N amenverzeichnis

Abel, Niels Henrik (1802-1829) 20,80,87 Abhyankar, Sheeram 88 Abu Kiimil (ca. 85O-ca. 930) 27 Adams, J. Frank 251 Ahmes (ca. 1900 v. Chr.) 102 Albert von Sachsen (1316-1390) 298 d'Alembert, Jean Ie Rond (1717-1783) 74,

79, 83, 84, 89 Alexander, James Waddell (1888-1971) 239 Alexandroff, Paul (1896-1982) 183 Apollonios (2. Halfte d. 3. Jh. v. Chr.) 103 Araybhata (geb. 476 n. Chr.) 103 Archimedes (287-212 v. Chr.) 26, 27, 101,

102, 103 Archytas von Tarent (428-365 v. Chr.) 37 Argand, Jean Robert (1768-1822) 3,49, 55,

79, 83, 88, 89 Aristoteles (384--322 v. Chr.) 11, 23, 29, 31,

121 Artin, Emil (1898-1962) 187 Atiyah, Michael Francis (1929-) 242,251

Bachmann, Paul Gustav Heinrich (1837-1920) 29,37

Baltzer, Richard (1818-1887) 104, 105 Banach, Stefan (1892-1945) 316 Beckmann, Petr 10 1 Bernays, Paul J. (1888-1977) 313 Bernoulli, Jakob (1654--1705) 28, 120 Bernoulli, Johann (1667-1748) 28, 114, 120 Bernoulli, Nikolaus (1687-1759) 81 Berzelius, Jons Jakob (1779-1848) 90 Bessel, Friedrich Wilhelm (1784--1846) 49,

90 Bezout, Etienne (1739-1783) 53 Boetius (ca. 480-524 n. Chr.) 103 Bolyai, Wolfgang (1775-1856) 52 Bolzano, Bernhard (1781-1848) 14, 20, 29,

37, 52, 298, 318 Bombelli, Rafael (1526-1572) 45,47,82 Boole, George (1815-1864) 309

Borel, Emile (1871-1956) 41 Bott, Raoul (1923-) 4, 233, 241, 244, 245,

249 Bourbaki, Nicolas 15,97 Brahmagupta (598-nach 665) 12 Brouncker, Lord W. (1620-1684) 123 Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881-1966)

29,239,306 Burali-Forti, Cesare (1861-1931) 305, 312

Cantor, Georg (1845-1918) 2, 5, 13, 15, 29, 30, 33, 35, 124, 298, 299, 300, 304, 305, 306, 311, 317, 318

Cardano, Geronimo (1501-1576) 2, 12,46, 80,82

Cartan, Henri (1904--) 42 Cauchy, Augustin Louis (1789-1857) 28,29,

33, 37, 51, 58, 74, 76, 87, 88, 89, 91, 106 Cayley, Arthur (1821-1895) 72, 149, 159,

161, 175,177,181,182,205,214 Chrystal, George (1851-1911) 88 Clausen, Thomas (1801-1885) 68 Clifford, William Kingdon (1845-1879) 182 Cohen, Paul J. (1934--) 299, 316 Conway, John H. 5, 276, 277, 278, 288, 297,

309 Copson, Edward Thomas (1901-) 57 Cotes, Roger (1682-1716) 78 Crowe, Michael J. 158

Daguerre, Louis Jacques Mande (1787-1851) 90

Dedekind, Richard (1831-1916) 2, 9, 13, 14, 15, 17, 18,20,23,29,30,33,52,59,63,97, 149, 151, 154, 276, 278, 297, 299, 300, 303, 305, 306,314,318

Degen, Carl Ferdinand (1766-1825) 214 Descartes, Rene (1596-1650) 12, 18, 28, 47,

81 Dickson, Leonhard Eugene (1874--1954) 214 Dieudonne, Jean (1906-) 80, 125

322 Namenverzeichnis

Diophantos von Alexandria (2. Halfte d. 3. Jh. n. Chr.) 61

Durer, Albrecht (1471-1528) 102

Eckmann, Beno (1917-) 183,227,231,251 Edwards Jr., Charles Henry (1937-) 255,

275 Eilenberg, Samuel 168 Engel, Friedrich (1861-1941) 157 Estermann, T. 92 Eudoxos von Knidos (400-347 v. Chr.) 26,

29 Euklid (ca. 295 v. Chr.) 1, 11, 24, 26, 27, 39 Euler, Leonhard (1707-1783) 28,38,45,48,

49, 54, 56, 58, 72, 74, 76, 81, 83, 84, 85, 87, 89, 101, 106, 107, 111, 116, 118, 120, 123, 157, 172, 180

Eurytos 11 Eutokios (geb. ca. 480 n. Chr.) 103

Fermat, Pierre de (1601-1665) 172,220,316 Ferrari, Ludovico (1522-1565) 12 del Ferro, Scipio (1465-1526) 12 de Foncenex, Daviet (1734-1799) 87 FraenkeJ, Adolf Abraham (1891-1965) 5,

306, 309 Frege, Gottlob (1848-1925) 13, 15,29, 305,

307, 318 Fresnel, Augustin Jean (1788-1827) 52 Frobenius, Georg (1849-1917) 4,86, 105,

182, 187, 188, 189, 220

Galois, Evariste (1811-1832) 20 GauB, Carl Friedrich (1777-1855) 3, 12,49,

51, 52, 53, 54, 55, 79, 80, 83, 84, 86, 89, 95, 97,98,99, 149, 157, 172, 182,220

Gay-Lussac, Louis Joseph (1778-1850) 90 Gelfand, Izrail' Moiseevich (1913-) 4, 184,

