stahlbau grundlagen - universität kassel: aktuelles · einarbeitung des elastischen stoffgesetzes...
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Stahlbau Grundlagen
Das elastische Biegetorsionsproblem 2. Ordnung dünnwandiger Stäbe
Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka
2
Leitbauwerk Halle
Hallenrahmen als Haupttragsystem mit Lasten Ein möglicher Grenzzustand ist das Biegedrillknicken
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
3 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
Einführender Versuch
Der Träger weicht plötzlich aus und verdreht sich unter vertikaler Biegung: Er „drillknickt“.
Daran beteiligt ist die sogenannte „Wölbkrafttorsion“.
4
P
P/4
P/4
P/4
P/4
P/4
P/4
P/4
P/4
Normalkraft
Biegung um z-Achse
Biegung um y-Achse
Wölbkrafttorsion
Illustration der Wölbkrafttorsion
Verdrehung und Verwölbung
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
wIMy
IMz
IM
AN
W
W
z
z
y
yxx ⋅+⋅−⋅+=σ
5
Schnittgrößenkombination und Normalspannungen
Normalspannung:
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
WMWσ
6 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
Kinematik der Faser Geometrie und Bezeichnung an einem allgemeinen dünnwandigen Querschnitt
M – Schubmittelpunkt
S – Schwerpunkt
dA – infiniteseminales Flächenenelement
u – Verschiebung des Flächenelements in x-Richtung
v – Verschiebung des Flächenelements in y-Richtung
w – Verschiebung des Flächenelements in z-Richtung
ϑ – Verdrehung um den Schubmittelpunkt
7
Gleichgewicht am verformten Stab
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Abtriebskräfte an der Faser aus Verschiebung in y - Richtung
Abtriebskräfte an der Faser aus Verschiebung in z - Richtung
Abtriebskräfte an der Faser um den Schubmittelpunkt
( ) ( )( )[ ]
''vdAdp
'dv'vdAd'dvdAdp
dp'dv'vdAd'vdA0F
ely
ely
elyy
⋅⋅σ=
+⋅⋅σ+⋅⋅σ=
−+⋅⋅σ+σ+⋅⋅σ−==∑
( ) ( )( )[ ]
''wdAdp
'dw'wdAd'dwdAdp
dp'dw'wdAd'wdA0F
elz
elz
elzz
⋅⋅σ=
+⋅⋅σ+⋅⋅σ=
−+⋅⋅σ+σ+⋅⋅σ−==∑
( ) ( )( ) ( )[ ]MM
elT
elTMMx
yy''wzz''vdAdm
dmyy''wdAzz''vdA0M
−⋅−−⋅⋅⋅σ−=
−−⋅⋅⋅σ+−⋅⋅⋅σ−==∑
( ) ( )[ ]( ) ( )
( ) ( )( ) dA]''yyzz
yywzzv[
dAyy''wzz''vdmm
2M
2M
AM
''MM
''M
MMelT
elT
⋅ϑ⋅−+−−
−⋅−−⋅⋅σ=
⋅−⋅−−⋅⋅σ=−=
∫∫∫
( )[ ]∫∫∫
⋅ϑ⋅−−⋅σ=
⋅σ⋅==
AM
''M
ely
ely
dA''zzv
dA''vdpp
8
Abtriebskräfte am Querschnitt Integration der elastischen Abtriebskräfte:
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Gleichgewicht am verformten Stab
( )[ ]∫∫∫
⋅ϑ⋅−−⋅σ=
⋅σ⋅==
AM
''M
elz
elz
dA''yyw
dA''wdpp
( )( ) ''yyw''w
''zzv''v
M''M
M''M
ϑ⋅−+=
ϑ⋅−−=
9
Ersetzen von σ durch Schnittgrößen und Integration über den Querschnitt liefert die elastischen Abtriebskräfte:
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mit folgenden Querschnittswerten:
Gleichgewicht am verformten Stab
wIMy
IMz
IM
AN
W
W
z
z
y
yxx ⋅+⋅−⋅+=σ
( )[ ] ( )( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]
Wyz MWMzMy2M
''Mz
''My
' 'MM
' 'MM
elT
''z
' M
'M
elz
''y
' M
'M
ely
rMrMrMiN'
wMvMwyNvzNm
M'ywNp
M'zvNp
⋅+⋅−⋅+⋅⋅ϑ−
⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−=−
ϑ⋅+ϑ⋅−⋅−=−
ϑ⋅+ϑ⋅+⋅−=−
( ) ( )
dArwI1r dArz
I1r dAry
I1r
zyidArA1i
zzyyr
2M
zM
2M
yM
2M
zM
2M
2M
2p
2M
2M
2M
2MM
Wzy ∫ ⋅⋅⋅=∫ ⋅⋅⋅=∫ ⋅⋅⋅=
++=∫ ⋅⋅=
−+−=
∫ ⋅=∫ ⋅=
∫ ⋅=∫=
A
2W
A
2y
A
2z
A
dAwI dAzI
dAyI dAA
10
Klein!
