a)

=ln(y)ln(a)

loga(1) = 0, loga(a) = 1

Fur y ↓ 0 gilt ln(y) ↓ −∞.Fur y →∞ gilt ln(y)→∞.

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Naturlicher Logarithmus ln

−1 0 1 2 3 4

−4

−2

02

4

y

ln((y

))

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Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz

Lambert-Beer Gesetz

��

��

L

I1I0

Kuvette mit Konzentration c, Breite L.Einfallendes Licht I0 (Lux).Ausfallendes Licht I1 = I1(c,L).Anteil:

α(c,L) = I1(c,L)/I0.Wie groß ist α(c,L)? 23/32


Abhangigkeit von der Breite

��

��

��

��

L/2L/2

I1I0

Einfallendes Licht I0 (Lux).Ausfallendes Licht I1 = I0 · α(c,L/2) · α(c,L/2).Anteil:

α(c,L) = α(c,L/2)2.

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��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

L/4 L/4 L/4 L/4

I1I0

Einfallendes Licht I0 (Lux).Ausfallendes Licht

I1 = I0 · α(c,L/4) · α(c,L/4) · α(c,L/4) · α(c,L/4)Anteil:

α(c,L) = α(c,L/4)4.25/32



Allgemein fur x > 0:

α(c,L) = α(c,L/x)x .

Fur x = Lα(c,L) = α(c,1)L.

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Abhangigkeit von der Konzentration

��

��

L

I1I0

��

��

L

I1I0

Kuvette mit Konzentration c, Breite L.Anteil: α(c,L) = I1/I0.Linke Kuvette mit Konzentration 2c, Breite L/2.Rechte Kuvette mit Konzentration 0, Breite L/2.

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��

��

L/2 L/2

I1I0

Linke Kuvette mit Konzentration 2c, Breite L/2.Rechte Kuvette mit Konzentration 0, Breite L/2.

I1 = I0 · α(2c,L/2) · α(0,L/2) = I0 · α(c,L).Also

α(2c,L/2) = α(c,L).28/32



Allgemein fur x > 0:

α(cx ,L/x) = α(c,L).

Mit x = 1/c folgt

α(c,L) = α(cx ,L/x) = α(1, cL) = α(1,1)c L.

α(1,1) =Anteil des Lichtes, der bei einer Dicke von L = 1m undeiner Konzentration c = 1mol/l durchkommt. Setzeε := − log10 α(1,1) ”dekadischer Extinktionskoeffizient“.Dann ist α(1,1) = 10−ε, also

α(c,L) = α(1,1)c L = 10−ε c L.

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I0 = Starke einfallendes LichtI1 = Starke ausfallendes LichtL = Breite der Kuvettec = Konzentration der Losungε = dekadischer Extinktionskoeffizient (Tabelle).

Satz (Lambert-Beer’sches Gesetz)Es gilt

I1 = I0 · 10−εcL.

Oft wird mitE = log10

I0I1

die Extinktion bezeichnet. Es gilt also

E = εcL.

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Photometrie, Beispiel: Tryptophan

Bei einer Wellenlange von 280 nm (UV)absorbiert die aromatische AminosaureTryptophan (Trp). Wir messen die Extinktion

E = log10I0I1

= 0.05.

Kuvettenbreite: L = 1cm.

Wie hoch ist die Trp-Konzentration?

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Photometrie, Beispiel: Tryptophan

Bei einer Wellenlange von 280 nm (ultraviolett) wird eineExtinktion

E = log10I0I1

= 0.05

gemessen.Tabelle:

ε = 5600l

mol cm.

Also ist

c =EεL

=0.05

5600 · 1cmmol cm

l= 8.93 · 10−6mol

l= 8.93µmol/l.

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