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Tragmodelle für offene und geschlossene Stahlprofile im Einspannbereich von

Stahlbetonkonstruktionen

Von der Fakultät für Bau- und Umweltingenieurwissenschaften der Ruhr-Universität Bochum genehmigte

Dissertation

zur Erlangung des Grades Doktor-Ingenieur (Dr.-Ing.)

von

Andreas Wöllhardt

Bochum, Februar 2010

Doktorarbeit eingereicht am: 16. Juni 2009 Tag der mündlichen Prüfung: 13. November 2009 Berichter: Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann, Ruhr-Universität Bochum Prof. Dr.-Ing. habil. P. Mark, Ruhr-Universität Bochum

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand in den Jahren 2002 bis 2009 während meiner Tätig-keit als Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Konstruktiven Ingenieurbau der Ruhr-Universität Bochum. Sie wurde von der Fakultät für Bau- und Umwelt-ingenieurwissenschaften als Dissertation angenommen. Mein besonderer Dank gilt Herrn Professor Dr.-Ing. R. Kindmann für die Betreuung und Unterstützung während der Entstehung dieser Arbeit sowie die Übernahme des Referates. Herrn Professor Dr.-Ing. habil. P. Mark danke ich herzlich für die Übernahme des Koreferates. Weiterhin gilt mein Dank allen meinen Kollegen, die durch ihre Diskussions-bereitschaft zum Enstehen dieser Arbeit beigetragen haben. Schließlich danke ich meiner Familie und insbesondere meiner Frau Jasmin für ihre verständnisvolle Unterstützung während der Erstellung dieser Arbeit. Februar 2010 Andreas Wöllhardt

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

1.1 Problemstellung und Zielsetzung 1 1.2 Stand der Forschung 4 1.3 Formelzeichen 5 1.4 Materialparameter 6 1.4.1 Stahl 6 1.4.2 Beton 6 1.4.3 Reibungskräfte und Verbundspannungen 7 1.5 Bemessung des Stahlbetonkörpers 8

2 Bekannte Tragmodelle 9

2.1 Vorbemerkungen 9 2.2 Modell von Gregor 11 2.3 Verfahren nach Hofmann 12 2.4 Bemessungsvorschlag von Bär 13 2.5 Untersuchungen von Petersen 15 2.6 Berechnungen in den Typisierten Verbindungen 16 2.7 Modelle von Kindmann / Stracke 17 2.8 Weiterentwicklung der Verfahren von Kindmann / Laumann 19 2.9 Elastisch gebetteter Balken 22 2.10 Dübel / Scherbolzen 25 2.11 Empirischer Ansatz von Mang / Koch / Stiglat / Seiler 27 2.12 Modell für Kreishohlprofile 29

3 FE-Untersuchungen 31

3.1 Vorbemerkungen 31 3.2 Stahlprofil 31 3.2.1 Schalenelement SHELL181 31 3.2.2 Diskretisierung des Systems 33 3.3 Stützung durch den umgebenden Beton 35 3.3.1 Federelement COMBIN39 35 3.3.2 Modellierung des Systems 36 3.4 Hinweise zu den FE-Berechnungen 39 3.4.1 Nichtlineares Berechnungsverfahren in ANSYS 39 3.4.2 Konvergenzprobleme 40 3.4.3 Unstetigkeit beim Wechsel der Elementlängen 40 3.4.4 Fehlerhafte Berechnung der Plattenquerkräfte des Elements SHELL181 41

Inhaltsverzeichnis VI

4 Tragverhalten von I-Profilen und Weiterentwicklung der Berechnungsmodelle 43

4.1 Vorbemerkungen 43 4.2 Gegenüberstellung der Berechnungsmodelle 44 4.3 FE-Untersuchungen 47 4.3.1 Problemstellung und Vorgehensweise 47 4.3.2 Betonpressungsverläufe über die Stablängsachse 48 4.3.3 Erhöhte Betonpressungen im Normalbereich 52 4.3.4 „Spannungsspitze“ am Anschnitt des Einspannbereichs 55 4.4 Modellbildung 60 4.4.1 Abstützkräfte an den Gurtenden 60 4.4.2 Ansatz von Reibungskräften 64 4.4.3 Verbundspannungen 65 4.4.4 Anwendung der Ergänzungen im Modell 65 4.5 Vergleichsrechnungen 67 4.5.1 Beispiel HEA 300 67 4.5.2 Vergleich des weiterentwickelten Modells mit dem Modell von Kindmann / Laumann 69 4.5.3 Vergleich mit Versuchsergebnissen 71 4.6 Zusammenfassung 74

5 Geschweißte Kastenquerschnitte und Rechteckhohlprofile 75

5.1 Vorbemerkungen 75 5.2 Kastenquerschnitte 76 5.2.1 Lastabtragungsmodell 76 5.2.2 Kastenquerschnitt für Biegung um die starke Achse 77 5.2.3 Kastenquerschnitt für Biegung um die schwache Achse und zweiachsige Biegung 79 5.3 FE-Untersuchungen für Rechteckhohlprofile 80 5.3.1 Vorbemerkungen 80 5.3.2 Betonpressungsverteilung am Querschnitt 81 5.3.3 Betonpressungsverlauf über die Stablängsachse 83 5.4 Modellbildung 85 5.4.1 Rechteckhohlprofil ohne Ausrundungen 85 5.4.2 Rechteckhohlprofil mit Ausrundungen 89 5.4.3 Lastabtragungsmodell in Längsrichtung 94 5.4.4 Modell für zweiachsige Biegung 95 5.5 Versuchsergebnisse 99 5.6 Anwendungsbeispiel und Auswertungen 103 5.6.1 Handrechenbeispiel 103 5.6.2 Auswertungen für praxisrelevante Querschnitte 105

Inhaltsverzeichnis VII

6 Kreisförmige Hohlprofile 111

6.1 Vorbemerkungen 111 6.2 FE-Untersuchungen für kreisförmige Hohlprofile 112 6.2.1 Vorbemerkungen 112 6.2.2 Betonpressungsverteilung am Querschnitt 113 6.2.3 Betonpressungsverteilung über die Stablängsachse 115 6.3 Modellbildung 119 6.3.1 Betonpressungen am Querschnitt 119 6.3.2 Betonpressungsverteilung über die Stablängsachse – Modell 1: Parabel-Rechteck-Ansatz (Regelfall) 121 6.3.3 Betonpressungsverteilung über die Stablängsachse – Modell 2: Cosinusförmiger Ansatz 123 6.4 Versuchsergebnisse 128 6.5 Anwendungsbeispiele 132 6.5.1 Handrechenbeispiel 132 6.5.2 Auswertungen für praxisrelevante Querschnitte 134

7 Zusammenfassung 137

Literatur 141

Kurzfassung

In der vorliegenden Arbeit wird das Tragverhalten von Stahlprofilen im Einspann-bereich von Stahlbetonkonstruktionen untersucht. Dabei steht die Bestimmung der erforderlichen Einspanntiefe im Vordergrund. Für I-Profile existieren bereits zahlreiche Berechnungsmodelle, die sich im Ansatz der Betonpressungen am Querschnitt und ihrer Verteilung über die Stablängsachse unterscheiden. Diese Aspekte werden daher analysiert, um einerseits vorhandene Modellannahmen bestätigen zu können, aber auch neue Effekte aufzuzeigen und ein weiterentwickeltes Modell herzuleiten. Für rechteckige und kreisförmige Hohlprofile existieren bisher keine praxistauglichen Berechnungsmodelle, so dass diese in der Baupraxis häufig mit Beton gefüllt werden, was einen Mehraufwand bei der Herstellung bedeutet. Es wird daher das Tragverhalten von Hohlprofilen ohne Betonfüllung eingehend untersucht. Es werden Tragmodelle entwickelt, die eine wirtschaftliche Bestimmung der erforderlichen Ein-spanntiefe erlauben.

1 Einleitung

1.1 Problemstellung und Zielsetzung

Um eine biegetragfähige Einspannung eines Stahlprofils in einen Stahlbetonkorpus zu erzeugen, wird das Stahlprofil häufig in eine Aussparung des Stahlbetonbauteils eingebracht und anschließend kraftschlüssig mit dem umgebenden Beton verbunden. Der Kraftschluss erfolgt in der Regel dadurch, dass die Aussparung mit einem Füllbeton vergossen wird, theoretisch sind aber auch andere Konstruktionen denkbar. In Bild 1.1a ist beispielsweise eine Verkeilung im oberen und unteren Einspann-bereich dargestellt. Aufgrund von Herstellungsschwierigkeiten und fehlendem Kor-rosionsschutz für das Stahlprofil im Betonkörper wird diese Möglichkeit in der Praxis nicht verwendet, sie verdeutlicht aber gut das grundlegende Lastabtragungsprinzip: Das Einspannmoment wird über ein horizontales Kräftepaar in den Beton-körper eingeleitet.

N

M

V

N

Verkeilung

Verkeilung

N

M

V

N

Füllbeton

po

pu

Do

Du

a) Verkeilung b) Verfüllung

Bild 1.1 Bauarten für die Einspannung eines Stahlprofils in einen Stahlbetonkorpus Für die Lastabtragung eines Biegemomentes ist immer ein Kräftepaar erforderlich. Je größer der innere Hebelarm ist, desto kleiner sind die Kräfte bei gleich bleibendem Biegemoment. Im Umkehrschluss bedeutet dies für den hier vorliegenden Fall, dass bei einer größeren Einspanntiefe (= größerer Hebelarm) auch größere Biegemomente in den Beton eingeleitet werden können. Die erforderliche Einspanntiefe ist somit ausschlaggebend für die Tragfähigkeit des Anschlusses. Sie möglichst wirtschaftlich zu bestimmen, ist das Hauptziel der Forschung.

1 Einleitung 2

Wie bereits beschrieben, kann davon ausgegangen werden, dass das Profil direkt vom Beton umgeben ist, d.h. es wird entweder die vorhandene Ausnehmung mit Füllbeton vergossen (s. Bild 1.1b), oder das Profil wird direkt in den Betonkorpus einbetoniert. Dadurch können Reibungskräfte und Verbundspannungen zwischen dem Stahlprofil und dem umgebenden Beton in Ansatz gebracht werden, was die erforderliche Einspanntiefe reduziert, s. [40]. Das Lastabtragungsprinzip ändert sich dahingehend, dass zusätzlich zum horizontalen auch ein vertikales Kräftepaar zur Momenten-abtragung beiträgt, vgl. Bild 1.2.

a) Reibung

b) Verbundspannungen

Bild 1.2 Lastabtragungsprinzipien mit vertikalem Hebelarm, vgl. [40] Auf Basis dieser Grundlagen existieren für I-Profile zahlreiche Bemessungsmodelle zur Ermittlung der Einspanntiefe. Sie unterscheiden sich hauptsächlich in zwei Punkten:

1. Ansatz der Betonpressungen am Querschnitt 2. Verteilung der Betonpressungen in Richtung der Stablängsachse

Der maßgebende Parameter zu Punkt 1 ist die Verteilungsbreite beff, vgl. Bild 1.3. Während man sich bei einem T-Profil anschaulich überlegen kann, dass die Pres-sungen am Gurt wirken und im Bereich der Stützung durch den Steg am größten sind, Bild 1.3a, lassen I-Profile einigen Spielraum zu, da nicht eindeutig ist, welche Aus-wirkungen der hintere Gurt auf den vorderen Gurt hat.

beff

beff

beff

Bild 1.3 Verteilungsbreite der Betonpressungen am Querschnitt

1.1 Problemstellung und Zielsetzung 3

In einigen Modellen wird davon ausgegangen, dass das I-Profil zusammen mit dem Kammerbeton als ein Verbundquerschnitt wirkt, so dass sich die Betonpressungen über die gesamte Gurtbreite verteilen, s. Bild 1.3b. In anderen Modellen wird die Verteilungsbreite durch die Gurttragfähigkeit begrenzt. Dabei wird entweder von einer direkten Durchleitung durch den Kammerbeton ausgegangen, oder beide Gurte werden komplett getrennt voneinander betrachtet, so dass theoretisch sogar Verteilungsbreiten auftreten können, die größer sind als die Gurtbreite, s. Bild 1.3c. Es wird deutlich, dass der genaue Ansatz der Verteilungsbreite der Betondruckspan-nungen am Querschnitt nicht abschließend geklärt ist. Ein Ziel dieser Arbeit ist es daher diesen Punkt für I-Profile näher zu untersuchen, um beff möglichst genau bestimmen zu können. Ein weiterer Unterschied der vorhandenen Modelle liegt im Ansatz der Beton-pressungen über die Stablängsachse. Kindmann stellt diesbezüglich in [40] und [41] das bisher wirtschaftlichste Bemessungsmodell vor. Die maßgebliche Neuerung ist die Konzentration der Betonpressungen am oberen und unteren Ende des Einspannbereichs, s. Bild 2.1. Durch diesen Ansatz lässt sich die erforderliche Einspanntiefe beispielsweise für einen IPE 300 im Vergleich zu den bisherigen Modellen um 30% reduzieren. Im Rahmen dieser Arbeit soll untersucht werden, ob sich diese Annahme durch numerische Analysen bestätigen lässt. Im Unterschied zu den I-Profilen existieren für rechteckige und kreisförmige Hohlprofile bisher keine praxistauglichen Berechnungsmodelle zur Ermittlung der erforderlichen Einspanntiefe. Lediglich in [20] wird ein Modell zur Bemessung verwendet, das allerdings konservative und damit unwirtschaftliche Ergebnisse liefert. Für ein Kreishohlprofil 101,6 x 4 (S 235) und Beton C 25/30 ist für ME = 0,95 Mpl mit diesem Modell beispielsweise eine Einspanntiefe von 66 cm erforderlich, was dem 6,5-fachen Profildurchmesser entspricht. Im Vergleich zu I-Profilen, für die maximal eine Einspanntiefe von 3,5 h benötigt wird (s. [66]), stellt sich die Frage, ob eine derartig große Einspanntiefe erforderlich ist. Da keine genauen Erkenntnisse vorhanden sind, werden in der Baupraxis Hohlprofile häufig mit Beton verfüllt, was zu einem erheblichen Mehraufwand bei der Herstellung führt. Versuchsergebnisse zeigen allerdings, dass auch mit einer geringeren Einspanntiefe eine ausreichende Tragfähigkeit erzielt wird. Aufgrund des bislang nicht erforschten Tragverhaltens ergibt sich als vorrangiges Ziel dieser Arbeit die Analyse des Tragverhaltens von rechteckigen und kreisförmigen Hohlprofilen ohne Betonfüllung und die Herleitung wirtschaftlicher Bemessungsmodelle. Die Berechnungsverfahren sind mit einem hohen Aufwand verbunden, da teilweise iterative Vorgehensweisen zur Bestimmung der Einspanntiefe erforderlich sind. Aus diesem Grund ist eine Bereitstellung von Bemessungshilfen für die Baupraxis zweckmäßig, mit denen sich die Einspanntiefen für verschiedene Standardfälle ohne großen Aufwand bestimmen lassen.

1 Einleitung 4

Zusammenfassend lassen sich folgende Ziele für diese Arbeit formulieren:

1. Analyse des Tragverhaltens von I-Profilen zur Klärung der folgenden Frage-stellungen: - Wie verteilen sich die Betonpressungen am Querschnitt und welche

Verteilungsbreite beff ergibt sich daraus? - Welcher Ansatz für die Längsverteilung der Betonpressungen ist sinnvoll?

Ist eine Konzentration zum oberen und unteren Ende des Einspannbereichs möglich?

2. Vergleichbare Analyse des Tragverhaltens von rechteckigen und

kreisförmigen Hohlprofilen ohne Betonfüllung.

3. Überprüfung und Weiterentwicklung der vorhandenen Bemessungsmodelle für I-Profile unter Berücksichtigung der Analyseergebnisse zum Tragverhalten.

4. Entwicklung wirtschaftlicher Bemessungsmodelle für rechteckige Hohlprofile

ohne Betonfüllung unter einachsiger und zweiachsiger Biegebeanspruchung

5. Entwicklung wirtschaftlicher Bemessungsmodelle für Kreishohlprofile ohne Betonfüllung

6. Erstellen von Bemessungshilfen für rechteckige und kreisförmige Hohlprofile,

mit denen sich Einspanntiefen für praxisrelevante Fälle mit geringem Aufwand bestimmen lassen.

1.2 Stand der Forschung

Für die Bestimmung der Einspanntiefe von I-Profil-Stützen in Betonfundamenten existieren zahlreiche Berechnungsmodelle in der Literatur, die in Kapitel 2 aus-führlich vorgestellt werden, s. Tabelle 1.1. Für die Bemessung von Dübeln wird in Abschnitt 2.10 ein Modell vorgestellt. Für Kreishohlprofile existiert ein Ansatz, der wenig praxistauglich ist. Er wird in Abschnitt 2.12 erläutert. Tabelle 1.1 Übersicht der Bemessungsmodelle für I-Profile aus der Literatur

Verfahren nach Quelle Art Abschnitt Gregor [21] Gleichgewichtsmodell 2.2 Hofmann [30] Gleichgewichtsmodell 2.3 Bär [2] Gleichgewichtsmodell 2.4 Petersen [66] Gleichgewichtsmodell 2.5 Typisierte Verbindungen / Kahlmeyer

[10], [33] Gleichgewichtsmodell 2.6

Kindmann / Stracke [41] Gleichgewichtsmodell 2.7 Kindmann / Laumann [40] Gleichgewichtsmodell 2.8 Petersen [66] elastisch gebetteter Balken 2.9 Mang / Koch / … [59] empirisches Modell 2.11

1.3 Formelzeichen 5

1.3 Formelzeichen

Nachfolgend werden die wichtigsten in dieser Arbeit verwendeten Formelzeichen und Definitionen angegeben. Weitere Variablen werden bei ihrer erstmaligen Verwendung erläutert. In Kapitel 2 werden einige in der Literatur beschriebene Modelle vorgestellt. Um eine bessere Vergleichbarkeit zu gewährleisten, werden dort ausschließlich die hier beschriebenen Formelzeichen verwendet, auch wenn im Originaldokument abweichende Formelzeichen verwendet worden sind. Koordinaten x Stablängsrichtung y, z Hauptachsen in der Querschnittsebene Querschnittsabmessungen h Querschnittshöhe b Querschnittsbreite tg Gurtdicke ts Stegdicke r, ra, ri Ausrundungsradien Werkstoffkennwerte E Elastizitätsmodul G Schubmodul ν Querkontraktion, Poissonsche Zahl fy Streckgrenze des Stahlprofils fu Zugfestigkeit des Stahlprofils fc Betondruckfestigkeit Schnittgrößen My,E, Mz,E Biegemomente an der Einspannstelle NE Normalkraft an der Einspannstelle Vy,E, Vz,E Querkräfte an der Einspannstelle My, Mz Biegemomente N Normalkraft Vy, Vz Querkräfte Einspannbereich f Einspannlänge, -tiefe ao, au Bereiche, in denen Betonspannungen wirken (oben, unten) am mittlerer Bereich, in dem keine Betonspannungen wirken c, c2 Bereiche am Querschnitt, in denen Betonspannungen wirken

1 Einleitung 6

beff effektive Breite am Querschnitt, über die Betonspannungen wirken

σc Betondruckspannungen im Einspannbereich grenz σc maximale im Einspannbereich angesetzte Betondruckspannung p Streckenlast, die sich aus den kumulierten Betonspannungen

am Querschnitt ergibt ( eff cp b= ⋅σ ) grenz p Maximale im Einspannbereich angesetzte Streckenlast aus

Betonspannungen Do, Du Resultierende der Betonspannungen (oben, unten) µ Reibungszahl zwischen Stahl und Beton τvb Verbundspannungen zwischen Stahl und Beton 1.4 Materialparameter

1.4.1 Stahl

In den meisten Fällen kommen Baustähle der Güte S235 oder S355 zum Einsatz. Eine Zusammenstellung der Materialkennwerte gemäß DIN 18800, T1 enthält Tabelle 1.2. Tabelle 1.2 Materialkennwerte für Baustähle

E-Modul G-Modul νννν fy,k fy,d Stahlgüte

[kN/cm 2] [kN/cm 2] [-] [kN/cm 2] [kN/cm 2] S235 24,0 21,82 S355

21000 8077 0,3 36,0 32,73

1.4.2 Beton

Nach DIN 18800 (11.90) und DIN 1045 (07.88) ist die Grenzpressung des Betons mit grenz σc = βR/1,3 zu ermitteln. Wenn die Betonpressung als Teilflächenpressung auftritt, darf der Wert folgendermaßen erhöht werden, Gl (1.1).

c R 1 Rgrenz /1,3 A / A 2,26σ = β ⋅ ≤ ⋅β (1.1) Nach der neuen DIN 1045 – Teil 1 (08/2008) entspricht die Grenzpressung dem in Gl. (1.2) angegebenen Wert.

c c,k 1grenz 0,85 f /1,5 A / Aσ = ⋅ ⋅ (1.2)

mit: 1A / A 3,0≤ (1.3) Für einige häufig verwendete Betongüten sind die Grenzpressungen in Tabelle 1.3 angegeben.

1.4 Materialparameter 7

Tabelle 1.3 Grenzbetondruckspannungen (ohne Berücksichtigung von Teilflächenpressungen) [40]

Betonfestigkeitsklassen Grenzpressungen [N/mm 2]

B 25 B 35 C 20 / 25 C 25 / 30 C 30 / 37

17,5 / 1,3 = 13,46 23,0 / 1,3 = 17,69 0,85 ⋅ 20,0 / 1,5 = 11,33 0,85 ⋅ 25,0/1,5 = 14,17 0,85 ⋅ 30,0/1,5 = 17,00

1.4.3 Reibungskräfte und Verbundspannungen

Der charakteristische Wert für die Reibungszahl zwischen Stahl und Beton kann DIN 4141, Teil 1 (09/1984) entnommen werden. Gemäß der Kommentierung von Eggert in [17] darf die Reibung unter Ansatz des Sicherheitsbeiwerts von 1,5, wie in Gl. (1.4) dargestellt, berücksichtigt werden.

d0,5

0,331,5 1,5

µµ = = = (1.4)

Nach DIN 18800, Teil 1 (11/2008), El. 764 darf der Bemessungswert der Reibungs-zahl zwischen Stahl und Beton ohne den Sicherheitsbeiwert mit µd = 0,5 angesetzt werden. Der Ansatz von Verbundspannungen ist in DIN 18800, Teil 5 (03/2007) geregelt. Die in dieser Arbeit betrachteten eingespannten Stützen sind im Einspannbereich mit vollständig einbetonierten Stahlprofilen als Verbundstütze vergleichbar. Der zuge-hörige Bemessungswert für die Verbundspannungen beträgt τvb = 0,30 N/mm2. In den älteren Fassungen der DIN 1045 (bis 2001) sind Verbundspannungen für glatte Bewehrungsstähle angegeben. In der aktuellen Version (08/2008) ist die Angabe nicht enthalten.

1 Einleitung 8

1.5 Bemessung des Stahlbetonkörpers

Auf die Bemessung des Stahlbetonkörpers wird im Rahmen dieser Arbeit nicht weiter eingegangen. Mit Hilfe der vorgestellten Modelle ist es möglich die Reaktionskräfte zu ermitteln, die von der Stahlbetonkonstruktion aufgenommen werden müssen. Dabei handelt es sich, wie zuvor erläutert, maßgeblich um horizontale Kräfte (Do, Du) aber auch gleichzeitig auftretende vertikale Kräfte infolge von Reibung und Verbundspannungen, vgl. Bilder 1.1 und 1.2. Bei der Bemessung eines Köcherfundamentes, in das eine Stahlbetonstütze verankert werden soll, wird in der Literatur, z.B. [9], folgende Unterscheidung vorgenommen:

1. Köcher mit rauer Schalung � vertikales Kräftepaar 2. Köcher mit glatter Schalung � horizontales Kräftepaar

Die verschiedenen Lastabtragungsprinzipien sind in Bild 1.4 aus [9] zusammen-gestellt. Für die sich ergebenden Zugstreben ist eine entsprechende Bewehrung zu wählen. In beiden Fällen ist eine horizontale und eine vertikale Bewehrung erforderlich. Für die Einspannung einer Stahlstütze in ein Fundament sind die entsprechenden Lastabtragungsprinzipien zu kombinieren. 1. Köcher mit glatter Schalung a) System

b) Zugstreben Zho, Zhu, Zvo

2. Köcher mit rauer Schalung (verzahnt) a) System

b) Zugstreben Ho und Zv

Bild 1.4 Bemessung von Köcherfundamenten [9]

2 Bekannte Tragmodelle

2.1 Vorbemerkungen

Die Lastabtragung im Einspannbereich ist für I-Profile und Biegung um die starke Achse weitestgehend erforscht. Meist werden Gleichgewichtsmodelle verwendet, bei denen Annahmen für die Betonpressungsverteilung im Einspannbereich getroffen werden, so dass die Gleichgewichtsbedingungen (ΣM = 0, ΣV = 0) erfüllt werden. Daraus können entsprechende Beziehungen für die erforderliche Einspanntiefe abge-leitet und die Schnittgrößenverläufe im Einspannbereich berechnet werden, um abschließend eine Bemessung des Profils durchzuführen. Bild 2.1 zeigt beispiels-weise die Annahmen des Berechnungsmodells von Kindmann / Stracke [41] mit den zugehörigen Schnittgrößenverläufen.

Bild 2.1 Ansatz der Betonpressungen nach Kindmann / Stracke [41]


Bei der Bemessung mit Hilfe der Gleichgewichtsmodelle werden zwei Versagens-zustände definiert: Betonversagen und Stahlversagen. Im Zustand „Betonversagen“ werden entlang der Stablängsachse die der Modellannahme entsprechenden maximal möglichen Betonpressungen angesetzt. Dies führt immer zur kleinstmöglichen Einspanntiefe. Für diesen Zustand werden die Schnittgrößenverläufe im Einspann-bereich ermittelt und überprüft, ob die Querschnittstragfähigkeit des Stahlprofils ausreichend ist. Ist dies nicht der Fall, ist das „Stahlversagen“ maßgebend und es müssen Modifikationen vorgenommen werden, die zu einer größeren Einspanntiefe führen, so dass die Querschnittstragfähigkeit eingehalten ist. Die vorhandenen Modelle für I-Profile weisen dazu unterschiedliche Ansätze auf. In den Abschnitten 2.2 bis 2.8 wird auf die Unterschiede der bereits existierenden Gleichgewichtsmodelle eingegangen. Dabei wird der Ansatz der Betonpressungen am Querschnitt und die Verteilung über die Stablängsachse dargestellt. Die Einspanntiefe wird als Funktion f(Du) angegeben. Sie enthält die Gleichgewichtsbedingung und kann daher als Kernfunktion des Modells gesehen werden. Die Variable Du ist die Resultierende der Betonpressungen im unteren Einspannbereich (Länge au). Sie stellt gleichzeitig die maximale Querkraft im Einspannbereich dar, vgl. Bild 2.1. Theore-tisch ist es also möglich zu jedem beliebigen Du die erforderliche Einspanntiefe zu bestimmen, die die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt. Wie oben bereits erwähnt, unterliegt die Wahl von Du aber gewissen Einschränkungen. Die geringstmögliche Einspanntiefe liefert das Betonversagen. Das zugehörige Du ist daher jeweils angegeben und darf auf keinen Fall überschritten werden. Für die Untersuchung des Stahlversagens sind evtl. kleinere Werte von Du zu wählen. Insbesondere darf die plastische Querkraft des Profils im Einspannbereich nicht überschritten werden, so dass gilt: Du ≤ Vpl,z. Da dies meist die maßgebende Beziehung für I-Profile und Biegung um die starke Achse ist, liegt der Vorteil dieser Darstellungsweise auf der Hand: Für die Untersuchung des Stahlversagens ist für I-Profile und Biegung um die starke Achse i. d. R. Du = Vpl,z zu setzen. Eine weitere Möglichkeit der Bemessung ist die Berechnung der Stütze im Einspann-bereich als elastisch gebetteter Balken, s. Abs. 2.9. Dabei muss lediglich eine Annahme für die Größe der Bettungsziffer getroffen werden. Durch Lösen der Differentialgleichung ergeben sich direkt Verformungen und Schnittgrößen sowie die Betonpressungen im Einspannbereich, so dass ein Nachweis der Querschnittstrag-fähigkeit des Stahlprofils sowie der Nachweis zulässiger Betonpressungen geführt werden kann. Der Nachteil des Verfahrens liegt darin, dass am Anschnitt des Ein-spannbereichs immer eine Spannungsspitze auftritt, die bereits bei geringer Belastung die zulässigen Betonpressungen überschreitet. Eine Vergrößerung der Einspanntiefe hat darauf keinen Einfluss, so dass eine wirtschaftliche Bemessung meist nicht möglich ist. Für die FE-Untersuchungen im Rahmen dieser Arbeit wird das Verfahren mit einigen Modifikationen verwendet, so dass gute Ergebnisse erzielt werden können, vgl. Kapitel 3.

2.2 Modell von Gregor 11

In Abs. 2.10 wird für die Bemessung von Dübeln mit Vollquerschnitt eine Kombi-nation eines Gleichgewichtsmodells mit dem elastisch gebetteten Balken vorgestellt, vgl. [83]. Die Pressungsverteilung wird an den Verlauf angelehnt, der sich beim elastisch gebetteten Balken ergibt. Die Spannungsspitze an der Einspannstelle wird aber geglättet. An dieser Zusammenstellung ist erkennbar, dass für die unterschiedlichen Modelle notwendige Annahmen getroffen werden müssen, um die Berechnung durchführen zu können. Die veröffentlichten Verfahren sind daher häufig durch experimentelle Untersuchungen abgesichert worden. Mang stellt in [59] einen empirischen Bemes-sungsansatz vor, der allein auf Versuchsergebnissen basiert, s. Abs. 2.11. Für Hohlprofile existieren keine praxistauglichen Modelle. In Abschnitt 2.12 wird kurz auf den Ansatz für Kreishohlprofile eingegangen, der in [20] zur Berechnung der Einspanntiefe verwendet wird. Er führt zu äußerst unwirtschaftlichen Ergeb-nissen. 2.2 Modell von Gregor

Ein sehr konservatives Gleichgewichtsmodell hat Gregor in [21] vorgestellt. Es werden dreiecksförmige Betonpressungsverteilungen in Stablängsrichtung angesetzt, die an der Nulllinie ihre Richtung ändern, Bild 2.2. Als effektive Breite für die Verteilung der Pressungen am Querschnitt wird die gesamte Gurtbreite angesetzt ohne auf die Gurttragfähigkeit einzugehen. Dies entspricht der Annahme, dass sich das kammerbetonierte I-Profil wie ein Verbundquerschnitt verhält.

po

pu

NE

My,E

Vz,E

grenz c

Nulllinie

NE Bild 2.2 Bemessungsmodell nach Gregor [21]


Mit den folgenden Beziehungen wird die Gleichgewichtsbedingung (2.1) sowie eine Beziehung für das Betonversagen (2.2) angegeben. Eine Überprüfung für das Versagen des Stahlprofils im Köcherbereich sieht Gregor nicht vor.

( )y,E 2z,E z,E u

u

3 M 1f V V D

2 D grenz p

⋅= + +

⋅ (2.1)

Betonversagen:

( )2

y,E z,E 2u y,E z,E z,E2

y,E z,E

3 M grenz p 2 VD 6 M grenz p 4 V V

12 M grenz p 6 V

⋅ ⋅ + ⋅= ⋅ ⋅ + ⋅ −

⋅ ⋅ + ⋅ (2.2)

mit cgrenz p b grenz= ⋅ σ

(2.3)

2.3 Verfahren nach Hofmann

Hofmann [30] setzt im oberen Bereich eine dreiecksförmige und im unteren Bereich eine parabelförmige Betonpressungsverteilung an, was sich qualitativ an den Ergeb-nissen des elastisch gebetteten Balkens orientiert, vgl. Abs. 2.9. Diese Annahme dient aber lediglich zur Berechnung der Lage der Resultierenden Do und Du. Die Pres-sungsverteilung selbst wird anschließend nicht weiter betrachtet. Es wird eine Aus-steifung auf Höhe der Resultierenden vorgeschrieben und die Betonpressungen in einem Bereich um die Aussteifung angesetzt. Dieser Bereich wird durch die Ausbrei-tungslänge c definiert, die anhand der elastischen Gurttragfähigkeit ermittelt wird. Eine weitere Besonderheit des Verfahrens ist die Reduktion des abzutragenden Biegemoments durch einen exzentrischen Ansatz der Druckkraft DN am Stützenfuß.