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Zusätzliche Abtriebskräfte am verformten Stab aus äußeren Lasten:
Klein!
Gleichgewicht am verformten Stab Zusätzliche Komponentenmomente
infolge Verdrehung:
ϑ⋅−ϑ⋅
y
z
pp
ϑ⋅−=
ϑ⋅+=
yz''z
zy''y
MMM
MMM
ϑ⋅⋅−ϑ⋅⋅−= Mpz
MpyT zpypm
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Einarbeitung des elastischen Stoffgesetzes für den Stab unter Biegung und Torsion:
Gleichgewicht am verformten Stab
Biegung in y-Richtung:
Biegung in z-Richtung:
Torsion:
( )[ ] ( ) ''y
' 'M
'My
elyy
'' ''My
MzvNp
ppvEI
ϑ⋅−ϑ⋅+⋅+=
+=⋅
( )[ ] ( ) ''z
' 'M
'Mz
elzz
'' ''Mz
MywNp
ppvEI
ϑ⋅−ϑ⋅−⋅+=
+=⋅
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ϑ⋅⋅−ϑ⋅⋅−⋅+⋅−⋅+⋅⋅ϑ−
⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅=
+=ϑ⋅−ϑ⋅
pzpyMWMzMy2M
''Mz
''My
''MM
' 'MM
kompT
elT
''T
'' ''W
zpyprMrMrMiN'
wMvMwyNvzN
mmGIEI
Wyz
12
DGL-System des elast. Biegetorsionsproblems 2. Ordn.
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Kann man mit Hilfe der FE-Methode „diskretisieren“ (approximieren) . Man erhält so für allg. Stabsysteme mit beliebigen Querschnitten Näherungslösungen. Wir besprechen hier einige für die Praxis wichtige Fälle, die sich „analytisch“ herleiten lassen.
( ) ( )[ ] ' 'M
'M
''y
'' ''Myy zvNMvEIp ϑ⋅+⋅−ϑ⋅+⋅=
( ) ( )[ ] ' 'M
'M
''z
'' ''Mzz ywNMwEIp ϑ⋅−⋅−ϑ⋅+⋅=
( ) ( )( ) ( )
( )[ ]Wyz MWMzMy
2M
pzpy''
Mz''
My
' 'MM
' 'MM
''T
'' ''WT
rMrMrMiN'
zpypwMvM
wyNvzNGIEIm
⋅+⋅−⋅+⋅⋅ϑ−
ϑ⋅⋅+ϑ⋅⋅+⋅+⋅+
⋅⋅+⋅⋅−ϑ⋅−ϑ⋅=
13
Für die Praxis wichtige Fälle des Druckstabes
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1.
Doppelt symmetrische Querschnitte unter konstanter Normalkraft Beispiel: I – Profil und Winkelkreuz
2.
