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Verwendete Formelzeichen und Symbole

Den Formelzeichen und Symbolen ist jeweils eine Dimension im technischen Maßsystem zugeordnet. Es treten dabei die Grundgrößen Länge [L), Zeit [T] und Kraft [F] auf. Bei den Formelzeichen, deren Dimension problemabhängig ist, ist ein Stern aufgeführt. Haben die Elemente eines Vektors oder einer Matrix unterschiedliche Dimensionen, so werden diese getrennt durch ein Semikolon aufgeführt.

Allgemein verwendete Symbole

Symbol Dimension Beschreibung

Vektor

Matrix

Größe einer Matrix mit n Zeilen und m Spalten

Element einer Steifigkeitsmatrix aus der Zeile Ui

und Spalte Vj

Elementnummer i

Knotennummer j

310 Verwendete Formelzeichen und Symbole


Cm cm_ Variationsproblem

Skalarprodukt

V für alle

Doppelt skalares Produkt

x Kreuzprodukt

V' 1 Nabla-Operator im kartesischen Koordinaten L

V'T * Vektorfeld

V'iI * Dyadisches Feld

V'Ll Nabla-Operator in Dreieckskoordinaten

Ll 1 Laplace-Operator V

.1 1 Vektor mit zweiten Ableitungen in kartesischen V Koordinaten

LlLl Hessematrix in Dreieckskoordinaten

.1Ll 1 Vektor mit zweiten Ableitungen in Dreieckskoor-V dinaten

0 Variationssymbol {) 1 partielle Ableitung {)x L

d 1 Totale Ableitung dx L

1. 1 Differentialoperator in kartesischen Koordinaten L

1.Ll 1 Differentialoperator in Dreieckskoordinaten L

11 1100 Maximumnorm

11 Betrag; Determinante

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Indizes


9 globales Koordinatensystem

Nummer eines Elementes oder Knotens

x L x-Achse

y L y-Achse

z L z-Achse

Superskripte


(j)

R

Elementnummer

Lastfall j

Reaktionsgröße

Lateinische Buchstaben


A

AL::.

