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Modallogik (aussagenlogisch)
Zur Formulierung und Reprasentation von Aussagen,
die uber die Aussagenlogik hinausgehen.
Meist”modale“ Einschrankung
”Bald wird es regnen“
”Moglicherweise ist die Erde eine Kugel“ .
”Ich weiß, dass es niemand gibt, der alles weiß “ .
”Es ist verboten, bei roter Ampel uber die Kreuzung zu fahren “
”Togo wird nie Weltmeister“
”Brasilien wird immer wieder Weltmeister“
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Modallogik (aussagenlogisch)
Einfachste Variante: 3, 2 als Modaloperatoren und Formeln
2 3
”∀ “
”∃ “
Immer gilt: Irgendwann gilt:Es ist bekannt: Es ist moglich:Es ist geboten: Es ist erlaubt:
I.a.: Simultan mehrere (auch parametrisierte) Operatoren2A, 2B, 3C: A glaubt . . . , B glaubt . . . , C halt fur moglich . . .
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 2, 22. Juni2006
Logikformalismen: Beispiele und Motivation
philosophische Logik
untersucht u.a. Modallogik und Varianten
Fragestellung der philosophischen Logik:
Welche Ableitungsverfahren sind immer richtig
bzw. unter bestimmten Umstanden richtig?
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 3, 22. Juni2006
Logikformalismen: Modellierung der Zeit
Diskrete Zeit
Operatoren:”vorher“,
”nachher“,
”immer“,
”manchmal“ usw.
2F : F gilt immer in der Zukunft3F : F gilt irgendwann in der Zukunft.
In dieser Modellierung sollte gelten: 22F ⇔ 2F
lineare Zeit: deterministische Prozesse
(32F ) ⇒ (23F )
”verzweigende“Zeit: nicht-deterministische Prozesse
Andere Modaloperatoren erforderlich
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 4, 22. Juni2006
Bemerkungen zu CTL∗, CTL, LTL
Logik CTL∗ (computation tree logic):
ist Verallgemeinerung einer Modallogik zu verzweigender Zeit
mit Anwendung in Hardwareverifikation.
Spezialisierung: LTL: linear time logic
Modallogik CTLWelten Welten (Zustande)Erreichbarkeit (nachste Welt) Erreichbarkeits-Pfade
Es gibt keine Endwelt
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Logik des Erlaubten und Verbotenen
(Normative Logik, Deontic Logic)
2F : F ist geboten; F muss gelten; bzw. F ist obligatorisch.3F : F ist erlaubt.
In dieser Logik sollte gelten, dass obligatorisches auch erlaubt sein
sollte. D.h.
2F ⇒ 3F
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Logik des Wissens (epistemische Logik)
2F : F ist bekannt.3F : F ist glaubhaft.
bekannte Fakten sind richtig sind: D.h. 2F ⇒ F
Dieses Axiom ist falsch in einer Zeitlogik mit
2 ≡”
im nachsten Zustand gilt“
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Variante einer Logik des Wissens
(autoepistemische Logik)
Glauben an gewisse Fakten.
2F : F wird geglaubt.3F : F ist moglich (¬F wird nicht geglaubt).
Die Axiome dazu:
2(F ⇒ G) ⇒ (2F ⇒ 2G)2F ⇒ 22F positive Introspektion¬2F ⇒ 2(¬2F ) negative Introspektion
Modellierungsmoglichkeit:”nichtmonotone“ Logik
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Logik des Beweisens
2F : F ist beweisbar3F : F ist nicht widerlegbar
In dieser Logik sollte gelten, dass beweisbare Fakten richtig sind: D.h.
2F ⇒ F
Man kann z.B. formulieren:
”F gilt, aber ist nicht beweisbar: F ∧ ¬2F .
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 9, 22. Juni2006
parametrisierte Modaloperatoren
parametrisierte Modaloperatoren in einer Logik des Wissens mit
mehreren Akteuren:
A F A weiß, dass F giltA (¬ B F ) A weiß, dass B nicht weiß, dass F wahr ist.
Extremfall: dynamische Logik zur Programmverifikation.
z.B. P F : nach (jeder) Ausfuhrung des Programms P gilt,
falls das Programm terminiert, die Formel F .
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 10, 22. Juni2006
Beispiel: Wise man puzzle
Drei Weise sitzen sich gegenuber, so dass jeder den anderen von vorne
sieht.
Jedem wird ein roter oder blauer Punkt auf die Stirn gemalt. Minde-
stens einer der Punkte ist rot, was den Weisen bekannt ist. Jeder sieht
die Stirn der anderen aber nicht seine eigene.
Nach einer Zeit des Uberlegens sagt der erste Weise:
”Ich weiß nicht, welche Farbe der Punkt auf meiner Stirn hat.“
Nach weiterem Uberlegen sagt der zweite Weise:
”Ich weiß auch nicht, welche Farbe der Punkt auf meiner Stirn hat.“
Kurz danach sagt der dritte Weise:
”Jetzt weiß ich, welche Farbe der Punkt auf meiner Stirn hat“.
Welche?