NE

My,E

Vz,E

DNN1

0,33h

h

Du

Do

Aussteifung

Aussteifungc c

cc

0,2f

tG

Aussteifung

tSt

h

Gurtansicht

Schnitt

grenz c

Bild 2.3 Ansatz der Betonpressungen nach Hofmann [30]

2.4 Bemessungsvorschlag von Bär 13

Mit Gl. (2.4) wird die Gleichgewichtsbeziehung angegeben. Für das Betonversagen kann mit Gl. (2.5) das zugehörige Du bestimmt werden. Auch Hofmann sieht keinen Nachweis des Stahlprofils im Einspannbereich vor.

y,E u

u z,E

M Mf 30

17D 4V

−= ⋅

− (2.4)

Betonversagen:

u o z,ED grenz D V= − (2.5)

mit:

u NM D 0,33h= ⋅ (2.6)

o o cgrenz D A grenz= ⋅ σ (2.7)

( ) ( ) ( )( )

( )

St s St

o St

!

s

2c t b 2c t 0,2f 2c t

A max 2c t b

2c t 0,2f b 0,2f

+ ⋅ + + ⋅ − −= + ⋅ + ⋅ < ⋅

(2.8)

cg

y

grenzc t

3 f

σ= ⋅⋅

(2.9)

2.4 Bemessungsvorschlag von Bär

Das Gleichgewichtsmodell nach Bär [2] ist eine Weiterentwicklung des Verfahrens von Gregor [21]. Mit Einführung der DIN 1045 (07/1988) [11] schlägt Bär vor, das dort verwendete Parabel-Rechteckdiagramm für die Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons auf die hier vorliegende Problematik anzuwenden, wodurch sich ein deutlicher Tragfähigkeitsgewinn ergibt. Das Parabel-Rechteck-Diagramm wird zur Vereinfachung der Berechnung durch einen äquivalenten Spannungsblock idealisiert. Auch Bär nimmt die gesamte Breite des Querschnitts als Verteilungsbreite an. Sowohl im Bereich ao als auch au geht Bär von einem „kompletten“ Parabel-Rechteckdiagramm mit dem Längenverhältnis (Parabel : Rechteck) = (2 : 1,5) aus. Gemäß der Stahlbetonnorm müsste dazu sowohl am oberen und unteren Ende des Einspannbereichs die Grenzdehnung des Betons erreicht werden und sich ein linearer Verlauf der Dehnungen einstellen. Die Nulllinie wäre dann genau in der Mitte der Einspanntiefe, was aufgrund der Querkraft V aber nicht zu einem Kräftegleich-gewicht führen kann. au muss kleiner sein als ao, so dass auch die Betondehnung am Stützenende εc,u kleiner sein muss als εc,o und somit kleiner als die Grenzdehnung. Bär geht somit ohne dies zu erwähnen von einem Knick in der Biegelinie der Stütze auf Höhe der Nulllinie aus.


ao

au

f

ao

au

b

= 0

,8a

o=

0,8

au

Bild 2.4 Ansatz der Betonpressungen nach Bär [2] Gl. (2.10) stellt die Lösung der Gleichgewichtsbedingung dar, Gl. (2.11) die zugehörige Beziehung für das Betonversagen.

uu

u

5Mf

D3D 2V 1

2D V

=

− ⋅ − +

(2.10)

Betonversagen:

2u

1 7D V 1,861 M grenz p V

12 12= − + ⋅ ⋅ + (2.11)

Mit:

cgrenz p b grenz= ⋅ σ (2.12) Weiterhin schreibt Bär einen Nachweis des Stahlprofils im Köcherbereich vor (= Überprüfung des Stahlversagens). Maßgebend ist dafür meist die Stelle x = ao. An dieser Stelle ist die Querkraft im Köcherbereich maximal, gleichzeitig ist noch ein großes Biegemoment vorhanden. Die Berechnungsformeln sind mit den Gln (2.13) bis (2.15) angegeben.

o EN(x a ) N= = (2.13)

z o uV (x a ) D= = (2.14) 2

y o y,E z,E o oM (x a ) M V a 0,456 grenz p a= = + ⋅ − ⋅ ⋅ (2.15)

2.5 Untersuchungen von Petersen 15

2.5 Untersuchungen von Petersen

Petersen diskutiert in [66] verschiedene Modelle und stellt eigene Versuchsergeb-nisse vor. Er kommt zum Schluss, dass das Gleichgewichtsmodell nach Gregor [21] für die Längsverteilung der Spannungsresultierenden (dreiecksförmige Verteilung) die genauste Möglichkeit darstellt, den Verlauf der Spannungsresultierenden in Stützenlängsrichtung zu erfassen. Zur Kalibrierung des Verfahrens an den Versuchs-ergebnissen lässt er pauschal eine Verteilungsbreite der Betonpressungen auf die 1,5-fache Breite zu, s. Bild 2.5. Die Gleichungen (2.16) und (2.17) entsprechen denen nach Gregor. Lediglich Gl. (2.18) muss geringfügig variiert werden.

( )y,E 2z,E z,E u

u

3 M 1f V V D

2 D grenz p

⋅= + +

⋅ (2.16)

Betonversagen:

( )2

y,E z,E 2u y,E z,E z,E2

y,E z,E

3 M grenz p 2 VD 6 M grenz p 4 V V

12 M grenz p 6 V

⋅ ⋅ + ⋅= ⋅ ⋅ + ⋅ −

⋅ ⋅ + ⋅ (2.17)

mit:

cgrenz p 1,5 b grenz= ⋅ ⋅ σ (2.18)

ao

au

f

b

beff

= 1

,5 b

Bild 2.5 Ansatz der Betonpressungen nach Petersen [66]


2.6 Berechnungen in den Typisierten Verbindungen

In den „Typisierten Verbindungen im Stahlhochbau“ [10] werden für die Walzprofil-querschnitte der IPE-, HEA-, und HEB-Reihe für verschiedene Einspanntiefen Grenzeinwirkungskombinationen angegeben. Das Modell, das der Berechnung zugrunde liegt, ähnelt stark dem Modell von Bär [2]. Die Betonpressungsverteilung über die Stablängsachse wird ebenfalls als Parabel-Rechteck-Diagramm angenom-men und zu Spannungsblöcken vereinfacht. Der Unterschied zu dem Modell von Bär liegt lediglich im Ansatz der Betonpressungen an den Gurten. Dieser wird nicht pauschal über die gesamte Breite verteilt angesetzt, sondern es wird auf das Kraftein-leitungsmodell der DIN 18800 verwiesen, bei dem von einem Lastausbreitungswinkel von 1:2,5 aus dem Steg zum Gurt ausgegangen wird. Dem der Last zugewandten Gurt werden 55% der Pressungen zugewiesen, dem rückseitigen Gurt die restlichen 45%. Insgesamt sind so auch Verteilungsbreiten möglich, die größer sind als die Breite des Profils.

ao

au

f

ao

= 0

,8a

o

au

= 0

,8a

u

Bild 2.6 Ansatz der Betonpressungen nach den Typisierten Verbindungen im

Stahlhochbau [10] Die Gleichgewichtsbedingung (2.19) und die Nachweisformel für das Betonversagen (2.20) sind identisch zu den Gleichungen nach Bär. Die effektive Breite zur Berechnung von grenz p ergibt sich nach Gl. (2.22). Der Nachweis des Stahlprofils an der Stelle x = ao wird auch hier geführt. Als Zusatzanteil wird im Vergleich zu Bär die σz-Spannung im Steg infolge der Krafteinleitung der Betonpressungen berücksichtigt. Die Schnittgrößen an der Stelle ao können ebenfalls mit den Gln (2.13) bis (2.15) ermittelt werden.

2.7 Modelle von Kindmann / Stracke 17

Kahlmeyer [33] greift das Modell der „Typisierten Verbindungen im Stahlhochbau“ auf und bringt es bzgl. der Nomenklatur auf den Stand der neuen DIN 18800 (11.90). Alle Berechnungsformeln sind identisch.

y,E

uu z,E

u z,E

5 Mf

D3 D 2 V 1

2 D V

⋅=

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ +

(2.19)

Betonversagen:

2u z,E y,E z,E

1 7D V 1,861 M grenz p V

12 12= − + ⋅ ⋅ ⋅ + (2.20)

mit:

eff cgrenz p b grenz 1,15= ⋅ σ (2.21)

s geff

t 1,61 r 5 tb

0,55

+ ⋅ + ⋅= (2.22)

2.7 Modelle von Kindmann / Stracke

Kindmann / Stracke [41] verwenden für den Ansatz der Betonpressungen über die Stablängsachse wiederum das Parabel-Rechteck-Diagramm allerdings ohne Verein-fachung durch einen Spannungsblock, s. Bild 2.7. Weiterhin gehen sie davon aus, dass die Pressungen sich zu den Rändern hin konzentrieren, wenn die plastische Querkrafttragfähigkeit des Stahlprofils im Köcher erreicht wird. In der Mitte des Köchers entsteht dann ein unbelasteter Bereich am. Auf dieses Tragverhalten hat bereits Petersen [66] hingewiesen, ohne dies weiter zu berücksichtigen. Bei der Berechnung der effektiven Verteilungsbreite der Betonpressungen am Querschnitt wird davon ausgegangen, dass die Hälfte der Betonpressungen vom vorderen zum hinteren Gurt durchgeleitet wird und die elastische Biegetragfähigkeit der Gurte nicht überschritten werden darf ([41], 1. Auflage 2003). Die gesamte effektive Breite wird auf die Querschnittsbreite beschränkt. In der 2. Auflage von [41] (2009) sind die Ansätze zur effektiven Breite enthalten, wie sie von Kindmann / Laumann verwendet werden, s. Abs. 2.8, Die Gleichgewichtsbeziehung wird in [41] mit Gl. (2.23) angegeben. Die zugehörige Beziehung für das Betonversagen wird als Minimum der Einspanntiefe f, Gl. (2.24) ermittelt ([41], 1. Auflage 2003). Errechnet man sich damit die Pressungsverläufe, stellt man jedoch fest, dass sich die Bereiche ao und au überlappen. Mit der Beziehung für Du gemäß Gl. (2.25) wird dies nicht zugelassen, es gilt: f = ao + au. Sie ist in der 2. Auflage von [41] (2009) enthalten.


Bild 2.7 Ansatz der Betonpressungen nach Kindmann / Stracke [41],

beff gemäß 1. Auflage von [41]

( )y,E 2u z,E z,E u

u

M 1,03f D V 0,5 V / D

D grenz p= + ⋅ + + ⋅ (2.23)

Betonversagen (minimale Einspanntiefe):

2u y,E z,ED grenz p M /1,03 V / 2= ⋅ + (2.24)

Betonversagen (ao + au = f):

2u z,E z,E y,ED 0,072 V 0,361 V 0,693 M grenz p= − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ (2.25)

2.8 Weiterentwicklung der Verfahren von Kindmann / Laumann 19

Es wird wiederum ein Tragsicherheitsnachweis des Stahlprofils im Einspannbereich vorgeschrieben (� Stahlversagen). Im Gegensatz zu den sonst üblichen Spannungsnachweisen E-E wird hier der Nachweis E-P verwendet. Der Nachweis kann entweder mit den Interaktionsnachweisen der DIN 18800 oder mit dem Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann / Frickel [35] erfolgen. In der Regel sind zwei Bemessungsstellen relevant: 1. Stelle max M mit:

z,Ex V / grenz p= (2.26) 2z,E

y,E

Vmax M M

2 grenz p= +

⋅ (2.27)

V 0= (2.28) 2. Stelle max V mit:

u z,Eo

D Vx a

0,81 grenz p

+= =

⋅ (2.29)

umax V D= (2.30)

y,E z,E o u ozug M M 0,416 V a 0,584 D a= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ (2.31) Weiterhin weisen Kindmann / Stracke darauf hin, dass Reibungskräfte an den Gurten in Ansatz gebracht werden können, die einen Teil des Biegemoments abtragen und somit die Einspanntiefe verringern. Außerdem kann eine auftretende Drucknormal-kraft exzentrisch in den Beton geleitet werden, wenn die zulässigen Betonpressungen dadurch nicht überschritten werden. 2.8 Weiterentwicklung der Verfahren von Kindmann /

Laumann

Das Modell von Kindmann / Laumann [40] entspricht beim Ansatz der Betonpres-sungen in Stablängsrichtung dem Modell von Kindmann / Stracke [41]. Ergänzend setzen sie jedoch die bereits in [41] erwähnten Reibungskräfte und zusätzlich Verbundspannungen an und arbeiten ein Formelwerk für Biegung um die starke und die schwache Achse aus. Die Berechnung für zweiachsige Biegung ist ebenfalls mög-lich, indem die Einspanntiefen für beide Achsen getrennt berechnet werden und die maßgebende verwendet wird. Wird die plastische Tragfähigkeit des Profils im Einspannbereich überschritten, muss eine Iteration der Einspanntiefe durchgeführt werden, bis die Gleichgewichtsbedingungen und die Querschnittstragfähigkeit des Stahlprofils eingehalten sind. Für die Verteilung der Betonpressungen am Querschnitt wird für Biegung um die starke Achse die plastische Biegetragfähigkeit der Gurte in Ansatz gebracht. Die Lage der Fließgelenke orientiert sich dabei an den Ansätzen, die im Eurocode 3 [14] zur Berechnung von biegesteifen Stirnplattenstößen gemacht


werden (T-Stummel-Modell). Für Biegung um die starke Achse wird die Verteilungsbreite beff,1 auf die Gurtbreite begrenzt. Für Biegung um die schwache Achse werden nur Betonpressungen an den Gurtenden angenommen. Zur Kalibrierung des Verfahrens an Versuchsergebnissen, werden erhöhte Betonpressungen zugelassen. Begründet wird dies mit ihrer Wirkung als Teil-flächenpressung. Für Biegung um die starke Achse werden die zulässigen

Betonpressungen um den Faktor 2 erhöht. Für Biegung um die schwache Achse

wird mit dem Faktor 3 gerechnet.

Bild 2.8 Lastabtragungsprinzip nach Kindmann / Laumann [40] Die Gleichgewichtsbedingung für Biegung um die starke Achse wird mit Gl. (2.32) angegeben. Bis auf den Faktor 1,05 (anstelle 1,03) sowie die Parameter ∆f1 und kn,1 für Reibung und Verbundspannungen ist sie identisch mit der Gleichung von Kindmann / Stracke. Für das Betonversagen mit der Bedingung ao + au = f ergibt sich die Pressungsresultierende Du gemäß Gl. (2.35). Die entsprechenden Beziehungen für

2.8 Weiterentwicklung der Verfahren von Kindmann / Laumann 21

Biegung um die schwache Achse sind mit den Gln. (2.37) bis (2.42) gegeben. Die geometrischen Parameter und die Grenzpressungen grenz pi können für Walzprofile Bild 2.8 entnommen werden. Für den Ansatz des Reibbeiwerts und der Verbund-spannungen wird auf Abschnitt 1.4.3 verwiesen. Für die Berechnung von beff bei geschweißten Profilen ergeben sich ähnliche Formeln. Sie sind in Bild 2.9 dargestellt.

Bild 2.9 Ansatz der Betonpressungen bei geschweißten Profilen nach [40] Biegung um die starke Achse:

1,n1

1,u

2

E,z1,u11,u

E,y1 k

1f

D2

VVD

pgrenz

05,1

D

Mf E,z ⋅

∆−

⋅++⋅+= (2.32)

mit:

( )g1

vb

1,u

E,z1 th

pgrenz

b5

D2

V1f −⋅

⋅τ⋅−µ⋅

⋅+=∆

(2.33)

( )2

vbn,1 g

u,1

hk 1 2 b h t

D 6

τ = + ⋅ + ⋅ −

(2.34)


( )( )

u,1 z,E ,1 ,1

y,E 1 z,E z,E ,1 ,1

2

z,E ,1 ,1

D 0,072V D D

0,693M grenz p V 0,356V D D

0,072V D D

µ τ

µ τ

µ τ

= − − − +

⋅ + − −

+ + +

(2.35)

( ),1 1 gD 0,347 grenz p h tµ = µ ⋅ ⋅ − ; 2

,1 vbD 0,285 hτ = τ ⋅ (2.36)


Biegung um die schwache Achse:

2y,Ez,E

2 u,2 y,E 2u,2 2 u,2 n,2

VM 1,05 1f D V f

D grenz p 2 D k

= + ⋅ + + − ∆ ⋅

⋅

(2.37)

mit:

y,E2

u,2

Vf b 1

2 Dµ

∆ = ⋅ ⋅ + ⋅

(2.38)

2vbn,2

u,2

2k 1 b

3 D

τ= + ⋅ ⋅ (2.39)

Betonversagen (ao + au = f): (2.40)

( )( )

u,2 y,E

z,E 2 y,E y,E ,2 ,2

2

y,E ,2 ,2

D 0,072V D D

0,693M grenz p V 0,356V D D

0,072V D D

µ τ

µ τ

µ τ

= − − − +

⋅ + − −

+ + +

(2.41)

,2 2D 0,347 grenz p bµ = µ ⋅ ⋅ ; 2

vbD 0,571 bτ = τ ⋅ (2.42)

2.9 Elastisch gebetteter Balken

Petersen führt in [66] Untersuchungen zur Berechnung eingespannter I-Profile als elastisch gebetteten Balken durch. In Bild 2.10 sind beispielhaft die Verformungs- und Schnittkraftverläufe für ein reines Biegemoment und für reine Querkraft an der Einspannstelle dargestellt. In beiden Fällen ergibt sich eine Biegelinie, die an der Ein-spannstelle ihr Maximum hat, von dort aus dreiecksförmig abklingt und im unteren Bereich in einem gekrümmten Bogen ausläuft. Der Betonpressungsverlauf ist affin zur Biegelinie, so dass an der Einspannstelle immer die maximale Pressung auftritt, die für die Bemessung maßgebend ist.

Bild 2.10 Biegelinien und Schnittgrößenverläufe beim elastisch gebetteten Balken [66]

2.9 Elastisch gebetteter Balken 23

Betrachtet man die Schnittgrößenverläufe für verschiedene Einspanntiefen, Bild 2.11, wird deutlich, dass die Vergrößerung der Einspanntiefe ab einem bestimmten Wert keinen günstigen Einfluss mehr auf die Lastabtragung hat. Petersen leitet aus seinen Untersuchungen ab, dass eine Einspanntiefe von mehr als der 3-fachen Profilhöhe unwirksam ist.

Bild 2.11 Schnittgrößenverläufe beim elastisch gebetteten Balken für verschiedene

Einspanntiefen [66] Mit den Gln. (2.43) bis (2.53) ist die Lösung der Differentialgleichung nach [66] angegeben. Damit ist es möglich den Verlauf der Betonpressungen und die Schnitt-größenverläufe im Einspannbereich zu berechnen. Zur Vereinfachung der Berech-nung wird als Parameter die elastische Länge LE, bzw. deren Kehrwert (Gl. (2.53)) verwendet

w(x) A (x) B (x)= ⋅α + ⋅β (2.43)

[ ]2

C bM(x) A (x) B (x)

s

⋅= ⋅ γ + ⋅δ (2.44)

[ ]C bV(x) A (x) B (x)

s

⋅= ⋅β + ⋅ γ (2.45)

Mit: (x) cosh(s x) cos(s x)α = ⋅ ⋅ ⋅ (2.46)

[ ]12(x) cosh(s x) sin(s x) sinh(s x) cos(s x)β = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ (2.47)

12(x) sinh(s x) sin(s x)γ = ⋅ ⋅ ⋅ (2.48)

[ ]14(x) cosh(s x) sin(s x) sinh(s x) cos(s x)δ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ (2.49)

[ ]sA (f ) M s (f ) H N

C b= − γ ⋅ ⋅ + δ ⋅

⋅ (2.50)

[ ]sB (f ) M s (f ) H N

C b= β ⋅ ⋅ + γ ⋅

⋅ (2.51)


2N (f ) (f ) (f )= γ − β ⋅δ (2.52)

4

E

1 C bs

L 4EI

⋅= = (2.53)

Ein Kritikpunkt an dem Modell des elastisch gebetteten Balkens ist, dass eine Erhöhung der Einspanntiefe keinen Einfluss auf die Spannungsspitze hat. Anhand von Versuchsergebnissen in [48] und [66] kann widerlegt werden, dass diese Spannungsspitze maßgebend ist, da keine außerordentlichen Schädigungen am Anschnitt des Einspannbereichs beobachtet worden sind. Das Modell ist daher für die Anwendung ohne Modifikation nicht geeignet. Diese kann z.B. dadurch vorgenom-men werden, die Bettungsziffer zum Köcheranschnitt hin abzumindern. Petersen hält jegliche Vermutungen dazu aber für spekulativ [66]. Eine weitere Möglichkeit der Modifikation ist die Annahme einer plastischen Begrenzung der Betonspannungen in Anlehnung an die Spannungsdehnungslinie vom Beton, vgl. Bild 2.12 für Scher-bolzen. Die Spannungen werden so nicht nur an der Einspannstelle geglättet, was dort auch bei einer Abminderung der Bettungsziffer geschehen würde, sondern in allen Bereichen, in denen die Grenzpressungen erreicht werden. Für die Untersuchungen im Rahmen dieser Arbeit wird ein bilineares Bettungsgesetz (elastisch-plastisch) verwendet. Weitere Erläuterungen erfolgen in Kapitel 3.

2.10 Dübel / Scherbolzen 25

2.10 Dübel / Scherbolzen

Dübel, die auf Abscheren (Querkraft) und geringe Biegung beansprucht sind, werden in der Praxis häufig auch als Scherbolzen bezeichnet. Sie haben einen Kreisvoll-querschnitt und werden direkt einbetoniert, bzw. nach dem Einbringen kraftschlüssig im Beton verankert, so dass sie mit einer eingespannten Stütze mit Kreisquerschnitt zu vergleichen sind. Der Unterschied zu einer eingespannten Stütze liegt lediglich darin, dass hier die Querkraftbeanspruchung gegenüber der Biegebeanspruchung überwiegt.

Bild 2.12 Modell von Vintzeleou und Tassios [83]

2u s c,cyl yF 1,3 d f f= ⋅ ⋅ ⋅ (2.54)

2 4c,cyl s u s c,cyl yu

F (10 f e d ) F 1,7 d f f 0+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = (2.55) Zu Scherbolzen existieren zahlreiche Untersuchungen. Durchgesetzt haben sich bis heute der halbempirische Ansatz von Rasmussen [70] und der daraus entwickelte Ansatz von Vintzeleou und Tassios [83], s. Bild 2.12. Es wird eine Betonpressungs-verteilung in Anlehnung an die Ergebnisse des elastisch gebetteten Balkens mit der in Abschnitt 2.9 beschriebenen plastischen Begrenzung im Anschnittsbereich verwen-det. Als bemessungsrelevanter Punkt wird die Stelle des maximalen Biegemoments im Bereich der Einspannlänge betrachtet. Für diese Stelle wird die plastische Biege-tragfähigkeit des Kreisprofils angesetzt. Außerdem wird die 5-fache Zylinderdruck-festigkeit des Betons in Ansatz gebracht. Für eine reine Abscherbeanspruchung des Dübels (e = 0) ergibt sich die Grenzlast gemäß Gl. (2.54). Für e > 0 erhält man Gl. (2.55). Auffällig an den beiden Gln. ist, dass die zulässige Kraft unabhängig von der Einspannlänge des Dübels ist. Sie stellen daher keine Lösung der Gleichgewichts-


bedingung dar. Es wird somit vorausgesetzt, dass die Einspannlänge groß genug ist, um das Gleichgewicht herzustellen, was im Folgenden überprüft werden soll. Für einen Dübel aus Betonstahl S500, der in einen Beton C25/30 eingelassen wird, ist die Einspanntiefe für das Betonversagen nach dem Modell von Kindmann / Stracke in Bild 2.13 dargestellt. Das Biegemoment ME wird dabei von 0 bis Mpl variiert und mit Gl (2.55) die zugehörige Querkraft VE bestimmt, so dass im Einspannbereich gerade ein Fließgelenk an der Stelle „max M“ erreicht wird. Für Biegemomente ME von weniger als 0,9 Mpl ist eine Einspanntiefe von weniger als 5,0 · D ausreichend. Da Dübel in der Regel dazu dienen, hohe Querkräfte und nur geringe Biegemomente in den Beton einzuleiten, können für Einspanntiefen von 5,0 · D bis 6,0 · D, die bei Dübeln üblich sind, die Gleichgewichtsbedingungen im Einspannbereich also erfüllt werden.

Bild 2.13 Erforderliche Einspanntiefen für Dübel mit Vollkreisquerschnitt gemäß dem

Ansatz von Vintzeleou und Tassios und dem Gleichgewichtsmodell von Kindmann / Stracke

2.11 Empirischer Ansatz von Mang / Koch / Stiglat / Seiler 27

2.11 Empirischer Ansatz von Mang / Koch / Stiglat / Seiler

Mang, Koch, Stiglat, Seiler [59] wählen nach Durchführung und Auswertung von 36 Versuchen mit eingespannten Walzprofilen der IPE-, HEA- und HEB-Reihe einen empirischen Ansatz zur Ermittlung der Einspanntiefe. Sie beschränken das hergeleitete Modell daher auch ausdrücklich auf die genannten Profile. Als Bezugsgröße wird die vom Modell des „elastisch gebetteten Balkens“ bekannte „elastische Länge“ gewählt, vgl. Abschnitt 2.9.

4 SSE bC

IE4L

⋅⋅⋅= (2.56)

mit:

,7

EE,

b

EC S

BB ≅= ES = Elastizitätsmodul des Stahls (2.57)

Auf der sicheren Seite liegend ergibt sich somit:

4SE I5,2L ⋅= (2.58)

Diese elastische Länge wird mit einem Beiwert α multipliziert, was zusammengefasst den Grundwert für die weitere Vorgehensweise darstellt. Der Beiwert α berück-sichtigt das Reibungsverhalten des Profils. Für beschichtete Profile ist er daher höher als für unbeschichtete, s. Gln. (2.62) und (2.63). Für Stützen, die an der Einspannstelle eine geringe Querkraft von weniger als 0,3·Vpl aufweisen, wird der Grundwert noch

mit einem empirischen Formbeiwert ( )4 b / h und dem Ausnutzungsgrad an der Ein-

spannstelle infolge des Biegemoments multipliziert, Gl. (2.59). Aufgrund fehlender Versuche wird für höhere Querkraftbeanspruchungen der Größtwert vorgeschrieben, Gl. (2.61).

wenn E

pl

V0,3

V≤ :

D 4E

pl

M bf L

M hα≥ ⋅ ⋅ ⋅ (2.59)

E E1,5 L f Lα⋅ ≤ ≤ ⋅ (2.60)

wenn E

pl

V0,3

V> :

Ef Lα≥ ⋅ (2.61)

mit: α = 3 : für im Einspannbereich unbeschichtete Profile (2.62)

α = 4 : für im Einspannbereich beschichtete Profile (2.63)


Die untere Grenze (1,5 · LE) für die Einspanntiefe f ist notwendig, um ein Heraus-drehen der Stahlprofile auch bei geringen Beanspruchungen zu vermeiden. Als zusätzlichen Nachweis fordern die Autoren den Nachweis der Begrenzung der Betonspannungen. Dies geschieht mit einem Gleichgewichtsmodell, bei dem eine ähnliche Annahme getroffen wird wie bei den oben beschriebenen Modellen. Die Betonpressungen werden im oberen und unteren Viertel der Einspanntiefe konzentriert angesetzt. Für die Pressungsverteilung am Querschnitt wird pauschal eine Verteilungsbreite von beff = b + 0,5 h angenommen, was einem Ausbreitungs-winkel von 1 : 4 ausgehend vom hinteren Gurt entspricht, s. Bild 2.14. Die Gleich-gewichtsbeziehung für das Betonversagen ist mit Gl. (2.64) direkt angegeben. Sie wird nach Aussage der Autoren aber fast nie maßgebend.

ao

au

f

= f/4

= f/4

b

b +

0,5

h

Bild 2.14 Lastabtragungsprinzip zur Überprüfung des Betonversagens nach [59]

Betonversagen: 2

2

V V Mf 2,33 5,43 5,33

grenz p grenz pgrenz p≥ ⋅ + ⋅ + ⋅

(2.64)

mit:

( ) cgrenz p b 0,5h grenz= + ⋅ σ (2.65)

2.12 Modell für Kreishohlprofile 29

2.12 Modell für Kreishohlprofile

Mit der Baustatik-Software von Friedrich & Lochner [13] ist die Bemessung von Stahlprofilen im Einspannbereich von Köcherfundamenten möglich. Als Querschnitt können dort u. a. auch Kreishohlprofile verwendet werden. Als globales Lastabtra-gungsmodell wird das Modell der Typisierten Verbindungen [82] bzw. Kahlmeyer [33] verwendet, vgl. Abschnitt 2.7. Für den Ansatz der Betonpressungen am Querschnitt wird das Modell gemäß Bild 2.15 angesetzt. Damit ein Gleichgewichts-zustand hergestellt wird, wird auf der linken Seite eine Gegenkraft als Einzellast angesetzt, deren Größe genau der Resultierenden der Betonpressungen auf der rechten Seite des Querschnitts entspricht. Infolge dieser Einzellast entstehen Biege-momente im Kreisring, die für die Dimensionierung der Betonpressungen heran-gezogen werden. Da diese Kraft so in der Realität nicht auftritt, erhält man mit dieser Modellannahme äußerst unwirtschaftliche Ergebnisse. Für ein Hohlprofil 101,6 x 4 (S 235) und Beton C 25/30 ist für ME = 0,95 · Mpl beispielsweise eine Einspanntiefe von 66 cm erforderlich, was dem 6,5-fachen Profildurchmesser entspricht. Mit dem in Kapitel 1 hergeleiteten Modell ist bereits eine Einspanntiefe von 21 cm ausreichend, vgl. Tabelle 6.6.

plmax m 0,147 F d m= ⋅ ⋅ <

Bild 2.15 Ansatz der Betonpressungen am Kreishohlprofil nach [20]

3 FE-Untersuchungen

3.1 Vorbemerkungen

Im Rahmen der Arbeit werden Berechnungen mit Hilfe der Methode der Finiten Elemente durchgeführt. Mit den Berechnungsergebnissen können die in Kapitel 2 vorgestellten Modelle für I-Profile bewertet werden, um anschließend neue Modelle für I-Profile sowie rechteckige und kreisförmige Hohlprofile abzuleiten. Das Stahlprofil wird durch Scheiben-Platten-Elemente (Schalenelemente) diskretisiert, der umgebende Beton durch Federn, die senkrecht zur Profilwandung angreifen. Die Berechnung erfolgt somit in Anlehnung an das Verfahren des elastisch gebetteten Balkens mit einer Erweiterung auf die Querschnittsebene, so dass man nicht nur die globale Querschnittstragfähigkeit des Stahlprofils sondern zusätzlich Effekte aus lokaler Blechbiegung beurteilen kann. Die elastische Bettung wird beim Erreichen der Grenzbetonpressung plastisch begrenzt, um die Spannungsspitze an der Einspannstelle zu vermeiden. Reibung und Verbundspannungen werden bei den FE-Untersuchungen vernachlässigt. Es wird also das Hauptlastabtragungsprinzip mit einem „horizontalen Kräftepaar“ untersucht. Ob Reibung und Verbundspannungen in Ansatz gebracht werden können, wird im Nachgang bei der Modellbildung betrachtet, wobei zusätzlich Versuchsergebnisse herangezogen werden. In diesem Kapitel folgen zunächst Erläuterungen zum verwendeten FE-Modell. Anschließend werden einige Besonderheiten und Probleme, die bei der Berechnung aufgetreten sind, aufgezeigt. 3.2 Stahlprofil

3.2.1 Schalenelement SHELL181

Um den mehrachsialen Spannungszustand im Köcherbereich erfassen zu können, wird bei der FE-Analyse mit ANSYS [18] das Stahlprofil mit Scheiben-Platten-Elementen diskretisiert. Es wird das Element vom Typ „SHELL181“ verwendet, mit dem die Erfassung des plastischen Materialverhaltens des Stahls möglich ist. Als Ergebnis können neben den Verformungen auch die Spannungen an den Oberflächen in den Knotenpunkten ausgegeben werden. Da Teilplastizierungen mit Hilfe der Spannungen jedoch nur mühsam ausgewertet werden können, wird hier ausschließlich die direkte Ausgabe der Elementschnittgrößen in der Mitte des Elements verwendet, s. Bild 3.1. Das Materialverhalten wird mit der im Stahlbau üblichen bilinearen linearelastisch-idealplastischen Spannungs-Dehnungslinie abgebildet, Bild 3.2. Die Material-kennwerte werden DIN 18800 [13] entnommen. Sie sind in Tabelle 1.2 dargestellt.


