Übungsbeispiel 1 1 / 2 gerade durch 2 punkte wie lautet ... · schnittpunkt wird d genannt. der...

Übungsbeispiel 1 1 / 2 Gerade durch 2 Punkte

Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA © 1999 Vektorrechnung

Wie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/1) und B(-5/8) ?

Übungsbeispiel 1 2 / 2 Gerade durch 2 Punkte


Lösung :

Der Verbindungsvektor von A nach B ist der Richtungsvektor der gesuchten Geraden.

79

14

85

abAB

Als Einstiegspunkt nimmt man entweder A oder B, hier wurde A genommen. Die Gleichung von g lautet dann :

g : 79

14

tx

Übungsbeispiel 2 1 / 2 Normale Gerade


Gesucht ist die Gleichung derjenigen Geraden, die durch A geht und die auf die Strecke

AB normal steht.

A(4/1), B(-5/8)

Übungsbeispiel 2 2 / 2 Normale Gerade


Lösung :

Der Verbindungsvektor von A nach B ist der Normalvektor der gesuchten Geraden. Daher wird die gesuchte Gerade in Normalvektorform angegeben.

79

14

85

abAB

Als Einstiegspunkt nimmt man entweder A oder B, hier A. Die Gleichung von g in Normalvektorform lautet dann :

g :79

14

79

x

oder g : -9 x + 7 y = - 29

Übungsbeispiel 3 1 / 2 Schnittpunkt von Geraden


Untersuche, ob die beiden Geraden

g : 21

51

tx und h : 37

54

sx einander schneiden und berechne

gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes.

Übungsbeispiel 3 2 / 2 Schnittpunkt von Geraden


Lösung :

Man setzt die beiden Gleichungen gleich.

21

51

t =37

54

s

Trennt man zeilenweise, so erhält man ein Gleichungssystem in den beiden Variablen s und t.

t - 7 s = -3 2 t - 3 s = 10

Die erste Gleichung wird mit 2 multipliziert und davon die 2. Gleichung subtrahiert.Man erhält dann : -11 s = -16 und daraus

1116s und nach Einsetzen in eine Gleichung

1179t .

Für den Schnittpunkt gilt dann :

111031168

37

1116

54

p

11103/

1168P

Übungsbeispiel 4 1 / 2 Schnittgerade von Ebenen


Gegeben sind die beiden Ebenen 1 : 3x – y – 8z = 3 und 2 : 2x + 5y + 6z = 2 . Berechne die Gleichung der Schnittgeraden.

Übungsbeispiel 4 2 / 2 Schnittgerade von Ebenen


Lösung :

Die erste Gleichung wird mit 5 multipliziert, man erhält dann : I : 15x – 5y – 40z = 15 II : 2x + 5y + 6z = 2 Beide Gleichungen werden addiert : 17x – 34z = 17, und nach x aufgelöst : x = 1 + 2z Setzt man dieses Ergebnis für x in eine der beiden Gleichungen ein, so erhält man für y :y = - 2z Setzt man für z den allgemeinen Parameter t ein, so gilt : x = 1 + 2t

y = - 2t z = t

oder12

2

001

tx

Diese Gleichung stellt die Schnittgerade zwischen den beiden Ebenen dar.

Übungsbeispiel 5 1 / 2 Windschiefe Gerade


Gegeben sind die beiden Geraden

g1 :32

8

316

tx , g2 : 12

3

22

1sx

Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Geraden!

Übungsbeispiel 5 2 / 2 Windschiefe Gerade


Lösung :

Die beiden Richtungsvektoren sind nicht proportional, dh. die Geraden sind entweder schneidend oder windschief.

Man setzt die beiden Gleichungen gleich, rechnet aus zwei Zeilen die beiden Parameter t

und s aus und setzt zur Kontrolle in die dritte Gleichung ein.

