Grundwissen und Grundkoumlnnen ndash

Basiskompetenzen

Prof Dr Regina Bruder

Technische Universitaumlt Darmstadt

wwwmath-learningcom

2692013 Fuldatal Fachleitertagung

bdquoDu fragst mich welches das Maszlig

des Reichtums sei

Fuumlrs erste zu haben was noumltig ist

naumlchst dem was genug istldquo

(Seneca in seinen Briefen an Lucilius)

bdquoVorwissen ndash nicht etwa Motivation Intelligenz oder Lernstrategien ndash ist nach den Befunden psychologischer Forschung zweifelsfrei der bedeutsamste Einzelfaktor fuumlr das Zustandekommen von Problemloumlse- und Lernleistungenldquo (Renkl 2008)

Problemsicht

extrem hohe Zahl von

Studienabbrecherinnen und -abbrechern in den MINT-Studienfaumlchern

raquoBewerber scheitern vielfach an der Aufgabe die Flaumlche eines Rechtecks mit den Kantenlaumlngen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnenlaquo

Die Taschenrechner sind schuld

Klagen uumlber fehlendes

mathematisches Grundkoumlnnen

(IHK Hochschulen)

Projekt bdquoNotstand in Mathematikldquo

der IHK Braunschweig

( April 2010)

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Quelle Lehrerhandreichung CAliMERO Bd2 Tsup32008S63

Was ist wesentlich Horizontale Vernetzung mit semantischen Netzen im MU

Einstiege Voraussetzungen

Algebraische

Aspekte

Anwendungen

Geometrische

Aspekte

Anwendungen

Was kommt dann Weiterungen

Was ist wesentlich

Orientierung an der Curriculumspirale

Figuren

erkennen untersuchen

erzeugen

variieren

Abstaumlnde

berechnen

Datensaumltze

beschreiben

darstellen

strukturieren

Objekte (und Prozesse)

optimieren

Algebraische

Aspekte Zahl

Geometrische Aspekte

Raum

- zB bei Verpackungen

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht

Wissen Kenntnisse

Koumlnnen Faumlhigkeiten

Fertigkeiten

Volitionenhellip Lernmotivation

Selbstregulationhellip

-------------------------------------------------------

Kompetenz individuelle Kompetenz

(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt

Grundwissen

helliphellip

Grundkoumlnnen

helliphellip

Basiskompetenzen

helliphellip

Begriffe

Zusammenhaumlnge

Verfahren gt

gt

gt

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen

in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig

das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln

verfuumlgbar sein sollenldquo

Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung

Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von

bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen

bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als

bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)

sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[

[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster

fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche

Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen

verallgemeinert haben

Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen

6112008 R Bruder TUD 15

Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche

nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen

Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung

6112008 R Bruder TUD 16

Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und

Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als

Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken

Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash

bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit

bull Einordnung bei Pippig (1985)

bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem

Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo

bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren

Bedingungenldquo

bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo

Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse

Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash

Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar

(Sicheres Wissen und Koumlnnen)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)

vgl auch Sill (2004)

Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash

Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich

Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden

Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Problemsicht

extrem hohe Zahl von

Studienabbrecherinnen und -abbrechern in den MINT-Studienfaumlchern

raquoBewerber scheitern vielfach an der Aufgabe die Flaumlche eines Rechtecks mit den Kantenlaumlngen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnenlaquo

Die Taschenrechner sind schuld

Klagen uumlber fehlendes

mathematisches Grundkoumlnnen

(IHK Hochschulen)

Projekt bdquoNotstand in Mathematikldquo

der IHK Braunschweig

( April 2010)

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Quelle Lehrerhandreichung CAliMERO Bd2 Tsup32008S63

