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Unternehmensfinanzierung Wintersemester 2011/12Prof. Dr. Alfred Luhmer

V. Investitionsrechnung II

Methodenvergleiche – Annuitätenmethode – Investitionsketten – Beziehung zur Kostenrechnung –

Payoff-Kriterium – Interne Rendite – Methoden für Situationen der Kapitalrationierung

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Thema dieser Vorlesung Vergleich unterschiedlicher Vorteilhaftigkeitskriterien, die in der

Praxis Verwendung finden.Wir beschränken uns auf Kriterien auf der Basis von gegebenen

diskontierten Cash Flow-Schätzungen und untersuchen, in welchen Problemsituationen sie geeignet sind und was sie in diesen Situationen bedeuten.• Kriterien, die auf Ergebnissen der kaufmännischen Erfolgsrechnung aufbauen

und auf Diskontierung verzichten, lassen sich teilweise als Spezialfälle der hier behandelten Kriterien interpretieren, bei denen der Diskontierungszinsfuß null ist. Unterschiede im zeitlichen Anfall spielen dann keine Rolle, wenn sie alle Cash Flows während der Projektdauer betrachten und deren Summe mit der Summe der Beiträge des Projekts zum Erfolg übereinstimmen.

• Dies ist ein Postulat an die kaufmännische Erfolgsrechnung. Es fordert, dass alle Unterschiede zwischen Cash Flows und Periodenerfolgen sich im kaufmännischen Rechnungswesen als Vermögensbestände oder Verbindlichkeiten niederschlagen müssen, die sich am Ende der Lebensdauer aufgelöst haben. Die Summe von Einnahmen minus Ausgaben ist dann gleich der Summe der Cash Flows vermindert um die Anschaffungsausgabe des Projekts. In der amerikanischen Literatur wird dieses Postulat als „Clean Surplus Accounting“ bezeichnet. (Das Postulat ist übrigens in der IFRS-Rechnungslegung nicht erfüllt.)

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Operative EntscheidungenOperative Entscheidungen, z.B. die Annahme

oder Ablehnung eines Großauftrags haben oft langfristige finanzielle Konsequenzen, erfüllen also die Definition der Investition.So kann z.B. die Annahme eines Großauftrags im

Straßenbau die Kosten und die Nutzungsdauer des vorhandenen Maschinenparks beeinflussen.

Es erhebt sich daher die Frage nach den „Kosten“ des Maschineneinsatzes für einen solchen Großauftrag.

Wir betrachten ein stark vereinfachtes Beispiel.

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Beispiel 1 Marco Busse ist Reiseunternehmer. Sein einziges Anlagegut ist

ein luxuriöser Reisebus. Marco erwartet eine durchschnittliche jährliche Laufleistung seines Busses von 100 Tkm.

Bei Inbetriebnahme und von da an jährlich sind 3 T€ für Steuer und Versicherung zu zahlen.

Am Ende jeden Jahres der Nutzungsdauer des Busses (auch bevor der Bus verkauft wird) erfolgt eine Inspektion zur Gewährleistung der Betriebssicherheit (erwartete Kosten: 5 T€).

Alle 40 Tkm ist eine Reparatur zu erwarten: die Reifen sind zu erneuern, die Bremsanlage und die Luftfederung zu überholen (Kosten 12 T€).

Wenn der Bus 5 Jahre alt wird oder am Ende des Nutzungsjahres, in dem er einen km-Stand von 500 000 erreicht, will Marco ihn ersetzen (Kaufpreis des Ersatzfahrzeugs: 300 T€, Resterlös 80 T€).

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Beispiel 1 – Forts. Marcos vorhandener Bus ist gerade 2 Jahre alt und 150

000 km gelaufen. Seit der letzten Reparatur (Reifen, Bremsen, Federung) hat er 25 000 km hinter sich gebracht. Marco kann folgenden Auftrag übernehmen: beginnend in einem Jahr ist zwei Jahre lang im Auftrag einer Fluggesellschaft eine Busverbindung zwischen Innenstadt und Flughafen zu bedienen. Das hätte eine Zunahme der jährlichen Laufleistung um 50 Tkm zur Folge. Man bestimme die Anlagenkosten dieses Zusatzauftrags, in Geldeinheiten zum Zeitpunkt der Erfüllung des Auftrags (d.h. in 3 Jahren). Der Kalkulationszinsfuß betrage 10% p.a.

