synchronisation schwach gekoppelter oszillatoren teil 1: theoretische grundlagen seminar: physik in...
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Synchronisation schwach gekoppelter Oszillatoren
Teil 1: Theoretische Grundlagen
Seminar: Physik in der Biologie
Raphael Engesser
In der Biologie: Oszillatoren von grundlegender Bedeutung:
• Herzschlag
• Neuronen
• Parkinson
• Lotka – Volterra
• Glühwürmchen
• …
Ein Oszillator ist ein dynamisches System mit einem beschränkten periodischen Attraktor
Biologie: immer Dissipation und Fluktuation vorhanden
=> Es müssen aktive System sein (zB van der Pol)
Hamiltonsche Systeme:
• klingen ab oder
• laufen aus dem Ruder
Grenzzyklen
En
erg
ie
x
Dissipation Von außen
zugeführte Energie
• Amplitude unempfindlich gg Störungen
Von Interessere:
• nicht die Ursache einer Oszillation
• sondern Wechselwirkungen (Kopplungen) zwischen einzelnen Oszillatoren
Mögliche Effekte:
• Schwebungen
• Chaos
• Synchronisation
• …
Synchronisation
Anpassung der Frequenzen von periodisch schwingenden, selbständigen Systemen (Oszillatoren) aufgrund einer schwachen Wechselwirkung
• frequency entrainment
• phase locking
gleichphasig gegenphasig
Konstante Phasendifferenz keine Synchronistation
Beispiel: Millennium Bridge in London
Synchronisation in der Biologie
• Herz
• Neuronen
• Glühwürmchen
• Tausendfüssler
• Grillen
• …
Entdeckung durch Christian Huygens (1629 – 1695)
Arten von Kopplungen:
a) Unidirektionale Kopplung
Bsp: getriebener linearer Oszillator
Jahreszyklus der Bäume
b) Bidirektionale Kopplung
Bsp: Gekoppeltes Pendel (siehe AP I)
Kopplung von linearen Oszillatoren:
Beispiel:
Gekoppelte Federpendel (lineare Näherung)
Allg. Lösung: Überlagerung der Normalschwingungen Фgleich und Фgegen
X1(t) = Фgleich + Фgegen
X2(t) = Фgleich - Фgegen
• Schwebungen
• Maxima versetzt
• keine Synchronisation
Kopplung von nichtlinearen Oszillatoren
Beispiel:
Van-der-Pol Oszillator
• periodisches Störsignal
• unidirektionale Kopplung
)sin()1( 12
2212
21
txxxx
xx
Störsignal
Van-der-Pol ohne Störsignal
mit μ = 3
(a) ε = 0, d.h. ohne Kopplung
(b) ε = 0.24
Synchronisation eines periodisch getriebenen van-der-Pols
Das ganze bisschen mathematischer:
• Ein Oszillator ist ein dynamisches System
• Mit einem beschränktem periodischem Attraktor
• Periode T>0: kleinstes T für das gilt
m xxfx ),(
m
t.allefür ,)()( Ttt
Phasenbeschreibung
• Beschreibung eines Oszillators durch nur eine Variable
• definiere Transformation
• Θ bildet Lösungen x(t) € R auf Ф(t) € S1 ab
• Entspricht Parametrisierung des Grenzzyklus
1S :(x(t))
Eigenschaften von Φ(t):
• Koordinate entlang des Grenzzyklus
• steigt monoton an
• bei einem Umlauf um den Grenzzyklus um 2π
• gleichförmige Bewegung gemäß:
Tdt
d 20
Phasenbeschreibung sinnvoll da:
• Störungen wirken sich nur auf Phase aus
• Grenzzyklus: Amplitude ist stabil
• System nur eindimensional
),(
),(
122222
211111
xxpxfx
xxpxfx
ε)(dt
d
ε)(dt
d
Betrachte zwei miteinander gekoppelte Oszillatoren:
Frage: Wie sieht Phasenbeschreibung aus?
Wegen Störungen muss man die Phase auch auf einer Umgebung des Attraktors definieren
111 )(
dt
d x
121111 ),()(
xxfxx dt
d
Ungestörter Oszillator auf Umgebung des Attraktors
Kettenregel
),(
),()(
21111
2111111111
xxp
xxpxfxx
ε
ε)(dt
d
)(),(),(
)(),(),(
112222122
221111211
xxp
xxp
h
h
mit Kopplung
definiere 2π-periodische Funktionen h1,2
),(
),(
212222
211111
xxpxfx
xxpxfx
ε)(dt
d
ε)(dt
d
),(
),(
12222
21111
εhdt
d
εhdt
d
Dynamische System:
lässt sich überführen in:
betrachte Störung auf dem Grenzzyklus:
),(
),(
12222
21111
εhdt
d
εhdt
d
)(
)(
122122
211211
Hdt
d
Hdt
d
)(
)(
122122(2)
211211(1)
H
H
)()()( und
)(
122112
HHHmit
H
(2) – (1) ergibt Phasendifferenz ΔФ = Ф2 - Ф1
man erhält neue Koordinate ΔФ:
Fixpunkte ΔФ´ = 0:
)(
)(0
H
H
Annahme: identischen Oszillatoren und WW
)()H( und 012 H
ΔФ = 0 und ΔФ = π sind dann Fixpunkte.
Stabilitätsanalyse:
• System: ΔФ´=εH(ΔФ)
• Fixpunkt ΔФ*
• Stabil wenn H´(ΔФ*) < 0
Beispiel für H(Δφ) und H12(Δφ ) bzw. H21(Δφ)
Fixpunkt bei ΔФ = 0 stabil - gleichphasig
ΔФ = π instabil - antiphasig
Adler Gleichung
Zur Veranschaulichung:
wähle für H(ΔФ) = sin(ΔФ)
Adlergleichung:
)( H
)sin(
)(t
Adlergleichung – Lösungen für verschiedene ε
)sin(
)( H
„Washboard“ - Potential
KxVHd
dV
)( :Mech klass. gl. v,)(
)cos())(()())(()(0
dxxHV
Gleichung für Phasendifferenz
Rechte Seite als Potential:
V(ΔФ) ergibt sich mit H(ΔФ) = sin(ΔФ) als:
ΔФ
ΔФ
Untersuchung der Potentialgleichung:
)cos())(()( V
ΔФ
ΔФ
Fall 1: Änderung der Frequenzen
Fall 2: Änderung der Kopplungsstärke ε
Arnold Tongues
kleine Kopplungsstärken reichen schon
Weiterführendes:
• unterschiedliche Oszillatoren
• mehr als zwei: Ketten, Gitter, ….
• höhere Ordnung von Synchronisation
• Phasendifferenz muss nur beschränkt sein
• stochastische Effekte
• Kommunikation von Systemen
• Ordnung bringen in Systeme
• Verringerung der Komplexitität
• Wenn Eigenfrequenzen ungefähr stimmen, reicht schon
• Bringt Stabilität in die Systeme
Noch Fragen????