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Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit
LiteraturLedolter, Burrill, Statistical Quality Control: Kap.12: Statistical Process Control: Control Charts; Kap.13: Process Capability and Pre-Control Bergman, Klefsjö, Quality: Kap.12: 12: Control Charts; Kap.13: Capability
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24.10.2003 Prozesskontrolle 2
Prozesskontrolle
Anwendung der Statistik zur Kontrolle (Beobachtung und Regelung) des Prozesses Änderungen des Mittelwertes (Niveau, Level) Änderungen der Prozessvariabilität
Ist der Prozess „in Kontrolle“ (stabil)?
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24.10.2003 Prozesskontrolle 3
Zielsetzung der Prozesskontrolle
Rasch entdecken, wenn der Prozess „außer Kontrolle“
Qualitätsverbesserung
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24.10.2003 Prozesskontrolle 4
Funnel-Experiment Lasse einen stabilen Prozess unverän-dert! Trichter- (funnel-) Experiment: Kugel rollt
durch Trichter; Ziel ist Nullpunkt, Kugel trifft im k-ten Versuch zk
Strategien: Trichter unverändert Verschiebe Trichter um –zk Verschiebe Trichter nach –zk
(Verschiebe Trichter nach zk)
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24.10.2003 Prozesskontrolle 5
Prozess- vs. Annahmekontrolle Prozesskontrolle (PK) reduziert Kosten,
Annahmekontrolle (AK) kommt zu spät PK gibt Hinweise auf Ursachen für
Mängel PK erlaubt Anpassen an Anforderungen PK erlaubt Verbesserungen PK erlaubt Robustifizierung
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24.10.2003 Prozesskontrolle 6
Shewhart-Karte
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24.10.2003 Prozesskontrolle 7
Kontrollkarten
Zeitreihen-Darstellung von Prozess- oder Produktcharakteristika
Graphische Hilfe um festzustellen, ob Prozess „in Kontrolle“
Variabilität durch common (usual) causes vs. Variabilität durch special (assignable) causes
Alarm => Suche nach Ursachen Mittel, den Prozess (1) besser zu
verstehen und (2) zu verbessern
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24.10.2003 Prozesskontrolle 8
Bedeutung der Kontrollkarten
Anwendung heißt: Analyse des Prozesses oder Produktes
Produktentstehung ist wichtiger als Produkt (Deming: „nur 6% der Fehler durch special causes“)
Einfache Technik
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24.10.2003 Prozesskontrolle 9
Anwendung der Kontrollkarte
Was (welche Charakteristika) soll kontrolliert werden?
Welche Standards sind zu erfüllen? Welche Messungen? Welcher Messvorgang? Welche Verarbeitung der Messungen?
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24.10.2003 Prozesskontrolle 10
Kontrollkarten bei Dienstleistungen
Anwendungen bei IBM Kingston Vorschlagswesen (Dauer der Realisie-
rung) Medizinische Einstellungsuntersuchung
(Dauer) Auftragsabwicklung (Anzahl der Fehler) Etc.
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24.10.2003 Prozesskontrolle 11
Typen von Kontrollkarten Mittelwerts-Karte ( Karte) s-Karte (Standardabweichung) R-Karte (range) c-Karte (counts) p-Karte (proportion)
Für metrische Merkmale: Mittelwerts-, s- und R-Karte: Mittelwert und Variabilität müssen kontrolliert werden!
x
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24.10.2003 Prozesskontrolle 12
Aufbau einer Kontrollkarte
Mittellinie (center line) untere Kontrollgrenze (lower control
limit, LCL) obere Kontrollgrenze (upper control
limit, UCL) Als Kontrollgrenzen sind 3-Grenzen
üblich (siehe unten)
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24.10.2003 Prozesskontrolle 13
Verwendung einer Kontrollkarte
1. In regelmäßigen Intervallen: Ziehen einer Stichprobe (n=4 oder 5)
2. Für k-te Stichprobe: MWk, sk, Rk
3. Eintragen in Kontrollkarten
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24.10.2003 Prozesskontrolle 14
Beispiel: Mittelwerts-Karte
nach zGWS gilt (näherungsweise): bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Mittelwerte im Intervall
Ersetzen von durch , durch gibt
nn
3,
3
x
n
sxUCL
n
sxLCL
3,
3
s
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24.10.2003 Prozesskontrolle 15
Beispiel: Mittelwerts-Karte, Forts.