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Ansatz Annahme: Am Ende der Nutzungsdauer des bei Ende des Zusatzauftrages

vorhandenen Busses erfolgt der Ersatz unter Annahme der normalen Bedingungen (ohne Zusatzauftrag).

Drei Schritte:1. Bestimmung des Barwerts eines Ersatzbusses bei normaler

Inanspruchnahme.2. Bestimmung des Barwerts der Ersatzkette.3. Bestimmung des Barwerts der gesamten Investitionskette

a. mitb. ohneZusatzauftrag. Die Differenz der Barwerte, aufgezinst auf den Abrechnungszeit-punkt des Zusatzauftrags, ist ein Maß für die anlagenabhängigen Kosten des Zusatzauftrags. Da der vorhandene Bus vor Ende des Zusatzauftrags 500 000 km erreicht, müssen die Cash Flows des ersten Ersatzbusses noch unter Berücksichtigung des Zusatzauftrags geplant werden. Die identische Ersatzkette beginnt erst mit dem zweiten Ersatzbus in der Reihe.

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Äquivalentes Vorgehen1. Bestimmung der zu dem Barwert der identischen

Ersatzkette äquivalenten Annuität z.2. Planung der Zahlungsreihen der ersten beiden Busse

a. mitb. ohne Zusatzauftrag.

3. Auffüllen der Perioden der kürzeren Zahlungsreihe mit , bis beide Zahlungsreihen dieselbe Länge haben.

4. Die Differenz der Barwerte der so modifizierten Zahlungsreihen, aufgezinst auf den Abrechnungszeit-punkt des Auftrags, entspricht ebenfalls den anlagenbedingten Kosten des Zusatzauftrags.

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Bedeutung der Annuität Ist eine Anlage für eine dauerhafte Aufgabe

ausgelegt, so ist die zum Barwert der Zahlungsreihe äquivalente Annuität ein Maß für die planmäßigen durch die Aufgabe verursachten jährlichen entscheidungsrelevanten Anlagenkosten.

Diese Kosten sind konstant, auch wenn die Betriebskosten der Anlage im Lauf der Zeit steigen.Das ist sinnvoll, da die planmäßigen Kosten der

Aufgabenerfüllung nicht vom Zustand der Anlage abhängen sollten.

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Beispiel 2Eine dauerhaft im Betrieb benötigte Maschine

hat Anschaffungskosten von A = 100 000 €. Die Betriebskosten im ersten Jahr betragen B = 20 000 €. Sie steigen von Periode zu Periode um w = 10%. Der Kalkulationszinsfuß r betrage 10% p.a. Wann sollte die Maschine durch eine identische

neue ersetzt werden?Wie hoch sind die Maschinenkosten pro Jahr?

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Ansatz Bezeichne

C(T) den Barwert eines Kettenglieds der Nutzungsdauer TB(T) den Barwert der gesamten InvestitionsketteR = 1/(1 + r) den Diskontierungsfaktor

Nach dem Erneuerungsargument gilt:B(T) = C(T) + B(T)RT, also B(T) = C(T)/(1 – RT)Diese Funktion lässt sich leicht in Excel darstellen und die

optimale Nutzungsdauer T* bestimmen.• Da die Betriebskosten mit der Zeit exponentiell steigen, ist ein

lokales Minimum auch das globale Minimum. Die am Ende jedes Jahres der Produktionsabteilung zu

belastenden Maschinenkosten sind dann die zu äquivalente nachschüssige Annuität: z = rB(T*).

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zu Beispiel 2R T r w

0,909 0,1 0,1T A G B

100 1001 20 118,18 13002 22 136,36 785,713 24,2 154,55 621,454 26,62 172,73 544,95 29,28 190,91 503,616 32,21 209,09 480,097 35,43 227,27 466,838 38,97 245,45 460,09

→ 9 42,87 263,64 457,78→ 10 47,16 281,82 458,65

11 51,87 300 461,8912 57,06 318,18 466,97

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 3 6 9 12

Bemerkung: Die optimale Nutzungsdauer ist überschritten, wenn die Betriebskosten höher sind als Zinsen zum Kalkulationszinsfuß r auf den Kettenbarwert B(T). (→)