Bild 3.1 Schnittgrößenausgabe des Elements SHELL181 [18]

Bild 3.2 Spannungs-Dehnungs-Beziehung für Baustähle [35]

3.2 Stahlprofil 33

3.2.2 Diskretisierung des Systems

Die Einteilung des Profils in Schalenelemente in Längsrichtung ist in Bild 3.3 dargestellt. Dabei werden drei Bereiche unterschieden:

1. Einspannbereich (f) 2. Störungsbereich außerhalb des Einspannbereichs (L1) 3. Hebelarm (L2)

Um im Einspannbereich möglichst genaue Ergebnisse zu erhalten, wird das Profil dort in Richtung der Längsachse am feinsten elementiert (Bereich f). Um Lastaus-breitungen am Anschnitt des Einspannbereichs in die Bereiche außerhalb des Köchers besser zu erfassen, wird dort ein weiterer Bereich noch sehr fein unterteilt (Bereich L1). Der dritte Bereich (L2) dient lediglich dazu, den Hebelarm für das Biegemoment an der Einspannstelle zu erzeugen. Weitere Analysen finden hier nicht statt, so dass hier ein sehr grobes Raster verwendet werden kann. Innerhalb der Bereiche erfolgt eine gleichmäßige Unterteilung, so dass sich konstante Elementlängen ergeben.

LEl,f

LEl,1

LEl,2

L1

L2

f

LEl,f < LEl,1 < LEl,2

x

Bild 3.3 FE-Netz in Längsrichtung


Die Diskretisierung des Querschnitts ist in Bild 3.4 für die drei untersuchten Profil-arten beispielhaft dargestellt. Dargestellt ist der erste Schnitt bei x = f, die Numme-rierung der weiteren Schnitte setzt sich äquivalent fort. Für I-Profile ergeben sich unterschiedliche Elementbreiten in den Gurten und den Stegen, bei Rechteckhohlpro-filen werden zusätzlich die Ausrundungsradien unterteilt. Kreishohlprofile erhalten ein gleichmäßiges Elementraster über den gesamten Kreisring.

Bild 3.4 Diskretisierung der untersuchten Querschnitte Die Querschnitte sind alle symmetrisch zu den Hauptachsen. Für eine einachsige Biegebeanspruchung kann daher die Symmetrie des Querschnitts genutzt werden, um die Berechnung zu beschleunigen. Für die untersuchten Hohlprofile wird dies gemacht, bei den I-Profilen wird darauf verzichtet. Die Lagerbedingungen, die bei Ausnutzung der Symmetrie eingefügt werden, sind in Bild 3.5 dargestellt.

Bild 3.5 Symmetriebedingungen

3.3 Stützung durch den umgebenden Beton 35

3.3 Stützung durch den umgebenden Beton

3.3.1 Federelement COMBIN39

Die seitliche Stützung des Stahlprofils durch den Beton im Einspannbereich wird durch Einzelfedern abgebildet, die in den Knoten der Schalenelemente des Stahlprofils ansetzen und senkrecht zur Profilwandung stehen. Als Federelement wird COMBIN39 [18] gewählt, das den Ansatz eines nichtlinearen Federgesetzes erlaubt. Es ist z.B. möglich, die Federkraft auf einen Höchstwert zu begrenzen. Außerdem können die Federn so definiert werden, dass sie bei Druckbeanspruchung ausfallen. Für die Simulation des Kontaktes zwischen Stahl und Beton ist hier aber der gegen-sätzliche Fall zu betrachten: Es dürfen keine Zugbeanspruchungen entstehen. Die Federn werden daher spiegelbildlich zur Profilwandung angeordnet. Für die Berechnung des Federgesetzes (Bild 3.6) wird auf Annahmen zurück-gegriffen, die beim Verfahren des elastisch gebetteten Balkens getroffen werden. Die Steigung der elastischen Geraden kann mit Hilfe der Bettungsziffer berechnet werden. Die maximale Federkraft ergibt sich mit Hilfe der Grenzbetondruck-spannungen (grenz σc). Die erforderlichen Beziehungen sind in den Gln. (3.1) bis (3.3) dargestellt.

Bild 3.6 Federgesetz (Kraft-Weg-Diagramm)

max c cF grenz A= σ ⋅ (3.1)

cmax

grenzw

C

σ= (3.2)

maxw c

max

FC C A

w= = ⋅ (3.3)

mit: Cw = Federsteifigkeit einer Wegfeder [kN/cm] wmax = Federweg bei maximaler Federkraft [cm] C = Bettungsziffer [kN/cm3] Ac = Einzugsfläche gemäß Gln. (3.6) bis (3.8) grenz σc = maximale Betondruckspannung [kN/cm2]


Zur Größenordnung der Bettungsziffer C existieren in der Literatur unterschiedliche Ansätze. Haesaerts gibt in [24] für die Bettungsziffer Gl. (3.4) an:

3 2cC 1,33 E / b f= ⋅ ⋅ (3.4)

mit: Ec = Elastizitätsmodul von Beton f = Einspanntiefe Eine andere Möglichkeit sieht Wölfer [87] vor, der in Anlehnung an die Bemessung von Maschinenfundamenten Gl. (3.5) vorschlägt:

( )cC E / k F= ⋅ (3.5) mit: E = Elastizitätsmodul des Betons F = Fundamentfläche

k = Dimensionsloser Beiwert (= 0,4 gesetzt) Nach dem Beton-Kalender 1975 [65] liegt die Bettungsziffer für alle in Frage kom-menden Betongüten bei 40.000 kp/cm3 (= 400 kN/cm3). Basler [3] erhält aus Versuchen von einbetonierten Stahldübeln eine Bettungsziffer von 410 kN/cm3 für Betonfestigkeitsklassen größer als B 25, was diesen Ansatz untermauert. Aufgrund der vielfältigen Ansätze zur Bestimmung der Betonziffer verwendet Petersen [66] für seine Untersuchungen 5 verschiedene Bettungsziffern (C = 200, 400, 600, 800 und 1000 kN/cm3). Im Rahmen dieser Arbeit wird mit einem vergleichsweise geringen Wert von C = 200 kN/cm3 gerechnet. Untersuchungen in [77] dazu haben ergeben, dass eine Variation der Bettungsziffer kaum Auswirkungen auf das Tragverhalten hat, was hauptsächlich daran liegt, dass hier vorrangig der Grenzzustand betrachtet wird, in dem das plas-tische Niveau der Bettung bereits erreicht wird. 3.3.2 Modellierung des Systems

Die Anordnung der Federn am Querschnitt ist in Bild 3.7 dargestellt. Die Feder-endknoten sind in y- und z-Richtung gelagert, in x-Richtung sind sie an den Freiheitsgrad des zugehörigen Knotens des Stahlprofils gekoppelt, so dass die Feder-kräfte ausschließlich in der y-z-Ebene wirken und keine vertikalen Belastungen im verformten Zustand an dem Stahlprofil durch Schrägstellung der Feder erzeugen. Dies entspricht dem Ansatz reiner Betondruckspannungen ohne Reibung. Bei Kreishohlprofilen gilt für alle Federn dasselbe Federgesetz, da alle Einzugsbreiten der angrenzenden Schalenelemente gleich sind. Für Rechteckhohlprofile und I-Profile ergeben sich unterschiedliche Federsteifigkeiten für die Federn am Gurt, am Steg und in den Ausrundungsradien (nur Rechteckhohlprofile). Die Federn auf den Symmetrieachsen und an den freien Querschnittsenden haben nur die halbe Einzugsbreite, so dass dort nur die halbe Federsteifigkeit berücksichtigt werden darf.

3.3 Stützung durch den umgebenden Beton 37

Dies gilt in gleicher Weise für alle Federn am Anschnitt des Einspannbereichs (x = 0) und am Profilende (x = f), da diese in x-Richtung nur die halbe Einzugslänge besitzen.

y

z

y

z

y

z

��

Cw,g

Cw,g

Cw,s

Cw,r

Cw,r / 2

Cw,r / 2

Cw,s

Cw,g Cw,g / 2

Cw,g / 2

Cw,s / 2

Cw,g / 2

Cw,g / 2

Cw,r

Cw,r

Bild 3.7 Anordnung der Federn im Querschnitt Die Einzugsflächen der Standardelemente (volle Einzugsbreite und -länge) können gemäß den Gln. (3.6) bis (3.8) abgebildet werden.

c,g e,g e,fA b L= ⋅ (3.6)

c,s e,s e,fA b L= ⋅ (3.7)

c,r e,r e,fA b L= ⋅ (3.8)

Im Bereich des Ausrundungsradius bei Rechteckhohlprofilen ergeben sich abweich-ende Federsteifigkeiten an den Übergängen „Gurt � Radius“ bzw. „Steg � Radius“, da die angrenzenden Elemente unterschiedliche Elementbreiten aufweisen. Diese können durch Bildung des arithmetischen Mittels berechnet werden, Gln. (3.9) und (3.10). Die Neigungswinkel der Federn an den Übergängen werden durch Bildung eines gewichteten Mittels aus den Neigungswinkeln der angrenzenden Elemente bestimmt, Gln. (3.13) und (3.14).


Bild 3.8 Detail der Federanordnung im Ausrundungsradius

w,r w,gw,r g

C CC

2−+

= (3.9)

w,r w,sw,r s

C CC

2−+

= (3.10)

r e,r90 / n∆α = ° (3.11)

r,i riα = ⋅ ∆α für i=1 bis ne,r-1 (3.12)

r 1r g r2

r g

b

b b−α = ⋅ ∆α+

(3.13)

1r s r r s2

r s

1b (90 ) b 90

b b− α = ⋅ ° − ⋅ ∆α + ⋅ ° + (3.14)

3.4 Hinweise zu den FE-Berechnungen 39

3.4 Hinweise zu den FE-Berechnungen

3.4.1 Nichtlineares Berechnungsverfahren in ANSYS

Die Einspannung von Stützen in Betonkörper weist ein nichtlineares Tragverhalten auf (physikalisch und geometrisch). Zur Gleichgewichtsermittlung ist daher ein inkrementelles Berechnungsverfahren erforderlich. Bei den Berechnungen mit ANSYS wird das Newton-Raphson-Verfahren verwendet, s. Bild 3.9, bei dem die Belastung in jedem Iterationsschritt gesteigert wird. Ausgehend von einem Gleichgewichts-zustand und der zugehörigen tangentialen Steifigkeitsmatrix wird durch Aufbringen eines Lastinkrementes das Verschiebungsinkrement ermittelt. Weil die angenommene Steifigkeit bei dieser Ermittlung zu hoch angesetzt worden ist, stimmen die inneren Kraftgrößen nicht mit den äußeren Kräften überein. Die Differenz muss daher als äußere Last erneut aufgebracht und ausgehend von der bezüglich der aktuellen Verschiebungskomponente neu berechneten Steifigkeitsmatrix ein weiteres Verschie-bungsinkrement ermittelt werden. Ein Gleichgewichtszustand ist erreicht, wenn die Differenz zwischen inneren und äußeren Kräften ausreichend klein ist. Voraussetzung zur Anwendung dieses Verfahrens ist, dass der E-Modul als Verhältnis von Spannungen zu Dehnungen bei größer werdenden Dehnungen konstant bleibt bzw. abnimmt, was bei der bilinearen Spannungs-Dehnungslinie für das Stahlprofil gegeben ist.

Bild 3.9 Newton-Raphson-Verfahren


3.4.2 Konvergenzprobleme

Bei den nichtlinearen Berechnungen im Rahmen dieser Arbeit sind teilweise Konvergenzprobleme aufgetreten, was sich beispielsweise dadurch äußert, dass längere Einspanntiefen zu geringeren Traglasten führen. Um diesen Konvergenz-problemen zu begegnen, liefert ANSYS mehrere Hilfsmittel. Am besten funktioniert die Verwendung der Lösungssteuerung (ANSYS-Befehl: SOLCONTROL, ON, ON). Die Schrittweite der iterativen Berechnung wird dann von ANSYS vollautomatisch festgelegt, so dass die bestmögliche Konvergenz erzielt wird. Allerdings sind so häufig bis zum Erreichen der Traglast sehr viele Iterationsschritte notwendig (>200), was sich ungünstig auf die Berechnungszeit auswirkt. Ähnlich gute Ergebnisse können auch mit der halbautomatischen Schrittweitenanpassung (ANSYS-Befehl: AUTOTS, ON) mit weniger Iterationsschritten gewonnen werden, wenn man eine sinnvolle Standardschrittweite als Vorgabe wählt. Diese Standardschrittweite wird für die ersten Iterationsschritte solange verwendet, bis erstmalig keine Konvergenz erzielt werden kann. Anschließend wird die Schrittweite verkleinert, so dass weitere Iterationsschritte erfolgen können. Dies wird so lange durchgeführt, bis dass eine vom Benutzer festgelegte minimale Schrittweite erreicht ist. Die Vorgaben werden mit dem Befehl DELTIM durchgeführt. Wichtig bei der Wahl der Parameter ist, dass die Standardschrittweite nicht zu grob vorgegeben wird, da sonst weitere Konvergenzprobleme auftreten. Im Rahmen der Arbeit wird als Standardschrittweite 2% und als minimale Schrittweite 0,1% von der Belastung angesetzt, die zum plastischen Einspannmoment ME = Mpl führt. Das Endergebnis erhält man so meist nach weniger als 100 Iterationsschritten mit einer Genauigkeit von 0,1%. Es sollte aber eine stichprobenartige Überprüfung der Ergebnisse mit dem Befehl SOLCONTROL durchgeführt werden. 3.4.3 Unstetigkeit beim Wechsel der Elementlängen

Um die Berechnungszeit „gering“ zu halten, erfolgt außerhalb des Einspannbereichs bei x = -L1 ein Übergang von einer feinen zu einer groben Elementeinteilung des Stahlprofils in Stablängsrichtung, vgl. Abschnitt 3.2.2. An dieser Stelle entsteht immer ein kleiner Sprung in den Schnittgrößenverläufen, so dass sie als Unstetig-keitsstelle bezeichnet werden muss. Vergleichsrechnungen haben gezeigt, dass der dadurch entstandene Fehler keinen Einfluss auf die Untersuchungen im Bereich des Köchers hat, wenn die Stelle weit genug von der Einspannstelle entfernt liegt. Empfohlen werden kann der Abstand L1 = f.

3.4 Hinweise zu den FE-Berechnungen 41

3.4.4 Fehlerhafte Berechnung der Plattenquerkräfte des Elements SHELL181

Die Plattenquerkräfte Q13 und Q23, vgl. Bild 3.1, werden bei dem verwendeten Scheiben-Platten-Element „SHELL181“ in ANSYS fehlerhaft berechnet. Zu erkennen ist dies beispielsweise daran, dass bei einem symmetrischen System keine symmetrischen Plattenquerkräfte errechnet werden, obwohl die Spannungen und alle anderen Elementschnittgrößen die Symmetriebedingungen erfüllen. Als mögliche Fehlerursache lässt sich eine fehlerhafte Interpretation der Kirchhoff’schen Ersatzquerkräfte, s. z.B. [26], vermuten. Dies soll im Rahmen dieser Arbeit aber nicht weiter ausgeführt werden. Eine Berechnung korrekter Plattenquerkräfte ist möglich, indem man die Berechnung zweimal mit jeweils umgekehrter Orientierung der Elemente durchführt und anschließend den arithmetischen Mittelwert der Ergebnisse bildet. Diese Vorgehens-weise erzeugt jedoch den doppelten Rechenaufwand, so dass sie nur für die Untersuchungen verwendet wird, die sich im Rahmen der Arbeit direkt auf die Plattenquerkräfte am Querschnitt beziehen. Weitere Untersuchungen werden zur Gesamtquerkraft im Stabverlauf durchgeführt. Diese setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:

1. Steganteil (� Scheibenschub) 2. Gurtanteil (� Plattenschub)

Da der Plattenschub mit Fehlern behaftet ist, wird, um auf die Einzelanteile eingehen zu können, auf die Gleichgewichtsbedingungen zurückgegriffen. Die Gesamtquer-kraft wird aus der äußeren Belastung und den Reaktionskräften berechnet. Der Scheibenschub wird richtig berechnet, so dass der Steganteil der Querkraft durch Integration ermittelt werden kann. Zieht man den Steganteil von der Gesamtquerkraft ab, erhält man den Gurtanteil. Die Vorgehensweise lässt sich stichpunktartig folgendermaßen zusammenfassen:

1. Einmalige Berechnung des Systems 2. Ermittlung der Betonpressungsverlaufs p über die Stablängsachse durch

Integration der Federkräfte 3. Berechnung der Stabquerkraft mit Hilfe der Randbedingungen und der

Belastung 4. Berechnung des Steganteils der Querkraft durch Integration der Element-

scheibenquerkräfte Q12 5. Berechnung des Gurtanteils der Querkraft durch Subtraktion des Steganteils

von der Gesamtquerkraft. Man erhält somit die resultierenden Plattenquerkräfte mit einer einmaligen Berechnung des Gesamtsystems, so dass sich die Rechenzeiten nur unmerklich verlängern.

4 Tragverhalten von I-Profilen und Weiterentwicklun g der Berechnungsmodelle

4.1 Vorbemerkungen

In diesem Kapitel wird das Tragverhalten von I-Profilen für Biegung um die starke Achse untersucht. Zunächst wird dazu auf die charakteristischen Merkmale der unter-schiedlichen Modellannahmen aus Kapitel 2 eingegangen. Insbesondere wird der maßgebende Unterschied bei der Berechnung des Stahlversagens der Modelle von Kindmann gegenüber den alten von Bär / Kahlmeyer herausgestellt, s. Abs. 4.2. In Abs. 4.3 wird anschließend das Tragverhalten mit Hilfe von FE-Untersuchungen ana-lysiert, wodurch die Modellannahmen von Kindmann überprüft werden können. Zu-sätzlich werden Effekte aufgezeigt, die bisher in keinem Modell berücksichtigt wer-den, s. Bild 4.1. Diese werden in Abs. 4.4 in ein neues Bemessungsmodell eingear-beitet. Abschließend werden in Abs. 4.5 Vergleichsrechnungen zu Versuchen durch-geführt und das neue Verfahren dem von Kindmann / Laumann gegenübergestellt.

Bild 4.1 Betonpressungen der Modellannahme im Vergleich mit der FE-Berechnung


4.2 Gegenüberstellung der Berechnungsmodelle

Um die Auswirkungen der unterschiedlichen Ansätze der in Kapitel 2 vorgestellten Modelle auf die Einspanntiefe aufzuzeigen, werden zunächst einige Vergleichsrech-nungen betrachtet. Reibung und Verbundspannungen sowie die erhöhten Betonpres-sungen aufgrund von Teilflächenpressungen werden dabei nicht angesetzt, um eine bessere Vergleichbarkeit der Modelle zu gewährleisten. Bei dem empirischen Ansatz von Mang / Koch ist dies nicht direkt möglich, so dass hier die Beziehung für beschichtete Profile verwendet wird, bei der die Reibung und Verbundspannungen geringere Auswirkungen haben. Für alle Berechnungen werden folgende Material-kennwerte verwendet:

Beton C 25/30: c,k 2c,d

c

f 2,5f 0,85 1,417kN / cm

1,5α

γ= ⋅ = ⋅ =

Stahl S235: y,k 2y,d

m

f 24f 21,82kN / cm

1,1γ= = =

In Tabelle 4.1 sind die Einspanntiefen f für ausgewählte Walzprofile im Vergleich dargestellt. Unterschieden wird dabei in Beton- und Stahlversagen. Das Modell nach Gregor liefert in Bezug auf das Betonversagen die ungünstigsten (größten) Werte, allerdings wird bei diesem Modell auch kein Tragsicherheitsnachweis des Stahlprofils gefordert. Das Modell von Gregor liegt damit häufig sogar auf der unsicheren Seite, z.B. für die Profile HE-A 100 bis HE-A 600. Die Verfahren von Bär, Kahlmeyer und Kindmann sind bezüglich des Betonversagens wesentlich wirtschaftlicher, was auf den Parabel-Rechteck-Ansatz für die Betonpressungen in Richtung der Stablängsachse zurückzuführen ist. Die Unterschiede für das Beton-versagen treten auf, weil die effektive Breite für den Ansatz der Betonpressungen am Querschnitt variiert. Die Verfahren liegen aber alle in etwa auf demselben Niveau. Der Nachweis des Betonversagens gemäß Mang / Koch ist nochmals wirtschaftlicher aufgrund des Ansatzes einer pauschal vergrößerten effektiven Breite am Querschnitt, vgl. Kapitel 2. Bei allen Verfahren ist für alle Profile das Stahlversagen maßgebend, was man dadurch erkennt, dass die diesbezügliche Einspanntiefe größer ist als die des Betonversagens. Beim Stahlversagen werden zwischen den Verfahren von Bär und Kahlmeyer und den von Kindmann und Mang / Koch große Unterschiede deutlich, so dass dies im Folgenden näher untersucht wird.

4.2 Gegenüberstellung der Berechnungsmodelle 45

Tabelle 4.1 Grenzeinspanntiefen für ausgewählte Walzprofile und die Einwirkungskombination My,E = Mpl,y,d, Vz,E = 0,3 Vpl,z.d

Gre

gor

Bär

Kah

lmey

er

Kin

dman

n /

Laum

ann

Man

g / K

och

Bär

Kah

lmey

er

Kin

dman

n /

Laum

ann

Man

g / K

och

100 30 24 20 24 20 33 33 26 31200 51 42 38 42 34 67 67 49 56300 70 57 57 57 46 100 100 70 80 Beispiel400 92 76 72 75 59 128 128 91 101500 115 94 88 93 70 145 145 108 118600 140 114 103 113 83 164 164 127 136100 30 25 23 25 23 61 61 38 44200 48 40 46 44 37 119 119 73 79300 70 58 68 66 54 192 192 115 117400 96 80 85 81 71 204 204 127 136500 121 100 98 99 84 229 229 146 152600 142 117 112 116 94 237 237 157 164700 165 136 125 135 104 238 238 167 175800 185 152 136 151 112 248 248 180 184900 209 171 148 169 121 256 256 194 194

1000 229 187 160 185 128 264 264 207 202100 34 28 24 28 26 63 63 40 46200 59 49 49 49 46 126 126 77 87300 82 68 72 69 63 197 197 118 126400 109 91 87 90 79 207 207 132 144450 122 101 94 100 86 218 218 141 152500 135 111 101 110 93 229 229 150 159600 157 129 114 128 103 237 237 163 171700 182 149 127 147 114 239 239 175 182800 203 166 138 164 122 248 248 188 192900 227 185 151 184 131 256 256 203 201

1000 249 202 162 200 139 264 264 217 210100 52 42 31 42 39 64 64 48 56200 79 65 53 65 60 126 126 85 100300 122 101 81 100 92 210 210 137 152400 145 119 94 118 104 220 220 151 165500 165 136 106 134 113 227 227 163 175600 186 152 119 151 121 234 234 175 185700 206 168 131 166 128 242 242 187 193800 226 184 142 182 135 250 250 200 201900 245 199 153 197 141 257 257 213 209

1000 264 214 164 212 147 265 265 226 216

Beton-versagen

Stahl-versagen

IPE

HE

AH

EB

HE

MP

rofil

reih

e

Nen

nhöh

e

Stahl S 235: fy,d = 21,82 kN/cm2 Beton C 25/30: grenz σc = 1,417 kN/cm2


Beim Stahlversagen wird die untere Resultierende Du auf die plastische Querkraft-tragfähigkeit des Stahlprofils begrenzt. Dies ist für alle untersuchten Profile maßgebend. Das Modell von Kindmann / Laumann ist hier gegenüber den Verfahren von Bär und Kahlmeyer wesentlich wirtschaftlicher. Das empirische Modell von Mang / Koch liegt in etwa auf demselben Niveau wie Kindmann / Laumann.

Bild 4.2 Vergleich der Verfahren von Kindmann / Laumann und Bär / Kahlmeyer am

Beispiel eines IPE 300 Bild 4.2 verdeutlicht anhand eines Beispiels die unterschiedliche Vorgehensweise bei der Untersuchung des Stahlversagens für die reinen Gleichgewichtsmodelle (Bär / Kahlmeyer � Kindmann / Laumann). Als Querschnitt wird der IPE 300 gewählt, da sich hier für alle Verfahren in etwa dieselbe Verteilungsbreite der Betonpressungen (beff = b) und somit für das Betonversagen dieselbe Einspanntiefe (fBV = 57,0 cm) ergibt, vgl. Tabelle 4.1. Für das Betonversagen ergibt sich im Beispiel eine Resultierende und somit eine maximale Querkraft im Köcherbereich von Du = Vz = 441,8 kN, die größer ist als die plastische Querkraft des Stahlprofils. Bei der Untersuchung des Stahlversagens wird die Querkraft Vz auf Vpl begrenzt (Du = Vpl). Damit dann noch die Gleichgewichtsbedingungen eingehalten werden,

4.3 FE-Untersuchungen 47

muss der Hebelarm zwischen den Resultierenden entsprechend vergrößert werden, so dass eine größere Einspanntiefe erforderlich ist. Der Unterschied zwischen den beiden Verfahren ergibt sich aus dem unterschiedlichen Ansatz der Betonpressungen, um die Reduktion der Querkraft zu erzielen. Bär und Kahlmeyer setzen im Vergleich zum Betonversagen kleinere Betonpressungen an, um die Resultierende auf den vorgegebenen Wert zu verkleinern. Gleichzeitig werden die Bereiche ao und au vergrößert, um den größeren Hebelarm zu erhalten. Die Resultierenden „wandern“ daher insgesamt zur Köchermitte. Kindmann / Laumann verkleinern im Vergleich zum Betonversagen die Bereiche ao und au und behalten die Grenzpressungen bei. In der Mitte entsteht ein unbelasteter Bereich am, so dass die Resultierenden zu den Rändern des Einspannbereichs „wandern“, was den Tragfähigkeitsgewinn erklärt. Ein weiterer Vorteil aus diesem Ansatz der Betonpressungen ist, dass die großen Betonpressungen am Köcheranschnitt die dort auftretende Querkraft schnell abbauen, so dass das maximale Biegemoment im Einspannbereich kaum größer ist als am Anschnitt, wodurch ein geringfügig kleinerer innerer Hebelarm ∆xD benötigt wird, um Gleichgewicht zu erzeugen. Im Beispiel beträgt der Unterschied der erforderlichen Einspanntiefe 30%. Tabelle 4.1 zeigt, dass diese Größenordnung bei vielen Profilen erreicht wird. Bei den folgenden FE-Untersuchungen soll daher insbesondere geklärt werden, ob der Ansatz konzentrierter Betonpressungen an den Enden des Einspannbereichs beim Stahlversagen gerechtfertigt ist. 4.3 FE-Untersuchungen

4.3.1 Problemstellung und Vorgehensweise

Um die oben gezeigten Modelle qualitativ bewerten zu können, wird nachfolgend das Tragverhalten von eingespannten I-Profilen mit Hilfe des in Kapitel 3 vorgestellten FE-Modells untersucht. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf der Verteilung der Betonpressungen über die Stablängsachse im Versagenszustand „Stahlversagen“, da dies, wie zuvor erläutert, den maßgebenden Unterschied der Verfahren darstellt und einen hohen Tragfähigkeitsgewinn nach sich zieht. Auf den Ansatz der Betonpres-sungsverteilungen am Querschnitt wird ebenfalls eingegangen. Dabei wird davon ausgegangen, dass die Betonpressungen am vorderen und hinteren Gurt unabhängig voneinander sind. Auf die lokalen Beanspruchungen im Stahlprofil infolge der Krafteinleitung wird gesondert eingegangen. Es werden Phänomene deutlich, die einen Last steigernden Effekt haben. Die folgenden Darstellungen geben einen repräsentativen Ausschnitt aus einer Viel-zahl von Berechnungen wieder. Das Stützenprofil wird so gewählt, das es im Mittelli-nienmodell betrachtet die Tragfähigkeit eines IPE 300 (S235) aufweist. Für die Untersuchung der Betonpressungsverteilungen am Querschnitt wird die Biegesteifig-keit der Gurte variiert. Damit die Gesamttragfähigkeit erhalten bleibt und vergleich-bare Ergebnisse erzielt werden, werden Gurtdicke und -breite so angepasst, dass die Gurtfläche konstant bleibt. Die betrachteten Querschnitte sind in Bild 4.3 dargestellt.


t g=

1,7

0

t g=

1,7

0

t g=

0,5

35

t g=

0,5

35

t g=

1,0

7

t g=

1,0

7

Bild 4.3 Querschnitte für FE-Untersuchungen

4.3.2 Betonpressungsverläufe über die Stablängsachs e

Zunächst werden die Betonpressungsverläufe über die Stablängsachse betrachtet. Sie ergeben sich aus der Summe der Federkräfte in jedem Querschnitt. Bild 4.4 zeigt die Verteilungen für verschiedene Belastungsstufen für den nicht modifizierten IPE 300. Die Einspanntiefe von 60 cm ist so gewählt worden, dass das plastische Biege-moment an der Einspannstelle nicht erreicht werden kann. Im elastischen Bereich (Bild 4.4a) ist ein kontinuierlich stetiger Verlauf erkennbar. Bereits hier treten am Köcherrand erhöhte Spannungen auf. Wird die plastische Querkraft des Profils erreicht, lagern sich die Betonpressungen zu den Rändern hin um, wie man Bild 4.4b entnehmen kann. Bild 4.4c zeigt die Pressungssituation im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Weitere Spannungsumlagerungen sind möglich, indem Querkräfte im Einspannbereich auftreten, die größer sind als die plastische Querkraft des Profils. Im unteren Bereich entsteht dann ein durchschlagender Pressungsverlauf, und es treten größere Pressungen am Rand auf. Die plastische Querkraft des Profils wird in diesem Zusammenhang als maximale Querkraft aus dem Scheibenschub im Steg definiert, wie es im Stahlbau üblich ist. Überschreitungen sind möglich, indem Zusatzanteile aus dem Plattenschub in den Gurten auftreten. Dies wird im Folgenden genauer untersucht.


pFE

pFE(x=0) =

42,52 kN/cm

x

f =

60 c

m

VE

ME

VE = 26,0 kN

ME = 13000 kNcm

pFE(x=0) =

34,51 kN/cmVE

ME

VE = 10,68 kN

ME = 5340 kNcm

pFE

VE

ME

pFE(x=0) =

42,48 kN/cm

VE = 24,0 kN

ME = 12000 kNcm

Stahlprofil im elastischen

Zustand

a) Weitere Umlagerungen

finden statt

c)Pressungskonzentration

zu den Rändern

b)

plV V< plV V≈plV V≈

plV V>

Bild 4.4 Betonpressungsverläufe für verschiedene Belastungsstufen

(IPE 300 ohne Modifikation) Die Querkraftverläufe im Einspannbereich werden in den Bildern 4.5 und 4.6 noch einmal differenziert betrachtet. Es wird jeweils die Gesamtquerkraft (Vz,ges) und die Aufteilung in Steg- (Vz,Steg) und Gurtanteil (Vz,Gurt) dargestellt. Im Grenzzustand (Bild 4.5) werden im unteren Einspannbereich Gurtquerkräfte aktiviert, die die Gesamt-querkraft ansteigen lassen. Vergleicht man die berechneten Pressungsverläufe (pFE) in diesem Zustand mit den Modellannahmen nach Kindmann / Laumann (grau hinterlegter Bereich pK/L), lässt sich die Konzentration der Pressungen zu den Rändern des Einspannbereichs als Gemeinsamkeit feststellen. Durch weitere Umlage-rungen im FE-Modell zu den Rändern hin können aber noch größere Hebelarme aktiviert werden, die eine weitere Laststeigerung erlauben. Betrachtet man die Lösung des letzten Iterationsschrittes, bevor die Plattenquerkräfte auftreten (Bild 4.6), ähnelt die Pressungsverteilung wesentlich stärker der Modell-annahme. Im unteren Bereich ist nur noch eine geringfügige Umlagerung in den Randbereich zu erkennen, die Verteilung hat keinen weiteren Nulldurchgang, und es stellen sich keine Plattenquerkräfte im Gurt ein. Im oberen Bereich steigt die Pressung von der Köchermitte zum Rand hin stetig an, bis sie quasi konstant verläuft. Dieses Plateau wird im Folgenden als „Normalbereich“ bezeichnet. Die Pressungen im „Normalbereich“ sind hier etwas größer als im Modell. Zum Anschnitt des Einspannbereichs ist die ausgeprägte dreiecksförmige Spitze erkennbar.