32

8

316

t =12

3

22

1s

1. Zeile : 6 + 8.t = 1 + 3.s 2. Zeile : 1 – 2.t = -2 – 2s 3. Zeile : -3 + 3.t = 2 – s

Aus der 3. Gleichung erhält man : s = 5 – 3.tSetzt man in die 2. Gleichung ein , so erhält man :

1 – 2.t = -2 –2.(5 – 3.t) und daraus8

13t und für s : 81s

In die erste Zeile eingesetzt ergibt das 6 + 13 = 1 + 83 , was offensichtlich eine falsche

Aussage darstellt.

Die beiden Geraden sind somit windschief.

Übungsbeispiel 6 1 / 2 Ebenengleichungen umformen


Ermittle die parameterfreie Form der folgenden Ebene :

: 923

305

731

stx

Übungsbeispiel 6 2 / 2 Ebenengleichungen umformen


Lösung :

Die Ebenengleichung wird zeilenweise zerlegt

x = -1 + 5.t –3.s y = 3 +2.s z = 7 – 3.t + 9.s

Diese Zeile nach s lösen.

Und in die erste Gleichung einsetzen.

Die letzte Gleichung wird nach t gelöst.

Die Ergebnisse für s und t werden in die dritte Gleichung eingesetzt.

Formt man die letzte Gleichung um, so erhält man : 3x – 18 y + 5z = -22

Übungsbeispiel 7 1 / 2 Normalebene


Ermittle die Gleichung der durch P gehenden Normalebene zur Geraden g und die Koordinaten des Durchstoßpunktes von g mit !

P(2/4/0), g : 3

20

321

tx

Übungsbeispiel 7 2 / 2 Normalebene


Lösung :

Der Richtungsvektor von g ist der Normalvektor von . Für die Ebenengleichung bietet sich daher die Normalvektorform an. Als Einstiegspunkt wird der Punkt P verwendet.

320

042

320

x

Die parameterfreie Form sieht dann so aus : 2 y – 3 z = 8 .

Berechnung des Durchstoßpunktes von g mit : Aus der Geradengleichung erhält man : x = 1 y = 2 + 2.t z = 3 – 3.t

Setzt man diese Werte in die parameterfreie Form der Ebenengleichung ein, so erhält man:

2.(2 + 2.t) – 3.(3 – 3.t) = 8 4 + 4.t – 9 + 9.t = 8 13.t = 13 t = 1

Dieser Wert für t in die Geradengleichung eingesetzt ergibt für den Schnittpunkt :S(1/4/0)

Übungsbeispiel 8 1/2 Skalares Produkt

Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA © 1999 Vektorrechnung

a) Verwende die beiden beigelegten Pfeile, die Verlängerung und die Schnur und erkläre damit das skalare Produkt. Schätze das skalare Produkt der beiden „Vektoren“ zu einem bestimmten Winkel ab.

b) Zeichne in ein geeignetes Koordinatensystem die Vektoren a = 27

und b = 58

.

Konstruiere die Projektion von b auf a und bestimme das skalare Produkt durch Messung und Berechnung.

c) Berechne den Winkel zwischen den Vektoren a und b

d) Betrachte die Fälle = 0o , = 90o und = 180o.Welche Werte ergeben sich für das skalare Produkt ?

Übungsbeispiel 8 2/2 Skalares Produkt


Lösungen:

a) Gib die Schlaufe über den „Vektor“ a und lege den Schaft des „Vektors“ b auf den Schaft von a . Spanne die Schnur im rechten Winkel zur Spitze von b .Du kannst nun die Länge der Projektion von b auf a bei der Schlaufe auf a ablesen. Wird der Winkel größer als 900 brauchst du die Verlängerung. Lege sie an den Schaft von a in die Gegenrichtung von a und lies jetzt die Länge der Projektion ab. Das skalare Produkt ist gleich dem Produkt von der Länge von a und der Länge der Projektion von b auf a . Muss auf der Verlängerung in der Gegenrichtung abgelesen werden, so wird das Produkt negativ.

