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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Vorlesung Regelungstechnik 1
21. Januar 2003
Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik
Goebenstr. 4066117 Saarbrücken
Nicht lineare RegelungenNicht lineare Regelungen
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.2 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Bisherige Themen Regelungstechnik 1
Themen bisher:• Zusammenfassung Ergebnisse Systemtheorie
(P, PTn, ITn, PID, Tt-Systeme)• Darstellungsformen der Systemtheorie
(DGL, G, h, g, GW, GZ, Bode, PN, Ortskurve)• Methoden und Verfahren zur Einstellung von Reglern / Regler-
synthese im Zeit- und Frequenzbereich(Ziegler, Symmetrisches Optimum, Betragsoptimum)
Anwendungsbereich/Einschränkung:• Analog arbeitende Systeme • Lineare Systeme• Zeitinvariante Systeme
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.3 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Lineare / nicht lineare Systeme
LTI-Systeme ist Voraussetzung für die bekannte einheitliche geschlossene Theorie (Systemtheorie):• Zeitliches Verhalten mit linearen Differentialgleichungen• Anwendung der Laplace-Transformation • Vorhersage des statischen und dynamischen Verhaltens• Getrennte Bestimmung des Führungsgrößen- und Störgrößenverhaltens.
Nichtlineare Systeme:System ist linearisierbar:• Linearisierung durchführen• Rückführung auf LTI-System
mit Anwendbarkeit der obigenKriterien
System nicht linearisierbar:• Lösung nur im Zeitbereich• Nicht lineare Dgls.• Nicht immer lösbar
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.4 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Definition der Linearität
Für lineare Systeme gilt das Superpositionsprinzip:
1 1
2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) { ( )}( ) { ( )}( ) { ( )}
( ) ( ) { ( )} { ( )}
a e
a e
a e
a a e e
x t x tx t x tx t x t
ax t a x t a x t a x t
Genaue Definition der Linearität umfasst zwei Kriterien:• Verstärkungsprinzip• Überlagerungsprinzip (Superpositionsprinzip)
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.5 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Definition der Linearität
Verstärkungsprinzip
Superpositionsprinzip
( ) { ( )} { ( )}a e ekx t kx t k x t
1 2 1 2
1 2
( ) ( ) { ( ) ( )}{ ( )} { ( )}
a a e e
e e
x t x t x t x tx t x t
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.6 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel für lineares SystemP-System
Überprüfung der Linearitätsbeziehungen:• Verstärkungsprinzip
• Superpositionsprinzip
( ) ( )( ) { ( )} { ( )}( ) ( ) ( )
a eP
a e e
a e eP P
x t K x tkx t kx t k x tkx t kK x t K kx t
1 1
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) { ( ) ( )} { ( )} { ( )}( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( )}
a P e
a P e
a a e e e e
a a P e P e P e e
x t K x tx t K x t
x t x t x t x t x t x tx t x t K x t K x t K x t x t
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.7 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Definition lineares System
Ein System ist dann linear, wenn es die Linearitätsprinzipien erfüllt:( ) { ( )} { ( )}a e ekx t kx t k x t
1 2 1 2
1 2
( ) ( ) { ( ) ( )}{ ( )} { ( )}
a a e e
e e
x t x t x t x tx t x t
Alle Übertragungselemente, für die das Linearitätsprinzip nicht gilt,sind nichtlineare Übertragungselemente und haben nichtlinearesVerhalten.