4 Tragverhalten von I-Profilen und Weiterentwicklung der Berechnungsmodelle 50 f =

60 c

m

Bild 4.5 Betonpressungsverlauf und zugehörige Querkräfte im Grenzzustand

f =

60 c

m

Bild 4.6 Betonpressungsverteilung und zugehörige Querkräfte für

ME = 0,9 Mpl = 12000 kNcm


In den weiteren Betrachtungen wird dieser „Zwischenzustand“ der FE-Berechnung als Endzustand betrachtet, da die bei höherer Belastung auftretenden Gurtquerkräfte im unteren Köcherbereich nicht in die Modellannahmen einfließen sollen. Dabei ist es von Vorteil, dass sich in allen durchgeführten Berechnungen solch ein Zustand eingestellt hat, d.h. eine Laststufe existiert, bei der die Umlagerungen infolge der Stegquerkraft schon stattgefunden haben, bevor Gurtquerkräfte im unteren Köcherbereich auftreten. Am Anschnitt des Einspannbereichs kann ebenfalls ein Anstieg der Plattenquerkraft in den Gurten verzeichnet werden. Dabei handelt es sich nicht nur um eine plastische Umlagerung, was daraus deutlich wird, dass der Effekt bereits bei Belastungen auftritt, unter denen sich das gesamte System noch elastisch verhält, s. Bild 4.7. Durch die Blechbiegung in den Gurten mit den zugehörigen Querkräften erfolgt eine Abtragung der Betonpressungen in die Bereiche außerhalb des Einspannbereichs. Die Betonpressungen werden nicht mehr nur direkt zum Steg abgetragen sondern zusätzlich in Trägerlängsrichtung. Die Stegquerkraft nimmt bereits außerhalb des Einspannbereichs ab, was durch Plattenquerkräfte in den Gurten ausgeglichen wird, vgl. Bilder 4.5 und 4.6.

Bild 4.7 Querkräfte und Gurtbiegemomente an der Einspannstelle im ersten

Iterationsschritt (M = 0,05 Mpl) � elastischer Zustand Es können somit zwei laststeigernde Effekte mithilfe der FE-Berechnungen zu den Betonpressungsverläufen über die Stablängsachse herausgestellt werden, die im Folgenden näher untersucht werden sollen:

1. Erhöhte Betondruckspannungen im Normalbereich 2. Spannungsspitze am Rand des Einspannbereichs


4.3.3 Erhöhte Betonpressungen im Normalbereich

Zur Analyse der erhöhten Betonpressungen im Normalbereich, werden die Betonpressungsverteilungen am Querschnitt im definierten Grenzzustand betrachtet, bevor die plastische Querkraft des Steges im Köcherbereich überschritten wird, Bild 4.8. Es wird deutlich, dass bei breiten, schlanken Gurten neben den Pressungen an der Vorderseite auch Abstützkräfte auf der lastabgewandten Seite der Gurte auftreten.

Bild 4.8 Betonpressungen aus der FE-Berechnung an einem Querschnitt im

Normalbereich für 3 Fälle (gedrungener, normaler und schlanker Gurt)


kurzer, steifer Gurt breiter, schlanker Gurt

1) ohne Abstützkräfte

(Beton einseitig)

2) mit Abstützkräften

(Beton beidseitig)

Gurtbiegung großGurtbiegung gering

wg,außen > 0wg,außen < 0

c

cc

c

beff,1

beff beff,+

a) b)

beff,+

0,5 beff,-

0,5 beff,-

beff,1 < beff,2 = beff,+ - beff,- Bild 4.9 Entstehung von Abstützkräften Da der Gurt im Bereich des Steges in den Beton hineingedrückt wird, wird er nach hinten gebogen und stützt sich je nach Biegesteifigkeit und Gurtbreite rückseitig am Beton ab. Bild 4.9 veranschaulicht diesen Sachverhalt. Ist der Gurt sehr steif, oder nicht sehr breit, ist die Gurtbiegung gering, so dass der gesamte Gurt in Belastungsrichtung gedrückt wird, Bild 4.9a. Bei breiten, schlanken Gurten biegt sich


der Gurt so weit nach hinten, dass auch negative Verformungen auftreten, Bild 4.9b. Wenn kein Beton auf der Rückseite vorhanden wäre, könnte sich der Gurt frei nach hinten biegen. Da der Gurt aber in der Regel komplett von Beton umgeben ist, treten Abstützkräfte auf, wodurch die Biegelinie insgesamt flacher wird. Die Pressungen auf der Rückseite wirken entgegen der erforderlichen Auflagerkraft, so dass diese von den positiv wirkenden Betonpressungen subtrahiert werden müssen. Es ergibt sich eine effektive Verteilungsbreite, die aber immer größer ist als die Verteilungsbreite, die sich ohne Abstützung ergeben würde (beff,2 > beff,1). Im Stahlbau werden vergleichbare Abstützkräfte bei der Berechnung von biegesteifen Stirnplattenstößen angesetzt (T-Stummel-Modell), vgl. z. B. [41]. Unterschieden werden 3 Versagens-fälle. Welcher Versagensfall maßgebend wird, hängt vom Verhältnis der Gurtsteifig-keit zur aufnehmbaren Betondruckkraft ab. Tabelle 4.2 Vergleich des T-Stummel-Modells bei der Berechnung von

Stirnplattenstößen mit der FE-Analyse

Versagens-fall

Stirnplattenstoß (T-Stummel-Modell, [41])

Fließ-gelenke

Eingespanntes I-Profil (FE-Analyse)

Mode 1

Gurtversagen

4

Abstützkräfte, die nicht bis zu

den Enden reichen

Mode 2

Gurtversagen und

Schraubenversagen

2

Abstützkräfte an den

Gurträndern

Mode 3

Schraubenversagen

keine

keine Abstützkräfte


In Tabelle 4.2 sind die Gurtbiegemomente aus der FE-Berechnung den Annahmen des T-Stummel-Modells gegenübergestellt. Qualitativ ähneln sich die Verläufe stark. In beiden Fällen ist die Anzahl der Fließgelenke ein entscheidendes Kriterium. Der Unterschied liegt lediglich darin, dass nun keine Einzellasten (Schraubenkräfte, Kontaktkräfte) sondern Pressungen als Reaktion auf die Belastung auftreten. Kontaktkräfte werden beim T-Stummel-Modell immer an der Gurtaußenkante angesetzt, während die auftretenden Kontaktpressungen hier nicht immer bis zum Gurtrand reichen. 4.3.4 „Spannungsspitze“ am Anschnitt des Einspannbe reichs

In den Bildern 4.4 bis 4.6 ist am Anschnitt des Einpannbereichs eine ausgeprägte Spitze im Verlauf der Betonpressungen über die Stablängsachse erkennbar. Durch diese Spitze wird der innere Hebelarm zur Abtragung des Biegemoments vergrößert, was theoretisch einen Tragfähigkeitsgewinn mit sich bringt. Bild 4.10 zeigt, dass sich überall dort, wo Biegemomente in Querrichtung auftreten, auch Biegemomente in Längsrichtung einstellen. Im Bereich der Einspannstelle hat dies zur Folge, dass auch Bereiche außerhalb des Einspannbereichs zur Lastabtragung herangezogen werden können, was diese „Spannungsspitze“ am Anschnitt erklärt. Bild 4.10 zeigt ebenfalls, dass die Querbiegemomente am Anschnitt nicht ganz die Größenordnung des plastischen Biegemoments mpl erreichen (min my = 5,453 kNcm/cm = 0,87mpl), worauf im Folgenden näher eingegangen werden soll.

Bild 4.10 Gurtbiegemomente im Bereich der Einspannung für ein IPE 300


Wie bereits erwähnt, tritt die Biegebeanspruchung in Längsrichtung nicht nur am Anschnitt des Einpannbereichs auf, sondern überall dort, wo auch eine Querbiegung vorhanden ist, d.h. überall dort wo Betonpressungen angreifen. Die Querbiege-momente my sind immer etwa doppelt so groß wie die Längsbiegemomente mx, Bild 4.10. Dies entspricht dem Optimum bei der plastischen Interaktion zwischen mx- und my-Schnittgrößen. Im plastischen Grenzzustand spricht man von einem „Wandern auf der Fließfläche“, wodurch im Bereich der Einspannstelle zusätzliche Tragreserven aktiviert werden können. Für eine einfache Spannungsinteraktion zwischen σx- und σy-Spannungen ist der Zusammenhang in Bild 4.11 dargestellt. Die σy-Spannungen erreichen den Maximalwert von 1,154 fy, wenn gleichzeitig halb so große σx-Spannungen mit gleichem Vorzeichen auftreten. Für eine Interaktion aus reinen Plattenbiegemomenten ist der Zusammenhang äquivalent.

2 2v x y x yσ = σ + σ − σ ⋅ σ

Bild 4.11 Fließellipse für σx- und σy-Spannungen Teilt man das globale Biegemoment My in Teilschnittgrößen auf, erhält man Normalkräfte Nx,OG bzw. Nx,UG in den Gurten sowie ein Biegemoment MS im Steg. Die Normalkräfte im Gurt können auch durch Integration lokaler Scheibenlängs-normalkräfte nx ausgedrückt werden.

x,i xb

N n ds= ⋅∫ (4.1)

Wenn an der Einspannstelle beispielsweise das plastische Biegemoment Mpl,y auftritt, sind die Gurte bereits vollständig durch Nx,i durchplatiziert. Trotzdem wird eine Biegetragfähigkeit benötigt, um die Betonpressungen in den Querschnitt einzuleiten, so dass dies so nicht möglich sein kann. Es ist also eine Abminderung notwendig, die sich aus der Interaktion zwischen nx, mx und my ergibt.


Für eine diesbezügliche Untersuchung wird die plastische Interaktionsbeziehung gemäß den Gln. (4.2) bis (4.5) verwendet, vgl. [32] u. [57].

2 2 2

6 62 2 4 22y2 4 8 6 2 2

2 4

n m (nm)4

t tn m m (nm)8 64 16 f

t t t t n m7,68

t t

⋅ − + + + − ≤

+

(4.2)

mit:

2 2 2 2x y x y xyn n n n n 3 n= + − ⋅ + ⋅

(4.3)

2 2 2 2x y x y xym m m m m 3 m= + − ⋅ + ⋅ (4.4)

x y y xx x y y xy xy

n m n m(nm) n m n m 3 n m

2 2

⋅ ⋅= ⋅ − − + ⋅ + ⋅ ⋅ (4.5)

Definitionen: - Längskräfte (nx, ny) und Schubkräfte (nxy) bei Scheiben:

x xt

n dz= σ ⋅∫ ; y yt

n dz= σ ⋅∫ ; xy xyt

n dz= τ ⋅∫

- Biegemomente (mx, my) und Torsionsmomente (mxy) bei Platten

x xt

m z dz= σ ⋅ ⋅∫ ; y yt

m z dz= σ ⋅ ⋅∫ ; xy xyt

m z dz= τ ⋅ ⋅∫

t = Blechdicke

Es wird untersucht, wie groß die lokalen Längsnormalkräfte nx maximal werden dürfen, wenn maximal mögliche lokale Biegemomente auftreten. Betrachtet wird eine Hälfte des Gurtes, was einem Kragarm entspricht, der im Stegbereich eingespannt ist. Der ungünstigste Fall ohne Abstützkräfte ist, dass an der Einspannstelle gerade das plastische Biegemoment auftritt und der Gurt so breit ist, dass die Biegemomente am Gurtende gerade auf Null abgeklungen sind. Bei der Untersuchung wird mx einmal zu Null gesetzt und einmal mx = my / 2, s. Bild 4.12. Ist letzteres der Fall kann an der Einspannstelle, wo der Gurt infolge der Querbiegung my durchplastiziert ist, trotzdem eine nennenswerte lokale Normalkraft von nx = 0,584 npl auftreten. Durch Integration wird der Mittelwert gebildet. Für mx = 0 darf der Gurt im Mittel nur zu 85,0% infolge Längsspannungen ausgenutzt werden, für mx = my / 2 beträgt dieser Wert 93,2%.


1

0,5

00

my

1

Gurtkragarm

10

sc

sc0,2 0,4 0,6 0,8

0,2

0,4

0,6

0,8

1

mpl

m

LGurt = c

npl

n

nx (mx = 0,5 my)

mx = 0,5 m

y

n x(m

x= 0

)

⋅ ⋅ = ⋅∫c

x pl0

1n ds 0,932 n

c

Mittelwerte der Normalkräfte:

mx = 0 :

mx = 0,5 my :

⋅ ⋅ = ⋅∫c

x pl0

1n ds 0,850 n

c

c

Mittelwert

nx (mx = 0)

Mittelwert

nx (mx = 0,5 my)0,932

0,850

0,584

s

Bild 4.12 Abminderung der Gurtlängsnormalkräfte aufgrund der Querbiegung


Für den Extremfall mit Abstützkräften, vgl. Abs. 4.4.1 – Versagensfall 2, wird der Tragfähigkeitsgewinn noch deutlicher. Ohne die Längsbiegemomente mx dürfte der Gurt dann durchschnittlich nur noch zu 67,5% ausgenutzt werden, mit mx = 0,5my immerhin zu 84,4%. In der FE-Berechnung stellt sich durch die Ausbreitung in Längsrichtung noch zusätzlich eine Verkleinerung der Querbiegemomente ein. Berücksichtigt man beispielsweise eine Verkleinerung auf 0,9 mpl, erhöht sich für den Extremfall mit Abstützkräften die durchschnittliche Grenznormalkraft des Gurtes auf 76,3% bzw. 88,2% von npl. In Tabelle 4.3 sind die Ergebnisse zusammengefasst dargestellt. Tabelle 4.3 Durchschnittliche Grenznormalkräfte nx in Abhängigkeit von den

Biegemomenten mx (Längsrichtung) und my (Querrichtung)

Durchschnittliche Grenznormalkräfte n x Fall Biegemomentenlinie m y wenn m x = 0 wenn m x = 0,5 my

Extremfall ohne Abstützkräfte

Versagensfall 3

0,850 npl 0,932 npl

Extremfall mit Abstützkräften

Versagensfall 2

0,675 npl 0,844 npl

Extremfall mit Abstützkräfte

Versagensfall 2

my

-0,9 mpl

0,9 mpl

0,763 npl 0,882 npl

Es wird demnach deutlich, dass die Längsbiegemomente notwendig sind, damit sich eine möglichst große Gurtnormalkraft Nx,i einstellen kann. Trotzdem müsste diese zwischen 7% und 15% abgemindert werden, so dass Mpl an der Einspannstelle nicht erreicht werden könnte, wenn nicht andere tragfähigkeitssteigernde Effekte zum Tragen kämen. Einer dieser Effekte ist die Abtragung der Betonpressungen in Bereiche außerhalb des Einspannbereichs, die zu der Konzentration der Betonpressungen an der Einspannstelle führen, was sich durch die „Spannungsspitze“ bemerkbar macht. Da es sich um einen zwingend erforderlichen Effekt zur Eintragung großer Biegemomente in den Einspannbereich handelt, wird nicht empfohlen diesen Effekt zusätzlich zur Verringerung der Einspanntiefe heranzuziehen.


4.4 Modellbildung

4.4.1 Abstützkräfte an den Gurtenden

In Anlehnung an die Erkenntnisse aus den FE-Untersuchungen in Abschnitt 4.3 wird in diesem Abschnitt ein Berechnungsmodell hergeleitet, das die Abstützkräfte zur Laststeigerung berücksichtigt. Gemäß Tabelle 4.2 sind dabei 3 Versagensfälle zu betrachten, wie sie von der Berechnung geschraubter biegesteifer Stirnplattenstöße bekannt sind: Versagensfall 1: Abstützkräfte, die nicht bis zu den Enden reichen, da sich eine

Fließgelenkkette mit 4 Fließgelenken ausgebildet hat Versagensfall 2: Abstützkräfte, die bis zum Rand reichen. Es bilden sich zwei

Fließgelenke im Bereich des Steganschnitts. Versagensfall 3: Keine Abstützkräfte. Es treten keine Fließgelenke auf. Für die Berechnung der effektiven Breite wird das Maß c für die Ausbreitung im Gurt angesetzt, vgl. Bilder 2.8 und 2.9. Ausgangspunkt ist das Fließgelenk im Bereich des Steganschnitts. Treten Abstützkräfte auf, vergrößert sich einerseits das Maß c. Die Pressungen auf der Rückseite müssen in den Berechnungen aber wieder abgezogen werden. Es wird daher ein effektives Ausbreitmaß gemäß Bild 4.13 definiert.

Bild 4.13 Definition von ceff als Ausbreitmaß für das Modell mit Abstützkräften Versagensfall 1 Zur Herleitung des Versagensfalls 1 wird ein sehr breiter Gurt betrachtet, bei dem in jedem Fall Abstützkräfte auftreten, die nicht bis zum Rand reichen. Zur Verein-fachung werden sowohl die positiv als auch die negativ wirkenden Betonpressungen konstant mit ihrem Maximalwert angenommen. Es ergeben sich die lokalen Querkräfte und Biegemomente gemäß Bild 4.14. Der Grenzfall entsteht dadurch, dass sich ein Fließgelenk im positiven und eines im negativen Momentenbereich einstellt. Mit dieser Voraussetzung lassen sich die Maße c und c2 bestimmen, Gln. (4.6) bis (4.10). Ist die Kragarmlänge des Gurtes größer als c+c2, kann somit das maximal ansetzbare effektive Ausbreitmaß ceff mit Gl. (4.11) ermittelt werden. Ist dieser Fall maßgebend, kann eine Steigerung der effektiven Breite nur durch eine Vergrößerung der Gurtdicke erzielt werden. Eine Vergrößerung der Gurtbreite hätte keine Veränderung zur Folge.

4.4 Modellbildung 61

Bild 4.14 Modellannahme zur Bestimmung des Versagensfalls 1

c 2c 2 pl

cmax M 2 c m

2

σ ⋅= = σ ⋅ = (4.6)

pl2

c

mc⇒ =

σ

( )21c 2 pl2max M min M c c 2m− = σ ⋅ − = (4.7)

pl2 22 2

c

pl pl pl2

c c c

pl pl2

c c

pl

c

4mc 2c c c

m m 4mc 2c

m mc 2c 3 0

mc 3

⇒ − ⋅ + =σ

⇒ − ⋅ + =σ σ σ

⇒ − ⋅ − =σ σ

⇒ = ⋅σ

Mit 2g

pl y

tm f

4= ⋅ ergibt sich: (4.8)

g y

c

3t fc

2⇒ = ⋅

σ (4.9)

g y2

c

t fc

2⇒ = ⋅

σ (4.10)

yeff ,1 2 g

c

fc c c t= − = ⋅

σ (4.11)


Versagensfall 2 Für Gurte, deren Kragarmlänge eR kleiner ist als c + c2 gemäß den Gln. (4.9) und (4.10), wird Versagensfall 2 maßgebend. Es ergeben sich die Querkraft- und Momentenlinien aus Bild 4.15. Die Maße c und c2 werden sinngemäß hergeleitet, Gl. (4.12) und (4.13), so dass sich das effektive Ausbreitmaß ceff nach Gl (4.14) ergibt. In diesem Fall hätte sowohl eine größere Gurtdicke als auch eine Vergrößerung der Gurtbreite eine Vergrößerung der effektiven Breite zur Folge.


( ) 21 1c 2 R 2 c pl2 2min M c e c c m= σ ⋅ ⋅ − − σ ⋅ = − (4.12)

2 2yR R

c

fe e tc

3 9 6⇒ = + + ⋅

σ

2 Rc e c= − (4.13)

2 2yR R

eff ,2 2 Rc

fe e tc c c 2c e 2

3 9 6= − = − = − + ⋅ + ⋅

σ (4.14)

Versagensfall 3 Versagensfall 3 tritt ein, wenn der Gurt sehr kurz oder sehr steif ist, Bedingung (4.15). Es bildet sich dann kein Fließgelenk aus, und es treten keine Abstützkräfte auf. Das effektive Ausbreitmaß entspricht der Länge des Gurtkragarms, Gl. (4.16). In diesem Fall hätte lediglich eine größere Gurtbreite eine Steigerung des Ausbreit-maßes zur Folge. Eine Vergrößerung der Gurtdicke hätte keine Auswirkungen.



22gR

pl c y

g yR

c

tem m f

2 4

t fe

2

< ⇒ σ ⋅ < ⋅

⇒ < ⋅σ

(4.15)

eff ,3c c b= = (4.16) Zusammenfassung In Tabelle 4.4 sind die Modellansätze für die 3 Versagensfälle zusammengefasst. Bild 4.17 veranschaulicht grafisch deren Verläufe in Bezug auf die Kragarmlänge des Gurtes. In Versagensfall 3 steigt das effektive Ausbreitmaß linear an bis zum Schnittpunkt mit Versagensfall 2. Ab diesem Punkt ist Versagensfall 2 maßgebend, der mit einer horizontalen Tangente beginnend zunächst nur eine geringe Vergrößerung des Ausbreitmaßes zulässt, was im weiteren Verlauf aber stetig zunimmt. Wird Versagensfall 1 maßgebend, ist eine weitere Vergrößerung nicht mehr möglich (horizontaler Verlauf). Tabelle 4.4 Berechnung des effektiven Ausbreitmaßes unter Berücksichtigung von

Abstützkräften

Versagensfall Bedingung effektives Ausbreitmaß

Mode 1 ≥ ⋅σ

yR g

c

fe 2t y

eff,1 gc

fc t= ⋅

σ

Mode 2 ⋅ < < ⋅σ σ

g y yR g

c c

t f fe 2t

2 = − + ⋅ + ⋅

σ

2 2yR R

eff,2c

fe e tc 2

3 9 6

Mode 3 ≤ ⋅σ

g yR

c

t fe

2 =eff,3 Rc e

g y

c

t f

2⋅

σy

gc

f2t ⋅

σ

Bild 4.17 Verlauf des effektiven Ausbreitmaßes bzgl. der Länge des Gurtkragarms


4.4.2 Ansatz von Reibungskräften

Für die Lastabtragung des Biegemoments im Einspannbereich kann neben einem horizontalen auch ein vertikales Kräftepaar in Ansatz gebracht werden, was die erforderliche Einspanntiefe reduziert, vgl. Bild 1.2. In diesem Abschnitt wird der Ansatz vertikaler Kräfte aufgrund von Reibung erläutert. In dem Berechnungsmodell von Kindmann / Laumann [40] lässt sich die Reibungskraft direkt aus den Resultier-enden Do bzw. Du ermitteln, indem diese mit dem Reibbeiwert zwischen Beton und Stahl multipliziert werden. Hier ergeben sich wesentlich größere Reibungskräfte, da sowohl die Pressungen auf der Gurtvorderseite als auch die Abstützkräfte auf der Gurtrückseite Reibung erzeugen. Zur Berücksichtigung der vergrößerten Reibungs-kräfte wird der Faktor kµ eingeführt, siehe. Gln. (4.17) und (4.18). Er gibt das Verhältnis der Summe der wirkenden Horizontalkräfte (positiv + negativ) zu den effektiv wirkenden Horizontalkräften wieder (positiv – negativ). Das Verhältnis der Kräfte ist gleich dem Verhältnis der Verteilungsbreiten. Der Faktor kµ ergibt sich somit direkt aus dem Längenverhältnis zwischen der Gurtbreite bges, an der sowohl positive als auch negative Betonpressungen angreifen, zur rechnerisch berücksichtig-ten Verteilungsbreite beff. Je nach Versagensfall des Gurtes, vgl. Abschnitt 4.4.1, ergeben sich verschiedene Formeln, die in Tabelle 4.5 zusammengestellt sind.

u uR k Dµ= ⋅µ ⋅ (4.17)

o oR k Dµ= ⋅µ ⋅ (4.18) Tabelle 4.5 Vergrößerungsfaktor kµ für den Ansatz von Reibungskräften

σµ = c

eff

bk

b

Walzprofil

c

Fließgelenk

tsbeF

eF = ts + 1,6r

eR = (b – eF) / 2

eR

eR

geschweißtes I-Profil

c

Fließgelenk

ts

a

beF

eF = ts + 2,26a

eR = (b – eF) / 2

eR

eR

Mode 1 σ = + +

= + +c s eff,1

eff s eff,1

b t 2,4r 8c

b t 2,4r 4c

σ = + +

= + +c s eff,1

eff s eff,1

b t 3,86a 8c

b t 3,86a 4c

Mode 2 σ = − −

= + +c s

eff s eff,2

b 2b t 1,2r

b t 2,4r 4c σ = − −

= + +c s

eff s eff,2

b 2b t 0,66a

b t 3,86a 4c

Mode 3 σ = = − −c eff sb b 2b t 1,2r

k 1,0µ⇒ =

σ = = − −c eff sb b 2b t 0,66a

k 1,0µ⇒ =

ceff,i s. Tabelle 4.4


4.4.3 Verbundspannungen

Gemäß der aktuellen Verbundbaunorm DIN 18800, Teil 5 (03/2007) ist der Ansatz von Verbundspannungen zwischen einem glatten I-Profil und dem umgebenden Beton zulässig. Außerdem sind in den älteren Fassungen der DIN 1045 Werte zum Ansatz der Verbundspannungen zwischen glattem Bewehrungsstahl und dem umgebenden Beton angegeben. In der Neufassung der DIN 1045 (08/2008) ist dieser Ansatz aber komplett entfallen. Kindmann / Laumann setzen die Verbundspannungen hauptsächlich in dem Bereich am zwischen den oberen und unteren Betonpressungen an. Dieser Bereich entsteht, wie zuvor ausführlich erläutert, dadurch, dass im Einspannbereich die plastische Querkraft des Stahlprofils erreicht wird, vgl. Bild 4.6. Durch das Fließen des Steges ist somit in dem Bereich am eigentlich keine Steifigkeit für die Aufnahme der Verbundspannungen vorhanden. Aufgrund dieser zwei Aspekte wird hier auf den Ansatz von Verbundspannungen gänzlich verzichtet. 4.4.4 Anwendung der Ergänzungen im Modell

Auf Grundlage des Modells von Kindmann / Laumann wird mit den Erkenntnissen der FE-Berechnungen aus den vorangegangenen Abschnitten ein Näherungsverfahren entwickelt, das die folgenden Einflüsse berücksichtigt: 1. Verzicht auf den Ansatz von Teilflächenpressungen Die maximal zulässigen Betonpressungen werden im Modell von Kindmann /

Laumann für Biegung um die starke Achse pauschal mit dem Faktor 2 multi-pliziert. Begründet wird dies mit der Annahme, dass die Pressungen als Teilflächenpressungen auftreten. Gleichzeitig wird die gesamte Verteilungsbreite der Betonpressungen am Querschnitt auf die Breite des Querschnitts b begrenzt, um dieser Annahme gerecht zu werden. Im neuen Modell werden die Betonpressungen sowohl am vorderen als auch am hinteren Gurt ohne Begrenzung angesetzt, vgl. Bilder 4.13 bis 4.16. Auf den Ansatz vergrößerter Betonpressungen aufgrund von Teilflächenpressungen wird daher verzichtet.

2. Berücksichtigung von Abstützkräften Die Berücksichtigung von Abstützkräften erfolgt gemäß Abs. 4.4.1, indem die neuen Beziehungen für ceff gemäß Tabelle 4.4 anstelle der Beziehung für c aus Bild 2.8 verwendet werden.


Bild 4.18 Lastabtragungsmodell für Biegung um die starke Achse Durch Auswertung der Gleichgewichtsbedingungen ergeben sich die Beziehungen gemäß den Gln. (4.19) und (4.21). Sie sind bis auf den Faktor kµ mit den hergeleiteten Beziehungen von Kindmann / Laumann identisch.

( )2z,Ey,E

u z,Eu c u

VM 1,03f D V 0,5 f

D p D

= + ⋅ + + ⋅ − ∆

(4.19)

( )z,Eg

u

Vf k 1 h t

2D

∆ = ⋅ ⋅ + ⋅ −

µ µ (4.20)


( )u z,E

22c y,E z,E z,E z,E

D 0,072 V D

0,693p M 0,356V D V 0,072 V D

µ

µ µ

= − ⋅ − +

⋅ + − ⋅ + ⋅ + (4.21)

mit:

( )c gD 0,347k p h tµ µ= ⋅µ ⋅ ⋅ − (4.22)

c cp grenz p= (4.23)

kµ: s. Tabelle 4.5

4.5 Vergleichsrechnungen 67

4.5 Vergleichsrechnungen

4.5.1 Beispiel HEA 300

Zunächst wird anhand eines Beispiels die Vorgehensweise bei der Berechnung mit dem neuen Verfahren erläutert. Das betrachtete Beispiel ist in Bild 4.19 mit den ein-wirkenden Belastungen sowie den Materialparametern dargestellt.

30

Bild 4.19 Beispiel HEA 300 Berechnung von beff , bges , kµµµµ und pc Im ersten Schritt werden die effektiven Gurtbreiten und der Faktor kµ berechnet. Mit der effektiven Breite beff kann direkt die maximale Betonpressung berechnet werden.

F se t 1,6r 0,85 1,6 2,7 5,17cm= + = + ⋅ =

( ) ( )= − = − =R Fe b e 2 30 5,17 2 12,42cm

≥ ⋅ = ⋅ ⋅ =σ

yR g

c

f 21,82e 2t 2 1,4 10,99cm

1,417 � Versagensfall 1

yeff,1 g

c

f 21,82c t 1,4 5,49cm

1,417= ⋅ = ⋅ =

σ

σ = + + = + ⋅ + ⋅ =c s eff,1b t 2,4r 8c 0,85 2,4 2,7 8 5,49 51,25cm

eff s eff,1b t 2,4r 4c 0,85 2,4 2,7 4 5,49 29,29cm= + + = + ⋅ + ⋅ =

c

eff

b 51,25k 1,750

b 29,29σ

µ = = =

c eff cp b 29,29 1,417 41,50 kN/ cm= ⋅ σ = ⋅ =


Lösung der Gleichgewichtsbedingungen Mit der Kenntnis der maximalen Betonpressung und dem Faktor kµ kann die erforderliche Einspanntiefe berechnet werden. Zunächst erfolgt die Überprüfung des Betonversagens.

