egiraffe mathematik c (et) ue - e_jungwirth - hausuebung - 2013ws - 8. uebungsblatt
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7/21/2019 EGIRAFFE Mathematik C (ET) UE - E_jungwirth - Hausuebung - 2013WS - 8. Uebungsblatt
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Mathematik C (ET) UE WS 2012/2013 8. bungsblatt
44. (a) Entwickeln Sie die Funktion f(z) = (1 +z2)(e1
z +e1
z1 ) in eine Laurentreihe,zuerst um den Punkt z0= 0, dann um den Punkt z0= 1.
(b) Berechnen Sie Res[f; 0] und Res[f, 1].
(c) Berechnen Sie folgendes Integral mit Hilfe des Residuensatzes
|z|=2
(1 +z2)(e1
z +e 1
z1 ) dz.
45. Berechnen Sie folgende Integrale mit Hilfe des Residuensatzes:
a)
z
(z2 2z+ 2)2dz, b)
0
z2
(z2 + 1)(z2 + 4)dz,
c)
0
dz
(1 + z2)3, d)
z
1 + z3dz.
46. Berechnen Sie folgende Integrale
a)
sin x
x4 + 1dx; b)
cos x
x4 + 1dx.
Hinweis: Integrieren Sie entlang der Kurve CR= [R, R] HR, wobei HR der Halb-kreis (in der oberen oder unteren Halbebene) mit dem Mittelpunkt im Ursprung und
dem Radius R ist.
47. Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von
f(z) =z2 +z+ 1
z4 + 1
und berechnen Sie damit ohneResiduensatz
f(z) dz, wobeider Kreis|z 2|= 4ist.
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