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Vorkurs Informatik SoSe 16Algorithmen 1

Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe, 23.03.2016

Technische Universität Braunschweig, IPS

Institut für Programmierungund Reaktive Systeme

Inhaltsverzeichnis

Der Algorithmusbegriff

Darstellung von Algorithmen

Programmablaufplan DIN66001-1966

Struktogramme

Sortieren

23.03.2016 Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 2Vorkurs Informatik SoSe 16 Institut für Programmierung

und Reaktive Systeme

Überblick




Struktogramme

Sortieren



Der Algorithmusbegriff – Handlungsvorschriften

Viele Dinge im Leben werden nach einem festgelegtem Schemadurchgeführt. Diese Schemata regeln, welche Schritte mit welchenObjekten in welcher Reihenfolge (beispielsweise nacheinander,wiederholt oder bedingt) gemacht werden.

Beispiel: Wie heben Sie Geld am Geldautomaten ab?

Von der Handlungsvorschrift zum Algorithmus. . .



Der Algorithmusbegriff – Rezept für Vanillekipferl

200g Mehl

250g Butter

180g Zucker

200g fein gemahlene Mandeln

1 Päckchen Vanillezucker

Zubereitung:

Aus den Zutaten einen Teig kneten. Eine etwa walnussgroße MengeTeig in der Hand rollen und ein Hörnchen formen. Diese nicht zudicht auf ein mit Backpapier ausgelegtes Blech legen und imvorgeheizten Backofen bei schwacher Hitze (ca. 150 ◦C) für ca.10-15 Minuten goldbraun backen.

Solange sie noch warm sind mit einem Gemisch aus 1 TassePuderzucker und 1 Päckchen Vanillezucker bestäuben.

Abkühlen lassen und in einer gut verschließbaren Doseaufbewahren.

Handlungsvorschrift Vanillekipferl I

Implizit können wir dem Rezept folgende Handlungsvorschriftentnehmen:

Nimm eine Schüssel

Fülle 200g Mehl hinein

Fülle 250g Butter hinein

Fülle 180g Zucker hinein

Fülle 200g fein gemahlene Mandeln hinein

Fülle 1 Päckchen Vanillezucker hinein

Knete den Inhalt der Schüssel, bis ein glatter Teig entsteht

Forme aus walnussgroßen Stückchen Teig kleine Hörnchen und legesie auf ein mit Papier ausgelegtes Blech



Handlungsvorschrift Vanillekipferl IISchalte den Backofen auf 150 ◦C

Warte 10 Minuten

Schiebe Blech in den Backofen

Stelle eine Mischung aus einer Tasse Puderzucker und einerPackung Vanillezucker her

Warte 10-15 Minuten bis Vanillekipferl goldbraun

Nimm Blech aus dem Backofen heraus

Bestäube die warmen Kipferl mit Mischung aus Puder- undVanillezucker



Intuitives Algorithmenverständnis

Gegeben sei ein „Problem“ oder eine „Problemklasse“

Ein Algorithmus ist eine Handlungsvorschrift zum „Lösen“ desProblems, wobei

die Handlungsvorschrift erkennbar einen Anfang und ein Ende1 hat,

aus einzelnen Schritten besteht, für die jeweils klar ist, was mit welchenDingen zu tun ist

und die Reihenfolge der Schritte festlegt.

Ein Problem, für dessen Lösung ein Algorithmus existiert, heißtberechenbar.

1Die Beschreibung ist ein endlicher Text, die Ausführung der Handlungsvorschriftdagegen muss nicht enden.



Vanillekipferl als Algorithmus I

Nimm eine Schüssel

Fülle 200g Mehl hinein




Fülle 1 Päckchen Vanillezucker hinein

Knete den Inhalt der Schüssel, bis ein glatter Teig entsteht

Forme aus walnussgroßen Stückchen Teig kleine Hörnchen und legesie auf ein mit Papier ausgelegtes Blech



Vanillekipferl als Algorithmus IISchalte den Backofen auf 150 ◦C

Warte 10 Minuten

Schiebe Blech in den Backofen

Stelle eine Mischung aus einer Tasse Puderzucker und einerPackung Vanillezucker her

Warte 10-15 Minuten bis Vanillekipferl goldbraun

Nimm Blech aus dem Backofen heraus

Bestäube die warmen Kipferl mit Mischung aus Puder- undVanillezucker



Der Algorithmusbegriff – Ein Algorithmus?