( )c gD 0,347k p h t 0,347 1,750 0,33 41,50 27,6 229,5 kNµ µ= ⋅µ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

( )

( )

u z,E

22c y,E z,E z,E z,E

22

D 0,072 V D

0,693p M 0,356V D V 0,072 V D

0,072 97,5 229,5

0,693 41,50 18108 0,356 97,5 229,5 97,5 0,072 97,5 229,5

510,3 kN

µ

µ µ

= − ⋅ − +

⋅ + − ⋅ + ⋅ +

= − ⋅ − +

⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ +

=

Du = 510,3 > 295,5 = Vpl,z,d (�� Stahlversagen maßgebend) Die Betonpressungsresultierende Du ist größer als die plastische Querkraft des Stahlprofils. Es ist daher das Stahlversagen maßgebend und es muss mit Du = Vpl,z,d weitergerechnet werden. Du = Vpl,z,d = 295,5 kN

( )z,Eg

u

V 97,5f k 1 h t 1,750 0,33 1 27,6 18,6 cm

2D 2 295,5

∆ = ⋅ ⋅ + ⋅ − = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ µ µ

( )2z,Ey,E

u z,Eu c u

2

VM 1,03f D V 0,5 f

D p D

18108 1,03 97,5295,5 97,5 0,5 18,6

295,5 41,50 295,5

52,8 cm 53 cm

= + ⋅ + + ⋅ − ∆

= + ⋅ + + ⋅ −

= ≈

Zum Vergleich Einspanntiefe nach Kindmann / Laumann:

K Lf 55 cm− ≈ Die erforderliche Einspanntiefe errechnet sich zu f = 53 cm, was im Bereich des Modells von Kindmann / Laumann liegt. Bezüglich des Einflusses der Reibkräfte ist erkennbar, dass die Berücksichtigung eine Verringerung der Einspanntiefe von ∆f = 18,6 cm zur Folge hat. Durch den Faktor kµ kann dies gegenüber dem Modell von Kindmann / Laumann um 75% gesteigert werden. Dafür werden die Verbundspannungen nicht angesetzt. Die Gründe dafür werden in Abschnitt 4.4.3 erläutert. Wie in diesem Beispiel gezeigt werden kann, heben sich diese Effekte


größtenteils auf. Von einer weiteren Verringerung der Einspanntiefe durch Berücksichtigung der Verbundspannungen wird abgesehen, da sich sonst kleinere Einspanntiefen als in den Versuchen ergeben. Ein Vergleich der sich ergebenden Einspanntiefen der beiden Modelle wird im folgenden Abschnitt durchgeführt. 4.5.2 Vergleich des weiterentwickelten Modells mit dem Modell von

Kindmann / Laumann

Kindmann / Laumann geben in [40] Einspanntiefen für verschiedene Schnittgrößen-kombinationen an. In Tabelle 4.6 werden die dort angegebenen Werte mit neu errechneten verglichen, die sich nach dem weiterentwickelten Modell gemäß Abschnitt 4.4 ergeben. Zunächst wird die Grenzschnittgrößenkombination des Nach-weisverfahrens E-P gemäß DIN 18800 [13] betrachtet (Schnittgrößenkombination 1 in [40]). Für die meisten Profile ergeben sich Abweichungen der erforderlichen Ein-spanntiefe von weniger als 2cm. Lediglich bei den großen Profilen der HEM-Reihe erhält man mit dem neuen Verfahren bis zu 7cm geringere Einspanntiefen. Man kann somit festhalten, dass beide Verfahren im Grenzzustand ähnliche Ergebnisse liefern. Tabelle 4.6 Vergleich der Einspanntiefen für die Grenzschnittgrößenkombination E-P

gemäß DIN 18800, T1

Schnittgrößen an der Einspannstelle: My,E = 1,00 Mpl,y,d Vz,E = 0,33 Vpl,z,d NE = 0,1 Npl Voraussetzungen: Beton B25 oder C25/30 Walzprofil S235 γM =1,1 Reibung µd = 0,33 Verbundspannungen (nur K-L): τvb = 0,03 kN/cm2

IPE HEA HEB HEM Nenn-höhe

K-L neu K-L neu K-L neu K-L neu 80 17 16

100 20 19 31 32 33 34 40 39 120 23 23 37 38 40 40 46 45 140 26 26 42 42 47 47 52 51 160 29 29 46 46 51 52 57 57 180 33 33 54 53 58 58 63 63 200 36 36 58 59 64 65 70 70 220 40 40 65 65 71 71 76 77 240 44 44 71 73 78 79 89 89 260 79 83 86 87 97 97 270 47 48 280 83 87 91 91 102 103 300 51 51 90 95 97 99 114 115 320 95 97 101 103 118 118 330 56 56 340 97 98 102 104 119 119 360 61 61 98 100 104 106 119 120 400 65 66 100 101 105 107 121 122 450 70 70 106 108 111 113 124 124 500 76 76 112 115 117 119 127 127 550 83 83 115 117 120 122 130 129 600 90 90 118 120 123 125 133 132 650 121 123 126 128 136 134 700 122 123 128 129 139 137 800 128 129 136 135 146 143 900 136 136 144 142 152 148

1000 149 149 151 150 159 153


Für die Schnittgrößenkombination 2 aus [40] sind ebenfalls nur geringe Unterschiede erkennbar, Tabelle 4.7. Tabelle 4.7 Vergleich der Einspanntiefen für die Schnittgrößenkombination 2 aus [40]

Schnittgrößen an der Einspannstelle: My,E = 0,85 Mpl,y,d Vz,E = 0,33 Vpl,z,d NE = 0,1 Npl Voraussetzungen: Beton B25 oder C25/30 Walzprofil S235 γM =1,1 Reibung µd = 0,33 Verbundspannungen (nur K-L): τvb = 0,03 kN/cm2

Es zeigt sich, dass sowohl das Modell von Kindmann / Laumann als auch das hier weiterentwickelte Modell zu einer wirtschaftlichen Bemessung angewendet werden kann und dass beide Modelle vergleichbare Ergebnisse liefern. Die Vernachlässigung der Erhöhung der Betonpressung aufgrund von Teilflächenpressungen und der Verbundspannungen wird durch den Ansatz von Abstützkräften und dadurch erhöhter Reibungskräfte kompensiert

IPE HEA HEB HEM Nenn-höhe

K-L neu K-L neu K-L neu K-L neu 80 15 14

100 17 17 26 28 28 30 35 34 120 20 20 31 32 33 35 40 39 140 23 23 35 35 38 40 45 45 160 25 26 39 40 42 44 50 49 180 28 28 45 45 47 49 55 55 200 31 31 49 50 53 55 60 61 220 34 34 54 55 58 61 65 66 240 38 38 60 62 64 67 76 77 260 66 70 70 74 82 84 270 41 41 280 70 73 74 77 86 88 300 45 45 76 80 80 83 97 99 320 79 82 83 87 100 102 330 50 50 340 81 83 84 88 101 102 360 54 54 82 84 85 89 102 103 400 60 60 84 85 87 91 104 105 450 68 68 89 91 93 96 107 107 500 75 75 93 97 98 102 110 109 550 83 83 96 99 102 104 113 111 600 90 90 99 101 105 107 116 113 650 102 104 108 109 119 116 700 104 105 111 110 121 118 800 119 119 120 120 128 123 900 134 134 135 135 137 137

1000 149 149 150 150 151 152


4.5.3 Vergleich mit Versuchsergebnissen

Das weiterentwickelte Verfahren soll abschließend mit Ergebnissen aus Versuchen verglichen und verifiziert werden, die an der TH Karlsruhe durchgeführt wurden, s. [48], [59] und [19]. Der Versuchsaufbau ist in Bild 4.20 skizzenhaft dargestellt. Es werden jeweils zwei Profile in einen Stahlbetonkörper einbetoniert, der in ein Joch eingespannt ist.

Bild 4.20 Versuchsaufbau der Karlsruher Versuche [48], [59] und [19] Für die Vergleichsrechnungen werden die gemessenen Profilabmessungen und Materialparameter herangezogen, die in Tabelle 4.8 dargestellt sind. Tabelle 4.9 enthält eine Zusammenstellung der übrigen Versuchsparameter sowie eine Gegen-überstellung der Versuchstraglast Fexp zur rechnerischen Traglast Fcal. Zusätzlich ist der Ausnutzungsgrad My / Mpl,y an der Einspannstelle für die Versuchstraglast angegeben. Für die Versuche mit der Lfd.-Nr. 1 bis 30 sind unbeschichtete Profile verwendet worden. Die Vergleichsrechnungen werden hier daher mit dem maximalen Reibungsbeiwert von µ = 0,5 durchgeführt. Die Profile in den Versuchen 31 bis 40 sind beschichtet gewesen, so dass hier mit einem abgeminderten Reibbeiwert von µ = 0,25 gerechnet wird. Tabelle 4.8 Mittelwerte aus den Messwerten der Versuche, [40]

Profil Reh,Steg Reh,gurt tg ts Mpl Vpl [N/mm2] [N/mm2] mm mm [kNcm] [kN] HE 180 B 471,0 431,6 14,2 8,5 21205 382 HE 200 B 451,8 440,8 14,4 9,0 27562 435 HE 300 A 433,0 393,5 14,3 8,9 56311 613 HE 300 B 414,3 399,4 19,3 11,3 76000 758 HE 500 A 431,9 403,7 23,1 11,9 161168 1389 HE 500 B 409,1 359,4 27,0 14,0 171058 1564 HE 800 A 474,5 415,9 27,5 14,5 366142 3029 IPE 300 454,6 409,9 11,4 7,4 27716 557 IPE 450 457,0 411,1 14,3 9,3 70636 1064 IPE 600 349,5 462,2 17,7 11,9 144639 1403 HE 160 A

Keine Messwerte vorhanden, an Versuch 3 kalibriert

11350

229


Tabelle 4.9 Vergleich der Versuchs- und Berechnungsergebnisse

Lfd. Vers.- Profil σc lk fexp Fexp Nr. Nr. kN/cm² cm cm kN

Fcal /Fexp

M(Fexp) /Mpl

1 1 HE 160 A 4,20 250 40 50 0,890 1,101 2 9 HE 160 A 2,80 230 40 45 1,060 0,912 3 10 HE 160 A 2,87 244 40 49 0,921 1,053 4 2 HE 160 A 4,48 230 60 52 0,949 1,054 5 5 HE 160 A 4,27 230 60 52 0,949 1,054 6 8 HE 160 A 3,78 225 60 53 0,952 1,051 7 3 HE 160 A 4,48 210 80 54 1,001 0,999 8 11 HE 200 B 2,59 252 40 93 0,875 0,850 9 4 HE 200 B 4,41 240 50 121 0,924 1,053

10 7 HE 200 B 3,71 230 50 131 0,879 1,093 11 6 HE 200 B 4,55 190 100 158 0,918 1,089 12 15 HE 300 A 2,24 350 50 111 1,038 0,688 13 14 HE 300 A 1,75 350 75 156 0,991 0,966 14 29 HE 300 A 1,68 360 100 169 0,929 1,077 15 12 HE 300 B 3,43 350 50 140 1,054 0,644 16 16 HE 300 B 2,17 350 50 136 0,996 0,625 17 13 HE 300 B 2,44 350 75 186 1,041 0,855 18 17 HE 300 B 1,75 350 75 177 1,024 0,814 19 19 HE 300 B 1,89 350 100 217 1,003 0,997 20 18 HE 300 B 1,89 350 180 224 0,971 1,030 21 35 HE 300 B 2,52 371 180 214 0,959 1,043 22 28b HE 500 A 2,03 510 75 218 1,122 0,687 23 27a HE 500 B 1,75 510 75 259 0,980 0,769 24 36 HE 800 A 2,17 458 120 789 1,018 0,983 25 25 IPE 300 2,17 330 50 79 1,069 0,935 26 21 IPE 450 2,45 300 45 186 1,005 0,785 27 20 IPE 450 2,52 300 65 240 0,987 1,013 28 24 IPE 450 1,40 395 65 170 0,915 0,944 29 22 IPE 450 2,66 300 90 241 0,983 1,017 30 26 IPE 600 2,38 530 60 206 1,004 0,765 31 32a HE 180 B 2,94 265 35 62 0,810 0,773 32 32b HE 180 B 2,94 265 35 53 0,948 0,661 33 31a HE 180 B 2,66 260 40 73 0,786 0,893 34 31b HE 180 B 2,66 260 40 70 0,819 0,856 35 34a HE 180 B 3,29 260 40 66 0,903 0,808 36 34b HE 180 B 3,29 260 45 67 0,998 0,820 37 30a HE 200 B 2,94 240 50 93 0,977 0,810 38 33a HE 200 B 3,29 240 50 83 1,115 0,723 39 30b HE 200 B 2,94 240 60 99 1,098 0,862 40 33b HE 200 B 3,29 240 60 90 1,227 0,784


Zur abschließenden Beurteilung des Verfahrens wird eine statistische Auswertung vorgenommen. Die Versuchstraglasten werden dazu den rechnerischen Traglasten gegenübergestellt und der Mittelwert, die 5%-Fraktilwerte und der Variationskoeffi-zient der Gauß’schen Normalverteilung bestimmt. Die Ergebnisse sind in Bild 4.21 dargestellt. Die 5%-Fraktilwerte liegen mit 92,2% für unbeschichtete Profile bzw. 96,9% für beschichtete Profile knapp unter 100% und somit nur geringfügig auf der unsicheren Seite, die Variationskoeffizienten sind mit 6,1% und 9,5% sehr klein, so dass die Gültigkeit des Rechenverfahrens bestätigt werden kann.

Bild 4.21 Vergleich der Versuchstraglasten mit den Modelltraglasten und statistische

Auswertung


4.6 Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Tragverhalten von eingespannten I-Profilen in Beton-konstruktionen mit Hilfe von FE-Berechnungen analysiert worden. Auf Grundlage der dabei gewonnenen Erkenntnisse ist ein Modell entstanden, das eine Weiter-entwicklung des Modells von Kindmann / Laumann [40] darstellt. Der Vergleich mit den Versuchsergebnissen der Karlsruher Versuche bestätigt die gewählten Berechnungsparameter, die im Folgenden zusammenfassend noch einmal dargestellt sind:

1. Auf den Ansatz erhöhter Betonpressungen aufgrund von Teilflächenpres-sungen wird verzichtet.

2. Die Betonpressungen werden sowohl am vorderen als auch am hinteren Gurt angesetzt. Die gesamte Verteilungsbreite beff wird nicht auf die Breite des Querschnitts b begrenzt.

3. Es werden Abstützkräfte an der Rückseite beider Gurte berücksichtigt, wodurch sich größere effektive Breiten ergeben (vgl. T-Stummel-Modell), Abs. 4.4.1.

4. Reibungskräfte werden überall dort angesetzt, wo Betonpressungen angreifen, d.h. auf der Vorderseite und beim Auftreten von Abstützkräften ebenfalls auf der Rückseite beider Gurte, Abs. 4.4.2.

5. Auf den Ansatz von Verbundspannungen wird verzichtet, Abs. 4.4.3. Die Vergleichsrechnungen mit dem Modell von Kindmann / Laumann sowie der Vergleich mit den Versuchsergebnissen zeigen, dass sich für alle Profile sehr geringe Abweichungen ergeben, was die Gültigkeit beider Modelle bestätigt. Die oben dargestellten Punkte können daher in den nachfolgenden Untersuchungen für Hohlprofile verwendet werden, um vergleichbare Modelle zu entwickeln.

5 Geschweißte Kastenquerschnitte und Rechteckhohlprofile

5.1 Vorbemerkungen

In diesem Kapitel werden die Besonderheiten bei der Berechnung von eingespannten Stützen mit Kastenquerschnitt bzw. Rechteckhohlprofilen aufgezeigt und Modelle zur Berechnung hergeleitet. Bild 5.1 zeigt eine Prinzipskizze des Systems, außerdem sind die Unterschiede der untersuchten Querschnittsformen dargestellt. Es wird davon ausgegangen, dass das Profil als Abschluss immer mit einer Fußplatte versehen ist, die dazu benötigt wird, vorhandene Drucknormalkräfte in den Betonkorpus einzuleiten. Gleichzeitig verhindert diese Fußplatte, dass sich das Profil beim Verfüllvorgang des Köchers im Einspannbereich mit Beton füllt, so dass immer ein Hohlraum verbleibt, der bei der Bemessung berücksichtigt werden muss.

Bild 5.1 Systemskizze und Querschnittsformen Ausgangspunkt für die Modellherleitung ist das in Kapitel 4 für I-Profile hergeleitete Verfahren, das eine Weiterentwicklung des Modells von Kindmann / Laumann dar-stellt. Das Modell für Kastenquerschnitte wird anhand ingenieurmäßiger Betrach-tungen für Biegung um die starke und schwache Achse im Vergleich zu I-Profilen hergeleitet. Rechteckhohlprofile werden aufgrund ihrer Besonderheiten – konstante Blechdicke im Steg und im Gurt sowie Ausrundungen in den Querschnittsecken – differenziert betrachtet. Dazu werden aus FE-Berechnungen gewonnene Erkenntnisse bei der Modellbildung berücksichtigt und das hergeleitete Modell anschließend mit aktuellen Versuchsergebnissen verglichen.


5.2 Kastenquerschnitte

5.2.1 Lastabtragungsmodell

Ausgangspunkt für die Entwicklung eines Lastabtragungsmodells für Kastenquer-schnitte ist das in Kapitel 4 vorgestellte Gleichgewichtsmodell. Das Modell ist für I-Profile hergeleitet worden. Für einen ersten Ansatz wird der Kastenquerschnitt daher zunächst als ein zusammengesetzter Querschnitt aus zwei I-Profilen betrachtet, s. Bild 5.2.

c

2 I-Profile

Kastenquerschnitte

c

c

c

ccc

c

<mpl

mpl<mpl

<mpl

<mpl

<mpl

<mpl

<mpl

<mpl

<mpl

<mpl

- mit großen Überständen

- mit kleinen Überständen

vorderer Gurthinterer Gurt



c

c

c

c c

a)

b)

c)

statisches System

statisches System

statisches System

Bild 5.2 Vergleich des Lastabtragungsverhaltens von I-Profilen und

Kastenquerschnitten mit großen und kleinen Überständen

5.2 Kastenquerschnitte 77

Die seitlichen Überstände dieses Kastenquerschnitts sind genau halb so breit wie der Stegzwischenraum, so dass er als Kastenquerschnitt mit großen Überständen bezeich-net wird. Unter der Annahme, dass die Gurte so steif sind, dass sich keine Abstütz-kräfte ausbilden, liegt der Unterschied zwischen diesem Kastenprofil und zwei nebeneinander liegenden I-Profilen lediglich darin, dass der hintere Gurt aufgrund des Hohlraums nur an den seitlichen Überständen Pressungen gegen den Beton erzeugt. Der vordere Gurt verhält sich identisch zum I-Profil. Betrachtet man Kastenprofile mit kleinen Überständen, Bild 5.3c, was die übliche Ausführungsform darstellt, verändert sich das Lastabtragungsverhalten des vorderen Gurtes dahin-gehend, dass positive Biegemomente auftreten, die sich steigern lassen, bis zwei Fließgelenke im Gurtbereich auftreten. Das negative Stützmoment im Bereich der Stege ist in der Regel sehr klein, so dass die Annahme, dass keine Abstützkräfte auftreten, immer erfüllt sein sollte. Bei all diesen Betrachtungen wird der Gurt als Einfeldträger mit zwei Kragarmen betrachtet. Die einspannende Wirkung des Steges auf den Gurt wird vernachlässigt, da die Stegdicke einerseits meist wesentlich kleiner ist als die Gurtdicke und außerdem die geschweißte Verbindung zwischen Gurt und Steg häufig nur als einseitige Kehlnaht ausgeführt wird. In den folgenden Abschnitten werden mit Hilfe dieser Betrachtungen Berechnungsformeln für die Ermittlung der effektiven Breite beff hergeleitet. 5.2.2 Kastenquerschnitt für Biegung um die starke A chse

Bei einer Biegebeanspruchung des Profils um die starke Achse wird der Gurt, wie in Bild 5.2 dargestellt, gegen den Beton gedrückt. Die dabei angesetzten Betonpressungen belasten die Gurte des Kastenprofils auf Biegung, s. Bild 5.3, woraus sich die zur Bemessung ansetzbaren Verteilungsbreiten ergeben. Gemäß den Ausführungen im vorangegangenen Abschnitt kann für die Gurte als Lastabtragungs-system ein Einfeldträger mit zwei Kragarmen angesetzt werden. Zwischen den Stegen können aufgrund des Hohlraums nur am vorderen Gurt Betonpressungen angesetzt werden. Das Maß c für die Ausbreitung dieser Betonpressungen im Feldbereich kann anhand des Momentenverlaufs bestimmt werden, so dass sich im Feldbereich gerade zwei Fließgelenke ausbilden. Es wird davon ausgegangen, dass die Gurtkragarme so kurz sind, dass mpl über der Stütze nicht erreicht wird und sich somit auch keine Abstützkräfte ausbilden, vgl. Kapitel 4. Im Bereich der Stützung durch den Steg stellt sich aus Gleichgewichtsgründen im Gurt nur das Biegemoment aus dem Kragarm ein, Gl. (5.1). Das maximale Feldmoment an der Stelle c ergibt sich nach Gl. (5.2). Im Grenzzustand beträgt mc = mpl, so dass sich für das Maß c Gl. (5.3) ergibt. Das Maß c muss auf den halben Stegzwischenraum begrenzt werden, damit eine Überlappung ausgeschlossen ist. Der ansetzbare Überstand ü wird mit Gl. (5.4) ebenfalls begrenzt, so dass sich für mü maximal das plastische Biegemoment ergibt, Gl. (5.4).


Bild 5.3 Betonpressungsverteilung und Gurtbiegemomente an einem geschweißten

Kastenquerschnitt für Biegung um die starke Achse

21ü c2m ü= − σ ⋅ (5.1)

2c ü c

1m m c

2= + σ ⋅ (5.2)

2pl g y2 2 1

c c

m t f bc 2 ü ü

2 2= + = ⋅ + ≤

σ σ (5.3)

2pl g y

c c

m t fü 2

2≤ = ⋅

σ σ (5.4)

Die gesamte mittragende Breite für den Ansatz der Betonpressungen ergibt sich dann nach Gl. (5.5).

eff eff ,OG eff ,UGb b b= + (5.5)

mit:

eff ,OG sb 2 (c t ü)= ⋅ + + (5.6)

eff ,UGb 2ü= (5.7)

5.2 Kastenquerschnitte 79

5.2.3 Kastenquerschnitt für Biegung um die schwache Achse und zweiachsige Biegung

Für Biegung um die schwache Achse lassen sich auf analoge Weise Formeln für beff herleiten. Ausgehend von den Gurtkanten ist eine Einleitung von Betonpressungen an den Stegrändern möglich, bis mpl im Steg erreicht wird, s. Bild 5.4. Verzichtet man wiederum auf den Ansatz einer Einspannung des Steges in den Gurt, kann als Ersatzsystem ein Einfeldträger betrachtet werden. Die gesamte effektive Breite ergibt sich nach Gl. (5.8), mit dem Maß c2 gemäß Gl. (5.9).

Bild 5.4 Betonpressungsverteilung und Stegbiegemomente an einem geschweißten

Kastenquerschnitt für Biegung um die schwache Achse

eff 2 gb 2 (c t )= ⋅ + (Biegung um die schwache Achse) (5.8)

2pl g y 1

2c c

m t f hc 2

2 2= = ⋅ ≤

σ σ (5.9)

Für eine zweiachsige Biegebeanspruchung sollten auf der sicheren Seite liegend nur die Gurtkanten zur Einleitung der Betonpressungen herangezogen werden, um eine ungünstige Überlagerung der Stegbiegemomente mit Schubspannungen aus der Querkraft zu vermeiden, vgl. [40] und Abschnitt 2.8. beff ergibt sich dann gemäß Gl. 5.10. Aufgrund ihrer sehr starken Konzentration wird in diesem Fall die Erhöhung

der Betonpressungen um den Faktor 3 aufgrund ihrer Wirkung als Teilflächen-pressung zugelassen, Gl. (5.12). zweichachsige Biegung:

eff ,2 gb 2t= (5.10)

c,2 c,dgrenz f 3σ = ⋅ (5.11)


5.3 FE-Untersuchungen für Rechteckhohlprofile

5.3.1 Vorbemerkungen

Im Vergleich zu Kastenquerschnitten werden Rechteckhohlprofile aus einem durchgehenden Blech hergestellt. Stege und Gurte weisen daher immer dieselbe Blechdicke auf und es existieren keine seitlichen Überstände. Unterschieden werden kaltgefertigte (geschweißte) und warmgefertigte (gewalzte) Rechteckhohlprofile. Für die Berechnung unterscheiden sie sich lediglich in der Größe der Ausrundungsradien, s. Tabelle 5.1. Tabelle 5.1 Nennwerte für Ausrundungsradien bei Rechteckhohlprofilen

Rechteckhohlprofil Norm Nennradien

Warmgefertigt DIN EN 10210 für alle t: ar 1,5 t= ⋅ ; ir 1,0 t= ⋅

für t ≤ 6 mm: ar 2,0 t= ⋅ ; ir 1,0 t= ⋅

für 6 < t ≤ 10 mm: ar 2,5 t= ⋅ ; ir 1,5 t= ⋅ Kaltgefertigt DIN EN 10219

für t > 10 mm: ar 3,0 t= ⋅ ; ir 2,0 t= ⋅ Die FE-Analysen in diesem Abschnitt werden anhand quadratischer Hohlprofile mit Ausrundungsradien, die den warmgefertigten Profilen entsprechen, durchgeführt. Quadratische Profile haben gegenüber rechteckigen mit selber Profilhöhe und Blech-dicke eine höhere Biegetragfähigkeit bei gleicher Querkrafttragfähigkeit und gleicher Tragfähigkeit für lokale Biegemomente. Für Biegung um die starke Achse werden somit Effekte unter einer größtmöglichen Belastung erfasst, so dass allgemeine Aussagen über den Grenzzustand gemacht werden können. Für das Lastabtragungsverhalten ist maßgeblich das B/t-Verhältnis ausschlaggebend. Um einen Ausschnitt darzustellen, der möglichst repräsentative Ergebnisse wider-spiegelt, werden Profile mit in der Praxis üblichen Abmessungen gewählt, vgl. [34]. Die B/t-Verhältnisse liegen daher alle zwischen 10 und 40, Tabelle 5.2. In den Untersuchungen wird für die Querschnitte die größtmögliche Stahlgüte gewählt, so dass die grenz Bi/t-Verhältnisse für das Nachweisverfahren E-P eingehalten sind. Tabelle 5.2 B/t-Verhältnis dargestellter Quadrathohlprofile

Quadrathohlprofil Außenabmessungen

Abmessungen im Mittellinienmodell B/t

grenz B i/t eingehalten für

205x205x5 200x200x5 40 S235

210x210x10 200x200x10 20 S355

215x215x15 200x200x15 13,33 S355

220x220x20 200x200x20 10 S355

5.3 FE-Untersuchungen für Rechteckhohlprofile 81

Für die FE-Untersuchungen werden die Materialparameter gemäß Tabelle 5.3 ange-setzt. Ein Augenmerk liegt wiederum auf dem Ansatz der Betonpressungen am Querschnitt und ihrer Verteilung über die Stablängsachse, so dass ein vergleichbares Ingenieurmodell für Rechteckhohlprofile hergeleitet werden kann wie für I-Profile. Tabelle 5.3 Standardparameter für FE-Berechnung

Parameter Bezeichnung Wert Einheit Stahl: Elastizitätsmodul: E 21000 [kN/cm2] Schubmodul: G 8077 [kN/cm2] Streckgrenze (S235 / S355) fy,d 21,82 bzw. 32,73 [kN/cm2] Beton / Federn: Betonfestigkeit (C25/30): fc 1,42 [kN/cm2] Bettungsziffer: C 200 [kN/cm3]

5.3.2 Betonpressungsverteilung am Querschnitt

Wie bereits in Kapitel 4 für I-Profile erläutert, ist die Kenntnis der Betonpressungs-verteilung am Querschnitt von großer Bedeutung für die erforderliche Einspanntiefe. Bild 5.5 zeigt die Betonpressungen im Grenzzustand in einem Schnitt im „Normalbereich“ (konstanter Verlauf in Stablängsrichtung, vgl. Bild 5.8), für Profile mit unterschiedlichen B/t-Verhältnissen. Die Blechdicke wird variiert, so dass sich unterschiedliche Ausrundungsradien ergeben, s. Tabelle 5.1. Die Betonpressungen konzentrieren sich in den Gurtrandbereichen, also dort, wo der Gurt durch den Steg gestützt ist. Vom Ausrundungsbereich ausgehend breiten sich die Betonpressungen in den Gurt und den Steg aus. Die Ausbreitung in den Gurt ist für die Profile 200x200x10 bis 200x200x20 etwas ausgeprägter als die Ausbreitung in den Steg, für das Profil 200x200x5, dessen Bleche mit einem B/t-Verhältnis von ca. 40 die größte Schlankheit aufweisen, ist dies weniger offensichtlich. Bei dem Profil 200x200x20 „fließen die Betonpressungen im Gurt zusammen“, so dass am kompletten Gurt Betonpressungen angreifen. Dies stellt für Profile mit geringen B/t-Verhältnissen die geometrische obere Begrenzung für die effektive Breite dar.


Bild 5.5 Betonpressungsverteilungen an einem Querschnitt im „Normalbereich“ für

den Grenzzustand aus FE-Berechnungen Durch die angreifenden Betonpressungen entstehen lokale Beanspruchungen im Profil. Diese sind in Bild 5.6 dargestellt. An dem durchschlagenden Momenten-verlauf im Gurt mit negativen Biegemomenten im Bereich der Ausrundung und positiven im Gurtinnenbereich erkennt man deutlich die Einspannung des Gurtes in die Stege. Im Steg klingen die Momente schnell ab und bleiben auf einem niedrigen Niveau. Weiterhin treten quasi konstante Drucknormalkräfte im belasteten Gurt und den Ausrundungsradien auf, die im Steg dreiecksförmig bis zum gegenüberliegenden Gurt abklingen. Die Biegemomente im Gurt erreichen Größenordnungen von mpl. Im Ausrundungsbereich liegen sie teilweise leicht darüber, im Gurtinnenbereich wird mpl i. d. R. nicht ganz erreicht. Die Größenordnung der Drucknormalkräfte im Gurt und Ausrundungsbereich variiert für die unterschiedlichen Profile, für das Profil 200x200x10 wird (0,2 bis 0,3) x npl erreicht.

