DIPLOMARBEITzur Erlangung des Grades Diplom-Kauffrau

Validierung des Personaleinsatzes in einem

Callcenter - Simulation und statistische

Auswertung

Betreuer: Univ.-Prof. Dr. Hans-Jürgen Sebastian

Beratungsassistent: Dipl.-Wirt.-Math. Tobias Winkelkotte

vorgelegt an der

Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen

am

Deutsche Post Lehrstuhl für Optimierung von Distributionsnetzwerken

von: Sabine BeinrothRochusstraße 1852062 Aachen

Matr.-Nr.: 254473Abgabetermin: 16. Dezember 2008

Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis III

Abbildungsverzeichnis IV

Abkürzungsverzeichnis VII

Symbolverzeichnis VIII

1 Einleitung 1

2 Callcenter Management 3

2.1 Callcenter und Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Definition und Aufgaben eines Callcenters . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.2 Personal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3 Aufbau- und Ablauforganisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.4 Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Callcenter Controlling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Personaleinsatzplanung im Callcenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1 Ausrichtungen und Probleme in der Personaleinsatzplanung . . . . . . 19

2.3.2 Weitere Ansätze für die Personaleinsatzplanung . . . . . . . . . . . . . 21

3 Bedienungstheorie 25

3.1 Grundlegendes zu Bedienungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Klassifizierung und Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2 Untersuchungsgegenstand und Entscheidungsproblem . . . . . . . . . 29

3.2 Das Callcenter als Bedienungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1 Stochastische Einflüsse und Wartezeiten im Callcenter . . . . . . . . . 32

3.2.2 Bedienungsmodelle für Callcenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Systeme, Modellbildung und Simulation 38

4.1 Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.1 Grundlegendes zu Systemen: Definition, Systemgrößen und System-

prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

I

4.1.2 Leitwerte eines Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.1 Grundlegendes zu Modellen: Definition und Beurteilung . . . . . . . . 45

4.2.2 Ansätze für die Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.3 Modellgültigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.1 Grundlegendes zur Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.2 Beurteilung und Eignung der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3.3 Werkzeuge zur Entwicklung von Simulationsmodellen . . . . . . . . . 55

5 Ein Callcenter in der Praxis: das System und das Modell 57

5.1 Charakteristik des Callcenters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.1 Aufbau- und ablauforganisatorische Merkmale . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.2 Gestalt der stochastischen Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Vom System zum Simulationsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3 Entwicklung des Modellkonzepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3.1 Das Systemverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3.2 Das Wortmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3.3 Der Wirkungsgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3.4 Validierung des Modellkonzepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4 Umsetzung des Modellkonzepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4.1 Parametrisierung der System- und Umweltgrößen . . . . . . . . . . . . 72

5.4.2 Implementierung in ARENA© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.4.3 Verifikation des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4.4 Validierung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6 Ergebnisse und Auswertungen 79

6.1 Bewertung der Simulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7 Zusammenfassung und Ausblick 93

A Anhang 95

A.1 Empirische Daten und Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

A.2 Daten zum Anrufeingang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

II

A.3 Empirische Daten zu den Bediendauern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A.4 Daten zur Kapazität der Agenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

A.5 Simulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

III

Tabellenverzeichnis

3.1 Beispiele für Bedienungssysteme nach Server-/Warteschlangenklassifizierung . 27

3.2 Kendall-Notation für Warteschlangensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1 Klassifizierungsmöglichkeiten in der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1 Richtung der Wirkungsbeziehungen im Wirkungsgraphen . . . . . . . . . . . . 68

6.1 Bewertungskriterien für die Pfadanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A.1 Empirische Daten für den Auswertungszeitraum pro Tag . . . . . . . . . . . . 95

A.2 Empirische Daten für den Auswertungszeitraum pro Kalenderwoche . . . . . . 96

A.3 Anrufeingang Mai 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A.4 Häufigkeitsverteilung der gemittelten Bedienzeiten . . . . . . . . . . . . . . . 108

A.5 Mittlere Bedienzeiten im Betrachtungszeitraum . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

A.6 Daten zur Agentenkapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

A.7 Simulationsergebnisse pro Tag und Kalenderwoche . . . . . . . . . . . . . . . 121

IV

Abbildungsverzeichnis

2.1 Aspekte des Callcenter Managements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Sechs Schritte in der zielabhängigen Planung des Ressourceneinsatzes . . . . . 5

2.3 Aufgaben im Callcenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Regelkreislauf des Controlling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 Erweiterte Kendall-Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Zufällige Verteilung der Zwischenankunfts- und Bedienzeiten . . . . . . . . . 31

3.3 Zufällige Verteilung der Zwischenankunfts- und Bedienzeiten mit Wartezeiten . 31

3.4 Das Callcenter als Warteschlangensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Das System in schematischer Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Verhaltensbestimmende Prozesse der Systemebenen . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 Leitwerte eines Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4 Die Systemstruktur als Black Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.5 Die Systemstruktur als Glass Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.6 Die Systemstruktur als Grey Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1 Arbeitsablauf im Callcenter aus Agentensicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2 Typische Verteilung des Anrufeingangs pro Woche . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3 Typische Verteilung des Anrufeingangs am Montag . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.4 Typische Verteilung des Anrufeingangs am Dienstag . . . . . . . . . . . . . . 60

5.5 Typische Verteilung des Anrufeingangs am Mittwoch . . . . . . . . . . . . . . 60

5.6 Typische Verteilung des Anrufeingangs am Donnerstag . . . . . . . . . . . . . 61

5.7 Typische Verteilung des Anrufeingangs am Freitag . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.8 Typische Verteilung des Anrufeingangs am Samstag . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.9 Typische Verteilung des Anrufeingangs am Sonntag . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.10 Drei typische Muster des Anrufeingangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.11 Häufigkeiten der mittleren Bedienzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.12 Beziehung zwischen mittlerer Wartezeit und Servicelevel . . . . . . . . . . . . 65

5.13 Beziehung zwischen Auflegerquote und Erreichbarkeit . . . . . . . . . . . . . 65

5.14 Beziehung zwischen mittlerer Wartezeit und Auflegerquote . . . . . . . . . . . 66

V

5.15 Wirkungsgraph des Callcentermodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.16 Qualitative Wirkungsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.17 Grundsätzliche Modellstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.1 Simulation: Servicelevel pro Tag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2 Simulation: Erreichbarkeit pro Tag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.3 Simulation: Vergleich der Verläufe von Erreichbarkeit und Servicelevel . . . . 82

6.4 Simulation: Auflegerquote pro Tag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.5 Simulation: Mittlere Wartezeit pro Tag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.6 Simulation: Anteil Zurückgescheuter pro Tag . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.7 Simulation: Auslastung der Agenten pro Tag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.8 Simulation: Beispielverlauf einer repräsentativen Auslastung . . . . . . . . . . 86

6.9 Simulation: Beziehung zwischen mittlerer Wartezeit und Servicelevel . . . . . 87

6.10 Simulation: Beziehung zwischen Auflegerquote und Erreichbarkeit . . . . . . . 87

6.11 Simulation: Beziehung zwischen Anteil Zurückgescheuter und Erreichbarkeit . 88

6.12 Simulation: Beziehung zwischen mittlerer Wartezeit und Auflegerquote . . . . 89

6.13 Simulation: Beziehung zwischen mittlerer Wartezeit und Anteil Zurückgescheuter 89

6.14 Simulation: Beziehung zwischen Auflegerquote und Servicelevel . . . . . . . . 90

6.15 Simulation: Beziehung zwischen Anteil Zurückgescheuter und Servicelevel . . 90

6.16 Simulation: Beziehung zwischen Agentenauslastung und Servicelevel . . . . . 91

6.17 Simulation: Verlauf des Servicelevels in Kalenderwochen . . . . . . . . . . . . 92

A.1 Beziehung zwischen Servicelevel und Erreichbarkeit . . . . . . . . . . . . . . 96

A.2 Beziehung zwischen Servicelevel und Auflegerquote . . . . . . . . . . . . . . 97

A.3 Beziehung zwischen mittlerer Wartezeit und Erreichbarkeit . . . . . . . . . . . 97

VI

Abkürzungsverzeichnis

ACCPM Analytic Center Cutting-Plane Method

ACD Automatic Call Distribution

ASA Average Speed of Answer

BSC Balanced Scorecard

CTI Computer Telephony Integration

DDI Day Definite International

FCFS First Come, First Served

FTE Full time equivalent

IT Information(s)- und Telekommunikation(s-)

IVR Interactive Voice Response

Kap. Kapazität der Agenten pro Viertelstundenintervall

KW Kalenderwoche

LCFS Last Come, First Served

SBR Skill-Based Routing

Sek. Sekunden

SIPP Stationary Independent Period by Period

VMS Voice Mail Server

Vol. Volumen des Anrufeingangs pro Viertelstundenintervall

VII

Symbolverzeichnis

A Ereignis, dass ein Anrufer auflegt, während er sich in der Warteschlange

befindet

B Ereignis, dass ein Anrufer blockiert wird, bevor er die Warteschlange

betreten kann

E[LQ] Mittlere Anzahl von Anrufern in der Warteschlange

E[Lsys] Mittlere Anzahl von Anrufern im System

E[W ] Mittlere Wartezeit aller Anrufer

E[WA] Wartezeit eines Agenten auf einen Anrufer

E[WQ] Aufenthaltsdauer eines Anrufers in der Warteschlange

E[Wsys] Aufenthaltsdauer eines Anrufers im System

E[W |A] Mittlere Wartezeit der Aufleger

E[W |S] Mittlere Wartezeit bedienter Anrufer

E[W |Z] Mittlere Wartezeit Zurückgescheuter

E[τl] Lösungszeit

E[u] Eine Variante der mittleren Agentenauslastung

E[uPlan] Eine Variante der mittleren Agentenauslastung

E[ue f f ] Eine Variante der mittleren Agentenauslastung

K Maximale Anzahl von Einheiten im System; Anzahl der Telefonleitun-

gen im Callcenter

P(A) Anteil der Aufleger

P(B) Anteil der blockierten Anrufer

P(L) Sofortlösungsquote

P(S) Anteil bedienter Anrufer; Erreichbarkeit

P(W ≤ τ|S) Servicelevel

P(Z) Anteil der Zurückgescheuten

QS Servicequalität

S Ereignis, dass ein Anrufer bedient wird

W Wartezeit eines Anrufers

VIII

W Amax Maximale Wartezeit der Aufleger

W Smax Maximale Wartezeit bedienter Anrufer

Z Ereignis, dass ein Anrufer zurückscheut, während er sich in der Warte-

schlange befindet

β Rate für das Zurückscheuen

δ Warteschlangendisziplinλ

µArbeitslast

λ Anrufeingangsrate

µ Bedienrate

ν Auflegerate

τ Zeit

τq Verweilzeit einer Einheit in der Warteschlange

c Kapazität der Bedienungskanäle; Anzahl der parallel eingesetzten

Agenten im Callcenter

f Zustandsfunktion eines Systems

g Verhaltensfunktion eines Systems

q Anzahl der Wartepositionen in der Warteschlange

t Aktuelle (System-/Modell-) Zeit

u(t) Vektor der Umweltvielfalt

ui ite Umwelteinwirkung aus dem Vektor der Umweltvielfalt u(t)

v(t) Vektor der Verhaltensvielfalt

vi ites Systemverhalten aus dem Vektor der Verhaltensvielfalt v(t)

z Aktueller Systemzustand

z′(t) Vektor der (intermediären) Systemzustände

z(t) Vektor der (zu transformierenden) Systemzustände

z0 Aktueller, nicht durch die Systemstruktur beeinflusster Systemzustand

# Anzahl

IX

1 Einleitung

Zu welchem Zeitpunkt ein Anruf in einem Callcenter eingeht, ist zufallsabhängig und somit

nicht vom Callcenter selbst steuerbar. Seine Leistung kann es jedoch über die Planung der

Mitarbeiterkapazitäten beeinflussen. Auf Grund verschiedener stochastischer Einflüsse ist diese

Planung mit einigen Schwierigkeiten verbunden, sodass Personaldebarf und -angebot i. d. R.

nicht völlig in Einklang gebracht werden können, und daher entweder eine Über- oder Un-

terbesetzung entsteht. Dies führt wiederum dazu, dass das Erreichen festgelegter Zielgrößen

gefährdet wird. In der Praxis ist etwa zu beobachten, dass Mitarbeiter teils über lange Peri-

oden hinweg nur mäßig beschäftigt sind, während sie in anderen Perioden mit einer zu hohen

Arbeitslast konfrontiert werden.

Eine Überbesetzung bedeutet für ein Callcenter eine wirtschaftlich ineffiziente Situation, da

die Kapazität der Mitarbeiter nicht voll ausgeschöpft wird. Eine Unterbesetzung bringt dagegen

zum einen lange Wartezeiten für Anrufer, und zum anderen eine belastende Arbeitssituation

für die Mitarbeiter mit sich. Daher ist es anzustreben, eine aus beiden Blickwinkeln geeignete

Auslastungssituation zu schaffen.

Im Rahmen dieser Arbeit soll die Personaleinsatzplanung eines Callcenters der Deutschen

Post validiert werden. Zu diesem Zweck werden die Prozesse, die auf das Callcenter einwir-

ken und in ihm ablaufen, in einem Simulationsmodell abgebildet. Dieses wird innerhalb der

Simulationssoftware ARENA© implementiert. Die Ergebnisse der Simulation werden schließ-

lich statistisch ausgewertet und interpretiert, sodass sich ggf. Vorschläge für Anpassungen der

Personaleinsatzplanung ableiten lassen.

Die Arbeit ist so gegliedert, dass zunächst theoretische Betrachtungen der Themen Callcen-

termanagement, Bedienungstheorie und Modellbildung und Simulation erfolgen, da jedes der

Themen in Zusammenhang mit der originären Aufgabe der Arbeit zu sehen ist. Der Fokus dieser

Arbeit liegt jedoch in der tatsächlich Entwicklung des Modells, der Simualtion des Callcenters

und den anschließenden statistischen Auswertungen.

Kapitel 2 gibt zunächst eine Einführung in das Thema Callcenter Management. Dort wer-

den die Tätigkeiten innerhalb eines Callcenters beschrieben, die Komponenten eines Callcen-

ters erläutert und verschiedene Organisationsformen angesprochen. Anschließend werden un-

terschiedliche Ansätze des Callcenter Controllings behandelt. Im letzten Teil des Kapitels wird

die Personaleinsatzplanung im Callcenter in Theorie und Praxis andiskutiert. Kapitel 3 gibt

1

einen Überblick über die Bedienungstheorie und ordnet das Callcenter darin ein. Systeme,

Modellbildung und Simulation werden als letzte theoretische Grundlage, vorbereitend für die

Entwicklung des Simulationsmodells, in Kapitel 4 behandelt. Ab Kapitel 5 fließen die vorlie-

genden empirischen Daten des Callcenters mit in die Betrachtung ein. Hier werden zunächst

Struktur und Wirkungszusammenhänge im Callcenter untersucht und in einem Modellkonzept

festgehalten. Anschließend wird das zuvor erarbeitete Konzept innerhalb von ARENA© als Si-

mulationsmodell umgesetzt. Ergebnisse und Auswertungen werden in Kapitel 6 abschließend

dargestellt und analysiert. Zum Schluss wirf in Kapitel 7 die Kernaussage der Ergebnisse knapp

zusammengefasst und Möglichkeiten für weitere Untersuchungen aufgezeigt.

2

2 Callcenter Management

Der Begriff Management umfasst einerseits funktional die Prozesse der Unternehmensleitung

sowie die Planung, Organisation und Kontrolle und andererseits den personellen Zusammen-

schluss derjenigen, die diese Funktionen ausfüllen [Ste05, S. 1]. Analog zu dieser Definition

ist auch der Begriff Callcenter Management mehrdeutig. Er kann sowohl die Planung, Orga-

nisation und Kontrolle unterschiedlicher Abläufe und Beziehungen im Callcenter, z. B. im Be-

reich der Mitarbeiterführung, des Customer Relationship Managements oder der Personalein-

satzplanung, als auch den Personenkreis, der die Funktion inne hat, umfassen. Im Rahmen des

Callcenter Managements soll der Fokus der Betrachtung in dieser Arbeit insbesondere auf der

Personaleinsatzplanung liegen, denn eine Optimierung der Personaleinsatzplanung birgt großes

Kosteneinsparungspotenzial in sich. Die Personalkosten eines Callcenters stellen mit einem An-

teil von 60 bis 70 % an den Gesamtkosten einen erheblichen Kostenfaktor dar, der daher die

Forderung nach einer effizienten Personaleinsatzplanung stellen lässt [Eft98, S. 459].

Auf Grund dieser Fokussierung wird in diesem Kapitel das Callcenter Management disku-

tiert. Ausgehend von der Begriffsdefinition für Callcenter sowie einem Abriss über die Aufga-

ben eines Callcenters zu Beginn des Abschnitts 2.1, wird dort anschließend auf seine Kompo-

nenten, das Personal, die Organisation und die eingesetzte Technik, eingegangen.

Die Messung und Bewertung von Leistungen im Callcenter dient als Handlungsgrundlage

für die Steuerung. Dies kann anhand unterschiedlicher Verfahren geschehen, die in Abschnitt

2.2, mit dem Schwerpunkt auf der Ermittlung von Kennzahlen, erläutert werden.

Schließlich wird in Abschnitt 2.3 die Personaleinsatzplanung in der Praxis auszugsweise mit

ihren Problemen veranschaulicht sowie mehrere Ansätze für eine solche Planung aufgezeigt.

2.1 Callcenter und Management

2.1.1 Definition und Aufgaben eines Callcenters

Ein Callcenter ist eine „spezialisierte Kommunikations-Zentrale“. Dort werden telefonische Ge-

spräche vor allem mit Kunden, Interessenten oder Lieferanten eines Unternehmens geführt.

Dies geschieht mit dem Ziel, einen Service gemäß den Erwartungen des Gesprächspartners und

den Zielen des Unternehmens zu erbringen. Die dort ausgeführten Tätigkeiten werden i. d. R.

durch den Einsatz von Informations- und Telekommunikations- (IT) Technologien unterstützt

3

[HB02, S. 9]. Diese Abgrenzung soll als enge Definition eines Callcenters bezeichnet werden.

Wenn das Personal sich bei der Ausführung seiner Aufgaben nicht nur auf das Annehmen oder

Ausführen von Telefonaten beschränkt, sondern sich auch weiterer Kommunikationskanäle, wie

E-Mail, Fax, Internet, Chat oder anderer bedient, so wird die Kommunikations-Zentrale genau

genommen nicht mehr als Callcenter, sondern als Contactcenter bezeichnet [KM02, S. 42]. Da

diese Abgrenzung weiter gefasst ist als die obige, soll sie weite Definition eines Callcenters

genannt werden.

Callcenter der engen Definition existieren kaum noch, da das Nutzen verschiedener Kom-

munikationskanäle für Anrufer und Callcenterbetreiber grundsätzlich vorteilhaft ist. Kunden

können z. B. ihr Anliegen per E-Mail an das Callcenter richten, wenn sie etwa nicht bereit

sind, eine kostenpflichtige Servicerufnummer zu wählen oder den schriftlichen Kontakt bevor-

zugen. Der Vorteil der Nutzung mehrerer Kommunikationskanäle für den Callcenterbetreiber

liegt darin, dass sich eine Lastenverteilung ergeben kann. Anrufe sollten möglichst unmittelbar

nach Eingang im Callcenter bedient werden, andernfalls wird der Anrufer eventuell auflegen.

Für E-Mails gilt dies nicht. Sie können auch in Zeiten niedrigen Anrufeingangs beantwortet

werden [HS04, S. 140]. Im Folgenden wird die begriffliche Differenzierung zwischen Call- und

Contactcenter daher vernachlässigt und von der weiten Definition ausgegangen.

Der Begriff Callcenter Management beschreibt die Tätigkeit einer zielgerichteten Kombi-

nation der Komponenten eines Callcenters und kann deshalb wie folgt definiert werden [WK99,

S. 29]:

„Erfolgreiches Call Center Management ist [...] die Kunst, Personal, Technik und

Organisation in [sic] Call Center so aufeinander abzustimmen, daß [sic] die richti-

ge Anzahl von Mitarbeitern zum richtigen Zeitpunkt am Telefon verfügbar ist, um

eine gezielt vorhergesagte Anzahl von eingehenden Gesprächen kompetent, kunde-

norientiert und verbindlich zu beantworten.“

Diese Definition lässt sich wie in Abbildung 2.1 darstellen. Aus dem Fundament des Callcenter

Managements gehen parallel die Säulen Personal, Organisation und Technik hervor. Dies sind

die grundlegenden Elemente, die das Callcenter dazu befähigen, im Rahmen der festgelegten

Ziele erreichbar zu sein und den oben beschriebenen Service anzubieten.

Die Definition fokussiert zwei wesentliche Ziele. Das erste Ziel ist, den Ressourceneinsatz sinn-

voll zu planen, und das zweite, ein definiertes Leistungsziel zu erbringen. Insbesondere um

4

Abbildung 2.1: Aspekte des Callcenter ManagementsQuelle: In Anlehnung an WK99, S. 30

ersteres zu erreichen, ist einem systematischen Planungs- und Managementprozess zu folgen.

Dieser kann in sechs Stufen gegliedert werden [Cle08, S. 6 ff.]:

1. Festlegung des Zielanteils der Anrufer, die innerhalb einer bestimmten Zeit bedient wer-

den sollen,

2. Bestimmung der Zielantwortzeit für sonstige Kommunikation,

3. Prognose der voraussichtlichen Arbeitslast pro Planungsintervall,

4. Berechnung des notwendigen Ressourceneinsatzes unter Berücksichtigung der Ergebnis-

se aus den Schritten 1-3,

5. Erstellen des Einsatzplanes,

6. Ermittlung der aus dieser Planung entstehenden Kosten und ggf. Anpassung der Ziele.

Diese sechs Schritte sind als Kreislauf in Abbildung 2.2 dargestellt.

Abbildung 2.2: Sechs Schritte in der zielabhängigen Planung des RessourceneinsatzesQuelle: In Anlehnung an Cle08, S. 6

5

Die sinnvolle Planung des Ressourceneinsatzes ist eine Voraussetzung dafür, einen effizienten

Service zu erbringen. Kompetenz, Verbindlichkeit und Kundenorientierung erfordern jedoch

ebenso eine qualitative Ausrichtung des Callcenter Managements. Nur so können Kundenzu-

friedenheit erreicht und Wettbewerbsvorteile für das Unternehmen realisiert werden.

Viele Branchen nutzen Callcenter, um Dienstleistungen zu erbringen. Das Callcenter ist

somit lediglich Instrument und keine eigenständige Branche. Ein Einsatz ist vor allem in den

Branchen Touristik, Finanzdienstleistungen, Verlagswesen, Versandhandel und Telefongesell-

schaften zu beobachten [MT99, S. 16]. In Deutschland beschäftigt ein kleines Callcenter i. d. R.

zwischen 15 und 20 Mitarbeiter, in der Direktbankenbranche liegt die Mitarbeiteranzahl ge-

wöhnlich zwischen 80 und 100, und Callcenter im Versandhandel unterhalten bereits 300 bis

500 Arbeitsplätze. Eine bestimmte Anzahl Beschäftigter ist jedoch keine notwendige Voraus-

setzung für die Klassifizierung einer Kommunikations-Zentrale als Callcenter, denn sobald IT-

Technologien zur Unterstützung der Aufgaben zielgerichtet eingesetzt werden können und wer-

den, kann bereits von einem Callcenter gesprochen werden [Kru98, S. 16].

2.1.2 Personal

Die Beschäftigten des Callcenters, die so genannten Agenten, sind seine zentrale nicht-technische

Komponente. Sie sind räumlich von ihrem Gesprächspartner getrennt, sodass die von ihnen er-

brachte Dienstleistung als Tele-Dienst zu klassifizieren ist [HS04, S. 3]. Sie können über zwei

Merkmale beschrieben werden: ihre Qualifikation und ihre zeitliche Verfügbarkeit. Bezüglich

der Qualifikation kann unterschieden werden, ob ein Agent überhaupt qualifiziert ist, eine be-

stimmte Anruferklasse zu bedienen, und wie hoch seine Qualifikation für die Bedienung dieser

Anruferklasse ist [HS04, S. 7]. Die zeitliche Verfügbarkeit hängt von der festgelegten Arbeits-

zeitregelung des Agenten und dessen allgemeinem Arbeitsvertragsverhältnis ab. Darunter zäh-

len das Schichtsystem, in dem das Callcenter operiert (von einschichtig bis zu 24 Stunden täg-

lich), Teil- oder Vollzeitbeschäftigung, variable Arbeitszeiten nach Kapazität des Agenten und

nach Bedarf des Callcenters, sowie die Vereinbarung von Bereitschaftszeiten [HB02, S. 64]. In-

haltlich reicht der Aufgabenkatalog der Agenten von simplen Aufgaben, wie der Erteilung von

Auskünften oder der Bestellannahme, über anspruchsvollere Funktionen, wie die einer umfas-

senden Kundenbetreuung, die auch strategische Aspekte umfassen kann, bis hin zu komplexen

Tätigkeiten, wie z. B. einer Beratung durch hochqualifizierte Fachkräfte [HB02, S. 32 f.].

6

2.1.3 Aufbau- und Ablauforganisation

I. d. R. ist ein Callcenter räumlich in zwei Bereiche aufgeteilt: Das Front-Office und das Back-

Office. Der erste Kontakt zwischen Anrufer und Agenten kommt typischerweise im Front-Office

zustande. Dies ist der Bereich der Telefonarbeitsplätze, in dem die telefonische Abwicklung der

Gespräche im Vordergrund steht. Im Back-Office werden i. A. andere Aufgaben ausgeführt, wie

z. B. der Versand von Unterlagen oder das Tätigen von Überweisungen [WK99, S. 10].

Grundsätzlich ist zwischen zwei Betriebsarten eines Callcenters zu unterscheiden: dem In-

bound-Betrieb und dem Outbound-Betrieb. Bei beiden Betriebsarten erfolgt die Kommunika-

tion jeweils nur in eine Richtung. Der Inbound-Betrieb ist durch von außen eingehende Kom-

munikation gekennzeichnet, während der Outbound-Betrieb durch vom Callcenter ausgehende

Kommunikation charakterisiert ist. Neben den beiden Reinformen der Betriebsarten operieren

Callcenter häufig in einer Mischform aus Inbound- und Outbound-Betrieb, bei der sowohl Kom-

munikation von außen im Callcenter ein-, als auch von dort ausgeht [HS04, S. 6 f.].

Die zuvor diskutierte Unterscheidung in Inbound- und Outbound-Betrieb sowie Front- und

Back-Office mit den jeweils damit verbundenen Tätigkeiten wird in Abbildung 2.3 illustriert.

Abbildung 2.3: Aufgaben im Callcenter

Im Front-Office werden von den Agenten vorwiegend In- und Outbound-Gespräche abgewi-

ckelt. Ein deutlich geringerer Anteil der Kommunikation sind z. B. E-Mails, Faxe, sonstiger

Schriftverkehr usw. Anrufer, deren Anliegen im Front-Office nicht bedient werden können, wer-

den an das Back-Office weitergeleitet. Dabei kann es sich um schwierige Gespräche oder spe-

ziellere Anliegen handeln, die bspw. eine weiterreichende Entscheidungskompetenz erfordern.

Zudem können hier an das Gespräch anschließende Tätigkeiten in der Nachbearbeitung erledigt

werden. Die im Back-Office bearbeitete Inbound-Kommunikation beinhaltet keine Gespräche,

es sind jedoch Outbound-Gespräche möglich, wenn bspw. ein Rückruf vereinbart wurde. Wei-

tere Tätigkeiten ergeben sich je nach dem Zweck des Callcenters.

7

Die Agenten eines Callcenters müssen sich nicht zwingend räumlich an einem einzigen

Standort befinden. Werden sie über eine gemeinsame Telekommunikationsanlage über meh-

rere Standorte hinweg miteinander verbunden, so wird dieser Zusammenschluss als virtuelles

Callcenter bezeichnet [HS04, S. 3].

Abhängig von unterschiedlichen Faktoren muss ein Unternehmen entscheiden, ob es den

Service unternehmensintern, in einem so genannten Inhouse Callcenter, selbst erbringt oder ob

es die Leistungserbringung fremdvergibt. Zu diesen Faktoren zählen das Erfordernis spezifi-

scher Kenntnisse der Agenten, die Komplexität der Schnittstellen zu anderen Leistungsprozes-

sen des Unternehmens oder die Notwendigkeit, einen Wissensabfluss zu verhindern [HS04, S.

4]. Entscheidet sich das Unternehmen für eine Fremdvergabe, so kommen unternehmensorien-

tierte oder marktorientierte Callcenter in Frage.

Unternehmensorientierte Callcenter sind i. d. R. Inbound-Callcenter. Sie erbringen aus-

schließlich Dienstleistungen, die in irgendeiner Weise an ein einziges Unternehmen bzw. einen

Konzern gebunden sind. Der Vorteil eines unternehmensorientierten Callcenter ist darin zu se-

hen, dass strategisch wichtige Kundendaten und -kontakte innerhalb des Unternehmens bleiben.

Gleichzeitig gelten die tariflichen Regelungen des Konzerns i. d. R. nicht für Tochterunterneh-

men, sodass an dieser Stelle Kostensenkungspotenziale entstehen [BV99, S. 263].

Marktorientierte Callcenter hingegen sind eigenständige Dienstleistungsunternehmen. Sie

übernehmen für mehrere Unternehmen die Leistungserbringung und eignen sich daher eher

für die Übernahme weniger komplexer und sensibler Aufgaben, die durch einen standardisier-

ten Arbeitsablauf abgewickelt werden können. Vorwiegend sind sie Callcenter im Outbound-

Betrieb [BV99, S. 264].

Eine Fremdvergabe muss allerdings nicht die gesamte Leistungserbringung betreffen. So

kann eine aufgabenorientierte, kapazitätsbedingte oder zeitabhängige Fremdvergabe gewählt

werden. Bei der aufgabenorientierten Fremdvergabe werden nur bestimmte, z. B. leicht stan-

dardisierbare und unregelmäßig wiederkehrende Aufgaben an den Dienstleister übertragen.

Die Überlast, die bei Spitzenbelastungen entsteht, und allgemein über den ganzen Betriebs-

zeitraum nicht bedienbare Anrufvolumina können über die kapazitätsbedingte Fremdvergabe

vom Dienstleister übernommen werden. Bei der zeitabhängigen Fremdvergabe werden alle zu

einer bestimmten Zeit, bspw. nachts, anfallenden Anfragen an den Dienstleister weitergeleitet.

So werden insbesondere Volumina, die in unwirtschaftlichen Zeiten mit geringer Agentenaus-

lastung entstehen, und die, in denen ggf. keine Betriebserlaubnis vorliegt, fremdvergeben. Wird

8

die gesamte erstmalige Anrufannahme von einem Dienstleister abgewickelt, so wird dies als

Front-Office-Outsourcing bezeichnet. Nur die unter Umständen nötige Nachbearbeitung oder

Weiterverfolgung im Back-Office verbleibt dann im Unternehmen [Hah99, S. 134 f.].

Callcenter können auch nach ihrer wirtschaftlichen Form klassifiziert werden. Liegt der Fo-

kus der finanziellen Zielsetzung innerhalb einer Periode auf dem erzielten oder zu erzielenden

Erfolg des Callcenters, so ist es als Profit-Center einzuordnen. Eine kostenminimale Ausrich-

tung definiert das Callcenter als Cost-Center [ABH05, S. 2 f.].

2.1.4 Technik

Die zentrale technische Komponente eines Callcenters ist die IT-Anlage. Sie ermöglicht zum

einen die Kommunikation des Agenten mit seinem Gesprächspartner und fasst zum anderen

Agenten verschiedener Standorte, falls solche existieren, in einem virtuellen Callcenter zu-

sammen. Weiterhin ist sie die Schnittstelle zu anderen Leistungsprozessen des Unternehmens

[HS04, S. 7]. Die gängigsten technischen Komponenten sind die folgenden:

• Telefonleitungen,

• Automatic Call Distribution,

• Interactive Voice Response,

• Computer Telephony Integration,

• Queue Jockey,

• Voice Mail Server,

• Automatische Wählanlage,

• Weitere Kommunikationskanäle,

• Software.

Die Anzahl der Telefonleitungen bestimmt die Anzahl der gleichzeitig möglichen Telefonver-

bindungen mit dem Callcenter. Sind alle Leitungen durch aktive oder wartende Gespräche be-

legt, kann keine weitere Verbindung aufgebaut werden.

Die Automatic Call Distribution (ACD)-Anlage ist die Schnittstelle zwischen Anrufern, Te-

lefonleitungen und Agenten, denn sie übernimmt die Verteilung der Inbound-Gespräche. Diese

werden ggf. in eine Warteschlange eingereiht und nach festgelegten Regeln den Agenten zuge-

wiesen. Des Weiteren ist auch eine Zuordnung von Agenten zu Anrufern anhand der Fähigleiten

der Agenten möglich (sog. Skill-Based Routing (SBR)) [HS04, S. 8]. Darüber hinaus kann eine

9

ACD-Anlage Daten, wie das Anrufaufkommen, Warte- und Bedienzeiten, Raten blockierter und

abgebrochener Anrufe oder Auslastung von Agenten, speichern. Diese Daten sind für Analysen

der Leistung des Callcenters und auch für Prognosen zukünftigen Anrufaufkommens nützlich

[HS04, S. 8].1

Ein Interactive Voice Response (IVR)-System verwendet eine Technologie, bei der der An-

rufer entweder über eine Eingabe an der Telefontastatur oder über eine Spracheingabe mit dem

System kommuniziert. Dieser Dialog zwischen Anrufer und System kann entweder ausschließ-

lich sein, sodass kein Gespräch zwischen Anrufer und Agent entsteht, oder vor- bzw. nachge-

schaltet zum Gespräch mit dem Agenten [Kru98, S. 22]. Ob ein IVR-System eingesetzt werden

kann, hängt stark davon ab, wie gut das Anliegen eines Anrufers über die Menüpunkte des

Systems klassifiziert und somit abgefragt werden kann. Zusätzlich kann ein solches System

auf Ablehnung beim Anrufer stoßen, wenn es als zu unpersönlich empfunden wird. Unter der

Voraussetzung der effizienten Menügestaltung und der Akzeptanz durch den Anrufer birgt der

Einsatz eines IVR-Systems dagegen erhebliches Rationalisierungspotenzial [WK99, S. 137].

Mit Unterstützung durch ein Computer Telephony Integration (CTI)-System wird die Ruf-

nummer des Anrufers erkannt und der Agent, der den Anruf zugestellt bekommt, erhält gleich-

zeitig die gesammelten Daten zum Anrufer aus der Kundendatei auf seinem Computerbild-

schirm angezeigt [KM02, S. 43].

Ein Queue Jockey wird dazu eingesetzt, die Länge der Warteschlange, in der sich der An-

rufer befindet, erkennbar zu machen. Dies geschieht entweder in Form einer sich ggf. wieder-

holenden Ansage über die Anzahl der Anrufer, die sich noch vor dem aktuellen Anrufer in der

Warteschlange befinden, oder über die Ansage der voraussichtlichen Wartezeit bis zur Bedie-

nung. Für Callcenter, die einen Queue Jockey einsetzen, kann festgestellt werden, dass sich das

Auflegeverhalten der Anrufer von denen ohne Queue Jockey unterscheidet. Ein Anrufer, der

seine Warteposition kennt, entscheidet i. d. R. direkt zu Beginn der Wartezeit, ob seine Warte-

zeittoleranz ein Warten bis zum Bedienzeitpunkt zulässt [Cle08, S.36 f.].

Ist in der IT-Anlage ein Voice Mail Server (VMS) integriert, haben Anrufer die Möglichkeit,

eine Nachricht zu hinterlassen, wenn gerade kein Agent erreichbar ist. Sinnvoll ist der Einsatz

eines VMS vor allem dann, wenn das Anrufaufkommen im Tagesverlauf stark schwankt und

die Agenten deshalb zu Zeiten hohen Anrufaufkommens nur von wenigen Anrufern erreicht

werden können. Ist die Auslastung der Agenten permanent sehr hoch, macht der Einsatz ei-

1Vgl. hierzu Kapitel 6. Dort wird eine Analyser der Leistung eines Callcenters auf Basis eben solcher Datendurchgeführt.

10

nes VMS wenig Sinn, denn die Agenten werden dann wahrscheinlich nicht dazu kommen, die

Nachrichten abzuhören. Unter Umständen ist das Anliegen eines Anrufers bei Abhören einer

Nachricht auch nicht eindeutig zu erkennen, sodass dies einen größeren Aufwand verursacht als

ein direktes Gespräch [HS04, S. 8].

Für den Outbound-Betrieb eines Callcenters erweist sich eine Automatische Wählanlage

als nützlich. Durch ihren Einsatz werden Fehleingaben der Rufnummern verhindert und die

Auslastung der Agenten gesteigert [ HS04, S. 8 f.; Kru98, S. 22].

Zur Unterstützung der Arbeitsabläufe und Prozesse können im Callcenter verschiedene

Softwares eingesetzt werden. Dazu zählt Kontaktmanagement-, Workflowmanagement- oder

Wissensmanagement-Software. Kontaktmanagement-Software unterstützt den Agenten über den

gesamten Prozess der Vorgangsbearbeitung, von der Annahme bis zum Abschluss, indem ver-

schiedenste Daten, wie Stammdaten, Marketingdaten, Verkaufs-, Kontakt- oder Beschwerde-

historie, oder auch Gesprächsleitfäden zur Verfügung gestellt werden. Eine Workflowmanage-

ment-Software soll den Ablauf eines Vorgangs effizient leiten, sodass Kundenanforderungen

verbindlich und zur Zufriedenheit des Kunden erfüllt werden. Hierzu zählt z. B. auch eine Or-

ganisation der Arbeitsabläufe in der Form, dass Vorgänge verfolgt und deren Status jederzeit

abgerufen werden kann. Wissensmanagement-Software dient zur Identifikation, Sammlung, Ar-

chivierung und Aufbereitung von Informationen in einer Datenbank, auf die die Agenten im

Problemlösungsprozess zugreifen können [WK99, S. 141 ff.].

2.2 Callcenter Controlling

Controlling vereint Konzepte aus dem Rechnungswesen sowie informations- und koordina-

tionsorientierte Funktionen. So erweitert es das betriebliche Rechnungswesen um eine zukunfts-

orientierte Perspektive. Darüber hinaus leistet es die Koordination zwischen Informationsver-

wendungs- und -versorgungssystemen des Unternehmens und übt eine Beratungs- und Unter-

stützungsfunktion aus, indem es die Bereitstellung von Informationen sicherstellt. Schließlich

versucht es eine zielorientierte Lenkung der gesamten Unternehmensprozesse durch die Vernet-

zung von Ziel-, Planungs-, Kontroll- und Informationsversorgungssystemen zu schaffen [Ste05,

S. 10 ff.].

Auch im Callcenter dient Controlling der effektiven Steuerung, Überwachung und Verbes-

serung der Leistungen, sodass es eines der wesentlichen Ziele des Callcenter Managements,

11

nämlich das der Erbringung einer definierten Leistung, unterstützt. Innerhalb des Controllings

werden Unternehmensziele in operativ messbaren Größen ausgedrückt, die als Handlungs-

grundlage für das Callcenter Management fungieren. Dazu bedient sich das Controlling ver-

schiedener Ansätze.

Erstens kann Controlling als Regelkreislauf begriffen werden. Dieser besteht zunächst aus

Zieldefinition, Bewertung der Ziele und der Analyse der Zielerreichung. Bei Nichterreichen von

Zielen werden Handlungsempfehlungen für das Callcenter Management gegeben, um schließ-

lich das Erreichen der ggf. angepassten Ziele zu gewährleisten. Zu den im Regelkreislauf de-

finierten Zielen zählen bspw. Budgets oder Kennzahlen. Management ist ein kontinuierlicher

Prozess, sodass sich nach der Zielerreichung die Definition neuer Ziele anschließt. Der Regel-

kreislauf beginnt von vorn [WK99, S. 147 f.]. Abbildung 2.4 zeigt einen solchen Regelkreislauf.

Abbildung 2.4: Regelkreislauf des Controlling

Das Budgetierungsverfahren ist als weiterer Controllingansatz bekannt. Mit Hilfe dieses Verfah-

rens soll die zukünftig mögliche Leistung des Callcenters dargestellt werden. Ein festgelegtes

Umsatzziel bestimmt das Budget des Callcenters. Die Aufwendungen, die nötig sind, um das

Ziel zu erreichen, werden ihm gegenübergestellt und für die einzelnen Posten, wie Kosten für

Personal, Hard- und Software, Raummieten etc. quantifiziert. Abweichungen der Ist- von der

Sollbudgetierung bieten Handlungsansätze für das Callcenter Management [WK99, S. 148 f.].

