Ökonometrie i
DESCRIPTION
Ökonometrie I. Einfache und multiple Regression. Ein Beispiel. Konsumtheorie nach Keynes C t = f ( Y t ) Ökonometrisches Modell C t = b 1 + b 2 Y t + u t Aufgaben der ökonometrischen Analyse Schätzen der Parameter Testen von Hypothesen Überprüfen des Modells. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Ökonometrie I
Einfache und multiple Regression
22.10.2004 Ökonometrie I 2
Ein BeispielKonsumtheorie nach Keynes
Ct = f(Yt)
Ökonometrisches ModellCt = 1 + 2Yt + ut
Aufgaben der ökonometrischen Analyse Schätzen der Parameter Testen von Hypothesen Überprüfen des Modells
22.10.2004 Ökonometrie I 3
Einfache, lineare Regression
Yt = 1 + 2Xt + ut
Y: abhängige oder endogene VariableX: unabhängige oder exogene oder erklärende Variable,
auch Regressoru: Zufallsfehler, Störgröße, Noise
nicht berücksichtigte erklärende Variable MessfehlerVerteilungsgesetz E{ut}=0 Var{ut}=2
Cov{us,ut}=0, s≠t: Regressionskoeffizienten
22.10.2004 Ökonometrie I 4
Einkommen und Konsum
200
400
600
800
1000
1200
70 75 80 85 90 95 00
PYRT PCRT
PCRT: Privater Konsum, real, in Mrd.EURPYRT: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real1970:1-2002:4
Basis: 1995Quelle: AWM-Datenbasis
22.10.2004 Ökonometrie I 5
Einkommen und Konsum, Forts.
200
400
600
800
1000
500 600 700 800 900 1000 1100
PYRT
PC
RT
PCRT vs. PYRT
PCRT: Privater Konsum, real, in Mrd.EURPYRT: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real1970:1-2002:4
Basis: 1995Quelle: AWM-Datenbasis
22.10.2004 Ökonometrie I 6
Matrixschreibweise
n Beobachtungen(X1,Y1), … , (Xn,Yn)
Modell: Yt = 1 + 2Xt + ut, t=1,…,n oder
y = X + umit 1 1 1
1
2
1
, , ,
1n n n
Y X u
y X u
Y X u
22.10.2004 Ökonometrie I 7
Matrixschreibweise, Forts.
n Beobachtungen(X1,Y1), … , (Xn,Yn)
Modell: Yt = xt‘ + ut, t=1,…,n,
mit
1
2
1,t
t
xX
22.10.2004 Ökonometrie I 8
Schätzen der Koeffizienten
1, 2: „wahre“ Regressionskoeffizienten
Störgrößen: ut = Yt - (1 + 2Xt)
Residuen: et = Yt - (b1 + b2 Xt)
Schätzer von i: bi ist Funktion von (Xt, Yt), t=1,…,n.
Summe der Fehlerquadrate S(1, 2) = t ut
2= t [Yt - (1 + 2Xt)]2
Prinzip der Kleinsten Quadrate:bi = arg min1, 2 S(1, 2)
22.10.2004 Ökonometrie I 9
Ableiten der Normalgleichungen
Partielles Ableiten von S(1, 2) = t [Yt - (1 + 2Xt)]2
liefert
1 21
1 22
2 ( )
2 ( )
t tt
t t tt
SY X
SY X X
Nullsetzen:
ergibt die Normalgleichungen1 2
0, 0S S
22.10.2004 Ökonometrie I 10
Normalgleichungen
Auflösen nach b1 und b2 gibt die OLS-Schätzer
1 2
21 2 t
t tt t
t t tt t t
b b X Y
b X b X X Y
2 2
1 2
xy
x
sb
s
b y b x
2 2
1( )( )
1( )
xy t tt
x tt
s X x Y yn
s X xn
mit
22.10.2004 Ökonometrie I 11
Multiple, lineare Regression
Modell
Yt = xt‘ + ut = 1+2X2t+…+kXkt+ut
NormalgleichungenjbjtXjtXit = tXitYt, i=1,…,k
22.10.2004 Ökonometrie I 12
OLS-Schätzung in Matrixform
Yt = xt‘ + ut, t=1,…,n
odery = X + u
Summe der FehlerquadrateS() = (y-X)‘(y-X)
= y‘y -2y‘X+‘X‘XOLS-Schätzer: b = (X‘X)-1X‘y