b) Ergebnis: Länge der Projektion: a b =

c) Einsetzen in die Formel: a b = a b cos ergibt: 1320

d) = 0o : a b = a b

= 90o a b = 0

= 180o : a b = a b

Vektor a

Vektor b

Verlängerung

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Laminieren Sie zuerst dieses Blatt. Schneiden Sie dann die „Vektoren“ und die „Verlängerung“ aus. Das linke Feld dient zur Fixierung der Teile mit Hilfe einer Nadel. Gemessen werden kann von 0 bis zur Spitze des Vektors. Als „Lot“ ist eine dünne Schnur oder Faden zu verwenden, an deren einem Ende eine Schlaufe gemacht wird, die um einen Vektor gelegt wird.

Bastelvorlage zu Übungsbeispiel 08

Übungsbeispiel 9 1 / 2 Winkelberechnung


Berechne den Winkel zwischen den beiden Vektoren2

3a und

47

b ,

sowie zwischen den Vektoren 65

1a und

239

b

Übungsbeispiel 9 2 / 2 Winkelberechnung


Lösung :

Man verwendet die cos -Formelba

ba

.

.cos

47

.2

347

.2

3

cos = 164949

821 = 6513

13 = 0,477214

cos –1 (0,477214) = 63,44°oder 180° – 63,44° = 116,56° die beiden Winkel sind supplementär

239

.65

1239

.65

1

cos =498136251

12159 = 9462

6 = 0,07859

cos –1 (0,07859) = 85,49°oder 180° - 85,49° = 94,50°

Übungsbeispiel 10 1/2 Anwendung Skalarprodukt


Gegeben sind die Punkte A(-2/2/0), B(-1/0/2) und die Gerade g: x =410

+ t 1

11

.

Gesucht sind Punkte P auf dieser Geraden, so dass der Winkel PAB = 45o wird.

Übungsbeispiel 10 2/2 Anwendung Skalarprodukt


Lösung:

Eingabe: allgemeiner Vektor Punkte A und B

Eingabe der Geraden

Einsetzen in die Formel für das Skalarprodukt

Lösen der Gleichung

Berechnung der Punkte P1(1/2/3) und P2(-11/-10/15)

Übungsbeispiel 11 1/2 Linearkombination


Fünf Punkte A(4/1/2), B(2/6/3), C(- 3/2/4), P(0/0/5) und Q(3/9/-1) sind gegeben.

Man denke sich das Dreieck ABC als undurchsichtige Fläche und begründe rechnerisch,

ob P von Q aus sichtbar ist oder nicht.

Übungsbeispiel 11 2/2 Linearkombination


Lösung:

Idee: Die Gerade durch die Punkte P und Q wird mit der Trägerebene des Dreiecks ABC geschnitten. Der Schnittpunkt wird D genannt.

Der Vektor AD wird als Linearkombination der Vektoren AB und AC dargestellt:

AD = t AB + s ACSind die Bedingungen 0<t<1 , 0<s<1 und 0< s + t <1 erfüllt, so liegt D innerhalb des Dreiecks ABC. (Führe den Beweis mit Hilfe des Strahlensatzes!)

Eingabe: Punkte A, B, C, P, Q allgemeiner Vektor xv

Gleichung der Trägerebene aufstellen:

Bestimmen des Normalvektors

Gleichung der Ebene Eingabe der Geraden durch die Punkte P und Q

Berechnung des Schnittpunktes: Punkt der Geraden in die Ebene einsetzen

Schnittpunkt: S(1/3/3)

Darstellung der Linearkombination

Parameter t und s aus zwei Gleichungen berechnen (3. Gleichung wird erfüllt, da der D in der Ebene liegt)

s = 1/3 und t = 1/3 , daher liegt D im Dreieck; P ist von Q aus nicht sichtbar

Übungsbeispiel 12 1/2 Winkelsymmetralen


Stelle die Gleichungen der Winkelhalbierenden der Geraden g: 3x – 4y + 2 = 0 und

h: 5x + 12y – 1 = 0 auf.

