A Begriffe aus der Kombinatorik
Eine Permutation IIN ist eine Anordnung von N Elementen in einer bestimmten Reihenfolge.
Die AnzahilIIN I der Permutationen N verschiedener Elemente ist
Beispiel: Sitzordnung in einer Klasse
Befinden sich unter den N Elementen K gleiche (K $ N), ist die Anzahl
!II~)! der Permutationen (mit Wiederholung)
!II(K) I = N! N K!·
Beispiel: 16 Sitzplätze werden mit je einer Tasche belegt. 4 der 16 Taschen sind gleich. Wie viele unterscheidbare Permutationen gibt es?
.1 (4) 1_ 16! Antwort. II16 - 4!
Die Anzahl ! II~ 10 K2 • ...• KM) 1 der Permutationen von N Elementen, die
sich in M Gruppen mit jeweils K I , K 2 , ••• , KM gleichen Elementen (E~=1 Km = N) einteilen lassen, ist
A Begriffe aus der Kombinatorik 209
Beispiel: Aus den fünf Ziffern 4,4,5,5,5 lassen sich
In(2,3)1 = ~ = 10 5 2!3!
verschiedene fünfstellige Zahlen bilden.
Eine Kombination et) ist eine Auswahl von K Elementen aus N Elementen ohne Beachtung der Reihenfolge.
Die Anzahl let) I der Möglichkeiten, aus N verschiedenen Elementen K
Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen, wobei jedes der N Elemente höchstens einmal in einer Kombination auftreten darf (Kombination ohne Wiederholung), ist
let)1 = (~), K ~ N.
Beispiel: Beim Lotto gibt es (~) Möglichkeiten 6 aus 49 Zahlen anzukreuzen.
Die Anzahl let) I der Möglichkeiten, aus N verschiedenen Elementen K Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge, aber bei Zulassung beliebig vieler Wiederholungen jedes der Elemente, auszuwählen, ist
Beispiel: Mit K Würfeln sind
verschiedene Würfe möglich. Für 2 Würfel gilt also
Eine Variation vi:) ist eine Auswahl von K aus N Elementen unter Beachtung der Reihenfolge.
210 A Begriffe aus der Kombinatorik
Die Anzahl !V~K>! der Möglichkeiten, aus N verschiedenen Elementen K unter Beachtung der Reihenfolge auszuwählen, ist
Beispiel: 30 Personen nehmen an einer Wahlveranstaltung teil. Wieviele Möglichkeiten gibt es, einen aus einem Vorsitzenden, seinem Stellvertreter, einem 1. und einem 2. Beisitzer bestehenden Wahlvorstand zu benennen?
Antwort: 4!e~) = 657720
Wenn von den N verschiedenen Elementen in einer Variation einzelne auch mehrfach auftreten dürfen, liegt eine Variation mit Wiederholung vor. Für ihre Anzahl gilt
!vff'>! = NK. Beispiel: Mit einem Byte (8 Bit) sind 28 = 256 verschiedene Zeichen darstellbar .
Die Ergebnisse dieses Anhangs sind in Bild A-I zusammengefaßt dargestellt.
Art der Auswahl von K aus N Elementen
Permutationen Kombinationen Variationen
ohne Wiederholung N! ( ~ ) K!( ~ )
N! mit Wiederholung K! ( N\K-l ) NK
Bild A-l: Kombinatorik, Anzahl der Möglichkeiten
B Die Fouriertransformation
Die Fouriertransformation ordnet einer Funktion x(t) aus einem Funktionenraum U eine Funktion X (J) aus einem anderen Funktionenraum V umkehrbar eindeutig zu. In der Technik wird x(t) häufig als Zeitfunktion interpretiert. D.h. x(t) ist ein reell- oder komplexwertiges Signal.
Definition B-1
Für die integrierbare Funktion x(t) ist durch
00
X(J) = f x(t)e-i21fft dt (B-l) -00
deren Fouriertransformierte gegeben.
Bemerkungen:
(i) Der Zusammenhang zwischen x(t) und X(J) wird kurz durch x(t) o-e X(f) beschrieben.