A

b

e

E

EI

f j

Ansatzkoeffizienten

Fläche

Fläche eines Dreieckselementes

Mittlere Fläche

halbe Bandbreite

Fehler

E-Modul

Biegesteifigkeit des Balkens

Verhältnis H / L

lineare, unabhängige Funktionen

311



Ff F Federkraft

iFxj F Schnitt kraft in x-Richtung des Elementes i am Knoten j

RFxj F Auflagerreaktion in x-Richtung am Knoten j

9

H,h

I

k

L,l

m

M

p

p

p

q

q

Q

F L

L

FL

FL

FL

FL

FL

*

F V

F

F L F

TL

FL T F T

Beschleunigung

Höhe

Flächenträgheitsmoment

Federsteifigkeit; Stabsteifigkeit

Längen

Masse

Moment am Knoten i aus einer Streckenlast

Moment

Torsionsmoment

Schnittmoment des Elementes i am Knoten j um die z-Achse drehend

Auflagerreaktion in Form eines Momentes am Knoten j

i-te Formfunktion von N

Menge der natürlichen Zahlen

Konvergenzordnung; Anzahl Nachkommastellen

Flächenlast

Längskraft

Streckenlast

Wärmestromdichte

punktförmiger Wärmest rom

bezogener, punktförmiger Wärmest rom am Knoten j vom Element i kommend

Verwendete Formelzeichen und Symbole 313


Q F auf die Dicke bezogener, punktförmiger Wärmestrom T

Qi F Kraft am Knoten i aus einer Streckenlast T

lR Menge der reellen Zahlen

Ski L Kantenlänge eines Dreieckselementes zwischen den Knoten kund i

t L Scheibendicke; Plattendicke

T grd Temperatur

Tu grd Umgebungstemperatur

U,V,W L Verschiebungen

V L3 Volumen

W L Durchbiegung

Wi Gewichtungsfaktoren

x,y,z L Globales Koordinatensystem

x,y,z L Lokales Koordinatensystem

Vektoren


Ö Nullvektor

a Vektor der Koeffizienten der Ansatzfunktion

aa * Durch Randbedingungen bestimmte Koeffizienten

ab * Unbekannte Koeffizienten

b F Vektor der Volumenkräfte V

13 1 Dehnungs-Verschiebungs-Vektor L

ex,y,z Basisvektor jEinheitsvektor

F F;FL Vektor der äußeren Belastungen

F FL Vektor der punktförmigen Wärmequellen T


Symbol

jp

§

i At

IV p j5

j5

if

if R i1

-w

w

Dimension

FL T FL T FL T

F; FL

L T2

F

* F v: F

L

F L FT L

F

L

L

* Lo_ ,

Lo_ ,

L--,

L

*

Beschreibung

Vektor infolge Wärmequellendichte tJ>

Vektor infolge des Wärmeüberganges

Vektor infolge des Wärmeüberganges auf den Rändern

Schnittgrößen des Elementes j

Beschleunigungsvektor

Vektor mit Dreieckskoordinaten

Momentenvektor der Platte

Normalenvektor

Vektor der Formfunktionen

Vektor der Randspannungen

Vektor der Bodenkräfte

Punkt der Biegelinie des Balkens

Vektor der Streckenlasten

Wärmestromdichte

Vektor infolge inhomogener Randbedingungen

Verschiebungsvektor

Verformungsvektor des Scheibenelementes

Verformungsvektor des Elementes j

Vektor der Knotenverformungen des zweidimensionalen Balkenelementes in globalen Koordinaten

Verformungsvektor des zweidimensionalen Balkenelementes in lokalen Koordinaten

Vektor der Koordinaten der Ansatzfunktionen

Aufpunktvektor

Dehnungsvektor

Vektor der Lagrange Multiplikatoren



X Vektor der Eigenwerte

iJ F Spannungsvektor L2

T F Schubspannungsvektor V

i * Vektor der skalaren Knotengrößen

Matrizen/Tensoren


Q Nullmatrix

AT * Transponierte Matrix

A- 1 * Inverse Matrix

A * Koeffizientenmatrix

B 1 Dehnungs-Verschiebungs-Matrix L

B * Koeffizientenmatrix

Q * Matrix zur Verknüpfung von kartesischen und Drei-eckskoordinaten

C * obere Dreiecksmatrix

C * Koeffizientenmatrix

D F Werkstoff tensor vierter Stufe L2

D * Diagonalmatrix

D F Werkstoffmatrix L2

D F Matrix der Wärmeleitfähigkeiten Tgrd

~ Dehnungstensor

E Einheitsmatrix

Q * Matrix mit Ableitungen von Formfunktionen

J Jakobi-Matrix


Symbol

K

K E

Kc

K g

K w

K k

K B

k

N

P

Dimension

F r F L2

F D

* FL

Tgrd

FL Tgrd

F r F r

L"-,

* * *

1 L2

Beschreibung

Steifigkeitsmatrix

elastische Steifigkeitsmatrix

geometrische Steifigkeitsmatrix

Gesamtsteifigkeitsmatrix

Wärmeleitungsmatrix

Konvektionsmatrix

Steifigkeitsmatrix des Bodens

Steifigkeitsmatrix in einem lokalen Koordinatensystem

Matrix der Formfunktionen

Matrix mit Formfunktionen

Matrix mit Formfunktionen

Matrix mit den Ableitungen von Formfunktionen

Spannungstensor

Transformationsmatrix

Koeffizientenmatrix

Matrix zur Verknüpfung von .1 und .14

Griechische Buchstaben


Cl: F Wärmeübergangskoeffizient T Lgrd

Cl: Winkel

r L Integrationsgrenze

c Dehnung

e Verdrehung

x Konditionszahl



K 1 Krümmung L

..\ F Wärmeleitfähigkeit Tgrd

V Querkontraktion

€ Natürliche Koordinate

II * Gesamtpotential

IIF FL Formänderungsarbeit

IIa FL Potential der äußeren Kräfte

p FT2 Materialdichte L4

(Jii F Normalspannung V

(Jij F Schubspannung V

'P Verdrehung oder Richtungswinkel

</> * Skalare Potentialgröße

</> * Näherungsfunktion

cf> F Wärmequellendichte 'f'L'I

n L2 Fläche

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Sachverzeichnis

CO-Problem, 83, 220 Qomputer~lgebra-fu'steme (CAS), 273

Ansatzfunktion, 84 - dreiknotiges Scheibenelement, 172 - zweiknotiger Balken, 118 Ansatzkoeffizienten, 84 Aufgabe - Balkenelement mit Gelenk, 131 - Balkensystem, 164 - eindimensionaler Balken, 130 - Erhöhung der Anzahl Balkenelemen-