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.8 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Linearisierung nichtlinearer Systeme
Analytisches Verfahren:
Y = f(U,Z) = Z2/U + BArbeitspunkt Yo;Zo;Uo;
Gesucht: y = Ku u + Kz z
Ku = f(U,Z)/U für Uo; ZoKu = -Zo2/Uo2
Kz = f(U,Z)/Z für Uo; ZoKz = 2 Zo/Uo
y = -Zo2/Uo2 u + 2 Zo/Uo z
Graphisches Verfahren:
Ku = f(U,Z)/U für Uo; ZoKu = ΔYu/ΔU für Zo
Kz = f(U,Z)/Z für Uo; ZoKz = ΔYz/ΔZ für Uo
y = Ku u + Kz z
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.9 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Lineares / Nicht lineares SystemBeispielBild 14.1-1, Wendt, S.704
{ ( )} { ( )}(2 0.2) 2 (0.2)
e ekx t k x tff
1 2 1 2{ ( ) ( )} { ( )} { ( )}(0.1 0.16) (0.1) (0.16)
e e e ex t x t x t x tff f
Verstärkungsprinzip:
Superpositionsprinzip:
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.10 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Eigenschaften lineare / nicht lineare Systeme
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.11 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Eigenschaften nichtlinearer Regelsysteme
Bei nicht linearen Systemen hat das Linearitätsprinzip keine Gültigkeit.
Im nicht linearen System gilt das Verstärkungsprinzip nicht. Das nicht lineare System wirkt entsprechend seiner Begrenzung:• Linear im Linearitätsbereich• Nicht linearer – begrenzend außerhalb des Linearitätsbereich
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.12 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel
10
1 : 1
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.13 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel
PT1 mit P-ReglerZeit = T/2(oben)
PT1 mit NichtlinearitätZeit = T(unten)
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.14 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel
Lösung für Sprung 1.5 mit Sättigung bei 1 : 1 Zusammengesetzte Lösung
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.15 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Allgemeine Lösungsstrategie
• Der Arbeitsbereich des nichtlinearen Übertragungsgliedes wirdin Bereiche eingeteilt, in denen eine lineare Beziehung für den Zusammenhang von Ein- und Ausgangsgröße gefunden werden kann.
• Für jeden dieser Bereiche wird der funktionale Zusammenhang vonEin- und Ausgangsgröße des Gesamtsystems bestimmt.(Ziel: Handelt es sich eventuell um ein bekanntes Standardüber-tragungsverhalten?)
• Soweit möglich, wird die Eingangsgröße des nichtlinearen Übertra-gungsgliedes in die grafische Darstellung (Zeitverläufe w, e, x) ein-getragen und es werden die definierten Bereiche markiert.
• Die Anfangswerte aller zu zeichnenden Größen werden bestimmt (t=0). Damit liegt fest, in welchem Bereich des nichtlinearen Über-tragungsgliedes sich das System befindet. Der Zeitverlauf wird für jeden Bereich ermittelt und eingezeichnet. Bei Bereichswechsel sinddie Start-(Anfangswerte) mit zu berücksichtigen.
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.16 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Anwendungsbeispiel
Folgender Fall ist zu untersuchen:•Nichtlineares System mit Sättigungsbereich bei 1:1•Sprungfunktion Sollwert w(t) = 1.5
ew y x
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.17 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Lösung (1)
Nicht Linearität Element mit BegrenzungBild Nr. 27 eingerahmter Kasten, Wendt, S. 770 oben
Ableitung der Kennlinienbeschreibung1, 1; 1 11; 1
ey e e
e
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.18 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Lösung (2)
Lösung für e > 1: Aus Kennlinie folgt y = 1
11 ( ) ( ) (0) ( )[1 ]
1( ) (1 )
( ) 1tT
dxw x e x Tdt
X s sTX s x X s sTs
X ss sT
x t e
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.19 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Lösung (3)
Lösung für –1 < e < 1: Aus Kennlinie folgt y = e
01 01 01
01
01
01
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 ( )[1 ] ( )2( )3( ) 2( )4 (1 )2
3 1 3 1( ) (1 )4 2 4 4t t t t t t
T T T
dxe w x x Tdt
W s X s X s sTX s x tTW s X s s x t
x tX s T T ss sT
x t e e e
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.20 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Erstellen der Diagramme
Übergang der beiden Fälle beim Durchgang beim Amplitudenwert 0.5 bei t = 0.69 s
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.21 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Erstellen der Diagramme
Übergang der KennlinieFür t>0.69s findet der Übergang vomKonstanten auf den linearen Bereich derKennlinie statt.