202 Gelfond, Alexandr Osipovich (1906-1968)

125 Gibbs, Josiah Williard (1839-1903) 164 Girard, Albert (1595-1632) 80 GOdel, Kurt (1906-1978) 30,299, 306, 313,

316, 318 von Goethe, Johann Wolfgang (1749-1832)

5,100 Goldbach, Christian (1690-1764) 82, 157,

172,317 Gordon, I. 239 Grassmann, Hermann Gunther (1809-1877)

157, 164, 182

Grauert, Hans (1930-) 140 Graves, John T. 149, 156, 182, 205, 214 Gregory, James (1638-1675) 104 Grimm, Jacob (1785-1863) 90 Grothendieck, Alexander (1928-) 249

Hadamard, Jacques S. (1865-1963) 118, 239 Hamel, Georg (1877-1954) 316 Hamilton, William Rowan (1805-1865) 5,

51, 53, 54, 97, 149, 154, 155, 162, 164, 166, 172, 175, 178, 182, 183, 205, 211, 219

Hankel, Hermann (1839-1873) 20, 51, 79, 86, 89, 97, 149

Happel, Dieter 189 Hardy, Godfrey Harold (1877-1947) 106 Harriot, Thomas (1560[?)-1621) 81 Hasse, Helmut (1898-1979) 135 Hausdorff, Felix (1868-1942) 315 Hensel, Kurt (1861-1941) 3, 126 Hermite, Charles (1822-1901) 124 Hilbert, David (1862-1943) 39, 124, 219,

300,306,317,319 Hill, Thomas 158 Hippasus von Metapont (2. Viertel d. 5. Jh.

v. Chr.) 23, 24 Hirsch, Morris W. (1933-) 93 Hirzebruch, Friedrich Ernst Peter (1927-)

242 Holder, Ludwig Otto (1859-1937) 42 Hopf, Heinz (1894-1971) 4, 183, 190, 194,

195, 233, 234, 235, 238, 239, 240, 241, 248, 249,250

L'Hospital, Guillaume-Fran~ois-Antoine de (1661-1704) 257

Huizinga, J. 297 von Humboldt, Alexander (1769-1859) 90 Hurwitz, Adolf (1859-1919) 4,64,124,219,

221,226, 234, 251 Husserl, Edmund (1859-1938) 305 Huygens, Christiaan (1629-1695) 48 al-ijwarizmI (Anfang des 9. Jh. n. Chr.)

103

Jacobi, Carl Gustav Jacob (1804-1851) 87, 90

Jannsen, Uwe (1954-) 144 Juschkewitsch, Adolf Pavlowitsch (1906-)

101

Kant, Immanuel (1724-1804) 52 Kaplansky, Irving (1917-) 224 al KaSi (gest. 1429) 103

Kastner, Abraham Gotthelf (1719-1800) 89

Keisler, H. Jerome 275 Kelley, John L. 313, 319 Lord Kelvin (Thomson, William) (1824-

1907) 158, 162 Kervaire, Michael A. 4, 233, 242 Klein, Felix (1849-1925) 157, 167,219 Kneser, Adolf (1862-1930) 85 Kneser, Hellmuth (1898-1973) 93, 98, 99 Kneser, Martin (1928-) 93, 109 Knopp, Konrad (1882-1957) 88, 105, 106,

116 Knuth, Donald Ervin (1938-) 297 Kolmogoroff, Andrei Nikolaevich (1903- )

239 Kronecker, Leopold (1823-1891) 9, 18,20,

51, 105, 219, 306, 319 Kummer, Ernst Eduard (1810-1893) 299 Kuratowski, Kazirnierz (1896-1980) 301

Lagrange, Joseph Louis (1736-1813) 84,85, 89, 98, 99, 172, 220

Lambert, Johann Heinrich (1728-1777) 121, 123

Landau, Edmund (1877-1938) 16, 17,20, 21, 32, 88, 105

Laplace, Pierre Simon de (1749-1827) 3,79, 84, 85, 89, 97, 99

Laurent, Pierre Alphonse (1813-1854) 105 Lebesgue, Henri Leon (1875-1941) 316 Lefschetz, Solomon (1884-1972) 238,239 Legendre, Adrien-Marie (1752-1833) 122,

123, 124, 219 Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716) 23,

28, 29, 31,45,48, 76, 81, 86, 104, 106, 114, 116, 255, 257

Leonardo von Pisa (1170-1240[?]) 12, 103 Lessing, Gotthold Ephraim (1729-1781) 298 Levi, Beppo (1875-1961) 314 von Lindemann, Carl Louis Ferdinand

(1852-1939) 124 Liouville, Joseph (1809-1882) 124 Lipschitz, Rudolf (1832-1903) 29, 33, 64, 88 Liszt, Franz (1811-1886) 90 Littlewood, John Edensor (1885-1977) 92 Liu Hui (urn 250 n. Chr.) 103 Lobatschewski, Nikolai (1793-1856) 89 Ludolph van Ceulen (1540-1610) 103

Machin, John (gest. 1751) 117 Malcev, A. I. (1909-1967) 231

Namenverzeichnis 323

von Mangoldt, Hans Carl Friedrich (1854-1925) 88

Massey, W. S. 232 Mazur, Stanislaw (1905-1981) 4, 183,201,

202 Mendelssohn-Bartholdy, Felix (1809-1847)

90 Meray, Charles (1835-1911) 29, 33 Milnor, John W. (1931-) 4, 233, 239, 242,

249 Minkowski, Hermann (1864--1909) 105, 135,

220 de Moivre, Abraham (1667-1754) 76, 78 Morse, Anthony P. 313 Morse, Marston (1892-1977) 249

Napoleon I. (1769-1827) 84 Narmer (urn 3000 v. Chr.) 9 Nelson, Edward 275 von Neumann, John (1903-1957) 15, 276,