Alternativ schreiben wir mit A3 (aus der Tabelle)
Die Größen und werden in der Initialisierungsphase ermittelt
sAxUCLsAxLCL 33 ,
x s
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24.10.2003 Prozesskontrolle 16
s-Karte
Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Standardabweichungen sk zwischen
B3 und B4 aus der Tabelle
sBUCLsBLCL 43 ,
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24.10.2003 Prozesskontrolle 17
R-Karte
Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Spannweiten Rk zwischen
D3 und D4 aus der Tabelle ist der Mittelwert der Rk aus der
Initialisierungsphase R-Karte ist einfacher, s-Karte zeigt eher
Änderung an
RDUCLRDLCL 43 ,
R
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24.10.2003 Prozesskontrolle 18
Bewertung von Kontrollkarten
Lauflänge (run length) RL: Zahl der Stichprobenwerte, bis eine Kontrollgrenze überschritten wird (die Kontrollkarte einen Alarm gibt)
Wahrscheinlichkeitsverteilung von RL:P(RL=k) = (1-w)k-1w, k = 1, 2, ...
mitw = P(Stichprobenwert liegt außerhalb Kontrollgrenzen)
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24.10.2003 Prozesskontrolle 19
ARL, mittlere Lauflänge
ARL (average run length)ARL = E(RL) = 1/w
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24.10.2003 Prozesskontrolle 20
Beispiel: Mittelwerts-Karte
Prozess in Kontrolle mit 0 und w = 1 P(LCL UCL)
= 0.0027und ARL = 1/0.0027 = 370
Prozess außer Kontrolle: = 0 + w = 1 P( 3 n Z 3 n)
x
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24.10.2003 Prozesskontrolle 21
Praxis der Kontrollkarten
Konstruktion: Auswahl des Stichproben-Intervalls Auswahl des Stichproben-Umfanges Art der Stichprobe
Verwendung: Kleiner Stichproben-Umfang (4 oder 5): toleriert
kleine d Kosten für (1) einzelne Messung, (2) Unterbre-
chung des Prozesses, (3) nicht entdecktes out-of-control Produkt
"rationale" Wahl der Stichproben
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24.10.2003 Prozesskontrolle 22
Kontrollkarten für Attribute
p- und np-Karte: zur Kontrolle des Anteils von defekten Stücken
c-Karte: bei komplexen Produkte (zB ganzer PKW): zur Kontrolle der Anzahl der Defekte (nonconformities) an einem geprüften Stück
u-Karte: wie c-Karte, aber auf Einheit bezogen; i-te Stichprobe umfasst ni Einheiten
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24.10.2003 Prozesskontrolle 23
Variablen- vs. Attributkontrolle
Variablenkontrolle: berücksichtigt mehr Information reagiert „rechtzeitig“ kleinere Stichproben
Attributkontrolle auch auf metrisch-skalierte Variable anwendbar
(brauchbar ja/nein) einfacher mehrere Merkmale gemeinsam robuster
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24.10.2003 Prozesskontrolle 24
Mittelwerts-Karte mit Warngrenzen
Bedingungen für „außer Kontrolle“ eine Beobachtung außerhalb 3-Grenze mindestens zwei von drei
Beobachtungen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 2-Grenze
mindestens vier von fünf Beobachtungen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 1-Grenze
mindestens acht Beobachtungen in Reihe ober- oder unterhalb CL
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24.10.2003 Prozesskontrolle 25
Warngrenzen: weitere Bedingungen
mindestens 15 Beobachtungen in Reihe innerhalb 1-Grenze ("hugging")
mindestens 15 Beobachtungen in Reihe außerhalb C ("Misch"-Prozess)
lange Folge von hoch-tief Beobachtungen ("Sägezahn")
Zyklen, Trend
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24.10.2003 Prozesskontrolle 26
Effekte der Warngrenzen
Prozess außer Kontrolle wird rascher entdeckt (ARL kleiner)
Achtung! Auch ARL bei Prozess in Kontrolle wird kleiner!
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24.10.2003 Prozesskontrolle 27
Beispiel: Mittelwertskarte
Entscheidung nach 1.: ARL(0) = 370ARL() = 33.9
Entscheidung nach 1. bis 4.: ARL(0) = 100
ARL() = 9
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24.10.2003 Prozesskontrolle 28
Prozessüberwachung
Ermittlung von x-barbar und s-bar nur mit Beobachtungen aus Prozess in Kontrolle
Kontrollgrenzen nachjustieren! Beispiel: Gewicht von Brotlaiben
Aus Beobachtungen 1 bis 25: x-barbar = 100.92 kg, s-bar = 1.74 kg, LCL = 98.44, UCL = 103.41
Aus Beobachtungen 1 bis 20: x-barbar = 100.17 kg, s-bar = 1.70 kg, LCL = 97.74, UCL = 102.60
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24.10.2003 Prozesskontrolle 29
Spezielle Kontrollkarten
Kontrollkarten für Einzelwerte Gleitende Spannweiten (moving range, MR)
Karte: MRi = |xi-xi-1|, i = 1, 2, ..., LCL = 0, UCL = 3.267 MR-bar
Karte für individuelle Beobachtungen, LCL = x-bar 3 (MR-bar/1.128), UCL = …
CUSUM-Karte EWMA-Karte (: Glättungsparameter)
EWMAi = xi + (-l) EWMAi-1
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24.10.2003 Prozesskontrolle 30
EWMA- und CUSUM-Karten
Vorteil: kleines ARL bei kleinen Störungen
Nachteil: komplizierter
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24.10.2003 Prozesskontrolle 31
Neuere Entwicklungen
Kontrollkarten für seriell korrelierte Qualitäts-Charakteristika
Kontrollkarten für multivariate Qualitäts-Charakteristika
Kosten-optimale Kontrollkarten
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24.10.2003 Prozesskontrolle 32
Prozessfähigkeit
Fähigkeit des (Produktions-) Prozesses, die Anforderungen des Kunden zu erfüllen
Anforderungen des Kunden Zielwert (Tg, target value) Untere Spezifikationsgrenze (LSL, lower
specification limit) Obere Spezifikationsgrenze (USL, upper
specification limit)
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24.10.2003 Prozesskontrolle 33
Prüfen der Prozessfähigkeit
Graphische Darstellung des Prozesses zB Histogramm: optischer Eindruck der Prozessfähigkeit des Anteils, der die Anforderungen nicht
erfüllt Fähigkeitsindizes Pre-control Karte
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24.10.2003 Prozesskontrolle 34
Fähigkeitsindizes
sind Indexzahlen, die das Ausmaß messen, in dem ein Prozess die Anforderungen des Kunden erfüllt.
Cp-Fähigkeitsindex Cpk- Fähigkeitsindex Cpm- Fähigkeitsindex CR- Fähigkeitsindex
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24.10.2003 Prozesskontrolle 35
Cp-Fähigkeitsindex
Cp = (USL − LSL)/(6)
misst die zulässige Streuung des Prozesses als Anteil an der tatsächlichen Streuung
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24.10.2003 Prozesskontrolle 36
Cp-Fähigkeitsindex: Beispiel
Normalverteilte Qualitätsvariable wenn = Tg, enthält der ±3-Bereich
99.73% der Produkte Cp = 1 bedeutet: 0.27% sind defekt
wenn = Tg
Achtung! Cp sagt nichts darüber aus, wie groß der Anteil der defekten ist!
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24.10.2003 Prozesskontrolle 37
Cp und Anteil der Defekten
Cp Bereich Def.ppm
1.00 ±3 2699.93
1.33 ±4 63.37
1.67 ±5 0.57
2.00 ±6 0.002
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24.10.2003 Prozesskontrolle 38
Cp-Fähigkeitsindex: Forts.
Viele Unternehmen verlangen ein Cp von 1.33!
Schätzung von Cp: wird durch s ersetzt
Cp-hat = (USL − LSL)/(6s) Beispiel:
Cp-hat(Breite) = (4.03-3.97)/6(0.008) = 1.25; Cp-hat(Stärke) = (0.265-0.235)/6(0.00421) =
1.19.
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24.10.2003 Prozesskontrolle 39
Cpk-Fähigkeitsindex
Cpk = Min {USL − , − LSL}/(3)
geschätzter Cpk: und werden durch x-bar und s ersetzt
Cpk-hat = Min {USL − x-bar, x-bar − LSL}/(3s)
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24.10.2003 Prozesskontrolle 40
Cpk-Fähigkeitsindex: Beispiel
Cpk-hat(Breite) = Min{4.03-3.9947, 3.9947-3.97}/3(0.008) =Min {0.0353, 0.0247}/0.024 = 1.03
Cpk-hat(Stärke) = Min {0.265-0.24894, 0.24894-0.235}/3(0.00421) = 1.10.
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24.10.2003 Prozesskontrolle 41
Cpm-Fähigkeitsindex
Cpm = (USL − LSL)/(6)
mit (*)2 = 2 + ( − Tg)2 Es gilt
Cpm = Cp /√[1 + ( − Tg)2/ 2] je größer | − Tg|, umso kleiner wird Cpm
gegenüber Cp
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24.10.2003 Prozesskontrolle 42
Cpm-Fähigkeitsindex: Schätzung
Cpm-hat = (USL − LSL)/(6s)
mit (s*)2 = i (xi − Tg)2/(n − 1), oder
Cpm-hat = (USL − LSL)/{6√[s2 +
(x-bar − Tg)2]}
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24.10.2003 Prozesskontrolle 43
Cpm-Fähigkeitsindex: Beispiel
Cpm-hat(Breite) = (4.03−3.97)/ {6√[(0.008)2 + (3.9947−4.00)2]} = 1.04
Cpk-hat(Stärke) = (0.265−0.235)/ {6√[(0.00421)2 +(0.24894−0.25)2]} = 1.15.
