tema 1: fundamentos matemáticosfundamentos...
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Tema 1:Fundamentos MatemáticosFundamentos Matemáticos
Antonio González Fernández
ánde
z Departamento de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla
nzál
ez F
erná
Parte 4/7
Anto
nio
Gon
Parte 4/7 Flujo, divergencia yt d G
© 2
010,
A teorema de Gauss
Concepto de flujo de un campo t i lvectorial
Es una medida de la “cantidad de campo” que atraviesa
Es una medida de la cantidad de campo que atraviesa una superficie.
vS ·dS
v S
El flujo es una cantidad
ánde
z
nv S
El flujo es una cantidad escalar con signo:
Ф>0: el campo va
nzál
ez F
erná · ·S v n v S Ф>0: el campo va
sobre todo en el mismo sentido que dS
Anto
nio
Gon
d d v Ssentido que dSФ<0: el campo va sobre todo en el
© 2
010,
A
2
sobre todo en el sentido opuesto a dS
Ejemplo de flujo de un campo no ifuniforme
El fil d P i ill t l fl j ilEl perfil de Poiseuille representa el flujo en un capilar (cilindro muy delgado)
2
1v v u Z
a
ánde
z
0 21 zva
v u
nzál
ez F
erná
·dS
v S 2
2
0 2·d 1 · d da
z zSv
v S u u 2
2
0 2·d 1 · d da
z zSv
v S u u 2
2
0 2·d 1 · d da
z zSv
v S u uIntegrando
Anto
nio
Gon S 2
00S a
200
23
d d
S
a
a
200
223 2 4
0d d
S
a
a
v aa a
sobre una sección circ lar
© 2
010,
A
0 200
d dva
0
0 02 200
d d 22 4 2
v aa av va a
3
circular z = cte
Flujo a través de una superficie cerradaj p
El concepto de flujo puedeEl concepto de flujo puede extenderse a una superficie cerradacerrada
·dS
A S
ánde
z
SLa normal debe ser la exterior
nzál
ez F
erná
Ф>0: hay una producción neta
Ф<0: hay una absorción neta
Ф=0: no hay una producción neta
Anto
nio
Gon de campo en el
interior: manantiales
de campo en el interior: sumideros
de campo en el interior
© 2
010,
A
4
manantiales sumideros
Ejemplo físico de flujo: campo de lé t icargas eléctricas
En S1, Φ1=0
q
S1 En S Φ <0
En S2, Φ2>0
S4S2
ánde
z
S1 En S3, Φ3<0
En S4, Φ4=0
4
nzál
ez F
erná
-q
S4, Φ4
S3 Las cargas son manantiales
Anto
nio
Gon
gy sumideros de campo eléctrico
© 2
010,
A
5
Dos ejemplos de cálculo de flujo en fi i dsuperficies cerradas
·d r S
A través de un cubo de lado 2acentrado en el origen
A través de una esfera de radio a centrada en el
ánde
z
gorigen 6
1k
k ·d
kk kS
r S
·d r S
nzál
ez F
erná
6 ·d
· d d
zz aa a
x y a x y
r S
u u u u 2 2
0 0· sen d dr ra a
u u
Anto
nio
Gon
3
· d d
d d 4
x y z za aa a
x y a x y
a x y a
u u u u23 3
0 0sen d 4a d a
© 2
010,
A
61 2 6 324a
En los dos casos resulta Φ = 3×(volumen)
a a
Divergencia: para localizar las fuentes h di i i l lhay que disminuir el volumen
Tomando el límite de superficies cada vez menores (hasta reducirla a un punto)
1· lim ·d A A S
se obtiene la divergencia
ánde
z
0· lim ·d
A A S
nzál
ez F
erná
Anto
nio
Gon
© 2
010,
A
7
Hay que dividir por Δτ para que el límite no tienda a 0
Divergencia, manantiales y sumideros; l id lcampos solenoidales
La divergencia produce · r ALa divergencia produce un campo escalar a partir de uno vectorial
r A
ρ: Fuentes escalares del campo vectorial Apartir de uno vectorial del campo vectorial A.
Dondei l d
ánde
z
ρ > 0: Manantial de Aρ < 0: Sumidero de A
q
nzál
ez F
erná ρ = 0: A carece de fuentes-q
Anto
nio
Gon Un campo que carece de
fuentes escalares en todol i ( )
Ejemplo:
B
© 2
010,
A
8
el espacio (·A = 0) sedenomina solenoidal
x yy x B u u u
Expresión de la divergencia en dif t i t d d ddiferentes sistemas de coordenadas
Aplicando la definición de divergencia a un volumen de lados
E ió l C t i
Aplicando la definición de divergencia a un volumen de lados paralelos a las líneas coordenadas resulta
Expresión general 1 2 3 1 2 3 1 2 31·A h h h A h h h A
h h h q q q
A
Cartesianas
· yx zAA Ax y z
A
ánde
z
1 2 3 1 2 3h h h q q q x y z
Cilíndricas
Esféricas 2
nzál
ez F
erná 1 1· z
A A Az
A
2
2
sen1 1 1·sen sen
rr A AAr r r r
A
Anto
nio
Gon
Ejemplo: A = r · 1 1 1 3x y yx y z
r
© 2
010,
A
9
21 2· 0 1 3z
z
r 3 2
2 2
1 3· 0 0 3r r
r r r
r
La divergencia como aplicación del d bl
La divergencia
operador nabla
La divergenciapuede calcularse como
31 21 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
· · A A Ah q h q h q
uu uA u u u
cia
te
ánde
z
verg
enc
radi
ent
nzál
ez F
erná
La divergencia cumple las reglas de derivación ordinarias
DivGr
Anto
nio
Gon
Suma: Producto:
La divergencia cumple las reglas de derivación ordinarias
© 2
010,
A
10
· A B · A · · A A· · A B
Teorema de GaussG
La divergencia da las fuentes escalares de un campo · ALa divergencia da las fuentes escalares de un campo
Sumando todo lo que se produce y
A
q p yrestando lo que se absorbe en el interior de τ se obtiene el flujo al exterior
ánde
z Σmanantiales – Σsumideros = producción neta
nzál
ez F
erná
τ d ·d A S
Teorema de Gauss
· d ·d A A S
Anto
nio
Gon
τ Ya incluye el signo· d ·d
A A S
© 2
010,
A
11
Permite pasar de integrales de volumena integrales de superficie y viceversa
τ: fronterade τ
Ejemplos de aplicación del teorema de GGauss
Para el campo A = r Para el campo A = rse cumple siempre
·d
r S 3 d · d
r 3
1.10 Para el campo vectorial A = (x − y)ux + (x + y)uy + zuzcalcule su flujo a través de las siguientes superficies cerradas:
( ) U b d i é i l i i
ánde
z
(a) Un cubo de arista a, con un vértice en el origen y aristas aux, auy y auz.