280, 303, 304, 309, 313, 314 Newton, Isaac (1643-1727) 28,47,74,76,

78,98, 104, 106 Niven, Ivan 168 Noether, Emmy (1882-1935) 183,238

Ogmundsson, Vilhjlilmur 224 Ohm, Martin (1792-1872) 20 Ostrowski, Alexander (1893-) 87,95, 201,

202 Otho, Valentin 103 Oughtred, William (1575-1660) 101

Palais, Richard S. 189 Peano, Giuseppe (1858-1932) 13, 17, 304,

314 Peirce, Benjamin (1809-1880) 158, 182 Peirce, Charles Sanders (1839-1914) 183 Perron, Oskar (1880-1975) 123 Pfaff, Johann Friedrich (1765-1825) 84,89 Platon (427-348/347 v. Chr.) 26, 102 Poincare, Henri (1854-1912) 236, 238, 239 Poinsot, Louis (1777-1859) 99 Ptolemaus, Claudius (100-170 n. Chr.) 12,

27,67,103 Pusieux, Victor (1820-1883) 83

Radon, Johann (1887-1956) 227,251 Raleigh, Sir Walter (1552-1618) 81 Remmert, Reinhold (1930-) 140 Riemann, Georg Friedrich Bernhard (1826-

1866) 52, 100, 317

324 Namenverzeichnis

Riese, Adam (1492-1559) 12 Robinson, Abraham (1918-1974) 5,256,257 Rolle, Michael (1652-1719) 78 Roth, Peter (gest. 1617) 80 Rothe, Hermann (1882-1923) 158 Riickert, Friedrich (1788-1866) 90 Rudio, Ferdinand (1856-1929) 101 Russell, Bertrand (1872-1970) 15, 305, 306,

315

Salomo (um 986-926 v. Chr.) 100, 102 Samelson, Hans 238 Schiller, Friedrich (1759-1805) 5, 100 von Schlegel, August Wilhelm (1767-1845)

90 Schneider, Theodor (1911-) 125 Schreier, Otto (1901-1929) 88 Schubert, Hermann Casar Hannibal (1848-

1911) 219 Scott, Dana S. 314 Siegel, Carl Ludwig (1896-1981) 125 Simson, Robert (1687-1768) 69 Skolem, Thoralf (1887-1963) 256,306,307,

308, 309 Smale, Stephen (1930--) 93 Solovay, Robert M. 316, 319 Souslin, M.J. 317,318 Speiser, Andreas (1885-1970) 86 Springer, Tonny Albert (1926-) 196 Stasheff, James D. 249 Steenrod, Norman E. 168,248 Steinitz, Ernst (1871-1928) 20 Stevin, Simon (1548-1620) 27 Stibitz, George R. 53 Stiefel, Eduard (1909-1978) 240, 248 Stifel, Michael (1487-1567) 12,27 Stirling, James (1692-1770) 76 Study, Eduard (1862-1930) 46, 149

Tarski, Alfred (1902-1983) 316 Tartaglia, Niccoli> (1499/1500--1557) 46 Tate, John Torrence (1925-) 140

Theodoros von Kyrene (465-399 v. Chr.) 26 Tieck, Ludwig (1773-1853) 90 Tropfke, Johannes (1866-1939) 46, 101

Ulug Beg (1394-1449) 103

de Valera, Eamon (1882-1975) 158 Varignon, Pierre (1654-1722) 257 Vieta, Fran~ois (1540--1603) 63, 80, 82, 104,

116, 117 Vitali, Giuseppe (1875-1932) 316

van der Waerden, Bartel Leendert (1903-) 47, 158,219

Wallace, William (1768-1843) 69 Wallis, John (1616-1703) 28,49, 101, 104,

116, 119 . Wang Fan (gest. 267 n. Chr.) 103 Wang, Hao 313 Weber, Heinrich (1842-1913) 21 Weber, Wilhelm Eduard (1804-1891) 89 WeierstraJ3, Karl Theodor Wilhelm (1815-

1897) 2, 28, 33, 37, 52, 60, 93, 97, 104, 116, 121, 124, 149, 154, 182, 219, 255

Wessel, Caspar (1745-1818) 49,55 Weyl, Hermann (1885-1955) 26 Whitehead, George William (1918-) 251 Whitney, Hassler (1907-) 239,243, 246, 247,

248,249 Wiener, Norbert (1894-1964) 302 Wingberg, Kay 144 Witt, Ernst (1911-1991) 202

Yaglom, Isaak Moiseevich (1921-) 64

Zermelo, Ernst (1871-1953) 5, 15,298, 300, 303, 304, 305, 306, 307, 309, 311, 314, 315, 319

Zhang Heng (78-139 n. Chr.) 103 Zorn, Max 4,187,205,215,216,315 Zu Chong-Zhi (430--501 n. Chr.) 103, 123 Zuse, Konrad (1910--) 53

Sachverzeichnis

Abbildung, abstandstreue 69 -, <I:-lineare 59 -, differenzierbare 193 -, lokal-topologische 192 -, orthogonale IR-lineare 70, 176 -, IR-lineare 59 -, stetig differenzierbare 194 abelsche Erweiterung 144 Ableitung 193 absolut unendlich 305 Absolutbetrag, p-adischer 135, 136, 137, 142 Abspaltung von Nullstellen 93 Abstand, euklidischer 60 abstandstreue Abbildung von <I: 69 AC 308 "Acht-Quadrate-Satz" 213 Addition von ganzen Zahlen 18 - - komplexen Zahlen 53, 55 - - nattirlichen Zahlen 16 - - rationalen Zahlen 21 - - reellen Zahlen 31, 34, 39 Additionstheorem fUr Binomialkoeffizienten