Welchen Winkel schließen die Winkelhalbierenden eín ?

Übungsbeispiel 12 2/2 Winkelsymmetralen


Lösung:

Mit xv wird der allgemeine Vektor yx

bezeichnet

Der Teil ( x - p ) n 0 der Geradengleichung wird unter g bzw. h abgespeichert.

Setzt man nun diese beiden Ausdrücke gleich, so liefert der Rechner kein schönes Ergebnis.

Da man für die Symmetriegeraden (Winkelhalbierenden) die Beträge zu subtrahieren hat, ergeben sich zwei Gleichungen. (Siehe Theorie: Winkelhalbierende)

Ergebnis: 14x – 112y +31 = 0

64x + 8y + 21 = 0 (Kopfrechnen!)

Die beiden Winkelhalbierenden sind normal zueinander. (Führe den Beweis, dass das immer so ist !)

Übungsbeispiel 13 1/2 Projektion im R2, Abstand Punkt- Gerade


Gegeben ist die Gerade g durch den Punkt A (6/4) und durch den

Richtungsvektor r =43

und der Punkt P (-9/-1).

Projiziere die Strecke AP auf die Gerade g. Gib die Projektion in einer Vektordarstellung an. Trage von A aus diesen Vektor ab. Welcher Punkt ergibt sich ?

Projiziere die Strecke AP auf einen Normalvektor mit der Länge 1 LE der Geraden. Welche Bedeutung hat diese Zahl ?

Fertige eine Skizze an und überprüfe die Ergebnisse.

Übungsbeispiel 13 2/2 Projektion im R2, Abstand Punkt- Gerade


Lösungen:

Eingabe der Punkte

Berechnung der Projektion mit Hilfe des Skalarprodukts

Länge der Projektion: 13 LE , Richtung entgegengesetzt zu rProjektionsvektor

Schnittpunkt der Normalen zu g durch P mit der Geraden g

Abstand des Punktes P von der Geraden g

Normalvektor eingeben

Berechnung der Länge der Projektion: - 9 = 9 ist wieder der Abstand; das negative Vorzeichen

besagt, dass der Normalvektor nicht in die Halbebene hineinzeigt, in der der Punkt P liegt.

Übungsbeispiel 14 1/2 Abstandsberechnung


Welche Punkte auf der Geraden g: x = 121

320

t haben von den Ebenen

E1: 2x + 2y + z +1 = 0 und E2: 2x – y + 2z – 1 = 0 gleiche Abstände ?

Übungsbeispiel 14 2/2 Abstandsberechnung


Lösung:

Abspeichern der Geraden unter g(t)

Eingabe des allgemeinen Vektors xv

Zur Erinnerung: Die Ebene wird günstigerweise in der Form( x - a ) n = 0 eingegeben

Für x wird die Gerade (richtig: Punkt der Geraden), für n wird der Einheitsvektor n 0 eingegeben Zur Erinnerung: Der Betrag von ( p - a ) n 0 ergibt den Abstand eines Punktes P von der Ebene E1; dieser wird unter d1 abgespeichert

Gleiches Verfahren mit der 2. Ebene

Die Abstände werden gleichgesetzt Mit g(7) erhält man den Punkt (-7/16/4),mit g(-11/5) erhält man den Punkt (2.2/-2.4/-5.2)

Übungsbeispiel 15 1/2 Flächeninhalt, Abstand Punkt- Gerade im R3


Die Punkte A(2/3/2), B(1/5/4) und D(1/-1/1) bestimmen ein Parallelogramm ABCD.

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms. Wie lang ist die Höhe auf die Seite AB ?

Entwickle aus der vorhergehenden Rechnung ein Verfahren, um den Abstand des

Punktes D von der Geraden durch A und B zu ermitteln ?