(b) Un cilindro circular de altura h y radio R con el eje Z
nzál
ez F
erná (b) Un cilindro circular de altura h y radio R, con el eje Z
como eje y sus bases situadas en z = 0 y z = h.(c) Una esfera de radio R en torno al origen de coordenadas.
Anto
nio
Gon
( ) gHalle el flujo por integración directa y por aplicación del
teorema de Gauss.
© 2
010,
A
12
Solución
El problema del campo r/r3p p
S l 1 E t lSea el campo 3 2
1rr r
rA u Es un campo central
Las líneas de campoLas líneas de camposon radiales
hacia afueraAparece muy a menudo en E&M
ánde
z
hacia afueramenudo en E&M
nzál
ez F
erná
Este campo posee al menos un manantial en el origen
Hallando la · 1 r ?????? r 3 3 ·r r
Anto
nio
GonHallando la
divergencia 3 3
1·r r
r r ??????
á
3· ·r
rA 03 5
3 3r r
r r
© 2
010,
A
13
Este cálculo no es aplicable a r = 0,donde el campo es singular
Precisamos nuevas herramientas
Ángulo sólido: extensión a 3D del ángulo lplano
En 2D el ángulo abarcado por ΓEn 2D el ángulo abarcado por una curva desde un punto se obtiene dividiendo un arco de
OLR
αcircunferencia por un radio O L
R
ánde
z
El ángulo sólido Ω es la misma idea extendida al espacio
SS ES
nzál
ez F
erná
O
RSE 2
E
RS
Se mide en estereorradianes
Anto
nio
Gon O Puede calcularse como
·d
r S S: superficie
Si O no es el origen 0
3
·d
r r S
© 2
010,
A
14
3S r
original 3
0S r r
Ángulo sólido de una superficie cerradag p
Si O está en el interior
2
2
4 4R OR
Si O está en el interior
2RSi O está en el exterior
ánde
z
3 3
·d · d 0d 0S r r
r S r
nzál
ez F
erná
Superficie cerrada
S r r
Podemos usar este resultado para
Anto
nio
Gon 4
0OO
resultado para otros problemas
4 6
© 2
010,
A
15
4 64 6
La distribución delta de Dirac es la d id d d tdensidad de un punto
Para una esfera de Cuando R → 0Para una esfera deradio finito
M r R
Cuando R → 0
0 r r 034 3
0
r RR
r R
D fi i ió d d lt
d 1 r
r
ánde
z
d M
r
Definición de deltade Dirac
nzál
ez F
erná
Propiedades de la delta de Dirac
1d
0
0r
0
Anto
nio
Gon
0 0 df f
r r 0
01d
rr r
© 2
010,
A
16 0 0df f
r r r r 0
0
d0
r r
r
Solución al problema del campo r/r3
Sabemos que
p p
Para saber qué pasaSabemos que
3· 0r
r r 0
Para saber qué pasa en r = 0, integramos en un volumen τr
O t i (0 ) O interior (0τ)
ánde
z
O exterior (0τ)
3· d 0r
rO interior (0τ)
3· d
r3
·d
r S 4
nzál
ez F
erná r 3r
Por tanto
3r
Anto
nio
Gon Por tanto
3· 4
r r
Si O no es el origen se haceuna traslación
003· 4
r r r rr r
© 2
010,
A
17
3r una traslación 0
r r
Una integral de superficie que no es un fl jflujo
1.8 Halle el valor de la integral condS A cotg A u u1.8 Halle el valor de la integral con y la superficie de integración una esfera de radio R centradaen el origen.
dS A cotg r A u u
Esta integral no esun flujo d ·dS A A S
Usando coordenadas esféricas
2 2 d dR
I
ánde
z
Sabemos que
un flujo d dS A A S
2
0 022
cotg sen d d
cos sen d d
r R
R
I u u
u u
nzál
ez F
erná
24 R I u¿¿ ??Sabemos que
2
00 0cos d d 2 sen 0
0 0
cos sen d drR u u
Anto
nio
Gon
¿¿
2
00 0sen d d 2 cos 4
Los vectores de la
base dependen de
© 2
010,
A
18
base dependen de la posición
22 2 2
0 0d d 2z zR R
I u u
Sevilla octubre de 2010
ánde
z
Sevilla, octubre de 2010
nzál
ez F
erná
Anto
nio
Gon
© 2
010,
A
19