(il) Die Fouriertransformation ist zunächst nur für integrierbare Funktionen erklärt. Diese Funktionen bilden einen Vektorraum LI. Durch den Satz von Plancherel ([KF75], S.436ff.) kann die Fouriertransformation auch für den Raum L2 der technisch bedeutsamen quadratintegrablen Funktionen eingeführt werden. Signale x(t) E L2 besitzen endliche Energie. Darüber hinaus kann die Definition der Fouriertransformation auch auf Distributionen erweitert werden ([Wal74], S.155 ff.). Formal gilt überall die Definitionsgleichung (B-l), mit der wir im folgenden auch rechnen werden.
Die inverse Fouriertransformation X(J) -..0 x(t) ist durch
00
x(t) = f X(J)e;i21f f t df (B-2)
-00
gegeben.
Es gelten folgende Rechenregeln der Fouriertransformation
212 B Die Fouriertransformation
1. Linearität Für beliebige Konstanten Cn und Signale xn(t), 0 ::; n ::; N, gilt
2. Konjugiert komplexe Signale
x*(t) o----e X*(-f)
3. Symmetrieeigenschaften
x(-t) o----e X(-f)
Re {x(t)} gerade {::> Re {X (J)} gerade
Re{x(t)} ungerade {::> Im {X (J)} ungerade
Im{x(t)} gerade {::} Im {X (J)} gerade
Im {x(t)} ungerade {::> Re {X (J)} ungerade
4. Maßstabsänderung, Skalierung Für alle a E R, a:f. 0, gilt
x(at) o----e ,!,X (~)
5. Zeitverschiebung Für alle to E R gilt
x(t - to) o----e e-i21rfto X(J)
6. Modulation Für alle 10 E R gilt
B Die Fouriertransformation
7. Differentiation der Zeitfunktion
dnx(t) o--e (j27rI)n X(J) dtn
8. Differentiation der Fouriertransformierten
9. Integration der Zeitfunktion
t ! x(r) dr o--e ~(J) + !X(O)Ö(J) J27r1 2
-00
10. Faltungssätze Für quadratintegrable Signale Xi(t); i = 1,2; gilt
Xl (t) * X2(t) o--e Xl (J) . X 2(J)
XI(t)· X2(t) o--e XI(J) * X 2(J)
213
(B-3)
Mit Gleichung (B-3) wollen wir uns etwas näher beschäftigen. Zunächst ist durch * eine Operation, die Faltung der Signale Xl (t) und X2(t) heißt, erklärt. Ausführlich schreibt sich die Faltung
00
XI(t)*X2(t) = ! xI(r)x2(t-r)dr. -00
Gemäß (B-3) wird aus der Faltung zweier Signale im Zeitbereich im Frequenzbereich das Produkt der zugehörigen Fouriertransformierten. Wir betrachten ein Zeitsignal s(t) mit Fouriertransformierter S(J) und eine Fouriertransformierte
{I für 1I1 ~ ~
H(n= . o für 1I1 > ~
(B-4)
Die Funktion H(J) charakterisiert einen (idealen) Tiefpaß, d.h. ein System, das alle Frequenzen 1I1 ~ ~ unbeeinflußt läßt und alle Frequenzen 1I1 > ~ vollständig unterdrückt. Dies wird z.B. durch die Gültigkeit von
214 B Die Fouriertransformation
S(J) . H(J) = {S(J) für o für
111 ~ II 111> II
deutlich. Bezeichnen wir mit h(t) die inverse Fouriertransformierte von H(J), die sich aus Tabelle B-l bestimmen läßt, erhalten wir mit (B-3)
S(J) . H(J) = U(J) ~ u(t) = s(t) * h(t).
Die Faltung
00
u(t) = s(t) * h(t) = f s(r)h(t - r)dr -00
stellt das durch (ideale) Tiefpaßfilterung aus s(t) hervorgehende Signal dar. Die hier diskutierten Zusammenhänge sind in Bild B-l skizziert.
A, ~(II
" 1 I
- 8/2 8/2 - 812 8/2
Frequenzbereich S (tl . H (11 = U (11
I I I Zeitbereich s (tl * h (tl = u (tl
Bild B-l: Idealer Tiefpaß
Die Funktion
{I für 10 -ll ~ 111 ~ 10 + II
G(J) = o sonst
A, - 812 8/2
mit B « 10 charakterisiert einen (idealen) Bandpaß. Dieses System läßt alle Frequenzen, die von 10 höchstens einen Abstand von II besitzen, unbeeinflußt und unterdrückt alle anderen Frequenzen.