te, 130 - Scheibenproblem I, 189 - Scheibenproblem II, 189 - Stab-Balkenproblem, 165 - Winkel als Balkenproblem, 165 - Wärmeleitungsproblem I, 248 - Wärmeleitungsproblem II, 249 - zweidimensionales Stabproblem, 110 Aufiagerreaktionen, 94

Balken - Biegelinie, 161 - Dehnungen, 114 - eindimensional, 283 - - Beispiel, 283, 289 - elastisch gelagert, 146 - Funktional, 116 - mit Gelenk, 131 - Rahmen, 298 - Spannungen, 114 - Tonti-Diagramm, 115 - zweidimensional, 153 Balkenelement, 113 - n Knoten, 136 - p Freiheitsgrade, 136 - Ansatzfunktion, 136, 142 - Dehnungs-Verschiebungs beziehung,

138 - Diskretisierung, 119

- drei Freiheitsgrade pro Knoten, 142 - eindimensional, 113, 288 - Formfunktion, 117, 138, 139, 143 - Funktional, 119 - Interpolationsbedingung, 118, 137 - Momentenverlauf, 125 - Querkraftverlauf, 125 - Schnittgrößen, 124, 139, 141, 144 - Steifigkeitsmatrix, 122, 138, 140, 143 - Streckenlast, 123, 139, 141, 144 - zweidimensional, 153 Balkentheorie - Einschränkungen, 113 - Voraussetzungen, 113 Bandbreite, 39 - halbe, 39 - minimale, 41 Bandstruktur, 39 Beispiel - eindimensionaler Balken, 126 - eindimensionaler Stab, 87 - elastisch gelagerter Balken, 148 - Fachwerk, 3 - lineares Problem, 8 - nicht lineares Problem, 9 - Scheibe, 183 - zur Volumenkraft, 179 - zur Wärmeleitung, 243 - zweidimensionaler Balken, 159 - zweidimensionaler Stab, 106 - Zylinderauge, 3 Belastungsvektor, 90 Bernoulli-Balken, 192 Bernoulli-Hypothese, 113 Biegelinie, 113 - des Balkens, 161

Cholesky, 42

Dehnung, 257 - Balken, 114

324 Sachverzeichnis

- zweidimensionaler Balken, 153 Dehnungs-Verschiebungs-Matrix, 174 Dehnungs-Verschiebungsbeziehung, 52,

255 Dehnungsfeld, 52 Dehnungstensor - Green'sche, 256 Dehnungszustand - ebener, 168 Determinante, 15, 264, 267 Diagonalmatrix, 45 Differentialgleichung

Euler-Lagrang'sche, 30, 31 - gewöhnliche, 54 - partielle, 54 Differentialoperator, 21, 52 Diskretisierung - Funktional, 31, 234 Divergenz, 17 DKT,279 Dreieck - gleichseitiges, 303 - Pascal'sche Dreieck, 72 Dreieckselement, 244, 249 Dreieckskoordinaten, 32, 181 Dreiecksplattenelement, 201 Drillwinkel, 250 Dyade, 27, 36, 120 - bei der Wärmeleitung, 235 - beim Scheibenelement, 176

dyadisches Produkt, 155

EDV, 1 Eigenform, 264, 269 Eigenwerte, 268 Eigenwertproblem, 24, 264 Eingabegrößen, 281 Einheitsdyade, 26 Einheitsverschiebung, 84 Einzelkraft - beim Scheibenelement, 175 Einzelsteifigkeitsmatrix, 93, 163 Elastizitätsmodul, 52, 83 Elastostatik, 23 Elektrische Leitung, 220 Element - Auflistung, 4-7 - Balkenelement - - eindimensional, 113 - - zweidimensional, 153 - Plattenelement, 5 - Schalenelement, 6 - Scheibenelement, 167