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„Ersatzregel“ Es gilt allgemein:

Wenn C(T+1) > rB(T+1), dann führt eine Verkürzung der Nutzungsdauer um eine Periode zu einer Senkung der Kosten.Diese Regel ist Ergebnis folgender Differenzbetrachtung:Das Hinausschieben des Nutzungsdauerendes um eine Periode

bewirkt aus Sicht von t = 0 eine Kostenänderung von: C(T+1) RT+1 – B(T) RT + B(T+1) RT+1

= [C(T+1) – B(T)/R + B(T+1)] RT+1

> [C(T+1) – B(T+1)/R + B(T+1)] RT+1, da B(T+1) > B(T) = [C(T+1) – B(T+1)(1+ r) + B(T+1)] RT+1

= [C(T+1) – r B(T+1)] RT+1

(*) Das bedeutet: wenn (*) > 0, dann nehmen bei einer

Verkürzung der Nutzungsdauer auf T die Gesamtkosten ab.

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AnnuitätenvergleichZum gleichen Ergebnis führt ein direkter

Vergleich der zu dem Barwert des einzelnen Kettenglieds äquivalenten Annuität:

z(T) = rG(T)/(1 – RT)Es gilt: Die Annuität des Kettenglieds stimmt

mit der Annuität der Kette überein:rG(T)/(1 – RT) = rB(T)

(siehe auch die letzte Spalte von Ersatzregel.xlsx)

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Andere Kriterien (auf der Basis diskontierter Cash Flows)

Amortisationsdauer („Payoff-Methode“)Interne RenditeProfitabilitätsindex

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AmortisationsdauerDefinition: Der früheste Zeitpunkt, zu dem die

kumulierten diskontierten Cash Flows die Anschaffungskosten übersteigen.In der Praxis wird oft die Amortisationsdauer beim

Kalkulationszinsfuß null betrachtet.Payoff-Kriterium: Nur solche Investitionsprojekte

werden akzeptiert, bei denen die Amortisations-dauer eine vorgegebene Zeitspanne Tmax nicht überschreitet.

Prüfung des Payoff-Kriteriums:Erfüllt, wenn der Kapitalwert der bei Tmax abgeschnittenen

Zahlungsreihe der Investition positiv ist.

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Diskussion Das Payoff-Kriterium widerspricht dem Postulat des vollständigen

Alternativenvergleichs. Es kann das Kapitalwertkriterium nicht ersetzen, es ist auch nicht „strenger“ als

dieses. Es kann nämlich sein, dass es negative Cash Flows abschneidet, die nicht vermeidbar

sind, so dass es bei negativem Kapitalwert erfüllt ist. Sieht man von diesem Fall ab, so ist das Payoff-Kriterium Ausdruck der (oft

kritisierten) kurzsichtigen Haltung des Managements. Notwendige langfristig wirksame Investitionen unterbleiben. Darin liegt eine

Existenzgefährdung des Unternehmens. Tmax muss willkürlich festgelegt werden.

Die Amortisationsdauer kann bei Projekten mit lauter positiven erwarteten Cash Flows als Instrument von Risikobetrachtungen in Frage kommen, wenn die Dauer in der die Investition positive Cash Flows liefert, nur mit großer Unsicherheit prognostiziert werden kann, z.B. wenn der Markteintritt eines potentiellen Konkurrenten die Aussichten der Investition zunichte zu machen droht. Dann bietet sich die folgende stochastische Variante der Payoffmethode an.

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Stochastische Amortisationsdauer Nimmt man an, dass infolge eines zufälligen Ereignisses, das in

jeder zukünftigen Periode mit derselben Wahrscheinlichkeit (1 – p) eintritt und die Folge der geplanten positiven Cash Flows beendet, dann kann man einen erwarteten Kapitalwert wie folgt berechnen:

Multipliziere den geplanten Cash Flow der Periode t mit der Wahrscheinlichkeit, dass er noch eintritt.Diese Wahrscheinlichkeit ist in der ersten Periode p. In der zweiten

Periode tritt der Cash Flow nur ein, wenn das Ereignis in der ersten und in der zweiten Periode nicht eintritt, das ist mit der Wahrscheinlichkeit p² der Fall. Entsprechend erhält man für den Cash Flow der t-ten Periode pt.