Einfach symmetrischer Querschnitt unter konstanter Normalkraft Beispiel: Normalkraft im Schubmittelpunkt, Normalkraft im Schwerpunkt für gleichschenkligen Winkel und T- Profil
3. Beliebiger Querschnitt unter konstanter Normalkraft Beispiel: ungleichschenkliger Winkel
( ) ( )[ ] z' '
M'M
''z
'' ''My pywNMwEI =ϑ⋅−⋅−ϑ⋅+⋅
( ) ( )[ ] y' '
M'M
''y
'' ''Mz pzvNMvEI =ϑ⋅+⋅−ϑ⋅+⋅
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]
Tpzpy
MWMzMy2M
''Mz
''My
' 'MM
' 'MM
''T
'' ''W
mzpyp
rMrMrMiN'
wMvMwyNvzNGIEI
Wyz
=ϑ⋅⋅+ϑ⋅⋅+
⋅+⋅−⋅+⋅⋅ϑ−
⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−ϑ⋅−ϑ⋅
14 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
0
0 0 0
0 0
0 0
0 0 0
1) Doppelt symmetrischer Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt :
0 0
0 0
0
Für die Praxis wichtige Fälle des Druckstabes
0mpp 0M0M .konstN
Tzyy
z
======
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Resultat: - alle drei Gleichungen sind entkoppelt - drei homogene Probleme
- Lösungen sind die elementaren Eulerlasten
1) Doppelt symmetrischer Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt :
Für die Praxis wichtige Fälle des Druckstabes
0mpp 0M0M .konstN
Tzyy
z
======
[ ] 0GIrNEI
0wNwEI
0vNvEI
''T
2'' ''w
''M
'' ''My
''M
'' ''Mz
=ϑ⋅+⋅−−ϑ⋅
=⋅+⋅
=⋅+⋅entkoppelt:
2
2
yy,cr lEIN π
⋅= 2
2
zz,cr lEIN π
⋅=
+
π⋅⋅=ϑ T2
2
w2,cr GIl
EIr1N
( ) ( )[ ] y' '
M'M
''y
'' ''Mz pzvNMvEI =ϑ⋅+⋅−ϑ⋅+⋅
( ) ( )[ ] z' '
M'M
''z
'' ''My pywNMwEI =ϑ⋅−⋅−ϑ⋅+⋅
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]
Tpzpy
MwMzMy2M
''Mz
''My
' 'MM
' 'MM
''T
'' ''w
mzpyp
rMrMrMiN'
wMvMwyNvzNGIEI
wyz
=ϑ⋅⋅+ϑ⋅⋅+
⋅+⋅−⋅+⋅⋅ϑ−
⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−ϑ⋅−ϑ⋅
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0
0 0 0
0 0
0 0
0 0 0
2) Einfach symmetrischer Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt:
0
0
0 0
Für die Praxis wichtige Fälle des Druckstabes
0mpp 0M0M .konstN
Tzyy
z
======
17 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
2) Einfach symmetrischer Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt:
Resultat: - alle drei Gleichungen sind entkoppelt - drei homogene Probleme
- Lösungen sind die elementaren Eulerlasten
Häufig maßgebend
Für die Praxis wichtige Fälle des Druckstabes
0mpp 0M0M .konstN
Tzyy
z
======
[ ] 0GIrNEI
0wNwEI
0vNvEI
''T
2'' ''w
''M
'' ''My
''M
'' ''Mz
=ϑ⋅+⋅−−ϑ⋅
=⋅+⋅
=⋅+⋅
entkoppelt:
2
2
yy,cr lEIN π
⋅= 2
2
zz,cr lEIN π
⋅=
+
π⋅⋅=ϑ T2
2
w2,cr GIl
EIr1N
( ) ( )[ ] y' '
M'M
''y
'' ''Mz pzvNMvEI =ϑ⋅+⋅−ϑ⋅+⋅
( ) ( )[ ] z' '
M'M
''z
'' ''My pywNMwEI =ϑ⋅−⋅−ϑ⋅+⋅
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]
Tpzpy
MwMzMy2M
''Mz
''My
' 'MM
' 'MM
''T
'' ''w
mzpyp
rMrMrMiN'
wMvMwyNvzNGIEI
wyz
=ϑ⋅⋅+ϑ⋅⋅+
⋅+⋅−⋅+⋅⋅ϑ−
⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−ϑ⋅−ϑ⋅
18 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
0
0 0 0
0 0
0 0
0 0 0
0
2) Einfach symmetrischer Querschnitt mit Normalkraft im Schwerpunkt:
0
Für die Praxis wichtige Fälle des Druckstabes
0mpp 0M0M .konstN
Tzyy
z
======
19 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
Resultat: - alle Gleichungen homogen - eine Gleichung ist entkoppelt, daher reines
Biegeknicken um y-Achse - gekoppeltes Drillknicken um x- und z-Achse
2) Einfach symmetrischer Querschnitt mit Normalkraft im Schwerpunkt:
→Lösungen über Determinate und Randbedingungen (siehe Knicken)
Für die Praxis wichtige Fälle des Druckstabes
0mpp 0M0M .konstN
Tzyy
z
======
[ ] 0zNGIrNEI
0wNwEI
0zNvNvEI
''M
''T
2'' ''w
''M
'' ''My
''M
''M
'' ''Mz
=ϑ⋅⋅+ϑ⋅+⋅−−ϑ⋅
=⋅+⋅
=ϑ⋅⋅+⋅+⋅entkoppelt:
20
Wirkt N im Schubmittelpunkt, so folgt:
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
3) Beliebiger Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt:
Für die Praxis wichtige Fälle des Druckstabes
0mpp .konstbNM.konstaNM .konstN
Tzyy
z
====⋅−==⋅==
↵== zb und ya MM
( ) 0zbNvNvEI ''M
''M
'' ''Mz =ϑ⋅−⋅−⋅+⋅
( ) 0yaNwNwEI ''M
''M
'' ''My =ϑ⋅−⋅+⋅+⋅
( )[ ]( ) ( ) 0wyaNvzbN
GIrarbiNEI''MM
''MM
''TMM
2M
'' ''w yz
=⋅−⋅+⋅−⋅−
ϑ⋅+⋅+⋅+⋅−−ϑ⋅
0
0
0 0
21
Wirkt N im Schubmittelpunkt, so folgt:
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
3) Beliebiger Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt:
Resultat: - alle drei Gleichungen sind entkoppelt - drei homogene Probleme
- Lösungen sind die elementaren Eulerlasten
Für die Praxis wichtige Fälle des Druckstabes
0mpp .konstbNM.konstaNM .konstN
Tzyy
z
====⋅−==⋅==
↵== zb und ya MM
[ ] 0GIrNEI
0wNwEI
0vNvEI
''T
2'' ''w
''M
'' ''My
''M
'' ''Mz
=ϑ⋅+⋅−−ϑ⋅
=⋅+⋅
=⋅+⋅entkoppelt:
2
2
yy,cr lEIN π
⋅= 2
2
zz,cr lEIN π
⋅=
+
π⋅⋅=ϑ T2
2
w2,cr GIl
EIr1N
( ) 0zbNvNvEI ''M
''M
'' ''Mz =ϑ⋅−⋅−⋅+⋅
( ) 0yaNwNwEI ''M
''M
'' ''My =ϑ⋅−⋅+⋅+⋅
( )[ ]( ) ( ) 0wyaNvzbN
GIrarbiNEI''MM
''MM
''TMM
2M
'' ''w yz
=⋅−⋅+⋅−⋅−
ϑ⋅+⋅+⋅+⋅−−ϑ⋅
22 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
0
0
0 0
3) Beliebiger Querschnitt mit Normalkraft im Schwerpunkt:
Für die Praxis wichtige Fälle des Druckstabes
0mpp .konstbNM.konstaNM .konstN
Tzyy
z
====⋅−==⋅==
0ba ==
0 0
23 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
Resultat: - vollständige Kopplung - homogenes Problem
3) Beliebiger Querschnitt mit Normalkraft im Schwerpunkt:
Für die Praxis wichtige Fälle des Druckstabes
0mpp .konstbNM.konstaNM .konstN
Tzyy
z
====⋅−==⋅==
0ba ==
0zNvNvEI ''M
''M
'' ''Mz =ϑ⋅⋅+⋅+⋅
0yNwNwEI ''M
''M
'' ''My =ϑ⋅⋅−⋅+⋅
[ ] 0wyNvzNGIiNEI ''MM
''MM
''T
2M
'' ''w =⋅⋅−⋅⋅+ϑ⋅+⋅−−ϑ⋅
Für die Praxis wichtige Fälle des Biegestabes 4.
5. 6. 7.