Eine umfassende und somit aussagekräftige Analyse und Bewertung der Leistung eines

Callcenters vereint die Erhebung quantitativer wie auch qualitativer Größen. Dies führt zu ei-

nem dritten Ansatz des Controlling, dem Controlling durch Kennzahlen. Hierbei können etwa

Ertrags-, Effizienz- oder Qualitätskennzahlen bestimmt werden, die gewöhnlich aus der Sum-

me einzelner Kennzahlen gebildet werden. Für ein Kennzahlencontrolling sind zunächst die zu

messenden Zielgrößen und deren Vergleichswerte zu definieren, sowie Ursache-Wirkungs-Be-

12

ziehungen der Größen zu bestimmen. Vergleichswerte können aus Vergangenheitsdaten, Plan-

oder Sollwerten, und internen sowie externen Benchmarks stammen. Messinstrumente und

-quellen sind zu benennen und für die Ermittlung der Kennzahlen zu verwenden. Aus der Ana-

lyse der Abweichungen der Kennzahlen von den Vergleichswerten kann das Callcenter Mana-

gement unter Beachtung der Ursache-Wirkungs-Beziehungen wiederum Handlungsvorschläge

ableiten. Je nach Quelle der Vergleichswerte besitzt die Analyse eine unterschiedlich hohe Aus-

sagekraft. Vergleichswerte aus Vergangenheitswerten lassen z. B. nur Aussagen über ein An-

steigen oder Absinken der Kennzahlen im Zeitverlauf zu. Plan- und Sollwerte sind zumindest

für die interne Leistungsbetrachtung nützlich. Interne und externe Benchmarks ermöglichen die

weit reichendsten Aussagen. Generell können Kennzahlen in quantitative und qualitative Grö-

ßen eingeteilt werden. Die Messung quantitativer Kennzahlen ist i. d. R. eindeutig möglich.

Viele Kennzahlen können z. B. direkt von der ACD-Anlage in geeigneter Form ausgegeben

werden [WK99, S. 149 ff.].

Controlling, gleichgültig nach welchem Ansatz, sollte verschiedene Perspektiven vereinen,

da je nach Blickwinkel andere und auch miteinander konkurrierende Ziele definiert werden

müssen. Ein profundes Controlling führt diese Perspektiven zusammen und gewährleistet über

die Berücksichtigung der einzelnen Ziele die Gesamtzielerreichung. Für das Callcenter Control-

ling sollte eine Unternehmens-, Kunden- und Mitarbeiterperspektive einbezogen werden [ST06,

S. 5].2

Im Weiteren soll der Fokus speziell auf dem Controlling mit Hilfe von operativen Kennzah-

len aus der Unternehmens- und Kundenperspektive liegen, jedoch soll auch die Mitarbeiterper-

spektive nicht völlig vernachlässigt werden.

Meist ist das Erreichen eines bestimmten Servicelevels das primäre Ziel. Der Servicelevel

wird durch die bedingte Wahrscheinlichkeit P(W ≤ τ|S) beschrieben, dass die Wartezeit eines

bedienten Anrufers, eine Dauer von τ Zeiteinheiten nicht überschreitet [Cle08, S. 48].3 Daraus

ergibt sich bspw. die Anforderung, 80 % der Anrufer nach einer Wartezeit von höchstens 20

2Eine Ausrichtung auf strategisch-operatives Callcenter Management, die die zuvor genannten drei Ansätze ver-eint, leistet bspw. ein auf das Callcenter ausgerichtetes Balanced Scorecard (BSC) Konzept, das strategischeUnternehmensziele, aber auch die Perspektive des Kunden und des Mitarbeiters berücksichtigt. Für jede Per-spektive werden dabei Kennzahlen definiert, Wechselwirkungen zwischen Kennzahlen der einzelnen Perspekti-ven untersucht, Sollwerte für Kennzahlen festgelegt und deren Erreichen in einer Abweichungsanalyse geprüft.Bei Abweichungen zwischen Soll- und Istwerten werden ggf. Steuerungsmaßnahmen eingeleitet oder Ziele neudefiniert. Die Ergebnisse werden schließlich dem strategischen Management zur Verfügung gestellt [ST06, S.149 f.].

3In P(W ≤ τ|S) wird mit W die Wartezeit bezeichnet und mit S das Ereignis, dass ein Anrufer bedient wurde,also den Service erhalten hat.

13

Sekunden zu bedienen, kurz als 80/20-Servicelevel ausgedrückt. Für die maximale Wartezeit

der übrigen 20 % der Anrufer wird hierbei kein Wert festgelegt, sodass für diese 20 Sekunden

weit überschritten werden können.

Soll bei der Leistungsmessung der Servicelevel als Zielgröße verwendet werden, so ist der

sinkende Grenznutzen eingesetzter Agenten zu berücksichtigen. Verbesserungen des Service-

levels sind zunächst mit jedem zusätzlich eingesetzten Agenten relativ hoch, nehmen aber mit

steigendem Serviclevel stetig ab, sodass ein kritisches Abwägen der Kosten für jede weitere

Verbesserung des Servicelevels nötig ist [Cle08, S. 182].

Für die Kennzahl Servicelevel sind in der Praxis allgemein vier unterschiedliche Berech-

nungsalterativen bekannt:

Innerhalb von τ Sek. bediente Anrufe + Innerhalb von τ Sek. abgebrochene AnrufeGesamte bediente Anrufe + Gesamte abgebrochene Anrufe

(2.1)

Innerhalb von τ Sek. bediente AnrufeGesamte bediente Anrufe

(2.2)

Innerhalb von τ Sek. bediente AnrufeGesamte bediente Anrufe + Gesamte abgebrochene Anrufe

(2.3)

Innerhalb von τ Sek. bediente AnrufeGesamte bediente Anrufe + Innerhalb von τ Sek. abgebrochene Anrufe

(2.4)

Die Berechnung nach 2.1 berücksichtigt alle Anrufe, also bediente sowie abgebrochene, sodass

sie als aussagekräftig erachtet wird. Innerhalb von τ Sekunden abgebrochene Anrufe beeinflus-

sen den Servicelevel hierbei in positiver Weise. Eine Beschränkung auf die bedienten Anrufe

liegt in der Berechnung nach 2.2. Da Abbrüche völlig außer Acht gelassen werden, ist diese

Methode nicht zu präferieren. Wird die Berechnungsmethode nach 2.3 angewandt, wirken sich

abgebrochene Anrufe negativ auf den Servicelevel aus. Sie wird als zweckmäßig angesehen,

wenn Anrufer, bevor ihre Wartezeit beginnt, über eine Ansage informiert werden, dass War-

tezeiten auftreten können.4 Bei der Berechnung nach 2.4 beeinflussen abgebrochene Anrufe

den Servicelevel nur, wenn sie innerhalb der festgelegten Zeit von τ Sekunden auftreten. Diese

4Ein Teil der Anrufer legt typischerweise direkt auf, wenn er feststellt, dass er warten muss [Cle08, S. 238 f.].

14

Methode wird, ebenso wie die Berechnung nach 2.1, als angemessen eingeschätzt [Cle08, S.

53].

Der Servicelevel als zentrale Zielgröße muss sorgfältig gewählt werden, denn er ist ein kon-

kretes Ziel und nicht etwa eine wünschenswerte Zielvorstellung, die zwar angestrebt wird, aber

niemals erreicht werden kann, da z. B. die nötigen Rahmenbedingungen fehlen. Ein geeigneter

Servicelevel ist auf die Erwartungen der Anrufer abgestimmt, hält den Auflegeranteil auf einem

angemessenen Niveau, beschränkt die Überlastung der Agenten, minimiert Kosten, maximiert

Erträge und ist mit dem Management abgestimmt. Natürlich können nicht alle dieser Aspekte

gleichzeitig vollständig realisiert werden, sodass eine umsetzbare Kombination gefunden wer-

den muss [Cle08, S. 56 ff.].

Alternativ zum Servicelevel kann die mittlere Wartezeit bedienter Anrufer, ausgedrückt

durch den Erwartungswert der bedingten Wahrscheinlichkeit E[W |S] (auch engl.: Average Speed

of Answer (ASA)) berechnet werden.5 Vorsicht ist bei der Interpretation dieser Kennzahl gebo-

ten, denn der Wert liegt i. d. R. nicht in der Mitte der Daten, sodass er nicht als eine repräsen-

tative Antwortzeit bezeichnet werden kann. Die reale Verteilung der Antwortzeiten ist häufig

linksschief, sodass für einige Anrufer deutlich längere Antwortzeiten zutreffen. Im Allgemei-

nen besitzt deshalb der Servicelevel eine höhere Aussagekraft [Cle08, S. 50 ff.].

Neben dem Servicelevel und der mittleren Wartezeit bedienter Anrufer sind jedoch auch

andere Größen interessant, da sie im Callcenter Controlling entweder als alternative Zielgrö-

ße oder als Nebenbedingung berücksichtigt werden können. Hierfür existiert eine Vielzahl von

Kennzahlen, die nicht erschöpfend betrachtet werden kann, da je nach Analyse- und Bewer-

tungsziel immer weitere Größen definiert werden können [Cle08, S. 256]. Zu diesen Größen

zählen die Erreichbarkeit des Callcenters P(S), die Anteile der Anrufer, die auflegen, zurück-

scheuen oder blockiert werden, P(A), P(Z) und P(B), die mittleren Anzahlen von Anrufern in

der Warteschlange E[LQ] und im System E[Lsys] und die mittlere Auslastung der Agenten E[u].6

Betrachtet werden auch die maximalen Wartezeiten Bedienter bzw. Auflegender, in dieser Ar-

beit mit W Smax respektive W A

max bezeichnet [HS04, S. 19 f.; Cle08, S. 249 ff.].

Die Erreichbarkeit P(S) ist als das Verhältnis aus tatsächlich bedienten zu eingegangenen Anru-

5Der Terminus ASA ist auch in der deutschsprachigen Literatur, wie etwa bei ST06 oder WK99, gebräuchlich.6A ist das Ereignis Auflegen, Z steht für das Ereignis Zurückscheuen, und mit B wird das Ereignis des Blockierensbezeichnet. In E[LQ] steht das Q für Warteschlange (engl. Queue), während der Index sys in E[Lsys] für Systemsteht. u bezeichnet in E[u] Auslastung (engl.: utilisation).

15

fen definiert. Anders ausgedrückt, ist sie also die Wahrscheinlichkeit, dass ein Anrufer bedient

wird.

Zurückscheuen im eigentlichen Sinne bedeutet, dass ein Anrufer sich nicht in die Warte-

schlange einreiht, wenn sich vor ihm bereits eine gewisse Anzahl Wartender befinden. Für die

Warteschlange vor einem Fahrgeschäft eines Freizeitparks ist dieses Verhalten leicht vorstellbar.

Bei der Warteschlange eines Callcenters weiß der Anrufer jedoch i. d. R. nicht, wie viele An-

rufer sich noch vor ihm in der Schlange befinden. Bricht ein Anrufer bereits kurz nach Eintritt

in die Warteschlange, also nach Erreichen einer sehr geringen Wartezeittoleranz, das Warten

ab, kann dies als Zurückscheuen interpretiert werden. Alle Wartenden, die das Warten erst nach

dieser festzulegenden kurzen Zeitspanne abbrechen, werden als Aufleger bezeichnet [HS04, S.

15].

Die mittleren Anzahlen von Anrufern in der Warteschlange bzw. im System können Auf-

schluss darüber geben, ob die Anzahl der eingesetzten Ressourcen, also Agenten sowie Tele-

fonleitungen, adäquat gewählt wurde [GH08, S. 8 f.].

Kennzahlen, die die Auslastung der Agenten betreffen, können unterschiedlich definiert und

bezeichnet werden. Auslastung wird bisweilen synonym mit Produktivität oder Effizienz be-

zeichnet, sodass eine Einordnung des Begriffs nötig ist. In der hier verwendeten Definition wird

die Kapazität der Agenten zu den angebotenen Anrufen ins das Verhältnis gesetzt. Somit kann

ein Agent eine Auslastung von > 1 haben, nämlich in dem Fall, in dem die Anrufe im System

die Kapazität der Agenten häufig genug überschreiten. Eine Auslastungskennzahl kann auch

aus dem Verhältnis von bedienten Anrufen zur Kapazität der Agenten gebildet werden. Dabei

kann wiederum eine Unterscheidung getroffen werden, nämlich zwischen Brutto- und Netto-

kapazität. Unter der Bruttokapazität ist die gesamte geplante Kapazität ohne Abwesenheiten

durch Pausen, Urlaub oder Ähnlichem zu verstehen. Daraus ergibt sich eine Auslastungskenn-

zahl E[uPlan], bei der der Index Plan die gesamte geplante Kapazität der Agenten einschließt.

Aus der Nettokapazität, die die Kapazität nach Abzug von Abwesenheiten darstellt, kann eine

dritte Auslastungskennzahl E[ue f f ] bestimmt werden. Der Index e f f bezeichnet hier also die

effektive Kapazität der Agenten. Wird im Folgenden die Kennzahl E[u] verwendet, so entspricht

sie der zuerst erläuterten Variante der Auslastung.

Interessant als Kennzahl kann auch die maximale Wartezeit der bedienten Anrufer W Smax

sein, da etwa der Servicelevel P(W ≤ 20 Sekunden|S) = 0,8 nur eine Aussage über die War-

tezeit von 80 % der bedienten Anrufer zulässt und die mittlere Wartezeit auf Grund der oben

16

geschilderten Interpretationsproblematik keine repräsentative Wartezeit widerspiegelt. Eine ma-

ximale Wartezeit kann bspw. dazu nützlich sein, einen zweiten Servicelevel zu definieren, der

dann P(W ≤ 90 Sekunden|S) = 1 lauten könnte. So würde ein Ziel definiert, das vorgibt, 80 %

der bedienten Anrufer nicht länger als 20 Sekunden warten zu lassen, aber gleichzeitig für die

restlichen 20 % der bedienten Anrufer eine maximale Wartezeit von 90 Sekunden nicht zu

überschreiten. Wird dann noch die maximale Wartezeit der Aufleger W Amax betrachtet, lassen

sich Rückschlüsse auf die maximale Geduld der Anrufer ziehen.

Wie groß die Bereitschaft eines Anrufers ist, auf Bedienung zu warten, und wie lang er war-

tet, hängt von unterschiedlichen Faktoren ab, die je nach aktuellem Einfluss in stark schwan-

kende Toleranzen resultieren können. Zu den Einflüssen zählt die Motivation des Anrufers –

also wie wichtig es für den Anrufer ist, bedient zu werden – die Verfügbarkeit von alternati-

ven Kommunikationskanälen, die Wartezeiten bei Wettbewerbern, die erwartete Wartezeit, die

verfügbare Zeit des Anrufers, die Kosten für den Anruf und weitere subjektive Einflüsse. Der

Auflegeranteil, inklusive der Zurückgescheuten, kann deshalb nur indirekt über den Servicele-

vel beeinflusst werden [Cle08, S. 38 ff.].7

Eine weitere wichtige Kennzahl ist die Servicequalität QS, denn insbesondere im Inbound-

Betrieb ist das Erreichen einer bestimmten Servicequalität erforderlich, um eine Kundenbin-

dung aufzubauen bzw. zu erhalten. Die Servicequalität QS setzt sich aus der Summe einzelner

gewichteter Qualitätskriterien zusammen. Wichtige Kriterien, die in diese Kennzahl einfließen

können, sind z. B.:

• der Servicelevel,

• die Sofortlösungsquote,

• die Lösungszeit,

• die mittlere Wartezeit bedienter Anrufer,

• der Anteil der nicht bedienten Anrufe,

• die fachliche Qualität und

• die kommunikative Qualität.

Die Sofortlösungsquote P(L) ist als der Anteil der Anrufer definiert, deren Anliegen direkt

beim ersten Gespräch mit dem Agenten vollständig abgewickelt werden kann, während die Lö-7Callcenter, die einen hohen Servicelevel erreichen – bspw. 90/20 – haben i. A. einen geringen Auflegeranteil von1 bis 2 %. Für solche, deren Servicelevel im mittleren Bereich liegt – etwa 80/20 – beträgt der Auflegeranteil3 bis 4 %, und für solche, die einen niedigen Servicelevel haben – z. B. 70/60 – liegt der Anteil meist bei über10 % [Cle08, S. 60].

17

sungszeit E[τl] die mittlere Zeit, die bis zur endgültigen Abwicklung eines Anliegens benötigt

wird (bspw. inklusive von Zustellungszeiten im Versandhandel), beschreibt. Kriterien der fachli-

chen Qualität sind z. B. die Raschheit, Präzision, Sachkundigkeit oder Richtigkeit der Leistung.

Zu den Kriterien der kommunikativen Qualität zählen bspw. die Freundlichkeit, Kundenorien-

tierung, Verbindlichkeit von Zusagen, argumentative Kompetenz oder Empathie der Agenten

[WK99, S. 151 f.].

Die Kriterien, die die Servicequalität als aggregierte Größe bestimmen, können unterschied-

lich wichtig sein und sollten bei der Definition der Gesamtgröße entsprechend ihres Einflusses

gewichtet werden. Aus der Vereinigung verschiedener Ziele in einer qualitativen Kenngröße und

der inhärenten Subjektivität entsteht eine gewisse Komplexität, die die Messung der Service-

qualität schwierig macht. Um eine gute Servicequalität zu erreichen, ist es unerlässlich, einen

breit gefächerten Anforderungskatalog zu definieren, der zahlreiche Ziele beinhaltet. Andern-

falls besteht die Gefahr, dass das Erreichen weniger Ziele auf Kosten anderer, ebenso wichtiger,

geht [Puc98, S. 232].

Wie die Leistung eines Callcenters insgesamt zu beurteilen ist, hängt vom Erreichungs-

grad mehrerer Ziele und Kenngrößen, und nicht der Minimierung oder Maximierung einer ein-

zelnen Zielgröße ab. Eine Betrachtung unterschiedlicher Kennzahlen – insbesondere solcher,

deren Erreichung miteinander im Zielkonflikt stehen – ist deshalb notwendig. Bspw. könnte

ein Callcenter eine hohe Erreichbarkeit schließlich damit erreichen, dass die Anzahl der ein-

gesetzten Agenten auf die Anzahl verfügbarer Telefonleitungen erhöht wird. Die Auslastung

der Agenten wird in einem solchen Fall sehr gering sein. Da der Servicelevel keine blockierten

Anrufe berücksichtigt, kann ein sehr hoher Servicelevel erreicht werden, wenn die Anzahl der

angenommenen Anrufe beschränkt wird. In einem solchen Fall wäre also eine kombinierte Be-

trachtung von Servicelevel und Anteil der blockierten Anrufe sinnvoll [Cle08, S. 54]. Zudem

verhalten sich die Größen Servicequalität und Servicelevel komplementär zueinander. Ein guter

Servicelevel und eine schlechte Servicequalität oder ein schlechter Servicelevel und eine gute

Servicequalität sind langfristig nicht miteinander vereinbar, sodass auch diese Größen immer

gemeinsam betrachtet werden sollten [Cle08, S. 66 ff.].

Falls Größen aggregiert werden sollen, ist dafür ein geeignetes Zeitfenster zu wählen. Ein

Planungs- und somit auch Bewertungsintervall im Callcenter liegt typischerweise bei 15 oder 30

Minuten. Für einen Vergleich zwischen verschiedenen Tagen, Wochen oder anderen Zeitspan-

nen müssen die Kennzahlen auf diesen längeren Zeitraum verdichtet werden. Eine sinnvolle

18

Möglichkeit hierfür liegt darin, Durchschnittswerte der Größen mit geeigneten Gewichtungs-

faktoren auf den Betrachtungszeitraum zu aggregieren. Als Gewichtungsfaktor ist diejenige

Größe sinnvoll, von der die Kenngröße direkt abhängig ist. Für die Auslastung der Agenten eig-

net sich daher die Anzahl eingesetzter Agenten, für die verschiedenen Anteile von bedienten,

blockierten, zurückscheuenden und auflegenden Anrufern, den Servicelevel und die Erreichbar-

keit sowie die Wartezeiten stellt die Anrufeingangsrate einen passenden Gewichtungsfaktor dar

[HS04, S. 30]. Die alleinige Betrachtung von aggregierten Größen ist jedoch zu vermeiden, da

durch diese Glättung die Über- und Untererfüllungen eines Ziels innerhalb der kürzeren Pla-

nungsintervalle verborgen bleiben und dies somit eine verzerrte Darstellung bedeuteten kann

[Cle08, S. 54].

2.3 Personaleinsatzplanung im Callcenter

2.3.1 Ausrichtungen und Probleme in der Personaleinsatzplanung

Die Personaleinsatzplanung im Callcenter bestimmt die für ein prognostiziertes Anrufvolumen

benötigte Anzahl von Agenten unter Berücksichtigung eines definierten Leistungsziels. Sie ist

somit als originäre Aufgabe des Callcenter Managements nach der Definition auf Seite 3 auf-

zufassen.

Wie bereits in Abschnitt 2.2 diskutiert, muss für eine repräsentative Bewertung der Leis-

tung nicht nur die primäre Zielgröße betrachtet, sondern auch komplementäre Kennzahlen und

insbesondere solche, die Zielkonflikte beinhalten, berücksichtigt werden. Gleiches gilt für die

Personaleinsatzplanung.

Zwischen der quantitativ effizienten Planung der Ressourcenkapazität, die eine hohe Aus-

lastung der Agenten mit sich bringt, und dem Servicelevel sowie der Servicequalität besteht ein

Zielkonflikt, sodass eine ausschließliche Ausrichtung der Personaleinsatzplanung auf eine ho-

he Agentenauslastung nicht sinnvoll ist. Eine permanent hohe Auslastung bedeutet eine starke

psychische Belastung für die Agenten. Eine über mehrere Stunden andauernde hohe Auslas-

tung von etwa 90 % wird als zu hohe Belastung angesehen. Dann ist es wahrscheinlich, dass die

Fehlerquote der Agenten deutlich steigt und sie deshalb z. B. nicht mehr in der Lage sind, den

Anrufer kundenorientiert zu bedienen: die Servicequalität leidet. Ein Gleichgewicht zwischen

effizientem Personaleinsatz und der Belastung der Agenten ist demzufolge dringend erforder-

lich [Cle08, S. 66 f., S. 180]. Zudem besteht die Gefahr, dass bei permanent hoher Auslastung

19

unerwartete Spitzen im Anrufeingang nicht abgefangen werden können und somit der Service-

level auf einen nicht akzeptablen Wert absinkt. Eine dauerhafte Auslastung von bis zu 85 %

wird als zumutbar bewertet [Sch99, S. 337].

Die quantitative Personaleinsatzplanung kann proaktiv oder reaktiv erfolgen. Der reaktive

Ansatz schlägt vor, dass Zielgrößen, wie der Servicelevel, beobachtet werden und nur in dem

Moment eingegriffen wird, wenn diese einen nicht vertretbaren Wert erreichen. In einer proak-

tiven Herangehensweise wird versucht, durch eine bedachte Planung eine angemessene Anzahl

von Agenten einzusetzen und so unerwünschte Abweichungen von Kennzahlen von vornherein

zu vermeiden [KM02, S. 45].

Personaleinsatzplanung in der Praxis

In der Praxis wird zur Personaleinsatzplanung häufig eine Workforce-Management-Software

verwendet. Diese Anwendungen können Daten sammeln, Prognosen erzeugen, Personaleinsatz-

und Schichtpläne erstellen und Auswertungen unterstützen. Über die Prognose des Anrufein-

gangs, mit der daraus ermittelbaren Arbeitslast für die Agenten, werden Personaleinsatz- und

Schichtpläne erstellt, die die Produktivität der Agenten maximieren und gleichzeitig die verlo-

renen Anrufe durch Blockieren, Zurückscheuen und Auflegen minimieren sollen. Automatisch

generierte Auswertungen unterstützen die Controllingfunktion des Callcenter. Aus Vergangen-

heitsdaten zu Anrufmustern und -volumen werden Prognosen zukünftigen Anrufeingangs er-

stellt. Manuelle Anpassungsmöglichkeiten sollen eine Berücksichtigung von Marktforschungs-

und Expertenerkenntnissen gewährleisten, um Abweichungen des Anrufeingangs vom histori-

schen Muster einbeziehen zu können. Durch den Einsatz einer solchen Software wird i. A. eine

Komplexitätsreduzierung in der Personaleinsatzplanung erreicht [Eft98, S. 457 ff.].

Das Ergebnis der Personaleinsatzplanung kann jedoch auch mit Unterstützung durch eine

Software von der realen Kapazitätsnachfrage abweichen. Einerseits kann die Planung nur auf

die Eingabedaten zurückgreifen, die unter Umständen nicht alle relevanten Faktoren enthalten,

und andererseits können sich aus der Berechnung selbst Abweichungen ergeben. Die Anwen-

dungen nutzen für die Berechnung die sog. Erlang-C Formel oder eine Abwandlung dieser.8

Tendenziell führt dies zu einer Planung, die einen zu hohen Personaleinsatz ergibt, da einige

8Die Erlang-C Formel wurde vom dänischen Mathematiker A. K. Erlang entwickelt. Für einen gegebenen Ser-vicelevel, eine gegebene mittlere Bedienzeit und eine gegebene mittlere Anrufankunftsrate kann der notwendigePersonaleinsatz bestimmt werden [Cle08, S. 4, S. 124 f.].

20

vereinfachende Annahmen getroffen werden [Cle08, S. 119 f.]. Bei Verwendung der ursprüng-

lichen Erlang-C Formel wird angenommen, dass:

• Anrufer eine unendliche Geduld besitzen, sodass keine Aufleger oder Zurückscheuenden

berücksichtigt werden,

• die Telefonleitungen eine unbegrenzte Kapazität haben, sodass niemals ein Anrufer

blockiert werden kann,

• Anrufer sowie Agenten jeweils einem einheitlichen Typ entsprechen – Anrufer also gleich

komplexe Anliegen haben und Agenten dieselben Fähigkeiten besitzen,

• pro Zeitintervall die Kapazität der Agenten konstant bleibt,

• die Anrufe pro Zeitintervall mit einer konstante Rate im Callcenter eingehen und dass nur

der Zeitpunkt des Eingangs innerhalb des Intervalls zufällig schwankt [KM02, S. 47 f.]

und

• sich keine Anrufer aus dem vorherigen Intervall mehr in der Warteschlange befinden,

wenn das nächste anbricht.

Vorteilhaft an der Verwendung dieser Formel ist, dass die Berechnung unkompliziert und für

gute Servicelevel recht genau ist, da Blockieren, Zurückscheuen oder Auflegen auf Grund des

dann minimalen Anteils nur einen geringen Einfluss haben [Cle08, S. 119 f.].

2.3.2 Weitere Ansätze für die Personaleinsatzplanung

Neben der Berechnung über die Erlang-C Formel sind meist für spezielle Fälle, die verschie-

dene Einschränkungen beinhalten, sowie teils mit dem Versuch einer soweit wie möglichen

Verallgemeinerung, verschiedene Methoden zur Bestimmung des Personaleinsatzes bekannt.

Nachfolgend sollen einige ausgewählte kurz skizziert werden, um einen Überblick über wei-

tere Möglichkeiten zur Personaleinsatzplanung zu geben. Das Ziel, das alle Methoden gemein

haben, ist, den Personaleinsatz unter Berücksichtigung einer definierten Zielgröße (Servicele-

vel, Auflegerrate, Gesamtkosten etc.) zu minimieren, da, wie bereits zu Beginn des Kapitels

angeführt, die Personalkosten einen erheblichen Anteil der Gesamtkosten eines Callcenters ein-

nehmen.

Kommerzielle Personaleinsatzplanungssoftware verwendet zur Berechnung des Personal-

bedarfs meist eine Heuristik, für die bei von Green, Kolesar und Soares der Terminus „SIPP“

(Stationary Independent Period by Period) -Ansatz eingeführt wird [vGKS03, S. 47 ff.]. Diese

21

Heuristik teilt den Planungszeitraum zunächst in gleichlange Intervalle auf. Für jedes Intervall

wird dann anhand einer Erlang-basierten Berechnung der minimale Personaleinsatz bestimmt.

Es ist zu beobachten, dass bei Verwendung von SIPP der berechnete Personalbedarf insbesonde-

re für Callcenter, die nicht 24 Stunden täglich operieren, zu niedrig ist, da implizit angenommen

wird, dass der Personalbedarf in der aktuellen Periode nur vom Anrufeingang der aktuellen Pe-

riode abhängt. Ein besseres Ergebnis kann der „verzögerte SIPP-Ansatz“ liefern. Hierbei wird

der Personalbedarf nicht aus dem Anrufeingang der Planungsperiode bestimmt, sondern zeitlich

versetzt aus einem teils vergangenen Anrufeingang.9

Auflegen völlig zu vernachlässigen, kann, wie oben erwähnt, zu einer personellen Überbe-

legung führen, da Agentenkapazität auch für diejenigen Anrufer eingeplant wird, die im Lau-

fe der Wartezeit auflegen. Andererseits kann dies auch zu einer Unterbesetzung führen, wenn

nur der Anteil der Anrufer, der bedient wurde, für zukünftige Berechnungen zu Grunde gelegt

wird. Unter Berücksichtigung von ungeduldigen Anrufern eignet sich die „Square-root safe-

ty staffing“-Regel zur Bestimmung des Personaleinsatzes für große Callcenter mit mittlerem

bis hohem Anrufeingang und hoher Agentenauslastung. Für ein „großes“ Call Center wird ein

Agenteneinsatz von 40 bis 50 Agenten vorausgesetzt, das Square-root safety staffing ist jedoch

bereits ab 20 Agenten mit guten Ergebnissen einsetzbar [GMR02, S. 213 f.].

Dieser Ansatz unterscheidet drei Ausrichtungen der Personaleinsatzplanung: die „qualitäts-

orientierte“, in der der Fokus primär auf dem Servicelevel liegt, die „effizienzorientierte“, in der

der Fokus speziell auf dem Agenteneinsatz liegt, und die sowohl qualitäts- als auch effizienzo-

rienrierte Ausrichtung, die einen Mittelweg zu den beiden vorherigen Ausrichtungen darstellt.

Der Personaleinsatz N bestimmt sich in der qualitäts- und effizienzorientierten Ausrichtung

in Abhängigkeit von der Anrufeingangsrate λ in R = λ

µund vom angestrebten Anteil bedienter

Anrufer β aus N = R+β√

R. Im qualitätsorientierten System wird N mit N = R+εR bestimmt,

im effizienzorientierten mit N = R−εR. ε ist eine festgelegte prozentuale Abweichung > 0. Für

große Anrufeingangsraten zeigen sich bei Anwendung der Regel gute Ergebnisse, da sowohl

Wartezeit, als auch Auflegerrate gering sind [GMR02, S. 210].

Der Zielkonflikt zwischen Servicelevel und Personalkosten unter Anwendung derselben

Regel wird bei Borst, Mandelbaum und Reiman betrachtet, mit dem Ergebnis, dass bei An-

wendung der Regel ein hoher Servicelevel bei gleichzeitig effizientem Personaleinsatz möglich

9Die Anrufeingangsfunktion wird hierbei um 1µ

Zeiteinheiten verschoben. Für µ = 2 Anrufe pro Stunde wirdsomit für den Personaleinsatz im Planungsintervall [t0; t0 +1] der Anrufeingang aus [t0−0,5; t0 +0,5] zu Grundegelegt [vGKS03, S. 55].

22

ist.10[BMR04, S. 17 ff.] So exakt der so bestimmte Personaleinsatz auch sein mag, kommt für

die Anwendung in der Praxis nur ein Ansatz in Frage, der eine nicht zu hohe Agentenauslastung

hervorruft.

Ein anderer Ansatz berechnet den Personaleinsatz für Callcenter mit stark schwankenden

Anrufeingangsraten mit Hilfe eines iterativen, simulationsbasierten Algorithmus, der trotz der

Schwankungen, in gleich bleibender Leistung in Bezug auf Agentenauslastung, Auflegeranteil

oder mittlere Wartezeiten resultieren kann. Diese Methode erweist sich für Callcenter, deren

Ankunftsrate rasch wechselt, als effizient. Die Eignung dieser Methode wurde jedoch bisher

nur für Callcenter mit einer speziellen Struktur bestätigt [FMMW08, S. 325, S. 337].11

Ein weiterer Optimierungsansatz wird von Atlason, Epelman und Henderson vorgestellt.

Unter Anwendung einer simulationsbasierten ACCPM (Analytic Center Cutting-Plane Method)

können bessere Ergebnisse in Bezug auf die Stabilität des Servicelevels erreicht werden als mit

heuristischen Lösungen, die auf analytisch lösbaren Warteschlangenmodellen beruhen.12 Mit

ACCPM werden die Probleme, den minimalen Personaleinsatz zu bestimmen und den hierzu

passenden Schichtplan zu erstellen, im Gegensatz zu traditionellen Warteschlangenmodellen, in

denen zunächst der Personalbedarf bestimmt und danach die Schichten geplant werden, gleich-

zeitig gelöst. Mit Hilfe von Simulation wird der jeweilige Servicelevel für den Personaleinsatz

überprüft. Diese Methode kann auch für einen niedrigen Personaleinsatz gute Lösungen erzie-

len [AEH08, S. 295 ff.].

Wird allein die Einhaltung eines Servicelevel als Restriktion für die Personaleinsatzplanung

bestimmt, ist dies i. A. aus betriebswirtschaftlicher Sicht nicht günstig, da Kosten nicht explizit

berücksichtigt werden. Andrews und Parsons schlagen vor, den Personaleinsatz so zu wählen,

dass eine Kostenfunktion, die die Kosten verlorener Anrufe, der Wartezeit und Personalkosten

beinhaltet, minimiert wird. Aufleger werden im hier dargelegten Ansatz nicht bedacht, sodass

er auf Situationen mit zur Bedienrate relativ niedriger Ankunftsrate beschränkt ist. Das Kosten-

einsparungspotenzial erweist sich jedoch für eben diese Einschränkungen als nicht unerheblich

[AP93, S. 14 ff.].

Grundsätzlich ist es sinnvoll, Agenten für mehrere Aufgaben zu qualifizieren, wenn im Call-

center nicht nur Anrufe bedient, sondern auch andere Tätigkeiten ausgeführt werden. Die Per-

10Hier wird der asymptotisch optimale Personaleinsatz N∗ bestimmt.11Die Struktur entspricht einem Warteschlangensystem der Art Mt/G/ct + G, in der M und c abhängig von der

Zeit schwanken. Vgl. dazu Tabelle 3.2 aus Abschnitt 3.1.1.12Analytisch lösbare Warteschlangenmodelle sind i. d. R. nur Annäherungen der Wirklichkeit und sind deshalb als

heuristische Lösung zu bezeichnen. Vgl. hierzu Abschnitt 3.2.2.

23

sonalbesetzung kann dann so hoch gewählt werden, dass eventuelle Spitzen im Anrufeingang

abgefangen werden können und sich die Agenten in Phasen einer niedrigen Auslastung mit an-

deren Aufgaben beschäftigen. Dieses Vorgehen hat mehrere Vorteile: ein Absinken des Service-

levels zu Spitzenzeiten wird verhindert, ebenso wie eine starke personelle Überbesetzung durch

die Ausweichmöglichkeit auf andere Tätigkeiten. Weiterhin ergeben sich Motivationseffekte,

durch den breiteren Aufgabenkatalog und die kürzeren Phasen der Untätigkeit, in denen die

Agenten lediglich auf das Eintreffen eines weiteren Anrufs warten [Eft98, S. 460].

Das gesamte Personal für alle Tätigkeiten auszubilden, ist jedoch kostenintensiv. Wallace

und Whitt zeigen, dass es für Callcenter, die mit SBR arbeiten, genügt, die Agenten jeweils

für lediglich zwei Aufgaben zu schulen, um im Vergleich zur Situation, in der die Agenten für

jeweils nur eine Aufgabe ausgebildet sind, erheblich bessere Ergebnisse in Bezug auf Aufle-

geranteil und Wartezeit zu erreichen [WW05, S. 276 ff.]. Auch hier sind jedoch weitreichende

vereinfachende Annahmen getroffen worden, sodass die Möglichkeit einer Verallgemeinerung

der Ergebnisse fragwürdig ist.

Eine Möglichkeit, den Personaleinsatz im Callcenter zuverlässiger bestimmen zu können

und die Komplexität der Planung zu reduzieren, liegt z. B. darin, die Varianz der Bedienzeiten

durch das Standardisieren von Arbeitsabläufen zu verringern [WK99, S. 81].

24

3 Bedienungstheorie

Auf Callcenter treffen die charakteristischen Eigenschaften von Bedienungssystemen zu, sodass

in diesem Kapitel eine Einordnung innerhalb der Theorie geschieht. Dazu werden in zwei Teilen

sowohl die allgemeinen theoretischen Aspekte von Bedienungssystemen, als auch speziellere

Punkte zum Callcenter als Bedienungssystem besprochen. In Abschnitt 3.1 werden zunächst

verschiedene Klassifizierungen von Bedienungssystemen erläutert und die gängige Notation

für Bedienungssysteme vorgestellt. Im weiteren Verlauf wird auf den Untersuchungsgegenstand

und das Entscheidungsproblem, welches innerhalb eines Bedienungssystems auftritt, eingegan-

gen. In Abschnitt 3.2 wird die zuvor diskutierte Theorie auf den speziellen Bereich des Callcen-

ters angewandt. Dabei werden zunächst die relevanten Strukturen und stochastischen Prozesse,

die im Callcenter vorhanden sind – und deshalb vom Bedienungsmodell erfasst werden sollten

– besprochen und schließlich Lösungsmöglichkeiten mit ihren Einschränkungen diskutiert.

3.1 Grundlegendes zu Bedienungssystemen

3.1.1 Klassifizierung und Notation

Die Bedienungstheorie (synonym auch: Warteschlangentheorie) kennt verschiedene Klassen

von Bedienungssystemen. Allen Bedienungssystemen ist gemein, dass Einheiten ein System

betreten, um von einem Bedienungskanal bedient zu werden. Während des Bedienungsprozes-

ses belegt eine Einheit einen Bedienungskanal, sodass dieser nicht zur Bedienung einer anderen

Einheit zur Verfügung steht. Die wichtigsten Klassen von Bedienungssystemen sind Verlustsys-

teme, Wartesysteme und Systeme mit Beschränkungen. Bei Verlustsystemen verlässt eine Einheit

das System ohne bedient zu werden, wenn sie dort zum Zeitpunkt des Eintreffens keinen frei-

en Bedienungskanal vorfindet. Wartesysteme und Systeme mit Beschränkungen besitzen eine

Warteschlange, in die die Einheit sich einreiht, sollte kein freier Bedienungskanal zur Verfügung

stehen [Bus71, S. 104]. Innerhalb eines Bedienungssystems bestimmt die Warteschlangendiszi-

plin die Regeln, nach denen die in der Warteschlange befindlichen Einheiten für die Bedienung

durch die Kanäle ausgewählt werden. Mögliche Warteschlangendisziplinen sind:

• First Come, First Served (FCFS): Die Einheit, die das System zuerst betritt, wird zuerst

bedient. Diese Warteschlangendisziplin kommt häufig bei Warteschlangen in Kaufhäu-

sern, Banken oder ähnlichen Systemen zum Einsatz [Bus71, S. 109],

25

• Last Come, First Served (LCFS): Die Einheit, die das System zuletzt betritt, wird zuerst

bedient. In Lagern wird Schüttgut i. A. nach dieser Regel eingelagert und entnommen

[GH08, S. 4 f.],

• Bedienung nach Priorität: Für den Fall, dass die im System eintreffenden Einheiten unter-

schiedlich priorisiert sind, kann eine Auswahl nach ihrer Priorität erfolgen. Die Einheit

mit der höchsten Priorität wird zuerst bedient. Eine Auswahl nach Priorität kann auf zwei

Weisen erfolgen. Entweder verdrängt die höherpriorisierte Einheit die Einheit, die sich ge-

rade in Bedienung befindet und wird damit unverzüglich bedient, oder sie rückt lediglich

an den Anfang der Warteschlange vor, sodass sie als nächstes bedient wird [GH08, S. 5].

Eine gestaffelte Priorisierung bezüglich mehrerer Kriterien ist ebenso möglich. Besitzen

mehrere Einheiten für dasselbe Kriterium eine gleichhohe Priorität, so erfolgt die Aus-

wahl anhand der höchsten Priorität für das nächste nachgelagerte Kriterium usw. [Bus71,

S. 110],

• Bedienung nach Zufallsauswahl: Der Eintrittszeitpunkt in das System oder die Priorität

der Einheit spielt bei dieser Warteschlangendisziplin keine Rolle. Aus allen wartenden

Einheiten wird jedes Mal bei Freiwerden des Bedienungskanals zufällig eine Einheit aus-

gewählt. Diese Auswahlregel kommt außerdem als Ergänzung zu anderen Warteschlan-

gendisziplinen zum Einsatz, wenn anhand dieser keine Auswahl getroffen werden kann.

Das ist etwa der Fall, wenn die Auswahl nach FCFS geschehen soll, doch zwei Einheiten

gleichzeitig im System eintreffen [Bus71, S. 109].

Wartesysteme und Systeme mit Beschränkungen unterscheiden sich darin, wie sich Einheiten

in der Warteschlange und im System verhalten. Einheiten im Wartesystem verlassen eine ein-

mal betretene Warteschlange bis zur Bedienung nicht mehr. Sie warten ggf. unendlich lang auf

Bedienung. Einheiten im System mit Beschränkungen warten entweder eine gewisse Zeit und

verlassen die Warteschlange, wenn diese Zeitdauer vor Bedienung abgelaufen ist, oder sie rei-

hen sich nur in die Warteschlange ein, wenn sich nicht mehr als eine gewisse Anzahl anderer

Einheiten bereits in der Schlange befindet. Eine dritte Möglichkeit ist, dass eine Einheit das

System nach einer bestimmten Zeitspanne verlässt, gleichgültig, ob sie sich noch in der Warte-

schlange oder bereits in der Bedienung befindet [Bus71, S. 104 f.].

