nicht nur einenicht nur eine matrix, sondern vielesondern ... filenicht nur einenicht nur eine...

Nicht nur eine Matrix sondern vieleNicht nur eine Matrix, sondern vieleMatrizen

0,5 0,2 0,3 0,2 0,7 0,10 15 0 75 0 1

A 0,15 0,75 0,1

aber keine Matrize und auch keine Matratzenaber keine Matrize und auch keine Matratzen

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus1

Not only one Matrix but manyNot only one Matrix, but many Matrices

0,5 0,2 0,3 0,2 0,7 0,10 15 0 75 0 1

A 0,15 0,75 0,1

but no matrize and also no mattress

Transition matrix for the weather in Bad MarksteinStates: sun, fog, rain

but no matrize and also no mattressProf. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus

2

Wie beschreibt man Prozesse?Wie beschreibt man Prozesse?

Makov-ModellMakov Modell

Markov-PProzess

Markov-KetteMarkov Kette


How to Describe Processes?How to Describe Processes?

Makov-modellMakov modell

Markov-process

Markov chain

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus4The following slides will explain the text above.


Here are the states and the transition probabilities which


probabilities whichare referred to in the text.

Stratus-Wolken


rain

Stratusclouds


Cumulus-W lkWolken


Cumulusl dclouds


from rain to rain


Darstellung mit Übergangs-Graph,

auch Zustands-Graph genannt.Die schwarzen Zahlen sind original vom gWetteramt Hamburg. Die blauen Zahlen sind ausgedacht, so etwasind sie bei der Math. Gesellschaft Hamburggim Nov. 2005 vorgestellt worden.


figure with transition graphl d t t halso named state graph.

The black numbers are official of weather office Hamburg. The blue numbers are invented according to the numbers given by the Mathematical Society g y yHamburg in Nov. 2005.



Darstellung mit Zustands-Graphen.Bedingungen für einen g grichtigen Zustandsgraphen:

• Alle möglichen ZuständeAlle möglichen Zustände sind Knoten des Graphen.

• Die Übergangspfeile sind• Die Übergangspfeile sind mit Wahrscheinlichkeiten beschriftet.

• Die von einem Knoten abgehenden Pfeile haben

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus

abgehenden Pfeile haben Gesamtwahrscheinlichkeit 1. 15


figure with state graphConditions for an acceptable pstate graph:

• All possible states are knots ofAll possible states are knots of the graph.

• The transition arrows are• The transition arrows are marked with probabilities.

The arrows leaving a knot have• The arrows leaving a knot have as the sum of their probabilties the total probability 1.


the total probability 1. 16


Darstellung mit Zustands-Graphen.

D t ll it i Üb t iDarstellung mit einer Übergangsmatrix

R St CRe St Cu

Re

St

Cu


Zeilensummen müssen 1 sein


figure with state graphfigure with the transition matrix

R St CRe St Cu

Re

St

Cu


Sums of the rows must be 1.

Darstellung mit Zustands-Graphen.

D t ll it i Üb t iDarstellung mit einer Übergangsmatrix

Zeilensummen müssen 1 sein


figure with state graphfigure with the transition matrixfigure with the transition matrix

Sums of the rows must be 1.


Wie sagt man Entwicklungen vorher?Wie sagt man Entwicklungen vorher?

Übergangsmatrix Heute ist Regen.Mit welcher WahrscheinlichkeitMit welcher Wahrscheinlichkeitist übermorgen auch Regen?Baumdiagramm, Werkzeug der g , gWahrscheinlichkeitsrechnung

Der Takt soll nun 1 Tag sein und nicht 6 h, damit wir einfacher reden können.


How to Forecast Developments?How to Forecast Developments?

transition matrix Today we have rain.Which is the probability for to haveWhich is the probability for to haverain the day after tomorrow?tree diagram, an important tool g , pof stochastics.

Now the pulse shall be 1 pday and not 6 h as in the text above. That‘swhy it easier to talk


about it.

