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R. Hohmann
OTTO-VON-GUERICKE-UNIVERSITÄT MAGDEBURG
Fakultät für InformatikInstitut für Simulation und Graphik
Optimierung einer nachhaltigen Binnenfischerei
1 Einleitung
In einem Binnensee wird eine einzige Fischpopulation befischt - Vereinbarkeit von Ökonomie und Ökologie,
• Gesucht ist Investitionsrate in neue Boote zur Gewinnmaximierung – Optimierungsaufgabe,
• Optimum hängt ab von finanziellen und ökologischen Bedingungen (Fischpreis, Bootskosten, Fischertrag),
• Nachhaltigkeit als stationärer Zustand,
• Polyoptimierung wichtet Profit und Fangmenge,
• Moderne Ortungstechnik mit höherem Gewinn, System-Zusammenbruch ohne Boots-Restriktionen.
Workshop Kölpinsee 2011
2 Dichteabhängiger Fang
• Modell von Bossel 2004 angegeben (Vensim), Suboptima durch Parameterstudien gewonnen.Eigene Implementierung in ACSL und Stella.
Modellspezifika:• logistisches Wachstum der Fischpopulation,
• jährliche Abschreibungen der Boote, • Investitionsanteil des Nettogewinns in neue Boote, • Fangmengen proportional zur Fischdichte:
Fangmenge := Fangpotential∙Fischdichte.
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Kausalitäten im Fischerei-Modell (System Dynamics)
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Dichteabhängiger Fang
2.1 Modellsystem
• Parameter
AR = 100 [km2] Fanggebiet, C = 100 [t Fisch/km2] spez. Fischkapazität, K = C∙AR [t Fisch] max. Fischkapazität, A = 1 [1/Jahr] max. Fischzuwachsrate, F = 100 [t Fisch/(Boot∙Jahr)] max. spez. Fangmenge, O = 50.000 [€/(Boot∙Jahr)] spez. Unterhaltskosten, Q = 100.000 [€/Boot] Bootsneukosten, 1/D = 15 [Jahr] Bootslebensdauer, D = 1/15 [1/Jahr] Abschreibung, P = 1.000 [€/t Fisch] Fischpreis,
I [1 ] Investitionsanteil Boote - Optimierungsparameter.
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Dichteabhängiger Fang
• Algebraische Zwischengrößen
[1] Fischdichte, [t Fisch/Jahr] Fischzuwachs, [t Fisch/Jahr] Fangpotential, [t Fisch/Jahr] Fangmenge,
[€/Jahr] Fangerlös, [€/Jahr] Bootsunterhalt, [€/Jahr] Nettoeinkommen, [€/Jahr] Investitionsmittel Boote,
[Boote/Jahr] Neuerwerb Boote, [Boote/Jahr] Stilllegung Boote,
[€/Jahr] Profit – zu maximieren!
K/1zh hzr 1A 1
2F zbhbmmv P 2O zu
uvn ng I
Q/gw2D zs gnp
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Dichteabhängiger Fang
• Zustandsgleichungen
[t Fisch/Jahr] d(Fischbestand)/dt
[Boote/Jahr] d(Boote)/dt
• Anfangsbedingungen
z1(0) = 5.000 [t Fisch], z2(0) = 25 [Boote], tm = 50 [Jahre]
• mit und
strukturelles Räuber-Beute-System erkennbar:
mrdtdz /1
swdtdz /2
/QPIJ D/QOIE
21111 F/KK/1A zzzzz
2212 EJF/K zzzz
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Maximierung des Profits/Gütefunktionals.
• Angenommen wird eine unimodale Funktion ,
zum Maximum monoton ansteigend und abfallend,
zulässig auch monotoner Anstieg im Intervall.
• Unbestimmtheitsintervall (Toleranz) des optimalen Investitionsanteils wird schrittweise reduziert.
Numerisches Verfahren:• Methode Goldener Schnitt.
3 Optimierung
f
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3.1 Methode Goldener Schnitt
Zwischenpunkte teilen Intervall in festen Verhältnissen,
1/q = q+1 goldener Schnitt.
wird gesetzt.
Falls neues Suchintervall zwischen und , nun als “ - Punkt”, zu berechnen ein neuer “ - Punkt”.
)(
)(
abqay
abpax
618,02/)15( q
p
)()( yfxf a yx y x
2q
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Methode Goldener Schnitt
• Sie benötigt nur einzelnen neuen Lauf für jeden Vergleich, mit zwei Läufen zu Beginn.
• Die Anzahl der Auswertungen (Läufe) beträgt:
Toleranz
Start-Intervall
Größerer Integer Wert durch “ceiling function “ .
• führt zu Läufen,
• erfordert Läufe.Prozess ermittelt das Maximum mit .