110, 198 - - die Cosinusfunktion 112 - - - Exponentialfunktion 107, 167 - - - Sinusfunktion 112 aktual unendlich 298 Algebra, alternative 186 -, - quadratische 205 -, assoziative 151 - -Automorphismus 153, 173, 177 -, 2-dimensionale mit Einselement 196 -, eindimensionale reelle 153 - -Endomorphism us 153 - -Epimorphismus 153 - -Homomorphismus 153 - -Isomorphismus 153 -, kommutative 151 - -Monomorphismus 153 -, normierte 197 -, nullteilerfreie 151

-, potenz-assoziative 151, 188 -, quadratische 187 - tiber IR 151 algebraisch abgeschlossen 79 -es Element 96, 123 -e Zahl 96, 123 allgemeines Ubertragungsprinzip 266 Allklasse 312 alternative Algebra 186 - endlich-dimensionale Divisionsalgebra 188 - quadratische Algebra 205 - - nullteilerfreie Algebra 215,216 alternative Mengenlehre 318 Amplitude (einer komplexen Zahl) 74 angeordneter Korper 56 Anordnung, archimedische 21,36 - der ganzen Zahlen 19 - - natiirlichen Zahlen 17 - - rationalen Zahlen 21 - - reellen Zahlen 31 -, lineare 17, 19, 31 -, totale 17, 19, 21, 31, 35 -, vollstiindige 31 Anordnungsrelation 56 Antinomie von BURALI-FoRTI 305 - - RUSSELL 305 Aquivalenzklasse 18, 21 Aquivalenzrelation 18, 21 Arcussinusreihe 104 Arcustangensreihe 116 ARGANDSche Ebene 49 - Ungleichung 91 Argument (einer komplexen Zahl) 74 assoziativ 156, 186 -e Algebra 151 -e nullteilerfreie quadratische Algebra 189 Assoziativgesetz 16, 151 Assoziator 186 Ausgangsstellung eines Spiels 280 Aussage 265 -, Giiltigkeit einer 266

326 Sachverzeichnis

Aussonderungsaxiom 307

Auswahlaxiom 60,308,314 Auswahlfunktion 308 Axiomensystem der Mengenlehre 299,

304 - von ZERMEW 306, 309 - - ZERMELO-FRAENKEL 309

BANACH-Algebra 197 benachbarte Non-Standard Zahlen 256 Betragsfunktion (auf <I:) 58, 60 BE1TIsche Zahl 236, 238 Bewegung (eines euklidischen Vektorraumes)

70 bewerteter Korper 65 Bewertung (eines Korpers) 65 Bilinearform der CAYLEy-Algebra 212 - einer quadratischen Algebra 206 - - - alternativen Algebra 207 -, nieht ausgeartete 223 Binomialkoeffizienten, Additionstheorem flir

110, 198 -, asymptotisehe Formel flir den mittleren

119 binomisehe Reihe 110, 198 Biquaternion 182 BooLEsche Kombination 309 Borrseher Periodizitiitssatz 245, 249 Biindelprojektion 243

CASIMIR-Abbildung 172 Casus irreducibilis 47 CAuCHY-Folge 33, 135, 136 CAuCHY-Konvergenzkriterium 28, 33, 36 CAUCHyprodukt 106 CAuCHYseher Minimumsatz 90, 91 - Reihenproduktsatz 106 CAUCHY-SCHWARZSehe Ungleiehung 64, 163 CAYLEyabbildung 181 CAYLEY-Algebra (der Oktaven) 205, 211 CAYLEYdarstellung eigentlieh orthogonaler

Matrizen 72, 181 CAYLEysehe Zahlen 205, 211 eharakteristisehe Homologieklasse (naeh

STIEFEL) 239,244 - Kohomologieklasse (naeh WHITNEY) 243,

246 CONWAypostulate 291,294 CONWAYspiel 279,281 CoNWAYZahi 291 Cosinusfunktion Ill, 113 Cosinussatz 64, 76

DEDEKINDSehe Postulate 276, 278 DEDEKINDSeher Schnitt 29, 30, 276 "definite" Eigensehaft 307 Dezimalbruehentwicklung 27, 37 Diehte 21, 31 Differential 193, 269 Differentialquotient 269 differenzierbare Selbstabbildung eines Vek-

torraumes 193 Dimension einer Algebra 151 Diophantische Gleiehung 132 direkte Summe von Algebren 152 Distributivgesetz 32, 151 Divergenz 167 Divisionsalgebra, komplexe 162,201 -, reelle 149, 153, 155, 233, 240, 241, 243,

251 -, - assoziative 189 -, - endlieh-dimensionale alternative 188,

216 -, - kommutative 194, 196 Divisionsregel (flir Betriige) 61 Domino-Spiel 281 Doppelverhiiltnis 66 Drehaehse von Drehungen im IR 3 179 Drehung im IR2 70 - - IR3 179

Drehwinkel von Drehungen im IR3 179 Dreieck, Schwerpunkt 65 Dreiecksungieiehung 65, 190 -, versehiirfte 136, 138, 142 Dreier-Identitiit flir alternative quadratisehe

Algebren 209 - - das Quaternionen-Produkt 171 Dreiparteiensystem, Satz vom 65 duale Aussage bei Spielen 283 Durehsehnitt 310

Eigenschaft 301 eigentlieh orthogonal 176 - --e Gruppe von nI 178 - --e Gruppe von Im(nI) 178, 179, 180 - --e lineare Selbstabbildung eines euklidi-

schen Vektorraumes 176 - --e (reelle) Matrix 181 - --e (reelle) 2 x 2 Matrix 71 - --e (reelle) 3 x 3 Matrix 180 - --e (reelle) 4 x 4 Matrix 178 - --e IR-lineare Abbildung von <I: 70 Eigenwert einer <I:-linearen Abbildung 95,