Wie sagt man Entwicklungen vorher?Wie sagt man Entwicklungen vorher?Der Takt soll nun 1 Tag sein und nicht 6 h, damit wir einfacher reden können

Übergangsmatrix Heute ist Regen.Mit welcher Wahrscheinlichkeit

einfacher reden können.

Mit welcher Wahrscheinlichkeitist übermorgen auch Regen?Baumdiagramm, Werkzeug der g , gWahrscheinlichkeitsrechnung


1. Pfadregel: längs des Pfades mal; 2. Pfadregel: mehrere Pfad-Wahrscheinl. plus 23

How to Forecast Developments?How to Forecast Developments?Now the pulse shall be 1 day and not 6 h as in thetext above That‘s why we can speak easier

transition matrix

text above. That s why we can speak easier.

Today we have rain.Which is the probability to haveWhich is the probability to haverain the day after tomorrow?tree diagram, an important tool g , pof stochastics.


1. Pfadregel: längs des Pfades mal; 2. Pfadregel: mehrere Pfad-Wahrscheinl. plus 24

Wie rechnet man Vorhersagen aus?Wie rechnet man Vorhersagen aus?

Die Übergangsmatrix muss man mit sich selbst multiplizieren.


How to Calculate the Forecasts?How to Calculate the Forecasts?

The transition matrix has to be multiplied by itself.



Die Übergangsmatrix muss man mit sich selbst multiplizieren.E t Z il d S lt ! M k

0,5 0,3 0,2 0,5 0,3 0,20,2 0,7 0,1 0,2 0,7 0,1A A

Erst Zeile, dann Spalte! Merke: Erst zielen dann schießen!

0,2 0,7 0,1 0,2 0,7 0,10,1 0,3 0,6 0,1 0,3 0,6

A A

0,33 0,42 0,250,25 0,58 0,17A A , , ,0,17 0,42 0,41

Übergangsmatrizen haben immer Zeilensumme 1.


g gStochastische Matrizen haben immer Zeilensumme 1.

27


You must square the transition matrix.First row than column

20,5 0,3 0,2 0,5 0,3 0,20,2 0,7 0,1 0,2 0,7 0,1A A A

r c

0,2 0,7 0,1 0,2 0,7 0,10,1 0,3 0,6 0,1 0,3 0,6

A A A

0,33 0,42 0,250,25 0,58 0,17A A , , ,0,17 0,42 0,41

In transition matrices the rows have the sum 1.


In all stochastic matrices the rows have the sum 1.28


Die Übergangsmatrix muss man mit sich selbst multiplizieren.E t Z il d S lt ! M k

0,5 0,3 0,2 0,5 0,3 0,20,2 0,7 0,1 0,2 0,7 0,1A A


0,2 0,7 0,1 0,2 0,7 0,10,1 0,3 0,6 0,1 0,3 0,6

A A

0,33 0,42 0,250,25 0,58 0,17A A , , ,0,17 0,42 0,41

Übergangsmatrizen haben immer Zeilensumme 1.


g gStochastische Matrizen haben immer Zeilensumme 1.

29


You must square the transition matrix.First row than column

20,5 0,3 0,2 0,5 0,3 0,20,2 0,7 0,1 0,2 0,7 0,1A A A

r c

0,2 0,7 0,1 0,2 0,7 0,10,1 0,3 0,6 0,1 0,3 0,6

A A A

0,33 0,42 0,250,25 0,58 0,17A A , , ,0,17 0,42 0,41

In transition matrices the rows have the sum 1.


In all stochastic matrices the rows have the sum 1.30

Das Wetter in Bad Markstein• Drei Zustände: Sonne, Nebel, Regen• Wenn heute Sonne ist, dann ist mit 50%-

W h h i li hk it h S itWahrscheinlichkeit auch morgen Sonne, mit 20 % W. ist Nebel, mit 30 % W. ist Regen.

• Wenn heute Nebel ist, dann ist mit 20% W. ,morgen Sonne, mit 70% W. wieder Nebel, mit 10% W. Regen,

• Wenn heute Regen ist dann ist mit 15% W• Wenn heute Regen ist, dann ist mit 15% W. morgen Sonne, mit 75% W. Nebel, mit 10% W. wieder Regen.