Die Berechnung des erwarteten Kapitalwerts läuft dann darauf hinaus, den Diskontierungsfaktor R durch pR zu ersetzen.

Man wird verschiedene Werte für p betrachten, um sich ein Bild von dem Risiko des vorzeitigen Endes der Investition zu machen.

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Interne RenditeDies ist die wichtigste Alternative zum

KapitalwertkriteriumEs ist in der Praxis sehr beliebt und intuitiv

ansprechendEs basiert ausschließlich auf den Cash Flow

Schätzungen und ermöglicht es, ohne Kalkulationszinsfuß auszukommen

Definition: Die interne Rendite ist der Zinsfuß, zu dem der Kapitalwert der betrachteten Zahlungsreihe null wird.Problem: Ist dieser Zinsfuß eindeutig? Was tun, wenn es

mehrere Zinsfüße gibt die diese Eigenschaft haben?

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Reguläre Investition Bei einer regulären Investition schneidet die Kurve der

kumulierten Zahlungen die Abszissenachse genau einmald.h. wenn man Auszahlungen als Kapitalbindung und

Einzahlungen als Kapitalfreisetzung interpretiert, dann kehrt eine reguläre Investition nicht mehr in den Bereich positiver Kapitalbindung zurück, wenn sie diesen einmal verlassen hat.

Eine reguläre Investition hat eine eindeutig bestimmte Rendite. (Carl J. Norström, A Sufficient Condition for a Unique Nonnegative Internal Rate of Return, Journal of Financial and Quantitative Analysis 7 #3, pp. 1835-39, June 1972, siehe auch Zeitschrift für betriebswirtschaftliche Forschung 1990, 107-118) Diese hinreichende Bedingung ist weniger anspruchsvoll als die in der

Literatur üblicherweise wiedergegebene, die besagt, dass „Normalinvestitionen“, d.h. Investitionen deren Zahlungsreihe nur ein Zeichenwechsel aufweist, eine eindeutige interne Rendite haben.

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Caveat #1Eine höhere interne Rendite ist nicht

gleichbedeutend mit einem höheren Kapitalwert; auch bei Schulden ist die interne Rendite typischerweise positiv und je höher desto niedriger der Kapitalwert.

364%50500,1000,1364%50500,1000,1

%10@10

BA

NPVIRRCCProjekt

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Regel für reguläre InvestitionenIst die interne Rendite einer regulären

Investition größer als der Kalkulationszinsfuß, dann ist der Kapitalwert für alle Kalkulationszinsfüße kleiner als die interne Rendite positiv.Der Vorteil dieser Regel besteht darin, dass der

Kalkulationszinsfuß nicht genau bekannt sein muss, um eine Aussage über die Vorteilhaftigkeit der Investition zu erhalten. Da der Kapitalkostensatz oft sehr schwer zu bestimmen ist, ist dieser Vorteil erheblich.

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Beispiel 3 Petru Bundrum hat den Zuschlag erhalten für ein Stück Autobahn durchs

Gebirge. Er kann für 30 mio. RON ein für den Auftrag günstig gelegenes Betonkiesvorkommen erwerben. Da die Autobahn durch ein Naturschutzgebiet gehen soll, rechnet Petru damit, dass seine Arbeiten erst in 7 Jahren beginnen werden. Heute in 15 Jahren muss das Gelände nach besonders hohen Standards des Naturschutzes rekultiviert sein.

Transport- und Materialkostenersparnis durch das Kiesvorkommen:

Renaturierungskosten

Die folgende Folie zeigt den Kapitalwert der Investition als Funktion des Kalkulationszinsfußes:

Jahr 7 Jahr 8 Jahr 9 Jahr 10 Jahr 1120 Mio. 60 Mio. 90 Mio. 75 Mio. 20 Mio.

Jahr 12 Jahr 13 Jahr 14 Jahr 1560 Mio. 75 Mio. 70 Mio. 40 Mio.

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0.250.20.150.10.050

15

10

5

0

-5

-10 Die Kapitalwertfunktion hat offenbar zwei Nullstellen: r1 < 1.37% und r2 > 19.9%

Konsequenzen:1. Der Kapitalwert ist positiv für alle Kalkulationszinsfüße

zwischen diesen beiden Werten2. Die interne Rendite kann als ein Break-even-Konzept

interpretiert werden. Sie trennt Bereiche für den Kalkulationszinsfuß, in denen die Investition vorteilhaft ist von solchen, in denen das nicht der Fall ist.