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 11, 22. Juni2006
Beispiel: Wise man puzzle
Der Punkt ist rot!: Argumentation:
Seien 1,2,3 die Weisen.
1 kann nur RR oder RB sehen, sonst wusste er seine Farbe.
2 kann nur RR oder RB sehen, sonst wusste er seine Farbe.
3 kann jetzt alle Wissenstande nutzen:
Wenn er BB sieht, dann weiß er dass er R hat.
Wenn er RB sieht, dann kann er nicht B haben, da 1,2 ihre Farbe
nicht kennen.
Wenn er RR sieht, und hat B: Dann wusste 2, dass er R hat.
Also hat 3 die Farbe R auf der Stirn.
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Wise Man Puzzle
Die Axiome dazu in einer Modallogik mit mehreren ModaloperatorenA F bedeutet: A weiß, dass F gilt.
einfache Annahme: die Aussagen unten sind in allen Welten gultig.
(RA ∨RB ∨RC)RA ⇒ B (RA) ∧ C (RA)RB ⇒ A (RB) ∧ C (RB)RC ⇒ A (RC) ∧ B (RC)¬RA ⇒ B (¬RA) ∧ C (¬RA)¬RB ⇒ A (¬RB) ∧ C (¬RB)¬RC ⇒ A (¬RC) ∧ B (¬RC)
¬( A RA)) ∧ ¬( A ¬RA))¬( B RB) ∧ ¬( B ¬RB))
|= C RC ? (in der Anfangswelt)
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Aussagenlogische Modallogik
Syntax
Wie Aussagenlogik
Zusatz: zwei Modal-Operatoren 2 und 3:
Neue Grammatikregeln:
F ::= 2F | 3F (auch geschachtelt)
Beispiele 2X ∨3X2(X ∧ Y ) ⇔ 2X ∧ 2Y2((3X) ∨ 2¬(2Y ))
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Semantik
Analog zur Aussagenlogik
Nur fur 2 und 3 ist eine neues Konzept notwendig
Achtung: 2 und 3 sind nicht wahrheitsfunktional
D.h. es gibt keine Wahrheitstafel fur 2 und 3.
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Kripke-Semantik
Modallogische Semantik:benotigt strukturierte Menge von aussagenlogischen Interpretationen.
moglichen Welten Menge WErreichbarkeitsrelation R binare Relation auf W
w4
w1w2
w3
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Kripke-Semantik
Kripke-Rahmen
(Kripke-Frame)
Paar (W, R)
Kripke-Struktur Tripel (W, R, I)fur w ∈ W ist I(w) eineaussagenlogische Interpretationmit I(w1) = I(w2) ⇔ w1 = w2
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Semantik, Gultigkeit
Bei fester Kripkestruktur (W, R, I):
definiert man |= bzgl dieser Kripkestruktur.
Sei w ∈ W
w |= 1w 6|= 0w |= A gdw. I(w)(A) fur eine Variable Aw |= F ∨G gdw. w |= F oder w |= Gw |= F ∧G gdw. w |= F und w |= Gw |= F ⇒ G gdw. nicht (w |= F ) oder w |= Gw |= ¬F gdw. nicht w |= Fw |= 2F gdw. ∀w′ : w R w′ ⇒ w′ |= Fw |= 3F gdw. ∃w′ : w R w′ ∧ w′ |= F
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 18, 22. Juni2006
Beispiel
Sei K die Kripkestruktur:
A,− Bw2
w1A,B
Dannn gilt die Formel 3A in K,
aber nicht 3B.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 19, 22. Juni2006
Beispiel
Sei K die Kripkestruktur:
−A,B
w1w2
w3
w4
A,B
A,−B
A,−B
Dannn gilt die Formel 2(A ∨B) in K,
aber nicht 3B.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 20, 22. Juni2006
Gultigkeit einer Formel
F gultig in K = (W, R, I), falls fur alle w ∈ W : w |= F .Notation: K |= F .
F Tautologie, falls fur alle K = (W, R, I): K |= F .
F erfullbar, falls es ein K = (W, R, I) gibt mit: K |= F .
F gultig in (W, R), falls fur alle I gilt: (W, R, I) |= F .
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 21, 22. Juni2006
Semantische Folgerung, Deduktionstheorem
F ist semantische Folgerung (logische Konsequenz) von {F1, . . . , Fn},falls fur alle Kripke-Strukturen K gilt:
Wenn K |= {F1, . . . , Fn}, dann auch K |= F .
Notation: {F1, . . . , Fn} |= F .
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 22, 22. Juni2006
Deduktionstheorem gilt in der Modallogik
Aussage F1 ∧ . . . ∧ Fn ⇒ F ist Tautologie
ist aquivalent zu {F1, . . . , Fn} |= F
Verwendung der Semantik.
”⇒“: Es gelte F1, . . . , Fn |= F und sei K eine Kripke-Struktur.
Wenn ein Fi, i = 1, . . . , n nicht gilt in K, dann ist F1 ∧ . . . ∧ Fn falsch in
K,
also gilt K |= F1 ∧ . . . ∧ Fn ⇒ F .