„Engagement, Teamgeist und das permanente Streben nachPerfektion sind wichtige Bausteine unseres Erfolgs undPhilosophie. Mit technologischer Kompetenz und Innovationskraftbringt XX bewegende Ideen auf die Straße. Der schnellsteSportwagen der Welt, das größte und stärkste Diesel-Aggregat,das je in einen PKW eingebaut wurde oder das sparsamsteAutomobil aller Zeiten sind nur einige Beispiele, wie XX mittechnischen Revolutionen neue Maßstäbe setzt.“



Beispiele für Algorithmen

Koch- und Backrezepte

Bedienungsanleitungen (z.B. für Handys)

Notenfolgen zum Musizieren

Waschmaschinenprogramme

Sortierverfahren

Abfolge in Produktionsstraßen

Berechnungsverfahren:ggT bestimmen

Funktionen ableiten



Der Algorithmusbegriff – Präzisierung

Ein Algorithmus ist eine wohldefinierte Rechenvorschrift, die eine(eventuell leere) Menge von Eingaben verwendet und eine Mengevon Ausgaben erzeugt.

Ein Algorithmus ist also eine Abfolge von Berechnungsschritten, diedie Eingabe in die Ausgabe umwandelt.

Der Algorithmus muss durch einen endlichen Text in einerwohldefinierten Sprache beschrieben sein.

Die Objekte der Berechnung müssen klar sein.

Die elementaren Operationen müssen mechanisch ausführbar sein.

Die Reihenfolge der Operationen muss feststehen.



Überblick




Struktogramme

Sortieren




Man kann einen Algorithmus beispielsweise alsTextPseudocode oder in einer Programmierspracheals Flussdiagramm (Programmablaufplan)Struktogramm (Nassi-Shneiderman-Diagramm). . .

darstellen.Im Rahmen dieses Vorkurses werden wir Struktogramme nachNassi-Shneiderman verwenden, wie sie auch in DIN 66261festgelegt sind.Ein aus verschiedenen Strukturblöcken zusammengesetzteStruktogramm ist im Ganzen rechteckig, d.h. genauso breit wie seinbreitester Strukturblock.



Überblick




Struktogramme

Sortieren



Programmablaufplan DIN66001-1966 – Sinnbilder

Sinnbild Benennung und Bemerkung

02.04.2014 | Vorkurs Informatik – Algorithmen 1 | Seite 13

Sinnbilder:

Sinnbilder für Programmablaufplan nach DIN66001-1966

Sinnbild Bennenung und Bemerkung

Operation, allgemein (process)

Verzweigung (decision)

Unterprogramm (prefdefinedprocess)

Ein- und Ausgabe (input/output)



Sinnbilder:









Sinnbilder:







Unterprogramm (predefined process)


Sinnbilder:










Programmablaufplan DIN66001-1966 – Sinnbilder

Sinnbild Benennung und Bemerkung


Sinnbilder:



Schleifenbegrenzung (loop limit)Anfang

Schleifenbegrenzung (loop limit)Ende

Ablauflinie (flow line)Vorzugsrichtungen (Pfeil optional):a) von oben nach untenb) von links nach rechts

Zusammenführen (junction)Ausgang sollte durch einen Pfeilgekennzeichnet werden



Sinnbilder:









Sinnbilder:







Ablauflinie (flow line) Vorzugsrichtungen(Pfeil optional):a) von oben nach untenb) von links nach rechts


Sinnbilder:







Zusammenführen (junction)Ausgang sollte durch einen Pfeil gekennzeich-net werden



Programmablaufplan DIN66001-1966 – Beispiel


Beispiel für Programmablaufplan nach DIN66001-1966

Beginn

Ende

Dreckwäsche in die

Waschmaschine

Waschmittelin die

Waschmaschine

Wäschezusammenlegen

Wäschein den

Trockner

Waschmaschineanstellen

Warten

Trockneranstellen

Warten

Wäschein den Schrank

räumen

Fertig? Fertig?



Überblick




Struktogramme

Sortieren



Struktogramme

Linearer Ablauf (Sequenz):

Anweisung 1

Anweisung 2

Anweisung 3

Anweisung 4

Anweisung 5

Jede Anweisung wird in einenrechteckigen Strukturblock geschrieben.Strukturblöcke können untereinandergestellt werden.Die Strukturblöcke werden nacheinandervon oben nach unten durchlaufen.