Für den Fall, dass das Bedienungssystem mehrere Warteschlangen aufweist, kann auch ein

Hin-und-her-Wechseln (so genanntes „Jockeying“) zwischen den Warteschlangen vorkommen.

26

Einheiten verlassen eine Schlange, die sich relativ zu den anderen langsamer leert, da sie durch

den Wechsel eine zeitnähere Bedienung erwarten [GH08, S. 3 f.].

Systeme mit Beschränkungen verkörpern den allgemeinsten Fall der Bedienungssysteme.

Verlust- und Wartesysteme sind als Grenzfälle dieses allgemeinen Falls einzuordnen, da sich

bei einer Verweilzeit in der Warteschlange τq mit τq → 0 ein Verlustsystem einstellt und mit

τq→ ∞ ein Wartesystem [Bus71, S. 107].

Bedienungssysteme können auch nach anderen Merkmalen klassifiziert werden. So lassen

sie sich bspw. in solche mit einem einzelnen (Single-Server Systeme) und solche mit mehreren

parallelen Bedienungskanälen (Multi-Server Systeme) einteilen. Ebenso lassen sie sich nach

der Art der Nutzung der Warteschlangen unterscheiden. So gibt es Systeme, deren Kanal bzw.

deren Kanäle über eine gemeinsame Warteschlange betreten werden und Systeme, deren Kanäle

jeweils über voneinander getrennte Warteschlangen betreten werden. Systeme, die eine gemein-

same Warteschlange besitzen, weisen im Mittel geringere Wartezeiten für Einheiten und Kanäle

auf als solche, die getrennte Warteschlangen haben. Denn bei einem System mit gemeinsamer

Warteschlange kann ein Bedienungskanal nur unbeschäftigt sein, wenn keine Einheit mehr war-

tet [Kis87, S. 268]. Beispiele für Kombinationen nach dieser Klassifizierung werden in Tabelle

3.1 gegeben.

Single-Server System Multi-Server System

GemeinsameWarteschlange

Jede Bedienungstheke, wennnur eine Verkaufskraft anwe-send ist.

Wartende in einer Verwaltung, die ei-ne Wartenummer gezogen haben undauf Bedienung durch einen der Ange-stellten warten.

GetrennteWarteschlangen

Eine dreispurige Autobahn,die auf Grund einer Baustel-le einspurig wird.

Ein Supermarkt mit mehreren Kassenund einer Schlange vor jeder Kasse.

Tabelle 3.1: Beispiele für Bedienungssysteme nach Server-/Warteschlangenklassifizierung

Die wesentlichen Komponenten, die Bedienungssysteme beschreiben, sind der Ankunftspro-

zess, der Bedienungsprozess, die Kapazität der Kanäle und die Warteschlangendisziplin. Zur

einfacheren Darstellung dieser Parameter wird häufig eine Notation in der Kurzform

(.)/(.)/(.) verwendet, die mit ihren drei Stellen den Ankunftsprozess, den Bedienungspro-

zess sowie die Kapazität der Kanäle wiedergibt. Die Kapazität des Systems wird hierbei als

unbegrenzt angenommen. Die Zufallszahlen, die den Ankunftsprozess definieren, sind statis-

tisch voneinander unabhängig und folgen einer identischen Verteilung. Wird keine spezielle

27

Annahme zur Form der Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Ankunftsprozess getroffen, so

wird dieser als allgemeiner Ankunftsprozess bezeichnet. Andere Ankunftsprozesse sind etwa

der deterministische, bei dem die Zwischenankunftszeiten der Einheiten im Bedienungszen-

trum konstant sind, oder der exponentialverteilte. Zwischen diesen beiden Ankunftsprozessen

ist der Erlangsche Ankunftsprozess anzusiedeln.13 Für den Bedienungsprozess gilt, dass sei-

ne Zufallsvariablen statistisch unabhängig voneinander und unabhängig vom Ankunftsprozess

sind und einer identischen Verteilung genügen. Ebenso wie für den Ankunftsprozess, kann hier-

für nach einem allgemeinen, einem deterministischen, einem exponentialverteilten oder einem

Erlangschen Bedienungsprozess unterschieden werden. Wird keine Angabe zur Warteschlan-

gendisziplin δ gemacht, wird davon ausgegangen, dass sie FCFS entspricht [Ken53, S. 338 ff.].

Für ein Wartesystem mit exponentialverteilter Ankunfts- und Bedienrate sowie einer Anzahl

von c Bedienungskanälen lautet die Notation dann M/M/c.14 Tabelle 3.2 listet die Parameter

der von Kendall ursprünglich eingeführten Notation für Warteschlangensysteme auf.

Kürzel Bedeutung

GI Allgemeiner AnkunftsprozessD Äquidistante Ankunft; konstante BedienzeitM Exponentialverteilter Ankunftsprozess; Exponentialverteilter BedienungsprozessEk Erlangscher Ankunftsprozess; Erlangscher BedienungsprozessG Allgemeiner Bedienungsprozessc Anzahl der parallelen Bedienungskanäle

Tabelle 3.2: Kendall-Notation für WarteschlangensystemeQuelle: In Anlehnung an Ken53, S. 338 ff.

Diese Notation reicht allerdings zur Beschreibung vieler Warteschlangensysteme nicht aus.

Deshalb ist eine Erweiterung der Kendall-Notation mittlerweile zum Standard in der Warte-

schlangentheorie geworden. Insgesamt umfasst diese Notation fünf „Standardstellen“ und kann

durch einen Zusatz, der bspw. die Verteilung der Zeitpunkte, zu denen Einheiten die Warte-

schlange verlassen, beschreibt, erweitert werden. Abbildung 3.1 stellt die komplette Notation

13Die Erlang-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den Parametern λ und k. Sie besitzt die

Dichtefunktion f (x) =

{λxk−1

(k−1)! λe−λx x≥ 0

0 x < 0. Mit k = 1 entspricht er dem exponentialverteilten Ankunftspro-

zess, geht k→ ∞, so nähert er sich dem deterministischen Ankunftsprozess an [Ken53, S. 339].14Exponentialverteilte Zwischenankunfts- oder Bedienzeiten besitzen in der Notation das Kürzel M. Dies steht

für einen Prozess mit Markov-Eigenschaft. In einem solchen Prozess ist bei Betrachtung des aktuellen Zustandsein zukünftiges Ereignis unabhängig von vergangenen Ereignissen. Diese Eigenschaft wird auch als „Gedächt-nislosigkeit“ bezeichnet, welche gerade die einzigartige Eigenschaft von exponentialverteilten Zufallsgrößen ist[GH08, S. 8 und S. 26 f.].

28

dar. Die ersten drei Stellen sind obligatorisch, die letzten drei optional. Sie müssen jeweils nur

Abbildung 3.1: Erweiterte Kendall-Notation

angegeben werden, wenn die Eigenschaft des Systems von der Standarddefinition abweicht, al-

so K < ∞, δ 6= FCFS ist oder eine zusätzliche Eigenschaft ausschlaggebend für das Verhalten

des Modells ist.

3.1.2 Untersuchungsgegenstand und Entscheidungsproblem

Grundsätzlich soll die Untersuchung eines Bedienungssystems Aufschluss darüber geben, wie

lang sich Einheiten in der Warteschlange bzw. im System aufhalten, welche Anzahl von Ein-

heiten sich in der Warteschlange und im System befindet und in welcher Höhe Wartezeiten für

die Kanäle entstehen [GH08, S. 8]. Da das Auftreten von Wartezeiten häufig mit dem Entstehen

einzelwirtschaftlicher oder sozialer Kosten verbunden ist, ist es wichtig, dessen Ursachen zu

erkennen, um Möglichkeiten zur Beeinflussung zu finden [Kis87, S. 256].

In der Vermittlung von Telefonverbindungen wird in der Bedienungstheorie häufig das War-

tesystem betrachtet. Die Struktur des Systems beinhaltet ein Entscheidungsproblem auf das im

Folgenden eingegangen wird.

An einem Bedienungszentrum treffen Einheiten ein, die von den Kanälen des Bedienungs-

zentrums bedient werden sollen. Das Bedienungszentrum kann mehrere Kanäle haben und ein

Kanal kann immer genau eine Einheit bedienen. Der Ankunftsprozess der Einheiten im Bedie-

nungszentrum ist stochastisch, da die Zeit zwischen den Ankünften der einzelnen Einheiten, die

Zwischenankunftszeit, einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unterliegt. Auch der Bedienungs-

prozess mit seinen Bedienzeiten wird durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben.

Trifft eine Einheit im Bedienungszentrum ein, wenn bereits alle Kanäle Einheiten bedienen,

so reiht sich die zusätzlich eintreffende Einheit in eine Warteschlange ein, andernfalls wird sie

unverzüglich bedient [Mey71, S. 1]. Das Verhalten des Wartesystems wird neben den stochas-

tischen Einflüssen vor allem durch die Warteschlangendisziplin beeinflusst [Bus71, S. 111].

29

Die Kapazität des Bedienungskanals ist die Entscheidungsvariable des Problems. Wären die

Ankunftsrate und die Bedienzeiten deterministische Größen, so könnte die Kapazität des Be-

dienungszentrums immer so gewählt werden, dass die Bedienrate µ ≥ der Ankunftsrate λ ist.

Dann würden alle Einheiten direkt bedient und es entstünden keine Wartezeiten. Die stochasti-

schen Einflüsse in den Prozessen verursachen jedoch wechselnde Zustände, in denen entweder

Einheiten auf Bedienung warten oder in denen die Bedienungskanäle unbeschäftigt sind, da sie

auf die Ankunft von Einheiten warten [Kis87, S. 257].

Sind die Mittelwerte der Zufallsprozesse – also die mittlere Bedienrate und die mittlere An-

kunftsrate – bekannt, kann eine Entscheidung bezüglich der Kapazität des Bedienungszentrums

getroffen werden: Sollen die Kanäle des Bedienungszentrums eine hohe Auslastung haben, so

ist für jede Periode eine Kapazität zu wählen, die gleich oder kaum größer ist als die sog. Ar-

beitslast λ

µpro Periode. Soll hingegen die Wartezeit der Einheiten minimiert werden, so ist

die Kapazität der Kanäle erheblich größer als die Arbeitslast zu wählen, was wiederum eine

niedrige Auslastung der Kanäle mit sich bringt [Mey71, S. 2].

Mit steigender Varianz des nichtdeterministischen Ankunfts- und Bedienungsprozesses stei-

gen auch die Wartezeiten [HS04, S. 16]. So entsteht, selbst wenn sie dieselbe Intensität besitzen,

in der langfristigen Betrachtung, eine Warteschlange, die ohne Begrenzung anwachsen kann.

Die Bestimmung einer Kapazität, die einen stationären Zustand, also einen langfristig stabilen

Zustand, der ein unbegrenztes Anwachsen der Warteschlange verbietet, gewährleistet, erfordert

die strikte Erfüllung der Bedingung λ < µ [GH08, S. 9 f.].

Grundsätzlich kann das Entstehen jeder Warteschlange verhindert werden, wenn genügend

finanzielle Mittel zur Erweiterung der Kapazität des Bedienungskanals zur Verfügung stehen.

I. A. soll jedoch ein effizienter Bedienungsprozess, der akzeptable Leerlaufzeiten des Bedie-

nungskanals mit vertretbaren Wartezeiten der Einheiten vereint, erreicht werden. Im Kern des

Entscheidungsproblems liegt also ein Zielkonflikt zwischen der Minimierung von Wartezeiten

der Einheiten und des Bedienungskanals [GH08, S. 8 f.].

Der Zusammenhang zwischen zufallsbedingten Ankunfts- und Bedienungsprozessen und

den in Abhängigkeit von der Kapazität des Bedienungskanals resultierenden Wartezeiten wird

in den Abbildungen 3.2 und 3.3 illustriert. Eine Linie symbolisiert jeweils die Ankunft einer

Einheit im Bedienungszentrum. An der Abszisse sind die Ankunftszeiten im System abgetra-

gen, während die an der Ordinate abgetragene Linienlänge die Dauer des Bedienungsprozesses

für die jeweilige Einheit angibt. Aus der Betrachtung von Abbildung 3.2 geht bereits hervor,

30

Abbildung 3.2: Zufällige Verteilung der Zwischenankunfts- und BedienzeitenQuelle: In Anlehnung an HS04, S. 16

Abbildung 3.3: Zufällige Verteilung der Zwischenankunfts- und Bedienzeiten mit Wartezeiten

dass Einheiten sich auf Grund der nicht synchronisierbaren Zwischenankunfts- und Bedienzei-

ten parallel im System aufhalten. Aus Abbildung 3.3 lässt sich leicht ablesen, während welcher

Perioden eine Kapazität des Bedienungskanals von Eins eine Warteschlange entstehen ließe.

Dies ist immer dann der Fall, wenn sich die nach rechts gekippten Pfeile der Bedienzeiten auf

der Abszisse überschneiden.

Darüber hinaus kann – selbst wenn die zufallsbedingten Zwischenankunfts- und Bedienzei-

ten exakt vorausgesagt werden könnten – die Personaleinsatzplanung nie perfekt auf den Per-

sonalbedarf abgestimmt werden, da dazu der Planungszeitraum beliebig klein gewählt werden

müsste. Arbeitsrechtliche sowie tarifliche Regelungen als auch der Planungsaufwand verbieten

jedoch etwa eine minutiöse Planung [HS04, S. 155 f.]. Bereits an diesem sehr einfachen Beispiel

ist ersichtlich, dass das Entscheidungsproblem, die richtige Kapazität des Bedienungskanals zu

bestimmen, nicht einfach gelöst werden kann.

31

3.2 Das Callcenter als Bedienungssystem

3.2.1 Stochastische Einflüsse und Wartezeiten im Callcenter

Im Callcenter sind an unterschiedlicher Stelle Prozesse zufallsabhängig. Dies betrifft den An-

rufeingang, die individuelle Wartezeittoleranz und somit das Auflegeverhalten der Anrufer und

die Anrufbedienung durch die Agenten.

Der Anrufeingang unterliegt einem stochastischen Prozess, da die Ankunftszeitpunkte un-

bekannt sind. Hinzu kommt meist eine Dynamik, d. h., dass die Rate des Anrufeingangs im

Zeitverlauf variiert. Entgegen dieser Dynamik lassen sich bei der Betrachtung eines längeren

Zeitintervalls oft regelmäßig wiederkehrende Muster ausmachen, die dem Prozess eine gewisse

Stabilität zurückgeben. Während bestimmter Perioden, z. B. vormittags, lässt sich etwa regel-

mäßig ein besonders hoher Anrufeingang beobachten, während innerhalb anderer wiederkeh-

render Perioden, z. B. in der Mittagszeit, Einbrüche verzeichnet werden können. Diese Stabilität

stellt sich natürlich nur ein, wenn die Gestalt-bestimmenden Größen hinreichend gleichbleibend

sind und keine neuen Einflüsse hinzukommen [HS04, S. 4 f.]. Die Betrachtung wird bereits

komplizierter, wenn es in der Bedienung mehrere Phasen gibt, etwa wenn ein Gespräch an eine

andere Agentengruppe weiterverbunden werden muss. Denn in einem Mehrphasensystem kön-

nen Rückkopplungen auf den Anrufeingang entstehen, wenn eine Phase nicht wie vorgesehen

abgeschlossen wurde [GH08, S. 6].

Wann ein Anrufer das Warten auf Bedienung durch einen Agenten abbricht, wird durch

seine individuelle Wartezeittoleranz bestimmt. Bei Erreichen der Toleranz wird ein Anrufer, je

nach Definition, zurückscheuen oder auflegen [HS04, S. 15].

In einem Callcenter sind weder die Anrufer noch die Agenten als vollkommen identisch zu

bezeichnen. Auch wenn ein Callcenter nur Anrufe eines Typs bearbeitet, wirkt sich die Art und

Weise, wie zielstrebig ein Anrufer ein Anliegen vorträgt und wie erfahren ein Agent in der Bear-

beitung der Aufgabe ist, auf die Bediendauer aus. Die Anrufbearbeitung dauert deshalb je nach

Art des Anliegens des Anrufers, nach Fähigkeiten des Agenten und nach der Art der Kommuni-

kation zwischen Agent und Anrufer unterschiedlich lang. Der Lernprozess der Agenten bewirkt

prinzipiell eine Nichtstationärität des Bedienungsprozesses über die Zeit [GH08, S. 4]. Da jede

Lernkurve jedoch mit der Zeit abflacht, kann für ein Callcenter, das seit einer gewissen Zeit

operiert, angenommen werden, dass sein Bedienungsprozess sich im stationären Zustand befin-

32

det. Dies bedeutet natürlich nicht, dass die Bedienzeit keinerlei Schwankung mehr unterliegt.

Z. B. wird bei der Betrachtung von Warteschlangenmodellen vorausgesetzt, dass Ankunfts- und

Bedienungsprozess unabhängig voneinander sind. In der Wirklichkeit muss dies nicht der Fall

sein. Im Callcenter wird häufig für alle Agenten sichtbar eine Informationstafel, die bspw. die

aktuelle Zielerreichung in Bezug auf den Servicelevel anzeigt, angebracht. Bricht bei hohem

Anrufeingang eine Kennzahl ein, so ist durchaus zu beobachten, dass Agenten versuchen, die

Abwicklung des Gesprächs und die eventuelle Nachbearbeitung zu beschleunigen. Sie kann

somit auch abhängig vom Zustand des Systems sein.

Auf Grund der nicht-deterministischen Einflüsse und Prozesse im Callcenter treten i. d. R.

unerwünschte Wartezeiten auf. Im Inbound-Betrieb geschieht dies zum einen für die Anrufer

und zum anderen für die Agenten. Anrufer müssen Wartezeiten erdulden, wenn zum Zeitpunkt

des Anrufeingangs kein (geeigneter) Agent verfügbar ist. Wartezeiten für Agenten entstehen,

wenn gleichzeitig weniger Anrufe als verfügbare Agenten vorhanden sind. Beide Wartezeiten

können negative Auswirkungen auf den Callcenterbetrieb haben. Anrufer sind nicht unendlich

geduldig und werden bei einer Wartezeit, die ihre persönliche Wartezeittoleranz überschreitet,

den Anruf abbrechen. Nur ein Teil der Anrufer ist bereit, zu einem späteren Zeitpunkt noch-

mals anzurufen. So gehen dem Callcenter unter Umständen wertvolle Kunden verloren. Ent-

stehen Wartezeiten für die Agenten, so haben diese ggf. eine niedrigere Auslastung, als es aus

Motivations- und Kostengründen anzustreben ist. Im Outbound-Betrieb ergibt sich ein ähnliches

Bild. Dort entstehen Wartezeiten für die Agenten, wenn sie versuchen, ihren Gesprächspartner

zu erreichen und Wartezeiten für die Angerufenen, wenn sie auf den Rückruf eines Agenten

warten [HS04, S. 11 f.].

Wartezeiten gänzlich zu vermeiden, mag aus Kostengründen zunächst erstrebenswert er-

scheinen. Dies ist jedoch erstens nicht realisierbar und zweitens auch nicht sinnvoll. Einerseits

können Wartezeiten nicht vollständig vermieden werden, da die Wartezeit-hervorrufenden Ein-

flüsse stochastischer Natur sind. Sie können demzufolge allenfalls minimiert werden. Ande-

rerseits steht die Minimierung der Wartezeiten der Anrufer mit denen der Agenten in einem

Zielkonflikt, denn durch die Minimierung der einen Wartezeit, steigt unweigerlich die andere

[HS04, S. 11 f.]. Werden die Wartezeiten der Anrufer auf ein Minimum reduziert, steigt die Aus-

lastung der Agenten mitunter auf einen Grad an, der eine solche psychische Belastung darstellt,

dass ihre Leistung stark nachlassen kann [ST06, S. 113].

33

3.2.2 Bedienungsmodelle für Callcenter

Soll ein Callcenter als Bedienungsystem betrachtet werden, so geht dies stets mit Vereinfachun-

gen der Realität einher. Denn i. d. R. gibt keine der drei beschriebenen Klassen von Bedie-

nungssystemen die Realität exakt wieder. Obwohl das System mit Beschränkungen der Realität

noch am nächsten kommt, wird für die Vermittlung von Telefonverbindungen oft die einfa-

chere Struktur des Wartesystems in eine entsprechende Modellbetrachtung übersetzt. Dabei ist

das Warteschlangenmodell der Art M/M/c weit verbreitet. Die Parameter der Notation stehen

in diesem Kontext für die Exponentialverteilung der Zwischenankunftszeiten der Anrufe, die

exponentialverteilten Bedienzeiten und die c parallel verfügbaren Agenten. Außerdem gelten

die Annahmen, dass die Kapazität des Systems unbegrenzt ist und die Warteschlangendiszi-

plin FCFS entspricht, da keine anders lautenden Angaben gemacht wurden. Dieses Modell ist

auch unter dem Namen Erlang C bekannt, da es das von Erlang untersuchte, und mit der Er-

lang C-Formel lösbare Modell ist.15 Das Entscheidungsproblem, die Anzahl der einzusetzenden

Agenten zur Wahrung eines bestimmten Servicelevels zu bestimmen, ist bereits auf Grund der

stochastischen Einflüsse nicht trivial. Trotzdem sprechen die mitunter realitätsfernen Ergebnisse

des relativ simplen Erlang C Modells dafür, ein wirklichkeitsgetreueres, wenn auch komplexe-

res Modell einzusetzen, denn allein die Annahme der unendlich geduldigen Anrufer kann nicht

unbedeutende Abweichungen zwischen den Modellergebnissen und den zu beobachtenden rea-

len Größen im Callcenter hervorrufen.

Wird berücksichtigt, dass Anrufer ungeduldig sind, kann das Erlang C-Modell zu einem

M/M/c + M-Modell erweitert werden. In diesem Modell haben die Anrufer eine exponential-

verteilte Wartezeittoleranz. Selbst wenn für die durchschnittliche Geduld ein hoher Wert an-

genommen wird, unterscheidet sich dieses Modell stark vom Erlang-C-Warteschlangenmodell

und nähert sich dem realen Verhalten an [KM02, S. 52]. Soll zusätzlich noch ein Blockieren

von Anrufern berücksichtigt werden, so erweitert sich das Modell zu M/M/c/K + M, indem

die Anzahl der verfügbaren Telefonleitungen auf K beschränkt wird [GMR02, S. 221 ff.].16 Ein

genaueres Abbild der Realität wird durch Modelle der Form M/M/c/K +G erzeugt. Hier ist die

Geduld nicht exponentialverteilt, sondern sie unterliegt einer willkürlichen Verteilung [BH81,

S. 159 ff.].

15Vgl. hierzu Abschnitt 2.3.1.16Das M/M/c/K-Modell wird auch als „Erlang B“-Modell bezeichnet, da es ein Blockieren von Anrufern be-

rücksichtigt, während ein Modell, das Aufleger betrachtet, als „Erlang A“-Modell bekannt ist [KM02, S. 51f.].

34

Was die Eigenschaften der Modelle betrifft, liefert die Exponentialverteilung grundsätzlich

wegen ihrer Gedächtnislosigkeit eine gute Beschreibung der Zwischenankunftszeiten von An-

rufen. Denn, wann der nächste Anruf eingeht, ist unabhängig davon, wann der aktuelle einging.

Ebenso wie die Zwischenankunftszeiten der Anrufe, ist es denkbar, dass die Wartezeittoleranz

einer einheitlichen Exponentialverteilung folgt, wobei die einzelnen Toleranzen unabhängig

voneinander sind. Um Bedienungsprozesse zu beschreiben, ist die Exponentialverteilung nicht

sonderlich gut anwendbar, denn ihre Gedächtnislosigkeit würde voraussetzen, dass nicht be-

kannt ist, wann ein Bedienungsprozess beendet sein wird. Insbesondere wenn in einem Call-

center nur Anrufe eines ähnlichen Typs bedient werden und für die Bearbeitung standardisierte

Abläufe existieren, ist sehr gut vorauszusehen, dass ein Bedienungsprozess in Kürze beendet

sein wird. Da die Bedienungsdauern trotzdem erheblich schwanken können, muss die Vertei-

lung, die den Prozess beschreiben soll, sowohl sehr kurze als auch sehr lange Bedienungsdauern

abdecken können [HS04, S. 18].

I. A. kann ein realitätsnahes Bedienungssystem wie in Abbildung 3.4 schematisch darge-

stellt werden. Anrufe kommen im Mittel mit einer Rate von λ pro Zeiteinheit im Callcenter

Abbildung 3.4: Das Callcenter als WarteschlangensystemQuelle: In Anlehnung an HS04, S. 14

an. Steht zum Zeitpunkt eines Anrufeingangs einer der c Agenten zur Verfügung, wird er den

Anruf mit einer mittleren Bedienrate von µ bedienen. Sind jedoch alle Agenten bereits be-

schäftigt, so reiht sich der Anrufer in eine Warteschlange mit q= K− c Wartepositionen ein,

die sich aus der Differenz aus verfügbaren Telefonleitungen K und der Anzahl der eingesetzten

Agenten c ergibt. In dem Fall, dass alle Telefonleitungen durch wartende Anrufer oder Anrufer

in Bedienung belegt sind, erhält jeder weitere Anrufer das Besetztzeichen. Die Anrufer sind

35

grundsätzlich ungeduldig. Deshalb legt eine Anzahl von Anrufern schon kurze Zeit nach Ein-

treten in die Warteschlange auf, scheut also vor der Warteschlange zurück. Die Rate für das

Zurückscheuen eines Anrufers ist β . Eine weitere Anzahl von Anrufern bricht das Warten zu

einem späteren Zeitpunkt mit der Rate ν ab. Ist der Anrufer geduldig genug, wird er bei Frei-

werden eines Agenten früher oder später nach der Warteschlangendisziplin δ für die Bedienung

ausgewählt. Anrufer, die blockiert werden, zurückscheuen oder nach Ablauf ihrer Wartezeitto-

leranz auflegen, rufen möglicherweise zu einem späteren Zeitpunkt noch einmal an. Dies wird

durch die grauen gestrichelten Verbindungen dargestellt.

Grundsätzlich existieren verschiedene Lösungsmethoden, um die interessierenden Größen

Anzahl der Anrufer im System E[Lsys], Anzahl der Anrufer in der Warteschlange E[LQ], Aufent-

haltsdauer der Anrufer im System E[Wsys], Aufenthaltsdauer der Anrufer in der Warteschlange

E[WQ] und die Leerlaufzeit der Agenten E[WA] zu bestimmen. Sie sind jedoch nur mit Ein-

schränkungen anwendbar.

Analytische Lösungen lassen sich einfacher für Systeme, die sich im stationären Zustand be-

finden, bestimmen.17 Transientes Verhalten, das sich nur temporär beobachten lässt, wenn sich

ein System im Übergang von einem stationären in einen anderen stationären Zustand befindet,

erschwert eine analytische Lösung immens. Für nicht-stationäre Warteschlangen und auch be-

reits für Situationen mit dichtem Verkehr sind analytische Lösungen deshalb unhandlich und

rar [GH08, S. 102 und S. 329].

Eigenschaften des Systems können im Modell soweit vereinfacht werden, dass eine analy-

tische Lösung für das Modell möglich ist. Je nachdem wie weitreichend diese Vereinfachungen

sind, kann jedoch nicht mehr von einer analytischen Lösung für das zu untersuchende Sys-

tem gesprochen werden. Zu diesen Vereinfachungen zählen bspw. die Interpretation des An-

kunftsprozesses als Strom gleichartiger Ereignisse, die Annahme der Unabhängigkeit zwischen

Bedienungs- und Ankunftsprozess oder auch die Aggregation mehrerer Phasen im System zu

einer Phase bzw. einem Prozess im Modell [Bus71, S. 116 f.]. Jockeying ist in realen Warte-

schlangensystemen häufig zu beobachten, doch auch hier stößt die analytische Lösung an ihre

Grenzen [GH08, S. 96].

Numerische Lösungsverfahren bieten sich oftmals als Alternative für solche Fälle an, in

denen keine geschlossene analytische Lösung mehr ermittelt werden kann [GH08, S. 329 ff.].

Darunter fallen z. B. auch Systeme, die einen zustandsabhängigen Bedienungsprozess aufwei-

17Ein System erreicht einen stationären Zustand, wenn es eingeschwungen ist. Dies ist der Zustand, der das Systemin der langfristigen Betrachtung beschreibt.

36

sen. Ein zustandsabhängiger Bedienungsprozess ändert je nach Anzahl von Einheiten im Sys-

tem bzw. in der Warteschlange seine Intensität. Grundsätzlich können beliebig viele Zustän-

de mit unterschiedlichen Intensitäten definiert werden. Für ein System, das bspw. die Raten

„schnell“ und „langsam“ kennt, ist folgendes Szenario denkbar: Zunächst halten sich relativ

wenige Einheiten im System auf, sodass es mit der langsamen Rate arbeitet. Sobald sich eine

gewisse Anzahl von Einheiten im System akkumuliert hat, schaltet es auf die schnelle Rate

um. Überschreitet die Anzahl der Einheiten im System eine weitere Marke, dann ist das Sys-

tem sozusagen überfordert oder fällt die Anzahl unter einen Schwellenwert zurück, arbeitet das

System wieder mit der langsamen Rate [GH08, S. 91 ff.].

Näherungsverfahren vereinfachen Charakteristika des Systems und liefern so angenäherte

Lösungen, indem etwa obere und untere Grenzen für die mittlere Wartezeit gesucht werden, ein

einfacher zu lösendes System stellvertretend für ein komplizierteres betrachtet wird, oder der

Warteprozess selbst durch einen einfacher zu handhabenden ersetzt wird [GH08, S. 343].

Sind die oben genannten Lösungsmethoden nicht anwendbar, nicht effizient genug, oder

liefern sie ein zu weit von der Realität entferntes Ergebnis, so bietet sich eine Lösung mit Hilfe

von Simulation an [GH08, S. 398 f.].

37

4 Systeme, Modellbildung und Simulation

Das folgende Kapitel führt über die Themen Systeme und Modellbildung zur Simulation, da

diese grundsätzlich betrachtet werden müssen, um eine erfolgreiche Simulation durchzuführen.

Der erste Schritt setzt zunächst eine Beschreibung sowie Abgrenzung der abzubildenden Rea-

lität – welche als System bezeichnet wird – voraus, die sich in Abschnitt 4.1 findet. Danach

werden in Abschnitt 4.2 Modelle definiert, sowie Modellierungsansätze und Voraussetzungen

für Modellgültigkeit erläutert. Im Anschluss daran werden Vor- und Nachteile der Modellbil-

dung diskutiert. Abschnitt 4.3 bespricht die Simulation mit den notwendigen Voraussetzungen

für und während derselben. Schließlich wird dort ein Überblick über Simulationswerkzeuge

gegeben.

4.1 Systeme

4.1.1 Grundlegendes zu Systemen: Definition, Systemgrößen und

Systemprozesse

Systeme sind Objekte, die durch ihre Existenz oder ihr Verhalten in Wechselwirkung mit der

Umwelt stehen. Sie erfüllen eine oder mehrere Funktionen, die durch Komponenten und Wir-

kungsverknüpfungen innerhalb des Systems festgelegt werden und damit einen Systemzweck

definieren. Werden Komponenten oder Wirkungsverknüpfungen des Systems verändert oder

zerstört, so können seine Funktionen nicht mehr erfüllt werden. Das System verliert somit den

Systemzweck und kann entweder in der ursprünglichen Form oder sogar gänzlich nicht mehr

bestehen [Bos94, S. 16]. Knapp und prägnant lässt sich der Begriff System wie folgt definieren:

Ein System wird durch die Gesamtheit seiner Ziele, Elemente und Relationen zwi-

schen den Elementen und zur Systemumgebung definiert [Krü75, S. 14].

I. A. ist jedes System, über den Zeitverlauf betrachtet, ein dynamisches System. Dynamisches

Verhalten entsteht immer dann, wenn ein System, direkt oder indirekt beobachtbar, seinen Zu-

stand ändert. Unter eine Zustandsänderung fallen bspw. bereits die Abnutzungs- oder Alterser-

scheinungen eines Gegenstandes. Ein System ist also nur dann statisch, wenn es über einen so

kurzen Zeitraum untersucht wird, dass sich sein Zustand nicht ändert. Da der Untersuchungs-

38

gegenstand eines Systems jedoch gerade sein Verhalten ist, ist nur das Beobachten von dynami-

schen Systemen interessant [Bos04, S. 36 f.].

Das Verhalten eines Systems entsteht aus der Einwirkung der Umwelt auf den aktuellen Sys-

temzustand und der sich daraus ergebenden Zustandsänderung sowie aus autonom innerhalb der

Systemstruktur ablaufenden Prozessen [Bos04, S. 127 ff.]. Dieser Vorgang wird schematisch in

Abbildung 4.1 dargestellt. Der einfachste Prozess spielt sich dort ab, wo die Umwelteinwirkun-

Abbildung 4.1: Das System in schematischer DarstellungQuelle: In Anlehnung an Bos04, S. 129

gen ui mit i = 1, . . . ,n über den Vektor der Umweltvielfalt u(t) auf das System treffen und in

Kombination mit dem aktuellen noch nicht beeinflussten Systemzustand z0 von der Verhaltens-

funktion g in die Ausgangsgrößen vi mit i = 1, . . . ,n, die im Vektor v(t) zusammengefasst sind,

transformiert werden. Umwelteinwirkungen, Systemzustände und die das System verlassenden

Auswirkungen sind abhängig von der Zeit t [Bos04, S. 127].

Innerhalb des Systems bestimmen die Zustandsgrößen den Systemzustand. Aus diesem

können jederzeit alle System- und Verhaltensgrößen abgeleitet werden. Zustandsgrößen sind

voneinander unabhängig, d. h., die Kenntnis des Wertes einer Zustandsgröße oder einer Kom-

bination von Zustandsgrößen lässt keine Aussage über den Wert einer anderen Zustandsgröße

zu. Zudem sind Zustandsgrößen häufig über verschiedene Größen im System definierbar. So

können bspw. unterschiedliche Maßeinheiten verwendet werden. Für das Systemverhalten ist

es unerheblich, auf welche Weise eine Zustandsgröße definiert wird. Allein die Dimensionalität

des Systems, die einer bestimmten Anzahl von Zustandsgrößen entspricht, bestimmt, ob das

Verhalten des Systems korrekt beschrieben ist. Ein System ist vollständig beschrieben, wenn

keine Zustandsgröße in der Beschreibung fehlt. Wird ein System durch eine Anzahl von Zu-

standsgrößen beschrieben, die größer seiner Dimensionalität ist, so ist das System überbestimmt

[Bos94, S. 17 ff.].

Der Prozess, der die Zustandsgrößen berührt, ist hingegen komplizierter: In Abbildung 4.1

treffen die Umwelteinwirkungen im System auf die Zustandsfunktion f . Diese bestimmt die

Zustandsänderung, die zu einem neuen Zustand aus dem Zustandsvektor z′(t) führt. Der Zu-

39

standsvektor z′(t) muss jedoch nicht den Zustand enthalten, der schließlich von der Verhaltens-

funktion g in Systemverhalten transformiert wird. Denn im Inneren des Systems, symbolisiert

durch∫

, treten Rückkopplungsprozesse auf, die auf die Zustandsfunktion und somit den aktu-

ellen Systemzustand z zurückwirken. So kann ein System eine Eigendynamik entwickeln, die

aus der Systemstruktur selbst entsteht, ohne dass überhaupt eine oder kaum eine auslösende

Umwelteinwirkung erkannt werden kann [Bos94, S. 21]. Letztendlich ergibt sich aus der Um-

welteinwirkung ui, dem aktuellen Systemzustand z und der Rückkopplung ein Zustand aus dem

Zustandsvektor z(t). Über die Verhaltensfunktion g wird dieser in ein von außen beobachtba-

res Verhalten übersetzt [Bos04, S. 128 f.]. Der aktuelle Zustand des Systems zum Zeitpunkt t

kann ermittelt werden, indem die Werte jeder einzelnen Zustandsgröße zi, die im Vektor der

Zustandsgrößen z(t) enthalten sind, für den Zeitpunkt t− 1 betrachtet werden und dann durch

die Zustandsveränderungen in Form von Zu- oder Abgängen über den Zeitraum∫ t

t−1 dt erhöht

oder vermindert werden. Zustandsgrößen können demnach als Speicher oder Gedächtnis des

Systems interpretiert werden [Bos94, S. 19].

Systemreaktionen – also das Übersetzen von Umwelteinflüssen und von Rückkopplungen in

beobachtbares Verhalten – finden auf unterschiedlichen Systemebenen statt. Die unterschiedli-

chen Ebenen mit ihren Reaktionen werden in Abbildung 4.2 dargestellt. Mit steigender Komple-

xität der Reaktion geht eine längere Reaktionszeit des Systems einher. Dies ist die Zeit zwischen

der Zustandsabweichung, also dem Eintreffen der Umwelteinwirkung auf die Zustandsfunktion

des Systems bzw. der autonomen Zustandsänderung durch Rückkopplungen, bis zur Auswir-

kung des Systemverhaltens auf die Umwelt. Die einfachsten unter den Systemreaktionen sind

die Ursache-Wirkungs-Beziehungen, welche auf der Prozessebene beobachtet werden können.

Diese laufen ohne Verzögerung ab und erfordern somit keine Reaktionszeit. Die Prozessebene

ist die einzige Ebene, auf welcher bei Kenntnis der Eingangsgröße direkt auf die Ausgangsgrö-

ße geschlossen werden darf. Wirkt eine Zustandsgröße auf den ursprünglichen Einfluss zurück,

gehört die Systemreaktion bereits zur nächsten Ebene der Reaktionen, der Rückkopplung. Hier

ist die Reaktionszeit des Systems noch sehr kurz und weder die Wirkungsstruktur noch die

Parameter des Systems werden von der Reaktion berührt. Auf der nächsthöheren Ebene, der

Anpassung, ändert das System eigenständig Systemparameter, während die Wirkungsstruktur

weiterhin unverändert bleibt. Diese wird erst auf der wiederum komplexeren Ebene, der Selbst-

organisation, im Zuge eines Strukturwandels angeglichen. Ein solcher Strukturwandel erlaubt

dem System die Sicherung seiner Identität und erfordert bereits eine deutlich längere Reakti-

40

Abbildung 4.2: Verhaltensbestimmende Prozesse der SystemebenenQuelle: In Anlehnung an Bos04, S. 46

onszeit als Systemreaktionen auf niedrigeren Ebenen. Nicht jedes System ist zur Selbstorgani-

sation im Stande. Diese Eigenschaft ist meist bei gesellschaftlichen Systemen, Organisationen

oder Ökosystemen vorzufinden und i. d. R. nicht etwa bei Organismen oder technischen Syste-

men. Ein Identitätswandel ist auf der Ebene der Evolution möglich, welche den Systemzweck

im Zeitverlauf anpasst und somit die Integrität des Systems gewährleistet. Im Grunde stellen die

Systemreaktionen jeder Ebene den Versuch des Systems dar, seine Integrität zu sichern. Dies

wird durch die Systemreaktion auf höchster Ebene, der Leitwertabstimmung symbolisiert, denn

sie dient der langfristigen Erhaltung und Entfaltung jedes Systems. In der Leitwertabstimmung

orientiert sich das System an den so genannten Leitwerten, die eine Mindestanforderung an das

System darstellen. Auf diese wird auf Grund ihrer fundamentalen Bedeutung für jedes System

detailliert in Abschnitt 4.1.2 eingegangen [Bos94, S. 24 f.].

Verschiedene Parameter wirken unterschiedlich stark auf das Systemverhalten ein. Es gibt

Größen, die den Einfluss wesentlicher Relationen in der Systemstruktur massiv abschwächen

oder verstärken. Wenn in Systemen derselben Wirkungsstruktur eine oder mehrere solcher Grö-

ßen verändert werden, ist damit zu rechnen, dass sie sich qualitativ wie quantitativ völlig unter-

schiedlich verhalten. Diese Einflussgrößen sind auf Grund ihrer ausgeprägten Auswirkung als

kritische Größen zu bezeichnen und sollten deshalb identifiziert werden [Bos94, S. 22].

41

Die Beziehung zwischen System und Systemumwelt ist bilateral, d. h., dass sich sowohl

das System auf die Systemumwelt auswirkt und diese verändert, als auch, dass Größen der

Systemumwelt auf das Verhalten des Systems einwirken. Um die Einwirkung eines Systems

auf die Umwelt zu untersuchen, ist es daher unerlässlich, eine Systemgrenze festzulegen, die

System und Umwelt voneinander trennt. Da aber Systeme nie völlig unabhängig von der Sys-

temumwelt sind – ansonsten könnten sie gar nicht wahrgenommen werden – kann keine voll-

kommen abgeschlossene Grenze zwischen System und Umwelt bestimmt werden. Vielmehr ist

es zweckmäßig, als Systemgrenze eine Systemoberfläche zu bestimmen, innerhalb derer das

Systemverhalten relativ unabhängig von der Umwelt ist. Diese so definierte Systemgrenze ist

dort zu ziehen, wo

• die Koppelung zwischen System und Umwelt viel geringer ist, als die Koppelung von

Elementen innerhalb des Systems,

• Koppelungen zur Umwelt nicht funktionsrelevant für das System sind und

• das System selbst oder Rückkopplungen von Systemauswirkungen keine Umwelteinwir-

kungen hervorrufen.