- Stabelement, 3 - - dreidimensional, 103, 111 - - eindimensional, 83 - - zweidimensional, 103 - Tetraederelement, 9 - Viereckselement, 3 - Vierecksplattenelement, 5 Elementknotenzuordnung, 88 Elementkoordinatensystem, 103 Eulerfall - I, 267 - I, II, III, IV, 270

Faktorisierung, 42 Feder, 87 Fehlerabschätzung, 47 Feld - dyadisches Feld, 23 - Skalarfeld, 22 - Vektorfeld, 22 Feldgleichungen, 53 Feldproblem, 219, 293, 303 Flächenlast - Platte, 209 Formelzeichen, 309 Formfunktion, 257 - Ableitung, 119 - Balken - - eindimensional, 117 - - zweidimensional, 153 - Dreieckselement, 171 - Platte, 206 - Stab - - eindimensional, 84, 99, 100 Formänderungsarbeit, 116, 258 - Balken, 261 - Diskretisierung, 63, 67 Freiheitsgrade - Balkenelement - - zweidimensional, 153 - Dreieckselement -- Wärmeübertragung, 234 - Scheibenelement, 171 - Stabelement - - eindimensional, 83 Fundament, 146 Funktional, 29 - Balken, 116

Platte, 198 - Scheibe, 170

Stab,82 stationärer Wert, 60

Funktionaldeterminante, 36

Gesamtbelastungsvektor , 93 Gesamtpotential, 258 - Balken, 66 - Scheibenproblem, 71 - Stab, 63 Gesamtsteifigkeitsmatrix, 90 - DirektersteIlung, 92 Gleichgewicht - am Knoten, 92 - im Stabelernent, 87

indifferent, 263 in~tabiles, 263 stabiles, 263

Gleichgewichtsbedingung, 54 Gleichgewichtsbeziehung, 193 Gleichung - charakteristische, 24, 267 Gleichungssystem

homogenes, 24, 264 - Kondition, 44 - lineares, 39, 90 Gleitkommazahlen, 44 Gleitmodul, 250 Gradient, 16

Hauptdehnungen, 25 Hintransformation, 25 Hook'sches Gesetz, 85, 115

Integration - in Dreieckskoordinaten, 36 Inversion, 29

Kastenquerschnitt, 279 kinematische Beziehung, 55 Knicken - Balken, 263, 291, 292 - Stab, 263 Knoten, 83 Knotenkräfte - aus Streckenlasten, 124, 158 - aus Volumenkräften, 177 Knotenmomente - aus Streckenlasten, 124, 158 Knotennummerndifferenz, 39 Knotentemperaturen, 224 Knotenverformungen, 90 Knotenverschiebungen, 173 - Scheibe, 183 Koeffizientenmatrix, 44 Kompatibilität, 199 Konditionszahl, 44 Konformitätsbedingung, 199 Konvektion, 234

Sachverzeichnis 325

Konvektionsmatrix, 226, 238, 245 Konvergenztest - Plattenelement, 211 Koordinaten - kartesische, 33 Kraftrandbedingung, 164

Laplace-Operator, 17

Mantelfläche, 224 Matrix - Addition, 18 - Einheitsmatrix, 18 - Jakobi, 34

Multiplikation mit einem Skalar, 19 Multiplikation zweier Matrizen, 19

- orthogonale, 20, 105, 156 - positiv definite, 41

quadratische, 18 - symmetrische, 18 - transponierte , 20 Maximumnorm, 48 Maßsystem, 309 Momentenvergleich, 130 Momentenverlauf - Balken, 125

Navier'sche Gleichung, 54 Netzwerksgenerator, 9 Nichtlinearität - geometrische, 255 - Material, 255 Näherungsfehler, 47 Näherungsfunktion, 59

Oberflächentemperatur, 248

Platte - Ansatzfunktion, 203 - Biegemoment, 194 - Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung,