Wenn alle Fi in K gelten, dann auch F1 ∧ . . .∧Fn, nach Voraussetzung
auch F , also auch K |= F1 ∧ . . . ∧ Fn ⇒ F .
”⇐“:
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Einige einfache Eigenschaften
• Wenn F eine Tautologie ist, dann ist auch 2F eine
Tautologie.
• w |= 20 bedeutet, dass w eine Sackgasse ist:von w aus ist keine Welt mehr erreichbar, denn in
keiner Interpretation ist 0 wahr.
• w |= 2220 impliziert, dass man von w aus hochstens
2 R-Schritte machen kann.
• 21 ist immer eine Tautologie
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Aquivalenzen und Nichtaquivalenzen
alle aussagenlogischen Tautologien geltenund:
2(F ∧G) ⇔ 2F ∧ 2G3(F ∨G) ⇔ 3F ∨3G3(F ∧G) 6⇔ 3F ∧3G2(F ∨G) 6⇔ 2F ∨ 2G¬(2F ) ⇔ 3(¬F )¬(3F ) ⇔ 2(¬F )2(F ⇒ G) ⇒ (2F ⇒ 2G)
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 25, 22. Juni2006
Die einfachste Modallogik: K
Diese entspricht der angegebenen Kripke-Semantik.
Folgende Herleitungsregeln fur K-Tautologien sind ausreichend:
1. Alle klassischen Tautologien
2. 2(A ⇒ B) ⇒ (2A ⇒ 2B)
3.A ⇒ B A
B
4.A
2A
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 26, 22. Juni2006
Tableaukalkul fur die Logik K
Ein Tableau ist ein Baum mit zwei Arten von Knoten:
w;F w ist ein Name fur eine Welt.R(w1, w2) Erreichbarkeitsrelation zwischen w1, w2.
Ein Pfad P ist geschlossen,
wenn w; 0 auf dem Pfad P
oder w, A und w;¬A ist auf dem Pfad P (mit gleichem w)
Ein Tableau ist geschlossen, wenn alle Pfade geschlossen sind.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 27, 22. Juni2006
Tableaukalkul fur K
Expansionsregeln:• aussagenlogische Tableauregeln; w bleibt erhalten
•w;3F
R(w, w′) und w′;Fwerden an allen Pfaden durch w;3F angehangt (w′ ist neue Welt)
•w;2F
w′;Fwird an allen Pfaden durch w;2F angehangt, dieR(w, w′) enthalten, aber noch nicht w′;F .
• w;¬2F wird wie w;3(¬F ) behandelt.und w;¬3F wird wie w;2(¬F ) behandelt.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 28, 22. Juni2006
Tableau-Kalkul Beispiel
0;¬(2(F ∧G) ⇒ (2F ∧ 2G))
0;2(F ∧G)
0;¬(2F ∧ 2G)
fffffffffffffffffffffffff
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
0;¬2F 0;¬2G
R(0,1) R(0,2)
1;¬F 2;¬G
1;F ∧G 2;F ∧G
1;F 2;G
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 29, 22. Juni2006
Kalkul Beispiel0;¬(2(F ⇒ G) ⇒ (2F ⇒ 2G))
0;2(F ⇒ G)
0;¬(2F ⇒ 2G)
0;2F
0;¬2G
R(0,1)
1;¬G
1;F
1;F ⇒ G
ffffffffffffffffffffffffffff
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
1;¬F 1;G
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 30, 22. Juni2006
Tableaukalkul fur K: Eigenschaften
Der Tableaukalkul fur K terminiert, ist korrekt und vollstandig
D.h. Das vervollstandigte Tableau ist geschlossen genau dann
wenn man einen K-Widerspruch eingibt.
Begrundung: neu eingefuhrte Formeln sind kleiner als bereits vorhandeneDie Lange der R-Ketten is beschrankt.
Wenn das vollstandige Tableau nicht geschlossen ist:
nicht-geschlossene Pfade reprasentieren Modelle der Formel
bzw. Gegenbeispiele (der Formel vor der Negation)
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 31, 22. Juni2006
Tableau liefert Modell
Betrachte A ⇒ 2A:
0;¬(A ⇒ 2A)
0;A
0;¬(2A)
R(0,1)
1;¬A
Das Modell kann man direkt ablesen.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 32, 22. Juni2006
Modallogik: Rahmen-Axiome
Korrespondenztheorie:
Charakterisierung einer (Modal-Logik) durch Rahmenaxiome
Man definiert Modallogikvarianten
mittels Eigenschaften der zulassigen Rahmen.