Doppelt symmetrischer Querschnitt unter konstantem My Doppelt symmetrischer Querschnitt unter linearem My Doppelt symmetrischer Querschnitt mit oben bzw. unten angreifender Last Doppelt symmetrischer Querschnitt ohne Gabellagerung
8.
Doppelt symmetrischer Querschnitt unter konstantem My mit Drehbettung
9. Doppelt symmetrischer Querschnitt unter linearem My und konstantem N
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( ) ( )[ ] y' '
M'M
''y
'' ''Mz pzvNMvEI =ϑ⋅+⋅−ϑ⋅+⋅
( ) ( )[ ] z' '
M'M
''z
'' ''My pywNMwEI =ϑ⋅−⋅−ϑ⋅+⋅
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]
Tpzpy
MwMzMy2M
''Mz
''My
' 'MM
' 'MM
''T
'' ''w
mzpyp
rMrMrMiN'
wMvMwyNvzNGIEI
wyz
=ϑ⋅⋅+ϑ⋅⋅+
⋅+⋅−⋅+⋅⋅ϑ−
⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−ϑ⋅−ϑ⋅
25 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
0 0
0 0 0
0 0 0
0
0 0 0
0
4) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter konst. My:
Für die Praxis wichtige Fälle des Biegestabes
0mpp .konstM0M 0 N
Tzyy
z
======
26
Kritisches Moment (früher Kippmoment genannt):
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
4) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter konst. My:
Für die Praxis wichtige Fälle des Biegestabes
0mpp .konstM0M 0 N
Tzyy
z
======
0rMvMGIEI
0wEI
0MvEI
''My
''My
''T
'' ''w
'' ''My
''y
'' ''Mz
z=ϑ⋅⋅−⋅+ϑ⋅−ϑ⋅
=⋅
=ϑ⋅+⋅entkoppelt:
z
2
2T
w2
IE
lGIIc mit π⋅
⋅+=
+
±⋅
π⋅= 2
2MM
2
2z
cr,y c2
r2
rL
EIM zz
27 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
5) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter linearem My:
Für die Praxis wichtige Fälle des Biegestabes
0mpp linearM0M 0 N
Tzyy
z
======
0rMvMGIEI
0wEI
0MvEI
''My
''My
''T
'' ''w
'' ''My
''y
'' ''Mz
z=ϑ⋅⋅−⋅+ϑ⋅−ϑ⋅
=⋅
=ϑ⋅+⋅
entkoppelt:
2z
T2
z
W2
2z
1cr EIIGL
II
LEICM
π⋅
⋅⋅+⋅
π⋅⋅=
28 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
6) Doppelt symmetrischer Querschnitt mit oben bzw. unten angreifender Last:
h/2
Für die Praxis wichtige Fälle des Biegestabes
( ) ( )
⋅−⋅+
π⋅
⋅⋅+⋅
π⋅⋅= g2
2g22
z
T2
z
W2
2z
1cr zCzCEI
IGLII
LEICM
29 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
7) Doppelt symmetrischer Querschnitt ohne Gabellagerung:
Der Faktor k bezieht sich auf die Verdrehung der Enden in der Draufsicht. Er entspricht dem Verhältnis der Knicklänge zur Systemlänge eines Druckgliedes. Der Wert k sollte nicht geringer als 1,0 angenommen werden, außer wenn ein Wert kleiner als 1,0 gerechtfertigt werden kann. Der Faktor kw
bezieht sich auf die Verwölbung der Trägerenden. Sind keine Vorkehrungen zur Verhinderung der Verwölbung getroffen worden, ist kw
mit 1,0 anzusetzen.