Je nach Umfang der Fragestellung, die aus dem Beobachten und Analysieren des Systemver-

haltens beantwortet wird, ist die Systemgrenze enger oder weiter gefasst [Bos94, S. 17 f.].

4.1.2 Leitwerte eines Systems

Leitwerte sind die grundlegenden Eigenschaften eines Systems, ohne die es langfristig nicht

existieren und sich entfalten kann. An ihnen orientiert sich die Entwicklung, das Verhalten und

die Veränderung des Systems. Jedes System, gleichgültig welcher Art, muss zur Sicherung der

langfristigen Existenz und Entfaltung alle Leitwerte in ihren elementaren Anforderungen erfül-

len. Eine Übererfüllung eines Leitwertes kann also nicht die Untererfüllung eines anderen kom-

pensieren. Die sechs Leitwerte eines Systems mit ihren Anforderungen an die Systemstruktur

werden nachfolgend erläutert [Bos04, S. 239 ff.]:

Existenz

Ein System kann innerhalb seiner Systemidentität existieren, wenn seine Zustandsgrößen einen

bestimmten Rahmen nicht verlassen. Treffen Umwelteinwirkungen auf das System, die den

Systemzustand außerhalb des normalen Bereichs brächten, so muss seine Zustandsfunktion

42

über geeignete Schutzmaßnahmen verfügen. Diese bewahrt das System auch vor existenzbe-

drohenden Zuständen, die aus der Systemstruktur selbst hervorgerufen werden, etwa durch eine

regelnde Rückkopplung. Auch das Auftreten existenzbedrohenden Verhaltens muss über eine

Eigenschaft der Systemstruktur, als Anforderung an die Verhaltensfunktion, verhindert werden.

Wirksamkeit

Das Verhältnis aus Wirkung und Aufwand eines Systems muss langfristig betrachtet positiv

sein. Das bedeutet, dass einerseits die Zustandsfunktion eine wirksame Nutzung aller für die

Systemerhaltung, -entwicklung und -entfaltung nötigen Ressourcen zulassen und andererseits

das Systemverhalten einen ausreichend wirksamen Einfluss auf die Systemumwelt haben muss.

Handlungsfreiheit

Die Vielfalt der Umwelteinwirkungen, die auf ein System treffen können, ist i. d. R. deutlich

größer, als seine Systemvielfalt, die sich aus Zustands- und Verhaltensvielfalt zusammensetzt.

Um sich vor einer Überforderung durch die Umweltvielfalt schützen zu können, muss ein Sys-

tem in verschiedener Art und Weise auf diese reagieren können: Das System wählt einen geeig-

neten Zustand aus seiner Zustandsfunktion; es übt über seine Verhaltensfunktion einen solchen

Einfluss auf die Umwelt aus, dass auf ihre Einwirkungen mit der gegebenen Systemvielfalt an-

gemessen reagiert werden kann; sofern möglich, wechselt das System in eine andere Umwelt,

in der es mit der vorhandenen Systemvielfalt besser zurechtkommt.

Sicherheit

Zusätzlich zur Umweltvielfalt ist die Umwelt zufälligen Veränderungen ergeben, die eine Un-

sicherheit hervorrufen. Diese darf jedoch keinen existenzbedrohenden Systemzustand auslösen

können. Um den Leitwert Sicherheit zu erfüllen, muss ein System sich zum einen hinreichende

Unabhängigkeit vor zufälligen Umwelteinwirkungen verschaffen und zum anderen eine Sta-

bilisierung der unsicheren Umwelteinwirkungen erreichen können. Ersteres kann durch eine

Anpassung der Zustandsfunktion in solch einer Weise geschehen, dass das System sich vor zu-

fälligen Umwelteinwirkungen abkoppeln kann oder durch ein Anpassen seiner Struktur oder

seiner Parameter, indem es Puffer erzeugt, die unsichere Umwelteinwirkungen abfedern. Letz-

teres ist durch ein Anpassen der Zustandsfunktion möglich, sodass eine selbststabilisierende

Struktur mit regelnden Rückkopplungen entsteht oder aber durch eine Änderung der Verhal-

43

tensfunktion, die existenzbedrohende Umwelteinwirkungen gezielt abmildert.

Wandlungsfähigkeit

In manchen Situationen kann sich ein System nicht von den existenzbedrohenden Einwirkungen

einer sich verändernden Umwelt abkapseln, sodass es mit einer Veränderung seiner Systempara-

meter oder seiner Systemstruktur reagieren muss, um mit den Einflüssen besser zurechtkommen

zu können. Der Leitwert Wandlungsfähigkeit kann über zwei Wege erfüllt werden. Einerseits

kann ein System seine Verhaltensfunktion so verändern, dass sich bei gleich bleibendem Zu-

standsvektor ein Verhalten ergibt, mit welchem das System die veränderten Umwelteinflüsse

besser bewältigen kann, und andererseits kann ein System seine Zustandsfunktion so verän-

dern, dass sich aus den veränderten Umwelteinflüssen ein besser angepasster Zustand ergibt.

Bei der Erfüllung der Leitwerte Sicherheit und Wandlungsfähigkeit ist im Hinblick auf die

Veränderung der Zustandsfunktion zwischen einer reinen Parameteränderung und einem Struk-

turwandel zu unterscheiden. Eine Parameteränderung sichert die Existenz des Systems i. d. R.

nur vorübergehend, während ein Strukturwandel eine langfristige Existenzsicherung gewähr-

leistet, wenn auch unter einer veränderten Systemidentität. Für einen solchen Strukturwandel

muss das System zur Selbstorganisation fähig sein.

Rücksicht

Umwelteinwirkungen können durch andere Systeme in der Systemumwelt hervorgerufen wer-

den. Für den Fall, dass das eigene Systemverhalten vom Verhalten eines anderen Systems ab-

hängig ist, ist es wichtig, dieses Verhalten antizipieren zu können, um eine geeignete Reaktion

hervorzubringen. Grundsätzlich kann das Verhalten anderer Systeme, genau wie sonstige Um-

welteinwirkungen, mit den oben beschriebenen Reaktionen beantwortet werden. Immer dann,

wenn das Verhalten eines anderen Systems das eigene Verhalten sehr stark beeinflusst, also ei-

ne besondere Bedeutung für die Existenz des Systems hat, hat dieses ein Eigeninteresse daran,

Rücksicht auf das andere System zu nehmen. Es muss demnach in der Lage sein, die Leit-

wertanforderungen anderer Systeme in seine Reaktion einzubeziehen. Dazu muss es zunächst

feststellen können, dass die Einwirkung von einem anderen System herrührt. Zudem muss seine

Zustandsfunktion eine Differenzierung und Gewichtung von Beobachtungen und Handlungen

des anderen Systems ermöglichen. Schließlich muss seine Verhaltensfunktion ein geeignetes

Verhalten erzeugen können. Abbildung 4.3 fasst die hier diskutierten Beziehungen zwischen

44

Abbildung 4.3: Leitwerte eines SystemsQuelle: In Anlehnung an Bos04, S. 247

dem System mit seinen Leitwerten und den existenzbedrohenden Umwelteinflüssen zusammen.

4.2 Modelle

4.2.1 Grundlegendes zu Modellen: Definition und Beurteilung

Die zuverlässigste Möglichkeit, Systemverhalten zu analysieren, besteht darin, das System

selbst unter verschiedenen Bedingungen zu untersuchen. Dies ist nicht immer realisierbar, da

z. B. entweder die nötigen Bedingungen nicht hergestellt werden können, das System (noch)

nicht existiert, zeitliche oder finanzielle Restriktionen vorhanden sind, oder aus dem Betreiben

des Systems eine Gefahr für Mensch oder Umwelt entsteht. In solchen Fällen muss auf die Mo-

dellbildung zurückgegriffen werden, um anhand von Experimenten am Modell Erkenntnisse

über das System abzuleiten [Bos94, S. 27].

I. d. R. bilden Modelle die Realität nicht in jedem Detail nach, sondern sie beschränken sich

auf wichtige Aspekte, die für die Lösung einer spezifischen Problemstellung ausschlaggebend

sind. Sie stellen also eine Abstraktion der Wirklichkeit dar. Der Begriff des Modells kann daher

wie folgt definiert werden:

45

Ein Modell ist eine vereinfachte Abbildung eines Systems, in dem nur die für die

Beantwortung einer bestimmten Fragestellung relevanten Ziele, Elemente und Re-

lationen dargestellt werden [Bos94, S. 27].

So reicht die Vielfalt der Modelle von Denkmodellen, über ggf. verkleinerte oder vereinfachte

Ebenbilder von Bauwerken, Fahr- und Flugzeugen, technischen Geräten, der Darstellung von

Prozessen und Abläufen in Diagrammen, Modellen für gesellschaftliche Strukturentwicklun-

gen bis zu Planspielen, die menschliches Verhalten abbilden und vielem mehr. Ebenso können

Modelle aus mathematischen Formeln bestehen und als solche auch in einem Computerpro-

gramm realisiert sein. Jedes System beziehungsweise jeder Sachverhalt, der sich formalisieren

lässt, kann computergestützt dargestellt werden. Dies erweitert die Möglichkeit, komplexe und

dynamische Modelle abbilden und deren Verhalten untersuchen zu können [Bos94, S. 11].

Die Fragestellung, die durch Beobachten des Modellverhaltens beantwortet werden soll, be-

stimmt das Ziel des Modells, auch Modellzweck genannt. Eine begrenzte Fragestellung erlaubt

die Begrenzung des Modells auf einen bestimmten Antwortbereich. Diese Begrenzung unter-

stützt die Effizienz, Zuverlässigkeit und Aussagekraft eines Modells, da Komplexität und somit

mögliche Fehlerquellen vermindert werden. Die Spezifikation des Modellzwecks ist fundamen-

tal für die Aussagekraft und Effizienz des Modells und muss deshalb zu Beginn der Modell-

entwicklung erfolgen. Aus dem Modellzweck ergeben sich dann Art und Umfang des Modells.

Sollen verschiedene Fragestellungen untersucht werden, so werden diese über unterschiedli-

che Modellzwecke definiert. Somit muss allerdings für jeden Modellzweck ein eigenständiges

Modell von unterschiedlicher Art und unterschiedlichem Umfang formuliert werden, da jedes

Modell nur für seinen Modellzweck Gültigkeit besitzt [Bos94, S. 28].

4.2.2 Ansätze für die Modellbildung

Für die Modellentwicklung können zwei unterschiedliche Ansätze verwendet werden: Der ver-

haltensbeschreibende und der verhaltenserklärende Ansatz.

Mit ersterem wird durch Beobachtung der Eingangs- und Ausgangsgrößen eines oder meh-

rerer vergleichbarer Systeme eine genaue Verhaltensbeschreibung des Systems erstellt. Bei die-

ser Methode ist es nicht erforderlich, die Systemstruktur zu kennen. Durch welches Zusammen-

spiel von Elementen und Wirkungsbeziehungen das Verhalten des Systems zu Stande kommt,

ist unbekannt und auch unerheblich. Diese Systemstruktur wird hierbei als Black Box betrach-

tet, da quasi nicht in sie hinein geblickt werden kann. Jedes Modell, das so das Verhalten des

46

Systems abbilden kann, erfüllt den Modellzweck. Modelle dieser Art besitzen jedoch nur für

die beobachteten historischen Bedingungen Gültigkeit, da sie diese i. d. R. lediglich in ihrer

bekannten quantitativen Ausprägung nachbilden können und qualitative Wirkungsbeziehungen

der Systemstruktur, die in der Black Box verborgen sind, nicht erfassen können. Zukünftiges

Verhalten können Modelle, die mit Hilfe dieses Ansatzes entwickelt wurden, deshalb nur mit

hinreichender Zuverlässigkeit und Aussagekraft abbilden, wenn die Reaktionen des Systems

eine gewisse Regelmäßigkeit aufweisen, die auch für die Zukunft vorausgesetzt werden kann

[Bos94, S. 12, S. 29 f.]. Die Datenbeschaffung und Auswertung der Parameterschätzung für

die Realisierung in einem Computersimulationsmodell kann sich für diesen Ansatz relativ auf-

wändig gestalten [Bos94, S. 32]. Verbildlicht lässt sich ein System, das mit dem verhaltensbe-

schreibenden Ansatz betrachtet wird, wie in Abbildung 4.4 darstellen. Aus den Eingangsgrößen

ergeben sich, ohne dass die Systemstruktur bekannt ist, die Ausgangsgrößen.

Abbildung 4.4: Die Systemstruktur als Black Box

Bei Anwendung des verhaltenserklärenden Ansatzes wird die Systemstruktur, soweit es für

den Modellzweck erforderlich ist, nachgebildet. Dabei muss umfassendes Wissen über die re-

levanten Elemente und Wirkungsbeziehungen des Systems vorhanden sein, um ein strukturell

korrektes Modell entwickeln zu können. Im Gegensatz zur Interpretation der Systemstruktur als

Black Box wird sie bei dieser Methode als beobachtbare Glass Box betrachtet. Die Datenanfor-

derungen für die Modellentwicklung unterscheiden sich daher von denen für den verhaltens-

beschreibenden Ansatz. Historisches Systemverhalten hat nun eine untergeordnete Bedeutung,

vielmehr muss die Struktur des Systems mit ihren realen Parametern erkannt werden. Hier-

zu müssen alle zur Entwicklung eines Modells nötigen Wirkungsbeziehungen und Funktionen

im System mess- oder feststellbar sein. Zeitreihendaten des Systemverhaltens werden erst im

späteren Verlauf für die Validierung des Modells benötigt. I. d. R. besitzen Modelle, die nach

diesem Ansatz entwickelt werden, eine höhere Gültigkeit für das System, da strukturell korrekt

erkannte Strukturen nicht nur zu einem quantitativ korrekten Verhalten des Modells führen, al-

so die korrekten Zahlen für einen bekannten Zusammenhang liefern, sondern auch qualitativ

korrektes Verhalten erzeugen. Somit können solche Modelle auch eine Vorhersage über bisher

nicht beobachtetes Verhalten leisten, und bieten daher die Möglichkeit, zukünftige Systement-

47

wicklungen abzubilden und zu verstehen [Bos94, S. 12, S. 29 ff.]. Die Systemstruktur als Glass

Box gestaltet sich wie in Abbildung 4.5 illustriert. Die Ausgangsgrößen ergeben sich aus dem

Zusammenspiel der Eingangsgrößen mit der Systemstruktur.

Abbildung 4.5: Die Systemstruktur als Glass Box

Eine Mischform beider Ansätze betrachtet die Systemstruktur als Grey Box. Diese findet An-

wendung, wenn Wirkungsstruktur und Parameter nicht vollständig bestimmt werden können.

Mit den bekannten Parametern und Wirkungszusammenhängen wird das Modell soweit entwi-

ckelt, dass es sich zumindest qualitativ korrekt verhält. Die fehlenden Größen werden dann so

geschätzt, dass das Modellverhalten das Systemverhalten auch quantitativ möglichst genau wie-

dergibt [Bos94, S. 29]. Eine grafische Darstellung dieser Betrachtungsweise ist in Abbildung

4.6 zu sehen.

Abbildung 4.6: Die Systemstruktur als Grey Box

Die Systemstruktur enthält unbekannte Größen, gekennzeichnet durch das Fragezeichen-Symbol,

die geschätzt werden müssen. Das resultierende Verhalten v′(t) unterscheidet sich nur mit einer

geringen Abweichung oder gar nicht vom real beobachteten Verhalten v(t).

4.2.3 Modellgültigkeit

Ein Modell muss, wenn es verlässliche Aussagen liefern soll, validiert werden. Modellgültigkeit

kann jedoch im Prinzip nicht bewiesen, sondern nur widerlegt werden. Sie besteht deshalb nur

so lang, wie jede der vier folgenden Bedingungen vom Modell erfüllt wird [Bos94, S. 36]:

1. Verhaltensgültigkeit: Das Modell liefert bei gleichen Anfangsbedingungen und Um-

welteinwirkungen das qualitativ selbe Verhalten wie das System,

2. Strukturgültigkeit: Wirkungsstruktur von System und Modell stimmen überein,

48

3. Empirische Gültigkeit: Das Modell liefert bei gleichen Anfangsbedingungen und Um-

welteinwirkungen die quantitativ selben Ergebnisse wie das System, Bei fehlenden Be-

obachtungen im System sind die Modellergebnisse konsistent und plausibel und

4. Anwendungsgültigkeit: Modell und Simulation erfüllen die Anforderungen des Modell-

zwecks und des Anwenders.

Kann die Gültigkeit des Modells nicht widerlegt werden, so spricht nichts gegen seine Nutzung

in einer Simulation.

4.3 Simulation

4.3.1 Grundlegendes zur Simulation

Der Begriff Simulation ist eng mit dem der Modellbildung verbunden und kann wie folgt abge-

grenzt werden:

„Simulation ist das Nachbilden eines Systems mit seinen dynamischen Prozessen

in einem experimentierfähigen Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf

die Wirklichkeit übertragbar sind. Im weiteren Sinne wird unter Simulation das

Vorbereiten, Durchführen und Auswerten gezielter Experimente mit einem Simu-

lationsmodell verstanden [VDI96, S. 14].“

Wird nur der erste Satz der Definition betrachtet, so sind Modellbildung und Simulation gleich-

zusetzen. Da die gesuchten Erkenntnisse jedoch in den Experimenten am Modell liegen, die

eine reine Modellbildung nicht einschließt, können und müssen die Begriffe voneinander abge-

grenzt werden. Insbesondere auf dem zweiten Teil der Definition soll im Folgenden der Fokus

liegen, da Modelle bereits in Abschnitt 4.2 diskutiert wurden.

Es gibt zahlreiche Kriterien zur Unterscheidung und Klassifizierung von Simulationsmo-

dellen und Simulation i. A. Zum einen kann nach der Zufallsabhängigkeit der zu simulierenden

Prozesse in deterministische und stochastische Simulation unterschieden werden. Zur deter-

ministischen Simulation wird ein deterministisches Modell verwendet, d. h., bei Kenntnis der

Eingangsgrößen sind die Ausgangsgrößen direkt bestimmbar. In der stochastischen Simulati-

on sind die Modellgrößen zufallsabhängig. Sie werden über Zufallsvariablen, deren Realisation

einer Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt, beschrieben [Geh87, S. 295 ff.].

49

Zum anderen ist eine Unterscheidung nach der Realisationsweise des Systems im Simulati-

onsmodell möglich. So kann nach einer analog physikalischen Simulation und nach einer com-

putergestützten Simulation differenziert werden. Eine analog physikalische Simulation verwen-

det ein Simulationsmodell, das, bis auf einen meist kleineren Maßstab, so exakt wie möglich

mit der Realität korrespondiert. Ein Beispiel für eine solche Simulation ist das Experimentieren

im Windkanal, um die aerodynamischen Eigenschaften eines Objekts zu untersuchen. Diese

Simulationsmodelle werden deshalb gelegentlich auch ikonisch genannt [BFS87, S. 2].

Des Weiteren kann eine Simulation nach der Abbildung von Prozessen in diskreten oder

kontinuierlichen Größen differenziert werden. Stetige Systemprozesse können entweder durch

kontinuierliche Größen ausgedrückt werden oder mit Hilfe diskreter Größe approximiert wer-

den. Für nicht stetige Prozesse ist natürlich nur eine diskrete Abbildung sinnvoll. Kontinuierli-

che Größen können in einem gegebenen Wertebereich unendlich viele Werte annehmen, wäh-

rend diskrete Größen auf eine endliche Anzahl von Werten beschränkt sind. Das Messen der Zeit

in Zeiteinheiten ist bspw. eine Abbildung einer stetigen Größe durch eine diskrete. Simulations-

modelle müssen nicht rein diskret oder rein kontinuierlich sein. Hybride Modelle, in denen etwa

die Zeit als diskrete Größe modelliert wird und andere Prozesse durch Differentialgleichungen

abgebildet werden, werden regelmäßig betrachtet. In der Wirtschaft ist die Verwendung rein

diskreter Modelle die Regel [Geh87, S. 294 f.].

Schließlich ist innerhalb der diskreten Simulation eine Trennung nach Konzepten für die

Modellierung der Ablaufsteuerung möglich. Die Ablaufsteuerung gibt vor, wann die Modell-

zeit fortgeschrieben wird und wie Ereignisse verwaltet und zeitlich gesteuert werden. Die Mo-

dellzeit unterscheidet sich i. d. R. von der Echtzeit, da sie einerseits schneller oder langsamer

vergehen kann und andererseits im Rahmen der diskreten Simulation sprunghaft voranschreitet.

Ein Ereignis tritt immer dann ein, wenn sich der Modellzustand ändert [Geh87, S. 313].

Es gibt vier Ansätze für die Ablaufsteuerung: den prozessbasierten, den ereignisorientierten,

den aktivitätsbasierten und den Drei-Phasen-Ansatz [Ban98, S. 9 f.].

Der prozessbasierte Ansatz verfolgt die Bewegung einer Einheit durch verschiedene Statio-

nen im Simulationsmodell. Als Prozess wird hierbei eben diese Abfolge verschiedener Statio-

nen bezeichnet. An gewissen Stationen im Modell muss die Einheit ihre Bewegung unterbre-

chen, da sie mit den Ressourcen des Modells interagiert. Daraus ergeben sich zwei Arten von

Verzögerungen. Die, die entstehen, wenn die Einheit auf Freiwerden einer Ressource wartet und

50

die, wenn sie selbst eine Ressource belegt. Die Modellzeit schreitet simultan mit der Bewegung

der Einheit im Modell fort.

Die Simulationszeit wird bei der ereignisorientierten Methode immer nur dann fortgeschrie-

ben, wenn ein Ereignis eintritt. Sie verändert sich daher nur sprunghaft. Ein Ereignis ist bspw.

die Ankunft einer Einheit im Modell, der Beginn einer Wartezeit oder das Freiwerden einer

Ressource.

Der aktivitätsbasierte Ansatz besteht aus zwei Phasen. In der ersten Phase wird überprüft,

welche Aktivitäten zum nächsten Zeitpunkt starten können. Eine Aktivität kann starten, wenn

ihre Bedingung erfüllt ist. Die Modellzeit wird auf den nächsten Zeitpunkt fortgeschrieben. In

Phase zwei werden alle fälligen Aktivitäten gestartet und der Modellzustand wird aktualisiert.

Bei der Drei-Phasen-Methode wird die Modellzeit in der ersten Phase analog zum aktivi-

tätsbasierten Ansatz auf den nächsten Zeitpunkt fortgeschrieben. Dann werden in der zweiten

Phase alle Ereignisse, die zum aktuellen Zeitpunkt fällig sind, ausgeführt. In der letzten Phase

beginnen alle nachgelagert möglichen Aktivitäten.

Probleme können aus der Einteilung der Zeitintervalle für die Zeitmodellierung im aktivi-

tätsbasierten und im Drei-Phasen-Ansatz entstehen [Ban98, S. 10]. Wird das Zeitintervall groß

gewählt, fallen mehrere Ereignisse innerhalb dieses Intervalls an. Diese können nur am Ende

des Intervalls in sequentieller Weise abgearbeitet werden. Aus der Reihenfolge der Abarbeitung

können sich demnach Ungenauigkeiten oder ablauflogische Fehler ergeben. Wird das Intervall

hingegen sehr klein gewählt, so kann es vorkommen, dass zu einigen Zeitpunkten überhaupt

keine Ereignisse eintreten. Dies bringt unnötige Zustandsberechnungen mit sich [Geh87, S.

315].

Eine Zusammenfassung der zuvor erläuterten Möglichkeiten zur Klassifizierung von Simu-

lation und Simulationsmodellen ist der Tabelle 4.1 zu entnehmen.

4.3.2 Beurteilung und Eignung der Simulation

Vorteile

Modellbildung und Simulation bringen eine Reihe von Vorteilen mit sich, da das Experimen-

tieren am System, welches dadurch eventuell verändert wird, zu Schaden kommt oder zerstört

wird, nicht erforderlich ist [Bos94, S. 27].

Hierdurch können Anhaltspunkte für notwendige Änderungen im System aufgedeckt wer-

den, um unerwünschtes, mitunter gefährliches oder rechtlich nicht zulässiges Verhalten des Sys-

51

Ausprägung Klassifizierung

stochastischdeterministisch

Nach der Zufallsabhängigkeit von Prozessen und Variablen

ikonischcomputergestützt

Nach der Realisationsweise des Modells

kontinuierlichdiskret

Nach der Abbildung von Prozessen und Variablen

↪→Prozessbasierter Ansatz↪→Ereignisorientierter Ansatz↪→Aktivitätsbasierter Ansatz↪→Drei-Phasen-Ansatz

Nach dem Modellierungskonzept für die Ablaufsteuerung

Tabelle 4.1: Klassifizierungsmöglichkeiten in der Simulation

tems aufzudecken und zu beseitigen oder von vorn herein zu vermeiden [Bos94, S. 45 f.]. Die

laufende Kontrolle bestimmter Werte und Entwicklungen kann über eine parallel zum System

laufende Simulation unterstützt werden. Durch dieses so genannte System-Management kann

unerwünschten Entwicklungen ggf. rechtzeitig entgegengewirkt werden [Bos94, S. 13 ff.].

Sowohl Systeme, die in der Realität noch nicht existieren, als auch neue Strategien, Ver-

fahren und Arbeitsabläufe können mit Hilfe einer Simulation untersucht werden, ohne dass

übliche Abläufe und Strukturen in der Realität gestört werden. Zudem verursacht Simulation

i. d. R. geringere Kosten, als das Experimentieren am System. Es können bspw. verschiedenste

Modellalternativen und Konstruktions- sowie Gestaltungsmöglichkeiten erprobt werden, ohne

dass Ressourcen dafür verausgabt werden müssen. Simulation unterliegt quasi keinerlei zeit-

licher Restriktion, da die Simulationsgeschwindigkeit beliebig gesteuert werden kann, sodass

jedes Modell mit der geeigneten zeitlichen Detaillierung untersucht werden kann. Im Gegensatz

zum System besteht innerhalb der Simulation die Möglichkeit, alle Größen zu kontrollieren. So

können theoretische Fragen zur Ursache von Wirkungen beantwortet werden. Schließlich ver-

leiht Simulation Modellen eine höhere Glaubwürdigkeit, da theoretische Überlegungen, wie ein

System sich verhalten müsste, die ggf. auf Meinungen einzelner beruhen, in objektiver Weise

bestätigt werden können. Dies kann für computergestützte Simulationsmodelle i. A. durch eine

Animation der Prozesse unterstützt werden [Ban98, S. 10 f.].

Nachteile

Modellbildung und Simulation haben jedoch nicht nur Vorteile. Vor allem bei komplexen Sys-

temen ist fraglich, ob das Modell das interessierende Systemverhalten wirklich und vollständig

52

abbildet. Eine gewisse Vorsicht bei der Interpretation der Simulationsergebnisse ist demnach

geboten. Insbesondere die Abbildung von Systemen, deren Verhalten noch nicht hinreichend

genau bekannt ist, gestaltet sich oft schwierig, sodass ein Abwägen zwischen vertretbarem Auf-

wand in der Modellbildung und Durchführung der Simulation und der Sicherheit der Verhal-

tensaussage nötig ist [Bos94, S. 12]. Auf Grund der prinzipiellen Unmöglichkeit, die Gültigkeit

eines Modells zu beweisen, kann auch für ein Modell, dessen Gültigkeit nicht widerlegt wurde,

nicht vorausgesetzt werden, dass System- und Modellverhalten immer identisch sind. Daher

sollten Erkenntnisse aus dem Modell als solche von Erkenntnissen aus dem System bewusst

abgegrenzt werden [Bos94, S. 27 f.]. Bei der Modellbildung kann es gerade bei komplexen Mo-

dellen Schwierigkeiten bereiten, einen geeigneten Detaillierungsgrad zu finden. Dieser sollte

so grob wie möglich und so fein wie nötig sein, sodass Simulationsergebnisse mit möglichst

wenig Aufwand geliefert und analysiert werden können. Ist der Detaillierungsgrad zu niedrig,

führt dies zu einer Übersimplifizierung des abzubildenden Systems, während ein zu hoher De-

taillierungsgrad in einem ineffizienten Modellbildungsprozess resultiert [GH08, S. 395].

Allgemeine Tauglichkeit

So umfangreich die Vorteile der Modellbildung und insbesondere der Simulation auch sind,

sollte die Simulation nicht als universelle Lösungsmethode für jedes Problem verwendet wer-

den. Wenn für ein Problem eine geschlossene Lösung auf analytischem Wege bestimmt werden

kann, sollte darauf zurückgegriffen werden. Der Vorteil analytischer Lösungen, sofern solche

existieren, ist ihre Exaktheit. Ist dies nicht möglich, so existieren verschiedene numerische Ver-

fahren, mit deren Hilfe eine hinreichend genaue Lösung gefunden werden kann. Mit steigender

Komplexität des Problems, sinkt jedoch häufig die Effizienz numerischer Verfahren. Nachtei-

lig ist auch der Umstand, dass bei einer Parameteränderung eine zuvor bestimmte numerische

Lösung nutzlos ist. In diesem Fall muss das Problem mit den veränderten Parametern erneut

gelöst werden. Zuletzt existiert für einige Probleme überhaupt keine analytische oder numeri-

sche Lösung, da sie nicht mit Hilfe analytischer oder numerischer Verfahren formuliert oder nur

sehr stark vereinfacht formuliert werden können. In diesem Fall sollte die Simulation gewählt

werden [GH08, S. 352 f.].

Die Entscheidung fällt in der Praxis häufig schnell zu Gunsten der Simulation, da sie grund-

sätzlich anschauliche, leicht verständliche Ergebnisse liefern kann. Der Aufwand für Datenbe-

schaffung und -analyse, um gute Handlungsempfehlungen auf Basis der Simulationsergebnisse

53

zu formulieren, sollte jedoch nicht vernachlässigt werden [BFS87, S. 3].

Eignung der Simulation für Bedienungsmodelle

Ein analytisches Lösungsverfahren kann, wie in Abschnitt 3.2.2 diskutiert, nicht für jedes War-

teschlangenmodell angewendet werden oder besitzt lediglich eine Lösung für den stationären

Zustand. Auch die Effizienz numerischer Verfahren ist z. B. häufig nicht mehr gegeben, wenn

sich die Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Beschreibung des Ankunfts- oder Bedienprozes-

ses in Abhängigkeit von der Zeit verändern [GH08, S. 370 f.]. Viele Probleme in der Realität

lassen sich zudem nicht in einem exakten mathematischen Modell abbilden. Das Suchen einer

näherungsweisen Lösung bietet sich dann an [GH08, S. 3]. In solchen Fällen eignet sich Simu-

lation besonders gut zur Lösungsbestimmung. Mit Hilfe von Simulation lässt sich zwar i. d. R.

keine optimale Lösung finden, da nicht alle Alternativen verglichen werden können, durch eine

sinnvolle Wahl an zu vergleichenden Alternativen können jedoch seht gute Lösungen aufgespürt

werden [GH08, S. 371].

Insbesondere um das Verhalten eines Callcenters zu beobachten, zu analysieren und schließ-

lich Möglichkeiten einer geeigneten Beeinflussung abzuleiten, eignet sich die Entwicklung und

Anwendung eines Simulationsmodells, denn die zufallsabhängigen Einflüsse, komplexen Struk-

turen und volatilen Einflüsse im Callcenter lassen sich realitätsnah mit Hilfe von Simulation

darstellen [ABH05, S. 31]. Kosten- und Zeitrestriktionen lassen ein physikalisches Modell mit

Arbeitsplätzen, Agenten, Anrufern und verschiedenen Szenarien bezüglich der Eingangsgrößen

und Funktionen des Systems ausscheiden, sodass sinnvollerweise ein Computersimulationsmo-

dell zur Abbildung des Systems entwickelt werden sollte. Ein solches Modell besitzt weit mehr

Aussagekraft in Bezug auf den richtigen Personaleinsatz, als Einsatzplanvorschläge kommerzi-

eller Personaleinsatzplanungssoftware, da deren Berechnungen vielfach auf zu starken Verein-

fachungen beruhen und somit unrealistische Ergebnisse liefern können. Selbst realitätsnähere

Warteschlangenmodelle sind mitunter nicht zielführend, da die interessierenden Kenngrößen

nicht einfach oder ggf. gar nicht berechnet werden können. Verschiedenste Systemfunktionen

wie Blockieren, Zurückscheuen oder Auflegen, zeitabhängige Anrufankunftsraten, zustandsab-

hängige Bedienprozesse oder technische Funktionen wie SBR und Überlaufregelungen können

in einem Simulationsmodell abgebildet werden und somit ein realitätsnahes Modellverhalten er-

zeugen. Zudem bietet ein Computersimulationsmodell große Flexibilität bei der Untersuchung

verschiedener Systemalternativen.

54

4.3.3 Werkzeuge zur Entwicklung von Simulationsmodellen

Ein Modell kann mit Hilfe unterschiedlicher Werkzeuge gestaltet werden. Für physikalische

Modelle können dies Werkstoffe wie Holz, Metall oder Kunststoff sein, wenn z. B. ein ver-

kleinertes Abbild eines Gebäudes erstellt werden soll. Chemische Stoffe und entsprechende

Utensilien werden benötigt, wenn etwa ein Experiment durchgeführt werden soll, welches Auf-

schluss über bestimmte chemische Reaktionen gibt. Nichtphysikalische Modelle erfordern an-

dere Werkzeuge. Ein Denkmodell entsteht bspw. im Kopf des Gestalters, sodass als Werkzeug

der Intellekt benötigt wird. Computersimulationsmodelle (im Folgenden kurz: Simulationsmo-

delle) werden mit Hilfe einer Programmiersprache oder einer Simulationssoftware formuliert.

Bossel unterscheidet für die Erstellung eines Simulationsmodells vier verschiedene Kategori-

en, in denen unterschiedliche Simulationswerkzeuge einzeln oder in Kombination eingesetzt

werden [Bos94, S. 140 f.]:

1. Formulierung des kompletten Modells in einer allgemein einsetzbaren Programmierspra-

che,

2. Formulierung der Simulationsumgebung mit einer Simulationssprache,

3. Formulierung des kompletten Modells in einer Simulationssprache und

4. Verwendung einer interaktiven Simulationssoftware.

Wird ein Simulationsmodell in einer allgemein einsetzbaren Programmiersprache geschrieben,

so bietet diese komplette Eigenentwicklung unzählige Gestaltungsmöglichkeiten, sodass die in-

dividuellen Anforderungen an das Modell vollständig erfüllt werden können. Allerdings ist der

Aufwand für eine solche Eigenentwicklung sehr hoch und es müssen umfassende Program-

mierkenntnisse vorhanden sein. Deshalb kommt sie nur in Frage, wenn spezielle Anforderun-

gen erfüllt werden müssen und diese durch Nutzung einer vorhandenen Simulationsumgebung

nicht erfüllt werden können. Wird für die Gestaltung der Simulationsumgebung eine vorhande-

ne Simulationssprache verwendet, so muss nur noch der Programmteil für das Modell mit einer

allgemein einsetzbaren Programmiersprache geschrieben werden. Der Aufwand verringert sich

relativ zur kompletten Eigenentwicklung. Bei ausschließlicher Verwendung einer Simulations-

sprache, ist zwar i. d. R. die Programmierung einfacher, sie bietet jedoch nicht dieselbe Fülle

an Gestaltungsmöglichkeiten wie die einer allgemein einsetzbaren Programmiersprache. Für

die Verwendung einer interaktiven Simulationssoftware sind keinerlei Programmierkenntnisse

nötig. Mit Hilfe einer grafischen Oberfläche können die Elemente und Wirkungsbeziehungen

55

des Modells abgebildet bzw. eingegeben werden. Dieses Werkzeug ist sehr intuitiv und be-

nutzerfreundlich, schränkt den Entwickler bei der Modellformulierung allerdings auch auf die

begrenzten Möglichkeiten der Software ein.

56

5 Ein Callcenter in der Praxis: das System

und das Modell

In diesem Kapitel soll ein Vorschlag für die Entwicklung eines Simulationsmodells für einen

Standort des Callcenterbereichs Day Definite International (DDI) der Deutschen Post beschrie-

ben werden. Zunächst wird dafür in Abschnitt 5.1 der Aufbau und die Funktionsweise dieses

Callcenters erläutert. Darauf folgt in Abschnitt 5.2 eine theoretische Übersicht über die Schritte,

die notwendig sind, um am Vorbild des Systems ein Modell zu entwickeln. In den sich anschlie-

ßenden Abschnitten wird der hier vorgestellten Systematik gefolgt. Abschnitt 5.3 behandelt

zunächst die Entwicklung des Modellkonzepts, an den sich die Umsetzung des Konzepts im

Simulationsmodell in Abschnitt 5.4 anschließt.

5.1 Charakteristik des Callcenters

5.1.1 Aufbau- und ablauforganisatorische Merkmale

Das Callcenter für den Bereich DDI wird nicht unternehmensintern von der Deutschen Post

AG, sondern von der Tochtergesellschaft Deutsche Post Customer Service Center GmbH in

der Funktion eines unternehmensorientierten Dienstleisters betrieben. Es bearbeitet alle Kun-

denanfragen zu Paketsendungen von Deutschland ins Ausland und umgekehrt, die die Vorgabe

einer tagesgenauen Zustellung beim Empfänger haben. Physikalisch teilt sich das Callcenter

auf die Standorte Monheim am Rhein und Frankfurt am Main auf. Somit handelt es sich um

ein virtuelles Callcenter. Agenten sind über eine Servicerufnummer täglich 24 Stunden erreich-

bar, wobei der Standort Monheim maximal zwischen 7 Uhr und 23 Uhr besetzt ist. Für die

Phasen zu Beginn und zum Ende seiner Betriebszeit – also in den frühen Morgen- und späten

Abendstunden – wird dieser entsprechend später bzw. kürzer besetzt, wenn die Vorhersage des

Anrufeingangs ein sehr niedriges Volumen hat. Aus Effizienzgründen werden Anrufe, die inner-

halb solcher Phasen eingehen, ausschließlich von Frankfurt aus bedient. Im Folgenden wird nur

der Standort Monheim betrachtet, da die vorliegenden empirischen Daten auf diesen Standort

beschränkt sind. Da die Aufgaben der Agenten sich nicht auf die bloße Anrufbearbeitung be-

schränken, kann das Callcenter als eines der weiten Definition bezeichnet werden.18 Neben der18Vgl. hierzu Abschnitt 2.1.1.

57

Beantwortung von E-Mails und sonstigem Schriftverkehr, nimmt die Anrufbearbeitung jedoch

den überwiegenden Anteil der Arbeitszeit ein. Insgesamt steht im Bereich DDI eine Personal-

kapazität, die rund 53 Vollzeitkräften (Full time equivalent (FTE)) entspricht, zur Verfügung.

Weitere 65 FTE sind für die Aufgaben im Bereich DDI geschult, sodass sie bei Bedarf kurzfris-

tig eingesetzt werden könnten.

Die im Callcenter auszuführenden Tätigkeiten aus Sicht der Agenten gestalten sich, wie in

Abbildung 5.1 dargestellt.

Abbildung 5.1: Arbeitsablauf im Callcenter aus Agentensicht

Bevor der Agent bereit ist, einen Anruf entgegenzunehmen, muss er sich an seinem Arbeits-

platz am System anmelden. Dieser Rüstvorgang nimmt ca. zehn Minuten Zeit in Anspruch. Im

System gibt es neun verschiedene Status, über die der Agent anzeigen kann, dass er zurzeit

kein Gespräch annehmen kann, wie beispielsweise „Back-Office“, „Training“ oder „Betriebs-

rat“. Setzt er keinen dieser Status, so gilt er als verfügbar. Zu Beginn seiner Arbeitszeit erhält

der Agent den Status „bereit“. Solange die Telefonanlage noch keinen Anruf an den Agenten

durchstellt, kann dieser andere Tätigkeiten ausüben, wie z. B. das Beantworten von E-Mails.

Eine solche Tätigkeit wird allerdings nicht über einen Status abgebildet, d. h. der Agent gilt

58

währenddessen permanent als verfügbar, einen Anruf entgegenzunehmen. Wird in dieser Zeit

ein Anruf an den Agenten durchgestellt, so muss er seine aktuelle Tätigkeit unterbrechen. Die

Bearbeitung eines Anrufs hat immer Priorität. Nach Abschluss des Gesprächs kann der Agent

sich wieder seiner ggf. zuvor begonnenen Tätigkeit widmen. Möglicherweise benötigt er nun

eine verkürzte Einarbeitungszeit in den bereits behandelten Sachverhalt. Ein nicht geringer An-

teil, ca. 35% der eingehenden Anrufe, wird vom Callcenter weitergeleitet. Dies kann entweder

geschehen, weil das Anliegen des Anrufers nicht vom Bereich DDI bearbeitet werden kann oder

weil der Anrufer, nach Bedienung durch den Bereich, ein weiteres Anliegen hat.