Meist: Eigenschaften der Erreichbarkeitsrelation
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 33, 22. Juni2006
Modallogik: Rahmen-Axiome
Name der Modallogik Eigenschaft der Relation(des Axioms) im Rahmen (W, R)K R ist beliebigT R ist reflexivK4 R ist transitivS4 R ist reflexiv und transitivB R ist symmetrischS5 R ist reflexiv, transitiv und symmetrisch5 R ist euklidischD R ist seriell (unbeschrankt)D4 R ist seriell und transitivS4.2 R ist reflexiv, transitiv und konfluentGrz R: jede unendliche R-Kette w1 R w2 . . . hat
nur endliche viele wi.Aussagenlogik es gibt genau eine Welt w0, und w0 R w0
gilt
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 34, 22. Juni2006
Relations-Eigenschaften
reflexiv ∀w : R(w, w)transitiv ∀w1, w2, w3 : w1 R w2 ∧ w2 R w3 ⇒ w1 R w3symmetrisch ∀w1, w2 : w1 R w2 ⇒ w2 R w1seriell ∀w∃w′ : w R w′
euklidisch ∀w1, w2, w3 : w1 R w2 ∧ w1 R w3 ⇒ (w2 R w3)konfluent (falls R reflexiv und transitiv)
∀w1, w2, w3 : (w1 R w2 ∧ w1 R w3)⇒ (∃w4 : w2 R w4) ∧ w3 R w4
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 35, 22. Juni2006
Tautologien einer Logik
Beispiel
Die Tautologien der Logik K4 sind
genau die modallogischen Formeln F , so dass
∀k : k |= F fur alle Interpretationen k gilt,
die einen K4-Rahmen haben,
d.h. deren Erreichbarkeitsrelation transitiv ist.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 36, 22. Juni2006
Abhangigkeiten zwischen den Logiken
K
T
K4D
S4
D4
B
DB
S5
Aussagenlogik
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 37, 22. Juni2006
Axiomenschemata
Name (alt. N) Formel AnwendungK 2(F ⇒ G) ⇒ (2F ⇒ 2G)T (M) 2F ⇒ F epistemischD 2F ⇒ 3F deontisch4 2F ⇒ 22F Zeit; WissenB F ⇒ 23F5 (E) 3F ⇒ 23F WissenM (G) 23F ⇒ 32FL (H, Lem0) 2((A ∧ 2A) ⇒ B) ∨ 2((B ∧ 2B) ⇒ A)
3 (H, H+0 , Lem) 2(2A ⇒ B) ∨ 2(2B ⇒ A)
2 (G) 32F ⇒ 23F ZeitG (W) 2(2F ⇒ F ) ⇒ 2FDum 2(2(F ⇒ 2F ) ⇒ F ) ⇒ (32F ⇒ 2F )Grz 2(2(F ⇒ 2F ) ⇒ F ) ⇒ F )
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 38, 22. Juni2006
Axiomenschemata: Erlauterungen
epistemische und deontische Logiken
Name Formel ErklarungT 2F ⇒ F Was ich weiß, das giltD 2F ⇒ 3F
2F ⇒ ¬2¬F Wenn ich F glaube, dann glaube ich das Ge-
genteil nicht4 2F ⇒ 22F Wenn ich F weiß, dann weiß ich dass ich F
weiß(Positive Introspektion)
5 3F ⇒ 23F¬2F ⇒ 2¬2F wenn ich F nicht weiß, dann weiß ich dass ich
F nicht weiß.(Negative Introspektion)
(Axiome sind teilweise umgeformt)
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 39, 22. Juni2006
Allgemeiner Tableau-Kalkul fur L mit
Hornklauseltheorie fur R• aussagenlogische Tableauregeln; w bleibt erhalten
•w;3F
R(w, w′) und w′;Fwerden an allen Pfaden durch w;3F angehangt(w′ ist neue oder bereits im Pfad vorkommende Welt)
•w;2F
w′;Fwird an allen Pfaden durch w;2F angehangt, dieR(w, w′) enthalten, aber noch nicht w′;F .
• R(w1, w2) wird am Pfad P angehangt,wenn es aus den R-Axiomen und den R-Relationen im Pfad folgt.
• w;¬2F wird wie w;3(¬F ) behandelt.und w;¬3F wird wie w;2(¬F ) behandelt.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 40, 22. Juni2006
Generischer Tableau-Kalkul TKL
Optimierungsversuch: Fallunterscheidungen vermeiden
Eine Logik L wird festgehalten.
Pro Logik ist ein spezieller Algorithmus erforderlich, der geschlossene
Pfade erkennt.
Ein Tableau ist ein Baum mit Knoten p;F
p: R-Sequenz: Folge von Termen (mit Variablen), die die Er-
reichbarkeit reprasentierenTerme reprasentieren Interpretationen (Welten)
F Formel ist gultig in der Endwelt von p.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 41, 22. Juni2006
Generischer Tableau-Kalkul
R-Sequenzen
Anmerkungen:
Beispiel fur R-Sequenzen: 0 oder 0 · x · g(x)
Achtung: die R-Sequenz 0 · . . . · x sagt noch nicht aus,
dass eine Instanz fur x existiert
Die Eigenschaften der Erreichbarkeitsrelation
durfen benutzt werden.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 42, 22. Juni2006
Kalkul Beispiel
0;¬(2(F ∧G) ⇒ (2F ∧ 2G))
0;2(F ∧G)
0;¬(2F ∧ 2G)
0 · x;F ∧G
0 · x;F
0 · x;G
ffffffffffffffffffffffffffff
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
0;¬2F 0;¬2G
0 · a;¬F 0 · b;¬G
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 43, 22. Juni2006
Kalkul Beispiel (2)
Das Tableau im Beispiel ist geschlossen; (Definition folgt)
Disjunktion nur bei geschlossenen R-Sequenzen erlaubrt.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 44, 22. Juni2006
Invarianten von R-Sequenzen
Fur R-Sequenzen p gilt (aufgrund der Erzeugung):
Wenn p = t1 . . . tk · x · . . ., dann gilt:
• In jeder R-Sequenz q = s1 . . . sj · x, . . . des Tableaus istj = k und s1 . . . sj = t1 . . . tk
• x kommt nicht in t1 . . . tk vor.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 45, 22. Juni2006
Zur Definition geschlossener Pfade
Fixiere Logik L
P Tableaupfad:RS(P ): Menge der R-Sequenzen p in Tableaupfad P .