B Die Fouriertransformation
1 a--. 8(/) 1 1
cos(271" lot) a--. "28(/ + 10) + "28(/ - 10)
{I f" 1/1< F
Fsi(7I"Ft) a--. X(/) = ur 2" o für 1I1 > f
x(t) = a--. Tsi(7I"1T) {I für Itl < t o für Itl > t
1 1 "28(t + to) + "28(t - to) a--. cos(271"/to)
8(t) a--. 1
sin(271" lot) a--. ~8(/ + 10) - ~8(f - 10)
x(t) = { 1 fürt>O 1 1
a--. -8(f) + -. -o für t < 0 2 J271" I
-altl 2a
{-at
x(t) = e 0
{ t -at
x(t) = e 0
e , a > 0 a--. a2 + (271" J)2
fürt>O 1 ,a>O ~ ·2 I
fürt<O a+J 71"
fürt>O 1 ,a> 0 ~ 2
für t < 0 (a + j271"J)
00
1 ." I - ~ -Jslgn 7I"t 1
jsignt ~ -71"1
x(t) =.!:. ! x(A~ dA a--. (-jsignJ)X(f) 71" t-/\
-00
00 1 00
L 8( t - mT) a--. T L 8 (! - ;) m=-oo m=-oo
Tabelle B-l: Korrespondenzen zur Fouriertransformation
215
C Die d-Distribution
Um sowohl stetige als auch diskrete Zufallsvariablen einheitlich behandeln zu können, ist die Einführung der Ö-Distribution notwendig (vergleiche (4.1-12)). Dieser, auch in [Pap91] verfolgte Ansatz ist zwar mathematisch nicht korrekt, erweist sich jedoch für die Praxis als nützlich.
Mit der <>-Distribution Ö(X~ kann einem Punkt x = (Xl,X2, ••. ,XN)T im N -dimensionalen Raum R die Masse 1 zugeordnet werden, d.h. es gilt
f <>(x) dx = 1. (C-1)
RN
Genauer betrachtet ist die ö-Distribution ein stetiges lineares Funktional (Wal74], das jeder Funktion <p(x) seines Definitionsbereichs gemäß der Gleichung
f <>(x)<p(x) dx = <p(6) (C-2)
RN
ihren Wert im Ursprung zuordnet. Darüber hinaus ergeben sich die Identitäten
f ö(x - xo)<p(x) dx = f ö(x)<p(x + xo) dx RN RN
(C-3)
! 6(ax)<p(x) dx = I~I ! 6(i)<p (~) di RN RN
1 ... = ~<p(O), a E lR, a i= O. (C-4)
C Die c5-Distribution 217
Bemerkungen:
(i) Über die Forderungen, die die Funktion tp(x) in (C-2) erfüllen muß, gibt die Distributionentheorie Auskunft [Wal74]. Im vorliegenden Buch wird stets davon ausgegangen, daß die verwendeten Funktionen tp(x) so beschaffen sind, daß (C-2) gilt.
(ii) Es wird empfohlen, als Übung die Gleichungen (C-l) bis (C-4) für den Fall N = 1 aufzuschreiben und zu interpretieren!
