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Q11 6. Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion 3
www.mathematik.digitale-schule-bayern.de Andrea Stamm
6.3 Die natürliche Logarithmusfunktion f: x ↦ lnx
a) Warum ist die Funktion x ↦ ex umkehrbar?
b) Ermitteln Sie grafisch die Umkehrfunktion der Funktion x ↦ ex.
c) Ermitteln Sie rechnerisch die Umkehrfunktion der Funktion x ↦ ex.
Definition: Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus und wird mit ln bezeichnet.
Die Funktion : lnf x x , Df = IR+, ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion und heißt
natürliche Logarithmusfunktion.
Eigenschaften der Funktion f : x ↦ lnx
1) Df = IR
+, Wf = IR (umgekehrt bei e
x)
2) Für 0 < x < 1 gilt: lnx < 0,
für x > 1 gilt: lnx > 0
x = 1: ln1 = 0 Nullstelle!
x = e: lne = 1 (siehe Grafik)
Term der Umkehrfunktion ex. Somit gilt für x IR: lne
x = x und für x IR
+: e
lnx = x
3) Grenzwerte und Asymptoten: 0
lim ln
x
x , die y-Achse ist senkrechte Asymptote
lim ln
x
x
4) Ableitung: Es gilt elnx
= x. Bildet man nun auf beiden Seiten die Ableitung, so erhält man:
Satz: Die natürliche Logarithmusfunktion : lnf x x hat die Ableitungsfunktion: 1
:f xx
5) Monotonie:
Wegen 1
( ) 0f xx
(da x IR+) folgt: Der Graph ist streng monoton steigend und besitzt keine Extrema.
ln ln
ln
ln 1
1 1ln ln
x x
x
e x e x
x xe x
Q11 6. Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion 3
www.mathematik.digitale-schule-bayern.de Andrea Stamm
Logarithmengesetze (a, b > 0)
1. ln ln lna b a b ln 4 ln 4 ln ln 4 1e e
2. ln : ln lna b a b 1
ln ln1 ln 0 1 1ee
3. ln lnra r a 3 ln 3 ln 3e e
4. Wechsel der Basis: ln
logln
b
aa
b
2
ln log
ln 2
xx
Ableitung zusammengesetzter Funktionen
Auch hier ist insbesondere die Kettenregel zu beachten (nachdifferenzieren!)
Die Funktion f mit ( ) lnf x v x (wobei ( ) 0v x sein muss) ist eine Verkettung der inneren Funktion : ( )v x v x mit der
Logarithmusfunktion : ( ) lnu x u x x . Existiert die Ableitung ( )v x , so gilt nach der Kettenregel
1
( )f x v xv x
.
Steht „hinter“ ln nicht nur einfach x, so muss zunächst die Defintionsmenge bestimmt werden!
Bsp: ( ) ln 6 2f x x ist nur definiert für 6 2 0 6 2 3x x x , also ; 3fD
Ableitung: 1
( ) 26 2
f xx
(„1 durch die innere Funktion mal die innere Funktion nachdifferenziert“)
Stammfunktion zur Funktion 1
:f xx
Für 1 r gilt: Zu : rf x x ist 11:
1
rF x xr
Stammfunktion (siehe Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten)
Aber zur Funktion 1
:f xx
konnte bisher keine Stammfunktion angegeben werden.
Für x > 0 gilt: : lnF x x ist Stammfunktion zu1
:f xx
.
Für x < 0 benutzt man die verkettete Funktion ( ) lnf x x . Diese hat die Ableitung 1 1
( ) 1f xx x
,
also ist : lnF x x ist Stammfunktion zu1
:f xx
für x < 0.
Mit dem Betrag kann man zusammenfassen:
Die natürliche Logarithmusfunktion : lnF x x mit DF = IR\{0} ist eine Stammfunktion der Funktion 1
:f xx
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LÖSUNG
6.3 Die natürliche Logarithmusfunktion f: x ↦ lnx
a) Warum ist die Funktion x ↦ ex umkehrbar?
Der Graph der Funktion x ↦ ex ist streng monoton steigend und daher umkehrbar.
b) Ermitteln Sie grafisch die Umkehrfunktion der Funktion x ↦ ex.
c) Ermitteln Sie rechnerisch die
Umkehrfunktion der Funktion x ↦ ex.
y = ex
Anwendung der Def. des
Logarithmus: x = logey
Variablentausch: y = logex
Def.- und Wertemenge vertauschen:
D = IR+ und W = IR