Erzeugung von Erreichbarkeitsrelationen Q(P ) im Pfad P :
• Falls t1 · . . . · tn ∈ RS(P ), tn keine Variable,σ Grundsubstitution,und 0 R σ(t1), . . . , σ(tn−2) R σ(tn−1) ∈ Q(P );dann auch σ(tn−1) R σ(tn) ∈ Q(P ).
• Wenn Q(P ) |=L s R t fur Grundterme s, tdann auch s R t ∈ Q(P )
Q(P ) besteht aus allen herleitbaren Grund-Relationen
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 46, 22. Juni2006
Test von Eigenschaften von R-Sequenzen
Gegeben: L, P und Q(P ):
1. σ(p) ist L-Instanz von p = t1 · . . . · tn,wenn σ Grundsubstitution ist,
wenn 0 R σ(t1) in Q(P ), und
σ(ti) R σ(ti+1) ∈ Q(P ) fur i = 1, . . . , n− 1,
2. p ist L-erfullbar, wenn es eine L-Instanz von p gibt.
3. p und q sind L-kompatibel,wenn es Grundinstanzen p′ und q′ von p und q bzgl Q(P )
gibt, so dass p′ und q′ die gleiche End-Welt haben.
Notwendig: Algorithmen fur diese Eigenschaft in jeder Logik L.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 47, 22. Juni2006
geschlossene Pfade und Tableaus
Gegeben: Logik L
Definition Ein Pfad P ist L-geschlossen, gdw.
es gibt zwei markierte Formeln p, F und q, G auf P , so dass
p, q L-kompatibel bzgl P
und F, G sind L-komplementare Literale (Formeln).
Oder p; 0 ist auf dem Pfad, und p ist L-erfullbar.
Ein Tableau ist L-geschlossen,
gdw alle Pfade L-geschlossen sind
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 48, 22. Juni2006
Tableau-Expansionregeln fur TKL
p;¬¬F
p;F
p;α
p;α1p;α2
p;β
p;β1 | p;β2p enthalt keine Variablen
p;β
p′;βp′ ist L-Instanz von p im Pfad
p;3F
p · f(x1, . . . , xn);Ff ist neu und xi sind die Variablen in p
p;2F
p · x;Fx ist neue Variable
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 49, 22. Juni2006
Optimierte Algorithmen fur Logiken K, D, B, T,
S4, S4.2, S5
Logik K: Keine Bedingungen an die Relation.
Kompatibel-Test: Unifikation der R-Sequenzen als n-Tupel+ K-Erfullbarkeitstest
Der Test auf geschlossenes P kann polynomiell implementiert werden.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 50, 22. Juni2006
Beispiele fur K mit Test
Distributivitat von 2 uber ∧.
0;¬(2(F ∧G) ⇒ (2F ∧ 2G))
0;2(F ∧G)
0;¬(2F ∧ 2G)
0 · x;F ∧G
0 · x;F
0 · x;G
fffffffffffffffffffffffffffff
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
0;¬2F 0;¬2G
0 · a;¬F 0 · b;¬G
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 51, 22. Juni2006
Beispiele fur K
Distributivitat von 2 uber ∧ (andere Richtung)
0;¬((2F ∧ 2G) ⇒ 2(F ∧G)) 0;2G
0; (2F ∧ 2G) 0 · x;F
0;¬2(F ∧G) 0 · y;G
0;2F
66lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
0 · a;¬(F ∧G)
jjjjjjjjjjjjjjj
TTTTTTTTTTTTTTT
0 · a;¬F 0 · a;¬G
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 52, 22. Juni2006
Beispiele fur KDistributivitat von 2 uber ∨ gilt nur in einer Richtung.
0;¬(2(F ∨G) ⇒ (2F ∨ 2G)) 0 · a;¬F
0;2(F ∨G) 0 · b;¬G
0;¬(2F ∨ 2G) 0 · a;F ∨G
0 · x;F ∨G 0 · b;F ∨G
jjjjjjjjjjjjjjj
QQQQQQQQQQQQQ
0;¬2F 0 · a;F 0 · a;G
mmmmmmmmmmmmm
RRRRRRRRRRRRR
0;¬2G
::uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu
geschlossen 0 · b;F 0 · b;G
Modell? geschlossen
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 53, 22. Juni2006
Beispiele in K
Die andere Richtung der Distributivitat 2 uber ∨ gilt:
0;¬((2F ∨ 2G) ⇒ 2(F ∨G)) 0 · a;¬F
0; (2F ∨ 2G) 0 · a;¬G
nnnnnnnnnnnnn
PPPPPPPPPPPPP
0;¬2(F ∨G) 0;2F 0;2G
0 · a;¬(F ∨G)
77nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
0 · x;F 0 · y;G
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 54, 22. Juni2006
Lob’s Axiom impliziert Transitivitat
Lobs Axiom ist 2(2F ⇒ F ) ⇒ 2F .