Übung: Beschriften Sie den Zustandsgraphen.Stellen Sie die Übergangsmatrix aufStellen Sie die Übergangsmatrix auf.Denken Sie sich eine „übermorgen-Frage“ aus und beantworten Sie sie.


aus und beantworten Sie sie.31

The Weather in Bad Markstein• Three states: sun, fog, rain• If it is sun today, the the probabilty for sun

t i 50% f f t it i 20%tomorrow is 50%, for fog tomorrow it is 20%, for rain it is 30%.

• If it is fog today, the the probabilty for sun g y, p ytomorrow is 20%, for fog tomorrow it is 70%, for rain it is 10%.

• If it is rain today the the probabilty for sun• If it is rain today, the the probabilty for sun tomorrow is 15%, for fog tomorrow it is 75%, for rain it is 10%.

practice: Label the state graph with the probabilties.Configure the transition matrixConfigure the transition matrix.Invent a question for the day after tomorrow and calculate the result.


tomorrow and calculate the result.32

Das Wetter in Bad Markstein• Drei Zustände: Sonne, Nebel, Regen• Wenn heute Sonne ist, dann ist mit 50%-

W h h i li hk it h S itWahrscheinlichkeit auch morgen Sonne, mit 20 % W. ist Nebel, mit 30 % W. ist Regen.

• Wenn heute Nebel ist, dann ist mit 20% W. ,morgen Sonne, mit 70% W. wieder Nebel, mit 10% W. Regen,

• Wenn heute Regen ist dann ist mit 15% W• Wenn heute Regen ist, dann ist mit 15% W. morgen Sonne, mit 75% W. Nebel, mit 10% W. wieder Regen.

Übung: Beschriften Sie den Zustandsgraphen.Stellen Sie die Übergangsmatrix aufStellen Sie die Übergangsmatrix auf.Denken Sie sich eine „übermorgen-Frage“ aus und beantworten Sie sie.


aus und beantworten Sie sie.33

The Weather in Bad Markstein• Three states: sun, fog, rain• If it is sun today, the the probabilty for sun

t i 50% f f t it i 20%tomorrow is 50%, for fog tomorrow it is 20%, for rain it is 30%.

• If it is fog today, the the probabilty for sung y, p ytomorrow is 20%, for fog tomorrow it is 70%, for rain it is 10%.

• If it is rain today the the probabilty for sun• If it is rain today, the the probabilty for suntomorrow is 15%, for fog tomorrow it is 75%, for rain it is 10%.

practice: Label the state graph with the probabilties.Configure the transition matrixConfigure the transition matrix.Invent a question for the day after tomorrow and calculate the result.


tomorrow and calculate the result.

Das Wetter in Bad MarksteinDas Wetter in Bad Markstein0 5 0 2 0 3 0,5 0,2 0,30,2 0,7 0,10 15 0 75 0 1

A 0,15 0,75 0,1


The Weather in Bad MarksteinThe Weather in Bad Markstein0 5 0 2 0 3 0,5 0,2 0,30,2 0,7 0,10 15 0 75 0 1

A 0,15 0,75 0,1

probabilties for the day after tomorrow


A=transition matrix, sun,fog, rain

Das Wetter in Bad MarksteinDas Wetter in Bad Markstein

• Sonne etwa 27,5% aller Tage

N b l t 57 % ll T• Nebel etwa 57 % aller Tage

• Regen etwa 15,5% aller Tage


The Weather in Bad MarksteinThe Weather in Bad Markstein


N b l t 57 % ll T• Nebel etwa 57 % aller Tage

• Regen etwa 15,5% aller Tage


Das Wetter in Bad MarksteinDas Wetter in Bad Markstein0 5 0 2 0 3 0,5 0,2 0,30,2 0,7 0,10 15 0 75 0 1

A 0,15 0,75 0,1


The Weather in Bad MarksteinThe Weather in Bad Markstein0 5 0 2 0 3 0,5 0,2 0,30,2 0,7 0,10 15 0 75 0 1

A 0,15 0,75 0,1


Das Wetter in Bad MarksteinDas Wetter in Bad MarksteinDurch hoheDurch hohe Potenzen der Übergangsmatrix g gerhält mandie stabile Wetterverteilung in Bad Markstein.