194 - Durchbiegung, 192 - Funktional, 198 - Gesamtpotential, 198

Gleichgewichtsbeziehung, 196 Grundbeziehungen, 192

- Interpolationsbedingungen, 204 - Kinematische Größen, 193 - Kirchhoff, 192 - Krümmungs- Momentenbeziehung,

194 - Krümmungs-Verschiebungs beziehung,

208

326 Sachverzeichnis

- Lagerungsarten, 198 - 11onlentenvektor, 195 - Randbedingungen, 197 - Schubspannung, 194 - schubstarr, 199 - Schubverfornlung, 192 - Stoffgleichung, 194 - Verdrehungen, 193 Plattenelenlent, 291 - Anforderungen, 199 - KOnlpatibilität, 199 Plattengleichung, 196 Plattensteifigkeit, 196 Potential - der Streckenlast, 116 - der äußeren Lasten, 116 - des 11onlentes, 116 Potentialströnlung, 220 Produkt - dyadisches, 21, 23, 65 Progranlnldaten, 280, 283, 284, 287,

290,293

Querkontraktion, 52 Querkraftvergleich, 130 Querkraftverlauf - Balken, 125

Randbedingung - Auflager, 127 - inhonlogene, 64 - nach Cauchy, 233 - nach Dirichlet , 233 - natürliche, 52, 89 - wesentliche, 60, 69, 117 - Wärnleleitung, 233 Randspannungen, 53 Reaktionskraft, 110 Rechenzeit, 41 Ritz - Ansatzfunktion, 60 - Balken - - eindinlensional, 282 - Balkenproblenl, 66 - Randbedingungen, 60, 73 - Scheibe, 284

Beispiel, 76, 285 - - Fornländerungsar beit, 74 - - Streckenlast, 76 - Scheibenproblenl, 71 - - Verschiebungsansätze, 72 - Stab - - eindinlensional, 280

- Stabproblenl, 63 - Verfahren, 59 Rundungsfehler, 44 Rücktransfornlation, 25, 265 Rückwärtselinlination, 42

Schale - Überlagerung, 213 - Freiheitsgrade, 213 - kOnlplanarer Knoten, 215 - Scheibe und Platte, 213 - Transfornlationen, 216 Schalenelenlent - dreiknotig, 214 Scheibe - Dehnungen, 74 - Spannungen, 74 Scheibenelenlent, 167 Scheibenproblenl, 300 - Ansatzfunktion, 172 - Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung,

173 - Dehnungsfeld, 169 - Feldgleichungen, 169 - Funktional, 170 - Gleichgewichtsbeziehung, 170 - Grundgleichungen, 168 - Interpolationsbedingungen, 172 - Kinenlatische Beziehungen, 169 - Randbedingungen, 170 - Spannungs-Verschiebungs-Beziehung,

174 - Spannungsfeld, 169 - Stoffgleichungen, 169 - Verschiebungsfeld, 168 Schnlierölfilnl, 220 Schnittgrößen, 108 - Balken, 163 - Fehler, 128 - Vorzeichen, 125 Schreibweisen, 13, 51 Schubspannung, 306 Schubverfornlungen, 113 Seifenhautanalogie, 250 Sickerströnlung, 220 Sinlulation, 1 Spannung - Balken, 114 - Scheibe, 182 Spannungsfunktion, 250, 305 Spannungsvektor - Scheibe, 183 Spannungszustand

- ebener, 168 Stab - Beispiel, 87 - eindimensional, 61 - - Beispiel, 281, 287 - Funktional, 82 - - Diskretisierung, 83 - Gleichgewichtsbeziehung, 81 - Grundbeziehungen, 80 - Kinematische Beziehungen, 80 - Randbedingungen, 81 - Stoffgleichung, 80 - Tonti-Diagramm, 80 - zweidimensional, 103 Stabelement - n Knoten, 98 - Ansatzfunktion, 84, 98 - Auflagerreaktionen, 92, 109 - Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung,