Die c5-Distribution läßt sich für N = 1 z.B. durch eine Folge von Rechteckpulsen
o für lxi> a/2 , a E R,a > 0
1 für Ixl:S; a/2
approximieren (Bild C-l). Betrachtet man nämlich die in einer Umgebung des Ursprungs stetige Funktion tp(x), ergibt sich
00
lim ~ ! rect (~) tp(x) dx a-+O a a
-00
j
lim ~ ! tp(x) dx a-+O a
00
= 11'(0) (~2) ! c5(x)tp(x) dx
-00
218 C Die 6-Distribution
... ! rect(~) : a a I
24
1 a=-
12
1 a=-
2 a=1
2
Bild C-1: Approximation der d-Distribution durch Rechteckimpulse (N = 1)
D Tabelle der Standardnormalverteilung
I x 11 ~(x) 11 x 11 ~(x) 11 x 11 ~(x) 11
0,00 0,5000000 0,38 0,6480272 0,76 0,7763727
0,02 0,5079783 0,40 0,6554217 0,78 0,7823045
0,04 0,5159534 0,42 0,6627572 0,80 0,7881446
0,06 0,5239221 0,44 0,6700314 0,82 0,7938919
0,08 0,5318813 0,46 0,6772418 0,84 0,7995458
0,10 0,5398278 0,48 0,6843863 0,86 0,8051054
0,12 0,5477584 0,50 0,6914624 0,88 0,8105703
0,14 0,5556700 0,52 0,6984682 0,90 0,8159398
0,16 0,5635594 0,54 0,7054014 0,92 0,8212136
0,18 0,5714237 0,56 0,7122602 0,94 0,8263912
0,20 0,5792597 0,58 0,7190426 0,96 0,8314723
0,22 0,5870644 0,60 0,7257468 0,98 0,8364569
0,24 0,5948348 0,62 0,7323711 1,00 0,8413447
0,26 0,6025681 0,64 0,7389137 1,02 0,8461357
0,28 0,6102612 0,66 0,7453730 1,04 0,8508300
0,30 0,6179114 0,68 0,7517477 1,06 0,8554277
0,32 0,6255158 0,70 0,7580363 1,08 0,8599289
0,34 0,6330717 0,72 0,7642375 1,10 0,8643339
0,36 0,6405764 0,74 0,7703500 1,12 0,8686431
220 D Tabelle der Standardnormalverteilung
1 x 11 ~(x) 11 x 11 ~(x) 11 x 11 ~(x) 11
1,14 0,8728568 1,64 0,9494974 2,14 0,9838226
1,16 0,8769755 1,66 0,9515427 2,16 0,9846136
1,18 0,8809998 1,68 0,9535213 2,18 0,9853712
1,20 0,8849303 1,70 0,9554345 2,20 0,9860965
1,22 0,8887675 1,72 0,9572837 2,22 0,9867906
1,24 0,8925123 1,74 0,9590704 2,24 0,9874545
1,26 0,8961653 1,76 0,9607960 2,26 0,9880893
1,28 0,8997274 1,78 0,9624620 2,28 0,9886961
1,30 0,9031995 1,80 0,9640696 2,30 0,9892758
1,32 0,9065824 1,82 0,9656204 2,32 0,9898295
1,34 0,9098773 1,84 0,9671158 2,34 0,9903581
1,36 0,9130850 1,86 0,9685572 2,36 0,9908625
1,38 0,9162066 1,88 0,9699459 2,38 0,9913436
1,40 0,9192433 1,90 0,9712834 2,40 0,9918024
1,42 0,9221961 1,92 0,9725710 2,42 0,9922397
1,44 0,9250663 1,94 0,9738101 2,44 0,9926563
1,46 0,9278549 1,96 0,9750021 2,46 0,9930531
1,48 0,9305633 1,98 0,9761482 2,48 0,9934308
1,50 0,9331927 2,00 0,9772498 2,50 0,9937903
1,52 0,9357445 2,02 0,9783083 2,52 0,9941322
1,54 0,9382198 2,04 0,9793248 2,54 0,9944573
1,56 0,9406200 2,06 0,9803007 2,56 0,9947663
1,58 0,9429465 2,08 0,9812372 2,58 0,9950599
1,60 0,9452007 2,10 0,9821355 2,60 0,9953388
1,62 0,9473838 2,12 0,9829969 2,62 0,9956035
D Tabelle der Standardnormalverteilung 221
I x 11 ~(x) 11 x 11 ~(x) 11 x 11 ~(x) 11
2,64 0,9958546 3,10 0,9990323 4,10 0,9999793
2,66 0,9960929 3,15 0,9991836 4,15 0,9999833
2,68 0,9963188 3,20 0,9993128 4,20 0,9999866
2,70 0,9965330 3,25 0,9994229 4,25 0,9999893
2,72 0,9967359 3,30 0,9995165 4,30 0,9999914
2,74 0,9969280 3,35 0,9995959 4,35 0,9999931
2,76 0,9971099 3,40 0,9996630 4,40 0,9999945
2,78 0,9972820 3,45 0,9997197 4,45 0,9999957
2,80 0,9974448 3,50 0,9997673 4,50 0,9999966
2,82 0,9975988 3,55 0,9998073 4,55 0,9999973
2,84 0,9977443 3,60 0,9998408 4,60 0,9999978
2,86 0,9978817 3,65 0,9998688 4,65 0,9999983
2,88 0,9980116 3,70 0,9998922 4,70 0,9999986
2,90 0,9981341 3,75 0,9999115 4,75 0,9999989
2,92 0,9982498 3,80 0,9999276 4,80 0,9999992
2,94 0,9983589 3,85 0,9999409 4,85 0,9999993
2,96 0,9984618 3,90 0,9999519 4,90 0,9999995
2,98 0,9985587 3,95 0,9999609 4,95 0,9999996
3,00 0,9986501 4,00 0,9999683 5,00 0,9999997
3,05 0,9988557 4,05 0,9999743
Die Werte sind hinter der 7. Nachkommastelle abgeschnitten.