Für die Praxis wichtige Fälle des Biegestabes
( ) ( ) ( )
⋅−⋅+
π⋅
⋅⋅⋅+⋅
⋅
⋅
π⋅⋅= g2
2g22
z
T2
z
W
w2
2z
1cr zCzCEI
IGLkII
kk
LkEICM
30 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
DGL-System für einfachsymmetrischen Querschnitt
8) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter konst. My mit Drehbettung (z.B. Trapezblech):
Für die Praxis wichtige Fälle des Biegestabes
0mpp .konstM0M 0 N
Tzyy
z
======
0cvMGIEI
0wEI
0MvEI
''My
''T
'' ''W
'' ''My
''y
'' ''Mz
=ϑ⋅+⋅+ϑ⋅−ϑ⋅
=⋅
=ϑ⋅+⋅
ϑ
z
2
2
T2
2
2
2z
cr,y IG
LcIEGLI
LEIM
⋅π⋅+⋅
⋅π⋅
+⋅
π⋅⋅ζ=
ϑω
( ) ( )[ ] y' '
M'M
''y
'' ''Mz pzvNMvEI =ϑ⋅+⋅−ϑ⋅+⋅
( ) ( )[ ] z' '
M'M
''z
'' ''My pywNMwEI =ϑ⋅−⋅−ϑ⋅+⋅
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]
Tpzpy
MWMzMy2M
''Mz
''My
' 'MM
' 'MM
''T
'' ''W
mzpyp
rMrMrMiN'
wMvMwyNvzNGIEI
Wyz
=ϑ⋅⋅+ϑ⋅⋅+
⋅+⋅−⋅+⋅⋅ϑ−
⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−ϑ⋅−ϑ⋅
31 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
9) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter linearem My und konst. N:
0 0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
N
N ,b
,a
a
b x
Für die Praxis wichtige Fälle des Biegestabes
( )
0MMmppyLxMM
LxMMM :linearM
zTzyM
yya
yaybyay
======
⋅∆+
⋅−+=
ω
9) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter linearem My und konst. N:
N
N ,b
,a
a
b x
Gl. 1 und Gl.3 liefern inhomogenes DGL- System 2. Ordnung → Biegung, Torsion und Knicken um die y- Achse gekoppelt → Biegedrillknickproblem Gl. 2: Knicken um die z- Achse entkoppelt: Eulerlast
Für die Praxis wichtige Fälle des Biegestabes
0MMmppyLxMM M
zWTzyM
yyay
======
⋅∆+=
( ) ( )[ ] Teil ogenerhomin
''
y' '
M'Mya
'' ''Mz L
xMzvNMvEI )1
ϑ⋅⋅∆−=ϑ⋅+⋅−ϑ⋅+⋅
0wNwEI )2 ''M
'' ''My =⋅−⋅
2
2
zz,cr lEIN π
⋅=
32 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
( ) ( )[ ] ( )''''My
' ya
2M
'''Mya
''MM
''T
''''w v
LxMMiNvMvzNGIEI )3 ϑ+⋅⋅∆−=+⋅⋅ϑ−⋅+⋅⋅−ϑ⋅+ϑ⋅
33 Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau
9) Doppelt symmetrischer Querschnitt unter linearem My und konst. N:
Lösung des gekoppelten Biegedrillknickproblems über Reihenansätze (z.B. Taylorreihe). Darstellung in Diagramm für die Praxis:
N
N
,b
,a
a
b x
Für die Praxis wichtige Fälle des Biegestabes
0,1MMM
kMMM
kNN
1M
Rk,z
Ed,zEd,zzz
1M
Rk,yLT
Ed,yEd,yzy
1M
Rkz
Ed ≤
γ
∆+⋅+
γ⋅χ
∆+⋅+
γ⋅χ
0,1MMM
kMMM
kNN
1M
Rk,z
Ed,zEd,zyz
1M
Rk,yLT
Ed,yEd,yyy
1M
Rky
Ed ≤
γ
∆+⋅+
γ⋅χ
∆+⋅+
γ⋅χ
34
Biegedrillknicknachweis nach DIN EN 1993-1-1
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1. Der Nachweis wird als Interaktion geführt:
und Zweiachsige Biegung und Normalkraft
0,1MMM
kMMM
kNN
1M
Rk,z
Ed,zEd,zzz
1M
Rk,yLT
Ed,yEd,yzy
1M
Rkz
Ed ≤
γ
∆+⋅+
γ⋅χ
∆+⋅+
γ⋅χ
0,1MMM
kMMM
kNN
1M
Rk,z
Ed,zEd,zyz
1M
Rk,yLT
Ed,yEd,yyy
1M
Rky
Ed ≤
γ
∆+⋅+
γ⋅χ
∆+⋅+
γ⋅χ
35
Biegedrillknicknachweis nach DIN EN 1993-1-1
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1. Der Nachweis wird als Interaktion geführt:
und Zweiachsige Biegung und Normalkraft Einachsige Biegung und Normalkraft
0,1MMM
kMMM
kNN
1M
Rk,z
Ed,zEd,zzz
1M
Rk,yLT
Ed,yEd,yzy
1M
Rkz
Ed ≤
γ
∆+⋅+
γ⋅χ
∆+⋅+
γ⋅χ
0,1MMM
kMMM
kNN
1M
Rk,z
Ed,zEd,zyz
1M
Rk,yLT
Ed,yEd,yyy
1M
Rky
Ed ≤
γ
∆+⋅+
γ⋅χ
∆+⋅+
γ⋅χ
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Biegedrillknicknachweis nach DIN EN 1993-1-1