5.1.2 Gestalt der stochastischen Prozesse

Das Volumen des Anrufeingangs unterscheidet sich je nach Wochentag. In einer repräsentativen

Woche ohne Feiertage verteilt es sich auf die einzelnen Tage, wie in Abbildung 5.2 zu sehen.

Abbildung 5.2: Typische Verteilung des Anrufeingangs pro Woche

Von montags, mit im Mittel etwa 1330 Anrufen, auf dienstags, mit mittleren 1350 Anrufen, ist

eine leichte Steigerung des Volumens festzustellen. Mittwochs und donnerstags ist jeweils ein

moderater Rückgang auf etwa mittlere 1270 bzw. 1240 Anrufe zu verzeichnen. Ein deutlicherer

Einbruch auf im Mittel ungefähr 1060 Anrufe ist am Freitag zu beobachten. Samstags redu-

ziert sich das Volumen, im Vergleich zum Freitag, um die Hälfte auf mittlere 530 Anrufe. Der

geringste Anrufeingang ist sonntags, mit etwa mittleren 170 Anrufen, festzustellen.

Nicht nur für die Verteilung des Volumens auf die einzelnen Tage kann eine Regelmäßigkeit

festgestellt werden, sondern auch für das Muster des Anrufeingangs pro Tag. Diese Muster

zeigen die Abbildungen 5.3 bis 5.9.

59

Abbildung 5.3: Typische Verteilung des Anrufeingangs am Montag

Abbildung 5.4: Typische Verteilung des Anrufeingangs am Dienstag

Abbildung 5.5: Typische Verteilung des Anrufeingangs am Mittwoch

In der maximalen Betriebszeit zwischen 7 und 23 Uhr ist für die tatsächliche Betriebszeit das

Volumen des Anrufeingangs pro 15-Minuten-Intervall eingetragen. Beim Vergleich der Muster

kann direkt festgestellt werden, dass diese für die Tage Montag bis Freitag in ihren Spitzen

und Einbrüchen starke Ähnlichkeit aufweisen: Zu Beginn der Betriebszeit steigt das Volumen

rasch auf das erste lokale Maximum an, fällt zwischenzeitlich auf ein lokales Minimum ab, um

danach wieder auf ein nahezu gleichstarkes Niveau anzuwachsen. Nach diesem zweiten lokalen

60

Abbildung 5.6: Typische Verteilung des Anrufeingangs am Donnerstag

Abbildung 5.7: Typische Verteilung des Anrufeingangs am Freitag

Abbildung 5.8: Typische Verteilung des Anrufeingangs am Samstag

Maximum sinkt das Volumen zunächst stark ab, dann zeigt das Muster ein gemäßigteres Gefälle

bis zum Ende der Betriebszeit.

Das erste lokale Maximum ist montags bis donnerstags gegen 10 Uhr zu beobachten, wäh-

rend es freitags bereits gegen 9 Uhr auftritt. Auch das lokale Minimum liegt freitags früher als

montags bis donnerstags, nämlich zwischen 10 und 11 Uhr anstatt zwischen 12 und 13 Uhr. Ge-

nauso verhält es sich auch mit dem endgültigen Rückgang des Anrufeingangs nach dem zweiten

61

Abbildung 5.9: Typische Verteilung des Anrufeingangs am Sonntag

lokalen Maximum: von montags bis donnerstags beginnt dieser ungefähr zwischen 14 und 15

Uhr, während er freitags schon zwischen 12 und 13 Uhr startet. Samstags zeigt sich ein anderes

Muster, wie in Abbildung 5.8 zu erkennen ist. Die beiden lokalen Maxima, gegen 11 und gegen

17 Uhr, liegen nicht so dicht beieinander und das erste ist deutlich größer als das zweite. Das

lokale Minimum tritt gegen 15 Uhr auf. Sonntags zeigt sich wiederum ein anderes Muster, wie

in Abbildung 5.9 illustriert. Das Volumen des Anrufeingangs ist recht gleichmäßig über die ge-

samte Betriebsdauer verteilt, sodass lokale Spitzen und Einbrüche kaum festzustellen sind. Die

drei unterschiedlichen Muster sind zusammengefasst in Abbildung 5.10 zu sehen.

Abbildung 5.10: Drei typische Muster des Anrufeingangs

Der Bedienprozess ist durch teilweise erhebliche Schwankungen in den Bedienzeiten gekenn-

zeichnet. Im Tagesmittel ist eine Spanne von 53 bis 241 Sekunden zu beobachten. Die für 2007

ermittelten Häufigkeiten der Tagesmittelwerte sind Abbildung 5.11 zu entnehmen.19

Welche Länge die einzelnen Bedienprozesse haben, ist aus dieser Datenbasis jedoch nicht

ableitbar.

19Die der Abbildung zu Grunde liegende Datentabelle befindet sich in Anhang A.3.

62

Abbildung 5.11: Häufigkeiten der mittleren Bedienzeiten

5.2 Vom System zum Simulationsmodell

Um das Verhalten eines Systems in einem Simulationsmodell abzubilden, sind zwei Phasen mit

verschiedenen Abschnitten strukturiert zu durchlaufen:

1. Phase: Modellkonzeptentwicklung

• Formulieren des Wortmodells,

• Entwicklung des Wirkungsgraphen,

• Validierung des Modellkonzepts und

2. Phase: Umsetzung des Modellkonzepts

• Parametrisierung der System- und Umweltgrößen,

• Implementierung des Konzepts mit Hilfe eines Simulationswerkzeugs,

• Verifikation des Modells,

• Validierung des Modells,

• Durchführen der Simulation.

In der Modellkonzeptentwicklungsphase müssen zuerst in einer umgangssprachlichen Beschrei-

bung – dem Wortmodell – der Modellzweck definiert, Systemgrenzen bestimmt, Wirkungs-

zusammenhänge sowie Umwelt- und Systemgrößen erfasst werden. Das Wortmodell schafft

im Vergleich zu einer allgemeinen Systembeschreibung eine Komplexitätsreduktion, da darin

63

bereits Vereinfachungen und Zusammenfassungen auf wesentliche Zusammenhänge gemacht

werden. Die Wirkungsstruktur wird in der darauf folgenden Phase formal in einem sog. Wir-

kungsgraphen erfasst. Den Abschluss der Modellkonzeptentwicklung markiert die Validierung

des Wirkungsgraphen. Dort wird untersucht, ob die Wirkungszusammenhänge des Modells de-

nen des Systems entsprechen, denn aus der Wirkungsstruktur des Graphen lassen sich Wir-

kungsketten und Rückkopplungen zwischen Größen erkennen, deren Richtung (gleichsinnig

bzw. gegensinnig) eine qualitative Aussage zum Systemverhalten ermöglicht. Auch kritische

Elemente und Pfade, die besonders starken Einfluss auf das Verhalten haben, werden erkenn-

bar. Das Ergebnis der Modellkonzeptentwicklung ist ein erstes qualitatives Modell, das bereits

wichtige Erkenntnisse über das Systemverhalten verschaffen kann [Bos94, S. 47 ff.].

Nach der Entwicklung des Modellkonzepts kann dieses mit Hilfe eines Simulationswerk-

zeugs in einem Simulationsmodell umgesetzt werden. Hierfür sind zunächst die Werte der

System- und Umweltgrößen zu ermitteln bzw. festzulegen. Während der Implementierung im

Modell dient der Wirkungsgraph als Vorlage für die abzubildenden Zusammenhänge. Nach ei-

ner Verifikation sowie Valildierung des Modells kann schließlich die Simulation durchgeführt

werden [Bos94, S. 41 ff.].

5.3 Entwicklung des Modellkonzepts

5.3.1 Das Systemverhalten

Eine Auswertung der empirischen Daten für die Zeitspanne 30.04. bis 03.06. zeigt verschie-

dene Abhängigkeiten zwischen den aufgezeichneten Kennzahlen Erreichbarkeit, Servicelevel,

mittlere Wartezeit und Auflegerquote.

Mit einem Korrelationskoeffizienten von -0,908 ist eine ausgeprägte negative Korrelation

zwischen mittlerer Wartezeit und Servicelevel festzustellen. Dieser Zusammenhang ist anschau-

lich in Abbildung 5.12 zu dargestellt. Das entgegengesetzte Muster der Verläufe beider Kenn-

zahlen ist allein durch Betrachten der Abbildung deutlich zu erkennen.

Eine noch stärkere Korrelation ist mit einem Wert von -0,981 zwischen Auflegerquote und

Erreichbarkeit zu erkennen. Hier verhält sich der Verlauf der Größen beinahe spiegelverkehrt

zueinander. Dies ist gut in Abbildung 5.13 zu sehen.

Der ausgeprägte Zusammenhang dieser beiden Kennzahlenpaare ist darauf zurückzuführen,

dass die Wirkungen zwischen den Größen in beiden Fällen aus direkten Wirkungszusammen-

64

Abbildung 5.12: Beziehung zwischen mittlerer Wartezeit und Servicelevel

Abbildung 5.13: Beziehung zwischen Auflegerquote und Erreichbarkeit

hängen entstehen.20 Eine starke positive Korrelation besteht zudem zwischen den Größen mitt-

lere Wartezeit und Auflegerquote, da es sich auch hierbei um eine direkte Wirkung handelt.

Der Korrelationskoeffizient beträgt in diesem Fall 0,813. Grafisch ist dieser Zusammenhang in

Abbildung 5.14 dargestellt.

20Vgl. hierzu Abbildung 5.15 auf Seite 70.

65

Abbildung 5.14: Beziehung zwischen mittlerer Wartezeit und Auflegerquote

Indirekte, aber dennoch starke, Zusammenhänge lassen sich zwischen mittlerer Wartezeit und

Erreichbarkeit sowie Auflegerquote und Servicelevel beobachten. Auch Servicelevel und Er-

reichbarkeit sind korreliert, so dass eine Änderung des Modells, die zu einer Verbesserung der

einen Kennzahl führt, eine Verbesserung der anderen erwarten lässt.21

Zu Mittelwerten und Streuung der Größen kann Folgendes festgestellt: Die Mittelwerte der

mittleren Wartezeit, der Erreichbarkeit, des Servicelevels und der Auflegerquote über den ge-

samten Betrachtungszeitraum liegen bei 8,814 Sekunden, 99,138, 91,022 bzw. 0,836 %. Zudem

ist eine sehr geringe Streuung der Erreichbarkeit und der Auflegerquote um den Mittelwert, mit

0,575 bzw. 0,567 %, zu beobachten. Die Streuung von mittlerer Wartezeit und Servicelevel ist

mit 4,563 Sekunden bzw. 4,160 % moderat.

Weitere aussagekräftige Auswertungen können auf Basis der vorliegenden Daten nicht ge-

troffen werden. Bspw. ist zwar der Agenteneinsatz pro Planungsintervall und auch der Anruf-

eingang pro Intervall bekannt, aber daraus lässt sich etwa nicht die Auslastung der Agenten

bestimmen, da keine Informationen zu einzelnen Gesprächsdauern bekannt sind. So kann es

vorkommen, dass ein Agent pro Intervall zehn Anrufe bearbeiten kann, während er in einem

anderen Intervall bereits mit fünf Anrufen überlastet ist. Um weitergehende Erkenntnisse zu

erlangen ist deshalb die Modellbetrachtung und Analyse der Ergebnisse notwendig.

21Vgl. hierzu Anhang A.1.

66

5.3.2 Das Wortmodell

Bei der Beobachtung des Callcenterbetriebs ist festzustellen, dass Agenten teilweise minuten-

lang unbeschäftigt an ihrem Arbeitsplatz verbringen, da gleichzeitig weniger Anrufe einge-

hen, als Agenten zur Verfügung stehen. Dies bringt eine Auslastung der Agenten mit sich, die

geringer als erwünscht ist. Der Servicelevel dagegen ist durchgängig sehr hoch und liegt re-

gelmäßig über dem angestrebten Zielwert. Die Gründe für diese Abweichungen können auf

Grund von zwei Ursachen entstehen. Erstens unterliegt der Anrufeingang zufälligen Schwan-

kungen, sodass eine genaue Vorhersage und damit exakte Synchronisation von Agenteneinsatz

mit dem Anrufeingang nicht möglich ist und zweitens wird für die Personaleinsatzplanung ei-

ne Workforce-Managementsoftware verwendet, die tendenziell einen zu hohen Personalbedarf

vorschlagen könnte. I. A. wird eher eine leichte Überbesetzung akzeptiert, als Gefahr zu lau-

fen, dass festgelegte Zielgrößen auf Grund einer Unterbesetzung nicht erreicht werden. Das

Callcenter verfügt über so viele Leitungen, dass Anrufe i. d. R. niemals blockiert werden. Es

gibt jedoch regelmäßig Anrufer, die nicht direkt bedient werden können und daher zunächst in

eine Warteschlange eingereiht werden. Einige von ihnen sind nicht geduldig genug und legen

deshalb vor Beginn der Bedienung auf. Je höher die Wartezeittoleranz des einzelnen Anrufers

ist, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, dass er im Laufe der Wartezeit zurückscheut oder

auflegt. Brechen Wartende den Warteprozess ab, sinkt die Erreichbarkeit des Callcenters, da die-

se als Differenz von angebotenen Anrufen und Auflegern, Zurückscheuenden und blockierten

Anrufern definiert ist. Anrufer haben unterschiedliche Anliegen, wie z. B. Preis- und Produktan-

fragen, Fragen zur Sendungszustellung, Beschwerden usw. Zudem sind die individuellen Fähig-

keiten der Agenten unterschiedlich, sodass sich aus diesen beiden Einflüssen eine Schwankung

in der Bedienzeit ergibt. Hat ein Anrufer ein kompliziertes Anliegen oder sind seine Kommuni-

kationsfähigkeiten nicht besonders gut, so wird dies die Bedienzeit seines Anruf verlängern. Ist

der Agent jedoch besonders geübt im Umgang mit eben diesem Anliegen, so kann dies die Be-

dienzeit ebenso verkürzen. Eine hohe Bedienzeit lässt die Warteschlange anwachsen, was sich

letztendlich in den Kennzahlen Servicelevel und Erreichbarkeit niederschlägt. Die Fragestel-

lung, die durch die Simulation beantwortet werden soll, ist, ob der gewählte Personaleinsatz die

Einhaltung eines festgelegten Servicelevels bei gleichzeitig akzeptabler Auslastung der Agen-

ten gewährleistet.

Die Simulation soll den Callcenterbereich DDI für die maximale Betriebszeit am Standort

Monheim zwischen 7 und 23 Uhr abbilden. Effektiv wird nur der Zeitraum untersucht, zu dem

67

das Callcenter in Betrieb ist. Außer Anrufen wird im Callcenter auch Schriftverkehr bearbeitet.

Da der Anrufeingang aber mit Abstand den größten Teil der Kapazität der Agenten belegt,

beschränkt sich das Modell auf das Abbilden des Ankunfts- und Bedienprozesses für Anrufe.

Ob Anrufe weitergeleitet werden, ist für die Fragestellung irrelevant, sodass dies im Modell

außen vor bleibt.

Die Systemparameter sind Telefonleitungen und Agenten(-arbeitsplätze), denn sowohl die

Anzahl der eingesetzten Agenten, als auch die Anzahl der verfügbaren Telefonleitungen sind

steuerbar. Die Rate des Anrufeingangs und die individuelle Wartezeittoleranz der Anrufer ge-

hören zu den von außen bestimmten Einflüssen. Der Bedienprozess unterliegt systeminternen

sowie -externen Einflüssen, da sowohl Eigenschaften der Agenten, als auch der Anrufer auf ihn

einwirken. Zustandsgrößen sind die Anzahlen an aktuell eingesetzten Agenten, Telefonleitun-

gen, Anrufen in Bedienung und Anrufen in der Warteschlange.

5.3.3 Der Wirkungsgraph

Bei der Erstellung eines Wirkungsgraphen sind einige Regeln zu befolgen. Das Wortmodell

kann noch Aussagen enthalten, die aus einer Wirkungskette hervorgehen. Bei der Formulierung

von Wirkungsbeziehungen für den Wirkungsgraphen dürfen nur direkte Wirkungen erfasst wer-

den, damit keine Wirkungen mehrfach aufgenommen werden. Zudem müssen sie immer unter

einer ceteris paribus Bedingung betrachtet werden. Alle anderen Wirkungen ergeben sich letzt-

endlich aus einer Verkettung von Einzelwirkungen [Bos94, S. 54].

Der Wirkungsgraph ist so aufgebaut, dass die zu betrachtenden Größen die Knoten des Gra-

phen bilden. Die Wirkungszusammenhänge werden als Pfeile, also gerichtete Kanten, zwischen

den Knoten eingetragen. Eine Wirkung geht immer in Pfeilrichtung vom Startknoten zum Ziel-

knoten aus. Ein Wirkungspfeil wird mit einem Plus-Zeichen gekennzeichnet, wenn es sich um

eine gleichsinnige Wirkung handelt. Ein Minus-Zeichen symbolisiert eine gegensinnige Relati-

on. Diese Zusammenhänge sind in Tabelle 5.1 symbolisch dargestellt.

Wirkungszusammenhang Einfluss Wirkung

Gleichsinnig ↑ ↑↓ ↓

Gegensinnig ↑ ↓↓ ↑

Tabelle 5.1: Richtung der Wirkungsbeziehungen im Wirkungsgraphen

68

Aus der Zusammenfassung von einzelnen Wirkungen zu einer Wirkungskette kann auf die Ge-

samtwirkung geschlossen werden. Es liegt eine gegensinnige Gesamtwirkung vor, wenn sich

zwischen dem ersten und dem letzten Knoten der Kette eine ungerade Anzahl von gegensinni-

gen Wirkungsbeziehungen befinden, andernfalls liegt eine gleichsinnige Gesamtwirkung vor.

Existieren Zyklen, also geschlossene Wirkungsketten, die an einem bestimmten Knoten

starten und dort wieder enden, so erzeugt die Ausgangswirkung eine Rückkopplung. Eine posi-

tive Rückkopplung entsteht, wenn die Anzahl der gegensinnigen Wirkungen innerhalb der Wir-

kungskette gerade ist, sonst handelt es sich um eine negative Rückkopplung. Oft wirken sich po-

sitive Rückkopplungen destabilisierend auf ein System aus, während negative Rückkopplungen

häufig eine stabilisierende Wirkung besitzen. Weiterhin können Schleifen, also geschlossene

Folgen von Knoten und Kanten, im Wirkungsgraph enthalten sein.

Interessant für Überlegungen zur Regelung des (Modell-)Systems sind auch kritische Ele-

mente und Pfade. Ein kritisches Element ist ein Knoten, von dem besonders viele Wirkun-

gen ausgehen oder auf den besonders viele Wirkungen einfließen. Ein kritischer Pfad umfasst

dementsprechend viele Wirkungen, speziell auch Rückkopplungen.

Aus den im Wortmodell enthaltenen Wirkungsbeziehungen lässt sich der Wirkungsgraph

aus Abbildung 5.15 erstellen. Zur besseren Überschaubarkeit sind gleichsinnige Wirkungszu-

sammenhänge durch grüne und gegensinnige Wirkungszusammenhänge durch rote Pfeile dar-

gestellt.

5.3.4 Validierung des Modellkonzepts

Für die Validierung des durch den Wirkungsgraphen visualisierten Modells muss überprüft wer-

den, ob dessen Struktur nicht von der des Systems abweicht. Dies geschieht durch den geziel-

ten Vergleich der Modellgrößen, Wirkungszusammenhänge und insbesondere der Rückkopp-

lungen, der kritischen Elemente sowie der durch die Wirkungszusammenhänge entstehenden

Gesamtwirkungen auf die Modellgrößen mit den im System beobachteten.

Der Wirkungsgraph enthält zwei jeweils negative Rückkopplungen, da jeweils eine gleich-

und eine gegensinnige Wirkung zwischen zwei Größen einen Zyklus mit den Knoten bilden.

Die im Zyklus enthaltenen Wirkungen schwächen sich somit gegenseitig ab, sodass sie eine

stabilisierende Wirkung auf das Modell haben.

69

Abbildung 5.15: Wirkungsgraph des Callcentermodells

1. Rückkopplung: 7→ 5→ 7

Unter Betrachtung eines Zustandes, in dem die Anzahl von Anrufern in der Warteschlange grö-

ßer Null ist und einer gegebenen Wartezeittoleranz, wird es bei gegebener Bedienzeit, gleich-

bleibender Anzahl eingesetzter Agenten und steigender Anzahl von Anrufern in der Warte-

schlange länger dauern, bis ein Anrufer, der neu in die Warteschlange eingereiht wird, bedient

werden kann. Eine höhere Anzahl Wartender wird so ihre individuelle Wartezeittoleranz errei-

chen und den Warteprozess durch Auflegen beenden. Dies stabilisiert das System, da die Anzahl

wartender Anrufer sich automatisch beschränkt.

2. Rückkopplung: 7→ 1→ 7

Analog zur Erläuterung der ersten Rückkopplung wird auch die Anzahl der Zurückscheuenden

steigen.

Die Anzahl ein- sowie ausgehender Wirkungen einer Größe geben einen Hinweis darauf,

ob eine Modellgröße als kritisch einzustufen ist, denn eine Größe hat einen umso größeren

Einfluss auf das Modellverhalten, je mehr Wirkungen von ihr ausgehen und sie reagiert umso

70

sensibler auf Parameterveränderungen, je mehr Wirkungen auf sie eingehen. Kritischen Größen

sollten auf Grund ihres starken Einflusses auf das Modellverhalten besondere Aufmerksamkeit

zukommen, wenn die Auswirkung von Änderungen der Modellparameter untersucht werden.

Als kritische Elemente des Graphen können etwa die Knoten 6, 7, 11 oder 15 identifiziert

werden. Von Knoten 7 (Anzahl der Anrufer in der Warteschlange) gehen drei Wirkungen aus

und sieben Größen wirken auf ihn ein. Knoten 6 (Wartezeittoleranz) verfügt über vier ausgehen-

de Wirkungen und sollte somit eine dementsprechend große Auswirkung haben. Vier Einflüsse

wirken auf Knoten 11, während ein Einfluss von ihm ausgeht. Knoten 15 (Anzahl eingesetzter

Agenten) hat zwar keine einwirkenden Größen, wirkt sich jedoch selbst auf vier andere Größen

aus.

Des Weiteren gibt es einige Größen, deren Wirkungen weniger eindeutig zu bestimmen

sind, weil diese durch weniger Wirkungen beeinflusst werden bzw. weniger Wirkungen von

ihnen ausgehen, von denen aber trotzdem angenommen werden kann, dass sie kritisch sind.

Dazu sind Knoten 1 (Gesamtanzahl Zurückgescheuter), Knoten 5 (Gesamtanzahl Aufleger) und

Knoten 12 (Mittlere Bediendauer), sowie Knoten 10 (Mittlere Wartezeit bedienter Anrufer) und

17 (Mittlere Anrufeingangsrate) zu zählen. Aus der Verbindung kritischer Elemente zu Pfaden

entstehen kritische Pfade. So sind bspw. die Folgen über die Knoten 15→ 7→ 10, 6→ 1→ 7,

12→ 7→ 5 oder 17→ 11→ 7→ 5 als kritische Pfade zu bezeichnen.

Eine Wirkung kann durch eine Rückkopplung vollständig aufgehoben, abgemildert oder

überkompensiert werden. Bei der Untersuchung von Schleifen oder Wirkungsketten i. A. hängt

die Gesamtwirkung davon ab, wie stark der Einfluss der einzelnen Wirkungen ist. Ist die Ge-

samtwirkung bekannt, kann eine Einschätzung dahingehend getroffen werden, in welchem Be-

reich das Modell sich stabil verhält. Für diesen Zweck kann es deshalb sinnvoll sein, eine Wir-

kungsmatrix zu betrachten. Diese enthält dieselbe Information wie der Wirkungsgraph, ist auf

Grund der Darstellungsform jedoch übersichtlicher, sodass sich Gesamtwirkungen leichter ab-

lesen lassen. Aus dem Wirkungsgraphen entsteht dann eine wie die in Abbildung 5.16 dar-

gestellte Matrix. Ein Pluszeichen markiert auch hier eine gleichsinnige Wirkung, während ein

Minuszeichen eine gegensinnige Wirkung symbolisiert. Die in den Zeilen abgetragenen Größen

ergeben sich aus den Wirkungen→ der in den Spalten abgetragenen Größen. Größe 4 bestimmt

sich etwa aus den gegensinnigen Einwirkungen der Größen 1, 3 und 5. Zu Beginin einer jeden

Zeile symbolisiert ein Pfeil, ob bei gleich starken Wirkungen eine gleich- oder gegensinnigen

Gesamtwirkung entsteht.

71

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17↑ 1 − + +

2↓ 3 −↓ 4 − − −↑ 5 − + +

67 − − + + − +↑ 8 + +↓ 9 −↑ 10 + +↑ 11 + − + +↓ 12 − +

131415↑ 16 +

17

Abbildung 5.16: Qualitative Wirkungsmatrix

Starke Wirkungen, die das System tendenziell aus dem Gleichgewicht bringen könnten, sind

anhand der Matrix zu erkennen, sodass sie für den Zweck der Validierung ausreichend genau

ist. Für eine zuverlässige Aussage zur tatsächlichen Dynamik des Systems ist sie nicht geeignet,

denn die Größen haben in der Realität eine unterschiedlich starke Wirkung, die aktuellen Werte

der Größen unterscheiden sich voneinander, und die Rückkopplungen können eine Verzerrung

des Ergebnisses bewirken. Eine solche Betrachtung kann und muss die Matrix jedoch gar nicht

leisten, denn diese soll gerade mit Hilfe der Simulation erfolgen.

Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass die Strukturgültigkeit des Modells nicht wi-

derlegt werden kann. Wirkungszusammenhänge, Rückkopplungen und Gesamtwirkungen sind

plausibel und unterscheiden sich nicht von denen des Systems.

5.4 Umsetzung des Modellkonzepts

5.4.1 Parametrisierung der System- und Umweltgrößen

Für die Implementierung des Modellkonzepts müssen die System- und Umweltgrößen parame-

trisiert werden. Folgende Größen müssen dazu bekannt sein:

72

• der Ankunftsprozess,

• der Bedienprozess,

• die Wartezeittoleranz,

• der Schichtplan der Agenten und

• die Anzahl der Telefonleitungen.

Die Zufallsabhängigkeit im Ankunfts- und Bedienprozess sowie für die Wartezeittoleranz, ist

bei der Parametrisierung zu berücksichtigen. Auf Basis der historischen Daten aus dem Jahr

2007, für die sich strukturell während des Horizonts bis heute keinerlei Änderungen ergeben

haben, können daher entsprechende Größen abgeleitet werden. Die Anzahl der Telefonleitun-

gen, der Schichtplan der Agenten und die Warteschlangendisziplin sind deterministisch, sodass

diese Werte eins zu eins aus den empirischen Daten übernommen werden können.

Der Ankunftsprozess

Die Telekommunikationsanlage speichert die Anzahl eingehender Anrufe aggregiert pro 15-

Minuten-Intervall. Ihre Zwischenankunftszeiten sind nicht bekannt, sodass für den Anrufein-

gang im Modell ein Zeitplan im 15-Minuten-Intervall verwendet wird.

Ankunftsprozesse in der Vermittlung von Telefongesprächen unterliegen generell einem

nicht-stationären Poissonprozess, d. h., pro Intervall sind die Zwischenankunftszeiten der An-

rufe exponentialverteilt, jedoch mit wechselnder Intensität. Die Anzahl der Anrufe pro Intervall

entspricht dann jeweils dem Mittelwert der Verteilung in den exponentialverteilten Phasen [Sys,

S. 25 ff.].22

Der Bedienprozess

Die Länge einzelner Bedienprozesse geht aus den zur Verfügung stehenden Daten nicht hervor.

Es ist lediglich ein Mittelwert aus allen Bedienzeiten pro Tag vorhanden. Daher kann für die

Verteilung der Bedienzeiten nur die Exponentialverteilung verwendet werden, da hierfür nur

der Mittelwert bekannt sein muss.23

22Die Daten zum Anrufeingang sind Anhang A.2 zu entnehmen.23Die Daten zu den Mittelwerten der Bedienzeiten sind in Anhang A.3 zu finden.

73

Die Wartezeittoleranz

Genau wie die Zwischenankunftszeiten der Anrufe, sind auch die Zeitpunkte des Zurückscheu-

ens oder Auflegens nicht bekannt. Gespeichert wird die Anzahl der Anrufer, die innerhalb von

20 Sekunden auflegen und der Anteil der Anrufer, die später auflegen. Die Wartezeittoleranz

der Anrufer ist recht hoch, da nur ein geringer Anteil zurückscheut und auch der gesamte Auf-

legeranteil bei teils recht hohen mittleren Wartezeiten gering ist.24 Da die Verteilung der War-

tezeittoleranz nicht aus den vorliegenden Daten bestimmt werden kann, muss sie so geschätzt

werden, dass im Mittel etwa die beobachtete Anzahl von Anrufern zurückscheut oder auflegt.

Für das Modell wurde angenommen, dass die Anrufer eine exponentialverteilte Toleranz mit

einem Mittel von drei Minuten besitzen. Dies ist zudem unter Betrachtung der Dringlichkeit

der Anliegen der Anrufer ein plausibler Wert.

Der Schichtplan der Agenten

Die Kapazität der Agenten wird im 15-Minuten-Intervall geplant. Daten zur jeweilig eingesetz-

ten Anzahl von Agenten sind vorhanden, sodass analog dazu ein Schichtplan erstellt werden

kann.25

Die Anzahl der Telefonleitungen

Um das Callcenter zu erreichen, stehen 2400 Telefonleitungen zur Verfügung.

Die Warteschlangendisziplin

Das Callcenter operiert effektiv mit einer FCFS-Warteschlangendisziplin. Eine Differenzierung

nach Agenten mit unterschiedlichen Fähigkeiten ist zwar technisch möglich, wird jedoch nicht

umgesetzt.

5.4.2 Implementierung in ARENA©

Aus der Umsetzung des Modellkonzepts in der Simulationssoftware ARENA© entsteht ein Mo-

dellsystem, dessen grundsätzliche Struktur der aus Abbildung 5.17 entspricht.

24Vgl. hierzu Abbildung 5.14 auf Seite 66.25Der Schichtplan der Agenten befindet sich in Anhang A.4.

74

Abbildung 5.17: Grundsätzliche Modellstruktur

Wenn ein Anrufer am System eintrifft, wird zunächst geprüft, ob noch eine Leitung frei ist.

Ist dies nicht der Fall, so wird der Anrufer blockiert und verlässt bereits jetzt das System. An-

dernfalls kann er direkt bedient werden, sofern ein Agent frei ist. Nach der Bedienung verlässt

der Anrufer das System. Steht bei Eintreffen des Anrufers kein Agent zur Verfügung, so wartet

der Anrufer entweder bis ein Agent frei wird, oder bis er seine individuelle Wartezeittoleranz

erreicht hat. Bei Erreichen der Toleranz verlässt der Anrufer das System. Hat er weniger als 20

Sekunden gewartet, so gilt dies als Zurückscheuen, andernfalls als Auflegen.

Des Weiteren werden im Modell verschiedene Statistiken gesammelt. Dazu gehören zum

einen das Zählen der angebotenen Anrufe, der blockierten Anrufer, der Zurückscheuenden und

Aufleger sowie der bedienten Anrufer, und zum anderen die Berechnung verschiedener Kenn-

zahlen wie etwa Erreichbarkeit, Auslastung oder Servicelevel.

5.4.3 Verifikation des Modells

Im Anschluss an die Modellentwicklung in ARENA© muss das Modell verifiziert werden, um

zu gewährleisten, dass das Modell keine Fehler enthält und sich tatsächlich in der angenomme-

nen Weise verhält. Dazu gibt es verschiedene Verifikationsmöglichkeiten [BFS87, S. 8f.]:

1. Manueller Abgleich: Für eine kurze Simulationsdauer sind die Ergebnisse manuell zu

berechnen und mit denen der Simulation abzugleichen,

2. Modulare Tests: Verschiedene Module des Modells können einzeln auf ihre korrekte

Funktionsweise hin untersucht werden. Dies ist einfacher, als das Modell im Ganzen zu

betrachten,

75

3. Sensitivitätstests: Unter einer ceteris paribus Bedingung wird jeweils ein Parameter ver-

ändert. Das Modellverhalten wird dann auf Plausibilität untersucht,

4. Belastungstests: Szenarien, in denen das Modell Zusammenbruch oder Chaos zeigen soll-

te, müssen dahingehend getestet werden und

5. Animation: Eine Animation visualisiert Abläufe. Dadurch können logische Fehler und

Fehlverhalten entdeckt werden [ABH05, S. 92].

Manueller Abgleich

Für den manuellen Abgleich wird die Dauer des Simulationslaufs sehr kurz gewählt, um den

Aufwand der manuellen Berechnung so gering wie möglich zu halten. Durch Einsetzen einer

deterministischen Anrufeingangsrate bzw. Bedienrate wird die manuelle Berechnung nochmals

erleichtert, sodass leicht festgestellt werden kann, dass sich hier keine Differenzen zum erwar-

teten Verhalten zeigen.

Modulare Tests

Verschiedene Zweige im Modell werden einzeln auf ihr Verhalten untersucht. So tritt z. B.

kein Zurückscheuen auf, wenn die Wartezeittoleranz konstant größer oder gleich 20 Sekunden

ist und im Gegenzug kommt kein Auflegen vor, wenn die Wartezeittoleranz konstant kleiner

als 20 Sekunden ist. Stehen gleichzeitig weniger Telefonleitungen zur Verfügung, als Anrufe

eingehen, so werden Anrufe in den Zweig Blockieren geleitet.

Sensitivitätstests

Die Werte λ , µ , c und die Wartezeittoleranz werden einzeln variiert und die Auswirkung auf

das Modell beobachtet. Auch hierbei lässt sich kein unplausibles Modellverhalten feststellen.

Belastungstests

Werden die Größen λ und µ bspw. so gewählt, dass λ > µ ist, baut sich – wie zu erwarten –

eine stetig anwachsende Warteschlange auf. Auch mit anderen Parameterkonstellationen, wie

z. B. einem geringen Wert für c und gleichzeitig hohem λ ist diese Entwicklung festzustellen.

Animation

Die Animation der Bewegung der Anrufe durch das Modell zeigt keine unplausiblen Ereignisse.

76

5.4.4 Validierung des Modells

Validierung und Verifikation sind oftmals nicht einfach auseinander zu halten. Auch wenn sich

die Verifikation auf die richtige Umsetzung des Modellkonzepts im Simulationsmodell bezieht,

während die Validierung darauf abzielt, festzustellen, dass das Simulationsmodell eine korrekte

Beschreibung der Realität leistet, ist bei Abweichungen der erwarteten Ergebnisse nicht immer

eindeutig, ob diese aus einem Fehler im Modellkonzept, in der Datenbasis oder in der Imple-

mentierung entstehen. Kann ein Modell nicht validiert werden, so sollte auch die Verifikation

des Simulationsmodells nochmals überprüft werden. Ggf. müssen dort Parameter angepasst

oder strukturelle Elemente des Simulationsmodells in einer anderen Art und Weise modelliert

werden [BFS87, S. 8 f.].

Schwierigkeiten für die Validierung entstehen daraus, dass bereits bei der Modellentwick-

lung eine Abstraktion von der Wirklichkeit vorgenommen wird: Die Systemgrenze lässt mög-

licherweise wichtige Einflüsse außen vor, falls diese als irrelevant für das Verhalten erachtet

werden und nicht in die Modellentwicklung einfließen. Funktionen und Parameter werden nä-

herungsweise bestimmt, sodass sie nur für einen bestimmten Bereich des Systemzustands eine

gute Abbildung des Verhaltens produzieren. Darüber hinaus wird für die Variablen des Modells

i. d. R. gegenseitige Unabhängigkeit angenommen. Ein Aggregieren von Größen, wie bspw.

der Zeit oder der Ressourcen, kann außerdem zur Problematik beitragen. Modelle werden oft-

mals nur für den stationären Zustand betrachtet. Um repräsentative Ergebnisse zu erhalten, ist

insbesondere aber auch das Verhalten im nicht-stationären Bereich wichtig [BFS87, S. 9 ff.].

Die Strukturgültigkeit des Modells wurde bereits in Abschnitt 5.3.4 im Anschluss an die

Entwicklung des Modellkonzepts untersucht. Im Folgenden muss daher noch die Verhaltens-

gültigkeit, die empirische Gültigkeit und die Anwendungsgültigkeit bestätigt werden.

Bestätigen der Verhaltensgültigkeit

Um die Verhaltensgültigkeit eines Modells im Rahmen seines Modellzwecks zu bestätigen,

muss das Modell, bei Wahl verschiedener sinnvoller Parameter, ein ähnliches Verhalten wie

das System erzeugen [Bos94, S. 92]. Tendenziell lässt sich feststellen, dass das Modell keine

nennenswerten Abweichungen vom Systemverhalten zeigt bzw. dass die Abweichungen als

77

übliche Schwankungen auf Grund der stochastischen Einflüsse im Modell einzuordnen sind

oder sich aus den getroffenen Vereinfachungen ergeben.26

Bestätigen der empirischen Gültigkeit

Stimmen die Ergebnisse der Simulation auch zahlenmäßig mit denen des Systems überein, kann

die empirische Gültigkeit bestätigt werden [Bos94, S. 92]. Die empirische Gültigkeit kann für

das Modell, auf Grund der nicht vollständig vorhandenen Daten, teilweise bestätigt werden.

Problematisch ist das Abbilden des Bedienprozesses durch eine exponentialverteilte Bedienzeit.

Hieraus ergeben sich zu viele kurze Bedienzeiten. Da die Wahl der Wartezeittolerant ebenfalls

auf einer Schätzung beruht, weichen die Quoten für Aufleger und Zurückscheuende leicht von

den real zu beobachtenden Werten ab.27

Bestätigen der Anwendungsgültigkeit

Anwendungsgültigkeit ist gegeben, wenn das Modell entsprechend des Modellzwecks genutzt

werden kann. Die Aufgabe, ein Modell zu entwickeln, dass die Abläufe des Callcenters abbildet

und dabei Eingabegrößen, durch Verwendung von Variablen, möglichst leicht anpassbar lässt,

ist umgesetzt. Somit kann auch die Anwendungsgültigkeit bestätigt werden.

26Vgl. hierzu die Abschnitte 5.3.1 und 6.1.27Vgl. auch hierzu Kapitel 6.1.

78

6 Ergebnisse und Auswertungen

In diesem Kapitel werden die Ergebnisse der Simulation präsentiert und bewertet. Dabei wer-

den verschiedene Ziel- und Kenngrößen, die während der Simulation berechnet werden, zum

einen tagesgenau und zum anderen auf Wochen aggregiert, dargestellt und analysiert sowie auf

Beziehungen untereinander untersucht. Zusammenhänge zwischen den Größen werden heraus-

gearbeitet und diskutiert. Des Weiteren wird die Güte der Kennzahlen anhand von festgelegten

Sollwerten beurteilt. Daraus ergeben sich schließlich Ansatzpunkte für notwendige Eingriffe in

das System.

6.1 Bewertung der Simulationsergebnisse

Aus den Simulationsergebnissen lassen sich Erkenntnisse über das Modell und somit über das

System gewinnen. Wenn das Ziel der Simulation nicht nur in der Gewinnung von Erkenntnissen

über das Systemverhalten liegt, sondern auch das Aufspüren von Maßnahmen zur Optimierung

des Systemverhaltens beinhaltet, sind vor allem zwei Aufgaben zu erfüllen.

Zunächst ist das Modellverhalten anhand der Simulationsergebnisse eines Referenzszena-

rios zu bewerten. Dazu müssen Bewertungskriterien definiert werden, anhand derer die Güte

des Modellverhaltens objektiv beurteilt werden kann. Diese Bewertungskriterien werden Ori-

entoren genannt. Sie selbst besitzen jedoch keine Ausprägung, so dass zusätzlich Istwerte des

Modellzustands, so genannte Indikatoren, mit festgelegten Sollwerten für jede Orientierungs-

dimension verglichen werden müssen [Bos94, S. 197 f.]. Anschließend besteht die Möglichkeit,

Parameterkonstellationen zu bestimmen, die zu einem besseren Modellverhalten führen. Dieser

Schritt wird häufig als Optimierung bezeichnet, wenn auch über Anpassungen dieser Art nicht

sicher eine optimale Alternative gefunden werden kann [Bos94, S. 225].

Als Orientoren können einige der im Rahmen eines Callcenter Controllings definierten

Kennzahlen dienen, da sie ebenfalls der Leistungsmessung und -bewertung dienen. Orientor-

Indikator-Kombinationen für das Callcentermodell sind die in Tabelle 6.1 aufgeführten. Die

zu erreichenden Werte der Orientoren Servicelevel, Erreichbarkeit und Auslastung entsprechen

Sollwerten, die im Rahmen des Controllings für den Callcenterbereich DDI definiert wurden.

Für mittlere, sowie längste Wartezeiten gibt es keine Vorgabewerte, so dass für diese mit 15

bzw. 180 Sekunden ein akzeptabler Wert vorgegeben wird.