Instanz F = (P ∧ 2P )
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 55, 22. Juni2006
Lob’s Axiom impliziert Transitivitat: Tableau
0;¬((2(2(P ∧ 2P ) ⇒ (P ∧ 2P )) ⇒ 2(P ∧ 2P )) ⇒ (2P ⇒ 22P ))0; (2(2(P ∧ 2P ) ⇒ (P ∧ 2P )) ⇒ 2(P ∧ 2P ))
0;¬(2P ⇒ 22P )0;2P
0;¬22P0 · x;P
0 · a;¬2P0 · a · b;¬P
0;¬2(2(P ∧ 2P ) ⇒ (P ∧ 2P ))0 · c;¬(2(P ∧ 2P ) ⇒ (P ∧ 2P ))
0 · c;2(P ∧ 2P )0 · c;¬(P ∧ 2P )
0 · c;¬Pgeschlossen mit x 7→ c
0;2(P ∧ 2P )0 · y;P ∧ 2P
0 · y;P0 · y;2P0 · y · z;P
geschlossen mit y 7→ a, z 7→ b
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 56, 22. Juni2006
Algorithmen fur Logik D
D: Von jeder Welt aus gibt es stets eine erreichbare Welt(R terminiert nicht).
• alle R-Sequenzen sind D-erfullbar• p1 und p2 sind D-kompatibel, wenn sie unifizierbar sind.• Berechenbar in O(n)
Hullenberechnung Q(P ) analog zur K
Zusatz: Man darf Skolemisieren im Fall t R x (siehe Skript)
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 57, 22. Juni2006
Beispiele fur Logik D
Das Axiom 2F ⇒ 3F gilt in D:
0;¬(2F ⇒ 3F )0;2F0;¬3F0 · x;¬F0 · y;F
Das Tableau ist geschlossen,
da 0 · x und 0 · y mit x 7→ y gleichgemacht werden konnen,
und da es in D von jeder Welt aus, insbesondere von der initialen Welt
0 aus, eine weitere gibt.
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Beispiele fur Logik D
¬20 ist eine D-Tautologie:
0;¬¬200;200 · x; 0
Ist geschlossen, da in D alle R-Sequenzen erfullbar sind.
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Beispiele fur Logik D
A ⇒ 3A ist keine D-Tautologie:
0;¬(A ⇒ 3A)
0;A
0;¬3A
0 · x;¬A
Ist nicht geschlossen.
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Logik T
T : Die Relation R ist reflexiv.
Es gilt :• Alle R-Sequenzen sind T -erfullbar.• der T -kompatibel-Test von p1 und p2 ist
analog zu Unifikation unter Ausnutzung der Reflexivitat von R:Unifiziere die R-Sequenzen von links nach rechts;Als Rateschritt ist eine Einfugung t R t erlaubt.
Z.B. wurde 0 · x · y mit 0 · a unifizieren durch x = y = a.
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Logik B
R ist symmetrisch.
Q(P ) endlich, wenn Entferung 0 – w nicht großer als maximale R-
Sequenzlange.
Kompatibilitatstest: Nutze Symmetrie aus und benutze Q(P ) zum Test
der Erfullbarkeit.
zB 0 · x · g(x) · y und 0 · a sind kompatibel.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 62, 22. Juni2006
Logik S4
Die Relation R ist reflexiv und transitiv.
Alle Pfade sind S4-erfullbar.
Q(P ) kann unendlich sein
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 63, 22. Juni2006
Beispiel in S4
In S4 ist nicht beweisbar: 23F ⇒ 32F (das M-Axiom)
0;¬(23F ⇒ 32F )0;23F0;¬32F dies entspricht 23¬F0 · x, 3F0 · y, 3¬F0 · x · a(x), F0 · x · b(x),¬F
Die letzten beiden Welten a(x), b(x) lassen sich nicht gleichmachen,
sind also nicht S4-kompatibel.
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Beispiel in S4
In S4 gilt: 32F ⇒ 323F :
0;¬(32F ⇒ 323F )0;32F
0;¬323F0 · a;2F0 · a · x;F
0 · y;¬23F0 · y · b(y);¬3F0 · y · b(y) · z;¬F
Dieses Tableau lasst sich schließen:
a · x;F und y · b(y) · z,¬F werden dann widerspruchlich.
S4-Instanziierung : y 7→ a, x 7→ b(a), z 7→ b(a).
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 65, 22. Juni2006
Beispiel in S4
Zeige, dass in S4 323F ⇒ 3F gilt.