5.3 FE-Untersuchungen für Rechteckhohlprofile 83

lokale Normalkräfte

nz

lokale Biegemomente

mxx

+

-

-

+

-

-

+

+

+m

pl

-mpl

-mpl

-0,3

0 n

pl

Y

Z

x

yz

xy

z

x

y

z

x y

z

c

c

QRo 200x200x10

globale und lokale

Koordinaten

-0,2

0 n

pl

-0,3

0 n

pl

Bild 5.6 Lokale Beanspruchung eines Querschnittes im „Normalbereich“ im

Grenzzustand der FE-Berechnung

5.3.3 Betonpressungsverlauf über die Stablängsachse

In diesem Abschnitt wird der Verlauf der Betonpressungen über die Stablängsachse analysiert. Die Einspanntiefe wird dabei so gewählt, dass das plastische Biege-moment des Stahlprofils an der Einspannstelle nicht erreicht wird, so dass der Versagensfall „Betonversagen im Fundament“ untersucht werden kann. Um die Er-gebnisse von Profilen mit unterschiedlichen B/t-Verhältnissen vergleichen zu können, wird in den entsprechenden Bildern eine Vergleichskurve dargestellt, die in Anleh-nung an die Verfahren für I-Profile (vgl. Kapitel 4) berechnet wird (� Parabel-Rechteck-Diagramm). Für die Berechnung des Maximalwertes dieser Kurve wird die Verteilungsbreite beff gemäß Bild 5.7 verwendet, die sich an den Untersuchungser-gebnissen des vorangegangenen Abschnitts orientiert. Es wird eine Fließgelenkkette mit 4 Fließgelenken im Gurt angesetzt, Abminderungen infolge lokaler Normalkräfte werden vernachlässigt. Die Lage des Fließgelenks im Bereich der Ausrundung wird


mit dem Winkel 35,7° angegeben, was sich aus der Herleitung in Abschnitt 5.4.2 ergibt.

pl 2

c

mc 0,42r 2,03 0,08r= + ⋅ +

σ

pl 22

c

mc 0,58r 1,46 0,08r= + ⋅ +

σ

= ≤effb 2c B

Modell eff cgrenz p b= ⋅ σ

Bild 5.7 Modell zur Berechnung des Maximalwerts der Vergleichskurve

(ohne Abminderung infolge Normalkraft)

f =

70 c

m No

rmalb

ere

ich

Norm

al-

bere

ich

Norm

al-

bere

ich

18,2

4

22,3

5

Bild 5.8 aufsummierte Betonpressungen / Federkräfte p im Grenzzustand der

Tragfähigkeit aus der FE-Berechnung


Bild 5.8 zeigt den Verlauf der Betonpressungen über die Stablängsachse für Profile mit unterschiedlichen B/t-Verhältnissen im jeweiligen Grenzzustand für eine Einspanntiefe von 3,5 · H = 70 cm. An der Einspannstelle wird das plastische Grenz-biegemoment Mpl nicht erreicht. Vergleicht man die Verläufe mit denen von I-Profilen um die starke Achse (Bilder 4.5 und 4.6), wird deutlich, das hier kein Bereich am existiert, in dem keine Betonpressungen angreifen. Es findet immer ein nahtloser Übergang von positiven zu negativen Betonpressungen statt. Ausschlagge-bender Grund dafür ist, dass die plastische Querkraft des Stahlprofils im Einspann-bereich nicht erreicht wird, was charakteristisch für Hohlprofile ist, da ihre Querkraft-tragfähigkeit im Verhältnis zur Biegetragfähigkeit wesentlich größer ist als bei I-Profilen für Biegung um die starke Achse. Vergleicht man den Verlauf der Pressungsverteilungen der 3 Profile, wird offensichtlich, dass bei dem schlanksten Profil QRo 200x200x5 die Betonpressungen der FE-Berechnung wesentlich geringer sind als im Modell angenommen. Beim Profil QRo 200x200x10 ist diese Tendenz noch leicht zu erkennen, ab einer Blechdicke von 15 mm ist keine Abminderung mehr erforderlich. Es wird daher eine Abminderung aufgrund der vorhandenen lokalen Normalkräfte im Gurt (vgl. Bild 5.6 unten rechts) empfohlen, die schlank-heitsbezogene Elemente enthält (Knicken des Gurtes), um keine Ergebnisse auf der unsicheren Seite zu erhalten. Am Köcheranschnitt ist wiederum eine „Spannungsspitze“ erkennbar. Sie ist aber nicht so ausgeprägt wie bei I-Profilen. Ausgehend von dieser Spannungsspitze fallen die Verteilungen auch für das dickste Profil (t=15mm) unter den Vergleichswert aus dem Modell bevor sie auf einem quasi konstanten Wert verweilen. 5.4 Modellbildung

5.4.1 Rechteckhohlprofil ohne Ausrundungen

Für die Modellbildungung wird zunächst ein Querschnitt ohne Ausrundungsradien betrachtet, Bild 5.9. Die Betonpressungen werden gemäß den Ergebnissen aus der FE-Berechnung (Bild 5.5) konzentriert im Eckbereich angesetzt, so dass sich im Gurt ein durchschlagender Momentenverlauf bis zur Bildung von 4 Fließgelenken einstellt, vgl. Bild 5.6. Im Steg wird davon ausgegangen, dass die Biegemomente ohne Durchschlagen auf Null abklingen. Das statische Ersatzsystem entspricht dem eines Zweigelenkrahmens. Zusätzlich zu den Biegemomenten stellen sich Drucknormal-kräfte im Gurt (Riegel) und in den Stegen (Stützen) ein, die später bei der Berech-nung der zulässigen Biegemomente Berücksichtigung finden sollen. Ohne eine diesbezügliche Abminderung können die Ausbreitmaße c und c2 mit den plastischen Blechbiegemomenten ermittelt werden, Gln. (5.12) und (5.13).


Bild 5.9 Rechteckquerschnitt ohne Ausrundungen für die Modellbildung

plpl

c

mc(m ) 2=

σ (5.12)

pl pl2 pl

c

m c(m )c (m ) 2

2= =

σ (5.13)

1 c 2n c= σ ⋅ ; 2 cn c= σ ⋅ (5.14a, b) Infolge der Drucknormalkräfte n1 und n2 gemäß den Gln. (5.14a, b) werden im Folgenden Abminderungsfaktoren hergeleitet, die folgende Punkte berücksichtigen sollen:

1. Interaktion zwischen den lokalen Biegemomenten und Normalkräften 2. Knicken des Gurtes durch Berechnung der lokalen Biegemomente nach

Theorie II. Ordnung unter Ansatz geometrischer Ersatzimperfektionen Alle Abminderungen werden für die Normalkraft n1 im Gurt hergeleitet, da die Gurttragfähigkeit den maßgebenden Einfluss auf die effektive Breite hat. Gemäß der Interaktionsbeziehung darf damit das abgeminderte plastische Biegemoment mpl,n mit den Gln. (5.15) bis (5.18) berechnet werden.

pl,n pl m nm m f −= ⋅ (5.15) 2

1m n

pl

nf 1

n−

= −

(5.16)

mit:

pl yn t f= ⋅ (5.17) 2

pl yt

m f4

= ⋅ (5.18)


Für die Untersuchung des Knickens werden lokale Biegemomente nach Theorie II. Ordnung ermittelt. Dazu werden zunächst geometrische Ersatzimperfektionen angesetzt, die zusammen mit der Druckkraft zusätzliche Biegemomente erzeugen. Anschließend ist eine Berechnung am verformten System durchzuführen. Die geometrischen Ersatzimperfektionen werden als Vorkrümmungen gemäß DIN 18800, T2 angesetzt. Für Rechteckquerschnitte wird dort die Knickspannungslinie c angegeben, für die sich der maximale Stich der Vorverformung gemäß Gl. (5.19) ergibt. Als Ersatzbeanspruchung auf den Gurt ist damit eine Gleichstreckenlast gemäß Gl (5.20) anzusetzen.

0L

w200

= (Knickspannungslinie c) (5.19)

0n

q25L

= (5.20)

m1,0

m0

Bild 5.10 Biegemomente aus Vorverformung des Obergurtes Diese Gleichstreckenlast wird auf einen beidseitig eingespannten Träger als Ersatzsystem aufgebracht. Bild 5.10 zeigt die Biegemomentenverteilung, die sich dadurch einstellt. Im Eckbereich (Einspannstelle) und im Feld sind unterschiedliche Werte angegeben, Gln. (5.21) und (5.22). Die maximal zulässigen Biegemomente müssten daher eigentlich um den jeweiligen Wert reduziert werden. Da aber aufgrund von Umlagerungen infolge Fließgelenkbildung von einem Ausgleich der Biegemomente ausgegangen werden kann, vereinfacht sich die Berechnung dahingehend, dass mit dem Mittelwert der Beträge des Eckmoments und des Feldmomentes gerechnet werden kann, Gl. (5.23).

Feldmoment: 11,0

n Lm

600

⋅= (5.21)

Stützmoment: 12,0

n Lm

300

⋅= − (5.22)

Rechenwert: 10

n Lm

400

⋅= (5.23)


Zur Ermittlung der Schnittgrößen im verformten Zustand (Th. II. O.) wird die Berechnung mit Vergrößerungsfaktoren verwendet, s. a. [43]. Näherungsweise gilt danach Gl. (5.24). Das zulässige Biegemoment kann demnach mit dem Faktor fKi nach Gl. (5.25) abgemindert werden.

II IKi

1m m

1 n n= ⋅

− (5.24)

� Ki Kif 1 n n= − (5.25) mit:

( )2d

Ki 2k

E In

s

π ⋅ ⋅=

3tI

12= (Trägheitsmoment)

kB

s2

= (Eulerfall 4)

(5.26)

Um alle Effekte der Normalkraft auf die Abminderung des plastischen Biege-momentes gleichzeitig zu berücksichtigen, wird Gl (5.12) in Gl (5.27) umformuliert und das plastische Biegemoment durch das maximal zulässige Biegemoment nach Gl. (5.30) ersetzt.

zul

c

mc 2=

σ (5.27)

2c

c2

= (5.28)

1 c 2n c= σ ⋅ (5.29)

( ) ( )2

zul pl 1 pl 1 Ki 0m m 1 n n 1 n n m = ⋅ − ⋅ − −

(5.30)

Gl. (5.30) ist nicht direkt anwendbar, da eine rekursive Abhängigkeit zwischen n1 und mzul besteht. Aufgrund seiner Komplexität lässt sich auch das entstandene Gleichungssystem (Gln.(5.27) bis (5.30)) nicht unmittelbar lösen, so dass hier eine iterative Berechnung vorgeschlagen wird:

1. Berechnung von c, Gl. (5.27), mit mzul = mpl 2. Berechnung von c2, Gl.(5.28) 3. Berechnung von n1, Gl (5.29), mit dem c2 aus Schritt 2 4. Berechnung von mzul, Gl (5.30), mit n1 aus Schritt 3 5. Berechnung von c, mit mzul aus Schritt 4 6. Schritte 2 bis 5 wiederholen bis c konstant


Nach Durchführung der Iteration ergeben sich für ausgewählte Materialgüten und B/t-Verhältnisse die Faktoren gemäß Tabelle 5.4, mit denen die Verteilungsbreite c(mpl) multipliziert werden kann, um die Normalkraftabminderung zu berück-sichtigen. Tabelle 5.4 Faktoren c/cpl für verschieden Materialgüten und b/t-Verhältnisse

)pl

cc(m

Stahl S 235 fy,d = 21,82 kN/cm2

Stahl S 355 fy,d = 32,72 kN/cm2

Beton Beton C 20/25 C 25/30 C 30/37 C 20/25 C 25/30 C 30/37 b / t

σc = 1,133 σc = 1,417 σc = 1,700 σc = 1,133 σc = 1,417 σc = 1,700

10 0,977 0,973 0,968 0,982 *) 0,979 0,975 15 0,970 0,965 0,960 0,974 0,970 0,967 20 0,961 0,955 0,950 0,966 0,961 0,956 25 0,952 0,945 0,938 0,955 0,949 0,944 30 0,941 0,933 0,926 0,943 0,936 0,929 35 0,929 0,920 0,911 0,930 0,922 0,914 40 0,916 0,905 0,896 0,916 0,905 0,896

Zwischenwerte dürfen linear interpoliert werden *) c = b/2, die angegebenen Werte werden für eine Interpolation benötigt 5.4.2 Rechteckhohlprofil mit Ausrundungen

In Bild 5.11 ist die Prinzipskizze für den Ansatz der Betonpressungen an einem Rechteckquerschnitt mit Ausrundungen dargestellt. In Anlehnung an die Ergebnisse der FE-Untersuchungen, vgl. Bild 5.5, wird davon ausgegangen, dass im Ausrundungsbereich immer die maximal zulässigen Betonpressungen auftreten. Zur Gurt- und Stegmitte hin breiten sich die Betonpressungen aus, bis dass sich eine Fließgelenkkette im Gurt eingestellt hat, die 2 Fließgelenke im Gurtinnenbereich und 2 im Bereich der Ausrundungen aufweist. In diesem Abschnitt wird bestimmt, wo sich das Fließgelenk im Bereich der Ausrundung einstellt, d. h. wo das minimale Biegemoment auftritt. Dazu wird der Ausrundungsbereich im Detail betrachtet, s. Bild 5.12.


c

c

c

c

c

c

c

c2

c

r

Bild 5.11 Rechteckquerschnitt mit Ausrundung für die Modellbildung

Bild 5.12 Schnittgrößenberechnung im Bereich der Ausrundung


Gemäß Bild 5.12 ergeben sich die Schnittgrößen am Übergang Steg-Ausrundung (Punkt A), im Ausrundungsverlauf (Punkt B) und am Übergang Ausrundung-Gurt (Punkt C) gemäß den Gln. (5.31) bis (5.39).

Punkt A:

( )21A c 22m c r= − σ ⋅ − (5.31)

( )A c 2v c r= −σ ⋅ − (5.32)

A cn c= −σ ⋅ (5.33)

Punkt B:

( ) ( ) ( )( )21B c 2 22m c r c r r sin c r r (1 cos )= σ ⋅ − ⋅ − − − ⋅ ⋅ α + − ⋅ ⋅ − α (5.34)

( ) ( )( )B c 2v c r sin c r cos= σ ⋅ − ⋅ α − − ⋅ α (5.35)

( ) ( )( )B c 2n r c r cos c r sin= σ ⋅ − − − ⋅ α − − ⋅ α (5.36)

Punkt C:

( ) ( ) ( )( )21C c 2 22m c r c r r c r r= σ ⋅ − ⋅ − − − ⋅ + − ⋅ (5.37)

( )C cv c r= σ ⋅ − (5.38)

C c 2n c= −σ ⋅ (5.39)

Bv 0= � 2c rarctan

c r

− α = − (5.40)

Das minimale Biegemoment mB im Bereich der Ausrundung stellt sich an der Stelle ein, an der die Querkraft vB = 0 ist. Diese Bedingung eingesetzt in Gl. (5.35) ergibt Gl. (5.40). Nach Abschnitt 5.4.1 gilt für einen Rechteckquerschnitt ohne Ausrundung

das Verhältnis der Ausbreitungslängen 2c c 1 2= . Setzt man hier das Verhältnis

( ) ( )2c r c r 1 2− − = würde der Winkel α = 35,3° betragen. Ähnliche Größen-

ordnungen sind zu erwarten, allerdings schwankt der Winkel für übliche Ausrundungsradien und B/t-Verhältnisse zwischen 35° und 36°. Im Mittel ergibt sich ein Winkel von ca. 35,7°. In Anlehnung an die Betrachtungsweise bei I-Profilen kann die Lage des Fließgelenks auch in der Verlängerung der inneren Stegkante angesetzt werden. Bild 5.13 zeigt die 4 Fälle gemäß Tabelle 5.1, drei für kaltgefertigte und einen für warmgefertigte Profile. Dabei wird ersichtlich, dass der Winkel immer größer ist als 35,7°, so dass immer größere effektive Breiten im Gurt entstehen. Bei warmgewalzten Querschnitten kann aufgrund der Verdickung im Bereich der Ausrundung sogar von einer Fließgelenklage bei 1,5 t von der Außenkante ausgegangen werden.


ri = 2t

ra = 3t

37,1°

ri = 1,5t

ra = 2,5t

41,4°

48,2°

ri = t

ra = 2t

tR > t

ri = t

ra = 1,5t

kaltgefertigtes Rechteckhohlprofil

t < 6mm

t

t t

t


t > 10mm


6mm < t < 10mm

warmgefertigtes Rechteckhohlprofil

Steg

Gurt

Steg

StegSteg

Gurt

Gurt

Gurt

t

t

t

1,5t

Fließgelenk

Fließgelenk

Fließgelenk

Fließgelenk

Bild 5.13 Fließgelenklage in der Flucht der Steginnenkante in Abhängigkeit vom

Ausrundungsradius

Unter Berücksichtigung dieser Fließgelenklage ergeben sich die Ausbreitungslängen im Gurt (c) und im Steg (c2) gemäß den Gln. (5.41) und (5.42).


!pl

pl tc

m bc (m ) k t 2

2= ⋅ + ≤

σ (5.41)

2 pl pl t tc (m ) c(m ) k t 2 k t = − ⋅ + ⋅ (5.42)

mit:

tk 1= für kaltgefertigte Profile

tk 1,5= für warmgefertigte Profile

Die Drucknormalkräfte im Gurt und im Steg können analog zu dem Verfahren für Profile ohne Ausrundung ermittelt werden. Der Unterschied besteht lediglich darin, dass im Bereich der Ausrundung ein fließender Übergang zwischen Steg und Gurt stattfindet. Die in Abschnitt 5.4.1 für die Normalkraft hergeleitete Vorgehensweise zur Ermittlung der Abminderungsfaktoren ist daher in analoger Weise gültig.

1. Berechnung von c, Gl. (5.41), mit mzul = mpl 2. Berechnung von c2, Gl.(5.42) 3. Berechnung von n1, Gl (5.29), mit dem c2 aus Schritt 2 4. Berechnung von mzul, Gl (5.30), mit n1 aus Schritt 3 5. Berechnung von c, Gl. (5.41), mit mzul aus Schritt 4 6. Schritte 2 bis 5 wiederholen bis c konstant

Nach Durchführung der Iteration ergeben sich für einige ausgewählte Materialgüten und B/t-Verhältnisse die Faktoren gemäß den Tabellen 5.5 und 5.6, mit denen die Verteilungsbreite c(mpl) multipliziert werden kann, um die Normalkraftabminderung zu berücksichtigen, Gl. (5.43).

IIplc c (m ) f= ⋅ (5.43)

Tabelle 5.5 Faktoren c/c(mpl) für warmgefertigte Hohlprofile

)II

pl

cf =

c(m Stahl S 235

fy,d = 21,82 kN/cm2 Stahl S 355

fy,d = 32,72 kN/cm2

Beton Beton C 20/25 C 25/30 C 30/37 C 20/25 C 25/30 C 30/37 B / t

σc = 1,133 σc = 1,417 σc = 1,700 σc = 1,133 σc = 1,417 σc = 1,700

10 0,968 *) 0,961 *) 0,968 0,977 *) 0,971 *) 0,967 *) 15 0,960 0,951 0,943 0,969 0,963 0,957 20 0,951 0,941 0,932 0,959 0,952 0,945 25 0,940 0,930 0,919 0,948 0,939 0,931 30 0,928 0,916 0,905 0,935 0,925 0,916 35 0,915 0,902 0,889 0,920 0,909 0,898 40 0,900 0,885 0,871 0,904 0,891 0,878

Zwischenwerte dürfen linear interpoliert werden *) c = b/2, die angegebenen Werte werden für eine Interpolation benötigt


Tabelle 5.6 Faktoren c/c(mpl) für kaltgefertigte Hohlprofile

)II

pl

cf =

c(m Stahl S 235

fy,d = 21,82 kN/cm2 Stahl S 355

fy,d = 32,72 kN/cm2

Beton Beton C 20/25 C 25/30 C 30/37 C 20/25 C 25/30 C 30/37 B / t

σc = 1,133 σc = 1,417 σc = 1,700 σc = 1,133 σc = 1,417 σc = 1,700

10 0,971 *) 0,964 0,958 0,977 *) 0,973 *) 0,969 *) 15 0,963 0,956 0,949 0,970 0,965 0,960 20 0,954 0,946 0,938 0,961 0,955 0,949 25 0,944 0,934 0,925 0,950 0,942 0,935 30 0,932 0,921 0,911 0,937 0,928 0,920 35 0,919 0,907 0,896 0,923 0,913 0,903 40 0,905 0,892 0,879 0,908 0,895 0,884

Zwischenwerte dürfen linear interpoliert werden *) c = b/2, die angegebenen Werte werden für eine Interpolation benötigt 5.4.3 Lastabtragungsmodell in Längsrichtung

Das Lastabtragungsmodell in Profillängsrichtung wird in Anlehnung an das in Kapitel 4 vorgestellte Modell gewählt, siehe Bild 5.14.

pc

N

M

V

pc

N

ao

au

f

0,416ao

0,416auDu

Do

Gurtansicht

cc

c

Pressungs-

fläche

=

c eff cp b= ⋅σ

effb 2c=

Bild 5.14 Gleichgewichtsmodell für Rechteckhohlprofile


Die Gleichgewichtsbedingungen können den Gln. (5.44) bis (5.48) entnommen werden. Auf den Ansatz von Verbundspannungen wird wiederum verzichtet. Die Reibung wird überall dort angesetzt, wo Pressungen gegen den Beton erzeugt werden, d.h. am belasteten Gurt, an den Stegen und im Ausrundungsbereich. Um den Einfluss der Reibung im Bereich der Stege und der Ausrundungen (andere Hebelarme) auf einfache Art und Weise berücksichtigen zu können, wird in Analogie zu den I-Profilen auch hier der Faktor kµ verwendet. Es ergeben sich somit identische Berechnungsformeln wie bei I-Profilen.

( )2z,Ey,E

u z,Eu c u

VM 1,03f D V 0,5 f

D p D

= + ⋅ + + ⋅ − ∆

(5.44)

z,E

u

Vf k 1 H

2Dµ µ

∆ = ⋅ ⋅ + ⋅

(5.45)


( )u z,E

22c y,E z,E z,E z,E

D 0,072 V D

0,693p M 0,356V D V 0,072 V D

µ

µ µ

= − ⋅ − +

+ ⋅ + − ⋅ + ⋅ + (5.46)

mit:

cD 0,347 k p hµ µ= ⋅ ⋅µ ⋅ ⋅ (5.47) 2 2

2 a 2 ac 0,43r c 0,14rk 1

c c hµ− += + −

⋅ (5.48)

5.4.4 Modell für zweiachsige Biegung

Anhand der Untersuchungen für einachsige Biegung lässt sich auf der sichern Seite liegend ein Modell zur Lastabtragung für zweiachsige Biegung entwickeln. Zur Aufnahme der Betonpressungen wird dabei immer ein Gurt und ein Steg auf Plattenbiegung beansprucht. Da diese Querschnittsteile gleichzeitig für die Abtragung der Querkräfte verantwortlich sind, muss diesbezüglich eine Interaktion erfolgen. Dabei ist es von Vorteil, dass die Querkräfte in der Regel klein sind, so dass sie nicht die zur Bestimmung der Einspanntiefe bemessungsrelevante Größe darstellen. Es können daher Vereinfachungen getroffen werden, die die aufnehmbare Querkraft des Profils beeinträchtigen, ohne einen Effekt auf die globale Lastabtragung zu erzeugen. Für den Ansatz der Betonpressungen am Querschnitt wird auf der sicheren Seite liegend die Rahmenwirkung des Profils vernachlässigt. Dies berücksichtigt einerseits, dass sich das Profil auf der unbeanspruchten Seite aufgrund der Biegung um die zweite Achse vom Beton ablöst und somit dort keine Pressungen entstehen können, andererseits hat dieser Ansatz den Vorteil, dass keine ungewollten Torsionsbean-


spruchungen entstehen, Bild 5.15. Es werden keine Drucknormalkräfte mehr erzeugt, so dass auf die diesbezügliche Abminderung verzichtet werden kann.

cc

+

mpl,

Ablö

sung

B

Bild 5.15 Betonpressungen und Blechbiegemomente bei Rechteckhohlprofilen für

zweiachsige Biegung Für den Ansatz der zulässigen Blechbiegemomente im Gurt mpl,τ wird pauschal eine 50%-ige Ausnutzung durch Querkraftschub angenommen, so dass eine aufwendige Interaktion entfällt. Dieser Ansatz liegt insofern auf der sicheren Seite, dass die größten Querkräfte in der Köchermitte auftreten, wo die Betonpressungen auf Null abklingen. Gleichzeitig wird aber nur eine 13%-ige Abminderung der maximalen Blechbiegemomente erforderlich, so dass der Ansatz nicht zu unwirtschaftlich wird (mpl,t = 0,87 · mpl). Insgesamt reduziert sich die zulässige Querkraft auf VRd = 0,75 · Vpl, weil der jeweils unbeanspruchte Steg voll mitträgt. Dies wird in der Regel bei der Bestimmung der Einspanntiefe nicht maßgebend. Die Lage des angenommenen Gelenks im Bereich der Profilausrundungen wird dort angesetzt, wo das Fließgelenk bei einachsiger Biegung angenommen wurde, vgl. Abs. 5.4.2. Das Maß c für den Ansatz der Betonpressungen ergibt sich damit gemäß Gl. (5.49). Die effektiven Breiten für die starke und schwache Achse sind identisch, sie müssen lediglich auf die Außenabmessungen des Profils beschränkt werden, Gln. (5.50a,b).

!y

tc

f B Hc k t 0,658 t bzw.

2 2= ⋅ + ⋅ ⋅ ≤

σ (5.49)

mit:

tk 1= für kaltgefertigte Profile

tk 1,5= für warmgefertigte Profile

!

eff ,1b 2c B= ≤ ; !

eff ,2b 2c H= ≤ (5.50a,b)

c,1 eff ,1 cp b= ⋅ σ ; c,2 eff ,2 cp b= ⋅σ (5.51a,b)


Die Gleichgewichtsbeziehungen, Gln. (5.52) bis (5.61), können damit getrennt für die starke (Index „1“) und die schwache Achse (Index „2“) gelöst werden. Die größere Einspanntiefe ist maßgebend. Außerdem ist die Querschnittstragfähigkeit im Einspannbereich zu überprüfen (� Stahlversagen). Dabei ist zunächst darauf zu achten, dass die vorausgesetzte zulässige Querkraft nicht überschritten ist, was mit den Bedingungen (5.56) und (5.61) überprüft werden kann. Da die für die Bemessung relevante Stelle nicht bekannt ist, empfiehlt sich die Berechnung des Schnittgrößen-verlaufs mit Hilfe eines Stabwerksprogramms. Da meist keine Eingabe von parabel-förmigen Streckenlasten möglich ist, ist es sinnvoll das Parabel-Rechteck-Diagramm für die Schnittgrößenermittlung in einen äquivalenten Spannungsblock umzuwandeln, was beispielsweise mit den Beziehungen aus Bild 5.16 möglich ist. Für die Auswertungen im Rahmen dieser Arbeit wird mit einem selbst entwickelten Berech-nungsprogramm gerechnet, das den genauen Schnittgrößenverlauf unter Ansatz des Parabel-Rechteck-Ansatzes für beliebig viele Stellen im Einspannbereich berechnet. Es entstehen lediglich geringe Unterschiede zum vereinfachten Ansatz.

0,8

32 a

o,u

Bild 5.16 Überführung des Parabel-Rechteck-Ansatzes in einen Block-Ansatz für die

vereinfachte Schnittgrößenermittlung


starke Achse:

( )2z,Ey,E

1 u,1 z,E 1u,1 c,1 u,1

VM 1,03f D V 0,5 f

D p D

= + ⋅ + + ⋅ − ∆

(5.52)

z,E1

u,1

Vf 1 H

2D

∆ = ⋅ + ⋅

µ (5.53)


( )u,1 z,E ,1

22c,1 y,E z,E z,E ,1 z,E ,1

D 0,072 V D

0,693p M 0,356V V D 0,072 V D

µ

µ µ

= − ⋅ − +

+ ⋅ + − ⋅ + ⋅ + (5.54)

mit:

,1 c,1D 0,347 p Hµ = ⋅µ ⋅ ⋅ (5.55)

Bedingung für Stahlversagen:

u,1 z,Rd pl,z,dD V 0,75V≤ = (5.56)

schwache Achse:

( )2

y,Ez,E2 u,2 y,E 2

u,2 c u,2

VM 1,03f D V 0,5 f

D p D

= + ⋅ + + ⋅ − ∆

(5.57)

y,E2

u,2

Vf 1 B

2D

∆ = ⋅ + ⋅

µ (5.58)


( )u,2 y,E ,2

22c,2 z,E y,E y,E ,2 y,E ,2

D 0,072 V D

0,693p M 0,356V V D 0,072 V D

µ

µ µ

= − ⋅ − +

+ ⋅ + − ⋅ + ⋅ +

(5.59)

mit:

,2 c,2D 0,347 p Bµ = ⋅µ ⋅ ⋅ (5.60)

Bedingung für Stahlversagen:

u,2 y,Rd pl,y,dD V 0,75V≤ = (5.61)

5.5 Versuchsergebnisse 99

5.5 Versuchsergebnisse

An der FH München sind Versuche mit Hohlprofilen ([61], [52]) in analoger Weise durchgeführt worden wie in Karlsruhe für I-Profile, vgl Abs. 4.5.3. Der Versuchs-aufbau ist in Bild 5.17 skizziert. Der Fundamentkörper ist mit einer horizontalen und vertikalen Bügelbewehrung versehen worden. Teilweise ist eine reduzierte Bewehrung eingebaut worden, um diesbezügliche Effekte zu untersuchen. Für die Vergleichsrechnungen mit dem hergeleiteten Modell ist in diesen Fällen die Resultierende Du bzw. Do auf die zulässige Zugkraft der vertikalen Bügelbewehrung (Rückhängebewehrung, vgl. Abs. 1.5) beschränkt worden.

Bild 5.17 Versuchsaufbau der Versuche an der FH München [61] In Tabelle 5.7 sind die Versuchsparameter sowie die Versuchstraglasten Fexp angegeben. Zum Vergleich sind die mit Hilfe des hergeleiteten Modells berechneten Traglasten den Versuchstraglasten gegenübergestellt. In allen Fällen liegen die Vergleichsrechnungen gegenüber den Versuchen auf der sicheren Seite. Bild 5.18 zeigt, dass das Modell auch einer statistischen Auswertung standhält. Die 5%-Fraktilwerte liegen mit 1,135 und 1,198 für die Profile QRo 100x6,3 und QRo 260x11 auf der sicheren Seite. Für das Profil QRo 200x8 liegt der Wert mit 0,976 geringfügig auf der unsicheren Seite. Die Variationskoeffizienten sind mit Werten bis zu 0,25 größer als bei den Vergleichsrechnungen für I-Profile, liegen aber immer noch in einem guten Bereich.



Lfd. Vers.- Profil σc l fexp Fexp Nr. Nr. QRo kN/cm² cm cm kN

Fcal /Fexp

M(Fexp) /Mpl

1 5a 100x6,3 2,504 200 20 16,4 0,619 1,009 2 5b 100x6,3 2,504 200 30 16,7 0,666 1,027 3 8a 100x6,3 3,033 200 30 15,5 0,719 0,954 4 8b 100x6,3 3,033 200 40 15,7 0,854 0,966 5 9a 100x6,3 3,033 200 20 15,8 0,714 0,972 6 9b 100x6,3 3,033 200 30 15,4 0,724 0,947 7 14a 100x6,3 4,422 200 30 16,0 0,699 0,984 8 14b 100x6,3 4,422 200 40 16,0 0,841 0,984 9 15a 100x6,3 4,422 200 30 16,0 0,699 0,984 10 15b 100x6,3 4,422 200 40 16,2 0,831 0,997 11 2a 200x8 2,726 200 35 75 0,520 0,888 12 2b 200x8 2,726 200 50 84 0,798 0,995 13 11a 200x8 3,167 200 35 83 0,506 0,983 14 11b 200x8 3,167 200 50 84 0,858 0,995 15 16a 200x8 4,422 200 40 79 0,617 0,935 16 16b 200x8 4,422 200 40 81 0,745 0,959 17 4a 260x11 2,504 200 40 172 0,426 0,814 18 4b 260x11 2,504 200 60 187 0,541 0,884 19 6a 260x11 2,504 200 40 206 0,356 0,974 20 6b 260x11 2,504 200 60 182 0,733 0,861 21 12a 260x11 3,995 200 40 183 0,505 0,866 22 12b 260x11 3,995 200 60 181 0,563 0,856



Auswertung

An den Rissbildern lässt sich der Hauptlastabtragungsmechanismus erkennen, s. Bild 5.19. Der erste Riss verläuft immer ausgehend vom Ausrundungsbereich des Profils ca. im 45°-Winkel nach außen. Im weiteren Verlauf des Versuchs treten dann im Ausrundungsbereich die größten Betonabplatzungen auf. Dies bestätigt eine Konzentration der Betonspannungen zu den Profilecken hin. Aus Bild 5.20 wird deutlich, dass im Grenzzustand der gesamte Profilobergurt in den Fundamentkörper gedrückt wird. Die größten Verformungen sind zwar im Bereich der Ausrundung zu erkennen. Die übrigen Teile des Gurtes werden aber quasi mit in den Fundament-körper hinein gezogen, so dass insgesamt eine größere effektive Breite aktiviert wird, wodurch sich die erhöhten Traglasten ebenfalls erklären lassen. Da diese Laststeigerungseffekte mit großen Verformungen verbunden sind, wird nicht empfohlen, dies im Modell zu berücksichtigen. Bei den Profilen 260x260x11 und einer Einspanntiefe von 40 cm (=1,54H) ist das Profil etwas aus dem Betonkörper herausgezogen worden. Es wird daher eine Mindesteinspanntiefe von min f = 2 · H empfohlen.


Bild 5.19 Versuch-Nr. 6a: Rissbild im Grenzzustand, Abplatzungen im Bereich der

Ausrundungen

Bild 5.20 Versuchs-Nr. 6a: Bleibende Profil- und Betonverformungen nach Entlastung

5.6 Anwendungsbeispiel und Auswertungen 103

5.6 Anwendungsbeispiel und Auswertungen

5.6.1 Handrechenbeispiel

Für das in Bild 5.21 dargestellte Beispiel soll die erforderliche Einspanntiefe mit dem vorgestellten Verfahren ermittelt werden. Bei der Berechnung ist die jeweils verwen-dete Quelle angegeben, so dass das Beispiel leicht nachvollzogen werden kann.