Struktogramme – VanillekipferlNimm eine SchüsselFülle 200g Mehl hinein




Fülle 1 Päckchen Vanillezucker hineinKnete den Inhalt der Schüssel, bis ein glatter Teig entsteht

Forme aus walnussgroßen Stückchen Teig kleine Hörnchen und lege sie aufein mit Papier ausgelegtes Backblech

Schalte Backofen auf 150 ◦CWarte 10 MinutenSchiebe Blech in den BackofenWarte 10-15 MinutenStelle eine Mischung aus einer Tasse Puderzucker und einer Packung Vanil-lezucker herNimm Blech aus Backofen herausBestäube die noch warmen Kipferl mit Mischung aus Puder- und Vanillezu-cker



Zweifache Auswahl (alternative Verarbeitung)

Bedingung

Wahr Falsch

Anweisungsblock 1 Anweisungsblock 2

Wenn die Bedingung zutreffend (wahr) ist, wird der Anweisungsblock 1durchlaufen. Trifft die Bedingung nicht zu (falsch), wird derAnweisungsblock 2 durchlaufen. Ein Anweisungsblock kann aus eineroder mehreren Anweisungen bestehen. Austritt erfolgt nach unten nachAbarbeitung des jeweiligen Anweisungsblocks.



Zweifache Auswahl (alternative Verarbeitung)

Anweisungen . . .

Fülle ein Päckchen Vanillezucker hinzuKnete den Inhalt der Schüssel, bis ein glatter Teigentsteht

Ist der Teig fest?

Ja Nein

Fortfahren Füge einen Esslöffel Mehlhinzu



Verschachtelte zweifache Auswahl

Anweisungen . . .

Wird Mehl für das Rezept benötigt?

Ja Nein

Ist Mehl vorrätig?Ja Nein

Fortfahren Setze Mehl aufEinkaufslisteAnweisungen. . .

∅

Fortfahren

∅



Struktogramme – Fallauswahl

Variable

Wert 1Anweisungsblock 1

Wert 2Anweisungsblock 2

Wert nAnweisungsblock n

SonstAlternativblock (op-tional)

Besonders bei mehr als drei abzuprüfenden Bedingungen geeignet. DerWert von "Variable-kann bedingt auf Gleichheit wie auch auf Bereiche(größer/kleiner bei Zahlen) geprüft werden und der entsprechendzutreffende „Fall“ mit dem zugehörigen Anweisungsblock wirddurchlaufen.



Abweisende (kopfgesteuerte) Schleife

Anweisungen . . .

Bedingung

Anweisungsblock

Anweisungen . . .

Wiederholungsstruktur mit vorausgehender Bedingungsprüfung:Zuerst wird die Bedingung ausgewertet: Ergibt sie wahr, wird der Schleifenkörper(Anweisungsblock) einmal ausgeführt. Danach wird zum Beginn der Schleifezurückgekehrt und erneut mit der Prüfung der Bedingung begonnen.Ergibt die Auswertung der Bedingung falsch, wird unterhalb des Schleifenkörpersfortgefahren (ohne ihn auszuführen).Häufig benutzt man eine Bedingung, deren Wahrheitswert sich im Laufe der Zeitverändert, z.B. indem Variablen im Schleifenkörper verändert werden, die in derBedingung vorkommen. Man führt also die Anweisungen im Schleifenkörpersolange aus, bis die Bedingung nicht mehr zutrifft.



Struktogramme – Abweisende Schleife – Beispiel

Anweisungen . . .

Schiebe das Blech in den BackofenKipferl im Backofen noch nicht goldbraun

warte eine MinuteNimm das Blech aus dem OfenAnweisungen . . .



Struktogramme – Durchführung

Probieren Sie diesen Algorithmus doch zu Hause einmal aus.

Wir würden uns im Laufe des Vorkurses über einen Nachweis dererfolgreichen Durchführung freuen!



Überblick




Struktogramme

Sortieren



Sortieren – Einführung

Sortieren als eines der Standardprobleme der InformatikVerschiedenste Algorithmen– Unterschiedliche Laufzeiten

– Schlecht im Extremfall, gut im Mittel

Wichtige Unterschiede zum menschlichen SortierenUm sich einen Überblick über mehrere Elemente zu verschaffen,müssen sie einzeln angesehen und Zwischenergebnisse gebildetwerden.

Jedes „sich Merken“ oder „Ablegen“ muss in eigens angelegtenSpeicherstellen stattfinden.