Literaturverzeichnis
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[Web92] WEBER, H.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure. B.G. Teubner, Stuttgart, 1992.
Index
absolutes zentrales Moment k-ter Ordnung, 59
absorbierender Zustand, 191 Autokorrelationsfolge eines zeit
diskreten Zufallsprozesses, 166
Autokorrelationsfunktion, 156 Autokorrelationsfunktion eines
ergodischen Prozesses, 162
Autokovarianzfolge eines zeitdiskreten Zufallsprozesses, 166
Autokovarianzfunktion, 157 Autokovarianzfunktion eines er
godischen Prozesses, 162
Bandpaß, 214 Bernoullisches Versuchsschema,
77
charakteristische Funktion, 60
de MORGANsche Formeln, 8 8-Distribution, 216 Dichte, 41
bedingte, 109 mehrdimensionale, 105
Differenz von Mengen, 6 Dispersion, 57 Durchschnitt, 6
Eigenschaften von Verteilungs-funktionen, 39
Elementarereignis, 5 Energiesignale, 163 Ereignis, 5
entgegengesetztes, 6 Komplement, 7 Negation, 7 sicheres, 5 Teilereignis, 6 unmögliches, 5
Ereignisdisjunktion vollständige, 13
Ereignisse disjunkte, 8 unabhängige, 31 unvereinbare, 8 vollständig unabhängige, 32 zufällige, 1
Ergebnisraum endlicher, 5
Ergebnisse, 5 Ergodenhypothese, 161 ergodisch bezüglich g, 161 Erlangdichte, 199 Erwartungswert, 54
bedingter, 110 erzeugende Funktion, 62
Faltung, 213 Fehlerfunktion
Index
gaußsche, 92 komplementäre, 92
Formel von Bayes, 30 Formel von der totalen Wahr
scheinlichkeit, 30 Formel von der totalen Wahr
scheinlichkeit für Dichten, 110
Fouriertransformation, 211 inverse, 211 Rechenregeln der, 211
Fouriertransformierte, 211 Funktionen zweidimensionaler
Zufallsvariablen, 114
Galtonsches Brett, 132 Gammafunktion, 95 Gaußprozeß, 157 gemeinsam stationäre stochasti
sche Prozesse, 158
Häufigkeit absolute, 9 relative, 9
Eigenschaften, 10
Indikatorfunktion, 124 innere Zustände, 191
Kolmogoroffsche Axiome, 14 Kombination, 209 Korrelationskoeffizient, 111 Kovarianz, 111 Kovarianz komplexer Zufallsva
riablen, 119 Kovarianzmatrix, 113 Kreuz-Leistungsdichtespektrum
gemeinsam stationärer Prozesse, 165
Kreuzkovarianzfunktion, 158
225
Kreuzkovarianzfunktion gemeinsam ergodischer Prozesse, 163
Kreuzkorrelationsfunktion, 158 Kreuzkorrelationsfunktion ge-
meinsam ergodischer Prozesse, 163
k-tes Moment, 56 k-tes Moment eines ergodischen
Prozesses, 162 k-tes Moment eines zeitdiskreten
Zufallsprozesses, 166 k-tes zentrales Moment, 56 k-tes zentrales Moment eines er
godischen Prozesses, 162
Laplacesches Zufallsexperiment, 10
Leistungsdichtespektrum eines stationären stochasti-schen Prozesses, 163
Leistungssignale, 163 Leistungsdichtespektrum zeitdis
kreter stationärer Pro-zesse, 166
Markoffkette, 185 absorbierende, 191 homogene, 186
Markoffscher Prozeß, 184 Median, 59 mehrdimensionale Verteilungs-