79

Orientor Sollwert Indikator

Servicelevel ≥ 85|20 Aktueller ServicelevelErreichbarkeit ≥ 98% Aktuelle ErreichbarkeitMittl. Auslastung der Agenten ≥ 67% Aktuelle mittl. Auslastung der AgentenMittl. Wartezeit bedienter Anrufer ≤ 15 Sek. Aktuelle mittl. Wartezeit bedienter AnruferLängste Wartezeit bedienter Anrufer ≤ 180 Sek. Aktuelle längste Wartezeit bedienter Anrufer

Tabelle 6.1: Bewertungskriterien für die Pfadanalyse

Das Referenzszenario

Das Referenzszenario basiert auf den empirischen Daten des Callcenters und dient somit als

Ausgangssituation für eine mögliche Optimierung.28 Grundsätzlich sind in der Simulation die-

selben Zusammenhänge zwischen den Größen wie in den empirischen Daten zu erkennen. Da

die Simulation die Realität jedoch nur mit den in Abschnitt 5.3.2 genannten Einschränkungen

abbilden kann, ergeben sich teils Abweichungen zu den Ergebnissen aus dem Callcenter. Im

Folgenden werden die Zielgrößen und Kennzahlen, sowie die Abhängigkeiten zwischen diesen,

analysiert.

Da der Servicelevel im Callcenter nach Formel 2.2 berechnet wird, erfolgt die Berechnung

in der Simulation ebenso, damit ein sinnvoller Vergleich möglich ist. Zu beachten ist hierbei

allerdings, dass diese Art der Berechnung zu einem zu guten Ergebnis führt, da Aufleger und

Zurückgescheute sich nicht im Servicelevel niederschlagen. Im Vergleich zu einer Berechnung

nach Formel 2.3, die zu einem mittleren Servicelevel von 91,84 % führt, liegt der Servicelevel

hier im Mittel bei 94,28 %. Mit 83,65 % ist am 23.05. der schlechteste Servicelevel zu beobach-

ten, während am 04.05. der beste Wert mit 98,25 % erreicht wird. Die Streuung des Servicele-

vels um den Mittelwert ist mit einer Standardabweichung von 3,04 % moderat.29 Abbildung 6.1

stellt den Servicelevel im Betrachtungszeitraum, sowie seinen Mittelwert samt Abweichungen

dar.30

Bis auf die Ausreißer am 23. und am 25.05. mit einer absoluten Abweichung von 10,63 bzw.

6,42 % kann der Verlauf der Servicelevels als recht glatt bezeichnet werden. Zudem wird die

Zielvorgabe eines Servicelevels von 85/20 in der Simulation lediglich am 23.05. nicht erreicht.

Im Controlling des Callcenters ist die Erreichbarkeit als der Quotient aus bedienten Anrufen

28Die Simulationsergebnisse für dieses Szenario befinden sich in Anhang A.5.29Im Callcenter liegt die Standardabweichung mit 6,05 % deutlich höher.30Die pro Tag abgetragenen Werte der Kennzahlen sind gemittelte Werte über mehrere Simulationsläufe. Die An-

zahl der Simulationsläufe sowie die pro Tag gemittelten Werte der Kennzahlen sind Tabelle A.7 zu entnehmen.

80

Abbildung 6.1: Simulation: Servicelevel pro Tag

und angebotenen Anrufen definiert, wobei die Zurückgescheuten nicht zu den angebotenen An-

rufen zählen. Genau wie beim Servicelevel führt eine Berechnung dieser Art zu zu guten Ergeb-

nissen. Zudem ist die Aussagekraft der Kennzahlen Servicelevel und Erreichbarkeit schlecht,

wenn keine Aufleger bzw. Zurückgescheuten mit in die Berechnung einfließen, insbesondere

weil für die Zeitspanne, in der das Ereignis Zurückscheuen möglich ist, mit 20 Sekunden ein

recht hoher Wert vorgegeben ist. Diese völlig außer Acht zu lassen ist deshalb zu hinterfragen.

In der Simulation bewegt sich die Erreichbarkeit zwischen 93,26 und 99,43 %. Im Mittel

beträgt sie 97,75 %. Mit einer Standardabweichung von 1,56 % zeigt sie, wie in Abbildung 6.2

zu erkennen, eine nur geringe Streuung.

Laut Zielvorgabe soll die Erreichbarkeit > 98 % sein. In der Simulation wird dieser Wert nur

an 40 % der betrachteten Tage erreicht. Aus den Aufzeichnungen des Callcenter Controllings

ist jedoch bekannt, dass die Erreichbarkeit im Betrachtungszeitrau in gut 91 % der Fälle den

Sollwert erfüllt, so dass das Simulationsergebnis als unkritisch betrachtet werden kann.

Der Vergleich der Verläufe von Servicelevel und Erreichbarkeit zeigt, dass der Servicelevel

anfälliger für Schwankungen ist als die Erreichbarkeit. In Abbildung 6.3 sind beide Größen an

einer Ordinate, die den gesamten Wertebereich von 0 bis 100 % umfasst, abgetragen. So ist auf

einen Blick der glattere Verlauf der Erreichbarkeit zu erkennen.

Dass die Erreichbarkeit weniger streut als der Servicelevel, ist leicht nachzuvollziehen, denn

der Servicelevel verschlechtert sich bereits, wenn ein Anrufer länger als 20 Sekunden auf Be-

81

Abbildung 6.2: Simulation: Erreichbarkeit pro Tag

Abbildung 6.3: Simulation: Vergleich der Verläufe von Erreichbarkeit und Servicelevel

dienung wartet. Die Erreichbarkeit ist aber erst dann betroffen, wenn die Geduld des Anrufers

aufgebraucht ist, und er auflegt.

Im Vergleich zu den empirischen Daten ist die Erreichbarkeit, wie oben erwähnt, in der Si-

mulation schlechter. Dies liegt daran, dass der Auflegeranteil in der Simulation im Mittel höher

ist als im System. Die Simulation liefert in Bezug auf die Auflegerquote einen Mittelwert von

2,2 %. Maximal legen am 23.05. 6,52 % auf, während die minimale Auflegerquote am 04.05.

bei 0,57 % liegt. Mit einer Standardabweichung von 1,52 % ist die Streuung der Größe zu-

82

dem nicht zu vernachlässigen. Der Anteil der Aufleger pro Tag kann Abbildung 6.4 entnommen

werden.

Abbildung 6.4: Simulation: Auflegerquote pro Tag

Für die mittlere Wartezeit zeigt sich ein ähnliches Bild. Sie liegt im Mittel bei 5,76 Sekunden

und bleibt somit unterhalb des maximal zulässigen Sollwerts von 15 Sekunden. Sie hat analog

zum Servicelevel ihren schlechtesten Wert mit 16,28 Sekunden am 23.05., während am 04.05.

mit 1,63 Sekunden die kürzeste mittlere Wartezeit verzeichnet wird. Die Standardabweichung

ist mit 3,59 Sekunden sehr hoch, sodass die mittlere Wartezeit stark um den Mittelwert streut.

Grafisch wird der Verlauf der mittleren Wartezeit in Abbildung 6.5 dargestellt.

Über die maximalen Wartezeiten der Anrufer kann mit Angabe der mittleren Wartezeit kei-

ne Aussage getroffen werden. In den empirischen Daten gibt es hierzu keine Auswertung. Die

Simulation liefert mit der unterstellten exponentialverteilten Wartezeittoleranz von mittleren

drei Minuten eine maximale Wartezeit von knapp 28 Minuten. In der Realität träte eine so

lange Wartezeit vermutlich nicht auf, da kaum ein Anrufer so geduldig wäre. Diese Größe ver-

anschaulicht jedoch sehr gut, wie lange die Wartezeiten, die den Anrufern zugemutet werden,

mindestens wären, und den dort auftretenden Kapazitätsengpass.

Zurückscheuende werden im Callcenter lediglich gezählt, doch nicht weiter in Auswertun-

gen miteinbezogen. Eine Betrachtung kann interessant sein, da ihr Anteil meist nicht unerheb-

83

Abbildung 6.5: Simulation: Mittlere Wartezeit pro Tag

lich ist.31 In der Simulation liegt der mittlere Anteil der Zurückgescheuten bei 1,28 %. Wie

bereits bei den zuvor besprochenen Kennzahlen liegt auch hier das Maximum mit 3,29 % auf

dem 23.05. und der Minimalwert von 0,36 % am 04.05. Der mit einer Standardabweichung von

0,62 % sehr sprunghafte Verlauf wird in Abbildung 6.6 illustriert.

Als Maß für die Auslastung der Agenten wird die in Abschnitt 2.2 definierte Auslastung

E[ue f f ] verwendet, da die Belastung in der Zeit, in der die Agenten tatsächlich am Arbeitsplatz

sind, betrachtet werden soll und der Anteil an Auflegern und Zurückgescheuten recht gering

ist, sodass die Agentenkapazität ins Verhältnis zu den bedienten Anrufen gesetzt werden kann,

ohne ein verzerrtes Bild der Auslastungssituation zu erhalten.

In den empirischen Daten gibt es zur Auslastung der Agenten keine Angaben. Die Vermu-

tung, dass diese zu niedrig ist, lässt sich jedoch anhand der Simulationsergebnisse bestätigen.

Abbildung 6.7 zeigt die Auslastung der Agenten an den einzelnen Tagen im Betrachtungszeit-

raum. Im Mittel liegt die Auslastung bei 49,22 %. Die geringste Auslastung ist mit 19,54 %

am 28.05. zu verzeichnen. Der Maximalwert tritt am 23.05. mit 65,27 % auf. Mit einer Stan-

dardabweichung von 12,86 % besitzt die Auslastung zudem eine ausgeprägte Streuung. Allein

die schwache Auslastung ist ineffizient und deshalb wirtschaftlich nicht tragbar. Dies, in Kom-

31Auf Grund der Zusammenstellung der empirischen Daten ist keine Aussage dahingehend möglich, wie hoch dertatsächliche Anteil der Zurückgescheuten ist, da darin nur eine aggregierte Sicht auf den gesamten Callcenter-bereich inklusive von Weiterverbindungen enthalten ist. Das Verhältnis der Zurückgescheuten zur Anzahl derAufleger beträgt jedoch etwa 1

3 : 23 .

84

Abbildung 6.6: Simulation: Anteil Zurückgescheuter pro Tag

Abbildung 6.7: Simulation: Auslastung der Agenten pro Tag

bination mit der starken Streuung, deutet zudem auf eine ungünstige Einsatzplanung hin. Die

Streuung gibt Grund zur Annahme, dass die Güte der Vorhersage des Anrufeingangs sehr stark

variiert, so dass an Tagen mit schlechter Vorhersage der falsche Personaleinsatz gewählt wird.

Die niedrige Auslastung, in Kombination mit Einbrüchen anderer Kennzahlen, lässt vermuten,

dass die Schichtpläne so erstellt werden, dass i. A. pro Planungsintervall zu viel Personal anwe-

send ist, während in einigen Planungsintervallen zu wenig Personal eingesetzt wird, sodass in

diesen Phasen die Zielwerte der Kennzahlen nicht erreicht werden können und sich aggregiert

85

auf den Tag, durch die überwiegenden Phasen der Überbesetzung, trotzdem eine zu schwache

Auslastung ergibt.

Am 10.05. zeigt sich ein repräsentativer Verlauf der Auslastung über den Tag, der in Abbil-

dung 6.8 zu sehen ist.

Abbildung 6.8: Simulation: Beispielverlauf einer repräsentativen Auslastung

In den Morgen- und Vormittagsstunden ist die Auslastung besonders niedrig, ab Mittag steigt

sie etwas an.

Des Weiteren zeigen sich analog zum System Zusammenhänge zwischen den betrachteten

Größen. Insbesondere die Größen, die im direkten Wirkungszusammenhang zueinander stehen,

weisen eine hohe Korrelation auf. Im Vergleich zu den empirischen Ergebnissen besteht mit

einem Korrelationskoeffizienten von -0,884 eine beinahe ebenso starke negative Korrelation

zwischen mittlerer Wartezeit und Servicelevel. Auch die Korrelation zwischen Auflegerquote

und Erreichbarkeit entspricht mit einem Korrelationskoeffizienten von etwa -132 nahezu der

im System beobachteten. An Tagen mit geringer mittlerer Wartezeit ist der Zusammenhang

weniger stark ausgeprägt, da dann verhältnismäßig mehr Anrufer direkt bedient werden. Da die

Wartezeittoleranz mit mittleren drei Minuten relativ hoch ist, kommt es bei niedriger mittlerer

Wartezeit kaum zum Auflegen und somit ist der Einfluss auf die Erreichbarkeit mäßig. Grafisch

ist dies in den Abbildungen 6.9 und 6.10 dargestellt.

Auch der Anteil der Zurückgescheuten steht mit einem Korrelationskoeffizienten von -0,865

in deutlichem Zusammenhang zur Erreichbarkeit, der jedoch nicht so ausgebildet ist, wie der

32Der genaue Wert ist -0,999685153481388.

86

Abbildung 6.9: Simulation: Beziehung zwischen mittlerer Wartezeit und Servicelevel

Abbildung 6.10: Simulation: Beziehung zwischen Auflegerquote und Erreichbarkeit

zur Auflegerquote. Das liegt daran, dass per Definition ein Zurückscheuen nur in den ersten 20

Sekunden möglich ist. Bei einer niedrigen mittleren Wartezeit gibt es tendenziell mehr Anrufer,

die direkt bzw. nach sehr kurzer Wartezeit bedient werden können. Somit kommt ein Zurück-

scheuen in diesem Fall nur selten vor. Steigt die mittlere Wartezeit an, so steigt auch der Anteil

der Zurückscheuenden. Wenn die mittlere Wartezeit so weit ansteigt, dass Anrufer länger als 20

Sekunden warten müssen, ist der Zusammenhang am größten, da diese Anrufer in jedem Fall

– sofern ihre Wartezeittoleranz kleiner 20 Sekunden ist – zurückscheuen werden. Die mittlere

87

Wartezeit lässt zwar keine Aussage über die einzelnen Wartezeiten der Anrufer zu, in gemein-

samer Betrachtung mit den maximalen Wartezeiten kann jedoch davon ausgegangen werden,

dass Anrufer bei hoher mittlerer und hoher maximaler Wartezeit tendenziell länger auf Bedie-

nung warten müssen. Immer dann ist der Zusammenhang, wie etwa am 09., 21., 23. oder 25.05.,

besonders deutlich. Abbildung 6.11 zeigt diesen Zusammenhang.

Abbildung 6.11: Simulation: Beziehung zwischen Anteil Zurückgescheuter und Erreichbarkeit

Ein deutlicher Zusammenhang besteht zudem, mit einem positiven Korrelationskoeffizienten

von 0,995 bzw. 0,899, zwischen mittlerer Wartezeit und Auflegerquote bzw. zum Anteil Zu-

rückgescheuter. Illustriert ist dies in den Abbildungen 6.12 und 6.13. Ebenso wie bei den in den

Abbildungen 6.10 und 6.11 dargestellen Beziehungen, ist der Zusammenhang zur Auflegerquo-

te ausgebildeter als der zum Anteil Zurückgescheuter.

Über indirekte Wirkungsbeziehungen haben die Auflegerquote und der Anteil der Zurück-

gescheuten allerdings auch Einfluss auf den Servicelevel. Diese haben einen direkten Einfluss

auf die Anzahl von Anrufern in der Warteschlange, welche sich wiederum auf die mittlere War-

tezeit und so auf den Servicelevel auswirken.33 Mit einem Korrelationskoeffizienten von -0,988

ist die Beziehung zwischen dem Anteil Zurückgescheuter und dem Servicelevel hervorstechen-

der als die zwischen der Auflegerquote und dem Servicelevel. Dennoch zeigt sich dafür mit

einem Korrelationskoeffizienten von -0,834 ein markanter negativer Zusammenhang. Im Ge-

gensatz zum Zusammenhang zwischen Erreichbarkeit und Auflegerquote bzw. dem Anteil Zu-33Vgl. zu den Wirkungsbeziehungen zwischen den Größen den Wirkungsgraphen aus Abbildung 5.15 auf Seite

70.

88

Abbildung 6.12: Simulation: Beziehung zwischen mittlerer Wartezeit und Auflegerquote

Abbildung 6.13: Simulation: Beziehung zwischen mittlerer Wartezeit und AnteilZurückgescheuter

rückgescheuter hat sich nun der Zusammenhang zwischen den Größen umgekehrt. Obwohl das

Zurückscheuen in die Kennzahl Servicelevel nicht explizit einfließt, besteht eine äußerst deut-

liche Beziehung zwischen den Größen. Zurückscheuen hat einen so kennzeichnenden Einfluss,

da der Servicelevel per Definition nur den Anteil der Bedienten erfasst, die innerhalb von 20

Sekunden bedient wurden. Genau innerhalb dieser Zeitspanne können Anrufer zurückscheuen.

89

Die hier genannten Zusammenhänge werden in den Abbildungen 6.14 und 6.15 veranschau-

licht.

Abbildung 6.14: Simulation: Beziehung zwischen Auflegerquote und Servicelevel

Abbildung 6.15: Simulation: Beziehung zwischen Anteil Zurückgescheuter und Servicelevel

Schließlich ist zwischen der Auslastung der Agenten und dem Servicelevel mit einem Korrela-

tionskoeffizienten von -0,409 ein negativer Zusammenhang zu erkennen, der in Abbildung 6.16

dargestellt wird. Dieser ist zwar nicht so charakteristisch wie die zuvor diskutierten, dennoch

ist er nicht unbeträchtlich. Auch diese Beziehung kommt über eine Wirkungskette zustande.

90

Bei einer konstanten Anzahl eingesetzter Agenten steigt die Anzahl der Anrufer in der Warte-

schlange, wenn die Agentenauslastung steigt. Dies hat wiederum ein Anwachsen der Wartezeit

bedienter Anrufer zur Folge, was in einem schlechteren Servicelevel resultiert.

Abbildung 6.16: Simulation: Beziehung zwischen Agentenauslastung und Servicelevel

Werden die Kennzahlen aggregiert auf Kalenderwochen betrachtet, so ist eine leichte Ver-

schlechterung der Werte festzustellen. Dies kann damit begründet werden, dass bei der Aggrega-

tion eine Gewichtung mit dem Anrufeingang vorgenommen wird. Da die Güte der Kennzahlen

bei hohem Anrufeingang tendenziell schlechter ist, macht sich dies in der Gesamtbetrachtung

bemerkbar.

An dieser Stelle soll lediglich exemplarisch für den Servicelevel eine Betrachtung auf Ka-

lenderwochenebene erfolgen, da die Ergebnisse für die übrigen Kennzahlen dieselbe Tendenz

zeigen und sich nicht grundsätzlich von den zuvor diskutierten Ergebnissen unterscheiden.34

Für den Servicelevel ist der aggregierte Verlauf in Abbildung 6.17 dargestellt.

Im Mittel wird ein Servicelevel von 94,15 % erreicht, wobei die Werte in dieser aggregierten

Betrachtung weniger streuen und sich zwischen 90,89 und 97,01 % bewegen. Die Standardab-

weichung beträgt hier 0,02 %. Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass sich sowohl aus den

in Kapitel 5 präsentierten empirischen Ergebnissen, als auch aus den Simulationsergebnissen in

Bezug auf einen Großteil der Zielgrößen und Kennzahlen, ein zufriedenstellendes Bild ergibt.

34Die Simulationsergebnisse sind Anhang A.5 zu entnehmen.

91

Abbildung 6.17: Simulation: Verlauf des Servicelevels in Kalenderwochen

Die derzeitige Personaleinsatzplanung ist lediglich bezüglich der Auslastung der Agenten zu

optimieren. Die Güte der übrigen Kennzahlen liegt oftmals über der geforderten, sodass die

Auslastung ggf. auf Kosten anderer Zielgrößen gesteigert werden kann, ohne das Erreichen

der festgelegten Sollwerte zu gefährden. Würde in einer Situation, wie sie am 10.05. bestand,

bspw. der Personaleinsatz vom Beginn der Betriebzeit bis 12 Uhr um 20 %, und in den darauf-

folgenden Phasen bis zum Ende der Betriebszeit um 10 % gesenkt, so ließe sich die mittlere

Auslastung bereits auf 60,93 % steigern. Der Servicelevel bliebe mit mittleren 90,76 % noch

immer über dem geforderten Sollwert. Erreichbarkeit und Auflegerquote verschlechterten sich

auf 96,23 bzw. 3,69 %, wobei wie bereits erwähnt, auf Grund der im Modell vorgenommenen

Vereinfachungen, im System ein besseres Ergebnis zu erwarten ist. Eine differenziertere Steue-

rung der Kapazitäten könnte der Verschlechterung zudem entgegenwirken. Hierzu ist jedoch

eine detailierte Analyse der jeweiligen Auslastungssituation pro Planungsintervall notwendig.

92

7 Zusammenfassung und Ausblick

Ziel dieser Arbeit war es, die Personaleinsatzplanung eines Callcenters mit Hilfe der statisti-

schen Auswertung von Ergebnissen aus einem Simulationsmodell zu validieren. Dazu wurden

vorbereitend Überblicke in die Theorie zum Callcenter Management, Bedienungssystemen und

Modellbildung und Simulation gegeben, um die nötigen Fachtermini und -kenntnisse einzufüh-

ren. Der Fokus der Arbeit lag in der darauf folgenden theoretischen sowie praktischen Entwick-

lung eines Simualtionsmodells und der Auswertung der Simulationsergebnisse.

Im Vergleich zwischen den empirischen Daten und dem Verhalten des Simulationsmodells

ergab sich eine hinreichende Übereinstimmung. Die Abweichungen zwischen System und Mo-

dell sind nicht zuletzt auf die Schätzung des Bedienprozesses und der Wartezeittoleranz der

Anrufer zurückzuführen, die auf Grund der eingeschränkten Verfügbarkeit von empirischen

Daten notwendig war. Geringere strukturelle Vereinfachungen trugen außerdem zu einem leicht

abweichenden Verhalten bei.

Die Ergebnisse der Simulation bestätigten die Vermutung, dass es in der derzeitigen Perso-

naleinsatzplanung des Callcenters Verbesserungspotenziale gibt. Insbesondere in Bezug auf die

Auslastung der Agenten konnte dies festgestellt werden, da diese den Sollwert von 67 % mit

einem Mittelwert von unter 50 % weit unterschreitet.

Da weitere Kennzahlen, wie Servicelevel, Erreichbarkeit oder Auflegerquote, (zu) gute Wer-

te aufweisen, liegt es nahe, die Auslastung teils auf Kosten dieser Größen zu steigern. Vor allem

in den Morgen- und Vormittagsstunden besteht in einer typischen Auslastungssituation, wie

bspw. in der aus Abbildung 6.8, die Möglichkeit, den Personaleinsatz zu verringern. Sollen

hierdurch entstehende Verschlechterungen anderer Kennzahlen kompensiert werden, kann die

so gewonnene Personalkapazität in den Phasen, in denen sich Überlasten für die Agenten erge-

ben, eingesetzt werden. Weitergehende Analysen der Agentenauslastung pro Planungsintervall

sind für eine solche Anpassung nötig.

Zudem ist zu hinterfragen, ob die Personalkapazitäten in der Praxis flexibler eingesetzt wer-

den können, um so eine besser abgestimmte Personaleinsatzplanung zu ermöglichen. Jedoch ist

zu bedenken, dass sich, selbst wenn ein optimaler Personaleinsatz pro Planungsintervall be-

kannt wäre, die tatsächlich nutzbaren Kapazitäten von der Planung unterscheiden, da einerseits

die Verfügbarkeit der Agenten von den Kapazitätsanforderungen abweichen kann, und anderer-

93

seits Kapazitäten nicht teilbar sind, sodass immer mit ganzzahligen Kapazitäten geplant werden

muss.

Tendenziell haben große Callcenter eine bessere Auslastungssituation, sodass strukturelle

Anpassungen innerhalb des Callcenters, wie bspw. ein Zusammenfassen von bisher eigenstän-

digen Bereichen des Callcenters, zu überlegen sind.

Ein weiterer Ansatzpunkt liegt in der Überprüfung der Vorhersage des Anrufeingangs, da

diese häufig stark vom tatsächlichen Anrufeingang abweicht. Wenn die Vorhersage besser mit

dem tatsächlichen Anrufeingang übereinstimmte, ergäbe sich daraus wiederum eine höhere Si-

cherheit in der Personaleinsatzplanung und die Kapazitäten könnten knapper geplant werden,

ohne das Erreichen festgelegter Ziele zu gefährden.

Aufbauend auf den Ergebnissen dieser Arbeit, können die hier genannten Ansätze als Aus-

gangspunkt für weitere Untersuchungen dienen.

94

A Anhang

A.1 Empirische Daten und Kennzahlen

Die nachfolgende Tabelle enthält die empirischen Daten und Kennzahlen zu angebotenen An-

rufen, mittlerer Wartezeit in Sekunden, Erreichbarkeit, Servicelevel und Auflegerquote. Die

angegebenen Werte sind jeweils pro Tag summiert bzw. gemittelt.

Datum AngeboteneAnrufe

MittlereWartezeit

Erreichbarkeit Servicelevel Auflegerquote

30.04. 859 4 98,76 % 96,50 % 0,27 %01.05. 192 5 100,00 % 100,00 % 0,00 %02.05. 1122 8 98,89 % 91,95 % 1,11 %03.05. 866 25 95,86 % 82,68 % 4,14 %04.05. 926 7 99,20 % 92,43 % 0,80 %05.05. 734 9 99,19 % 93,11 % 0,81 %06.05. 155 10 99,36 % 93,59 % 0,64 %07.05. 1283 13 98,85 % 86,74 % 1,15 %08.05. 1345 7 99,35 % 92,16 % 0,65 %09.05. 1189 8 99,15 % 91,50 % 0,85 %10.05. 1430 6 99,25 % 95,05 % 0,75 %11.05. 1267 3 99,85 % 98,11 % 0,15 %12.05. 734 1 100,00 % 98,54 % 0,00 %13.05. 162 20 97,66 % 84,80 % 2,34 %14.05. 1312 7 99,24 % 91,65 % 0,76 %15.05. 1320 7 99,45 % 91,63 % 0,55 %16.05. 1394 7 99,48 % 92,26 % 0,52 %17.05. 309 5 100,00 % 100,00 % 0,00 %18.05. 1080 6 99,81 % 94,23 % 0,19 %19.05. 619 17 98,57 % 82,01 % 1,43 %20.05. 136 15 99,28 % 89,13 % 0,72 %21.05. 1456 15 98,18 % 85,48 % 1,82 %22.05. 1508 7 99,21 % 90,91 % 0,79 %23.05. 1302 6 99,45 % 92,39 % 0,55 %24.05. 1302 3 99,92 % 96,41 % 0,08 %25.05. 1153 9 99,26 % 88,82 % 0,74 %26.05. 619 2 99,84 % 97,20 % 0,16 %27.05. 131 14 100,00 % 91,73 % 0,00 %28.05. 241 12 100,00 % 93,36 % 0,00 %29.05. 1387 16 98,33 % 82,12 % 1,67 %30.05. 1225 7 99,59 % 90,80 % 0,41 %31.05. 1025 7 99,38 % 91,77 % 0,62 %01.06. 883 6 99,55 % 93,17 % 0,45 %02.06. 714 31 97,67 % 68,81 % 2,33 %03.06. 170 11 99,42 % 92,44 % 0,58 %

Tabelle A.1: Empirische Daten für den Auswertungszeitraum pro Tag

95

Eine Auswertung auf Kalenderwochenebene liefert die in Tabelle A.2 angegebenen Daten.

Datum AngeboteneAnrufe

MittlereWartezeit

Erreichbarkeit Servicelevel Auflegerquote

KW 18 4854 11 98,38 % 90,71 % 1,62 %KW 19 7410 7 99,28 % 92,64 % 0,72 %KW 20 6170 7 99,45 % 92,05 % 0,55 %KW 21 7471 8 99,20 % 90,90 % 0,80 %KW 22 5645 10 99,14 % 88,45 % 0,86 %

Tabelle A.2: Empirische Daten für den Auswertungszeitraum pro Kalenderwoche

Die Verläufe der Kennzahlen über den auszuwertenden Zeitraum werden in den nachfolgenden

Abbildungen A.1 bis A.3 dargestellt.

Abbildung A.1: Beziehung zwischen Servicelevel und Erreichbarkeit

Zwischen den Größen treten starke Korrelationen auf. So beträgt der Korrelationskoeffizient

zwischen Servicelevel und Erreichbarkeit 0,748, zwischen Servicelevel und Auflegerquote -

0,776 und zwischen mittlerer Wartezeit und Erreichbarkeit -0,785.

96

Abbildung A.2: Beziehung zwischen Servicelevel und Auflegerquote

Abbildung A.3: Beziehung zwischen mittlerer Wartezeit und Erreichbarkeit

A.2 Daten zum Anrufeingang

Tabelle A.3 enthält die empirischen Daten zum Anrufeingang für den Betrachtungszeitraum der

Simulation. Das Volumen des Anrufeingangs pro Viertelstundenintervall (Vol.) ist jeweils auf

ein Viertelstundenintervall aggregiert, wobei das Viertelstundenintervall immer zu dem Zeit-

punkt beginnt, der in Spalte „Zeit“ angegeben ist. Die Messung der Daten erstreckt sich auf

den Zeitraum zwischen 7 Uhr und 23 Uhr, wobei zu Beginn und zum Ende eines Tages häufig

ein Volumen von 0 angegeben ist. Dies ist darauf zurückzuführen, dass das Callcenter zu der

97

Zeit nicht besetzt war und deshalb keine Daten gesammelt wurden. Am 12.05. sowie am 26.05.

wurden auf Grund einer Fehlfunktion der Telekommunikationsanlage keine Daten gespeichert.

Dies ist in der Tabelle durch ein Minuszeichen gekennzeichnet. An diesen beiden Tagen wird

im Simulationsmodell der Anrufeingang vom 05.05. bzw. 19.05. zu Grunde gelegt, da es sich

um denselben Wochentag handelt.

Datum Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol.

30.04. 07:00 0 10:15 22 13:30 21 16:45 21 20:00 307:15 0 10:30 26 13:45 23 17:00 13 20:15 407:30 0 10:45 31 14:00 23 17:15 13 20:30 107:45 0 11:00 27 14:15 16 17:30 9 20:45 508:00 0 11:15 25 14:30 22 17:45 12 21:00 508:15 0 11:30 21 14:45 18 18:00 10 21:15 808:30 12 11:45 26 15:00 22 18:15 10 21:30 308:45 19 12:00 14 15:15 27 18:30 7 21:45 509:00 24 12:15 24 15:30 25 18:45 4 22:00 309:15 18 12:30 21 15:45 18 19:00 3 22:15 209:30 23 12:45 18 16:00 16 19:15 4 22:30 509:45 19 13:00 19 16:15 19 19:30 4 22:45 010:00 25 13:15 22 16:30 16 19:45 3

01.05. 07:00 0 10:15 4 13:30 3 16:45 3 20:00 007:15 0 10:30 5 13:45 5 17:00 1 20:15 007:30 0 10:45 3 14:00 2 17:15 3 20:30 007:45 0 11:00 7 14:15 6 17:30 4 20:45 008:00 1 11:15 6 14:30 7 17:45 4 21:00 008:15 4 11:30 8 14:45 4 18:00 4 21:15 008:30 2 11:45 6 15:00 3 18:15 6 21:30 008:45 3 12:00 3 15:15 6 18:30 4 21:45 009:00 1 12:15 6 15:30 2 18:45 6 22:00 009:15 5 12:30 1 15:45 6 19:00 5 22:15 009:30 3 12:45 5 16:00 6 19:15 1 22:30 009:45 2 13:00 2 16:15 7 19:30 2 22:45 010:00 3 13:15 7 16:30 3 19:45 2

02.05. 07:00 0 10:15 30 13:30 28 16:45 33 20:00 607:15 0 10:30 28 13:45 29 17:00 15 20:15 307:30 0 10:45 29 14:00 33 17:15 13 20:30 207:45 0 11:00 33 14:15 33 17:30 13 20:45 608:00 0 11:15 32 14:30 28 17:45 11 21:00 608:15 0 11:30 34 14:45 38 18:00 8 21:15 808:30 8 11:45 30 15:00 33 18:15 11 21:30 908:45 14 12:00 28 15:15 26 18:30 10 21:45 1209:00 28 12:15 30 15:30 34 18:45 4 22:00 509:15 26 12:30 32 15:45 30 19:00 3 22:15 509:30 30 12:45 18 16:00 24 19:15 10 22:30 109:45 29 13:00 16 16:15 20 19:30 7 22:45 310:00 30 13:15 30 16:30 20 19:45 7

03.05. 07:00 0 10:15 21 13:30 14 16:45 21 20:00 407:15 0 10:30 22 13:45 16 17:00 21 20:15 407:30 0 10:45 21 14:00 34 17:15 13 20:30 6

98

Datum Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol.

07:45 0 11:00 30 14:15 37 17:30 16 20:45 308:00 0 11:15 21 14:30 32 17:45 16 21:00 208:15 0 11:30 0 14:45 26 18:00 9 21:15 708:30 12 11:45 0 15:00 26 18:15 9 21:30 508:45 25 12:00 24 15:15 20 18:30 9 21:45 609:00 27 12:15 13 15:30 22 18:45 5 22:00 609:15 20 12:30 8 15:45 30 19:00 8 22:15 709:30 20 12:45 11 16:00 26 19:15 7 22:30 609:45 22 13:00 9 16:15 17 19:30 5 22:45 010:00 26 13:15 7 16:30 27 19:45 5

04.05. 07:00 0 10:15 16 13:30 24 16:45 17 20:00 407:15 0 10:30 25 13:45 27 17:00 14 20:15 307:30 0 10:45 25 14:00 24 17:15 14 20:30 307:45 0 11:00 37 14:15 21 17:30 9 20:45 008:00 0 11:15 29 14:30 16 17:45 12 21:00 908:15 0 11:30 33 14:45 20 18:00 11 21:15 1008:30 15 11:45 25 15:00 28 18:15 10 21:30 408:45 26 12:00 16 15:15 29 18:30 6 21:45 509:00 23 12:15 20 15:30 22 18:45 1 22:00 209:15 23 12:30 20 15:45 18 19:00 4 22:15 109:30 30 12:45 18 16:00 29 19:15 7 22:30 009:45 24 13:00 18 16:15 24 19:30 7 22:45 010:00 23 13:15 24 16:30 19 19:45 2

05.05. 07:00 1 10:15 30 13:30 20 16:45 11 20:00 107:15 1 10:30 28 13:45 8 17:00 12 20:15 007:30 2 10:45 26 14:00 10 17:15 6 20:30 007:45 8 11:00 29 14:15 14 17:30 4 20:45 008:00 6 11:15 29 14:30 17 17:45 2 21:00 008:15 10 11:30 34 14:45 20 18:00 5 21:15 008:30 5 11:45 38 15:00 8 18:15 2 21:30 008:45 7 12:00 33 15:15 9 18:30 2 21:45 009:00 14 12:15 31 15:30 10 18:45 4 22:00 009:15 19 12:30 22 15:45 17 19:00 4 22:15 009:30 15 12:45 20 16:00 10 19:15 4 22:30 009:45 19 13:00 16 16:15 12 19:30 3 22:45 010:00 27 13:15 28 16:30 13 19:45 8

06.05. 07:00 0 10:15 3 13:30 5 16:45 6 20:00 007:15 0 10:30 4 13:45 6 17:00 2 20:15 007:30 0 10:45 4 14:00 4 17:15 2 20:30 007:45 0 11:00 3 14:15 7 17:30 3 20:45 008:00 1 11:15 1 14:30 2 17:45 1 21:00 008:15 0 11:30 4 14:45 1 18:00 2 21:15 008:30 1 11:45 7 15:00 4 18:15 2 21:30 008:45 3 12:00 0 15:15 4 18:30 2 21:45 009:00 0 12:15 5 15:30 4 18:45 0 22:00 009:15 2 12:30 5 15:45 6 19:00 4 22:15 009:30 3 12:45 7 16:00 5 19:15 3 22:30 009:45 1 13:00 4 16:15 5 19:30 7 22:45 010:00 2 13:15 4 16:30 2 19:45 2

07.05. 07:00 3 10:15 37 13:30 31 16:45 22 20:00 5

99

Datum Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol.

07:15 6 10:30 36 13:45 35 17:00 12 20:15 707:30 13 10:45 36 14:00 32 17:15 6 20:30 607:45 23 11:00 30 14:15 36 17:30 15 20:45 208:00 35 11:15 35 14:30 40 17:45 11 21:00 108:15 58 11:30 29 14:45 37 18:00 11 21:15 008:30 30 11:45 31 15:00 37 18:15 9 21:30 008:45 26 12:00 29 15:15 30 18:30 6 21:45 009:00 26 12:15 19 15:30 28 18:45 6 22:00 009:15 30 12:30 30 15:45 18 19:00 6 22:15 009:30 27 12:45 37 16:00 24 19:15 5 22:30 009:45 34 13:00 35 16:15 13 19:30 7 22:45 010:00 33 13:15 37 16:30 13 19:45 7

08.05. 07:00 2 10:15 35 13:30 37 16:45 22 20:00 707:15 4 10:30 37 13:45 33 17:00 15 20:15 307:30 11 10:45 42 14:00 32 17:15 15 20:30 607:45 16 11:00 25 14:15 43 17:30 16 20:45 508:00 26 11:15 20 14:30 32 17:45 13 21:00 108:15 53 11:30 23 14:45 39 18:00 13 21:15 008:30 36 11:45 22 15:00 36 18:15 9 21:30 008:45 34 12:00 31 15:15 35 18:30 10 21:45 009:00 29 12:15 38 15:30 43 18:45 9 22:00 009:15 45 12:30 31 15:45 27 19:00 6 22:15 009:30 30 12:45 31 16:00 25 19:15 6 22:30 009:45 40 13:00 36 16:15 19 19:30 3 22:45 010:00 35 13:15 30 16:30 17 19:45 6

09.05. 07:00 4 10:15 38 13:30 34 16:45 15 20:00 307:15 14 10:30 37 13:45 28 17:00 12 20:15 507:30 14 10:45 36 14:00 25 17:15 14 20:30 607:45 14 11:00 39 14:15 39 17:30 13 20:45 308:00 28 11:15 28 14:30 29 17:45 9 21:00 208:15 42 11:30 27 14:45 21 18:00 7 21:15 008:30 32 11:45 26 15:00 31 18:15 5 21:30 008:45 23 12:00 21 15:15 32 18:30 7 21:45 009:00 26 12:15 31 15:30 26 18:45 4 22:00 009:15 36 12:30 34 15:45 24 19:00 5 22:15 009:30 33 12:45 28 16:00 19 19:15 4 22:30 009:45 35 13:00 25 16:15 15 19:30 5 22:45 010:00 31 13:15 31 16:30 10 19:45 4

10.05. 07:00 5 10:15 47 13:30 40 16:45 12 20:00 407:15 10 10:30 37 13:45 45 17:00 6 20:15 407:30 17 10:45 43 14:00 43 17:15 17 20:30 707:45 32 11:00 36 14:15 38 17:30 16 20:45 408:00 49 11:15 28 14:30 33 17:45 16 21:00 108:15 56 11:30 25 14:45 48 18:00 11 21:15 008:30 35 11:45 24 15:00 42 18:15 6 21:30 008:45 27 12:00 25 15:15 38 18:30 11 21:45 009:00 29 12:15 40 15:30 21 18:45 6 22:00 009:15 26 12:30 40 15:45 29 19:00 8 22:15 009:30 33 12:45 36 16:00 24 19:15 7 22:30 009:45 30 13:00 42 16:15 24 19:30 8 22:45 010:00 38 13:15 28 16:30 17 19:45 6

100

Datum Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol.