Was ist wesentlich Horizontale Vernetzung mit semantischen Netzen im MU

Einstiege Voraussetzungen

Algebraische

Aspekte

Anwendungen

Geometrische

Aspekte

Anwendungen

Was kommt dann Weiterungen

Was ist wesentlich

Orientierung an der Curriculumspirale

Figuren

erkennen untersuchen

erzeugen

variieren

Abstaumlnde

berechnen

Datensaumltze

beschreiben

darstellen

strukturieren

Objekte (und Prozesse)

optimieren

Algebraische

Aspekte Zahl

Geometrische Aspekte

Raum

- zB bei Verpackungen

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht

Wissen Kenntnisse

Koumlnnen Faumlhigkeiten

Fertigkeiten

Volitionenhellip Lernmotivation

Selbstregulationhellip

-------------------------------------------------------

Kompetenz individuelle Kompetenz

(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt

Grundwissen

helliphellip

Grundkoumlnnen

helliphellip

Basiskompetenzen

helliphellip

Begriffe

Zusammenhaumlnge

Verfahren gt

gt

gt

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen

in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig

das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln

verfuumlgbar sein sollenldquo

Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung

Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von

bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen

bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als

bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)

sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[

[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster

fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche

Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen

verallgemeinert haben

Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen

6112008 R Bruder TUD 15

Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche

nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen

Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung

6112008 R Bruder TUD 16

Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und

Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als

Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken

Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash

bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit

bull Einordnung bei Pippig (1985)

bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem

Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo

bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren

Bedingungenldquo

bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo

Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse

Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash

Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar

(Sicheres Wissen und Koumlnnen)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)

vgl auch Sill (2004)

Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash

Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich

Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden

Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Quelle Lehrerhandreichung CAliMERO Bd2 Tsup32008S63

Was ist wesentlich Horizontale Vernetzung mit semantischen Netzen im MU

Einstiege Voraussetzungen

Algebraische

Aspekte

Anwendungen

Geometrische

Aspekte

Anwendungen

Was kommt dann Weiterungen

Was ist wesentlich

Orientierung an der Curriculumspirale

Figuren

erkennen untersuchen

erzeugen

variieren

Abstaumlnde

berechnen

Datensaumltze

beschreiben

darstellen

strukturieren

Objekte (und Prozesse)

optimieren

Algebraische

Aspekte Zahl

Geometrische Aspekte

Raum

- zB bei Verpackungen

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht

Wissen Kenntnisse

Koumlnnen Faumlhigkeiten

Fertigkeiten

Volitionenhellip Lernmotivation

Selbstregulationhellip

-------------------------------------------------------

Kompetenz individuelle Kompetenz

(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt

Grundwissen

helliphellip

Grundkoumlnnen

helliphellip

Basiskompetenzen

helliphellip

Begriffe

Zusammenhaumlnge

Verfahren gt

gt

gt

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen

in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig

das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln

verfuumlgbar sein sollenldquo

Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung

Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von

bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen

bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als

bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)

sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[

[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster

fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche

Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen

verallgemeinert haben

Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen

6112008 R Bruder TUD 15

Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche

nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen

Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung

6112008 R Bruder TUD 16

Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und

Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als

Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken

Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash

bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit

bull Einordnung bei Pippig (1985)

bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem

Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo

bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren

Bedingungenldquo

bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo

Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse

Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash

Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar

(Sicheres Wissen und Koumlnnen)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)

vgl auch Sill (2004)

Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash

Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich

Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden

Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Quelle Lehrerhandreichung CAliMERO Bd2 Tsup32008S63

Was ist wesentlich Horizontale Vernetzung mit semantischen Netzen im MU

Einstiege Voraussetzungen

Algebraische

Aspekte

Anwendungen

Geometrische

Aspekte

Anwendungen

Was kommt dann Weiterungen

Was ist wesentlich

Orientierung an der Curriculumspirale

Figuren

erkennen untersuchen

erzeugen

variieren

Abstaumlnde

berechnen

Datensaumltze

beschreiben

darstellen

strukturieren

Objekte (und Prozesse)

optimieren

Algebraische

Aspekte Zahl

Geometrische Aspekte

Raum

- zB bei Verpackungen

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht

Wissen Kenntnisse

Koumlnnen Faumlhigkeiten

Fertigkeiten

Volitionenhellip Lernmotivation

Selbstregulationhellip

-------------------------------------------------------

Kompetenz individuelle Kompetenz

(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt

Grundwissen

helliphellip

Grundkoumlnnen

helliphellip

Basiskompetenzen

helliphellip

Begriffe

Zusammenhaumlnge

Verfahren gt

gt

gt

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen

in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig

das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln

verfuumlgbar sein sollenldquo

Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung

Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von

bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen

bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als

bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)

sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[

[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster

fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche

Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen

verallgemeinert haben

Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen

6112008 R Bruder TUD 15

Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche

nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen

Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung

6112008 R Bruder TUD 16

Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und

Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als

Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken

Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash

bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit

bull Einordnung bei Pippig (1985)

bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem

Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo

bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren

Bedingungenldquo

bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo

Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse

Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash

Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar

(Sicheres Wissen und Koumlnnen)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)

vgl auch Sill (2004)

Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash

Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich

Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden

Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Was ist wesentlich Horizontale Vernetzung mit semantischen Netzen im MU

Einstiege Voraussetzungen

Algebraische

Aspekte

Anwendungen

Geometrische

Aspekte

Anwendungen

Was kommt dann Weiterungen

Was ist wesentlich

Orientierung an der Curriculumspirale

Figuren

erkennen untersuchen

erzeugen

variieren

Abstaumlnde

berechnen

Datensaumltze

beschreiben

darstellen

strukturieren

Objekte (und Prozesse)

optimieren

Algebraische

Aspekte Zahl

Geometrische Aspekte

Raum

- zB bei Verpackungen

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht

Wissen Kenntnisse

Koumlnnen Faumlhigkeiten

Fertigkeiten

Volitionenhellip Lernmotivation

Selbstregulationhellip

-------------------------------------------------------

Kompetenz individuelle Kompetenz

(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt

Grundwissen

helliphellip

Grundkoumlnnen

helliphellip

Basiskompetenzen

helliphellip

Begriffe

Zusammenhaumlnge

Verfahren gt

gt

gt

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen

in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig

das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln

verfuumlgbar sein sollenldquo

Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung

Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von

bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen

bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als

bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)

sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[

[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster

fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche

Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen

verallgemeinert haben

Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen

6112008 R Bruder TUD 15

Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche

nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen

Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung

6112008 R Bruder TUD 16

Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und

Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als

Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken

Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash

bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit

bull Einordnung bei Pippig (1985)

bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem

Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo

bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren

Bedingungenldquo

bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo

Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse

Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash

Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar

(Sicheres Wissen und Koumlnnen)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)

vgl auch Sill (2004)

Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash

Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich

Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden

Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Was ist wesentlich

Orientierung an der Curriculumspirale

Figuren

erkennen untersuchen

erzeugen

variieren

Abstaumlnde

berechnen

Datensaumltze

beschreiben

darstellen

strukturieren

Objekte (und Prozesse)

optimieren

Algebraische

Aspekte Zahl

Geometrische Aspekte

Raum

- zB bei Verpackungen

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht

Wissen Kenntnisse

Koumlnnen Faumlhigkeiten

Fertigkeiten

Volitionenhellip Lernmotivation

Selbstregulationhellip

-------------------------------------------------------

Kompetenz individuelle Kompetenz

(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt

Grundwissen

helliphellip

Grundkoumlnnen

helliphellip

Basiskompetenzen

helliphellip

Begriffe

Zusammenhaumlnge

Verfahren gt

gt

gt

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen

in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig

das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln

verfuumlgbar sein sollenldquo

Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung

Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von

bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen

bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als

bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)

sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[

[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster

fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche

Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen

verallgemeinert haben

Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen

6112008 R Bruder TUD 15

Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche

nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen

Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung

6112008 R Bruder TUD 16

Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und

Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als

Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken

Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash

bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit

bull Einordnung bei Pippig (1985)

bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem

Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo

bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren

Bedingungenldquo

bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo

Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse

Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash

Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar

(Sicheres Wissen und Koumlnnen)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)

vgl auch Sill (2004)

Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash

Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich

Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden

Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht

Wissen Kenntnisse

Koumlnnen Faumlhigkeiten

Fertigkeiten

Volitionenhellip Lernmotivation

Selbstregulationhellip

-------------------------------------------------------

Kompetenz individuelle Kompetenz

(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt

Grundwissen

helliphellip

Grundkoumlnnen

helliphellip

Basiskompetenzen

helliphellip

Begriffe

Zusammenhaumlnge

Verfahren gt

gt

gt

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen

in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig

das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln

verfuumlgbar sein sollenldquo

Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung

Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von

bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen

bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als

bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)

sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[

[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster

fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche

Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen

verallgemeinert haben

Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen

6112008 R Bruder TUD 15

Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche

nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen

Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung

6112008 R Bruder TUD 16

Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und

Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als

Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken

Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash

bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit

bull Einordnung bei Pippig (1985)

bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem

Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo

bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren

Bedingungenldquo

bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo

Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse

Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash

Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar

(Sicheres Wissen und Koumlnnen)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)

vgl auch Sill (2004)

Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash

Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich

Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden

Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht

Wissen Kenntnisse

Koumlnnen Faumlhigkeiten

Fertigkeiten

Volitionenhellip Lernmotivation

Selbstregulationhellip

-------------------------------------------------------

Kompetenz individuelle Kompetenz

(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt

Grundwissen

helliphellip

Grundkoumlnnen

helliphellip

Basiskompetenzen

helliphellip

Begriffe

Zusammenhaumlnge

Verfahren gt

gt

gt

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen

in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig

das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln

verfuumlgbar sein sollenldquo

Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung

Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von

bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen

bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als

bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)

sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[

[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster

fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche

Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen

verallgemeinert haben

Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen

6112008 R Bruder TUD 15

Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche

nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen

Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung

6112008 R Bruder TUD 16

Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und

Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als

Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken

Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash

bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit

bull Einordnung bei Pippig (1985)

bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem

Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo

bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren

Bedingungenldquo

bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo

Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse

Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash

Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar

(Sicheres Wissen und Koumlnnen)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)

vgl auch Sill (2004)

Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash

Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich

Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden

Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen

in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig

das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln

verfuumlgbar sein sollenldquo

Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung

Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von

bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen

bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als

bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)

sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[

[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster

fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche

Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen

verallgemeinert haben

Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen

6112008 R Bruder TUD 15

Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche

nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen

Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung

6112008 R Bruder TUD 16

Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und

Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als

Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken

Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash

bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit

bull Einordnung bei Pippig (1985)

bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem

Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo

bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren

Bedingungenldquo

bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo

Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse

Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash

Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar

(Sicheres Wissen und Koumlnnen)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)

vgl auch Sill (2004)

Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash

Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich

Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden

Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung

Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von

bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen

bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als

bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)

sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[

[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster

fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche

Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen

verallgemeinert haben

Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen

6112008 R Bruder TUD 15

Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche

nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen

Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung

6112008 R Bruder TUD 16

Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und

Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als

Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken

Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash

bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit

bull Einordnung bei Pippig (1985)

bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem

Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo

bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren

Bedingungenldquo

bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo

Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse

Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash

Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar

(Sicheres Wissen und Koumlnnen)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)

vgl auch Sill (2004)

Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash

Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich

Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden

Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von

bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen

bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als

bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)

sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[

[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster

fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche

Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen

verallgemeinert haben

Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen

6112008 R Bruder TUD 15

Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche

nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen

Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung

6112008 R Bruder TUD 16

Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und

Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als

Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken

Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash

bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit

bull Einordnung bei Pippig (1985)

bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem

Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo

bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren

Bedingungenldquo

bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo

Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse

Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash

Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar

(Sicheres Wissen und Koumlnnen)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)

vgl auch Sill (2004)

Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash

Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich

Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden

Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen

6112008 R Bruder TUD 15

Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche

nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen

Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung

6112008 R Bruder TUD 16

Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und

Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als

Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken

Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash

bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit

bull Einordnung bei Pippig (1985)

bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem

Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo

bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren

Bedingungenldquo

bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo

Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse

Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash

Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar

(Sicheres Wissen und Koumlnnen)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)

vgl auch Sill (2004)

Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash

Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich

Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden

Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

6112008 R Bruder TUD 16

Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und

Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als

Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken

Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash

bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit

bull Einordnung bei Pippig (1985)

bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem

Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo

bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren

Bedingungenldquo

bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo

Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse

Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash

Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar

(Sicheres Wissen und Koumlnnen)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)

vgl auch Sill (2004)

Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash

Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich

Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden

Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

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Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash

bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit

bull Einordnung bei Pippig (1985)

bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem

Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo

bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren

Bedingungenldquo

bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo

Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse

Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash

Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar

(Sicheres Wissen und Koumlnnen)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)

vgl auch Sill (2004)

Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash

Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich

Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden

Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

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3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

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Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

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Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash

Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar

(Sicheres Wissen und Koumlnnen)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden

(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)

Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)

vgl auch Sill (2004)

Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash

Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich

Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden

Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash

Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich

Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden

Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Zusammenfassung

Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen

bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene

mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen

Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form

von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und

situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von

Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen

Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl

konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo

Verfuumlgbarkeit

Exaktheit

Allgemeinheit

Uumlbertragbarkeit

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

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Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Wann hat man Mathematik verstanden