• Nebel etwa 57 % aller Tage

• Regen etwa 15,5% aller Tageist „Eigenvektor zum Eigenwert 1“


Regen etwa 15,5% aller Tage41

The Weather in Bad MarksteinThe Weather in Bad MarksteinWith high powersWith high powers of the transition matrix you calculate ythe stable weather distribution in Bad Markstein.

• sun approximately in 27.5% of all days is „eigenvector • fog approximately in 57% of all days

• rain approximately in 15.5% of all days

with eigenvalue 1“


rain approximately in 15.5% of all days 42

Das Wetter in HamburgDas Wetter in HamburgDurch hohe Potenzen derDurch hohe Potenzen der Übergangsmatrix erhält maneine Matrix mit lauter gleichen gZeilen. So eine Zeile ist der stabile Vektor dieser Markov-Kette, also die stabile Wetterverteilung in Hamburg.

Achtung: Nur die erste

• Regen: 25% aller Tage

gSpalte in HH ist amtlich.

• Stratuswolken: 50% aller Tage

• Cumulus oder keine W : 25% aller Tage


• Cumulus oder keine W.: 25% aller Tage43

The Weather in HamburgThe Weather in HamburgWith high powersWith high powers of the transition matrix you get a matrix with identic y grows. Such a row is the stable vector of the Markov chain, that is the stable weather distribution Hamburg.

Attention: Only the first

• rain: 25% of all days

ycolumn ist official.

• stratus clouds: 50% of all days

• cumulus or no clouds: 25% of all days


• cumulus or no clouds: 25% of all days44

Das Wetter in HamburgDas Wetter in Hamburg

• Regen: 25% aller Tage

• Stratuswolken: 50% aller Tage

• Cumulus oder keine W.: 25% aller Tage25% aller Tage


45

The Weather in HamburgThe Weather in Hamburg

• rain: 25% of all days

• stratus clouds: 50% of all days

• cumulus or no clouds: 25% of all days


46

Zum Merken:Ein stochastischer Prozess mit Zustandsübergängen heißt

Markov Kette (oder Markov Prozess)Markov-Kette (oder Markov-Prozess),wenn die Übergangswahrscheinlichkeiten nicht von der Vorgeschichte, sondern nur vom letzten Zustand abhängen.Sind sie außerdem noch zeitlich konstant, spricht man von einer homogenen Markov Kettespricht man von einer homogenen Markov-Kette.

Die Übergangsmatrizen A sind stochastische Matrizen .(d h it Z il 1)(d.h. mit Zeilensumme 1)

Eine Zustandsverteilung schreibt man als Zeilenvektor.

Mit ergibt sich die nächste Zustandsverteilung.

Eine stabile Zustandsverteilung erhält man durch hohe


gPotenzen von A oder als Eigenvektoren von A zum EW 1.

47

To Bear in Mind:A stochastic process with transitions of states in named

markov chain (or markov process),( )with the condition that the probabilties for the transitions do not depend from the history of the states but only from the l t t tlast state.If the probabilties are further constant in time the process is named homogenous markov chainnamed homogenous markov chain.

The transition matrices A are stochastic matrices .(that is: the sum of the rows is 1)

A state distribution is decribed as a row vector.

With you calculate the next state distribution.

A stable state distribution can be calculated by high powers of A


A stable state distribution can be calculated by high powers of A or as eigenvectors of A for the eigenvalue 1. 48

Warteschlangensind auch Markow Prozessesind auch Markow-Prozesse

Abschnitt10.8 meines BuchesBuches


Waiting Queuesare Markov prozesses tooare Markov-prozesses too

That is chapter10.8 of my book


Definition einer Matrix, rechnen mit Matrizen:Eine m x n-Matrix ist ein rechteckiges Schema mit

m Zeilen und n Spalten.p

11 12 13 14a a a aA

a a a a

Kurz ijA a21 22 23 24a a a a ijA a



Definition of a Matrix, Calculating with Matrices:A m x n-Matrix is a rectangular schema with

m rows and n columns.