0;¬(323F ⇒ 3F )0;323F0;¬3F0 · x,¬F0 · a, 23F0 · a · y, 3F
0 · a · y · b(y), F
Ist geschlossen, da b() von 0 aus erreichbar, bzw. 0 · x und 0 · a · y · b(y)S4-kompatibel sind.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 66, 22. Juni2006
Beispiel in S4
32F ⇒ 2F ist nicht in S4 beweisbar:
0;¬(32F ⇒ 2F )0;32F0;¬2F0 · a;¬F0 · b;2F0 · b · x;F
Ist nicht geschlossen, da die R-Sequenzen 0 · a und 0 · b · x nicht kom-
patibel in diesem Pfad sind.
Instanziierung x 7→ a nicht erlaubt, da b R a nicht gelten muss (nicht
in Q(P )).
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 67, 22. Juni2006
Tableaukalkul terminiert nicht fur S4
0;¬(2(2(F ⇒ 2F ) ⇒ F ) ⇒ F )0;2(2(F ⇒ 2F ) ⇒ F )
0;¬F0x; (2(F ⇒ 2F ) ⇒ F )00; (2(F ⇒ 2F ) ⇒ F )
00;¬2(F ⇒ 2F ) 00;F00a;¬(F ⇒ 2F ) geschlossen
00a;F00a;¬2F00ab;¬F
(Transitivitat und Instanz)0b;¬2(F ⇒ 2F ) 0b;F0bc;¬(F ⇒ 2F ) geschlossen
0bc;F0bc;¬2F0bcd;¬F
. . .
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Logik S5: Algorithmen
Die Relation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv (Aquivalenzrelati-
on).
Alle Pfade sind S5-erfullbar.
Kompatibilitatstest: Betrachte Paare der Endwelten der R-Sequenzen.
R-Sequenzen sind S5-kompatibel in folgenden Fallen:
(r, s), (r, x), (x, y), oder (x, r) und x 6∈ FV (r),
r, s unifizierbar.
(r, s) kann nur vorkommen, wenn vorher instanziiert wurde
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 69, 22. Juni2006
Beispiele
In S5 (auch in S4) gilt: 3(F ∨3G) ⇒ 3F ∨3G:
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 70, 22. Juni2006
0;¬(3(F ∨3G) ⇒ 3F ∨3G)
0;3(F ∨3G)
0;¬(3F ∨3G)
0 · a;F ∨3G
0;¬3F
0;¬3G
0 · x;¬F
0 · y;¬G
ffffffffffffffffffffffffffffffff
ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ
0 · a;F 0 · a;3G
geschlossen 0 · a · b, G
geschlossen, da R transitiv
Beispiel in S5
In S5 ist ebenfalls nicht beweisbar: 23F ⇒ 32F (das M-Axiom)
(Tableau wie bzgl S4):
0;¬(23F ⇒ 32F )0;23F0;¬32F dies entspricht 23¬F0 · x, 3F0 · y, 3¬F0 · x · a(x), F0 · x · b(x),¬F
Die letzten beiden Welten a(x), b(x) lassen sich nicht gleichmachen,sind also nicht S5-kompatibel.
Beachte: In S5 schrumpft das M-Axiom zu 3F ⇒ 2F
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 72, 22. Juni2006
Beispiel in S5
In S5 gilt: 3(F ∨ 2G) ⇒ 3F ∨ 2G
Beachte: In S4 gilt diese Formel nicht.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 73, 22. Juni2006
0;¬(3(F ∨ 2G) ⇒ 3F ∨ 2G)
0;3(F ∨ 2G)
0;¬(3F ∨ 2G)
0 · a;F ∨ 2G
0;¬3F
0;¬2G
0 · x;¬F
0 · b;¬G
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY
0 · a;F 0 · a;2G
geschlossen 0 · a · y;G
geschlossen
Normalformen in der Logik S5
In der Logik S5 gilt:
Alle Formeln lassen sich in eine Normalform bringen,
mit folgenden Eigenschaften: Negationszeichen sind direkt vor aussa-
genlogischen Variablen
Es gibt UND-ODER-Verknupfung oberhalb und unterhalb der Modal-
operatoren
Modaloperatoren kommen nicht mehr unter anderen Modaloperatoren
vor.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 75, 22. Juni2006
Normalform-Transformationen in der Logik S5
1. Negation nach innen:
¬¬F → F¬2F → 3¬F¬3F → 2¬F¬(F ∨G) → ¬F ∧ ¬G¬(F ∧G) → ¬F ∨ ¬G
2. Weitere Transformationen (Symmetrie beachten).
(a)
22F → 2F32F → 2F23F → 3F33F → 3F
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 76, 22. Juni2006
(b)
3(F ∨G) → 3F ∨3G3(F ∧3G) → 3F ∧3G3(F ∧ 2G) → 3F ∧ 2G
(c)
2(F ∧G) → 2F ∧ 2G2(F ∨3G) → 2F ∨3G2(F ∨ 2G) → 2F ∨ 2G
Modalitaten in S4
In S4 gibt es nur folgende 7 Modalitaten: andere sind aquivalent dazu:
22F ⇔ 2F33F ⇔ 3F3232F ⇔ 32F2323F ⇔ 23F
und folgende Implikationen gelten:
F
F
F
F
F
F
F
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Anwendungen in der Zeitlogik (temporale
Logik)
1. in deterministischer (linearer) Zeit: Logik S4.3.1.