Bild 5.21 Systemskizze für Handrechenbeispiel Hilfswerte: Außendurchmesser: ar 1,5 t 1,5 0,8 1,2cm= ⋅ = ⋅ =

Beiwert kt: tk 1,5= (warmgefertigtes Profil)

plastische lokale Normalkraft: pl y36

n t f 0,8 26,18 kN /cm1,1

= ⋅ = ⋅ =

plastisches lokales Biegemoment: 2 2

pl yt 0,8 36

m f 5,24 kNcm / cm4 4 1,1

= ⋅ = ⋅ =

Berechnung von beff und grenz p

plpl t

c

m 5,24c(m ) k t 2 1,5 0,8 2 5,05cm

1,417= ⋅ + = ⋅ + =

σ (5.41)

pl

c0,939

c(m )= (Tabelle 5.5)

c 0,939 5,05 4,74cm= ⋅ = (5.43)

[ ]2c 4,74 1,5 0,8 2 1,5 0,8 3,70cm= − ⋅ + ⋅ = (5.42)

effb 2c 2 4,74 9,48cm= = ⋅ = (Bild 5.14)

eff cgrenz p b grenz 9,48 1,417 13,43kN / cm= ⋅ σ = ⋅ = (Bild 5.14)



2 23,70 0,43 1,2 3,70 0,14 1,2k 1 1,53

4,74 4,74 20µ− ⋅ + ⋅= + − =

⋅ (5.48)

0,5D 0,347 1,53 13,43 20 47,53kN

1,5µ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = (5.47)

( )

u

2

2

D 0,072 57,4 47,53

0,693 13,35 12829 0,356 57,4

57,4 47,53 0,072 57,4 47,53

294,46kN

= − ⋅ − +

⋅ ⋅ + ⋅+

− ⋅ + ⋅ +

=

(5.46)

0,5 57,4f 1,53 1 20 11,2cm

1,5 2 294,46 ∆ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅

(5.45)

212829 1,03 57,4f 294,72 57,4 0,5 11,2 59,9cm

294,72 13,35 294,72

= + ⋅ + + ⋅ − =

(5.44)

Überprüfung Querschnittstragfähigkeit an der Stelle ao:

u z,Eo

D V 294,72 57,4a 32,6cm

0,81 grenz p 0,81 13,35

+ += = =⋅ ⋅

o uV(a ) D 294,72kN= =

o EN(a ) N 497,3kN= =

( )

( )

o y,E z,E o u o u z,EM(a ) M V 0,416 a D 0,584 a D V k h / 2

12829 57,4 0,416 32,6 294,72 0,584 32,6

0,5294,72 57,4 1,53 20 / 2

1,5

6445kNcm

µ= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅µ ⋅

= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

− + ⋅ ⋅ ⋅

=

� Ausnutzungsgrad E-P nach [35]: η = 0,693 < 1 Mit einer Einspanntiefe von f = 60 cm, die der 3-fachen Profilhöhe entspricht, können die Gleichgewichtsbeziehungen für das Betonversagen erfüllt werden. Außerdem kann der Nachweis der Querschnittstragfähigkeit des Stahlprofils im Einspannbereich erbracht werden. Der Versagensfall „Stahlversagen“ wird also nicht maßgebend. Durch den Ansatz der Reibung ist eine Verringerung der Einspanntiefe um ∆f = 11,2 cm erzielt worden.


5.6.2 Auswertungen für praxisrelevante Querschnitte

Die beschriebenen Modelle werden auf praxisrelevante Querschnitte angewandt. In den Tabellen 5.8 und 5.9 sind für die warmgefertigten Quadrat- und Rechteck-hohlprofile aus [34] Grenzeinspanntiefen dargestellt. Tabelle 5.8 Einspanntiefen f in [cm] für warmgefertigte Quadrathohlprofile

Schnittgrößenkombinationen SGK 1 SGK 2

NE / Npl,d ≤ 0,10 ≤ 0,10 My,E / Mpl,y,d ≤ 1,00 ≤ 0,80 Vz,E / Vpl,z,d ≤ 0,15 ≤ 0,15 Mz,E / Mpl,z,d = 0 ≤ 0,50

Vy,E / Vpl,y,d = 0 ≤ 0,15

Schnittgrößen an der Einspannstelle

Voraussetzungen: Beton: C 25 / 30 fcd = 1,416 kN/cm2

Stahl: γM = 1,1

warmgefertigtes Hohlprofil: ra = 1,5 t ; kt = 1,5 Reibung: µd = 0,33

SGK 1 SGK 2 SGK 1 SGK 2 Profil H x B x t S235 S355 S235 S355

Profil H x B x t S235 S355 S235 S355

40x40x4,0 11 14 12 14 120x120x6,3 34 39 37 43 40x40x5,0 13 16 12 15 120x120x8,0 33 39 36 42

50x50x4,0 14 16 15 18 120x120x10,0 33 38 35 41 50x50x5,0 14 18 15 17 120x120x12,5 34 43 34 40

50x50x6,3 16 20 14 18 140x140x5,0 40 47 44 51

60x60x4,0 17 20 18 21 140x140x6,3 40 46 43 50 60x60x5,0 17 19 18 21 140x140x8,0 39 46 42 50 60x60x6,3 17 22 17 20 140x140x10,0 38 45 42 49 60x60x8,0 19 24 18 23 140x140x12,5 38 46 41 48


80x80x4,0 23 26 25 29 150x150x16,0 42 54 43 50

80x80x5,0 22 26 24 28 160x160x6,3 46 53 50 58 80x80x6,3 22 26 24 28 160x160x8,0 45 52 49 57 80x80x8,0 22 28 23 27 160x160x10,0 44 52 48 56

90x90x5,0 25 30 28 32 160x160x12,5 44 51 47 55 90x90x6,3 25 29 27 32 160x160x16,0 44 56 46 54

90x90x8,0 24 30 26 31 180x180x6,3 52 61 56 65


100x100x10,0 27 35 29 34 200x200x6,3 58 68 62 73

120x120x5,0 34 40 37 43 200x200x8,0 57 67 62 72


Fortsetzung Tabelle 5.8



200x200x10,0 56 65 61 71 260x260x10,0 74 87 80 94

200x200x12,5 55 64 60 70 260x260x12,5 73 85 79 93

200x200x16,0 54 63 59 69 260x260x16,0 72 84 78 92

220x220x6,3 65 75 69 80 300x300x8,0 88 103 94 110

220x220x8,0 63 74 68 80 300x300x10,0 87 101 93 109

220x220x10,0 62 72 67 79 300x300x12,5 85 99 92 108

220x220x12,5 61 71 67 78 300x300x16,0 84 97 91 107

220x220x16,0 60 70 65 77 350x350x10,0 102 119 109 128

250x250x8,0 73 85 78 91 350x350x12,5 100 117 108 127

250x250x10,0 71 83 77 90 350x350x16,0 99 115 107 125

250x250x12,5 70 82 76 89 400x400x10,0 118 138 125 146

250x250x16,0 69 80 75 88 400x400x12,5 116 135 124 145

260x260x8,0 76 88 81 95 400x400x16,0 114 133 123 144

Tabelle 5.9 Einspanntiefen f in [cm] für warmgefertigte Rechteckhohlprofile

Schnittgrößenkombinationen SGK 1 SGK 2

NE / Npl,d ≤ 0,10 ≤ 0,10 My,E / Mpl,y,d ≤ 1,00 ≤ 0,80 Vz,E / Vpl,z,d ≤ 0,15 ≤ 0,15 Mz,E / Mpl,z,d = 0 ≤ 0,50 Vy,E / Vpl,y,d = 0 ≤ 0,15

Schnittgrößen an der Einspannstelle

Voraussetzungen: Beton: C 25 / 30 fcd = 1,417 kN/cm2

Stahl: γM = 1,1

warmgefertigtes Hohlprofil: ra = 1,5 t ; kt = 1,5 Reibung: µd = 0,33



50x30x4,0 14 18 13 17 100x50x6,3 26 34 25 32 50x30x5,0 16 21 15 19 100x50x8,0 30 39 28 37

60x40x4,0 15 19 16 19 100x60x4,0 24 28 26 31 60x40x5,0 17 22 16 20 100x60x5,0 24 28 26 31

80x40x4,0 19 24 20 24 100x60x6,3 25 32 26 30 80x40x5,0 21 27 20 26 100x60x8,0 28 36 26 34

80x40x6,3 24 31 22 29 120x60x4,0 27 32 30 36


100x50x4,0 23 27 25 30 120x80x5,0 30 35 33 38 100x50x5,0 23 30 25 30 120x80x6,3 29 34 32 38


Fortsetzung Tabelle 5.9



120x80x8,0 29 38 31 37 200x120x6,3 48 56 53 63 120x80x10,0 33 43 31 40 200x120x8,0 48 56 52 62

140x80x5,0 33 39 37 43 200x120x10,0 47 55 52 61 140x80x6,3 33 38 36 43 200x120x12,5 49 63 51 60

140x80x8,0 33 43 36 42 250x150x6,3 61 71 67 79 140x80x10,0 37 48 35 46 250x150x8,0 60 70 66 78

150x100x5,0 37 44 41 49 250x150x10,0 59 69 65 78 150x100x6,3 37 43 41 48 250x150x12,5 59 69 65 77 150x100x8,0 36 42 40 47 250x150x16,0 61 80 63 75

150x100x10,0 37 47 39 46 260x180x8,0 66 77 72 85 150x100x12,5 41 53 39 50 260x180x10,0 65 76 71 84

160x80x5,0 37 43 41 48 260x180x12,5 64 75 70 83 160x80x6,3 36 42 40 48 260x180x16,0 63 77 69 82

160x80x8,0 37 47 39 47 300x200x8,0 75 88 82 97 160x80x10,0 41 54 39 51 300x200x10,0 74 87 81 97 160x80x12,5 47 61 44 57 300x200x12,5 73 86 81 95

180x100x5,0 43 50 47 56 300x200x16,0 72 84 79 94

180x100x6,3 42 49 47 55 400x200x10,0 92 108 102 121 180x100x8,0 42 49 46 55 400x200x12,5 91 106 101 120 180x100x10,0 42 54 45 54 400x200x16,0 89 105 99 118

180x100x12,5 48 62 45 58 450x250x12,5 106 124 117 139

200x100x6,3 46 53 51 60 450x250x16,0 105 122 116 137 200x100x8,0 45 53 50 59 450x250x20,0 103 121 114 136

200x100x10,0 46 59 49 59 500x300x12,5 122 142 133 158 200x100x12,5 52 67 49 63 500x300x16,0 120 140 132 156 200x100x16,0 59 77 56 73 500x300x20,0 118 138 130 155 Bezieht man die erforderlichen Einspanntiefen auf die Profilhöhe, ist die Berechnung abhängig von den geometrischen Verhältniswerten H/B und B/t sowie vom Verhält-nis der Materialfestigkeiten (fy,d / fc,d). In den Bildern 5.21 und 5.22 ist dieser Zusammenhang dargestellt. Die Graphen lassen sich immer in zwei Abschnitte unterteilen. Links vom Kurvenminimum entspricht die effektive Breite der geome-trischen Breite des Hohlprofils (beff = B). Rechts vom Kurvenminimum ist die effektive Breite kleiner als die Gurtbreite. Die Kurven für die unterschiedlichen H/B-Verhältnisse verlaufen nahezu parallel, die quadratischen Hohlprofile (H/B = 1) benötigen bezüglich der Profilhöhe die größten Einspanntiefen. Die festgelegte Mindesteinspanntiefe min f = 2H wird für alle untersuchten Fälle nicht maßgebend. Dies wäre erst bei einem sehr kleinen Verhältnis der Materialtragfähigkeiten (fy,d / fc,d) zu erwarten. Das Modell für die zweiachsige Biegung liefert für den untersuchten Grenzlastfall Einspanntiefen, die im Bereich der Werte für einachsige Biegung liegen, so dass man sagen kann, dass das Verfahren trotz der auf der sicheren Seite liegenden Herleitung nicht allzu unwirtschaftliche Ergebnisse liefert.


Einspanntiefen für warmgefertigte Rechteckhohlprofile

Mindesteinspanntiefe: f/H = 2,0

beff = B

f/H

B/t1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

H/B = 1,0

H/B = 1,5

H/B = 2,0

H/B = 3,0

beff < B

Vz,E

My,E

Einwirkungen:NE = 0

= Mpl,y,d

= 0,15 Vpl,z,d

fy,d = 21,82 kN/cm2

fc,d = 1,417 kN/cm2

Reibbeiwert: = 0,33

Materialparameter:

fy,d = 32,73 kN/cm2

Stahl: S 235

bzw. S 355Beton: C 25/30

beff = B

f/H

B/t1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

H/B = 1,0

H/B = 1,5

H/B = 2,0

H/B = 3,0

beff < B


= 23,1fy,d

fc,d

S 355C 25/30

= 15,4fy,d

fc,d

S 235C 25/30

Vz,E

NE = 0

My,E

B H

f

Bild 5.22 Bezogene Einspanntiefen f/H in Abhängigkeit vom H/B- und B/t-Verhältnis für

Rechteckhohlprofile (einachsige Biegung)


Einspanntiefen für warmgefertigte Rechteckhohlprofile


f/H

B/t1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

H/B = 1,0

H/B = 1,5H/B = 2,0

H/B = 3,0

fy,d = 21,82 kN/cm2

fc,d = 1,417 kN/cm2

Reibbeiwert: = 0,33

Materialparameter:

fy,d = 32,73 kN/cm2

Stahl: S 235

bzw. S 355Beton: C 25/30

f/H

B/t1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

H/B = 1,0

H/B = 1,5

H/B = 2,0

H/B = 3,0


= 23,1fy,d

fc,d

S 355C 25/30

= 15,4fy,d

fc,d

S 235C 25/30

Vz,E

NE = 0

My,E

B H

f

Mz,E

Vy,E

Vz,E

My,E

Einwirkungen:NE = 0

= 0,15 Vpl,z,d Vy,E = 0,15 Vpl,y,d

= 0,80 Mpl,y,d Mz,E = 0,50 Mpl,z,d

Bild 5.23 Bezogene Einspanntiefen f/H in Abhängigkeit vom H/B- und B/t-Verhältnis für

Rechteckhohlprofile (zweiachsige Biegung)

6 Kreisförmige Hohlprofile

6.1 Vorbemerkungen

In diesem Kapitel werden die Besonderheiten bei der Berechnung von eingespannten Stützen mit kreisförmigen Hohlprofilen aufgezeigt und ein Modell zur Berechnung hergeleitet. Auch hier wird davon ausgegangen, dass die Kreishohlprofile am unteren Ende eine Fußplatte erhalten, so dass sie sich beim Betonieren nicht mit Beton füllen können. Im Vergleich zu I-Profilen und rechteckigen Hohlprofilen haben kreis-förmige Hohlprofile keine ausgeprägten Stege und Gurte, Bild 6.1. Für die Lastab-tragung bedeutet dies, dass die klare Trennung zwischen Querkraftaufnahme (Steg) und Betonpressungseinleitung (Gurte) verloren geht, so dass eine Interaktion berücksichtigt werden muss, was eine aufwändigere Betrachtungsweise mit sich bringt.

Gurt

Gurt

Gurt

Gurt

Bild 6.1 Vergleich der bisher untersuchten Profilarten mit Kreishohlprofilen

Die Kreisform des Querschnitts hat aber auch einen großen Vorteil: Aufgrund von Gewölbewirkungen werden die Betonpressungen hauptsächlich über lokale Normal-kräfte und weniger über Biegemomente vom Kreisring aufgenommen, so dass die lokalen Betrachtungen zur Aufnahme der Betonpressungen einen geringeren Stellenwert besitzen. In Abschnitt 6.2 werden FE-Untersuchungen vorgestellt, die für die Modellbildung in Abschnitt 6.3 herangezogen werden. Versuchsnachrechnungen in Abschnitt 6.4 bestätigen die Gültigkeit des entwickelten Berechnungsmodells. In Abschnitt 6.5 wird die Vorgehensweise bei der Ermittlung der Einspanntiefe anhand eines Handrechenbeispiels erläutert, abschließend werden Bemessungshilfen für die Praxis hergeleitet.


6.2 FE-Untersuchungen für kreisförmige Hohlprofile

6.2.1 Vorbemerkungen

Das Lastabtragungsverhalten wird maßgeblich von der Schlankheit des Querschnitts beeinflusst, das D/t-Verhältnis wird daher als Hauptparameter verwendet. Um einen möglichst praxisrelevanten Bereich abzudecken, werden für die Berechnung Profile verwendet, die praxisübliche (s. [34]) D/t-Verhältnisse zwischen 8 und 50 aufweisen, Tabelle 6.1. Die Berechnungen haben gezeigt, dass für dickwandige Profile das Betonversagen maßgebend ist, so dass sich die Ergebnisse der Profile 200x8 bis 200x25 kaum unterscheiden. Interessant ist der Übergang zwischen Betonversagen und Stahlversagen, so dass im Folgenden hauptsächlich auf die dünnwandigen Profile eingegangen wird. Tabelle 6.1 D/t-Verhältnis untersuchter kreisförmiger Hohlprofile

Kreishohlprofil Außenabmessungen

Abmessungen im Mittellinienmodell D/t

204x4 200x4 50

208x8 200x8 25

212x12 200x12 16,67

dargestellte Profile

220x20 200x20 10

225x25 200x25 8

Ein Augenmerk bei den FE-Untersuchungen liegt wiederum auf dem Ansatz der Betonpressungen am Querschnitt und deren Verteilung über die Stablängsachse, so dass ein vergleichbares Ingenieurmodell für kreisförmige Hohlprofile hergeleitet werden kann wie für rechteckige. In Tabelle 6.2 sind die zur Berechnung herangezogenen Standardparameter dargestellt. Tabelle 6.2 Standardparameter für die FE-Berechnung

Parameter Bezeichnung Wert Einheit Stahlgüte S235: Elastizitätsmodul: E 21000 [kN/cm2] Schubmodul: G 8077 [kN/cm2] Streckgrenze: fy,d 21,82 [kN/cm2] Betongüte C25/30 : Betonfestigkeit fc,d 1,417 [kN/cm2] Bettungsziffer: C 200 [kN/cm3]

Für weitergehende Untersuchungen werden diese Parameter abgeändert, um gezielte Fallunterscheidungen vornehmen zu können. Dabei werden die Streckgrenze des Stahls und die Betonfestigkeit variiert.

6.2 FE-Untersuchungen für kreisförmige Hohlprofile 113

6.2.2 Betonpressungsverteilung am Querschnitt

Wie schon bei den FE-Untersuchungen für Rechteckhohlprofile werden auch für Kreishohlprofile die Betonpressungsverteilungen am Querschnitt analysiert. In Bild 6.2a sind Pressungsverteilungen an der höchst beanspruchten Stelle (p = grenz p, vgl. Bild 6.5) für zwei ausgewählte Profile dargestellt. Es wird deutlich, dass sich auf der gesamten Belastungsseite gleichmäßige Betonpressungen einstellen, die bei sehr dünnwandigen Querschnitten (hier: Ro 200x4) sogar bis auf die lastabgewandte Seite reichen. Betrachtet man eine Stelle, die weniger stark beansprucht ist (p = 0,5 grenz p), Bild 6.2b, wird eine geringfügige Konzentration der Betonpres-sungen zum Scheitelpunkt hin deutlich. An den Flanken reichen die Pressungen noch etwas weiter bis auf die lastabgewandte Seite.

c

Ro 200 x 12 Ro 200 x 4

c

c

Ro 200 x 12

c

Ro 200 x 4

a) p = grenz p

b) p = 0,5 grenz p

Bild 6.2 Betonpressungsverteilungen am Querschnitt für zwei ausgewählte Schnitte

a) p = grenz p b) p = 0,5 grenz p


Betrachtet man die auftretenden lokalen Schnittgrößen, Bild 6.3, erkennt man, dass sich auf der durch die Betonpressungen belasteten Seite des Querschnitts in weiten Bereichen konstante lokale Drucknormalkräfte ns einstellen, die auf der unbelasteten Seite abklingen. Bei dünnwandigen Querschnitten (hier: Ro 200 x 4) wird als Grenzwert die plastische Normalkraft npl erreicht. Ist dies der Fall, sind die Platten-biegemomente ms auf der belasteten Seite verschwindend gering. Bei dickwandigeren Querschnitten (hier: Ro 200x12), bei denen npl nicht erreicht wird, treten zusätzlich Plattenbiegemomente ms auf. Auf der lastabgewandten Seite sind ebenfalls Biege-momente zu erkennen. Sie haben eine Größenordnung von ms = 1/4 bis 1/3 · mpl, so dass sie die aufnehmbaren Längsspannungen σx nur in sehr geringem Maße beein-trächtigen (< 3%) und somit nicht weiter beachtet werden müssen.

Ro 200 x 12

ns

ms

ns -npl

ms 0ms = 0

ns

ms

ms = 0

ns < npl

-

-

+

+

+ -

ms = 0

-

-

+

-

-

-

-

Ro 200 x 4

belastete

Seite

unbelastete

Seite

belastete

Seite

unbelastete

Seite

Bild 6.3 Lokale Schnittgrößen an der höchst beanspruchten Stelle im

Einspannbereich (p = grenz p)


6.2.3 Betonpressungsverteilung über die Stablängsac hse

In diesem Abschnitt wird der Verlauf der Betonpressungen über die Stablängsachse analysiert. Zur Veranschaulichung werden in den entsprechenden Bildern wiederum Vergleichskurven dargestellt, die in Anlehnung an die Verfahren für I-Profile berechnet werden (Parabel-Rechteck-Ansatz). Für die Berechnung des Maximal-wertes dieser Kurven werden die Ergebnisse des vorangegangenen Abschnitts verwendet. Die FE-Untersuchungen am Querschnitt haben dort ergeben, dass die Betonpressungen quasi konstant über den halben Querschnitt verteilt wirken. Als Verteilungsbreite kann daher der gesamte Durchmesser D angesetzt werden. Auf der belasteten Querschnittshälfte werden dadurch Normalkräfte erzeugt, die auf die plastische Normalkraft begrenzt werden müssen. Bild 6.4 zeigt zusammenfassend die für die Berechnung des Maximalwertes getroffenen Annahmen.

pModell

x

f

VE

ME

Betonpressungen am QuerschnittD

t

c < grenz c

Verteilung über die Stablängsachse

p/2

ns < t fy

Normalkräfte im

Kreisring

p/2

= ⋅ ⋅a yp 2 t f

grenz pModell = min(pc, pa)

c cp grenz D= σ ⋅Grenzwert Beton:

Grenzwert Stahl:

Bild 6.4 Modellannahme zur Darstellung der Vergleichkurven beim der FE-Analyse


Bild 6.5 zeigt für 2 Querschnitte den Verlauf der Betonpressungen p über die Stab-längsachse. Die Einspanntiefe wird dabei so gewählt, dass sich gerade das maximal mögliche Biegemoment an der Einspannstelle einstellt. Bei dem dünnwandigen Querschnitt (Ro200x4) wird der Grenzwert pa für den Stahl maßgebend, während bei dem dickwandigen (Ro200x8) der Grenzwert des Betons maßgebend wird. Bei beiden Profilen wird nahezu Mpl an der Einspannstelle erreicht. Vergleicht man die Betonpressungsverteilungen mit der Modellannahme, erkennt man, dass bei dem dickwandigen Profil (Ro200x8) das Parabel-Rechteck-Diagramm eine gute Näherung darstellt, bei dem dünnwandigen Profil (Ro200x4) hingegen eine starke Abweichung auftritt. Offensichtlich stellt die Tatsache, dass der Grenzwert für den Stahl pa maßgebend ist, die entscheidende Ursache dafür dar. Es wird daher im Folgenden dieser Grenzwert genauer untersucht, indem Profile betrachtet werden, bei denen die Grenzwerte für Beton (pc) und für Stahl (pa) nahezu identisch sind, so dass Aussagen über den Übergangsbereich getroffen werden können.

f =

34 c

m

f =

38 c

m

Bild 6.5 Betonpressungsverteilungen über die Stablängsachse


Bild 6.6 zeigt die Betonpressungsverteilungen für definierte pa/pc-Verhältnisse zwischen 0,8 und 1,4. Es werden Einspanntiefen gewählt, die gerade die Aufnahme von 0,99 Mpl an der Einspannstelle zulassen. Bis zu einem Verhältnis von pa/pc < 1,0 weicht die Pressungsverteilung stark von dem angenommenen Parabel-Rechteck-Diagramm ab. Außerdem ist erkennbar, dass sich am Anschnitt des Einspannbereichs wieder eine Spannungsspitze ausbildet. Für pa/pc-Verhältnisse größer 1,0 nähert sich die Pressungsverteilung immer mehr der Modellannahme an. Bei pa/pc = 1.4 ist eine nahezu 100%-ige Übereinstimmung zu erkennen. Es wird somit geschlussfolgert, dass ab einem Verhältnis von pa/pc > 1.4 das Parabel-Rechteck-Diagramm bedenken-los verwendet werden kann. Unterhalb dieses Verhältnisses liegt die Berechnung auf der unsicheren Seite.

x

1,41,31,21,11,00,90,8pa/pc =

pModell

gr pModell = pa pa pa = pc pc pc pc pc

pModell pModell pModell pModell pModell pModell

ME = 0,99 Mpl ; VE < 0,10 Vpl

pFE pFE pFE pFE pFE pFE pFE

Bild 6.6 Betonpressungsverteilungen über die Stablängsachse für definierte

Verhältnisse pa / pc

Die bisherigen Untersuchungen gelten für Situationen, in denen die Profile an der Einspannstelle aufgrund des Biegemomentes voll ausgelastet sind. Wenn geringere Einspannmomente abgetragen werden müssen, kann das Parabel-Rechteck-Diagramm auch verwendet werden. In Bild 6.7 ist dazu beispielsweise noch einmal der Fall pa/pc = 0,8 dargestellt, diesmal aber für eine Einspanntiefe, mit der maximal ME = 0,9 Mpl abgetragen werden kann.


Die Pressungsverteilungen aus den FE-Berechnungen können ausreichend genau mit dem Parabel-Rechteck-Diagramm abgebildet werden. Es wird aber ein weiterer Effekt deutlich, der eine Besonderheit des Stahlversagens bei Kreishohlprofilen darstellt. In Bild 6.7a wird davon ausgegangen, dass das Stahlversagen nicht maßgebend ist, weil die plastische Querkraft des Profils im Einspannbereich nicht erreicht wird (Du < Vpl). Dies führt in diesem Fall aber zu einer Überschätzung des Tragverhaltens. Du muss auf einen Wert max V beschränkt werden, der die an der Stelle x = am vorhandenen Biegemomente berücksichtigt. In Bild 6.7b ist dies dargestellt. Man erkennt eine wesentlich bessere Übereinstimmung mit der FE-Berechnung.

Du / Vpl = 0,96 < 1,0

kein Bereich am

unsichere Seite

au

f =

ao

+ a

u

ao

au

f =

ao

+ a

u+

am

ao

am

Du

Do

Du = max V

max V < Vpl , weil M > 0

im Bereich am

x

Do

Du

VE

ME

VE

ME ME = 0,90 Mpl

VE < 0,10 Vplps/pc = 0,8

a) Betonversagen b) Stahlversagen

Bild 6.7 Betonpressungsverteilungen über die Stablängsachse für definierte

Verhältnisse ps / pc


6.3 Modellbildung

6.3.1 Betonpressungen am Querschnitt

Bei der Entwicklung eines Modells zur Einleitung der Betonpressungen in den Querschnitt wird davon ausgegangen, dass sich eine Pressungsverteilung einstellen kann, die einer Stützlinienbeanspruchung entspricht, so dass ausschließlich lokale Drucknormalkräfte im Kreisring auftreten, siehe Bild 6.8.

D

= ⋅ ⋅a yp 2 t f

c cp grenz D= σ ⋅

Bild 6.8 Ansatz der Betonpressungen für Kreishohlprofile und Berechnung der

Resultierenden p

Dass es sich bei diesem Pressungsansatz um eine Stützlinienbelastung handelt, kann z.B. gezeigt werden, indem man die Belastung in Komponenten zerlegt und die Gleichgewichtsbedingungen löst. Nach Umformung ergibt sich für das Biegemoment für alle Punkte des Kreisringes ms = 0 und für die Normalkraft im Kreisring ns = p/2, Gln. (6.1) und (6.2).


Dsin( )

2⋅ α

( )D 2 1 cos( )⋅ − α

p/2

p/2

c

c

c

Aufteilung der Betonpressungen

in Komponenten

p/2

ms( )ns( )

Schnitt

Bild 6.9 Schnittgrößenermittlung ms und ns am Querschnitt durch Aufteilung der

Betonpressungen in Komponenten

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 22 2

s c c

2 22 2

c c

2 2

c c

p D D Dm ( ) 1 cos( ) 1 cos( ) sin ( )

2 2 8 8

D D1 cos( ) 1 2cos( ) cos ( ) sin ( )

4 8

D D2 2cos( ) 2 2cos( )

8 80

α = ⋅ − α − σ ⋅ − α − σ ⋅ α

= σ ⋅ − α − σ ⋅ − α + α + α

= σ ⋅ − α − σ ⋅ − α

=

(6.1)

( )

( )( )

2s c c

2 2c c

c c

c

p D Dn ( ) cos( ) sin ( ) 1 cos( ) cos( )

2 2 2D D

cos( ) sin ( ) cos( ) cos ( )2 2D D

cos( ) 1 cos( )2 2D

2p

2

α = ⋅ α + σ ⋅ α − σ ⋅ − α ⋅ α

= σ ⋅ ⋅ α + σ ⋅ α − α + α

= σ ⋅ ⋅ α + σ ⋅ − α

= σ ⋅

=

(6.2)


Der Maximalwert der Betonpressungen ist somit definiert. Bezüglich ihrer Verteilung über die Stablängsachse ist eine Fallunterscheidung erforderlich, wie in Abschnitt 6.2.3 gezeigt worden ist. Tabelle 6.3 zeigt die Bedingungen, die für die Zuordnung benötigt werden. Tabelle 6.3 Modellunterscheidung für Betonpressungsverläufe

Modell Bedingungen Betonpressungsverlauf

1 ps / pc ≥ 1.5 oder Ausnutzungsgrad an der Einspannstelle η ≤ 0,9

Parabel-Rechteck-Ansatz (Regelfall)

2 ps / pc < 1.5 und Ausnutzungsgrad an der Einspannstelle η > 0,9

Sinus-Ansatz

6.3.2 Betonpressungsverteilung über die Stablängsac hse –

Modell 1: Parabel-Rechteck-Ansatz (Regelfall)

Wenn die Bedingungen für Fall 1 gemäß Tabelle 6.3 eingehalten sind, wird die Betonpressungsverteilung über die Stablängsachse in Anlehnung an die Verfahren für I-Profile mit dem Parabel-Rechteck-Diagramm angenommen, Bild 6.10. Für den Ansatz der Reibungskräfte ist der Hebelarm vom Kreisschwerpunkt bis zum Schwerpunkt der Betonpressungen dargestellt.

= ⋅ ⋅a yp 2 t fc cp grenz d= σ ⋅

Bild 6.10 Modell 1 für Kreishohlprofile – Parabel-Rechteck-Ansatz


Die Lösung der Gleichgewichtsbedingungen kann den Gln. (6.3) bis (6.6) entnom-men werden. Auf den Ansatz von Verbundspannungen wird dabei wie bei Rechteck-hohlprofilen verzichtet. Reibungskräfte werden überall dort angesetzt, wo Pressungen gegen den Beton erzeugt werden, d.h. auf der belasteten Seite des Kreisringes. Es ergeben sich wiederum identische Beziehungen wie für I-Profile und rechteckige Hohlprofile. Der Faktor kµ entfällt hier, da sich der geringere Hebelarm (e = D/π) mit der größeren Verteilungslänge (L = π/2 · D) ausgleicht (Hinweis: Der Faktor 1/2 ist bereits in dem Koeffizienten 0,347 bei der Berechnung von Dµ enthalten).

( )2EE

u Eu u

VM 1,03f D V 0,5 f

D p D

= + ⋅ + + ⋅ − ∆

(6.3)

E

u

Vf 1 D

2Dµ

∆ = ⋅ + ⋅

(6.4)


( )u z,E

22E E E

D 0,072 V D

0,693p M 0,356V V D 0,072 V D

µ

µ µ

= − ⋅ − +

+ ⋅ + − ⋅ + ⋅ + (6.5)

mit:

D 0,347 p Dµ = µ ⋅ ⋅ (6.6) Du ist so zu begrenzen, dass die Querschnittstragfähigkeit innerhalb des Einspann-bereichs überall gewährleistet ist. Zur Überprüfung können die Interaktionsformeln gemäß Tabelle 6.4 verwendet werden. Die maßgebende Stelle liegt in der Regel bei x = ao. An dieser Stelle treten neben der maximalen Querkraft zusätzlich noch große Biegemomente auf. Die Schnittgrößen an dieser Stelle ergeben sich gemäß den Gln. (6.7) bis (6.9). Zunächst sollte die Überprüfung der Querschnittstragfähigkeit für den Wert von Du infolge Betonversagen, Gl. (6.5), erfolgen. Bei Nichteinhaltung der Bedingungen ist Du abzumindern und iterativ zu variieren, bis der Nachweis der Querschnittstragfähigkeit gelingt.

o EN(x a ) N= = (6.7)

o uV(x a ) D= = (6.8)

( )

( )o E u E

2 2E u E u

1M(x a ) M D D V

21

0,514V 0,207D V 0,721Dp

= = − µ ⋅ ⋅ +

+ − ⋅ − (6.9)


Tabelle 6.4 Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit für beliebige Schnittgrößenkombinationen bei kreisförmigen Hohlprofilen [35]

Nachweisbedingungen:

1M

M

V

V

x,pl

x

plR≤+=

ττ

1M

Msinarc

2N

N

,pl,pl≤

⋅

π+

ττ

Rechenwerte:

= ⋅ τ ⋅ ⋅ −pl RV 2 t (d t)

= π ⋅ τ ⋅ ⋅ − 2pl,x RM t (d t) / 2

τ = π ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − τ τ 2pl, y RN t (d t) f 1 ( / )

τ = ⋅ − ⋅ ⋅ − τ τ2 2pl, y RM t (d t) f 1 ( / )

6.3.3 Betonpressungsverteilung über die Stablängsac hse –

Modell 2: Cosinusförmiger Ansatz

Wenn die Bedingungen für Modell 1 nicht eingehalten sind, darf der Parabel-Rechteck-Ansatz nicht verwendet werden. Das Ergebnis läge sonst auf der unsicheren Seite. Für Modell 2 wird daher im Folgenden ein cosinusförmiger Verlauf der Betonpressungen angenommen, der in Bild 6.11 dargestellt ist und sich aus der folgenden Herleitung ergibt. Es wird angenommen, dass das Profil an der Einspannstelle plastisch voll ausgenutzt (η = 1,0) ist und dass pa < pc ist, so dass der zulässige Maximalwert der Betonpressungen mit grenz p = pa dargestellt werden kann. Für die weiteren Fälle, die dem Modell 2 zugeordnet werden müssen (0,9 < η < 1,0 und 1,0 < pa/pc < 1,5) liegt die Herleitung auf der sicheren Seite. Unter den getroffenen Annahmen werden die lokalen Grenznormalkräfte im Kreisring erreicht, so dass das Profil keine weiteren Beanspruchungen aufnehmen kann, d.h. z.B., dass keine Schubspannungen aufgenommen werden können. Im Einspannbereich bauen sich im Stabverlauf jedoch Querkräfte auf, so dass die lokalen Normalkräfte im Profil reduziert werden müssen und somit auch nur noch geringere Betonpressungen angesetzt werden dürfen. Die zulässigen Betonpressungen und die Querkräfte beeinflussen sich somit gegenseitig.


ma

x V

= V

pl

M(x

=a

o)

= M

E/2

Bild 6.11 Verlauf der Pressungsresultierenden p(x) und der Querkraft V(x) für die

Herleitung von Modell 2 Für die Bestimmung des Verlaufs wird davon ausgegangen, dass an der Stelle x = 0 keine Querkräfte vorhanden sind und bei x = ao die plastische Querkraft erreicht wird, Bild 6.11. Bei x = 0 kann somit die maximale Pressungsresultierende grenz p angesetzt werden und an der Stelle x = ao können keine Pressungen aufgenommen werden. Zwischen den Funktionsverläufen besteht folgender Zusammenhang:

p(x) = V′(x) (6.10) Die Spannungen aus den Blechnormalkräften und den Querkräften ergeben sich zu:

n(x) p(x)(x)

t 2tσ = = (6.11)

Rpl

V(x) V(x)(x)

V 2 D tτ ≈ ⋅ τ =

⋅ ⋅ (6.12)

Die Vergleichsspannung darf im Stabverlauf die Streckgrenze des Stahls nicht überschreiten.

2 2 2 2v y(x) (x) 3 (x) fσ = σ + τ ≤ (6.13)

Setzt man die Gln. (6.10) bis (6.12) in Gl. (6.13) ein, erhält man:

2y2 2 2

y2 2pl

f1V ' (x) V (x) f

4t V⋅ + ⋅ ≤ (6.14)

Diese Differenzialgleichung ist mit Hilfe folgender Ansatzfunktionen lösbar:

V(x) b sin(a x)= ⋅ ⋅ (6.15)

V'(x) a b cos(a x)= ⋅ ⋅ ⋅ (6.16)


Setzt man die Ansatzfunktionen in Gl. (6.14) ein, ergibt sich:

2 22 2y2 2 2

y2 2pl

f ba bcos (a x) sin (a x) f

4t V

⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ≤ (6.17)

und als Lösung erhält man:

y

pl

2t f 3a

V D

⋅= = (6.18)

ypl

fb V 2D t

3= = ⋅ ⋅ (6.19)

Eingesetzt in (6.15) und (6.16):

pl3

V(x) V sin( x)D

= ⋅ ⋅ (6.20)

y3

p(x) V '(x) 2t f cos( x)D

= = ⋅ ⋅ ⋅ (6.21)

Der Nulldurchgang der p(x)-Kurve liegt bei

o op(x a ) 0 a D 0,907 D2 3

π= = ⇒ = = ⋅ (6.22)

Die Pressungsverteilung p(x) hat gemäß Gl. (6.21) also einen cosinusförmigen Verlauf, der für die Aufstellung der Gleichgewichtsbedingung verwendet wird. Da die plastische Querkraft an der Stelle x = ao aufgrund der zusätzlich noch vorhandenen Biegemomente nicht auftreten kann, vgl. Bild 6.11, und somit theoretisch größere Betonpressungen angesetzt werden könnten, liegt der Ansatz auf der sicheren Seite. Auftretende Querkräfte an der Einspannstelle werden nicht berücksichtigt, da diese in der Regel klein sind. Das Verfahren wird auf VE ≤ 0,30 · Vpl beschränkt, so dass an der Einspannstelle theoretisch p = 0,95 · grenz p aufgenommen werden kann und der Fehler bei Ansatz von p = grenz p gering bleibt. Zur Aufnahme größerer Querkräfte an der Einspannstelle ist ein Profil zu wählen, dass dem Modell 1 zugeordnet werden kann. Bild 6.12 zeigt zusammenfassend das Gleichgewichtsmodell für Modell 2. Die Lösung der Gleichgewichtsbedingungen kann den Gln. (6.23) bis (6.26) entnommen werden. Auf den Ansatz von Verbundspannungen wird wiederum verzichtet. Reibungskräfte werden überall dort angesetzt, wo Pressungen gegen den Beton erzeugt werden, d.h. auf der belasteten Seite des Kreisringes.


s yp 2 t f= ⋅ ⋅c cp grenz d= σ ⋅

Bild 6.12 Modell 2 für Kreishohlprofile – cosinusförmiger Verlauf

( )2EE

u Eu u

VM 1,14f D V 0,5 f

D p D

= + ⋅ + + ⋅ − ∆

(6.23)

E

u

Vf 1 d

2D

∆ = ⋅ + ⋅

µ (6.24)


( )u E

22E E E E

D 0,108 V D

0,5p M 0,285V V D 0,108 V D

µ

µ µ

= − ⋅ − +

+ ⋅ + − ⋅ + ⋅ + (6.25)

mit:

D 0,25 p dµ = µ ⋅ ⋅ (6.26) Für die Überprüfung der Querschnittstragfähigkeit sind die Schnittgrößen an der Stelle x = ao angegeben, Gl. (6.27) bis (6.29). Die Interaktion ist auf gleiche Art und Weise durchzuführen wie für Modell 1: Zunächst erfolgt die Überprüfung der Querschnittstragfähigkeit für den Wert von Du infolge Betonversagen, Gl. (6.25). Bei Nichteinhaltung der Bedingungen ist Du abzumindern und iterativ zu ermitteln, bis dass der Nachweis der Querschnittstragfähigkeit gelingt.


o EN(x a ) N= = (6.27)

o uV(x a ) D= = (6.28)

( )

( )o E u E

2 2E u E u

1M(x a ) M d D V

21

0,571V 0,429D V Dp

= = − µ ⋅ ⋅ +

+ − ⋅ − (6.29)

Zur Kontrolle werden einige Pressungsverteilungen aus der FE-Berechnung (vgl. Bild 6.6) noch einmal im Verhältnis zur Annahme des Verlaufs der Betonpressungen in Modell 2 gegenübergestellt, Bild 6.13. Man erkennt eine sehr gute Übereinstimmung. Im Übergangsbereich ist der Verlauf der FE-Berechnung fülliger als der der Modell-annahme, so dass gewährleistet ist, dass die Berechnung auf der sicheren Seite liegt.

Bild 6.13 Vergleich der FE-Berechnungen mit den Annahmen für Modell 2


6.4 Versuchsergebnisse

In der bereits in Abschnitt 5.5 erwähnten Versuchsreihe der FH München ([61], [52]) sind auch Versuche mit Kreishohlprofilen durchgeführt worden. In Bild 6.14 ist der Versuchsaufbau schematisch dargestellt. Tabelle 6.5 zeigt eine Zusammenfassung der Ergebnisse.

Bild 6.14 Versuchsaufbau der Versuche an der FH München [61]


Lfd. Vers.- Profil fy σc l f Fexp Nr. Nr. Ro kN/cm² kN/cm² cm cm kN

Fcal /Fexp

M(Fexp) /Mpl

1 3a 219,1x6,3 41,9 *1) 2,9 200 32 65,0 0,406 1,09 2 3b 219,1x6,3 41,9 *1) 2,9 200 55 59,0 0,479 0,99 3 7a 219,1x6,3 41,9 *1) 3,0 200 32 55,3 0,477 0,93 4 7b 219,1x6,3 41,9 *1) 3,0 200 65 58,2 0,346 0,97 5 10a 219,1x6,3 41,9 *1) 2,9 200 32 61,3 0,431 1,02 6 10b 219,1x6,3 41,9 *1) 2,9 200 55 59,8 0,473 1,00 7 1a 273,0x8,0 46,3 *1) 3,0 200 40 135,7 0,788 1,04 8 1b 273,0x8,0 46,3 *1) 3,0 200 55 136,4 0,653 1,05 9 13a 273,0x8,0 46,3 *1) 4,0 200 40 123,1 0,869 0,95 10 13b 273,0x8,0 46,3 *1) 4,0 200 55 125,5 0,709 0,97

11 Pk02 323,9x10 45,7 3,4 380 65 82,4 1,316 0,69 *2) 12 Pk02 323,9x10 45,7 3,4 380 50 67,0 0,753 0,57 13 Pk03 323,9x10 45,7 3,3 380 80 76,1 0,856 0,64 *2) 14 Pk03 323,9x10 45,7 3,3 380 80 64,4 0,701 0,54 15 Pk04 406,4x12,5 41,3 3,2 380 70 136,8 1,385 0,65 *2) 16 Pk04 406,4x12,5 41,3 3,2 380 60 135,6 0,863 0,64

*1) = Streckgrenze geschätzt (Mpl erreicht) *2) = nicht verwertbar, da starke Schädigung auf der gegenüberliegenden Seite aufgrund reduzierter Bewehrung


In allen Versuchen war die aufnehmbare Kraft der vertikalen Bügelbewehrung (Rückhängebewehrung, vgl. Abs. 1.5) kleiner als die Betonpressungsresultierenden Du und Do, so dass auch hier (wie schon bei der Versuchsauswertung zu den Rechteckhohlprofilen) in den Berechnungen eine Beschränkung erfolgt. Bei den Versuchen mit kleinen Profildurchmessern von 219,1 mm führt dies dazu, dass die Vergleichsrechnungen sehr stark auf der sicheren Seite liegen. Die Betonschädigung ist dort trotz der geringen Bewehrung sehr gering, teilweise treten nicht einmal sichtbare Risse auf, s. [52]. Zu erklären lässt sich dieses gutmütige Verhalten dadurch, dass die Fundamentabmessungen im Vergleich zu den Rohrabmessungen sehr groß gewählt waren, so dass ein Teil der Kräfte über eine direkte Druckstrebe zum Joch hin abgetragen werden konnte. Vergleichbar ist dies mit dem Tragmodell für auflagernahe Einzellasten, vgl. [12]. Die Beschränkung der Resultierenden wäre somit in diesen Fällen nicht oder nur in einem geringeren Umfang notwendig gewesen. Bei den Versuchen mit sehr großen Rohrdurchmessern (323,9x10 und 406,4x12,5, vgl. [61]) hat die mangelnde Bewehrung sehr große Auswirkungen. Als weiteres Problem für die Auswertung kommt dabei hinzu, dass die jeweils gegenüberliegen-den Seiten des Fundamentblocks unterschiedlich bewehrt waren. Die beiden gegenüberliegenden Seiten müssen eigentlich im Gleichgewicht stehen, da keine Einspannung in die Haltekonstruktion erfolgt. Wenn die Traglast auf der reduziert bewehrten Seite erreicht wurde, konnte daher auf der normalbewehrten Seite daher keine nennenswerte Laststeigerung verzeichnet werden, obwohl der Fundament-körper hier noch keine Schädigung aufgewiesen hatte, vgl. Bild 6.15. Für die weiteren Auswertungen können daher nur die Traglasten der reduziert bewehrten Seite verwendet werden.

Bild 6.15 Vergleich der Betonschädigung im Grenzzustand, vgl. [61]

links: reduziert bewehrte Seite � starke Schädigung rechts: normal bewehrte Seite � keine Schädigung


Unabhängig von der sonstigen Schädigung des Betons kann in den meisten Versuchen ein halbkreisförmiger Plastizierungsbereich an der Fundamentoberfläche beobachtet werden, s. Bild 6.16, was zeigt, dass hier die größten Betonpressungen auftreten, und den Ansatz im Modell widerspiegelt, vgl. Bild 6.8. Bei Versuchen mit geringen Einspanntiefen (f < 2,0 D) ist zu beobachten, dass das Profil auf der Biegezugseite aus dem Betonkörper herausgezogen wird, so dass eine Mindest-einspanntiefe empfohlen wird, die dem zweifachen Profildurchmesser entspricht, um ein Herausdrehen des eingespannten Profils zu verhindern

min f 2,0 D= ⋅ (6.30)

Bild 6.16 Versuch-Nr. 10a: Halbkreisförmiger Betonplastizierungsbereich an der

Fundamentoberfläche [52]


In Bild 6.17 ist ein Vergleich der Versuchstraglasten mit den Modelltraglasten dargestellt. Die 5%-Fraktilwerte sind mit 1,813, 1,068 und 1,081 alle größer als 1,00, was beweist, dass das Modell auf der sicheren Seite liegt. Die kleinen Variationskoeffizienten zwischen 10% und 13% verdeutlichen ebenfalls die Güte des Modells.


Auswertung


6.5 Anwendungsbeispiele

6.5.1 Handrechenbeispiel

Anhand einer Handrechnung soll zunächst die Vorgehensweise bei der Berechnung veranschaulicht werden.

NE

My,E

Vz,E

f = ?

NE

Ro 323,9x8 (warmgefertigt) – S355

Npl,d = 2705 kN

Vpl,z,d = 955,1 kN

Mpl,y,d = 26130 kNcm

Einwirkungen:

NE = 270,5 kN

Vz,E = 95,5 kN

My,E = 22950 kNcm

Beton C 25/30

grenz c = 1,417 kN/cm2

Bild 6.18 Beispiel für Handrechnung

Modelleinordnung (vgl. Tabelle 6.3) Zunächst ist zu bestimmen, welches der beiden hergeleiteten Modelle verwendet werden muss. Dazu wird der Ausnutzungsgrad an der Einspannstelle und das Verhältnis pa / pc betrachtet. Ausnutzungsgrad an der Einspannstelle: η ≈ 0,9 ≤ 0,9 (� Modell 1) Verhältnis pa / pc (s.u.): pa / pc = 52,36 / 45,90 = 1,14 x 1,5

(� Modell 2) Es ist ausreichend, wenn eine Bedingung für Modell 1 eingehalten ist. � Modell 1 maßgebend Berechnung von grenz p (Bild 6.10) Die maximal ansetzbare Streckenlast infolge Betonpressungen p wird aus dem Minimum von pc (Beton) und pa (Stahl) bestimmt.

cp 1,417 32,39 45,90kN / cm= ⋅ =

a y,dp 2 t f 2 0,8 36 1,1 52,36 kN / cm= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

c agrenz p min(p ,p ) 45,90 kN /cm= =

6.5 Anwendungsbeispiele 133

Betonversagen (ao + au = f): Mit den oben errechneten Werten kann nun die Gleichgewichtsbedingung mit dem Du für das Betonversagen ausgewertet werden.

D 0,347 0,33 45,90 32,39 170,2 kNµ = ⋅ ⋅ ⋅ = (6.6)

( )

u

2

2

D 0,072 95,5 170,2

0,693 45,90 22950 0,356 95,5

95,5 170,2 0,072 95,5 170,2

688,0 kN

= − ⋅ − +

⋅ ⋅ + ⋅+

− ⋅ + ⋅ +

=

(6.5)

0,5 95,5f 1 32,39 11,4 cm

1,5 2 688,0 ∆ = ⋅ + ⋅ = ⋅

(6.4)

222950 1,03 95,5f 688,0 95,5 0,5 11,4 39,7cm

688,0 45,90 688,0

= + ⋅ + + ⋅ − =

(6.3)

Überprüfung Querschnittstragfähigkeit an der Stelle ao: Zum Abschluss ist die Tragfähigkeit des Stahlprofils an der Stelle ao zu überprüfen.

u z,Eo

D V 688,0 95,5a 21,1cm

0,81 grenz p 0,81 45,9

+ += = =⋅ ⋅

o EN(a ) N 497,3 kN= = (6.7)

o uV(a ) D 688,0 kN= = (6.8)

( )

( )o E

2 2

1 0,5M(a ) M 32,39 688,0 95,5

2 1,5

10,514 95,5 0,207 688,0 95,5 0,721 688,0

45,90

11134 kNcm

= − ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

=

(6.9)

� Ausnutzungsgrad: η = 0,86 < 1 Mindesteinspanntiefe:

min f 2 D 2 32,39 64,78 cm= ⋅ = ⋅ = (6.30) gewählt: f = 65 cm Mit einer Einspanntiefe von f = 39,7 cm können die Gleichgewichtsbeziehungen sowie der Nachweis der Querschnittstragfähigkeit des Stahlprofils erfüllt werden. Die Einspanntiefe muss jedoch größer gewählt werden als die Mindesteinpanntiefe, die hier maßgebend wird. Als erforderliche Einspanntiefe ergibt sich somit: f = 65 cm.


6.5.2 Auswertungen für praxisrelevante Querschnitte

Die beschriebenen Modelle werden im Folgenden auf praxisrelevante Querschnitte angewendet. In Tabelle 6.6 sind für die Kreishohlprofile aus [34] die erforderlichen Einspanntiefen dargestellt, die sich für die Lastfallkombination ME = 0,95 · Mpl und VE = 0,3 · Vpl und einen Beton C25/30 ergeben. Tabelle 6.6 Einspanntiefen f in [cm] für praxisübliche Kreishohlprofile

Profil S235 S355 Profil S235 S355 Profil S235 S355

33,7x3,2 9 12 168,3x10,0 34 44 323,9x25,0 75 100

33,7x4,0 10 14 168,3x12,5 39 51 355,6x10,0 72 72

42,4x3,2 10 13 177,8x6,3 36 36 355,6x12,5 72 72 42,4x4,0 12 15 177,8x8,0 36 39 355,6x16,0 72 78

48,3x3,2 11 14 177,8x10,0 36 45 355,6x20,0 72 90 48,3x4,0 12 16 177,8x12,5 39 52 355,6x25,0 78 103

48,3x5,0 14 18 193,7x8,0 39 41 406,4x10,0 82 82

60,3x4,0 13 17 193,7x10,0 39 47 406,4x12,5 82 82 60,3x5,0 15 20 193,7x12,5 41 54 406,4x16,0 82 82

76,1x4,0 16 19 193,7x16,0 47 62 406,4x20,0 82 95

76,1x5,0 16 22 219,1x10,0 44 49 406,4x25,0 82 109

88,9x4,0 18 20 219,1x12,5 44 56 406,4x30,0 92 122 88,9x5,0 18 23 219,1x16,0 50 65 406,4x40,0 109 145

88,9x6,3 20 26 219,1x20,0 56 75 457,0x10,0 92 92

101,6x4,0 21 21 244,5x8,0 49 49 457,0x12,5 92 92 101,6x5,0 21 24 244,5x10,0 49 51 457,0x16,0 92 92 101,6x6,3 21 28 244,5x12,5 49 59 457,0x20,0 92 99 101,6x8,0 24 32 244,5x16,0 52 68 508,0x12,5 102 102 101,6x10,0 28 37 59 78 508,0x16,0 102 102

114,3x5,0 23 25 244,5x25,0 67 89 508,0x20,0 102 103

114,3x6,3 23 29 273,0x10,0 55 55

114,3x8,0 25 34 273,0x12,5 55 61

114,3x10,0 29 38 273,0x16,0 55 71

139,7x5,0 28 28 273,0x20,0 62 82

139,7x6,3 28 31 273,0x25,0 70 93

139,7x8,0 28 36 323,9x8,0 65 65

139,7x10,0 31 41 323,9x10,0 65 65

139,7x12,5 36 47 323,9x12,5 65 65

168,3x6,3 34 34 323,9x16,0 65 76

168,3x8,0 34 39 323,9x20,0 66 87

VE

ME

NE

Voraussetzungen: Beton: C 25 / 30 fcd = 1,417 kN/cm2 Stahl: γM = 1,1 Reibung µd = 0,33

Schnittgrößen-kombination: ME = 0,95 Mpl

VE = 0,30 Vpl NE = 0

Für Drucknormalkräfte N E < 0,8 Npl und ent-sprechender Abminderung der Biegemomente ME oder der Querkräfte VE gemäß der Inter-aktionsbeziehung E-P (Tabelle 6.4) liegen die angegebenen Einspanntiefen auf der sicheren Seite .

6.5 Anwendungsbeispiele 135

Bezieht man die erforderlichen Einspanntiefen auf den Profildurchmesser, ist die Berechnung allein abhängig vom D/t-Verhältnis des Profils und vom Verhältnis der Materialfestigkeiten (fy,d / fc,d). In den Bildern 6.18.und 6.19 ist dieser Zusammen-hang für die zwei in der Praxis am häufigsten vorkommenden Fälle (Beton C 25/30 und Stahl S 235 oder S 355) dargestellt. Der Übergang zwischen Modell 1 und Modell 2 ist durch die Bedingung pa / pc = 1,5 gegeben. Man erkennt, dass das Modell 2 erst in Bereichen angewendet werden müsste, in denen die Mindestein-spanntiefe maßgebend wird, so dass für die gezeigten Materialfestigkeiten eine Berechnung mit Modell 1 immer ausreichend ist.

pa

/ p

c=

1,5

Bild 6.19 Bezogene Einspanntiefen f/D in Abhängigkeit vom D/t-Verhältnis für

Kreishohlprofile (Stahlgüte S235)


pa

/ p

c=

1,5

Bild 6.20 Bezogene Einspanntiefen f/D in Abhängigkeit vom D/t-Verhältnis für

Kreishohlprofile (Stahlgüte S355)

7 Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit behandelt das Tragverhalten von offenen und geschlossenen Stahlprofilen im Einspannbereich von Stahlbetonkonstruktionen. Die Bestimmung der erforderlichen Einspanntiefe steht dabei im Vordergrund. Dazu werden die vorhandenen Bemessungsmodelle für I-Profile vorgestellt, verglichen und hin-sichtlich ihrer Eignung beurteilt. Darüber hinaus wird das Tragverhalten des Stahlprofils im Einspannbereich untersucht und ein eigenes weiterentwickeltes Modell für die Bestimmung der Einspanntiefe von I-Profilen hergeleitet. Modelle zur Berechnung der Einspanntiefe von geschweißten Kastenquerschnitten sowie rechteckigen und kreisförmigen Hohlprofilen existieren bislang nicht. Auch bei diesen Querschnitten wird die Lastabtragung analysiert, so dass Näherungsverfahren zur Bestimmung der Einspanntiefe entwickelt werden können. Die Forschung für das Tragverhalten von I-Profilen im Einspannbereich von Stahl-betonkonstruktionen ist sehr weit fortgeschritten. Es existieren zahlreiche Berech-nungsmodelle, die sich im Ansatz der Betonpressungen am Querschnitt und ihrer Verteilung über die Stablängsachse unterscheiden. Sie werden in Kapitel 2 vor-gestellt. Es werden zwei Versagenszustände unterschieden: Betonversagen und Stahlversagen. Beim Betonversagen werden die maximal möglichen Beton-pressungen angesetzt, was zur geringstmöglichen Einspanntiefe führen würde. Wird in diesem Zustand die Grenztragfähigkeit des Stahlprofils überschritten, ist das Stahlversagen maßgebend. Bei I-Profilen stellt sich das Stahlversagen häufig durch Erreichen der plastischen Querkraft ein. Die Untersuchungen zum Tragverhalten werden im Rahmen dieser Arbeit mit Hilfe der Methode der Finiten Elemente durchgeführt. Das verwendete FE-Modell wird in Kapitel 3 vorgestellt. Es ist an das Verfahren des elastisch gebetteten Balkens angelehnt. Allerdings werden folgende Modifikationen vorgenommen:

1. Der Stab wird mit Hilfe eines räumlichen Modells idealisiert, so dass die Bettung nicht nur über die Stablängsrichtung sondern auch am Querschnitt angesetzt werden kann.

2. Die elastische Bettung wird nur bis zum Erreichen der Grenzbetonpressungen angesetzt. Darüber hinaus wird von einer idealplastischen Verformung aus-gegangen.

In Kapitel 4 werden die unterschiedlichen Annahmen der Bemessungsmodelle für I-Profile gegenübergestellt und die rechnerisch erforderlichen Einspanntiefen verglichen. Die Berechnungsmodelle von Kindmann ([40], [41]) führen zu den wirtschaftlichsten Ergebnissen. Ausschlaggebend für die sehr günstigen Ergebnisse ist die Konzentration der Betonpressungen zum oberen und unteren Ende des Einspannbereichs im Versagenszustand „Stahlversagen“. Die FE-Untersuchungen zeigen, dass sich konzentrierte Betonpressungen an den Enden des Einspannbereichs einstellen können, was mit den Modellen von Kindmann übereinstimmt. Zusätzlich


werden weitere Effekte aufgezeigt, die bei der Weiterentwicklung zu einem neuen Modell verwendet werden. Vor allem ist hier die Entstehung von Abstützkräften bei breiten schlanken Gurten zu erwähnen, die eine Vergrößerung der effektiven Breite beim Ansatz der Betonpressungen zulässt. Die Abstützkräfte erzeugen zudem zusätzliche Reibungskräfte die ebenfalls angesetzt werden. Das Verfahren wird mit Versuchsergebnissen verglichen, was zu guten Übereinstimmungen führt. Als Übergang von I-Profilen zu Rechteckhohlprofilen werden in Kapitel 5 zunächst geschweißte Kastenprofile betrachtet. Dabei wird ausgehend von 2 nebeneinander stehenden I-Profilen das oben genannte Ingenieurmodell erweitert. Anschließend werden Untersuchungen zum Tragverhalten von Rechteckhohlprofilen im Einspannbereich durchgeführt. Es zeigt sich ein Tragverhalten, das in folgenden Punkten vergleichbar mit dem von I-Profilen ist:

1. Für den Ansatz der Betonpressungen über die Stablängsachse kann das Parabel-Rechteck-Diagramm verwendet werden

2. Die maximalen Betonpressungen am Querschnitt stellen sich im Bereich der Stützung durch die Stege ein, d.h. hier im Bereich der Ausrundungen in den Querschnittsecken

3. Die Verteilungsbreite der Betonpressungen am Gurt ergibt sich aufgrund einer Fließgelenkkette mit 4 Fließgelenken

Als Besonderheit ist zu beachten, dass sich aufgrund einer Rahmenwirkung zusätzliche Betonpressungen im Bereich der Stege einstellen, die lokale Druck-normalkräfte im Gurt erzeugen. Aufgrund dieser Normalkräfte ergeben sich kleinere Verteilungsbreiten als bei I-Profilen. Es wird ein Berechnungsmodell entwickelt, das diesen Effekt berücksichtigt. Zur Vereinfachung sind die Abminderungsfaktoren für die Verteilungsbreiten für kaltgefertigte und warmgefertigte Hohlprofile für verschiedene Stahl- und Betongüten in Abhängigkeit von der Schlankheit des Gurtes (B/t-Verhältnis) angegeben. Das neue Verfahren wird mit aktuellen Versuchsergebnissen verglichen. Das Hauptlastabtragungsverhalten lässt sich anhand von Riss- und Verformungsbildern sehr gut wiedererkennen, Vergleichsrechnungen liegen auf der sicheren Seite. Da bei geringen Einspanntiefen ein Herausdrehen des Profils aus dem Betonblock auftritt, wird als Mindesteinspanntiefe die zweifache Profilhöhe empfohlen (min f = 2 · H). Abschließend werden Bemessungshilfen entwickelt, die ein einfaches Mittel zur Bestimmung der Einspanntiefe für warmgefertigte Rechteck- und Quadrathohlprofile darstellen. Die Analyse des Tragverhaltens von Kreishohlprofilen wird in Kapitel 6 durchgeführt. Im Vergleich zu I-Profilen und Rechteckhohlprofilen erfolgt die Eintra-gung der Betonpressungen in den Querschnitt im Wesentlichen über die Gewölbe-wirkung des Kreisringes. Folglich kann der gesamte Durchmesser als effektive Breite angesehen werden, und es entstehen gleichmäßige lokale Drucknormalkräfte im Kreisring . Dadurch ergibt sich lediglich eine Beschränkung der angreifenden Betondruckspannungen auf die plastische Normalkraft im Blech. Es zeigt sich, dass


die lokalen Drucknormalkräfte Auswirkungen auf die Verteilung der Betonpressung in Längsrichtung haben. Sind sie vergleichsweise gering (dicker Steg), kann das Parabel-Rechteck-Diagramm ohne Einschränkungen verwendet werden. Liegt die lokale Normalkraft im Bereich von npl darf nur ein cosinusförmiger Ansatz für die Betonpressungen in Längsrichtung angesetzt werden. Diese Fallunterscheidung führt dazu, dass zwei Modelle entwickelt werden: Modell 1: Parabel-Rechteck-Ansatz Modell 2: cosinusförmiger Ansatz Ein Vergleich mit Versuchsergebnissen führt sowohl qualitativ als auch quantitativ zu sehr guten Übereinstimmungen. Aufgrund von Herausdreheffekten wird auch hier eine Mindesteinspanntiefe empfohlen, die dem zweifachen Profildurchmesser entspricht (min f = 2 · D). Es werden wiederum Bemessungshilfen entwickelt, mit denen die erforderliche Einspanntiefe von Kreishohlprofilen für die meisten praxisrelevanten Fälle direkt abgelesen werden kann.

Literatur

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tragmodelle für offene und geschlossene stahlprofile im ... · bild 1.1b), oder das profil wird...

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