11.05. 07:00 7 10:15 18 13:30 40 16:45 16 20:00 507:15 9 10:30 27 13:45 25 17:00 11 20:15 507:30 15 10:45 32 14:00 33 17:15 12 20:30 207:45 25 11:00 25 14:15 27 17:30 12 20:45 508:00 36 11:15 36 14:30 26 17:45 12 21:00 108:15 45 11:30 33 14:45 28 18:00 6 21:15 008:30 42 11:45 27 15:00 25 18:15 9 21:30 008:45 28 12:00 31 15:15 25 18:30 8 21:45 009:00 36 12:15 47 15:30 23 18:45 6 22:00 009:15 43 12:30 34 15:45 30 19:00 7 22:15 009:30 30 12:45 30 16:00 24 19:15 5 22:30 009:45 35 13:00 29 16:15 17 19:30 4 22:45 010:00 38 13:15 38 16:30 15 19:45 7

12.05. 07:00 - 10:15 - 13:30 - 16:45 - 20:00 -07:15 - 10:30 - 13:45 - 17:00 - 20:15 -07:30 - 10:45 - 14:00 - 17:15 - 20:30 -07:45 - 11:00 - 14:15 - 17:30 - 20:45 -08:00 - 11:15 - 14:30 - 17:45 - 21:00 -08:15 - 11:30 - 14:45 - 18:00 - 21:15 -08:30 - 11:45 - 15:00 - 18:15 - 21:30 -08:45 - 12:00 - 15:15 - 18:30 - 21:45 -09:00 - 12:15 - 15:30 - 18:45 - 22:00 -09:15 - 12:30 - 15:45 - 19:00 - 22:15 -09:30 - 12:45 - 16:00 - 19:15 - 22:30 -09:45 - 13:00 - 16:15 - 19:30 - 22:45 -10:00 - 13:15 - 16:30 - 19:45 -

13.05. 07:00 0 10:15 4 13:30 3 16:45 4 20:00 007:15 0 10:30 5 13:45 7 17:00 5 20:15 007:30 0 10:45 4 14:00 1 17:15 2 20:30 007:45 0 11:00 6 14:15 3 17:30 4 20:45 008:00 0 11:15 1 14:30 3 17:45 4 21:00 008:15 1 11:30 2 14:45 3 18:00 3 21:15 008:30 1 11:45 7 15:00 8 18:15 7 21:30 008:45 0 12:00 5 15:15 6 18:30 5 21:45 009:00 1 12:15 2 15:30 5 18:45 2 22:00 009:15 4 12:30 4 15:45 1 19:00 5 22:15 009:30 5 12:45 2 16:00 3 19:15 2 22:30 009:45 3 13:00 2 16:15 2 19:30 4 22:45 010:00 2 13:15 4 16:30 3 19:45 2

14.05. 07:00 0 10:15 25 13:30 38 16:45 31 20:00 507:15 0 10:30 36 13:45 34 17:00 29 20:15 407:30 0 10:45 32 14:00 46 17:15 19 20:30 007:45 0 11:00 42 14:15 32 17:30 15 20:45 308:00 0 11:15 46 14:30 41 17:45 10 21:00 808:15 0 11:30 40 14:45 41 18:00 11 21:15 908:30 14 11:45 41 15:00 38 18:15 9 21:30 1408:45 20 12:00 35 15:15 31 18:30 7 21:45 409:00 29 12:15 34 15:30 30 18:45 8 22:00 509:15 28 12:30 27 15:45 35 19:00 4 22:15 409:30 30 12:45 34 16:00 44 19:15 4 22:30 4

101

Datum Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol.

09:45 28 13:00 25 16:15 37 19:30 7 22:45 010:00 23 13:15 19 16:30 36 19:45 7

15.05. 07:00 0 10:15 16 13:30 28 16:45 31 20:00 507:15 0 10:30 28 13:45 22 17:00 26 20:15 707:30 0 10:45 34 14:00 32 17:15 22 20:30 307:45 0 11:00 37 14:15 31 17:30 18 20:45 508:00 0 11:15 38 14:30 28 17:45 19 21:00 808:15 0 11:30 44 14:45 37 18:00 13 21:15 908:30 24 11:45 45 15:00 41 18:15 2 21:30 1008:45 34 12:00 35 15:15 41 18:30 12 21:45 609:00 33 12:15 35 15:30 29 18:45 7 22:00 909:15 31 12:30 28 15:45 33 19:00 7 22:15 409:30 26 12:45 26 16:00 32 19:15 6 22:30 409:45 28 13:00 33 16:15 34 19:30 6 22:45 310:00 41 13:15 29 16:30 35 19:45 10

16.05. 07:00 0 10:15 33 13:30 42 16:45 38 20:00 407:15 0 10:30 28 13:45 45 17:00 24 20:15 507:30 0 10:45 33 14:00 43 17:15 20 20:30 507:45 0 11:00 29 14:15 41 17:30 16 20:45 408:00 0 11:15 28 14:30 45 17:45 18 21:00 408:15 0 11:30 37 14:45 45 18:00 17 21:15 908:30 15 11:45 41 15:00 41 18:15 13 21:30 808:45 14 12:00 44 15:15 39 18:30 7 21:45 309:00 39 12:15 44 15:30 39 18:45 5 22:00 709:15 41 12:30 39 15:45 36 19:00 5 22:15 109:30 40 12:45 27 16:00 30 19:15 5 22:30 209:45 37 13:00 19 16:15 28 19:30 8 22:45 110:00 38 13:15 20 16:30 38 19:45 7

17.05. 07:00 0 10:15 7 13:30 11 16:45 6 20:00 007:15 0 10:30 10 13:45 8 17:00 6 20:15 007:30 0 10:45 5 14:00 3 17:15 8 20:30 007:45 0 11:00 11 14:15 6 17:30 5 20:45 008:00 0 11:15 8 14:30 10 17:45 7 21:00 008:15 0 11:30 10 14:45 10 18:00 10 21:15 008:30 3 11:45 7 15:00 9 18:15 8 21:30 008:45 6 12:00 11 15:15 6 18:30 5 21:45 009:00 5 12:15 3 15:30 12 18:45 2 22:00 009:15 6 12:30 10 15:45 7 19:00 4 22:15 009:30 6 12:45 7 16:00 2 19:15 1 22:30 009:45 4 13:00 7 16:15 8 19:30 1 22:45 010:00 8 13:15 9 16:30 8 19:45 3

18.05. 07:00 0 10:15 32 13:30 27 16:45 12 20:00 507:15 0 10:30 34 13:45 32 17:00 17 20:15 407:30 0 10:45 29 14:00 35 17:15 15 20:30 407:45 0 11:00 42 14:15 27 17:30 10 20:45 208:00 1 11:15 35 14:30 29 17:45 7 21:00 508:15 0 11:30 33 14:45 29 18:00 8 21:15 1008:30 14 11:45 37 15:00 37 18:15 8 21:30 708:45 27 12:00 38 15:15 27 18:30 7 21:45 509:00 34 12:15 27 15:30 31 18:45 4 22:00 6

102

Datum Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol.

09:15 28 12:30 21 15:45 23 19:00 4 22:15 409:30 32 12:45 13 16:00 19 19:15 4 22:30 109:45 31 13:00 14 16:15 18 19:30 4 22:45 310:00 27 13:15 19 16:30 15 19:45 7

19.05. 07:00 3 10:15 27 13:30 15 16:45 9 20:00 107:15 2 10:30 30 13:45 10 17:00 5 20:15 007:30 0 10:45 30 14:00 9 17:15 12 20:30 007:45 3 11:00 23 14:15 15 17:30 4 20:45 008:00 8 11:15 21 14:30 8 17:45 5 21:00 008:15 5 11:30 26 14:45 15 18:00 4 21:15 008:30 14 11:45 20 15:00 4 18:15 6 21:30 008:45 12 12:00 25 15:15 6 18:30 5 21:45 009:00 9 12:15 24 15:30 3 18:45 1 22:00 009:15 21 12:30 25 15:45 8 19:00 2 22:15 009:30 22 12:45 23 16:00 6 19:15 4 22:30 009:45 25 13:00 14 16:15 3 19:30 1 22:45 010:00 19 13:15 19 16:30 4 19:45 4

20.05. 07:00 0 10:15 6 13:30 4 16:45 3 20:00 007:15 0 10:30 4 13:45 6 17:00 4 20:15 007:30 0 10:45 3 14:00 5 17:15 2 20:30 007:45 0 11:00 6 14:15 6 17:30 3 20:45 008:00 0 11:15 1 14:30 2 17:45 1 21:00 008:15 1 11:30 3 14:45 2 18:00 2 21:15 008:30 0 11:45 2 15:00 4 18:15 2 21:30 008:45 1 12:00 4 15:15 2 18:30 5 21:45 009:00 2 12:15 4 15:30 1 18:45 0 22:00 009:15 3 12:30 1 15:45 0 19:00 1 22:15 009:30 2 12:45 3 16:00 5 19:15 3 22:30 009:45 6 13:00 4 16:15 5 19:30 4 22:45 010:00 0 13:15 2 16:30 3 19:45 3

21.05. 07:00 1 10:15 54 13:30 38 16:45 13 20:00 507:15 10 10:30 46 13:45 32 17:00 11 20:15 507:30 11 10:45 50 14:00 34 17:15 11 20:30 307:45 19 11:00 36 14:15 43 17:30 9 20:45 708:00 36 11:15 36 14:30 35 17:45 6 21:00 008:15 55 11:30 44 14:45 35 18:00 8 21:15 008:30 36 11:45 46 15:00 40 18:15 3 21:30 008:45 40 12:00 33 15:15 36 18:30 3 21:45 009:00 33 12:15 28 15:30 35 18:45 5 22:00 009:15 49 12:30 33 15:45 25 19:00 6 22:15 009:30 39 12:45 30 16:00 34 19:15 6 22:30 009:45 36 13:00 39 16:15 20 19:30 7 22:45 010:00 42 13:15 38 16:30 17 19:45 4

22.05. 07:00 5 10:15 57 13:30 37 16:45 12 20:00 807:15 15 10:30 49 13:45 44 17:00 10 20:15 507:30 14 10:45 50 14:00 35 17:15 9 20:30 707:45 18 11:00 36 14:15 35 17:30 12 20:45 408:00 34 11:15 36 14:30 25 17:45 8 21:00 208:15 53 11:30 53 14:45 45 18:00 10 21:15 008:30 42 11:45 46 15:00 39 18:15 10 21:30 0

103

Datum Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol.

08:45 32 12:00 34 15:15 39 18:30 5 21:45 009:00 37 12:15 28 15:30 37 18:45 9 22:00 009:15 38 12:30 27 15:45 33 19:00 6 22:15 009:30 40 12:45 33 16:00 30 19:15 5 22:30 009:45 43 13:00 36 16:15 26 19:30 4 22:45 010:00 40 13:15 35 16:30 21 19:45 5

23.05. 07:00 6 10:15 37 13:30 31 16:45 8 20:00 407:15 8 10:30 44 13:45 30 17:00 5 20:15 707:30 16 10:45 42 14:00 30 17:15 11 20:30 507:45 23 11:00 36 14:15 30 17:30 8 20:45 508:00 39 11:15 27 14:30 15 17:45 8 21:00 108:15 51 11:30 42 14:45 29 18:00 8 21:15 008:30 41 11:45 28 15:00 26 18:15 9 21:30 008:45 35 12:00 28 15:15 37 18:30 5 21:45 009:00 35 12:15 19 15:30 35 18:45 5 22:00 009:15 35 12:30 24 15:45 30 19:00 8 22:15 009:30 37 12:45 38 16:00 28 19:15 3 22:30 009:45 37 13:00 39 16:15 23 19:30 5 22:45 010:00 30 13:15 29 16:30 23 19:45 4

24.05. 07:00 3 10:15 37 13:30 23 16:45 11 20:00 707:15 8 10:30 44 13:45 32 17:00 6 20:15 407:30 21 10:45 39 14:00 40 17:15 11 20:30 607:45 21 11:00 33 14:15 32 17:30 11 20:45 508:00 37 11:15 37 14:30 26 17:45 10 21:00 008:15 68 11:30 37 14:45 26 18:00 12 21:15 008:30 32 11:45 30 15:00 41 18:15 9 21:30 008:45 35 12:00 25 15:15 33 18:30 9 21:45 009:00 36 12:15 12 15:30 34 18:45 4 22:00 009:15 33 12:30 18 15:45 34 19:00 6 22:15 009:30 31 12:45 26 16:00 24 19:15 5 22:30 009:45 36 13:00 31 16:15 28 19:30 8 22:45 010:00 21 13:15 32 16:30 18 19:45 4

25.05. 07:00 9 10:15 36 13:30 32 16:45 2 20:00 407:15 10 10:30 35 13:45 41 17:00 9 20:15 307:30 18 10:45 41 14:00 25 17:15 10 20:30 307:45 24 11:00 27 14:15 23 17:30 8 20:45 408:00 42 11:15 38 14:30 22 17:45 9 21:00 108:15 54 11:30 34 14:45 26 18:00 7 21:15 008:30 36 11:45 37 15:00 19 18:15 6 21:30 008:45 31 12:00 29 15:15 15 18:30 5 21:45 009:00 35 12:15 21 15:30 18 18:45 6 22:00 009:15 39 12:30 29 15:45 6 19:00 1 22:15 009:30 40 12:45 35 16:00 6 19:15 3 22:30 009:45 26 13:00 31 16:15 1 19:30 6 22:45 010:00 33 13:15 36 16:30 0 19:45 6

26.05. 07:00 - 10:15 - 13:30 - 16:45 - 20:00 -07:15 - 10:30 - 13:45 - 17:00 - 20:15 -07:30 - 10:45 - 14:00 - 17:15 - 20:30 -07:45 - 11:00 - 14:15 - 17:30 - 20:45 -08:00 - 11:15 - 14:30 - 17:45 - 21:00 -

104

Datum Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol.

08:15 - 11:30 - 14:45 - 18:00 - 21:15 -08:30 - 11:45 - 15:00 - 18:15 - 21:30 -08:45 - 12:00 - 15:15 - 18:30 - 21:45 -09:00 - 12:15 - 15:30 - 18:45 - 22:00 -09:15 - 12:30 - 15:45 - 19:00 - 22:15 -09:30 - 12:45 - 16:00 - 19:15 - 22:30 -09:45 - 13:00 - 16:15 - 19:30 - 22:45 -10:00 - 13:15 - 16:30 - 19:45 -

27.05. 07:00 0 10:15 3 13:30 3 16:45 3 20:00 007:15 0 10:30 2 13:45 1 17:00 0 20:15 007:30 0 10:45 5 14:00 2 17:15 0 20:30 007:45 0 11:00 8 14:15 4 17:30 3 20:45 008:00 1 11:15 2 14:30 4 17:45 3 21:00 008:15 0 11:30 6 14:45 4 18:00 0 21:15 008:30 0 11:45 1 15:00 5 18:15 6 21:30 008:45 1 12:00 2 15:15 4 18:30 3 21:45 009:00 0 12:15 2 15:30 1 18:45 0 22:00 009:15 3 12:30 3 15:45 4 19:00 2 22:15 009:30 1 12:45 5 16:00 8 19:15 4 22:30 009:45 4 13:00 3 16:15 4 19:30 0 22:45 010:00 2 13:15 4 16:30 3 19:45 2

28.05. 07:00 0 10:15 3 13:30 5 16:45 3 20:00 007:15 0 10:30 8 13:45 7 17:00 3 20:15 007:30 0 10:45 8 14:00 5 17:15 9 20:30 007:45 0 11:00 4 14:15 6 17:30 1 20:45 008:00 0 11:15 7 14:30 6 17:45 2 21:00 008:15 0 11:30 5 14:45 6 18:00 10 21:15 008:30 3 11:45 8 15:00 9 18:15 5 21:30 008:45 7 12:00 8 15:15 3 18:30 3 21:45 009:00 2 12:15 5 15:30 2 18:45 5 22:00 009:15 2 12:30 8 15:45 3 19:00 5 22:15 009:30 3 12:45 6 16:00 6 19:15 3 22:30 009:45 7 13:00 10 16:15 7 19:30 3 22:45 010:00 5 13:15 9 16:30 4 19:45 2

29.05. 07:00 0 10:15 39 13:30 37 16:45 32 20:00 707:15 0 10:30 37 13:45 34 17:00 26 20:15 507:30 0 10:45 33 14:00 32 17:15 23 20:30 407:45 0 11:00 38 14:15 41 17:30 22 20:45 608:00 0 11:15 40 14:30 41 17:45 15 21:00 908:15 0 11:30 34 14:45 56 18:00 16 21:15 1308:30 10 11:45 45 15:00 37 18:15 9 21:30 1208:45 19 12:00 41 15:15 45 18:30 8 21:45 1009:00 29 12:15 33 15:30 35 18:45 7 22:00 309:15 24 12:30 26 15:45 44 19:00 11 22:15 809:30 25 12:45 17 16:00 30 19:15 9 22:30 209:45 29 13:00 29 16:15 33 19:30 6 22:45 710:00 32 13:15 31 16:30 32 19:45 9

30.05. 07:00 0 10:15 24 13:30 28 16:45 20 20:00 507:15 0 10:30 26 13:45 19 17:00 29 20:15 707:30 0 10:45 23 14:00 45 17:15 20 20:30 6

105

Datum Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol.

07:45 0 11:00 22 14:15 37 17:30 20 20:45 608:00 0 11:15 33 14:30 40 17:45 19 21:00 708:15 0 11:30 40 14:45 42 18:00 14 21:15 1108:30 13 11:45 34 15:00 36 18:15 12 21:30 1108:45 23 12:00 27 15:15 38 18:30 6 21:45 1009:00 25 12:15 34 15:30 41 18:45 8 22:00 509:15 22 12:30 35 15:45 30 19:00 6 22:15 409:30 18 12:45 23 16:00 26 19:15 9 22:30 709:45 16 13:00 29 16:15 34 19:30 7 22:45 110:00 21 13:15 37 16:30 30 19:45 4

31.05. 07:00 0 10:15 26 13:30 26 16:45 23 20:00 807:15 0 10:30 18 13:45 21 17:00 9 20:15 507:30 0 10:45 26 14:00 29 17:15 16 20:30 307:45 0 11:00 25 14:15 35 17:30 16 20:45 208:00 0 11:15 36 14:30 34 17:45 14 21:00 408:15 0 11:30 34 14:45 31 18:00 10 21:15 1008:30 13 11:45 32 15:00 27 18:15 12 21:30 608:45 11 12:00 27 15:15 26 18:30 9 21:45 809:00 19 12:15 22 15:30 29 18:45 6 22:00 509:15 22 12:30 19 15:45 25 19:00 5 22:15 409:30 21 12:45 18 16:00 28 19:15 9 22:30 809:45 26 13:00 17 16:15 32 19:30 6 22:45 510:00 14 13:15 19 16:30 28 19:45 6

01.06. 07:00 0 10:15 20 13:30 21 16:45 19 20:00 207:15 0 10:30 19 13:45 18 17:00 18 20:15 607:30 0 10:45 29 14:00 15 17:15 15 20:30 407:45 0 11:00 23 14:15 8 17:30 13 20:45 408:00 0 11:15 23 14:30 18 17:45 8 21:00 408:15 0 11:30 22 14:45 30 18:00 11 21:15 608:30 9 11:45 30 15:00 24 18:15 9 21:30 1208:45 13 12:00 22 15:15 26 18:30 5 21:45 909:00 23 12:15 28 15:30 22 18:45 4 22:00 609:15 31 12:30 11 15:45 25 19:00 3 22:15 309:30 30 12:45 12 16:00 22 19:15 2 22:30 709:45 26 13:00 15 16:15 21 19:30 5 22:45 110:00 29 13:15 22 16:30 15 19:45 5

02.06. 07:00 1 10:15 25 13:30 9 16:45 11 20:00 007:15 0 10:30 37 13:45 13 17:00 6 20:15 007:30 2 10:45 26 14:00 13 17:15 13 20:30 007:45 2 11:00 27 14:15 7 17:30 8 20:45 008:00 10 11:15 32 14:30 7 17:45 6 21:00 008:15 11 11:30 30 14:45 9 18:00 5 21:15 008:30 12 11:45 32 15:00 10 18:15 7 21:30 008:45 11 12:00 26 15:15 7 18:30 9 21:45 009:00 13 12:15 22 15:30 6 18:45 2 22:00 009:15 23 12:30 26 15:45 7 19:00 5 22:15 009:30 26 12:45 27 16:00 9 19:15 5 22:30 009:45 31 13:00 19 16:15 12 19:30 4 22:45 010:00 23 13:15 19 16:30 8 19:45 3

03.06. 07:00 0 10:15 3 13:30 3 16:45 3 20:00 0

106

Datum Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol. Zeit Vol.

07:15 0 10:30 3 13:45 3 17:00 3 20:15 007:30 0 10:45 1 14:00 4 17:15 3 20:30 007:45 0 11:00 1 14:15 6 17:30 4 20:45 008:00 1 11:15 5 14:30 3 17:45 3 21:00 008:15 3 11:30 4 14:45 3 18:00 2 21:15 008:30 1 11:45 11 15:00 6 18:15 3 21:30 008:45 1 12:00 1 15:15 2 18:30 4 21:45 009:00 3 12:15 3 15:30 3 18:45 2 22:00 009:15 0 12:30 6 15:45 3 19:00 3 22:15 009:30 3 12:45 8 16:00 4 19:15 7 22:30 009:45 4 13:00 3 16:15 5 19:30 3 22:45 010:00 6 13:15 5 16:30 4 19:45 5

Tabelle A.3: Anrufeingang Mai 2007

A.3 Empirische Daten zu den Bediendauern

Die pro Tag gemittelten Bedienzeiten in Sekunden für 2007 sind Tabelle A.4 zu entnehmen.

MittlereBedienzeit

Häufigkeit RelativeHäufigkeit

MittlereBedienzeit

Häufigkeit RelativeHäufigkeit

53 1 0,00274 151 9 0,02466103 1 0,00274 152 7 0,01918110 1 0,00274 153 11 0,03014111 1 0,00274 154 5 0,01370114 1 0,00274 155 9 0,02466119 3 0,00822 156 4 0,01096120 2 0,00548 157 6 0,01644121 3 0,00822 158 4 0,01096122 1 0,00274 159 3 0,00822123 3 0,00822 160 5 0,01370124 6 0,01644 161 4 0,01096125 2 0,00548 162 2 0,00548126 4 0,01096 164 4 0,01096127 5 0,01370 166 4 0,01096128 1 0,00274 167 2 0,00548129 5 0,01370 168 4 0,01096130 13 0,03562 169 1 0,00274131 8 0,02192 171 2 0,00548132 7 0,01918 172 1 0,00274133 13 0,03562 173 2 0,00548134 14 0,03836 174 4 0,01096135 9 0,02466 175 3 0,00822136 14 0,03836 178 1 0,00274137 10 0,02740 181 3 0,00822138 20 0,05479 182 1 0,00274139 7 0,01918 183 2 0,00548

107

MittlereBedienzeit

Häufigkeit RelativeHäufigkeit

MittlereBedienzeit

Häufigkeit RelativeHäufigkeit

140 11 0,03014 185 1 0,00274141 11 0,03014 186 1 0,00274142 9 0,02466 187 1 0,00274143 9 0,02466 188 2 0,00548144 3 0,00822 190 1 0,00274145 10 0,02740 206 1 0,00274146 11 0,03014 209 1 0,00274147 7 0,01918 212 1 0,00274148 8 0,02192 219 1 0,00274149 11 0,03014 241 1 0,00274150 6 0,01644

Tabelle A.4: Häufigkeitsverteilung der gemittelten Bedienzeiten

Für den betrachteten Simulationszeitraum ergaben sich die in Tabelle A.5 angegebenen mittle-

ren Bedienzeiten pro Tag.

Datum MittlereBedienzeit

Datum MittlereBedienzeit

30.04. 136 18.05. 13301.05. 162 19.05. 13702.05. 133 20.05. 14903.05. 132 21.05. 13204.05. 133 22.05. 12505.05. 130 23.05. 13206.05. 135 24.05. 12907.05. 124 25.05. 12608.05. 126 26.05. 13009.05. 130 27.05. 17410.05. 121 28.05. 13811.05. 127 29.05. 12912.05. 139 30.05. 12913.05. 164 31.05. 13014.05. 130 01.06. 12615.05. 137 02.06. 12416.05. 127 03.06. 14417.05. 157

Tabelle A.5: Mittlere Bedienzeiten im Betrachtungszeitraum

A.4 Daten zur Kapazität der Agenten

Die Kapazität der Agenten pro Viertelstundenintervall (Kap.) und Tag für den Betrachtungszeit-

raum kann Tabelle A.6 entnommen werden. Zusätzlich enthält diese die auf- bzw. abgerundete

108

Kapazität c, die für den Schichtplan im Simulationsmodell verwendet wird, da diese nur ganz-

zahlige Werte annehmen darf. Ebenso wie für den Anrufeingang werden für den 12. bzw. 26.05.

die Daten vom 05. bzw. 19.05. eingesetzt.

Datum Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c

30.04. 07:00 0 0 11:00 8 8 15:00 6,67 7 19:00 2,33 207:15 0 0 11:15 8 8 15:15 7,67 8 19:15 2,67 307:30 0 0 11:30 8 8 15:30 7,67 8 19:30 2,67 307:45 0 0 11:45 8 8 15:45 8 8 19:45 3 308:00 0 0 12:00 5,67 6 16:00 9 9 20:00 3 308:15 0 0 12:15 6,33 6 16:15 9 9 20:15 2 208:30 5 5 12:30 4,33 4 16:30 6,67 7 20:30 2 208:45 6 6 12:45 5 5 16:45 7,33 7 20:45 2,33 209:00 7 7 13:00 8 8 17:00 5 5 21:00 3 309:15 7 7 13:15 8 8 17:15 4 4 21:15 3 309:30 7 7 13:30 7 7 17:30 4 4 21:30 3 309:45 7 7 13:45 8 8 17:45 5 5 21:45 3 310:00 8 8 14:00 6 6 18:00 5 5 22:00 2 210:15 7,67 8 14:15 6 6 18:15 4,33 4 22:15 2 210:30 8 8 14:30 6 6 18:30 3,67 4 22:30 2 210:45 7,33 7 14:45 6,67 7 18:45 3 3 22:45 2 2

01.05. 07:00 0 0 11:00 3 3 15:00 3 3 19:00 2 207:15 0 0 11:15 3 3 15:15 3 3 19:15 2 207:30 0 0 11:30 3,33 3 15:30 2,33 2 19:30 2 207:45 0 0 11:45 3 3 15:45 2 2 19:45 2 208:00 2 2 12:00 2,67 3 16:00 3,67 4 20:00 0 008:15 2 2 12:15 3 3 16:15 4 4 20:15 0 008:30 2 2 12:30 4 4 16:30 2 2 20:30 0 008:45 2 2 12:45 4 4 16:45 2 2 20:45 0 009:00 2 2 13:00 3,33 3 17:00 2 2 21:00 0 009:15 2 2 13:15 4 4 17:15 2 2 21:15 0 009:30 1,33 1 13:30 3,33 3 17:30 2 2 21:30 0 009:45 2 2 13:45 4 4 17:45 1,33 1 21:45 0 010:00 1,33 1 14:00 2,67 3 18:00 1,33 1 22:00 0 010:15 2 2 14:15 4 4 18:15 2 2 22:15 0 010:30 2 2 14:30 4 4 18:30 2 2 22:30 0 010:45 2 2 14:45 4 4 18:45 2 2 22:45 0 0

02.05. 07:00 0 0 11:00 8 8 15:00 8,33 8 19:00 2,33 207:15 0 0 11:15 8 8 15:15 9,33 9 19:15 3 307:30 0 0 11:30 8 8 15:30 9,67 10 19:30 3 307:45 0 0 11:45 7,33 7 15:45 10 10 19:45 3 308:00 0 0 12:00 8,33 8 16:00 9 9 20:00 3 308:15 0 0 12:15 9 9 16:15 9 9 20:15 3 308:30 5 5 12:30 5,67 6 16:30 7 7 20:30 2 208:45 6 6 12:45 4,67 5 16:45 9 9 20:45 0,67 109:00 7 7 13:00 6,33 6 17:00 5 5 21:00 2 209:15 7 7 13:15 7,33 7 17:15 4 4 21:15 2 209:30 7 7 13:30 9 9 17:30 4 4 21:30 2 209:45 6,67 7 13:45 9 9 17:45 4 4 21:45 2 210:00 6,33 6 14:00 9 9 18:00 3 3 22:00 2 210:15 7 7 14:15 9 9 18:15 3 3 22:15 2 2

109

Datum Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c

10:30 6,67 7 14:30 8,67 9 18:30 1,33 1 22:30 2 210:45 6,67 7 14:45 9,33 9 18:45 0,67 1 22:45 2 2

03.05. 07:00 0 0 11:00 9 9 15:00 8,33 8 19:00 5 507:15 0 0 11:15 9 9 15:15 9,33 9 19:15 3 307:30 0 0 11:30 7 7 15:30 11 11 19:30 3 307:45 0 0 11:45 7 7 15:45 11 11 19:45 3 308:00 0 0 12:00 4,67 5 16:00 10 10 20:00 3 308:15 0 0 12:15 4 4 16:15 10 10 20:15 3 308:30 6 6 12:30 3,33 3 16:30 8 8 20:30 2,33 208:45 7 7 12:45 3 3 16:45 10 10 20:45 2,33 209:00 8 8 13:00 4 4 17:00 6 6 21:00 3 309:15 8 8 13:15 4,33 4 17:15 4,67 5 21:15 3 309:30 8 8 13:30 8 8 17:30 4,67 5 21:30 3 309:45 6,67 7 13:45 8 8 17:45 5 5 21:45 3 310:00 7,33 7 14:00 9,33 9 18:00 4 4 22:00 2 210:15 6 6 14:15 10 10 18:15 4 4 22:15 2 210:30 8 8 14:30 9,33 9 18:30 1,67 2 22:30 2 210:45 7,67 8 14:45 9 9 18:45 1,67 2 22:45 2 2

04.05. 07:00 0 0 11:00 9 9 15:00 9,67 10 19:00 3,33 307:15 0 0 11:15 9 9 15:15 9,67 10 19:15 3 307:30 0 0 11:30 9 9 15:30 10 10 19:30 3 307:45 0 0 11:45 9 9 15:45 10 10 19:45 3 308:00 0 0 12:00 7,33 7 16:00 9,33 9 20:00 3 308:15 0 0 12:15 7,33 7 16:15 10 10 20:15 3 308:30 6 6 12:30 6,67 7 16:30 7,67 8 20:30 3 308:45 7 7 12:45 5,67 6 16:45 9 9 20:45 1 109:00 8 8 13:00 5,67 6 17:00 5 5 21:00 3 309:15 8 8 13:15 7,33 7 17:15 3,33 3 21:15 3 309:30 8 8 13:30 8 8 17:30 4 4 21:30 3 309:45 7,33 7 13:45 8 8 17:45 4 4 21:45 3 310:00 7,67 8 14:00 8 8 18:00 3 3 22:00 2 210:15 5,67 6 14:15 8 8 18:15 3 3 22:15 2 210:30 7,33 7 14:30 8,33 8 18:30 1,67 2 22:30 2 210:45 7,67 8 14:45 8,33 8 18:45 1 1 22:45 2 2

05.05. 07:00 2 2 11:00 6 6 15:00 6,33 6 19:00 2 207:15 2 2 11:15 5,67 6 15:15 5,67 6 19:15 2 207:30 2 2 11:30 8,33 8 15:30 5 5 19:30 2 207:45 3 3 11:45 8 8 15:45 4,67 5 19:45 2 208:00 3 3 12:00 9,67 10 16:00 5 5 20:00 0 008:15 3 3 12:15 10 10 16:15 4,67 5 20:15 0 008:30 5 5 12:30 10 10 16:30 4,67 5 20:30 0 008:45 5 5 12:45 9 9 16:45 5 5 20:45 0 009:00 5,67 6 13:00 9 9 17:00 5 5 21:00 0 009:15 6,33 6 13:15 7,67 8 17:15 3,33 3 21:15 0 009:30 7 7 13:30 7,33 7 17:30 4 4 21:30 0 009:45 6,33 6 13:45 7,67 8 17:45 3 3 21:45 0 010:00 7,33 7 14:00 7,33 7 18:00 2,33 2 22:00 0 010:15 8 8 14:15 7 7 18:15 3 3 22:15 0 010:30 8 8 14:30 6,67 7 18:30 2 2 22:30 0 010:45 7 7 14:45 7 7 18:45 2 2 22:45 0 0

110

Datum Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c

06.05. 07:00 0 0 11:00 2 2 15:00 3 3 19:00 2 207:15 0 0 11:15 2 2 15:15 3 3 19:15 2 207:30 0 0 11:30 4 4 15:30 2,33 2 19:30 2 207:45 0 0 11:45 4 4 15:45 1 1 19:45 2 208:00 2 2 12:00 2 2 16:00 1,67 2 20:00 0 008:15 2 2 12:15 2 2 16:15 3 3 20:15 0 008:30 2 2 12:30 3 3 16:30 2 2 20:30 0 008:45 2 2 12:45 3 3 16:45 2 2 20:45 0 009:00 2 2 13:00 3 3 17:00 2 2 21:00 0 009:15 2 2 13:15 3 3 17:15 2 2 21:15 0 009:30 2 2 13:30 1,67 2 17:30 2 2 21:30 0 009:45 1 1 13:45 3 3 17:45 1,33 1 21:45 0 010:00 1,67 2 14:00 3 3 18:00 1,33 1 22:00 0 010:15 2 2 14:15 3 3 18:15 2 2 22:15 0 010:30 2 2 14:30 2,33 2 18:30 2 2 22:30 0 010:45 2 2 14:45 3 3 18:45 2 2 22:45 0 0

07.05. 07:00 3 3 11:00 7 7 15:00 8,67 9 19:00 3,67 407:15 4 4 11:15 7,67 8 15:15 8 8 19:15 3,67 407:30 5 5 11:30 8 8 15:30 6 6 19:30 4 407:45 7 7 11:45 8,67 9 15:45 6 6 19:45 4 408:00 8 8 12:00 8 8 16:00 6 6 20:00 3 308:15 9 9 12:15 8 8 16:15 3,33 3 20:15 3 308:30 8 8 12:30 9,33 9 16:30 4 4 20:30 3 308:45 8 8 12:45 9 9 16:45 3,33 3 20:45 3 309:00 8,33 8 13:00 9 9 17:00 3 3 21:00 0 009:15 9 9 13:15 10,33 10 17:15 3,67 4 21:15 0 009:30 8,33 8 13:30 10,67 11 17:30 4 4 21:30 0 009:45 7,67 8 13:45 10,67 11 17:45 3,33 3 21:45 0 010:00 8,33 8 14:00 11 11 18:00 4 4 22:00 0 010:15 8,33 8 14:15 11,67 12 18:15 3 3 22:15 0 010:30 9 9 14:30 11 11 18:30 2,33 2 22:30 0 010:45 7,33 7 14:45 11 11 18:45 4 4 22:45 0 0

08.05. 07:00 4 4 11:00 6,67 7 15:00 11 11 19:00 2,33 207:15 5 5 11:15 7 7 15:15 10 10 19:15 3 307:30 5 5 11:30 8,33 8 15:30 8,33 8 19:30 3 307:45 8 8 11:45 9,33 9 15:45 7,67 8 19:45 3 308:00 9 9 12:00 10 10 16:00 5,67 6 20:00 2 208:15 10 10 12:15 9 9 16:15 5 5 20:15 2 208:30 9,33 9 12:30 10,33 10 16:30 4 4 20:30 2 208:45 8,67 9 12:45 11 11 16:45 4 4 20:45 2 209:00 8 8 13:00 10 10 17:00 3 3 21:00 0 009:15 10 10 13:15 10,33 10 17:15 3 3 21:15 0 009:30 9,67 10 13:30 10,33 10 17:30 4 4 21:30 0 009:45 11 11 13:45 9,33 9 17:45 4 4 21:45 0 010:00 9,67 10 14:00 10,67 11 18:00 2,67 3 22:00 0 010:15 11 11 14:15 12 12 18:15 2,67 3 22:15 0 010:30 11 11 14:30 11 11 18:30 3 3 22:30 0 010:45 9 9 14:45 11,67 12 18:45 2,33 2 22:45 0 0

09.05. 07:00 2 2 11:00 6,67 7 15:00 8 8 19:00 2 207:15 3 3 11:15 6,67 7 15:15 7 7 19:15 2 207:30 4,4 4 11:30 5,33 5 15:30 5 5 19:30 2 2

111

Datum Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c

07:45 7 7 11:45 6 6 15:45 5 5 19:45 2 208:00 7 7 12:00 6 6 16:00 4,33 4 20:00 2 208:15 7,67 8 12:15 6,33 6 16:15 3 3 20:15 2 208:30 7,33 7 12:30 8,33 8 16:30 1 1 20:30 2 208:45 8 8 12:45 9 9 16:45 2 2 20:45 2 209:00 5,67 6 13:00 8 8 17:00 3 3 21:00 0 009:15 6,33 6 13:15 7,33 7 17:15 3 3 21:15 0 009:30 7,33 7 13:30 6,33 6 17:30 3 3 21:30 0 009:45 7,33 7 13:45 7 7 17:45 3 3 21:45 0 010:00 7,33 7 14:00 8,33 8 18:00 2 2 22:00 0 010:15 8 8 14:15 8 8 18:15 2 2 22:15 0 010:30 7,67 8 14:30 7,67 8 18:30 2 2 22:30 0 010:45 6,67 7 14:45 8,67 9 18:45 0,67 1 22:45 0 0

10.05. 07:00 3 3 11:00 8,67 9 15:00 10 10 19:00 2,33 207:15 4 4 11:15 8 8 15:15 9 9 19:15 3 307:30 6 6 11:30 7,33 7 15:30 7 7 19:30 3 307:45 8 8 11:45 8,33 8 15:45 7 7 19:45 3 308:00 9 9 12:00 8,33 8 16:00 5,33 5 20:00 2 208:15 9 9 12:15 9,33 9 16:15 5 5 20:15 2 208:30 8,67 9 12:30 11,33 11 16:30 2,67 3 20:30 2 208:45 8 8 12:45 12 12 16:45 2 2 20:45 2 209:00 8 8 13:00 11 11 17:00 3,33 3 21:00 0 009:15 8,67 9 13:15 10,67 11 17:15 4 4 21:15 0 009:30 8,33 8 13:30 10,33 10 17:30 4 4 21:30 0 009:45 7,67 8 13:45 11 11 17:45 3,33 3 21:45 0 010:00 8,33 8 14:00 10,67 11 18:00 3 3 22:00 0 010:15 10 10 14:15 11,33 11 18:15 3 3 22:15 0 010:30 10 10 14:30 10 10 18:30 3 3 22:30 0 010:45 9,33 9 14:45 11,67 12 18:45 2,33 2 22:45 0 0

11.05. 07:00 3 3 11:00 8,67 9 15:00 9,67 10 19:00 2,67 307:15 4 4 11:15 9 9 15:15 9 9 19:15 2,67 307:30 6 6 11:30 8,33 8 15:30 8 8 19:30 3 307:45 8 8 11:45 9 9 15:45 8 8 19:45 3 308:00 9 9 12:00 9 9 16:00 6,33 6 20:00 2 208:15 10 10 12:15 9 9 16:15 5 5 20:15 2 208:30 9,33 9 12:30 10,33 10 16:30 4 4 20:30 2 208:45 8,67 9 12:45 10,33 10 16:45 3,33 3 20:45 2 209:00 8,67 9 13:00 9,33 9 17:00 3 3 21:00 0 009:15 9,33 9 13:15 7 7 17:15 3,67 4 21:15 0 009:30 10,33 10 13:30 6,33 6 17:30 4 4 21:30 0 009:45 10,33 10 13:45 6 6 17:45 3,33 3 21:45 0 010:00 10,33 10 14:00 6,33 6 18:00 3 3 22:00 0 010:15 10,33 10 14:15 6,33 6 18:15 3 3 22:15 0 010:30 11 11 14:30 6,33 6 18:30 3 3 22:30 0 010:45 9 9 14:45 10,67 11 18:45 2,33 2 22:45 0 0

12.05. 07:00 - - 11:00 - - 15:00 - - 19:00 - -07:15 - - 11:15 - - 15:15 - - 19:15 - -07:30 - - 11:30 - - 15:30 - - 19:30 - -07:45 - - 11:45 - - 15:45 - - 19:45 - -08:00 - - 12:00 - - 16:00 - - 20:00 - -08:15 - - 12:15 - - 16:15 - - 20:15 - -

112

Datum Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c

08:30 - - 12:30 - - 16:30 - - 20:30 - -08:45 - - 12:45 - - 16:45 - - 20:45 - -09:00 - - 13:00 - - 17:00 - - 21:00 - -09:15 - - 13:15 - - 17:15 - - 21:15 - -09:30 - - 13:30 - - 17:30 - - 21:30 - -09:45 - - 13:45 - - 17:45 - - 21:45 - -10:00 - - 14:00 - - 18:00 - - 22:00 - -10:15 - - 14:15 - - 18:15 - - 22:15 - -10:30 - - 14:30 - - 18:30 - - 22:30 - -10:45 - - 14:45 - - 18:45 - - 22:45 - -

13.05. 07:00 0 0 11:00 2 2 15:00 4 4 19:00 2 207:15 0 0 11:15 1,33 1 15:15 3,33 3 19:15 2 207:30 0 0 11:30 2 2 15:30 3 3 19:30 2 207:45 0 0 11:45 1,67 2 15:45 3 3 19:45 2 208:00 2 2 12:00 2 2 16:00 4 4 20:00 0 008:15 2 2 12:15 3 3 16:15 4 4 20:15 0 008:30 2 2 12:30 3 3 16:30 2 2 20:30 0 008:45 2 2 12:45 3 3 16:45 2 2 20:45 0 009:00 2 2 13:00 4 4 17:00 2 2 21:00 0 009:15 2 2 13:15 4 4 17:15 1 1 21:15 0 009:30 1 1 13:30 3,33 3 17:30 1 1 21:30 0 009:45 1,67 2 13:45 3,33 3 17:45 1,33 1 21:45 0 010:00 2 2 14:00 4 4 18:00 2 2 22:00 0 010:15 2 2 14:15 3,33 3 18:15 2 2 22:15 0 010:30 2 2 14:30 4 4 18:30 2 2 22:30 0 010:45 2 2 14:45 4 4 18:45 2 2 22:45 0 0