2
1lg
/lg
q
TLmT
)( abL
LT 310 17mLT 410 22m
))/(log( TLO
m
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Methode Goldener Schnitt
• Sequenz von Läufen wird organisiert durch Block-IF und Integer Variable in derTERMINAL–Sektionvon ACSL.
• Profitoptimierung p = 469.642 [€/Jahr], m = 1.688 [t Fisch/Jahr],
z2 = 22 (21.5) Boote.
• Optimale Investitionsrate I = 0.233 vom Nettogewinn, Intervallgrenzen ,
bei dichteabhängigem Fang. der Investitionsrate I.5.0b1.0a
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Methode Goldener Schnitt
Optimierungsprozess für angestrebte 10-3 –Genauigkeit.
Erforderlich sind 15 Reduktionsschritte mit 17 Simulationsläufen, jeweils ein Wertepaar oder erscheint wieder im Folgeschritt des Verfahrens, Toleranz .
Schritt a I1 = x I2 = y b p1 = f (x) p2 = f (y)
0 0.10000 0.25279 0.34721 0.50000 465.571.30 386.333.59
1 0.10000 0.19443 0.25279 0.34721 448.239.88 465.571.30
2 0.19443 0.25279 0.28885 0.34721 465.571.30 442.286.25
… … … … … … …
14 0.23327 0.23345 0.23357 0.23375 469.641.77 469.641.58
15 0.23327 0.23338 0.23345 0.23357 469.641.74 469.641.77
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xfx, yfy,0004.0T
3.2 Extremwertaufgabe
• Stationärer Zustand erst nach mit :
, .• Optimierung ersetzt durch Extremwertaufgabe des
Profits von unabhängiger Variablen I.
Optimaler Investitionsanteil Iopt für einen maximalen Gewinn analytisch:
Aktuell hiermit Iopt = 0.235 für z1 = 7.833 [t Fisch] und z2 = 22 (21.67) [Boote].
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PIFIODQK1 /z F/KA 12 zz
OPFDQ/DQ2Iopt
t 021 zz
Ipp
3.3 Polyoptimierung
Mehrkriteriale Kompromisslösung zwischen• Wirtschaftlichkeits-Optimierung und einer• Fangmengen-Optimierung durch Polyoptimierung.
Definitionsgleichungen:
[1] relative Fangmenge,
[1] relative Profitrate,
[1] Güteindex / Gütefunktional
• Mengen- und Profitwichtungen MW und PW.
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K/mmr KP/ ppr
PWMW/PWMW100 prmrG
Polyoptimierung
Unterschiedliche Wichtung der Optimierungsziele
• Im Falle (a) etwas höherer Investitionsanteil und Bootszahl, wenig verringerter Gewinn.
• Steht Fangmenge im Vordergrund (Fälle b, c), hoher Investitionsanteil in neue Boote – Subventionen!
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Fall MW PW Invest I Profit p Fang m Boote z2 Fische z1
a 1 5 0.277 450.175 1.933 26 (26.2) 7.377
b 4 2 0.705 113.170 2.411 41 (40.5) 5.946
c 5 1 1.000 0 2.456 43 (43.3) 5.667
4 Dichte-unabhängiger Fang
Ortungstechnik - Fang hängt nur davon ab, wie Fangpotential ausgeschöpft wird (Chance ch = 0.8):
Fangmenge := Fangpotential∙Fangchance
• Modifikationen:
Fangmenge
Neuerwerb Boote
• Begrenzung der Bootszahl auf z2m = 30, 31, 32, 33 und 34 Boote – Stabilisierung des Systems!
• konstanter Investitionsanteil I = 0.3
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0,für/ 22 wsonstzzQgw m
chbm
Dichte-unabhängiger Fang
• maximale Zuwachsrateder Fischpopulation:
bei halber Fischkapazität ,
mit Modellparametern:
rmax = 2.500 [t Fisch/Jahr],
für z1 = 5.000 [t Fisch].
• Profit für z2 = 31 Boote: p = 650.983 [€/Jahr], m = 2.480 [t Fisch/Jahr], max. Bootszahl z2m = 30, 31, 32, 33, 34.
z1 = 5.465 [t Fisch]. Stabilität mit 30 und 31 Booten.
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4/AKmax r
2/K1 z
5 Schlussbetrachtung
• Mehrere Aspekte für die Ausbildung interessant:
• Ökologische Ressourcennutzung,
• stationärer nachhaltiger Zustand profit-maximiert,
• Intervallsuchverfahren “Goldener Schnitt” konvergiert beim dichteabhängigen Fang mit ,
• System hat Struktur eines Räuber-Beute-Systems,
• dichte-unabhängiger Fang erfolgreicher an der Stabilitätsgrenze der Boote – jedoch störungsanfällig!
• exemplarisch für öffentliche natürliche Ressourcen – Politik hat Grenzen (hier Bootszahl) zu setzen!
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TLO /log
Danke für Ihre Aufmerksamkeit!
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