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SINUS-Transfer NRW Projekt 2 Klaus Gerber
Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie
Eine anwendungsorientierte Unterrichtsreihe aus der Analytischen Geometrie
Kongress zur Weiterentwicklung des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts
Mittwoch, 1. März 2006, 10.00 Uhr bis 16.30 Uhr, AudiMax der Ruhruniversität Bochum
Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie
Bandenwerbung
Film 1 / Film 2 / Film 3
Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie
Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie
Aufgabe:
Entwerfe einen Werbeteppich
für das RheinEnergie-Stadion
in Köln-Müngersdorf.
Dieser Teppich soll in der
rechten Spielfeldhälfte rechts
neben dem Tor liegen
(gesehen von der
Haupttribüne oberhalb derer
sich die Kamera befindet).
Spielfeldmaße: 105m x 68m
Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie
Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie
Bearbeitung als Schnittproblem:
Richtungsvektor:
Koordinaten eines Eckpunktes des Buchstabens: P(2,8|0|1)
ergibt
Der gesuchte Schnittpunkt hat also die Koordinaten:
31
53
53
v
031
53
53
1
0
8,2
y
x
pvp 311
00
0
8,2
31
53
53
1
0
8,2
3153
155169
31533153
311p
0|7,1|1,1T1
Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie
Allgemeine Berechnungsmethode:
Der Punkt soll in Richtung des Vektors in die xy-Ebene und
dort auf den Punkt mit abgebildet werden.
ergibt
Der gesuchte Punkt hat also die Koordinaten:
03
2
1
y
x
v
v
v
z
y
x
pvp 3vz
03
2
3
1
3
2
3
1
3
3
2
1
zy
zx
z
z
z
z
y
x
v
v
v
z
y
x
pvvvv
vvvv
vz
0||3
2
3
1 zyzxPvv
vv
zyxP ||
3
2
1
v
v
v
v
zyxP || 0z
Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie
Einführung der Matrizenschreibweise:
Berechnungsvorschrift:
Projektionsmatrix:
z
y
x
zyx
zyx
zyx
zy
zx
vvvv
vvvv
vvvv
000
10
01
000
10
01
03
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
pA
z
y
x
ihg
fed
cba
ziyhxg
zfyexd
zcybxa
000
10
01
000
10
01
31533153
3
2
3
1
vvvv
A
Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie
Graphische Darstellung
mit dem TI:
vollständiger Befehl zum Zeichnen
Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie
Definitionen und Sätze:
Hauptsatz über Abbildungsmatrizen
Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Bilder der
Einheitsvektoren.
Parallelprojektionssatz
Die Matrix beschreibt die Parallelprojektion in die
xy-Ebene in Richtung des Projektionsvektors .
31
21
11
333231
232221
131211
11
0
0
1
a
a
a
aaa
aaa
aaa
eAe
000
10
01
3
2
3
1
vvvv
xyA
v
Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie
!!!! Übungsaufgaben !!!!
Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie
2-dimensionale Darstellung räumlicher Objekte:
Projektionsmatrix:
10
011
22
22
PRO
)45sin(
)45cos(
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie
Drehungen im Raum um eine Koordinatenachse:
Drehmatrix:
Blick „von oben“ auf die xy-Ebene
0
sin
cos
0
0
1
0
cos
sin
0
1
0
1
0
0
1
0
0
100
0cossin
0sincos
RotZ
Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie
Platonische Körper: