Ubungen zu Blatt 1

1.1 Die Matrix B = (bij

) ist eine m ◊ n-Matrix mit m = 3 und n = 3 und

bij

=

Y__]

__[

j fur i = 1i · j fur j > i > 10 sonst

Schreiben Sie die Matrix B an!

L¨osung: B =

Q

cca

1 2 30 0 60 0 0

R

ddb

1.2 Gegeben sind die Matrizen:

A =A

1 ≠1≠2 1

B

BT =

Q

cca

1 0≠1 2

1 ≠1

R

ddb

Berechnen Sie – wenn moglich: AT · B, B · A

L¨osung: a) AT · B =A

1 ≠5 3≠1 3 ≠2

B

, B · A nicht m¨oglich

1.3 a) Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A =

Q

cca

1 a ≠12 1 ≠1

≠1 1 3

R

ddb

b) Fur welche a œ R ist die Matrix A regular?

L

¨

osung: a) det (A) = 1 ≠ 5a; b) a ”= 15

1.4 Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A =

Q

cccca

0 1 ≠1 20 0 0 3

≠1 1 1 11 2 1 1

R

ddddb

L¨osung: 15

1

1.5 Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A =

Q

cca

2 9 ≠10 4 ≠10 0 3

R

ddb.

Welche Besonderheit konnen Sie sich hier zunutze machen?L¨osung: 2 · 4 · 3 = 24

1.6 Bestimmen Sie alle Losungen des folgenden Gleichungssystems:

2y + z = 42x ≠ y + 3z = ≠1x + 2y + 2z = 3

L

¨

osung:

Q

cca

x

y

z

R

ddb =

Q

cca

≠312

R

ddb

1.7 Bestimmen Sie die Losungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems:

x

3 ≠ 2y

5 ≠ 3z = 6

≠x

6 + 4z = ≠9

3x ≠ 3y

5 ≠ 2z = 19

L¨osung: L = {(6; 5; ≠2)}

1.8 Gegeben ist eine Matrix A und der Vektor b.

A =

Q

cca

1 ≠2 ≠1≠1 3 1

1 ≠2 a

R

ddb, b =

Q

cca

12

≠1

R

ddb mit a œ R

a) Fur welche Werte a œ R besitzt das Gleichungssystem A · x = 0 nur die trivialeLosung?

b) Fur welche Werte a œ R besitzt das Gleichungssystem A · x = b keine Losung?c) Ist es moglich, dass das Gleichungssystem A · x = b hier unendlich viele Losung

besitzt? Begrunden Sie!

L

¨

osung: a) a ”= ≠1; b) a = ≠1; c) nein

2

1.9 Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix A:

A =

Q

ccccca

1 ≠1 2 00 1 0 2

≠1 3 2 20 ≠2 1 1

R

dddddb

L¨osung: Rg (A) = 4

1.10 Gegeben sind die vier Vektoren:

a =

Q

cca

≠110

R

ddb b =

Q

cca

1≠1≠1

R

ddb c =

Q

cca

021

R

ddb d =

Q

cca

1≠2≠1

R

ddb

a) Sind die Vektoren a und b linear unabhangig?b) Sind b, c und d linear unabhangig?

L¨osung: a) ja; b) ja, z.B.: det

Q

cca

1 0 1≠1 2 ≠2≠1 1 ≠1

R

ddb = 1

1.11 Gegeben ist die folgende Matrix A mit einer Konstanten a œ R:

A =

Q

cca

1 0 11 a a

1 1 0

R

ddb

a) Fur welche a existiert die Matrix A≠1?b) Berechnen Sie fur a = 1 die Matrix A≠1!

L¨osung: a) a ”= 12 ; b) A≠1 =

Q

cca

1 ≠1 1≠1 1 0

0 1 ≠1

R

ddb

3

Ubungen zu Blatt 2

2.1 Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck:

(2n)≠3 : (2n)2

2

≠5≠n·n3

2

1≠2n·n≠4=

L¨osung:

21≠n

n12

2.2 Vereinfachen Sie die gegebenen Terme soweit moglich:

a) (≠x3y)2

(x2y3)3

:A

xy

x3y3

B≠2

= b) 4n≠14

4≠n≠14 · 2n

= c)x ≠ y

3

y ≠ x

3

: (3x ≠ y) =

L¨osung: a)

1x4y11

; b) 1; c)

13y ≠ x

2.3 Vereinfachen Sie:1

a2 + ab+ b

a3 ≠ a2b≠ b2

a4 ≠ a2b2

=

Was ist bei a, b vorauszusetzen, wenn bekannt ist, dass a und b naturliche Zahlen seinkonnen?L

¨

osung:

1a2 ≠ b2

2.4 Vereinfachen und stellen Sie mit positiven Hochzahlen dar:

ııÙ 80 · x≠2 · y3 · (x ≠ y)5 · (x · y)≠3 · (x2 ≠ y2) x4 · y2 · x≠5

· x0 =

L¨osung: 4 ·Û

x2y4

x + y

2.5 Bestimmen Sie die Definitionsmenge und losen Sie folgende Gleichungen nach der Varia-blen x auf:

3 = log2

(8x + 16) ≠ log2

(5x ≠ 2)

L

¨

osung: x = 1

4

2.6 Bestimmen Sie die Definitionsmenge und losen Sie folgende Gleichungen nach der Varia-blen x auf:

9 · 3x+1 = 812x≠1

L¨osung: x = 1

2.7 Bestimmen Sie die Definitionsmenge und losen Sie folgende Gleichungen nach der Varia-blen x auf:

Ôx ≠ 1 ≠

Ôx ≠ 3 = 1

L¨osung: D = {x œ R |x Ø 3}, x = 134

2.8 Losen Sie die folgende Ungleichung in R:

≠72x ≠ 6 Æ 1

L¨osung:

6≠Œ; ≠1

2

6fi ]3; Œ[

2.9 Losen Sie die folgende Ungleichung in R:

x

5 ≠ xÆ 8

x ≠ 2

L¨osung: L = ]≠Œ; ≠10] fi ]2; 4] fi ]5; Œ[

2.10 Losen Sie die folgende Betragsungleichung in R:

|x + |x|| Ø 2

L¨osung: [1; Œ[

2.11 Berechnen Sie:

a) 5!2! · 3! b) n!

(n ≠ 1)!

L¨osung: a) 10; b) n

5

2.12 Berechnen Sie die folgenden Summen:

a)2ÿ

j=0

j2

5 · (j + 2) b)3ÿ

k=1

(≠1)k · kk≠1 c)5ÿ

i=2

2≠2i · 3i≠2

L¨osung: a)

415 ; b) -8;

1751024

2.13 Berechnen Sie die folgenden Doppelsummen:

a)4ÿ

i=2

8ÿ

j=1

315 · i · j

4b)

4ÿ

k=1

10ÿ

i=2

110 · k2 · i

L¨osung: a)

3245 ; b) 162

2.14 Schreiben Sie folgende Summen unter Verwendung des Summenzeichens an

a) 22 + 33 + 44 + 55

b) 1 + 12 + 1

3 + 14 + 1

5 + 16

c) a + aq + aq2 + . . . + aqn≠1 + aqn

L¨osung: a)

5ÿ

i=2

11 · i; b)

6ÿ

i=1

1i; c)

n+1ÿ

i=1

a · qi≠1 =nÿ

i=0

a · qi

2.15 Wenn P und Q zwei Aussagen sind, so bedeutet P ∆ Q „P impliziert Q“ oder „aus Pfolgt Q“ oder „wenn P, dann auch Q“. Man nennt

P eine hinreichende Bedingung fur QQ eine notwendige Bedingung fur P.

Gegeben sind nun die folgenden Aussagen:A: „Die Figur F ist ein Quadrat“, B: „Die Figur F hat vier gleich lange Seiten“Welche der nachstehenden Behauptungen sind richtig?

a) A ist notwendig fur B

b) B ist notwendig fur A

c) A ist hinreichend fur B

d) B ist hinreichend fur A

L¨osung: Richtig sind: b), c)

6

2.16 Skizzieren Sie auf einer Zahlengeraden der reellen Zahlen folgende Mengen:

M1

= {x œ R | 0 < x Æ 6} M2

= {x œ N | 0 < x Æ 5} M3

= [1 ; 7] M4

= {1, 5}

a) Bestimmen Sie den Durchschnitt4‹

i=1

Mi

aller vier Mengen!

b) Bestimmen Sie die Komplementmenge von M1

fi M3

bezuglich R!

L¨osung: a) {1, 5}; b) R \ ]0; 7]

2.17 Gegeben sind die Mengen A = {a, 1, 2, 3, 4} und B = {1, 2, 3, 4}. Stimmen die folgendenAussagen und wenn nicht, wie lautet die wahre Aussage?

a) 1 œ A b) {2, 3} µ A c) {2, 3} œ B d) {2} œ A fl B

L¨osung: a) richtig; b) richtig; c) falsch; d) falsch

2.18 Zeichnen bzw. schra�eren Sie die folgende Menge in R ◊ R. Ist diese Mengen konvex?(Hinweis: Eine Menge heißt konvex, wenn sie zu je zwei beliebigen Punkten auch derenganze Verbindungsstrecke enthalt.)

M = {(x, y)|(y Æ 2 ≠ x) · (y Æ 2 + x) · (y > 0)}

2.19 Bei einer Ausschreibung werden Kenntnisse in mindestens einer der Sprachen Englisch,Chinesisch oder Russisch verlangt. Von insgesamt 90 Bewerbern konnen 30 nur Englisch,17 nur Chinesisch und 9 nur Russisch. 29 Personen beherrschen genau 2 Sprachen.

a) Wie viele Bewerber konnen alle drei Sprachen?b) Wie viele Bewerber konnen nur Chinesisch und Russisch, falls 58 der Bewerber Eng-

lisch konnen?

L

¨

osung: a) 5; b) 6

7

Ubungen zu Blatt 3

3.1 Gegeben ist die Folge an

= 12n

.

a) Zeigen Sie mit Hilfe der Grenzwertdefinition aus der Vorlesung fur ein beliebigesÁ > 0, dass 0 der Grenzwert der Folge ist.

b) Ermitteln Sie nun einen Index n (Á), von dem an alle weiteren Glieder in einer Á =0, 1-Umgebung von 0 liegen.

L¨osung: a) n >12Á

; b) ab n (Á) = 6. (a1

= 0, 5; a2

= 0, 25; a3

= 0, 167; a4

= 0, 125;

a5

= 0, 100; a6

= 0, 083)

3.2 Bestimmen Sie die Grenzwerte:

a)

limnæŒ

(2n ≠ 1)2

4n2 + n + 1 limnæŒ

8n5 + 9n3 + 9≠2n6 + 3n2

b)

limnæŒ

A2n2

n2 ≠ n

B2

limnæŒ

A2n(n + 1)

n + 2 ≠ 2n3

n2 + 2

B

L¨osung: a) 1; 0; b) 4; ≠2

3.3 Berechnen Sie, wenn moglichŒÿ

i=1

(≠1)2i ·Û

32i

91+3i

L

¨

osung:

124

3.4 Konvergieren die folgenden geometrischen Reihen? Wenn ja, was ist ihre Summe?

a)Œÿ

n=1

22n · 31≠n

b)Œÿ

j=1

5j≠1

52j+1

L¨osung: a) nicht konvergent da q = 43 ; b)

1100

8

3.5 Fur welche x œ R konvergieren die folgenden Reihen?

a)Œÿ

n=0

33x ≠ 12

4n

b)Œÿ

n=0

(x + 2)n

2

xn

L¨osung: a)

6≠1

3; 15; b) x œ [≠2; ≠1[ fi ]2; Œ [

3.6 Ein Unternehmen plant in eine Produktionsanlage zu investieren. Zum Anscha�ungszeit-punkt t = 0 fallt eine Auszahlung A von Ä 100.000.- an. Die jahrlichen (konstanten)Einzahlungen E betragen Ä 20.000. Der Zinssatz ist i = 0, 1. Verwenden Sie zur Berech-

nungA

11, 1

B5

¥ 0, 62 bzw.A

11, 1

B10

¥ 0, 39!

a) Berechnen Sie den Kapitalwert K fur das Investitionsprojekt in zwei Szenarien: DieNutzungsdauer n der Anlage betrage im ersten Szenario 5 Jahre, im zweiten 10.

b) Berechnen Sie den Kapitalwert K fur das Investitionsprojekt, wenn die Geschafts-leitung eine unendliche Nutzungsdauer unterstellt!

L¨osung: a) 1) -24.000; 2) 22.000; b) 100.000.-

3.7 Bei einem Zinssatz von r % p.a. e�ektiv werden Zinsen am Ende des Jahres gutgeschrie-ben, d.h. am Ende des Jahres werden dem Kapital K Zinsen in der Hohe von K · r

zugeschlagen. Bei einem Zinssatz von r % p.a. nominell, 2 mal (halbjahrlich) verrechnet,werden dem Kapital halbjahrlich Zinsen in der Hohe von r

2 % zugeschlagen. Welchere�ektive Jahreszinssatz ist aquivalent zu einem nominellen Zinssatz von 20 % p.a, derzweimal unterjahrig verrechnet wird?L

¨

osung: 21%

9

Ubungen zu Blatt 4

4.1 Gegeben sind die folgenden Funktionen:

i) f1

(x) =Ô

x f2

(x) = 1x

ii) f3

(x) = ln (x) f4

(x) = ex

a) Skizzieren Sie diese Funktionen ohne Erstellung einer Wertetabelle.b) Bestimmen Sie jeweils den großtmoglichen Definitionsbereich der Funktionen und

geben Sie die jeweilige Bildmenge an!c) Untersuchen Sie fur alle Funktionen anhand der Skizze Monotonie, Beschranktheit

sowie das Verhalten im Unendlichen!d) Welche dieser Funktionen sind als Abbildungen von D æ R injektiv, surjektiv,

bijektiv?

L¨osung: https://www.wolframalpha.com

4.2 Gegeben sind die folgenden Funktionen:

f (x) = 2 ≠ 13x g (x) = ≠ 1

2 · x2 + 2

a) Skizzieren Sie diese Funktionen ohne Erstellung einer Wertetabelle.b) Bestimmen Sie jeweils den großtmoglichen Definitionsbereich der Funktionen und

geben Sie die jeweilige Bildmenge an!c) Untersuchen Sie fur alle Funktionen anhand der Skizze Monotonie, Beschranktheit

sowie das Verhalten im Unendlichen!d) Welche dieser Funktionen sind als Funktionen von R æ R bijektiv?

L

¨

osung: https://www.wolframalpha.com

10

4.3 Skizzieren Sie jeweils in ein eigenes Koordinatensystem die Graphen der Funktionenf (x) = ex und g (x) = 2 · ex,f (x) = ex und h (x) = ex + 2,f (x) = ex und j (x) = ex+2,f (x) = ex und k (x) = e≠x,und beschreiben Sie, wie jeweils der Graph der Funktionen g, h, j und k aus dem Graphender Funktion f hervorgeht.L¨osung:

g entsteht durch eine Stauchung von f um den Faktor 2 in y-Richtung,

h entsteht durch Verschiebung von f in Richtung der y-Achse um zwei Einheiten nach oben,

j entsteht durch Verschiebung von f in Richtung der x-Achse um zwei Einheiten nach links,

k entsteht durch eine Spiegelung von f an der y-Achse!

4.4 Gegeben ist die Funktion:

f (x) = ln (x ≠ 1)

a) Berechnen Sie eventuelle Nullstellen und skizzieren Sie den Graphen der Funktion f.b) Bestimmen Sie deren großtmoglichen Definitionsbereich und geben Sie die Bildmenge

an!c) Bestimmen Sie nun die erste Ableitung und untersuchen Sie, ob die Funktion uber

ihrem Definitionsbereich (streng) monoton fallend bzw. steigend ist?d) Bestimmen Sie die zweite Ableitung und untersuchen Sie die Funktion auf Konvexitat

(Konkavitat) in ihrem Definitionsbereich!

L¨osung:

a)

≠1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

≠4≠3≠2≠1

1234

f(x)

0x

y

11

4.5 Gegeben ist die Funktion:

g(x) = ex≠1 ≠ 1

a) Berechnen Sie eventuelle Nullstellen und skizzieren Sie den Graphen der Funktiong.

b) Bestimmen Sie deren großtmoglichen Definitionsbereich und geben Sie die Bildmengean!

c) Bestimmen Sie nun die erste Ableitung und untersuchen Sie, ob die Funktion uberihrem Definitionsbereich (streng) monoton fallend bzw. steigend ist?

d) Bestimmen Sie die zweite Ableitung und untersuchen Sie die Funktion auf Konvexitat(Konkavitat) in ihrem Definitionsbereich!

L

¨

osung:

a) Nullstelle: x = 1, b) D = R; Im(f) = ]≠1; Œ[; c) st. m. steigend; d) konvex

≠4 ≠3 ≠2 ≠1 1 2 3 4≠2≠1

1234

f(x)

0x

y

4.6 Gegeben ist die Funktion:

f(x) =Ô

x + 3 · e≠ 1x

a) Bestimmen Sie die großtmogliche Definitionsmenge D µ R von f(x)!b) Bestimmen Sie die erste Ableitung von f und vereinfachen Sie soweit moglich!

L

¨

osung: a) D = [≠3; Œ[ \ {0}; b) f Õ (x) = e≠ 1x · (x2 + 2x + 6)2 · x2 ·

Ôx + 3

4.7 Die Nachfrage nach einem Gut unterliege folgender Preisabhangigkeit:

N (p) = 36 ≠ p2

a) Geben Sie einen sinnvollen Definitionsbereich an!b) Bestimmen Sie die Grenznachfrage allgemein und fur einen Preis von p = 4.c) Um wie viel Prozent andert sich die Nachfrage ungefahr, wenn sich der Preis, aus-

gehend von p = 4, um ein Prozent erhoht?

L

¨

osung: a) p œ [0; 6]; b) -8; c) ÁN

(p) = N Õ (p) · p

N (p) = ≠2p · p

36 ≠ p2

= ≠2p2

36 ≠ p2

, ÁN

(4) =

≠2 · 42

36 ≠ 42

= ≠3220 = ≠8

5 = ≠1, 6

12

4.8 Fur einen Monopolisten ist die Preis-Absatzfunktion p (x) = 6 ≠ 13x, Ferner kennt man

seine Grenzkostenfunktion K Õ (x) = 2x ≠ 2. Die Fixkosten betragen 9. Bestimmen Sie

a) den Term der Kostenfunktion,b) die den Gewinn maximierende Angebotsmenge,c) den zugehorigen Preis.d) Wie hoch ist in diesem Fall der maximale Gewinn?

L¨osung: a) K (x) = x2 ≠ 2x + 9; b) xú = 3; c) pú = 5; d) Gmax

= 3

4.9 Gegeben ist die Funktionf (x) = 4 · ln

1Ôx + 4 ≠ 2

2

a) Bestimmen Sie die großtmogliche Definitionsmenge!b) Wie lauten die Koordinaten des Schnittpunktes mit der x-Achse?c) In welchem Intervall ist die Funktion f streng monoton steigend?

L

¨

osung: a)Df

= ]0; Œ]; b) x = 5; c) f streng monoton steigend in ]0; Œ]

4.10 Gegeben ist die Funktion

f(x) =Ô

x ≠ 1ln(2x ≠ 4)

Bestimmen Sie die großtmogliche Definitionsmenge D µ R

L¨osung: x œ ]2; Œ[ \;5

2

<

4.11 Gegeben ist die Funktion:

f(x) =Û

x + 1x ≠ 1

a) Bestimmen Sie die großtmogliche Definitionsmenge D œ R von f(x)!b) Wie lautet die erste Ableitung von f?

L

¨

osung: a) D = ]≠Œ; ≠1] fi ]1; Œ[; b) f Õ (x) = ≠1(x ≠ 1) ·

Ôx2 ≠ 1

13

4.12 Gegeben ist die Funktionf (x) = x2 ≠ 2x ≠ 3

a) Wie lauten die Nullstellen der Funktion f?b) Bestimmen Sie die Extremstelle der Funktion f. Handelt es sich um eine Maximum

oder ein Minimum?c) In welchem Bereich ist die Funktion f streng monoton fallend, in welchem streng

monoton steigend?d) Ist die Funktion auf ihrem Definitionsbereich konvex oder konkav?e) Skizzieren Sie die Funktion und bestimmen Sie die Flache, die die Kurve mit der

x-Achse im Intervall [1; 5] einschließt.

L

¨

osung: a) x1

= ≠1, x2

= 3; b) x = 1; Minimum; c) st. m. f. in ]≠Œ; 1[, st. m .st. in ]1; Œ[;d) konvex auf ganz R; e) 16

4.13 Gegeben ist die Funktionf (x) = x · ex≠1

a) Wie lauten die Nullstellen der Funktion f?b) Wie lautet die erste Ableitung der Funktion f?c) In welchem Bereich ist die Funktion f streng monoton steigend?

L

¨

osung: a) x = 0; b) f Õ (x) = ex≠1 · (x + 1); c) st. m .st. in ]≠1; Œ[

4.14 Bestimmen Sie Extremwerte und Wendepunkte der Funktion

f (x) = x · ex

L¨osung: T3

≠1/≠1e

4, W

3≠2/

≠2e2

4

4.15 Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:

a) limxæ2

x ≠ 2x2 ≠ 4 b) lim

xæŒ

x2 ≠ x + 1x2 + x

c) limxæ2

x2

x2 + 1

L

¨

osung: a)

14 ; b) 1; c)

45

4.16 Gegeben ist die Funktion f(x) = 14x2≠x. Berechnen Sie die Flache zwischen der Funktion

und der x-Achse im Intervall [≠1; 1]!L¨osung: A = 1

4.17 Wie groß ist die Flache, welche der Graph der Funktion f (x) = 3x2

≠ 3 und die x-Achseim Intervall [1; 3] einschließen? (Hinweis: fertigen Sie eine Skizze an!)L¨osung: A = 4

14

4.18 Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale:

a)Œ

0

12 · e3≠xdx b)

Œ

2

3x2

dx

L¨osung: a)

12 · e3

; b)

32 ; c)

32ex

2

4.19 Berechnen Sie das folgende bestimmte Integral:

2ˆ≠2

3x · ex

2dx

L¨osung: 0

4.20 Bestimmen Sie:

a)ˆ

x · ln(x2) dx b)1ˆ

0

x · (x2 + 1)5 dx

L¨osung: a)

12x2 ·

1ln

1x2

2≠ 1

2+ C; b)

214

4.21 Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion

f (x) = 13x3 ≠ x2 ≠ 3x + 15

L¨osung: st. m. f. in ]≠1; 3[, st. m .st. in ]≠Œ; ≠1[ fi ]3; Œ[

4.22 Gegeben ist die folgende Kostenfunktion K(x) = x3 ≠ 14x2 + 2x + 20.

a) Bestimmen Sie die Durchschnittskostenfunktion und deren Wert an der Stelle x = 2 !

b) Das Produkt wird zu einem konstanten Preis von p = 552 abgesetzt. Bestimmen Sie

die Gewinnfunktion, die gewinnmaximale Ausbringungsmenge und den Maximalge-winn!

L¨osung:

a) D (x) = x2 ≠ 14x + 2 + 20

x, D (2) = 31

2 ;

b) G (x) = ≠x3 + 14x2 + 51

2 x ≠ 20, x = 3, G (3) = 1274

15

Ubungen zu Blatt 5

5.1 Bestimmen Sie fur die Funktion f (x, y) =Ô

4 ≠ x2 ≠ y2

y ·Ò

ln (x)die großtmogliche Definitions-

menge und skizzieren Sie diese in einem kartesischen Koordinatensystem.L¨osung:

D =Ó(x, y) œ R2

---1x2 + y2 Æ 4

2· (x > 1) · (y ”= 0)

Ô

x

y

≠3 ≠2 ≠1 0 1 2 3

≠3

≠2

≠1

1

2

3

5.2 Gegeben ist eine Funktion in zwei Variablen:

f : [0; 5] ◊ [0; 5] æ R : f (x, y) = x2 + 2xy2 + 3y

a) Bestimmen Sie die beiden ersten partiellen Ableitungen der Funktion fb) Berechnen Sie grad(f) allgemein und an der Stelle (1, 2).

L¨osung: a) fx

= 2y2 + 2x, fy

= 4xy + 3; b) grad(f)(x, y) = (2y2 + 2x, 4xy + 3),grad(f)(1, 2) = (10, 11)

16

5.3 Gegeben ist die Funktion

f (x, y) = x2 + xy + y2 + 10x + 5y

a) Bestimmen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen!b) Ist die Funktion homogen?c) Bestimmen Sie die Richtungsableitung der Funktion an der Stelle (1, 2) in Richtung

des Vektors z = (6, 8).d) Bestimmen Sie die Richtung des steilsten Anstieges der Funktion an der Stelle (1, 2).

L¨osung: a) fx

(x, y) = 2x + y + 10, fy

(x, y) = x + 2y + 5, fxx

(x, y) = 2, fyy

(x, y) = 2,

fxy

(x, y) = fyx

(x, y) = 1; b) nein; c)

df

dz= 1

|z| ·grad (f) (x0

, y0

) ·z = 110 ·(14, 10) ·

A68

B

=

16, 4; d) grad (f) (1, 2) = (14, 10).

5.4 Gegeben ist die Funktion f(x, y) = x3 + 6xy ≠ 4y2.

a) Untersuchen Sie f auf stationare Punkte.b) Wie lautet die Hesse Matrix.c) Klassifizieren Sie nun die unter a) ermittelten stationaren Punkte.

L

¨

osung:

a)

fx

(x, y) = 3x2 + 6y

fy

(x, y) = 6x ≠ 8y STP1

(0, 0), STP2

3≠3

2 , ≠98

4;

b) H =A

6x 66 ≠8

B

;

c) fxx

(0, 0) · fyy

(0, 0) ≠ [fxy

(0, 0)]2 = 0 · (≠8) ≠ 62 = ≠36 < 0, daher ist (0, 0) Sattelpunkt;

fxx

3≠3

2 , ≠98

4= ≠9 < 0 und f

xx

3≠3

2 , ≠98

4· f

yy

3≠3

2 , ≠98

4≠

5f

xy

3≠3

2 , ≠98

462

= (≠9) ·

(≠8) ≠ 62 = 36 > 0, daher ist

3≠3

2 , ≠98

4Maximum

17

5.5 Gegeben ist die Funktion in zwei Variablen

f : R2 æ R, (x, y) ‘æ1x ≠ y2

2· e≠x

a) Ermitteln Sie die stationaren Stellen von f.b) Wie lautet die Hesse Matrix.c) Klassifizieren Sie nun die unter a) ermittelten stationaren Stellen.

L¨osung:

a)

fx

(x, y) = e≠x ·1y2 ≠ x + 1

2

fy

(x, y) = ≠2y · e≠x

STP (1, 0)

b) H (x, y) =Q

a e≠x ·1≠y2 + x ≠ 2

22y · e≠x

2y · e≠x ≠2e≠x

R

b

c) H (1, 0) =A

≠e≠1 00 ≠2e≠1

B

, (0, 1) ist lokales Maximum (fxx

(1, 0) = ≠e≠1 < 0 und

det (H (1, 0)) = fxx

(1, 0) · fyy

(1, 0) ≠ [fxy

(1, 0)]2 =1≠e≠1

2·

1≠2e≠1

2≠ 02 = 2e≠2 > 0)

5.6 Betrachtet wird eine Funktion von zwei Variablen:

f (x, y) = 6y3 · xÔ

x · y≠ 12x3

a) Bestimmen Sie die großtmogliche Definitionsmenge der Funktion f.b) Ist diese Funktion homogen, wenn ja, von welchem Grad?c) Wie lautet die erste partielle Ableitung nach y? (Hinweis: Vereinfachen Sie den ge-

gebenen Funktionsterm, bevor Sie ableiten)

L¨osung: a) D =Ó(x, y) œ R2 |[(x > 0) · (y > 0)] ‚ [(x < 0) · (y < 0)]

Ô; b) ja, homogen

vom Grad 3; c) fy

(x, y) = 15x12 · y

32

5.7 Gegeben ist die Funktion

f : R2

+

æ R : f (x, y) =Ò

9x3y

a) Zeigen Sie, dass es sich um eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion handelt.b) Bestimmen Sie den Homogenitatsgrad.c) Ermitteln Sie die partiellen Elastizitaten der Funktion bezuglich beider Faktoren.d) Um wie viel Prozent steigt die Produktionsmenge naherungsweise, wenn – bei gleich-

bleibendem y – der Inputfaktor x um 2% erhoht wird?

L¨osung: a) f (x, y) = 3 · x32 · y

12; b) 2; c) Á

x

= 32 , Á

y

= 12 ; d) um n¨aherungsweise 3 Prozent

18

5.8 Betrachten Sie die Funktion f : R2 æ R mit f(x, y) = (x ≠ 3)2 + (y ≠ 2)2 + 1 uber demDefinitionsbereich [0, 7] ◊ [≠1, 5].

a) Bestimmen Sie die lokale Minimumstelle und den Minimalwert unter der Annahme,dass der Definitionsbereich R ◊ R ist.

b) Andert sich Ihre Antwort, wenn die Definitionsmenge auf den in der Angabe an-gefuhrten Bereich eingeschrankt wird?

c) Wo nimmt diese Funktion uber dem Definitionsbereich [0, 7] ◊ [≠1, 5] globale Ma-xima bzw. Minima an und wie groß sind diese? Losen Sie diese Aufgabe graphisch!

L¨osung:

x

y

≠2 ≠1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

≠2

≠1

1

2

3

4

5

6

a) Minimumstelle (3, 2), Minimumwert: 1

b) Nein

c) Maximumstellen (7, 5), (7, ≠1), Maximalwert f (7, 5) = f (7, ≠) = 26, Minimumstelle

(3, 2), Minimumwert: 1

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