Beispiel 3

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Alternative Projekte Man kann – auch für reguläre Investitionen – nicht behaupten,

dass die Investition mit dem höheren Kapitalwert im Bereich der Zinsfüße, für die der Kapitalwert positiv ist, stets die höhere interne Rendite aufwiese.Das würde bedeuten, dass sich die Kapitalwertkurven von regulären

Investitionen nicht schneiden könnten. Die Kurven können sich sogar mehrfach schneiden.

Die intuitive Praxisregel, die Investition mit der höheren internen Rendite vorzuziehen, ist nicht gerechtfertigt. Das liegt allein schon daran, dass die interne Rendite gleich bleibt,

wenn man alle Zahlungen mit derselben positiven Konstante multipliziert, während der Kapitalwert proportional zu dieser Konstante ist.

Ist die interne Rendite trotzdem auch zum Alternativenvergleich nützlich?

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DifferenzinvestitionenMan kann die Kapitalwertkurve der Differenz

A – B zweier Zahlungsreihen A und B betrachten, die dem Prinzip des vollständigen Alternativen-vergleichs genügen.

Dann wird man Bereiche für den Kalkulations-zinsfuß beobachten, in denen der Kapitalwert der Differenz positiv ist und andere, in denen er negativ ist. Wo der Kapitalwert von A – B positiv ist, ist A vorzuziehen, dieser Kapitalwert negativ ist, B.Wieder hilft die Idee, dass die interne Rendite ein

Breakeven-Konzept ist. Man benötigt nicht einen exakten Kapitalkostensatz, sondern nur eine Schätzung, in welchen Bereich er sich befindet.

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Diskussion Was die interne Rendite aber nicht leisten kann, ist die

Überwindung der Annahme des vollkommenen Kapitalmarkts, dass ein einheitlicher, über die Investitionsdauer konstanter Kapitalkostensatz existiert, mag er auch nicht genau bekannt sein.

Ist diese Annahme nicht wenigstens in vernünftiger Approximation gültig, bleibt für Vorteilhaftigkeits-überlegungen der Vergleich von Endwerten, analog zum Endbestand eines Bankkontos (Vorlesung 1, Seite 16-17).Dabei können nicht nur unterschiedliche Zinssätze für positiven

und negativen Kapitalbedarf berücksichtigt werden, sondern auch Zinssatzunterschiede zwischen Perioden, z.B. in Abhängigkeit von der Finanzlage des Unternehmens insgesamt.

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Profitabilitätsindex (PI)Definition:

Kapitalwert/AnschaffungsauszahlungAnwendungssituation

In der Betrachtungsperiode herrscht Kapitalrationierung, d.h. der Finanzrahmen des Unternehmens ist unscharf begrenzt.

Das Investitionsprogramm der Periode hat keine Nachwirkungen auf den Finanzrahmen der Folgeperioden.

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Beispiel 4 Eine Geschäftseinheit erhält von der Zentrale jährlich

Investitionsmittel in Höhe von maximal 10 Mio. €. Der Kalkulationszinsfuß ist 10%. Folgende Projektvorschläge stehen zur Debatte:

B + C > A aber: A + D > B + C

3.013604004.21215552.31620551.22153010

%10@210

DCBA

PINPVCFCFAProjekt

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Beispiel 5 Investitionsbudget: 300 Projekte:

Proj NPV A0 PI A 230,000 200,000 1.15 B 141,250 125,000 1.13 C 194,250 175,000 1.11 D 162,000 150,000 1.08

Entscheidungsregel: Wähle die Projektkombination mit dem höchsten gewichteten Durchschnitts-PI.

08.1300250

30015008.1

30012513.1:

12.130017511.1

30012513.1:

77.03001000

30020015.1:

BD

BC

A

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Endwertmaximierung mit LP Das Problem der Investitionsprogrammplanung (auch unter Berücksichtigung von

zeitlichen Interdependenzen) lässt sich exakt als lineares Programmierungs-problem mit Null-Eins-Variablen formulieren.

Jedem Projekt ist eine Variable zugeordnet, die den Wert 1 annimmt, wenn das Projekt durchgeführt wird, null sonst.