202 Eindeutigkeit von <I: 55,96, 196

Einheitssphare 191 Einheitswurzel 77, 142 -, primitive 77 Eins 11, 12, 13, 16 Einselement einer Algebra 151 Einzigkeitssatz mr die komplexen Zahlen 96 - - - natiirlichen Zahlen 16 - - - Oktaven 216 - - - Quaternionen 189 - - - reellen Zahlen 42 Einzigkeit von ([ 55, 96, 196 elementarsymmetrische Funktion 98 endliche Non-Standard Zabl 256 Endlichkeitsforderung fUr Spiele 281 Endomorphismus des IR-Vektorraumes IH

166 Entwicklung, p-adische 127, 129 Epimorphiesatz fUr die Exponentialfunktion

109 - - - Polarkoordinatenfunktion 73, 115 Ersetzungsaxiom 309 erster Spieler 282, 284 Erweiterung von CQp 141, 142, 144 -, abelsche 144 Erzeugungssatz fUr orthogonale Gruppen

176 Erzwingungsmethode 299, 317 euklidische Lange eines (stetig dift"erenzier-

baren) Weges in ([ 115 - - (in einem Vektorraum) 169, 191 -r Abstand (fdr ([) 60 -r Vektorraum 169, 191 -s Skalarprodukt (fUr ([) 60 EULER-PoINCAllEsche Charakteristik 239 EULERSChe Formel(n) 48, 101, 112 - Parameterdarstellung eigentlich orthogo-

naler 3 x 3 Matrizen 180 - Produktformel fdr den Sinus 118, 119 - Zahl e 38, 107 Existenzaxiom 307 Exponentialbewertung, p-adische 136,137 Exponentialfunktion 100, 106, 167,200 Exponentialhomomorphismus 106 -, Bild des 109 -, Kern des 110 extensionale Auffassung 299, 301 Extensionalitatsaxiom 307

Faktorisierung komplexer Polynome 94 - reeller Polynome 94 k-Feld 240 -, singularer Punkt 240

Sachverzeichnis 327

FERMATsche Vermutung 316, 317 Filter 260 FIacheninhalt eines Kreises 116 Folge 33,35 -, monoton fallende 40 -, - wachsende 40 -, rationale 33 Forcing 299,317 Formel 265 Fundamentalfolge 33 Fundamentalsatz der Algebra 79, 196,

200 - - -, Beweis nach ARGAND 90 - - -, - - LAPLACE 97 - - -, konstruktive Beweise 93 - - - fdr Quaternionen 168 Fundierungsaxiom 309 Funktion 302 FuBpunkt des Lotes von einem Punkt auf

eine Gerade 68

ganze p-adische Zahl 128, 138 GAusssche Zahlenebene 55 geordnetes Paar 301, 310 Geschlossenheitsrelation 136 Gewinnstrategie 282 gewonnene Partie 280 GIRARD, These von 81 Gleichheit von Spielen 288 gleichmachtig 298, 311 gleichwertige Spiele 284 GoLDBACHSChe Vermutung 317 Goldener Schnitt 26 Gradient 167 GRAMsche Determinante 228 GRASSMANN-Identitat 163 Grundzeichen 265 Gruppe, archimedische 42 - der ganzen Zahlen 18 - - rationalen Zahlen 21 - - reellen Zablen 31 Giiltigkeit (von Aussagen) 266

Halbgruppe der natiirlichen Zahlen 17 "Halbierungsformeln" fdr Sinus und Cosi-

nus 112 lIAMELbasis 316 lIAMlLTONsche Bedingungen 159 - Multiplikation 159 - Quaternion: siehe Quaternion -s Tripel 184 Haufungspunkt 41

328 Sachverzeichnis

Hauptsatz der lokalen Klassenkorpertheorie 144

HENsELsches Lemma 141 Hierarchie, VON NEUMANNsche 314 Hohensatz fUr Dreiecke 61 "hOhere komplexe Zahlen" 97, 149, 155, 182 homolog 235 Homologiegruppe 235, 238 -n einer Sphare 235 -n eines projektiven Raumes 235 Homologieklasse 235 -, charakteristische 239 Homomorphismus von a: in Mat(2, JR)

56 HOPFsche Invariante 250 - Konstruktion 250 -5 Biindel 243 -5 Lemma 192 hyperkomplexe Zahlen 97, 149, 155, 182

imaginare Einheit 54 - Elemente einer reellen Algebra 184, 187 - komplexe Zahl 55 - Quaternion 162 Imaginarraum der CAYLEY-Algebra 212 - - Quaternionenalgebra 162 Imaginarteil einer komplexen Zahl 55 - - Quaternion 162 indische Formeln 72 Induktionsaxiom 13 Induktionsprinzip 13 - fUr CONWAYSpiele 289 - - CoNWAyzahlen 292 - - Spiele 281 induktive Menge 39, 308 Infimum 30, 40 infinite GroBe 263 infinitesimale GroBe 263 Infinitesimalrechnung 28 Inhalt eines Kreises 116 inkommensurabel 26 inkonsistente Vielheit 305 innerer Automorphismus 162, 165 Integral 271 Integritatsring der gan:zen Zahlen 19 - - rationalen Zahlen 21 - - reellen Zahlen 35 Intervall, abgeschlossenes 38 Intervallschachtelung 36 Intuitionismus 93, 306 Inverses einer komplexen Zahl 54, 60, 75 Irrationalitat von 7t und 7t2 121