85, 100 - dreidimensional, 103, 111 - dreiknotig, 100 - Eigenschaften, 79 - eindimensional, 79, 286 - Formfunktionen, 84, 99 - Gesamtsteifigkeitsmatrix, 107 - Interpolationsbedingung, 98 - Schnittgrößen, 92 - Steifigkeitsmatrix, 100 - Stoffgesetz, 85 - Variable Querschnittsfläche, 96 - Variation des Funktionals, 85 - Verschiebungsansatz, 84 - vierknotig, 100 - zweidimensional, 103 Stabknicken, 264 Stabproblem, 295 Stabsystem - ebenes, 295 Starrkörperbewegung, 199, 200 Steifezahlverfahren, 146 Steifigkeitsmatrix - Boden, 147 - Dreiecksscheibenelement, 175, 177 - eindimensionaler Balken, 122 - eindimensionaler Stab, 86 - elastische, 259 - geometrische, 259, 262, 265 - globale, 105

Platte, 208 Transformation, 156 zweidimensionaler Balken, 154 zweidimensionaler Stab, 105

Sachverzeichnis 327

Stoffgesetz, 54 Stoffmatrix, 222, 224 Streckenlast - eindimensionaler Balken, 113, 123 - Platte, 209 - Scheibenelement, 175 - Umrechnung in Knotenkräfte, 185 - zweidimensionaler Balken, 158

Temperatur, 305 Temperaturgradient, 243 Temperaturvektor, 247 Temperaturverteilung, 249 Tensor - Dehnungen, 51 - höherer Stufe, 22 Tonti-Diagramm - allgemeine Form, 48 -- Bernoulli-Balken, 115 - Elastostatik - - schwache Form, 55 - - strenge Form, 53 - Feldproblem, 220 - Kirchhoff-Platte -- schwache Form, 198 -- strenge Form, 192 - Scheibenproblem, 168 - Stab, 80 Torsion, 220 - Funktional, 252 - gleichseitiges Dreieck, 303 - prismatische Körper, 249 Torsionsmoment, 306 Transformation "- lineare, 25 Transformationsmatrix, 265

Umgebungstemperatur, 222, 224 Untermatrix - der Gesamtsteifigkeitsmatrix, 185

Variation, 30 - des diskretisierten Funktionals, 121 - erste, 30 - Funktional der Wärmeleitung, 241 - Funktional des Scheibenproblems,

175 - stationärer Wert, 121 Vektor - Ableitung, 16 - Basisvektoren, 15 - Kreuzprodukt, 15 - Nabla-Vektor, 16 - Randspannungen, 51

328 Sachverzeichnis

- Skalarprodukt, 14 - Volumenkräfte, 51 Verdrillung, 307 Verformungsvektor, 90 Verschiebung, 84 Verschiebungsansatz, 61, 257 Verschiebungsfeld, 23, 52 Verschiebungsvektor, 51 - Scheibe, 183 Volumen kraft , 52, 175 Volumenmodellierer, 9 Vor konditionierung, 45 Vorwärtselimination, 42

Wärmeftuß, 231, 247 Wärmeisolation, 234 Wärmeleitfähigkeit, 224, 244 Wärmeleitung, 235 Wärmeleitungsmatrix, 242, 244, 245 Wärmequelle, 224, 249 - punktförmig, 222, 237 Wärmequellendichte, 243, 246, 248 Wärmestromdichte, 234, 246, 306 Wärmeübergang - gleichseitiges Dreieck, 303 Wärmeübergangskoeffizienten, 224 Wärmeübergangsvektor , 240 Wärmeübergangszahl, 222 Wärmeübertragung - eindimensional, 223 - zweidimensional, 233 Wärmeübertragungsproblem - Funktional, 223

Zugblech, 183 Zugspannungen, 187 zweidimensionales Balkenelement, 157

Maple-Programme

Balken_1D, 136, 275, 288

Feldprobleme_2D, 233, 275, 293 FEM_CAS, 274, 276, 296, 298 FEM_Grafik, 274

InterFEM, 213, 274, 279

Knicken.Balken, 263, 275, 291 Konvert, 275

Platte, 275, 291

Ritz.Balken, 66, 275, 282 Ritz.Bcheibe, 71, 275, 284 Ritz.Btab, 63, 275, 280

Scheibe.-Dreieck, 171, 275, 290 Stab_1D, 98, 275, 286

verwendete formelzeichen und symbole - link.springer.com978-3-662-07240-0/1.pdf · v' 1...

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