14.05. 07:00 0 0 11:00 8,33 8 15:00 7,67 8 19:00 1 107:15 0 0 11:15 7,67 8 15:15 7 7 19:15 1 107:30 0 0 11:30 8,67 9 15:30 9 9 19:30 2 207:45 0 0 11:45 7,67 8 15:45 10 10 19:45 2 208:00 0 0 12:00 8 8 16:00 10 10 20:00 2 208:15 0 0 12:15 9 9 16:15 9,33 9 20:15 1 108:30 4 4 12:30 6,67 7 16:30 8 8 20:30 0,67 108:45 6 6 12:45 4,67 5 16:45 8 8 20:45 1,67 209:00 7 7 13:00 4,67 5 17:00 6 6 21:00 2 209:15 7 7 13:15 5,67 6 17:15 4 4 21:15 2 209:30 7 7 13:30 7,67 8 17:30 3 3 21:30 2 209:45 7,33 7 13:45 8 8 17:45 3 3 21:45 2 210:00 8 8 14:00 8 8 18:00 3 3 22:00 2 210:15 8 8 14:15 8 8 18:15 1,33 1 22:15 2 210:30 6,67 7 14:30 8,33 8 18:30 2 2 22:30 2 210:45 6,67 7 14:45 8,67 9 18:45 2 2 22:45 2 2

15.05. 07:00 0 0 11:00 10 10 15:00 9,33 9 19:00 2,33 207:15 0 0 11:15 10 10 15:15 8,67 9 19:15 3 307:30 0 0 11:30 10,33 10 15:30 10 10 19:30 3 307:45 0 0 11:45 11 11 15:45 10 10 19:45 3 308:00 0 0 12:00 10,67 11 16:00 11,33 11 20:00 2 208:15 0 0 12:15 9 9 16:15 12 12 20:15 1 108:30 5 5 12:30 7,33 7 16:30 10,33 10 20:30 1 108:45 6 6 12:45 6,67 7 16:45 11 11 20:45 1,33 109:00 8 8 13:00 6,67 7 17:00 7 7 21:00 2 2

113

Datum Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c

09:15 8 8 13:15 7,67 8 17:15 6 6 21:15 2 209:30 8 8 13:30 9 9 17:30 4 4 21:30 2 209:45 9 9 13:45 9 9 17:45 4 4 21:45 2 210:00 8,33 8 14:00 9,33 9 18:00 3,33 3 22:00 2 210:15 8,67 9 14:15 10 10 18:15 2,33 2 22:15 2 210:30 6,67 7 14:30 10,33 10 18:30 2,67 3 22:30 2 210:45 7 7 14:45 11 11 18:45 2 2 22:45 2 2

16.05. 07:00 0 0 11:00 7 7 15:00 10,33 10 19:00 4 407:15 0 0 11:15 7 7 15:15 8,33 8 19:15 4 407:30 0 0 11:30 8 8 15:30 11,33 11 19:30 4 407:45 0 0 11:45 8 8 15:45 11 11 19:45 4 408:00 0 0 12:00 10 10 16:00 11 11 20:00 2 208:15 0 0 12:15 10 10 16:15 11 11 20:15 2 208:30 4 4 12:30 7 7 16:30 11 11 20:30 1 108:45 6 6 12:45 5,33 5 16:45 11 11 20:45 1,67 209:00 8 8 13:00 5,33 5 17:00 9 9 21:00 2 209:15 8 8 13:15 6,67 7 17:15 6 6 21:15 2 209:30 8 8 13:30 9 9 17:30 4 4 21:30 2 209:45 8,67 9 13:45 10 10 17:45 5 5 21:45 2 210:00 8,67 9 14:00 10 10 18:00 4,67 5 22:00 2 210:15 8,67 9 14:15 10 10 18:15 3 3 22:15 2 210:30 7,33 7 14:30 12 12 18:30 2 2 22:30 2 210:45 5,67 6 14:45 11,67 12 18:45 2,67 3 22:45 2 2

17.05. 07:00 0 0 11:00 2 2 15:00 4 4 19:00 3 307:15 0 0 11:15 2 2 15:15 3,67 4 19:15 3 307:30 0 0 11:30 4 4 15:30 3 3 19:30 3 307:45 0 0 11:45 3,33 3 15:45 3,33 3 19:45 3 308:00 2 2 12:00 2,67 3 16:00 3,33 3 20:00 0 008:15 2 2 12:15 2,67 3 16:15 4 4 20:15 0 008:30 2 2 12:30 3,33 3 16:30 3 3 20:30 0 008:45 2 2 12:45 4 4 16:45 3 3 20:45 0 009:00 2 2 13:00 3,33 3 17:00 3 3 21:00 0 009:15 2 2 13:15 3,33 3 17:15 3 3 21:15 0 009:30 1,67 2 13:30 4 4 17:30 2 2 21:30 0 009:45 1,67 2 13:45 4 4 17:45 2 2 21:45 0 010:00 1,33 1 14:00 5 5 18:00 3 3 22:00 0 010:15 2 2 14:15 5 5 18:15 3 3 22:15 0 010:30 2 2 14:30 4 4 18:30 3 3 22:30 0 010:45 2 2 14:45 4,67 5 18:45 3 3 22:45 0 0

18.05. 07:00 0 0 11:00 8,33 8 15:00 8,33 8 19:00 1,33 107:15 0 0 11:15 9 9 15:15 7 7 19:15 2 207:30 0 0 11:30 9 9 15:30 8 8 19:30 2 207:45 0 0 11:45 9 9 15:45 8 8 19:45 2 208:00 1 1 12:00 8,33 8 16:00 8 8 20:00 2 208:15 1 1 12:15 6,67 7 16:15 7,33 7 20:15 2 208:30 6 6 12:30 5,67 6 16:30 4,33 4 20:30 1,67 208:45 7 7 12:45 5,67 6 16:45 5 5 20:45 1,67 209:00 8 8 13:00 4 4 17:00 4 4 21:00 1,67 209:15 8 8 13:15 6,33 6 17:15 4 4 21:15 1,67 209:30 7 7 13:30 8 8 17:30 2 2 21:30 2 209:45 8 8 13:45 8 8 17:45 2 2 21:45 2 2

114

Datum Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c

10:00 6,67 7 14:00 8 8 18:00 2 2 22:00 2 210:15 8 8 14:15 8 8 18:15 2 2 22:15 2 210:30 6,67 7 14:30 9 9 18:30 0,67 1 22:30 2 210:45 6 6 14:45 9 9 18:45 0 0 22:45 2 2

19.05. 07:00 2 2 11:00 4,33 4 15:00 6 6 19:00 2 207:15 3 3 11:15 4,67 5 15:15 3,67 4 19:15 2 207:30 3 3 11:30 5,67 6 15:30 3,67 4 19:30 2 207:45 3 3 11:45 6 6 15:45 3 3 19:45 2 208:00 4 4 12:00 7 7 16:00 2,67 3 20:00 0 008:15 4 4 12:15 7 7 16:15 4 4 20:15 0 008:30 4,67 5 12:30 6 6 16:30 4 4 20:30 0 008:45 4 4 12:45 4,67 5 16:45 4 4 20:45 0 009:00 5 5 13:00 4 4 17:00 4 4 21:00 0 009:15 5,33 5 13:15 4,67 5 17:15 4 4 21:15 0 009:30 6 6 13:30 4,67 5 17:30 2,67 3 21:30 0 009:45 6 6 13:45 5,33 5 17:45 1,67 2 21:45 0 010:00 5,33 5 14:00 6 6 18:00 1,67 2 22:00 0 010:15 6 6 14:15 6 6 18:15 1,67 2 22:15 0 010:30 4,33 4 14:30 6 6 18:30 2 2 22:30 0 010:45 5 5 14:45 6 6 18:45 2 2 22:45 0 0

20.05. 07:00 0 0 11:00 2 2 15:00 2 2 19:00 2 207:15 0 0 11:15 2 2 15:15 2 2 19:15 2 207:30 0 0 11:30 3,67 4 15:30 2,67 3 19:30 2 207:45 0 0 11:45 2,67 3 15:45 2 2 19:45 2 208:00 2 2 12:00 3 3 16:00 2,33 2 20:00 0 008:15 2 2 12:15 4 4 16:15 3 3 20:15 0 008:30 2 2 12:30 4 4 16:30 2 2 20:30 0 008:45 2 2 12:45 4 4 16:45 2 2 20:45 0 009:00 2 2 13:00 2,33 2 17:00 2 2 21:00 0 009:15 2 2 13:15 3 3 17:15 2 2 21:15 0 009:30 1,33 1 13:30 2,33 2 17:30 1,33 1 21:30 0 009:45 2 2 13:45 3 3 17:45 2 2 21:45 0 010:00 1,33 1 14:00 3 3 18:00 1,67 2 22:00 0 010:15 2 2 14:15 2,33 2 18:15 1,67 2 22:15 0 010:30 2 2 14:30 3 3 18:30 2 2 22:30 0 010:45 2 2 14:45 3 3 18:45 2 2 22:45 0 0

21.05. 07:00 3 3 11:00 8 8 15:00 11 11 19:00 2 207:15 3 3 11:15 6,67 7 15:15 11 11 19:15 2 207:30 4 4 11:30 8,33 8 15:30 8,33 8 19:30 2 207:45 5 5 11:45 6,67 7 15:45 9 9 19:45 2 208:00 9 9 12:00 6,33 6 16:00 7 7 20:00 2 208:15 9 9 12:15 7,33 7 16:15 5,33 5 20:15 2 208:30 8,67 9 12:30 8 8 16:30 3 3 20:30 2 208:45 8 8 12:45 8,67 9 16:45 2,33 2 20:45 2 209:00 8,33 8 13:00 9 9 17:00 3 3 21:00 0 009:15 9,67 10 13:15 8,67 9 17:15 3 3 21:15 0 009:30 9 9 13:30 7,33 7 17:30 3 3 21:30 0 009:45 8,67 9 13:45 7 7 17:45 2 2 21:45 0 010:00 8,67 9 14:00 9,33 9 18:00 2 2 22:00 0 010:15 10 10 14:15 9 9 18:15 1 1 22:15 0 010:30 9 9 14:30 9 9 18:30 0,33 0 22:30 0 0

115

Datum Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c

10:45 9 9 14:45 10 10 18:45 2 2 22:45 0 0

22.05. 07:00 4 4 11:00 7,33 7 15:00 9 9 19:00 1,67 207:15 5 5 11:15 7 7 15:15 10 10 19:15 2 207:30 6 6 11:30 9,67 10 15:30 8 8 19:30 2 207:45 8 8 11:45 8 8 15:45 7 7 19:45 2 208:00 9 9 12:00 6,67 7 16:00 6 6 20:00 2 208:15 10 10 12:15 7,67 8 16:15 5,33 5 20:15 2 208:30 9,33 9 12:30 6,67 7 16:30 4,33 4 20:30 2 208:45 8 8 12:45 7,67 8 16:45 2,33 2 20:45 2 209:00 9,33 9 13:00 9 9 17:00 3 3 21:00 0 009:15 10 10 13:15 7,67 8 17:15 3 3 21:15 0 009:30 8,67 9 13:30 8,33 8 17:30 3 3 21:30 0 009:45 9 9 13:45 9 9 17:45 3 3 21:45 0 010:00 8,67 9 14:00 10 10 18:00 2 2 22:00 0 010:15 7,67 8 14:15 6,67 7 18:15 2 2 22:15 0 010:30 8,33 8 14:30 6,67 7 18:30 3 3 22:30 0 010:45 9,67 10 14:45 9 9 18:45 2,67 3 22:45 0 0

23.05. 07:00 1,8 2 11:00 5,67 6 15:00 9 9 19:00 2 207:15 3 3 11:15 5,67 6 15:15 9 9 19:15 2 207:30 3 3 11:30 5,67 6 15:30 7 7 19:30 2 207:45 4 4 11:45 5,33 5 15:45 6 6 19:45 2 208:00 6 6 12:00 3,33 3 16:00 5 5 20:00 2 208:15 7 7 12:15 3 3 16:15 5 5 20:15 2 208:30 6,33 6 12:30 6,67 7 16:30 3 3 20:30 2 208:45 7 7 12:45 8 8 16:45 1 1 20:45 2 209:00 6,33 6 13:00 7,33 7 17:00 1,33 1 21:00 0 009:15 6,33 6 13:15 8 8 17:15 2 2 21:15 0 009:30 7 7 13:30 7,33 7 17:30 2 2 21:30 0 009:45 5,33 5 13:45 7,67 8 17:45 2 2 21:45 0 010:00 6,33 6 14:00 7,67 8 18:00 2 2 22:00 0 010:15 6,67 7 14:15 7,33 7 18:15 2 2 22:15 0 010:30 6,67 7 14:30 5,33 5 18:30 1,67 2 22:30 0 010:45 6 6 14:45 8 8 18:45 1 1 22:45 0 0

24.05. 07:00 3 3 11:00 7,67 8 15:00 9,33 9 19:00 2 207:15 4 4 11:15 7,67 8 15:15 10 10 19:15 2 207:30 5 5 11:30 8,67 9 15:30 8 8 19:30 2 207:45 7 7 11:45 7,33 7 15:45 7 7 19:45 2 208:00 9 9 12:00 6 6 16:00 6 6 20:00 2 208:15 9 9 12:15 7,67 8 16:15 5 5 20:15 2 208:30 8 8 12:30 6,33 6 16:30 3,67 4 20:30 2 208:45 8,67 9 12:45 7,33 7 16:45 1,33 1 20:45 2 209:00 7,67 8 13:00 8 8 17:00 2,33 2 21:00 0 009:15 8,67 9 13:15 7,67 8 17:15 2,33 2 21:15 0 009:30 8 8 13:30 8,33 8 17:30 3 3 21:30 0 009:45 7,67 8 13:45 10 10 17:45 3 3 21:45 0 010:00 8,33 8 14:00 10 10 18:00 3 3 22:00 0 010:15 8,33 8 14:15 8 8 18:15 3 3 22:15 0 010:30 9 9 14:30 8,33 8 18:30 2,33 2 22:30 0 010:45 9 9 14:45 9 9 18:45 2,33 2 22:45 0 0

25.05. 07:00 4 4 11:00 5,33 5 15:00 4 4 19:00 2 2

116

Datum Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c

07:15 5 5 11:15 6 6 15:15 4 4 19:15 2 207:30 6 6 11:30 6 6 15:30 3 3 19:30 2 207:45 7 7 11:45 5 5 15:45 2 2 19:45 2 208:00 9 9 12:00 4,67 5 16:00 1 1 20:00 2 208:15 9 9 12:15 5,33 5 16:15 0 0 20:15 2 208:30 7,67 8 12:30 7,33 7 16:30 0 0 20:30 2 208:45 7,67 8 12:45 8 8 16:45 0 0 20:45 2 209:00 8,33 8 13:00 7,67 8 17:00 1,33 1 21:00 0 009:15 8,33 8 13:15 7 7 17:15 2 2 21:15 0 009:30 7 7 13:30 8 8 17:30 2 2 21:30 0 009:45 6 6 13:45 7,33 7 17:45 2 2 21:45 0 010:00 6 6 14:00 4,67 5 18:00 2 2 22:00 0 010:15 6,33 6 14:15 6 6 18:15 2 2 22:15 0 010:30 5 5 14:30 5 5 18:30 1,33 1 22:30 0 010:45 5,33 5 14:45 5 5 18:45 1,33 1 22:45 0 0

26.05. 07:00 - - 11:00 - - 15:00 - - 19:00 - -07:15 - - 11:15 - - 15:15 - - 19:15 - -07:30 - - 11:30 - - 15:30 - - 19:30 - -07:45 - - 11:45 - - 15:45 - - 19:45 - -08:00 - - 12:00 - - 16:00 - - 20:00 - -08:15 - - 12:15 - - 16:15 - - 20:15 - -08:30 - - 12:30 - - 16:30 - - 20:30 - -08:45 - - 12:45 - - 16:45 - - 20:45 - -09:00 - - 13:00 - - 17:00 - - 21:00 - -09:15 - - 13:15 - - 17:15 - - 21:15 - -09:30 - - 13:30 - - 17:30 - - 21:30 - -09:45 - - 13:45 - - 17:45 - - 21:45 - -10:00 - - 14:00 - - 18:00 - - 22:00 - -10:15 - - 14:15 - - 18:15 - - 22:15 - -10:30 - - 14:30 - - 18:30 - - 22:30 - -10:45 - - 14:45 - - 18:45 - - 22:45 - -

27.05. 07:00 0 0 11:00 2 2 15:00 3,33 3 19:00 2 207:15 0 0 11:15 2 2 15:15 4 4 19:15 2 207:30 0 0 11:30 1 1 15:30 4 4 19:30 2 207:45 0 0 11:45 1 1 15:45 4 4 19:45 2 208:00 2 2 12:00 2 2 16:00 3 3 20:00 0 008:15 2 2 12:15 1,67 2 16:15 3 3 20:15 0 008:30 2 2 12:30 2 2 16:30 2 2 20:30 0 008:45 2 2 12:45 2,33 2 16:45 2 2 20:45 0 009:00 2 2 13:00 3 3 17:00 2 2 21:00 0 009:15 2 2 13:15 3 3 17:15 2 2 21:15 0 009:30 1,33 1 13:30 3 3 17:30 1,33 1 21:30 0 009:45 2 2 13:45 3 3 17:45 2 2 21:45 0 010:00 1,33 1 14:00 3,33 3 18:00 1,33 1 22:00 0 010:15 2 2 14:15 4 4 18:15 2 2 22:15 0 010:30 2 2 14:30 3,33 3 18:30 2 2 22:30 0 010:45 2 2 14:45 3,33 3 18:45 2 2 22:45 0 0

28.05. 07:00 0 0 11:00 4 4 15:00 4,33 4 19:00 2 207:15 0 0 11:15 3,33 3 15:15 5 5 19:15 2 207:30 0 0 11:30 5 5 15:30 5,67 6 19:30 2 207:45 0 0 11:45 4 4 15:45 4,67 5 19:45 2 2

117

Datum Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c

08:00 2 2 12:00 5 5 16:00 5 5 20:00 0 008:15 2 2 12:15 5 5 16:15 6 6 20:15 0 008:30 3 3 12:30 4 4 16:30 5 5 20:30 0 008:45 3 3 12:45 5 5 16:45 5 5 20:45 0 009:00 3 3 13:00 5,67 6 17:00 3 3 21:00 0 009:15 4 4 13:15 5,33 5 17:15 3 3 21:15 0 009:30 3,33 3 13:30 4,33 4 17:30 2,33 2 21:30 0 009:45 3,33 3 13:45 4,67 5 17:45 2 2 21:45 0 010:00 4 4 14:00 6 6 18:00 1,67 2 22:00 0 010:15 3,67 4 14:15 6 6 18:15 1,67 2 22:15 0 010:30 3,67 4 14:30 6 6 18:30 2 2 22:30 0 010:45 4 4 14:45 5,33 5 18:45 2 2 22:45 0 0

29.05. 07:00 0 0 11:00 10 10 15:00 12,33 12 19:00 4 407:15 0 0 11:15 9,67 10 15:15 11,67 12 19:15 3 307:30 0 0 11:30 10,33 10 15:30 11,33 11 19:30 3 307:45 0 0 11:45 11 11 15:45 12,67 13 19:45 3 308:00 0 0 12:00 9 9 16:00 11,33 11 20:00 3 308:15 0 0 12:15 7,67 8 16:15 10 10 20:15 3 308:30 6 6 12:30 7,67 8 16:30 10 10 20:30 2,67 308:45 6 6 12:45 7,33 7 16:45 10 10 20:45 2,67 309:00 6 6 13:00 7,67 8 17:00 7 7 21:00 2,33 209:15 7 7 13:15 9 9 17:15 6,33 6 21:15 3 309:30 8 8 13:30 8 8 17:30 7 7 21:30 3 309:45 8 8 13:45 8,67 9 17:45 5,33 5 21:45 3 310:00 8,33 8 14:00 8 8 18:00 5 5 22:00 2 210:15 7,67 8 14:15 8 8 18:15 4 4 22:15 2 210:30 7,67 8 14:30 10,33 10 18:30 3 3 22:30 2 210:45 8,33 8 14:45 11,67 12 18:45 4 4 22:45 2 2

30.05. 07:00 0 0 11:00 7 7 15:00 9 9 19:00 4 407:15 0 0 11:15 9 9 15:15 9 9 19:15 3 307:30 0 0 11:30 8,33 8 15:30 9,33 9 19:30 3 307:45 0 0 11:45 8,33 8 15:45 10 10 19:45 3 308:00 0 0 12:00 7 7 16:00 8,67 9 20:00 3 308:15 0 0 12:15 6 6 16:15 8,67 9 20:15 3 308:30 5 5 12:30 6,33 6 16:30 8 8 20:30 2,33 208:45 6 6 12:45 7 7 16:45 8 8 20:45 3 309:00 6 6 13:00 8 8 17:00 6 6 21:00 2,33 209:15 6 6 13:15 8,33 8 17:15 5,33 5 21:15 3 309:30 5,93 6 13:30 7 7 17:30 5,67 6 21:30 3 309:45 7 7 13:45 7 7 17:45 5,67 6 21:45 3 310:00 7 7 14:00 9 9 18:00 5 5 22:00 2 210:15 6,67 7 14:15 9 9 18:15 4 4 22:15 2 210:30 6 6 14:30 9,33 9 18:30 2 2 22:30 2 210:45 7 7 14:45 9 9 18:45 3 3 22:45 2 2

31.05. 07:00 0 0 11:00 5,33 5 15:00 8,67 9 19:00 2,33 207:15 0 0 11:15 5,67 6 15:15 7,33 7 19:15 3 307:30 0 0 11:30 7 7 15:30 8,33 8 19:30 3 307:45 0 0 11:45 7 7 15:45 9 9 19:45 2 208:00 0 0 12:00 5,67 6 16:00 8,33 8 20:00 2 208:15 0 0 12:15 4,33 4 16:15 8,33 8 20:15 2 208:30 3 3 12:30 5,33 5 16:30 5,33 5 20:30 2 2

118

Datum Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c

08:45 3 3 12:45 5,67 6 16:45 6 6 20:45 1,33 109:00 4 4 13:00 5,67 6 17:00 5 5 21:00 1,33 109:15 6 6 13:15 4,67 5 17:15 5 5 21:15 2 209:30 6 6 13:30 5 5 17:30 4,67 5 21:30 2 209:45 6 6 13:45 6 6 17:45 3,67 4 21:45 2 210:00 5 5 14:00 6 6 18:00 4 4 22:00 2 210:15 5 5 14:15 7 7 18:15 3 3 22:15 2 210:30 6 6 14:30 7 7 18:30 1,67 2 22:30 2 210:45 6 6 14:45 7 7 18:45 1 1 22:45 2 2

01.06. 07:00 0 0 11:00 6 6 15:00 7 7 19:00 1 107:15 0 0 11:15 6 6 15:15 8 8 19:15 2 207:30 0 0 11:30 6 6 15:30 8 8 19:30 2 207:45 0 0 11:45 6 6 15:45 8 8 19:45 2 208:00 0 0 12:00 6,33 6 16:00 6,33 6 20:00 2 208:15 0 0 12:15 6,67 7 16:15 5 5 20:15 2 208:30 4 4 12:30 3,67 4 16:30 7 7 20:30 1,67 208:45 4 4 12:45 3,33 3 16:45 7 7 20:45 1,67 209:00 4 4 13:00 5,67 6 17:00 4 4 21:00 1,33 109:15 4 4 13:15 7 7 17:15 4 4 21:15 2 209:30 4 4 13:30 6 6 17:30 4 4 21:30 2 209:45 4 4 13:45 6 6 17:45 4 4 21:45 2 210:00 4,33 4 14:00 5 5 18:00 3 3 22:00 2 210:15 3,67 4 14:15 5 5 18:15 3 3 22:15 2 210:30 4,33 4 14:30 8,33 8 18:30 2 2 22:30 2 210:45 5 5 14:45 7,33 7 18:45 1 1 22:45 2 2

02.06. 07:00 2 2 11:00 6 6 15:00 6 6 19:00 2 207:15 2 2 11:15 6 6 15:15 4,67 5 19:15 2 207:30 2 2 11:30 6,33 6 15:30 4,67 5 19:30 2 207:45 2 2 11:45 6 6 15:45 4 4 19:45 2 208:00 2 2 12:00 7 7 16:00 5,33 5 20:00 0 008:15 2 2 12:15 8 8 16:15 6 6 20:15 0 008:30 2 2 12:30 8 8 16:30 5 5 20:30 0 008:45 3,33 3 12:45 7,67 8 16:45 5 5 20:45 0 009:00 4,33 4 13:00 5,33 5 17:00 4 4 21:00 0 009:15 5 5 13:15 5,67 6 17:15 3 3 21:15 0 009:30 4,33 4 13:30 6 6 17:30 2 2 21:30 0 009:45 5 5 13:45 8 8 17:45 1,33 1 21:45 0 010:00 5 5 14:00 7,33 7 18:00 1,67 2 22:00 0 010:15 5 5 14:15 8 8 18:15 1,67 2 22:15 0 010:30 5 5 14:30 8 8 18:30 2 2 22:30 0 010:45 4,33 4 14:45 7,33 7 18:45 2 2 22:45 0 0

03.06. 07:00 0 0 11:00 2 2 15:00 3 3 19:00 2 207:15 0 0 11:15 2 2 15:15 2 2 19:15 2 207:30 0 0 11:30 4 4 15:30 1,67 2 19:30 2 207:45 0 0 11:45 3 3 15:45 2 2 19:45 2 208:00 2 2 12:00 2 2 16:00 1,33 1 20:00 0 008:15 2 2 12:15 3 3 16:15 2 2 20:15 0 008:30 2 2 12:30 3 3 16:30 2 2 20:30 0 008:45 2 2 12:45 3 3 16:45 2 2 20:45 0 009:00 2 2 13:00 2,33 2 17:00 2 2 21:00 0 009:15 2 2 13:15 3 3 17:15 2 2 21:15 0 0

119

Datum Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c Zeit Kap. c

09:30 1,33 1 13:30 2,33 2 17:30 1,33 1 21:30 0 009:45 2 2 13:45 3 3 17:45 2 2 21:45 0 010:00 2 2 14:00 3 3 18:00 1,67 2 22:00 0 010:15 1,33 1 14:15 2,33 2 18:15 1,67 2 22:15 0 010:30 2 2 14:30 3 3 18:30 2 2 22:30 0 010:45 2 2 14:45 3 3 18:45 2 2 22:45 0 0

Tabelle A.6: Daten zur Agentenkapazität

120

A.5 Simulationsergebnisse# Si

m.

Dat

umA

ngeb

.A

nruf

eE

[uef

f]E

[W]

E[W|A

]W

A max

E[W|S

]W

S max

E[W|Z

]P(S

)P(W≤

20|S

)P(A

)P(Z

)

100

30.0

4.85

740

,42

%2,

087

,613

,21,

66,

69,

398

,73

%97

,36

%0,

76%

0,51

%10

001

.05.

193

27,1

1%

9,6

99,6

16,2

6,3

10,3

8,4

94,8

0%

93,1

4%

3,94

%1,

26%

100

02.0

5.11

2249

,54

%4,

994

,320

,33,

610

,69,

097

,04

%94

,64

%1,

88%

1,03

%10

003

.05.

867

37,4

9%

2,3

81,1

15,5

1,8

6,5

9,0

98,6

9%

97,3

0%

0,81

%0,

50%

100

04.0

5.92

339

,65

%1,

683

,222

,31,

36,

18,

999

,07

%97

,89

%0,

57%

0,36

%10

005

.05.

733

37,2

%2,

295

,916

,11,

83,

99,

098

,65

%96

,80

%0,

79%

0,56

%10

006

.05.

154

20,6

%6,

184

,310

,24,

29,

27,

196

,64

%95

,13

%2,

51%

0,85

%10

007

.05.

1287

47,1

4%

2,9

91,5

17,5

2,4

5,8

8,3

98,1

8%

96,0

3%

1,06

%0,

76%

100

08.0

5.13

4146

,76

%2,

685

,516

,22,

16,

88,

998

,46

%96

,65

%0,

94%

0,60

%10

009

.05.

1185

56,4

8%

8,2

91,9

27,7

6,5

8,2

9,0

95,0

6%

90,0

4%

3,16

%1,

78%

100

10.0

5.14

2850

,06

%3,

092

,427

,82,

55,

99,

098

,22

%95

,93

%1,

04%

0,74

%10

011

.05.

1270

48,2

8%

3,7

89,7

25,6

3,0

4,9

9,0

97,7

7%

95,0

0%

1,29

%0,

93%

100

12.0

5.73

139

,29

%2,

696

,318

,02,

15,

18,

898

,27

%96

,31

%1,

02%

0,72

%10

013

.05.

163

23,6

2%

12,0

100,

514

,17,

78,

58,

693

,15

%92

,02

%5,

24%

1,61

%10

014

.05.

1315

58,4

6%

7,3

92,4

23,1

5,9

9,3

9,0

95,5

4%

90,6

6%

2,79

%1,

67%

1315

.05.

1322

52,3

5%

5,2

95,3

10,8

3,9

9,6

8,6

96,8

3%

94,2

3%

1,99

%1,

11%

416

.05.

1405

51,2

5%

4,4

78,6

8,9

3,7

5,3

8,5

97,1

9%

94,1

9%

1,60

%1,

20%

100

17.0

5.30

835

,4%

11,6

93,5

13,2

8,2

8,5

8,7

93,1

8%

90,2

4%

4,90

%1,

92%

518

.05.

1089

50,9

7%

5,6

96,6

8,6

4,0

7,0

10,4

96,7

3%

94,2

6%

2,01

%1,

22%

100

19.0

5.61

840

,55

%7,

991

,720

,46,

36,

79,

295

,29

%90

,69

%3,

14%

1,57

%10

020

.05.

137

19,9

7%

7,1

92,2

13,9

4,9

6,4

6,7

95,8

2%

94,1

3%

3,06

%1,

11%

100

21.0

5.14

5159

,8%

6,8

102,

025

,55,

514

,59,

195

,84

%91

,01

%2,

50%

1,66

%10

022

.05.

1505

57,8

6%

5,7

95,3

22,6

4,7

6,2

8,9

96,4

7%

91,9

4%

2,03

%1,

50%

100

23.0

5.13

0765

,27

%16

,394

,727

,613

,49,

99,

490

,19

%80

,61

%6,

52%

3,29

%10

024

.05.

1300

53,6

7%

5,6

92,8

21,2

4,4

8,5

9,1

96,5

3%

92,9

8%

2,13

%1,

35%

100

25.0

5.11

5360

,37

%12

,396

,220

,19,

712

,39,

292

,71

%85

,42

%4,

71%

2,59

%10

026

.05.

618

38,9

9%

6,4

95,0

19,2

5,2

5,8

9,4

96,0

4%

92,0

2%

2,59

%1,

36%

100

27.0

5.13

121

,62

%11

,610

3,3

11,8

6,9

11,5

7,7

93,6

3%

92,8

9%

4,99

%1,

38%

100

28.0

5.23

919

,54

%2,

666

,912

,01,

94,

55,

898

,40

%97

,50

%1,

16%

0,44

%9

29.0

5.13

9349

,64

%2,

375

,711

,72,

02,

76,

898

,65

%96

,52

%0,

67%

0,61

%26

30.0

5.12

2950

,33

%3,

791

,615

,93,

05,

38,

997

,39

%94

,97

%1,

46%

1,14

%45

31.0

5.10

2553

,19

%7,

390

,823

,25,

87,

89,

195

,57

%91

,16

%2,

75%

1,60

%27

01.0

6.88

747

,65

%9,

086

,213

,87,

25,

19,

194

,45

%89

,25

%3,

64%

1,90

%10

002

.06.

716

40,2

6%

9,1

96,5

19,4

7,1

7,8

9,1

94,4

2%

89,4

2%

3,69

%1,

88%

100

03.0

6.16

924

,37

%8,

793

,912

,65,

97,

48,

195

,15

%93

,06

%3,

57%

1,28

%10

0K

W18

4854

38,8

7%

91,2

91,2

27,0

2,5

10,2

9,3

98,7

8%

97,0

1%

1,21

%0,

68%

100

KW

1974

1046

,33

%10

7,3

107,

333

,73,

49,

69,

098

,07

%95

,63

%1,

90%

1,05

%10

0K

W20

6170

48,5

%89

,689

,623

,14,

712

,79,

097

,62

%94

,17

%2,

34%

1,36

%10

0K

W21

7471

54,5

7%

91,1

91,1

26,5

7,2

14,5

9,2

96,6

3%

90,8

9%

3,30

%1,

96%

100

KW

2256

4544

,23

%83

,183

,118

,34,

79,

29,

197

,79

%94

,05

%2,

18%

1,28

%

Tabelle A.7: Simulationsergebnisse pro Tag und Kalenderwoche

121

Literaturverzeichnis

[ABH05] ANTON, J., BAPAT, V. und HALL, B. : Call Center Performance Enhancement.

Using Simulation and Modeling. Ichor Business Books, West Lafayette, 2005.

[AEH08] ATLASON, J., EPELMAN, M. A. und HENDERSON, S. G. : Optimizing Call

Center Staffing Using Simulation and Analytic Center Cutting-Plane Methods.

Management Science, 54(2):295–309, 2008.

[AP93] ANDREWS, B. und PARSONS, H. : Establishing Telephone-Agent Staffing Levels

through Economic Optimization. Interfaces, 23(2):14–20, 1993.

[Ban98] BANKS, J.: Handbook of Simulation. Principles, Methodology, Advances, Appli-

cations, and Practice. John Whiley & Sons, Inc., New York, 1998.

[BFS87] BRATLEY, P., FOX, B. L. und SCHRAGE, L. E. : A Guide to Simulation.

Springer-Verlag, New York, 1987.

[BH81] BACCELLI, F. und HEBUTERNE, G. : On queues with impatient customers. In:

KYLSTRA, F. J. (Herausgeber): Performance 81. Proceedings of the 8. Interna-

tional Symposium on Computer Performance Modelling, Measurement and Eva-

luation. North-Holland, Amsterdam, 1981.

[BMR04] BORST, S., MANDELBAUM, A. und REIMAN, M. : Dimensioning Large Call

Centers. Operations Research, 52(1):17–34, 2004.

[Bos94] BOSSEL, H.: Modellbildung und Simulation. Konzepte, Verfahren und Modelle

zum Verhalten dynamischer Systeme. Vieweg, Wiesbaden, 1994.

[Bos04] BOSSEL, H.: Systeme, Dynamik, Simulation. Modellbildung, Analyse und Simu-

lation komplexer Systeme. Books on Demand GmbH, Norderstedt, 2004.

[Bus71] BUSLENKO, N. P.: Simulation von Produktionsprozessen. BSB B. G. Teubner

Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1971.

[BV99] BIEHLER, H. und VOGL, G. : Call Center: „Zusatzleistungen sind nicht üblich“.

WSI Mitteilungen, 4:261–267, 1999.

122

[Cle08] CLEVELAND, B.: Call Center Management On Fast Forward. Succeeding in To-

day’s Dynamic Customer Contact Environment. ICMI Press, Princeton, 2008.

[Eft98] EFTHIMIOU, A.: Einsatz von Software zur Kapazitätsplanung. In: HENN, H.,

KRUSE, J. P. und STRAWE, O. V. (Herausgeber): Handbuch Call Center Ma-

nagement, Seiten 455–482. Telepublic Verlag, Hannover, 2. Auflage, 1998.

[FMMW08] FELDMAN, Z., MANDELBAUM, A. , MASSEY, W. und WHITT, W. : Staffing of

Time-Varying Queues to Achieve Time-Stable Performance. Management Science,

54(2):324–338, 2008.

[Geh87] GEHRING, H.: Simulation. In: GAL, T. (Herausgeber): Grundlagen des Operati-

ons Research, Band 3, Seiten 290–339. Springer-Verlag, Berlin, 1987.

[GH08] GROSS, D. und HARRIS, C. M. : Fundamentals of Queuing Theory. John Whiley

& Sons, Inc., New York, 4. Auflage, 2008.

[GMR02] GARNETT, O., MANDELBAUM, A. und REIMAN, M. : Desiging a Call Center

with Impatient Customers. Manufacturing & Service Operations Management,

4(3):208–227, 2002.

[Hah99] HAHNEL, M.: Effektive Eigenregie oder erfolgreiches Outsourcing? - Positionie-

rung des Call Centers im oder außerhalb des Unternehmens. In: MENZLER-

TROTT, E. (Herausgeber): Call Center-Management. Ein Leitfaden für Unterneh-

men zum effizienten Kundendialog, Seiten 131–149. Verlag C. H. Beck, München,

1999.

[HB02] HILD, P. und BECK, J. : Callcenter. Unternehmensstrategien und Arbeitssysteme

aus markt- und ressourcenbasierter Sicht. Verein zur Förderung des Instituts zur

Erforschung sozialer Chancen, Köln, 2002.

[HS04] HELBER, S. und STOLLETZ, R. : Call Center Management in der Praxis. Struk-

turen und Prozesse betriebswirtschaftlich optimieren. Springer-Verlag, Berlin,

2004.

[Ken53] KENDALL, D. G.: Stochastic Processes Occurring in the Theory of Queues and

their Analysis by the Method of the Imbedded Markov Chain. The Annals of

Mathematical Statistics, 24(3):338–354, 1953.

123

[Kis87] KISTNER, K.-L.: Warteschlangentheorie. In: GAL, T. (Herausgeber): Grundla-

gen des Operations Research, Band 3, Seiten 251–289. Springer-Verlag, Berlin,

1987.

[KM02] KOOLE, G. und MANDELBAUM, A. : Queueing Models of Call Centers: An

Introduction. Annals of Operations Research, 113:41–59, 2002.

[Krü75] KRÜGER, S.: Simulation. Grundlagen, Techniken, Anwendungen. Walter de

Gruyter, Berlin, 1975.

[Kru98] KRUSE, J. P.: Die strategische Bedeutung der Innovation Call Center. In: HENN,

H., KRUSE, J. P. und STRAWE, O. V. (Herausgeber): Handbuch Call Center

Management, Seiten 13–34. Telepublic Verlag, Hannover, 2. Auflage, 1998.

[Mey71] MEYER, K. H. F.: Wartesysteme mit variabler Bearbeitungsrate. In: BECK-

MANN, M. und KÜNZI, H. P. (Herausgeber): Lecture Notes in Economics and

Mathematical Systems, Band 61 der Reihe Institut für Gesellschafts- und Wirt-

schaftswissenschaften der Universität Bonn. Springer-Verlag, Berlin, 1971.

[MT99] MENZLER-TROTT, E.: Von der Kundenorientierung zur servicezentrierten Kun-

denkommunikation. In: MENZLER-TROTT, E. (Herausgeber): Call Center-Ma-

nagement. Ein Leitfaden für Unternehmen zum effizienten Kundendialog, Seiten

11–59. Verlag C. H. Beck, München, 1999.

[Puc98] PUCKER, S.: Qualitätsmanagement/ Qualitätskontrolle im Call Center. In:

HENN, H., KRUSE, J. P. und STRAWE, O. V. (Herausgeber): Handbuch Call

Center Management, Seiten 229–249. Telepublic Verlag, Hannover, 2. Auflage,

1998.

[Sch99] SCHNORR, G. K.: Grundlagen der computergestützten Personaleinsatzplanung

im Call Center. In: MENZLER-TROTT, E. (Herausgeber): Call Center-Manage-

ment. Ein Leitfaden für Unternehmen zum effizienten Kundendialog, Seiten 305–

369. Verlag C. H. Beck, München, 1999.

[ST06] SCHÜMANN, F. und TISSON, H. : Call Center Controlling. Ein Modell für die

Planung, Kontrolle und Steuerung von Kundenservice-Centern. Gabler Verlag,

Wiesbaden, 2006.

124

[Ste05] STELLING, J. N.: Kostenmanagement und Controlling. R. Oldenbourg Verlag,

München, 2. Auflage, 2005.

[Sys] SYSKI, R.: Introduction to Congestion Theory in Telephone Systems, Band 4.

North-Holland Studies in Telecommunication, 2. Auflage.

[VDI96] VDI, VEREIN DEUTSCHER INGENIEURE: VDI-Richtlinie 3633. Simulation von

Logistik-, Materialfluß- und Produktionssystemen. Begriffsdefinitionen. In: VDI-

Handbuch Materialfluß und Fördertechnik, Band 8. Beuth Verlag, Berlin, 1996.

[vGKS03] GREEN, L. VON, KOLESAR, P. J. und SOARES, J. : An improved heuristic

for staffing telephone call centers with limited operating hours. Production and

Operations Research, 12(1):46–61, 2003.

[WK99] WIENCKE, W. und KOKE, D. : Call Center Praxis. Den telefonischen Kunden-

service erfolgreich organisieren. Schäffer-Poeschel Verlag, Stuttgart, 2. Auflage,

1999.

[WW05] WALLACE, R. B. und WHITT, W. : A Staffinig Algorithm for Call Centers

with Skill-Based Routing. Manufacturing & Service Operations Management,

7(4):276–294, 2005.

125

Versicherung

Ich versichere hiermit, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig und ohne Benutzung anderer

als der angegebenen Hilfsmittel angefertigt habe. Alle Stellen, die wörtlich oder sinngemäß aus

veröffentlichten und nicht veröffentlichten Schriften anderer entnommen sind, sind als solche

kenntlich gemacht. Die Arbeit ist in gleicher oder ähnlicher Form noch nicht als Prüfungsarbeit

eingereicht worden.

Aachen, 16. Dezember 2008

126