Übungsbeispiel 15 2/2 Flächeninhalt, Abstand Punkt- Gerade im R3


Lösung:

Eingabe der Punkte

Der Betrag des vektoriellen Produkts der Vektoren

AB und AD entspricht der Maßzahl des Flächeninhalts

Fläche : Seitenlänge = Höhe

Wähle ein Parallelogramm, dessen Seite auf der Geraden g die Länge 1 hat.unitv(b-a) ist der Einheitsvektor der Geraden g.

Der Betrag des vektoriellen Produkts der Vektoren

AD und r 0 entspricht der Maßzahl des Flächeninhalts und damit der Höhe im Parallelogramm und das ist die gesuchte Höhe.

Übungsbeispiel 16 1/2 Projektion, Spiegelung einer Geraden


Stelle eine Parametergleichung der Geraden auf, die durch Spiegelung der Geraden

x =62

3 + t

511

an der Ebene x – 2y + z – 1 = 0 hervorgeht.

Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch Projektion der Geraden auf die Ebene hervorgeht ?

Übungsbeispiel 16 2/2 Projektion, Spiegelung einer Geraden


Lösung:

Eingabe: Punkt A und Richtungsvektor rv der Geraden, Punkt P und Normalvektor nv der Ebene, allgemeiner Vektor xv

Eingabe: Gerade g(t), Normale h(s) zur Ebene durch A Bestimmung des Schnittpunkts SP der Geraden g mit der Ebene

h(-2) ergibt den Projektionspunkt AP von A. Die Projektionsgerade ist durch die Punkte APund SP bestimmt. (Richtungsvektor kürzen!)

x =

421

+ t

412

h(-4) ergibt den Spiegelpunkt AS von A. Die Spiegelgerade ist durch die Punkte ASund SP bestimmt.

x =

261

+ t

111

Übungsbeispiel 17 1 / 2 Abstand windschiefer Gerader


Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden g und h. Berechne ihren kürzesten Abstand, sowie die Fußpunkte der Verbindungslinie !

g :1

30

59

1tx , h :

334

488

sx

Übungsbeispiel 17 2 / 2 Abstand windschiefer Gerader


Lösung :

Man bestimmt eine Ebene , die g enthält und die zu h parallel ist. Der Normalvektor auf ist dann der Vektor hgn , wobei g und h die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind.

Die beiden Richtungsvektoren werden eingegeben.

Normalvektor von .Die Ebene wird in Normalvektorform dargestellt.

Die Gleichung der Ebene lautet dann : 3x + 2y +6z = 15.

Um den Abstand der beiden Geraden zu bestimmen, berechnet man nun den Abstand eines Punktes von h von der Ebene .Als Punkt auf h nimmt man zweckmäßig den Punkt P(8/8/4) – den Einstiegspunkt von h.

Damit wird der Abstand berechnet.

Der gesuchte Abstand ist 7.

Zur Bestimmung der Fußpunkte berechnet man eine Ebene , die die Gerade h enthält und die auf normal steht. Diese Ebene wird dann mit g geschnitten.

Der Normalvektor auf ist dann der Vektor hn , wobei n der Normalvektor auf ist und h der Richtungsvektor der Geraden.

Normalvektor auf .Darstellung der Ebene in Normalvektorform.

Setz man di eGerade in die Eben ein, so erhält man für den Parameter t den Wert 4. Für den Fußpunkt auf g ergibt sich dann Fg(1/3/1).

Den Fußpunkt auf h erhält man aus dem Normalvektor n und der Länge d = 7. Fh = Fg - 7*n0 = (4/5/7) (zur Kontrolle des Vorzeichens überprüft man, ob der Punkt tatsächlich auf h liegt)

Übungsbeispiel 1 1 / 2 gerade durch 2 punkte wie lautet ... · schnittpunkt wird d genannt. der...

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