Irrationalzahl 26,29, 31 isomorphe Spiele 287

JACOBI-Identitiit 163

Kardinalzahl 311 kartesisches Produkt 310 Kern eines Homomorphismus 106 Kettenbruch 24, 121 --entwicklung der Tangensfunktion 122 --entwicklungen von 7t 123 Klasse 312 - aller Gruppen 312 - - Mengen 312 -, echte 312 Kohomologie 239 Kohomologiegruppe 236 Kohomologieklasse, charakteristische 243,

246 Kohomologiering 236, 238 - des kartesischen Produktes eines projek-

tiven Raumes mit sich 237 - eines projektiven Raumes 236 kommensurabel 24 kommutative Algebra 151 - reelle Divisionsalgebra 194, 196 Kommutativgesetz 17, 18,21, 31, 151 komplexe BANACH-Algebra 197 - Divisionsalgebra 162, 201 komplexe Zahl 45, 53 - -, algebraische Deutung 51, 52, 53 - -, Darstellung durch reelle 2 x 2 Matrizen

56, 59, 61, 71 - -, geometrische Deutung 49, 55 Komplexitatstheorie 317 Kompositionsalgebra 220, 226 - mit Einselement 222 Kompositionsproblem von HURWITZ 226,

234 Kompositionstheorie 220, 226 Komposition von quadratischen Formen 220 Komprehensionsaxiom 305,312 konjugiert komplexe Zahl 58, 75 Konjugierung von komplexen Zahlen 58 - - Quaternionen 169 Konjugierung(sabbildung) der CAYLEy-Alge-

bra 212 - einer quadratischen Algebra 206 - - - alternativen Algebra 208 konstanter Term 265 Konstruierbarkeit von 7t mit Zirkel und Li­

neal 123, 124

Kontinuumshypothese 299, 317, 318 Konvergenzlemma 101 Korper, aIgebraisch abgeschlossener 19 -, angeordneter 56 -, bewerteter 65 - der DEDEKINDSchen Schnitte 32 - - komplexen Zahlen 53 - - p-adischen Zahlen 128, 131, 131,

141 - - rationalen Zahlen 21 -,lokalkompakter 140, 144 -, nicht archimedischer 42 -, vollstandiger 40, 131, 142,202 Korperautomorphismus von a: 59 - -JR 42 Kreis 62 -, (Fllichen)Inhalt 116 -, Umfang 115 K-Theorie 233 kubische Gleichungen (CAlIDANosche Lo-

sungsformel) 41 Kugelparadoxon 316 kumulative Hierarchie 314 Kiirzungsregel 11, 19,245

Unge eines (stetig differenzierbaren) Weges 115

langentreue lineare Abbildung 10, 116 LAPLACE-Operator 161 "law of moduli" 156, 151 LEIBNlzsche Reihe fUr 1t 104, 116, 123 LIE-Algebra 152, 163, 230, 231 Limes, projektiver 130 Limessatz 268 Limeszahl 314 lineare Abbildung von a: 59 - Abhangigkeit iiber JR 59 Linearform der CAYLEY-Algebra 212 - einer quadratischen Algebra 206 linke Klasse eines Schnittes 216 linker Spieler 280 linkes Element einer Paarmenge 280 logarithmische Reihe 109 lokale Klassenkorpertheorie 144 lokaIer Umkehrsatz 194, 199 "LokaI-GlobaI-Prinzip" von MINKOWSKI-

HASSE 135 lokaIkompakter Korper 140, 144 lokal-topologische Abbildung 192 LoRENTZmetrik (im JR4) 110 Losung einer Polynomgieichung 80 Lot von einem Punkt auf eine Gerade 68

Sachverzeichnis 329

Machtigkeit 298 MALCEv-Algebra 231 MannigfaItigkeit 233 -, paraIlelisierbare 240 Menge,abzlihlbare 298,311 -, endliche 299, 308, 311 -, induktive 39, 308 -, konstruktible 299 -, leere 303, 301 -, transfinite 14 -, iiberabzlihlbare 298, 311 -, unendliche 14, 298, 299, 308 Mengeniehre, CANTORsche 298, 305 - mit Urelementen 303 -, NBG- 313 - ohne Urelemente 303, 305 - von KELLEY-MORSE 313 -, ZERMELO-FRAENKELSChe 309 -, ZERMEwsche 306, 309 mengentheoretische Differenz 310 Minimumsatz (von CAUCHY) 91 mod 2-Abbildungsgrad 242 mod 2-Invariante 242 "Modulus" einer komplexen Zahl 60 MOIVREsche Formel 16 Monom iiber lH 168 Multiplikation von ganzen Zahlen 19 - - komplexen Zahlen 53 - - - - in Polarkoordinaten 15 - - natiirlichen Zahlen 11 - - rationaIen Zahlen 21 - - reellen Zahlen 32, 35, 39 multiplikative Gruppe von a: 54 Mutation (von Algebren) 224 Mutationssatz flk endlich-dimensionaIe

KompositionsaIgebren 226

Nachfolger 13 Nachfolgerfunktion 13,304,310 natiirliche Zahl 13 - - im VON NEUMANNschen Sinn 303,

310 - - - ZERMEwschen Sinn 303 Negation einer CoNWAyzahl 294 - eines CoNWAYspieis 290 - - Spiels 285 negatives Spiel 283 Nichtanordbarkeit von a: 56 nicht-trivialer Ultrafilter 260 nilpotent 91 NIM-Spiel 281 Non-Standard Analysis 256