Unterschiedliche Arten des Zugriffs auf das n-te Element.



Sortieren

Algorithmus zur Feststellung der kleinsten Zahl in einer Liste

Eingabe: Eine Liste von Zahlen(dargestellt durch einen verdeckt liegenden Stapel mit Zahlenkarten)

Ausgabe: Die kleinste in der Liste vorkommende Zahl



Sortieren

Struktogramm für die Feststellung der kleinsten Zahl in einem Stapel

Lege eine Leerkarte zum Merken der kleinsten bisher gefundenen Zahl(lokale Variable)

Schreibe die Zahl auf der ersten Karte des Stapels auf die Leerkarte (Sieist ja in jedem Fall erstmal die kleinste, da wir nur die eine Karte kennen)

Für jede weitere Karte aus dem Stapel

Zahl der Karte < der bisher kleinsten Zahl?

Ja Nein

Schreibe die Zahl als bisher kleinstegefundene Karte auf die Leerkarte

Fahre fort∅



Sortieren – Algorithmus?

Ist das beschriebene Verfahren ein Algorithmus?

Das Verfahren ist in einer endlichen Beschreibung durch einStruktogramm beschrieben.

Die Objekte der Berechnung sind die Zahlen des Stapels.

Die elementaren Operationen sind das Vergleichen von zwei Zahlenund das Ablegen des Wertes in einer lokalen Variable. Diese sindmechanisch ausführbar.

Die Reihenfolge der Operationen ist ebenfalls durch dasStruktogramm festgelegt.

Das Verfahren ist ein Algorithmus.



Sortieren – Suche der kleinsten Zahl – Liste

Zahlen nicht mehr als Stapel, sondern als Liste

Zahlen liegen aufgedeckt auf dem Tisch

Zahlen haben eine Position in der Liste, beginnend bei 1

Wir können vorne oder hinten etwas an die Liste anhängen

Wir können Zahlen auch aus der Liste raus nehmen



Sortieren

Struktogramm für die Feststellung der kleinsten Zahl und deren Positionin einer Liste

Setze Position der momentan kleinsten Zahl auf 1Setze die momentan kleinsten Zahl auf das erste Element der ListeFür jedes Element aus der Liste

Listenelement < der momentan kleinsten Zahl?

Ja Nein

Setze die momentan kleinste Zahlauf das ListenelementSetze die Position der momentankleinsten Zahl auf die Position dermomentan betrachteten Zahl

Fahre fort

∅



Sortieren – Selection-Sort

Sortieren mit der Suche des Minimums einer Liste

Grobe Idee:Wir legen eine neue Liste an

Das Minimum und dessen Position wird in der zu sortierenden Listegesucht

Das Minimum wird an die neue Liste angehängt

Das Element an der Stelle des Minimums wird gelöscht

Wir sind fertig, wenn die zu sortierende Liste leer ist




Eine zusätzliche neue Liste ist nicht nötigIdee:

Man benutzt eine Hilfsvariable, die die Position angibt, ab der die Listebereits sortiert ist. Diese Position teilt die Liste in einen linken, sortiertenTeil (Positionen kleiner der Hilfsvariable) und einen rechten, unsortiertenTeil (Positionen größer gleich der Hilfsvariable)

Zu Beginn zeigt die Hilfsvariable auf das erste Element, die kompletteListe ist also unsortiert (Positionen größer gleich der Hilfsvariable).Solange der Zeiger nicht auf dem letzten Element steht, tue folgendes:– Suche im unsortierten Teil des Feldes das kleinste Element

– Vertausche dieses Element mit dem Element dessen Position derHilfsvariable entspricht

– Versetze die Hilfsvariable um eine Position nach rechts (erhöhe sie um eins)




Ausgangssituation:

5 2 9 3 1




Zum Ende der 1. Iteration:

5 2 9 3 1




Zu Beginn der 2. Iteration:

1 2 9 3 5




Während der 2. Iteration:

1 2 9 3 5





1 2 9 3 5





1 2 3 9 5




Am Ende der 4. Iteration:

1 2 3 5 9

Das Abbruchkriterium (Hilfsvariable auf dem letzten Element der Liste)ist erfüllt und die Liste damit sortiert.