11 12 13 14a a a aA

a a a a

short ijA a21 22 23 24a a a a ijA aThe sum of the matrices A and B is defined by

To add two matrices of the same order you must add elementwise.

First row than column

r c

To multiply a matrix with a real scalar you must multipy each element with the scalar.


Definition einer Matrix, rechnen mit Matrizen:Eine m x n-Matrix ist ein rechteckiges Schema mit

m Zeilen und n Spalten.p

11 13 13 14a a a aA

a a a a

Kurz ijA a21 22 23 24a a a a ijA a

Mathematische Kurzform:„Die mxn-Matrizen bilden einen Vektorraum“


Mathematische Kurzform:„Die mxn Matrizen bilden einen Vektorraum53

Definition einer Matrix, rechnen mit Matrizen:A m x n-Matrix is a rectangular schema with

m rows and n columns.

11 13 13 14a a a aA

a a a a

short ijA a21 22 23 24a a a a ijA aCalculation rules for addition of matrices and multiplication with a scalar.

Mathematical short theorem:„the mxn-matrices are a vector space“


Mathematical short theorem:„the mxn matrices are a vector space54

Matrizen in der WirtschaftMatrizen in der WirtschaftVerflechtungsgraph

R1 SchraubenR1 SchraubenR2 MutternR3 Nieten

srewsnutsR3 Nieten rivets

Wieviele Elemente von den Rohstoffen


braucht man für die Endprodukte jeweils?

Matrices in OeconomicsMatrices in Oeconomicslinkage graphresources

R1 srewsintermediates

R1 srewsR2 nutsR3 rivetsR3 rivets

How many elements of the resources


yue need for the each ending produkt?

Matrizen in der WirtschaftMatrizen in der Wirtschaft

für ein E1 braucht man 150 Schrauben, 24 Muttern, 14 Nietenfür ein E2 braucht man 42 Schrauben 6 Muttern 37 Nieten


für ein E2 braucht man 42 Schrauben , 6 Muttern, 37 Nieten

Matrices in OeconomicsMatrices in Oeconomics

for one E1 you need 150 srews, 24 nuts, 14 rivetsfor one E2 you need 42 srews 6 nuts 37 rivets


for one E2 you need 42 srews, 6 nuts, 37 rivets

Matrizen als AllrounderMatrizen als Allrounder

1. Sie fassen viele Einzelgleichungen zusammen.

2. Sie beschreiben Gleichungssysteme und helfen beim Lösenhelfen beim Lösen.

3. Sie vermitteln Abbildungen.4. Sie verfolgen Prozesse.5 Sie str kt rieren nd beschreiben in5. Sie strukturieren und beschreiben in

vielen mathematischen Gebieten.


Matrices as AllrounderMatrices as Allrounder

1. They embrasse many single equations.2 They describe equation systems and2. They describe equation systems and

help finding the results.3 Th l l ti t l f i3. They are a calculation tool for mappings.4. They decribe and calculate processes.ey dec be a d ca cu ate p ocesses5. They structure and describe objects in a

lot of mathematical s bjectslot of mathematical subjects.


GleichungssystemeGleichungssysteme

Matrizen sind

„Mädchen für alles“


Equation SystemsEquation Systems

Matrices are

„utility men“


Gleichungssysteme

Di M t i i d i h t W k63

Die Matrizen sind ein sehr gutes WerkzeugProf. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus

Equation Systems

M t i d t l64

Matrices are a very good tool.Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus

Mit Matrizen beschreibt man einMit Matrizen beschreibt man ein Stück Welt, um es besser zu

t hverstehen.


Wi h M i W D ib Sli fWith Matrices We Describe a Slice of the World for Better Understanding.the World for Better Understanding.


nicht nur einenicht nur eine matrix, sondern vielesondern ... filenicht nur einenicht nur eine...

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