Jede Spalte der Strukturmatrix ist einem Projekt zugeordnet und enthält die Cash Flows dieses Projekts für alle Perioden.

Weitere Spalten erfassen Finanzanlagen, die nicht benötigte Mittel zum Zinssatz der Periode für eine Periode anlegen. Jeder Finanzanlage ist eine nichtnegative reelle Variable zugeordnet.

Für jede Periode bringt eine Zeile der Strukturmatrix die Bedingung zum Ausdruck, dass die Mittelverwendung, d.h. die Summe der Cash Flows aller Projekte und Finanzanlagen der Periode nicht größer sein darf als der extern verfügbare Mittelbetrag.

Die letzte Zeile der Strukturmatrix definiert als Zielgröße die Summe aller Cash Flows der letzten Periode und den Rückfluss aus der Finanzanlage.

Die Lösung solcher Probleme geschieht mit Hilfe von Optimierungssoftware. Für kleinere Beispiele reicht der Excel-Solver.

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… für modifiziertes Beispiel 4

binär 0(eine Periode wurde angefügt, in der Projekt C noch einen Cash Flow von 10 beisteuert)

Finanzanlage zum Zinssatz0,1 0,1 0,1 Mittel- Exogener

A B C D t = 0 t = 1 t = 2 verwendung Cash Flowt = 0: -5 -5 -5 0 -1 0 0 -10 -10t = 1: 30 5 5 -40 1,1 -1 0 -10 -10t = 2: 5 20 15 60 0 1,1 -1 -10 -10t = 3: 0 0 10 0 0 0 1,1 115,05 = Endvermögen

Programm: 1 0 1 1 0 5 95,5

Investitionsprojekte

Strukturmatrix

Werte der Entscheidungsvariablen

Matrixprodukt: Strukturmatrix

×Vektor der

Entscheidungsvariablen (als Spalte geschrieben)

Begrenzungs-vektor

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Übungsaufgaben1. Ioana überlegt für 5 Millionen RON ein Lagerhaus auf dem Nachbar-

grundstück zu bauen. Das würde die jährlichen Transport- und Lager-kosten für die nächsten 10 Jahre um je 1.5 Millionen RON vermindern. Es geht allerdings das Gerücht, irgendwann in der nächsten Zukunft werde das Grundstück wahrscheinlich für den Autobahnbau benötigt. Der Kalkulationszinsfuß sei 12%. Ihr fachlicher Rat ist gefragt.

2. Zusätzlich zu den Informationen in Aufgabe 1 erfahren Sie, dass Ende des Jahres eine Volksbefragung zu dem Autobahnprojekt stattfinden soll. Man nimmt an, dass das Projekt wohl mit 50% Wahrscheinlichkeit abgelehnt werden wird. Man weiß aber, dass die Befürworter des Projekts nicht nachgeben werden, sondern zu dem Projekt ein Jahr später nochmals eine Befragung anstrengen werden, die das Projekt wieder mit 50% Wahrscheinlichkeit ablehnen wird, usw.

a. Man bestimme die Folge der erwarteten Cash des Lagerhauses.b. Wenn Ioana den erwarteten Kapitalwert maximieren möchte, wie sollte sie

entscheiden?

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3. Ein Projekt das für die nächsten 9 Jahre jährlichen Cash Flows von 14 Mio. RON bringen soll, hat Anschaffungskosten von 70 Mio. RON heute. Ist es vorteilhaft, wenn der Kalkulationszinsfußa. 10%,b. 18% beträgt?c. Bei welchem Kalkulationszinsfuß wäre man indifferent zwischen Annahme

und Ablehnung?

4. Ein Abteilungsmanager hat folgende beiden alternativen Projektvorschläge A und B ausgearbeitet:

a. Man bestimme den internen Zinsfuß jedes der beiden Projekte. Welche Entscheidungskonsequenzen folgen daraus?

b. Welches Projekt verdient bei einem Kalkulationszinsfuß von 11% den Vorzug?c. Man bestimme für beide Projekte den Bereich des Kalkulationszinsfußes, in dem es

dem anderen vorzuziehen ist.d. Man bestimme den internen Zinsfuß der Differenzinvestition B – A. Was sehen Sie?

t = 0 1 2 3 4CF (A)CF (B)

-34-34

16.55

1410

1018

619