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24.10.2003 Prozesskontrolle 44
CR-Fähigkeitsindex, Target-Z
Fähigkeitsverhältnis (capability ratio)
CR = 1/Cp
Anteil der zulässigen Streuung des Prozesses, den die tatsächliche Streuung ausnützt
Target-Z: Maß für Abweichung zwischen und Tg
Target-Z = (Tg − )/
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24.10.2003 Prozesskontrolle 45
CR-Fähigkeitsindex, Target-Z
CR und Target-Z gemeinsam erlauben die Beurteilung der Prozessfähigkeit
je kleiner CR und je kleiner |Target-Z|, umso besser
Beispiel: Procter & Gamble: CR < 0.75 (entspricht Cp > 1.33);
|Target-Z| < 0.5 ( muss innerhalb von /2 von Tg liegen)
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24.10.2003 Prozesskontrolle 46
CR und Target-Z: Beispiel
CR-hat(Breite) = 0.8 Target-Z-hat(Breite) =
(4.00−3.9947)/(0.008) = 0.66
CR-hat(Stärke) = 0.84 Target-Z-hat(Stärke) =
(0.25−0.24894)/(0.00421) = 0.25
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24.10.2003 Prozesskontrolle 47
Six Sigma
Teil des TQM-Konzepts von Motorola Anforderungen:
so, dass LSL und USL mindestens 6 von Tg (USL−Tg, Tg−LSL ≥ 6)
x-bar höchstens 1.5 von Tg (|x-bar – Tg| < 1.5)
Prozess mit normalverteilter Qualitäts-variabler produziert maximal 3.4 defekte Stücke per Million!
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24.10.2003 Prozesskontrolle 48
Six Sigma: Forts.
Bei X ~ N(Tg + 1.5, 2)
P(defektes Stück)= 1 – P(Tg−6 X Tg+6)
= 1 – P(-7.5 X 4.5) 1 – (4.5) = 0.0000034
Beachte! Cpk = 1.5
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24.10.2003 Prozesskontrolle 49
Fähigkeitsindizes in der Praxis
Gutes Instrument zur Dokumentation Wahl von LSL und USL entscheidend Normalverteilungsannahme Stabiler Prozess vs. fähiger Prozess Schätzung der Fähigkeitsindizes
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Normalverteilungsannahme
Bei Nichtzutreffen irreführend! Beispiel
X ~ U(-1, 1), so dass = 0, = 0.577 seien LSL = -1.5, USL = 1.5 die Wahrscheinlichkeit für defekte Produktion ist
Null! Aber Cp = 3/(6*0.577) = 0.87!
Achtung! Bei light-tail Verteilungen ist der Prozess fähiger, als es Fähigkeitsindizes anzeigen; und umgekehrt.
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Schätzung der Fähigkeitsindizes
einfache Stichprobe nicht ausreichend aus Prozesskontrolle:
(n) (A3) (s-bar)/3 oder (n) (A2) (R-bar)/3 als Schätzer für (besser als s-bar!)
x-barbar als Schätzer für Voraussetzung: stabiler Prozess!
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Konfidenzintervall für Cpk
Cpk {1 ± 2√[1/(9nCpk2)+1/(2(n-1))]}
n: Zahl der Beobachtungen zum Schätzen von Cpk
Voraussetzung: Normalverteilter Prozess
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Pre-Control Karte Kontrolle der Fähigkeit; analog zur
Mittelwertskarte CL: Tg PC-lines: Tg ± |USL- Tg|/2 schließen grüne
Zone ein Gelbe Zonen: PC-line bis LSL bzw. USL Rote Zonen: außerhalb LSL bis USL
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Pre-Control Karte: Verfahren Probelauf (PLauf):
5x in GrZ: Beginne Standardprüfung Wiederhole, wenn 1x in GeZ Justiere, wenn 2x in GeZ oder 1x in RZ
Standardprüfung: Ziehen von Paaren 2 in GrZ oder je 1x in GrZ und GeZ: OK 2 in gleicher GeZ: justiere Niveau, PLauf 2 in versch. GeZ: justiere Prozess, PLauf ≥1 in RZ: justiere Prozess, PLauf