Ein elementares Verstaumlndnis ist

erreicht wenn Identifizierungs-

und Realisierungshandlungen

zum jeweiligen Begriff

Zusammenhang oder Verfahren

ausgefuumlhrt werden koumlnnen

Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein

Prisma

Kann der Satz des Pythagoras in der

Situation hellip angewendet werden

Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar

Oder Ist die Formel hellipanwendbar

Realisieren Ein Prisma skizzieren

Einen Satz auf eine Situation anwenden

Ein Verfahren ausfuumlhren

Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt

wird erreicht wenn ein Beispiel

bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo

angegeben werden kann

Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht

wenn der mathematische Gegenstand zum

Mathematisierungsmuster wird

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

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Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Hierarchisches Handlungsmodell

- Geistige Operationen (black box)

- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)

- Grundhandlungen

Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Ausfuumlhren

Abarbeiten

Beschreibung von

Minimalstandards

Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

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Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

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Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen

Grund- geg ges

aufgabe Gleichung einer Graph

linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)

Loumlsung 2 Mglk

Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

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Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen

Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll

Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle

Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)

Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)

Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein

Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo

das nicht moumlglich ist

(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)

Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )

anwendet

LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

gelangen

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen

Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal

Aufgabe 5

Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten

Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll

Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

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1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

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2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

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LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)

Aufgabe 1

Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt

Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben

Aufgabe 2

Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu

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Aufgabe 3

Aufgabe 4

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Aufgabe 5

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2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

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Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

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Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

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Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

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Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

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lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

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Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

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4 54 ndash 106

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7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

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2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

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4 - 54 + 10 6

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7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

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liegen

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Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

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Didaktische

Analyse

Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)

1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen

2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden

vertieft verstehen

3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken

4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren

Schlussfolgerungen

Checkliste mind-map

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Lerntagebuch eigene Beispiele finden

Mathegeschichten erfinden

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt

Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig

Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten

ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml

Gegenseitige Schuumllerhilfe

Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der

Schulbuchverlagehellip)

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine

Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister

lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir

lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr

wir sind jetzt beim Dividierenlsquo

Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines

Schulmeisters Bern 1838

Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz

natuumlrlich denn der Statthalter sagte

lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange

nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo

Alte noch immer ungeloumlste Probleme

Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)

1Berechne 29 7

2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit

4Berechne 54 ndash 106

5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig

6Berechne - 3 (- 11) 3

7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das

9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche

10Berechne 20 von 45 euro

Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen

1 Berechne 29 times 7

2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12

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4 54 ndash 106

5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

6 Berechne - 3 times (- 11) times 3

7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein

8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

viele sind das

9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche

10 Berechne 20 von 45 euro

1 59 times 9

2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310

3 Gib als dm an 182 m

4 - 54 + 10 6

5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen

6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist

7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig

8 Gib 25 als Dezimalzahl an

9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse

liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

1 Woche spaumlter

Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument

Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung

Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern

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8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie

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8 Gib 25 als Dezimalzahl an

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liegen

10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das

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5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig

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Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches

Wachhalten von Elementarbausteinen im MU

-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen

-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen

-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen

Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen

-Dreisatz (zB Maszligstab)

-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen

-Punkte im Koordinatensystem

-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)

-Funktionsbilder

-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)

-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)

-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken

Gliederung

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Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Empirisch gesichertes

Kompetenzstrukturmodell

zu Darstellungswechseln

mit 5 Dimensionen

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse

Kontakt

brudermathematiktu-darmstadtde

wwwmadabade Aufgabendatenbank ua

mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen

wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download

wwwproLehrede Fortbildungsangebote online

Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash

Projekt TELPS (Isabell Bausch)

httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme

Gliederung

Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit

Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )

Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden

Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten

Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien

Mind Map fuumlr den Uumlberblick

Identifizieren und Realisieren

Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung

Wissensspeicher fuumlr den Durchblick

Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg

Koumlnnensdimensionen- Beispiel

Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

Empirisch gesichertes

Kompetenzstrukturmodell

zu Darstellungswechseln

mit 5 Dimensionen

DFG-SPP 1293

Kompetenzmodelle

G A S N

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mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen

wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download

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Funktionale Zusammenhaumlnge

und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9

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