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.22 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Auswirkungen nicht linearer Systeme
Führungs- und Störübertragungsverhalten können nicht getrennt von-einander betrachtet werden. Getrennte Überlagerung liefert andereWerte als bei gemeinsamer Berücksichtigung
Bild 14.1-5, Wendt, S.710
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.23 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Auswirkungen nicht linearer Systeme
Bild 14.1-6, Wendt, S.711
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.24 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Auswirkungen nicht linearer Systeme
Bild 14.1-7, Wendt, S.711
Führungsverhalten
Störübertragungs-sverhalten
SuperpositionGleichzeitige Berück-sichtigung von w Und z
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.25 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Auswirkungen nicht linearer Systeme
Bild 14.1-8, Wendt, S.711
Bei linearen Systemen können bei Reihen-Schaltung von Sys-temen die Übertra-gungssysteme getauscht werden.
Bei nicht linearen Systemen führt dies zu falschenErgebnissen
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.26 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Auswirkungen nicht linearer Systeme
Bild 14.1-9, Wendt, S.711
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.27 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Auswirkungen nicht linearer Systeme
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.28 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Auswirkungen nicht linearer Systeme
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.29 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel nicht lineares System mit Dreipunktregler (MATLAB)
Schaltbild
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.30 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel nicht lineares System mit Dreipunktregler (MATLAB)
SchaltbildBild 14.1-12, S.714 oben
Bild 14.1-13, Wendt. S.715
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.31 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel nicht lineares System mit Dreipunktregler (MATLAB)
Zeitverläufe
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.32 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Grundtypen nicht linearer Funktionen
Folgende Grundtypen sind unterscheidbar:•Analytische FunktionenFunktionale Zusammenhänge sind definiert y = sin(t), y = x2
Funktionen sind stetig und differenzierbar.Linearisierung nach Taylorreihenentwicklung im Arbeitspunkt möglich.•Stückweise lineare FunktionenUnstetigkeit im Funktionsverlauf und der Ableitung.Zweipunktregler (ideal)Beschreibung erfolgt durch stückweise linearisierte Funktionen•Mehrdeutige FunktionenNicht eindeutige Verläufe (z.B. Hysterese, Umkehrspanne)Bei nicht eindeutigen Verläufen ergibt sich der richtige Wert aus der Historie
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.33 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiele für nicht lineare Funktionen
Stückweise lineare Funktion
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.34 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiele für nicht lineare Funktionen
Übersicht nicht linearer Funktionen•Schaltende Elemente (Zwei-, Dreipunktregler)•Schaltende Elemente mit Hysterese (Zwei-, Dreipunktregler)•Elemente mit progressiver Kennlinie (Verstärkung wächst mit der Eingangsgröße)•Elemente mit degressiver Kennlinie (Verstärkung fällt mit der Eingangsgröße)•Elemente mit Begrenzung (Sättigung)•Elemente mit Hysterese ohne Begrenzung•Elemente mit Hysterese mit Begrenzung (Sättigung)
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.35 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Zweipunktregler mit PT1-Strecke
Betrachtung einer PT1-Strecke mit•Zweipunktregler mit HystereseSchaltdifferenz xdPT1-Strecke ohne Totzeit•Zweipunktregler mit HystereseSchaltdifferenz xdPT1-Strecke mit Totzeit•Variation der Schaltdifferenz•Variation der Stellgröße•Variation der Streckenzeitkonstanten