330 Sachverzeichnis

Non-Standard Zahl, benachbarte 256 - -, endliche 256 - -, Standardteil einer 256 - -, unendlich kleine 256 Norm auf einem Korper 136 - in einem euklidischen Vektorraum 169 - - - reellen Vektorraum 190 normierte Algebra 197 -r Vektorraum 190 -s Primpolynom 95 Null 12, 13 Nullfolge 35, 137 Nullstelle (eines Polynoms) 80 -n, AbspaJtung von 93 Nullstellen der Cosinusfunktion 113 - - Sinusfunktion 113 Nullteiler (in einer Algebra) 151 nullteilerfreie Algebra 151, 154 Nullteilerfreiheit von 7Z 19

Objekt hoheren Typs 300 Oktave 149, 182, 205, 211 Oktonion: siehe Oktave Ordinalzahl 280, 294, 304, 311 -, transfinite 298 Ordnung, totale 294 Ordnungsrelation: siehe Anordnung orthogonale Gruppe des 1R2 70 - - einer alternativen quadratischen Algebra

210 - - eines euklidischen Vektorraumes 176 - - von lli 176,178 - - - Im(lli) 177, 178, 180 - lineare Selbstabbildung eines euklidischen

Vektorraumes 176 - reelle 2 x 2 Matrix 71 - IR-lineare Abbildung von ([ 70 - Vektoren in ([ 60 - - - einem euklidischen Vektorraum 169

1[ 100 -, Definition 110 -, klassische Charakterisierungen 113, 115,

116 -, klassische Formeln 28, 104, 116 -, Naherungen 27, 102 Paarmengenaxiom 307 p-adische Entwicklung 127, 129 - Exponentialbewertung 136, 137 - Zahl 128, 135 - -, ganze 128, 138 p-adischer Absolutbetrag 135, 136, 137, 142

p-adische Zahl 144 p-adischer Zahlkorper 144 parallelisierbare Mannigfaltigkeit 240 Parallelisierbarkeit einer Sphare 240, 243,

251 eines projektiven Raumes 240,251

Parallelogrammregel 55 Parametrisierung der Kreislinie 72 - eigentlich orthogonaler Matrizen 72,

180 Partie eines Spiels 280 PEANo-Axiome 17 Pentagon 24 Pentagramm 24 periodische Funktion 113 Periodizitatssatz (flir Exponential-, Cosinus-

und Sinusfunktion) 113 - von BOlT 245, 249 POINcAREscher Dualitatssatz 236, 238 Polarkoordinaten 73 -darstellung 74 -epimorphismus 73, 115 Polynom, Faktorisierung 94 -, symmetrisches 98 - iiber lli 168 Polynomring 95 positives Spiel 283 potenz-assoziative Algebra 151, 188 Potenzen (in einer Algebra) 151 Potenzmenge 308 Potenzmengenaxiom 308 Potenzregel 151, 188 - fUr die Exponentialfunktion 107 Primfaktorzerlegung von komplexen Poly-

nomen 95 - - reellen Polynomen 95 Primformel 265 primitive Einheitswurzel 77 Primpolynom, normiertes 95 Produkt, kartesisches 310 Produkt von zwei CONWAYzahien 295 Produktformel flir Quaternionen 160 Produktregel flir Betrage 54, 61, 65, 156,

157, 171, 210, 213 - - die Bilinearform einer alternativen

. quadratischen Algebra 207 projektiver Limes 130 - Raum 234 Proportionenlehre 26, 29 PuslEuxentwicklung 83 pythagoraisches Quintupel 174 - Tripel 72

Quadratabbildung (auf einer reellen Alge-bra) 191

Quadratesatz 219 quadratisehe Algebra 187 - -, alternative 205 - Gleiehung 62, 77 Quadratur des Kreises bzw. des Zirkels 123,

124 Quadratwurzel 62, 63, 77, 192 Quaternion 149, 155, 159 -, Darstellung durehkomplexe 2 x 2 Ma-

trizen 160, 170, 171 --enalgebra 159 --engruppe 161 --en-Lemma 188

Rationalitiitskriterium flir p-adisehe Zahlen 131

IR-Aussage 266 Realteil einer komplexen Zahl 55 - - Quaternion 162, 170 reehte Klasse eines Sehnittes 276 reehter Spieler 280 reehtes Element einer Paarmenge 280 reell 55 reelle Algebra 151 - BANACH-Algebra 197 - Divisionsalgebra 149, 153, 155, 233, 240,

241, 243, 251 - -, assoziative 189 - -, kommutative 194, 196 ' reguliirer Wert einer Abbildung 242 Reihenproduktsatz von CAUCHY 106 rein-imaginiire Elemente einer reellen Alge-

bra 184, 187 - Quaternion 162 Rekursionssatz 15 Relation 302 Restklassenkorper der Fundamentalfolgen

35 Ring der Fundamentalfolgen 34 - - ganzen p-adisehen Zahlen 128, 131 Rotation 167

Satz yom Dreiparteiensystem 65 - von ADAMS liber die HOPFSChe Invariante

251 - - - - Vektorfelder auf Spharen 227,251 - - D'ALEMBERT-GAUSS: siehe Fundamental-

satz der Algebra - - (E.) ARTIN 187 - - CAYLEY 177

Saehverzeiehnis 331

- - FROBENIUS 189 - - GELFAND-MAzUR 199, 200, 201 - - HAMILTON 178 - - HOPF liber endlieh-dimensionale reelle

kommutative Divisionsalgebren 190, 194 - - - - ungerade Abbildungen 234, 237 - - HURWITZ 226 - - HURWITZ-RADON 227, 251 - - LINDEMANN und WEIERSTRASS 124 - - MINKOWSKl-HAssE 135 - - PTOLEMAUS 67 - - ROLLE 78 - - ZORN 216 Schnitt 243 Sehnittprodukt 236, 238 Sehnittring 236, 238 Sehnittzahl 236, 238 Sehwerpunkt eines Dreiecks 65 Sehnenviereek 67 SIMsoNsche Gerade 69 simultanes Spielen 286 singuliirer Punkt eines k-Feldes 240 Sinusfunktion 111, 113 skalarer Anteil (einer Quaternion) 162 Skalarprodukt flir komplexe Zahlen 58, 60 - - Quaternionen 169 - - reelle Vektorriiume 169 - im 1R3 163 SousLiNsehe Hypothese 317, 318 Spatprodukt 164 Spektrum 201 Sphiire 173, 234 -, dreidimensionale 173 Spiegelungen im 1R2 70 - in einem euklidisehen Vektorraum 176 Spiel 280 Spieler 280 Spiel mit einer Strategie 282 Spielrelationen 280 Stammfunktion 273 Standardteil (einer Non-Standard Zahl)