funktion, 105 Mittelwert, 54 mittlere Ankunftsrate, 181 mittlere Leistung, 156 mittlere Leistung zeitdiskreter
Prozesse, 166 mittleres Leistungsdichtespek-
trum eines zyklosta-
226
tionären Prozesses, 196
Modalwert, 59 Multiplikationsregel für Wahr
scheinlichkeiten, 28
normaler Prozeß, 157 Normalverteilung, 58, 90
k-tes zentrales Moment, 90 charakteristische Funktion,
91 Erwartungswert, 90 Varianz, 90 zweidimensionale, 105
Periodische Signale, 163 Permutation, 208 Poissonprozeß, 179 Poissonverteilung, 80 p-tes Quantil, 59
Q-Funktion, 93
Rand, 191 Randdichten, 108 Rayleigh-Verteilung, 122
Satz von Bayes für Dichten, 110 Scharmittelwert, 155 a-Algebra, 12
Boreische, 13 Standardabweichung, 57 Standardnormalverteilung, 42
zweidimensionale, 107 stochastische Matrix, 187 stochastische Prozesse
gemeinsam stationäre, 158 orthogonale, 159 unkorrelierte, 159
stochastische Vektoren, 187 stochastischer Prozeß, 153
ergodischer, 161 komplexer, 159 normaler, 157 Pfad,153
Index
Realisierung, 153 Scharmittelwert, 155 schwach stationärer, 156 stark stationärer, 154 Stationarität, 157 Zeitmittelwert, 161 zyklostarionärer, 195
Tiefpaß, 213 Tschebyscheffsche Ungleichung,
125
Übergangsgraph, 188 Übergangswahrscheinlichkeiten Iv
ter Stufe, 185 Unabhängigkeit
Ereignisse, 31 Zufallsvariablen, 111
Varianz, 57 Variation, 209 Vereinigung, 6 Verteilungsfunktion, 38
Eigenschaften, 39 Verteilungsfunktion einer mehrdi
mensionalen Zufallsvariablen, 105
Wahrscheinlichkeit, 10, 14 aposteriori, 30 apriori, 30 bedingte, 27 Konvergenz in, 126
Wahrscheinlichkeitselement, 43 Wahrscheinlichkeitsraum, 14 weißes Gaußsches Rauschen, 175
Index
zeitdiskrete Zufallsprozesse, 165 Autokorrelationsfolge, 166 Autokovarianzfolge, 166 kotes Moment, 166 mittlere Leistung, 166 stationäre, 166
Leistungsdichtespektrum, 166
zeitlicher Mittelwert der Realisie-rung x(t), 161
Zeitmittelwert, 161 Zeitparametermenge, 185 zentraler Grenzwertsatz, 129 Zufallsexperiment, 5
Laplacesches, 10 Zufallsvariable, 38
Erwartungswert, 54 absolutes zentrales Moment
k-ter Ordnung, 59 cauchyverteilte, 53 charakteristische Funktion,
60 diskrete, 40 Dispersion, 57 erzeugende Funktion, 62 exponentialverteilte, 88 gaußverteilte, 90 gleichverteilte, 86 komplexe, 118 mehrdimensionale, 104 nichtzentral X~-verteilte,
123 normalverteilte, 90 poissonverteilte, 81 rayleighverteilte, 96, 122 riceverteilte, 123 stetige, 40 unabhängige, 111 unkorrelierte, 112
227
verallgemeinert riceverteilte, 123
verallgemeinert rayleighverteilte, 122
weibullverteilte, 94 zentral x~-verteilte, 122
Zustand, 191 Zustandsmege, 185 zweidimensionale Normalvertei-
lung, 105 zweidimensionale Standardnor
malverteilung, 107 zyklostarionärer stochastischer
Prozeß, 195 zyklostationärer Prozeß
mittleres Leistungsdichte-spektrum, 196