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1. Der Nachweis wird als Interaktion geführt:
und Zweiachsige Biegung und Normalkraft Einachsige Biegung und Normalkraft Einachsige Biegung
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Biegedrillknicknachweis nach DIN EN 1993-1-1
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2. Momente aus Verschiebung der Querschnittsachsen ∆My,Ed und ∆Mz,Ed:
Muss nur für Klasse 4 Querschnitte ermittelt werden!
Verschiebung der maßgebenden Hauptachse unter reiner Druckbeanspruchung nach 6.2.2.5(4)
3. Abminderungsbeiwert für Biegedrillknicken χLT :
EdzNEdz
EdyNEdy
NeMNeM
,,
,,
=∆
=∆
2LT
2LTLT
LT1
λβ−Φ+Φ=χ
2LT
LT
LT
10,1
λ≤χ
≤χaber
cr
yyLT M
fW ⋅=λ
( )( )2LT0,LTLTLTLT 15,0 λβ+λ−λα+=Φ
zN
yN
ee
,
,
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Biegedrillknicknachweis nach DIN EN 1993-1-1
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E Elastizitätsmodul (E = 210.000 N/mm2) G Schubmodul (G = 80.770 N/mm2) Iz Trägheitsmoment um die schwache Achse
IT Torsionsträgheitsmoment
Iw Wölbwiderstandsmoment
L Trägerlänge zwischen seitlicher Stützung
k, kw Knicklängenbeiwerte
zg Abstand des Lastangriffspunktes zum Schubmittelpunkt
C1, C2 Koeffizienten
Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment:
( ) ( ) ( )
⋅−⋅+
π⋅⋅⋅⋅
+⋅
⋅
⋅π⋅
⋅= g22
g22z
t2
z
w
w2
2z
1cr zCzCEI
IGLkII
kk
LkEICM
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ζ Momentenbeiwert
Ncr ideale Verzweigungslast:
E Elastizitätsmodul (E = 210.000 N/mm2)
Iz Trägheitsmoment um die schwache Achse
IT Torsionsträgheitsmoment
Iw Wölbwiderstandsmoment
c Drehradius des Querschnitts:
L Abstand der Gabellager
zg Abstand des Lastangriffspunktes zum Schubmittelpunkt
Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment bei Gabellagerung:
(nach Kahlmeyer, Stahlbau nach EC 3)
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Biegedrillknicknachweis nach DIN EN 1993-1-1
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Momentenbeiwert ς (Korrekturbeiwert kc)
Der Faktor ς ist ein von der Belastungssituation und den Lagerungsbedingungen abhängiger Faktor und kann als ς = kc
-2 angenommen werden
(DIN EN 1993-1-1, Tab. 6.6)
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Biegedrillknicknachweis nach DIN EN 1993-1-1
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Ermittlung von zg:
zg ist der Abstand des Lastangriffspunktes zum Schubmittelpunkt
zg ist positiv, wenn die Lasten von ihrem Angriffspunkt in Richtung Schubmittelpunkt wirken und somit eine rückdrehende Wirkung haben
Komponenten von Mcr:
h/2
Wölbwiderstandsmoment Iw (Näherung bei doppeltsymmetr. Querschnitt) :
h Querschnittshöhe tf Flanschdicke
( )4
thII2
fzw
−⋅=
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Knicklängenbeiwerte k und kw:
Der Faktor k bezieht sich auf die Verdrehung der Enden in der Draufsicht. Er entspricht dem Verhältnis der Knicklänge zur Systemlänge eines Druckgliedes. Der Wert k sollte nicht geringer als 1,0 angenommen werden, außer wenn ein Wert kleiner als 1,0 gerechtfertigt werden kann. Der Faktor kw
bezieht sich auf die Verwölbung der Trägerenden. Sind keine Vorkehrungen zur Verhinderung der Verwölbung getroffen worden, ist kw
mit 1,0 anzusetzen.