256 Stellung eines Spiels 280 stetig differenzierbare Selbstabbildung eines

Vektorraumes 194 stetig differenzierbarer Weg 115 Stetigkeit 28, 263 - der Exponentialfunktion 108 STIEFELSehe Klasse 239, 244 STIEFEL-WHITNEYSehe Klasse 246 Strahlensatz 28 Strategie 282

332 Sachverzeichnis

Struktursatz ftiT Kompositionsalgebren mit Einselement 224

- - reelle alternative quadratische nullteiler-freie Algebren 216

- von MAzUR 201 Stufe, VON NEUMANNsche 314. Substitutionshomomorphismus 188 Substitutionsregel 188 Summe von zwei CONWAYspielen 290 - - - CONWAyzahlen 294 - - - Spielen 286 Supremum 40 symmetrisches Polynom 98

Tangensfunktion, Kettenbruchentwicldung der 122

Tangentialbiindel 243 Tangentialraum 239 Term 265 -, konstanter 265 These von GIRARD 81 transzendente Zahl 124 Transzendenz von e 124 - - 1C 123 trigonometrische Funktion 101, 111 Tripel 302 Tupel 301 Typenhierarchie 301

iiberabziihlbar 298, 311 Uberlagerung 192 Ubertragungsprinzip 267 -, allgemeines 266 Ultraillter 260 -, nicht-trivialer 260 Umfang eines Kreises 115 Umkehrsatz fUr stetig differenzierbare Ab­

bildungen 194, 199 Unabhlingigkeit der Kontinuumshypotbese

299,300,317 - des Auswahlaxioms 316 Unabhiingigkeitsbeweis 299, 300, 316 Unabhiingigkeitslemma 184 unendlich, absolut 305 -, aktual 298 Unendlichkeitsaxiom 15,308 unendlich ldeine Non-Standard Zahl

256 Ungleichung von CAUCHY-SCHWARZ 64 unitiire 2 x 2 Matrix 174 "unmogliche Zahl" 45 Unteralgebra 152

Unvollstlindigkeit 318 Urelement 300, 303

Vektor 162 Vektoranalysis 166 Vektorfeld 239 --er auf Sphiiren 251 vektorielle Quaternion 162 vektorieller Anteil (einer Quaternion) 162 Vektorprodukt-Algebra 220, 228 Vektorprodukt im IR? 152, 163, 228 Vektorraumbiindel 243 -, Produkt 244 -, Ring der 245 -, Summe 244 Verdopplungssatz 215 Vereinigung 310 Vereinigungsmengenaxiom 308 Verfeinerung (von Intervallschachtelungen)

38 verlorene Partie 280 verschiirfte Dreiecksungleichung 136, 138,

142 Vielheit 298, 305 "Vier-Quadrate-Satz" 157, 172 VIETASChe Folge 118 VIETAsches Produkt 104, 117 VIET Asche Wurzelregel 63 vollstiindiger Korper 40, 137, 142,202 Vollstlindigkeitssiitze 40 Vorgangerspiel 281 Vorzeichenregel von DESCARTES 81

WALLACESChe Gerade 68 WALussche Folge 119 WALussches Produkt 28, 104, 119, 123 Wechselwegnahme 24 Weg, stetig differenzierbarer 115 WEIERSTRAsssche Definition von 1C 104, 121 Wert einer Funktion 126, 127 Wertekorper 127 WHITNEysche Summenformel 247 Widerspruchsfreiheit 306,313 - von IR 43 Wurzel einer komplexen Zahl 63, 78 - eines PolynOIns 80

Zahl, ganze 18 -, - p-adische 128, 138 -, hyperkomplexe 97, 149, 155, 182 -, komplexe 45, 53 -, natiirliche 13

-, negative 12, 18, 32 -, p-adische 128, 135 -, p,adische 144 -, positive 12, 32 -, rationale 20 -, reelle 28, 30 -, "unmogliche" 45 Zahl (CONWAYzahl) 291, 294 Zahlensystem, iigyptisches 9 -, babylonisches 10 -, griechisches 10

Sachverzeichnis 333

-, indisch-arabisches 12 Zentrum (einer Algebra) 165 ZF 309 ZFC 309 ZORNsches Lemma 205,315 ZoRNsche Vektormatrix 216 Zug in einer Partie 280 "Zwei-Quadrate-Satz" 61 zweiter Spieler 282, 284 Zwischenwertsatz 29,63, 82, 98, 109, 110,

114, 155

Portrats beriihmter Mathematiker

)

Leonhard EULER (1707 - 1783)

William Rowan HAMILTON (1805 - 1865)

Carl Friedrich GAUSS (1777 - 1855)

Richard DEDEKIND (1831 - 1916)

Federzeichnungen von Martina Koecher

Georg CANTOR (1845 - 1918)

Heinz HOPF (1894 - 1971)

Ferdinand Georg FROBENIUS (1849 - 1917)

Abraham ROBINSON (1918 - 1972)