2F von jetzt ab gilt stets F .3F irgendwann gilt F
2. verzweigende Zeit (nichtdeterministische Prozesse)2F von jetzt ab gilt stets F3F es ist moglich, dass F in der Zukunft gilt.
(bzw. Es gibt einen moglichen Ablauf des Prozesses, so
dass irgendwann in der Zukunft F gilt.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 79, 22. Juni2006
lineare, diskrete, deterministische Zeit
S4-Kalkul ist anwendbar.
In linearer Zeit gilt z.B. folgendes (euklidische) Axiom:
(3F ∧3G) ⇒ (3(F ∧3G) ∨3(F ∧G) ∨3(3F ∧G)
D.h. Zwei Ereignisse E1, E2 entweder gleichzeitig, oder E1 vor E2 oder
E2 nach E1.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 80, 22. Juni2006
Weitere Modaloperatoren
Vergangenheitsoperatoren: Diese sind dual 2, 3
2 = G gilt ab jetzt immer3 = F gilt irgendwann in der Zukunft2P = H galt immer in der Vergangenheit3P = P galt irgendwann in der Vergangenheit
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 81, 22. Juni2006
Weitere Modaloperatoren: Zusammenhange
(die”K-Axiome der Zeit“):
2(F ⇒ G) ⇒ (2F ⇒ 2G)2P (F ⇒ G) ⇒ (2PF ⇒ 2PG)F ⇒ 22PFF ⇒ 2P2F
Fur lineare Zeit braucht man dann auch das duale Axiom:
(3PF ∧3PG) ⇒ (3P (F ∧3PG) ∨3P (F ∧G) ∨3P (3PF ∧G)
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 82, 22. Juni2006
Beispiel in einer linearen, diskreten Zeit
Wenn Brasilien Fußballweltmeister ist, und immer wenn Brasilien Fuß-
ballweltmeister ist, ist irgendwann Deutschland wieder Fußballweltmei-
ster ist immer wenn Deutschland Fußballweltmeister ist, ist irgendwann
Brasilien wieder Fußballweltmeister,
dann gilt zu jedem zukuftigen Zeitpunkt, dass danach irgendwann
Deutschland wieder Fußballweltmeister ist.
Axiome:
B,
2(¬B ∨ ¬D)
2(B ⇒ 3D)
2(D ⇒ 3B)
Behauptung: 23D
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 83, 22. Juni2006
Beispiel in einer linearen, diskreten Zeit
0;B
0;2(¬B ∨ ¬D)
0;2(B ⇒ 3D)
0;2(D ⇒ 3B)
0;32¬D
0 · a;2¬D a als minimaler Zeitpunkt
0 · a · x;¬D
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 84, 22. Juni2006
Beispiel in einer linearen, diskreten Zeit
0 · y;B ⇒ 3D
jjjjjjjjjjjjjjjj
0 · 0;¬B 0 · 0;3D Instanz y 7→ 0
0 · b;D 0 < b mit Teiltableau
0 · z;D ⇒ 3B
jjjjjjjjjjjjjjj
0 · b;¬D 0 · b;3B Instanz z 7→ b
0 · b · c;B b < c
0 · c;B ⇒ 3D
jjjjjjjjjjjjjjjjInstanz y 7→ c
0 · c;¬B 0 · c;3D
0 · c · d;D c < d
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 85, 22. Juni2006
Beispiel WM
Jetzt muss man Fallunterscheidung machen nach a < d, a = d, a > d.
Wenn a ≤ d, dann sind 0 · c · d;D und 0 · a · x;¬D widerspruchlich.
Wenn a > d, dann kann man mit der Minimalitat von a argumentieren.
Dazu mussen die Formeln 2 – 4 verschiebbar in der Zeit sein.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 86, 22. Juni2006
Beispiel: Tautologie bei linearer Zeit
(32F ∧32G) ⇒ 32(F ∧G)
Intuitiv: Wenn ab einem Zeitpunkt stets F gilt,
und ab einem Zeitpunkt stets G gilt,
dann gibt es auch einen Zeitpunkt,
ab dem stets beides, namlich F ∧G gilt.
(Dies gilt nicht fur verzweigende Zeit)
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 87, 22. Juni2006
Beispiel: Tableau
0;¬((32F ∧32G) ⇒ 32(F ∧G))0;32F0;32G0;¬32(F ∧G)0 · a;2F0 · b;2G0 · a · x;F0 · b · y;G0 · u;¬2(F ∧G)0 · u · c;¬(F ∧G)
a = b a < b b < a0 · a · c;¬F 0 · a · c,¬G 0 · b · c,¬F 0 · b · c,¬G 0 · a · c,¬F 0 · a · c,¬G
geschl. geschl. geschl. geschl. geschl. geschl.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 88, 22. Juni2006
Axiome fur dichte Zeit
3F ⇒ 33F
zwischen zwei Zeitpunkten gibt es immer noch einen weiteren.
KI, SS 06, Folien Modal, Seite 89, 22. Juni2006