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• Das allgemeine Biegetorsionsdifferentialgleichungssystem nach Theorie II. Ordnung ist in seiner allgemeinen Form komplex:
• i.A. drei gekoppelte DGL
• außerdem haben zunächst alle drei DGLs nicht konstante Koeffizienten, was die Lösung des Systems weiter erschwert
• Schon bei einfachen baupraktischen Systemen treten mehrere Schnittgrößen auf, dadurch ist innerhalb des DGL-Systems eine Interaktion zu berücksichtigen
• Für die Praxis wichtige Fälle • es treten nur entkoppelte Gleichungen auf, wenn die Normalkraft im Schubmittelpunkt angreift und
keine weitere Biegung vorliegt.
• In den entkoppelten Gleichungen fallen dann die elementaren EULERlasten ab
• Normatives Ersatzstabverfahren • Relativ „handliches“ Nachweisformat
• Bei Schnittgrößeninteraktionen ist das Nachweisformat auf den ersten Blick entkoppelt, was die Handhabung erleichtert. Die Kopplung ist jedoch über die Beiwerte erfaßt.
• Im Hinblick auf den Nachweis liegt die wesentliche Hürde in der Ermittlung der kritischen Lasten Mcr => analog zum Biegeknicken
Zusammenfassung
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[1] Roik – Vorlesungen über Stahlbau Verlag Ernst und Sohn, 2., überarbeitete Auflage, 1983 [2] DIN EN 1993-1-1 Beuth Verlag [3] Petersen – Stahlbau Vieweg, 3. Auflage, 2001 [4] Petersen – Statik und Stabilität der Baukonstruktionen Vieweg, 2., durchgesehene Auflage, 1982 [5] Kahlmeyer – Stahlbau nach EC 3 Werner Verlag, 6. Auflage, 2012
Schrifttum
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Anhang - Biegedrillknicknachweis nach DIN EN 1993-1-1
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Koeffizienten C1, C2:
C1 und C2
sind Koeffizienten, die von der Belastung und von den Lagerungsbedingungen an den Enden abhängen.
1. reine Endmomentenbelastung:
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2. Bauteil mit Querbelastung:
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3. Bauteil mit Endmomenten und Querbelastung:
Parameter:
ψ Verhältnis der Momentenverteilung
µ Verhältnis des Momentes infolge Querlast zum maximalen Endmoment Fall a) Endmomente mit einer gleichmäßig verteilten Last Fall b) Endmomente mit einer Last in Feldmitte Vorzeichenregelung von µ: µ >0 wenn M und die Querlast (q oder F), jeweils für sich betrachtet, den
Träger in die gleiche Richtung biegen µ <0 ansonsten
M8Lq 2
⋅⋅
=µ
M4LF
⋅⋅
=µ
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µ > 0
Endmomente und gleichmäßig verteilte Last – Faktor C1
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µ < 0
Endmomente und gleichmäßig verteilte Last – Faktor C1
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µ > 0
Endmomente und gleichmäßig verteilte Last – Faktor C2
51
Anhang - Biegedrillknicknachweis nach DIN EN 1993-1-1
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µ < 0
Endmomente und gleichmäßig verteilte Last – Faktor C2
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µ > 0
Endmomente und Einzellast in Feldmitte – Faktor C1
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µ < 0
Endmomente und Einzellast in Feldmitte – Faktor C1
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µ > 0
Endmomente und Einzellast in Feldmitte – Faktor C2
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µ < 0
Endmomente und Einzellast in Feldmitte – Faktor C2