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Benedikt Faupel Oktober 2001
Zweipunktregelkreis / ZeitverlaufZweipunktregelkreis / Zeitverlauf
Zweipunktregler Regelstrecke
OfenKS; TS
yy
zz
w
x
x
y
yh
yh
xob
xun
t = 0 / Startwert: 0°Cneuer Sollwertw := 450°C
Zeitverlauf:für y := yh gilt: x(t) = 850°C(1-e-t/Ts)solange bis x(t) := xob (453°C)t1 = -TS ln(1-453/850) = 7,61mint3 = TS ln((850-447)/(850-453)) = 0,15 min
für y := 0 gilt: x(t‘) = 850°C(e-t‘/Ts)solange bis x(t) := xun (447°C)t2 = TS ln(453/447) = 0,13 min
KS := 2,83°C/m3/hTS := 10 minyh := 300 m3/hxsd := 6°C (± 3°C)
Ergebnis:• pendelnde Regelgröße zwischen xob& xun
• Regelgenauigkeit Schaltdifferenz• Wert yh ist höher als für w erforderlich• Wert 0 ist kleiner als für w erforderlich• vorhandene Leistungsreserve
t1 t2 t3
ein aus
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.37 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Berechnungen
•Auswirkungen der Schaltdifferenz bei Varianz des Sollwertsprunges(w = 1, 2, ..., 10) Schaltdifferenz 2 •Der Zweipunktregler steuert die Regelstrecke mit 2 definierten Stellgrößen yh und 0.Yh ist so gewählt, dass ein sehr großer Sollwert erreicht werden kann.(z.B. Gasstrom so hoch, dass bei permanenten Betrieb 800 °C er-reicht werden kann.)•Aufheizung / Fahrweise mit hoher Stellgröße solange, bis gewünsch-ter Sollwert erreicht wird.•Stellgröße 0 für Überschreiten des Sollwertes Abfallen der Regelgröße mit erreichtem Endwert (Aufheizvorgang)mit gleicher Zeitkonstante•Schaltendes periodisches Verhalten des Regelkreises
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Benedikt Faupel Oktober 2001
Optimierung des ZweipunktregelkreisesOptimierung des Zweipunktregelkreises
Optimierung /Einflussgröße
Massnahme Auswirkung Ergebnis
Zu große Regel-abweichung Xob / xun
Zeitkonstante RegelstreckeTS
Halbierung der ZeitkonstantenTS -> TS/2
Höhere Schaltfrequenz /Reduzierung der Reglerlebensdauer
kleine Zeitkonstante ->höhere Schaltfrequenz
Prüfung der Schalthäufigkeit bei Reglerauswahl
Einsatz Zweipunkt-regler mit reduzierter SchaltdifferenzXsd
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Benedikt Faupel Oktober 2001
Berechnung der SchaltfrequenzBerechnung der Schaltfrequenz
Annahme Leistungsüberschuß 100 %
w := xmax/2
Verhältnisgleichheit Winkel α
xmax / 2TS = 2xsd / T
fS := 1/T
fS = ¼ xmax/xsd 1/TS
w
Herleitung
Regelgröße: X(t) = Ksyh(1-e-t/Ts)
Zeitpunkt t1: x(t=t1) = xmax/2 = ½ Ks yh
t1 = TS ln(2)
Anstieg im Punkt x(t1): dx(t)/dt = Ks yh / TS e-t/Ts
dx(t1)/dt = Ks yh / TS e-t1/Ts = Ks yh / 2TS = xmax / 2TS
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Benedikt Faupel Oktober 2001
Einfluß der Leistungsreserve auf den ZeitverlaufEinfluß der Leistungsreserve auf den Zeitverlauf
Annahmen: • Zweipunktregler mit Xsd := 0• Regelstrecke (PTn)mit Tu und TG
• Xpa Regeldifferenz; ΔX Schwankungsbreite
Fallbeispiele:Stellbereich 100%• Dauereinschaltung • Sollwert = xMax / Endwert w• Stellgröße ausreichend für Erreichen von
w
Stellbereich 125% • Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 4• xpa positiv • Sollwert > xm / Endwert 1,25 w
Stellbereich 200%• Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 1• xpa = 0 • Sollwert = xm / Endwert 2 w
Stellbereich 500% • Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 1/4• xpa negativ• Sollwert < xm / Endwert 5 w
ΔX
Tein/T = ¾
Tein/T = ¼Tein/T = ½
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.41 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Zweipunktregler mit PT1-Strecke
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.42 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Zweipunktregler mit PT1-Strecke
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Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.43 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Zeitverhalten mit PT1-Strecke mit Totzeit und Schaltdifferenz