Sortieren – Selection-Sort – Struktogramm

Lege eine Leerkarte (1) zum Merken der Position ab der noch sortiertwerden mussSchreibe die 1 auf Leerkarte (1) (das gesamte Feld ist unsortiert)

Lege eine Leerkarte (2) als Zwischenspeicher für die Austauschoperation

Lege eine Leerkarte (3) als Zwischenspeicher für die Position des kleinstenElementsLeerkarte (1) nicht der Position des letzten Elements der Liste entspricht

Suche im unsortierten Teil des Feldes (rechts des Zeigers) das kleinsteElement und speichere die Position auf Leerkarte (3)

Sichere den Wert der ersten noch nicht sortierten Karte (Position aufLeerkarte (1)) im Zwischenspeicher für die Austauschoperation (Leer-karte 2)

Überschreibe den Wert der ersten noch nicht sortierten Karte (Positionauf Leerkarte (1)) mit dem gefundenen kleinsten Wert (Position aufLeerkarte (3))

Überschreibe die ursprüngliche Position des kleinsten Wertes (Positionauf Leerkarte (3)) mit dem Wert im Zwischenspeicher für die Austau-schoperation

Erhöhe den Wert auf Leerkarte (1) um eins

Sortieren – Selection-Sort – Austauschoperation

Lege eine Leerkarte (3) als Zwischenspeicher für die Position deskleinsten Elements

5 2 9 3 1

1Leerkarte (1), Position des ersten unsortiertenWertes

Leerkarte (2), Zwischenspeicher für Austausch-operation

Leerkarte (3), Zwischenspeicher für die Positiondes kleinsten Elements





5 2 9 3 1

1

5

Leerkarte (1), Position des ersten unsortiertenWertes






Sichere den Wert der ersten noch nicht sortierten Karte (Position aufLeerkarte (1)) im Zwischenspeicher für die Austauschoperation(Leerkarte 2)

5 2 9 3 1

1

5

5








1 2 9 3 1

1

5

5







Überschreibe die ursprüngliche Position des kleinsten Wertes (Positionauf Leerkarte (3)) mit dem Wert im Zwischenspeicher für dieAustauschoperation

1 2 9 3 5

1

5

5








1 2 9 3 5

2

5

5








Das Verfahren ist in einer endlichen Beschreibung durch einStruktogramm gegeben.

Die Objekte der Berechnung sind die Zahlen der Liste.Die Operationen sind:

Finden der kleinsten Zahl einer Menge: Dies sind mechanischausführbar und nicht elementar, aber durch ein Struktogramm näherbeschrieben und in elementare Schritte unterteilt.Schreiben und Lesen von Karten. Dieses ist mechanisch ausführbarund elementar.





Sortieren – Bubble Sort

In einer Wassersäule sind verschieden große Luftblasen. Dieunterste Luftblase steigt nun langsam auf. Während sie an kleinerenproblemlos vorbeikommt, wird sie durch größere gestoppt. Durchden Zusammenprall setzt sich die größere Luftblase in Bewegung,bis auch diese gestoppt wird oder am oberen Säulenende ankommt.Nun setzt sich abermals die unterste Luftblase in Bewegung. Wenndie Wassersäule eine endliche Anzahl Luftblasen enthält, dann kannirgendwann keine Luftblase mehr aufsteigen, da sich über jederLuftblase eine größere Luftblase befindet.Die Luftblasen sind nun von unten (klein) nach oben (groß) sortiert.Wir werden diese Idee auf eine Liste von Zahlen übertragen. DerWert der Zahl repräsentiert die Größe der Luftblase. Der Anfang derListe ist das untere Ende der Wassersäule, das Ende der Liste istdas obere Ende der Wassersäule.




1. Iteration:

5 3 9 2 1

Die Liste wird von vorne beginnend durchlaufen und die ersten beidenElemente werden miteinander verglichen. Ist das erste Element größerals das zweite Element, dann folgt ein Vertauschen, denn die größerenLuftblasen können an den kleineren vorbei.




1. Iteration:

3 5 9 2 1

Die kleineren Luftblasen stoßen die größeren Luftblasen an undstoppen selbst dabei. Es findet hier also kein Vertauschen der Zahlen„5“ und „9“ statt. Nun wird die „9“ weiter aufsteigen.




1. Iteration:

3 5 9 2 1

Der nächste Vergleich führt wieder zu einem Vertauschen, da dieLuftblase mit der Größe 9 an der kleineren Luftblase mit der Größe 2vorbeikommt und weiter aufsteigen kann.




1. Iteration:

3 5 2 1 9

Der letzte Vergleich führt wieder zu einem Vertauschen. Die Luftblasemit der Größe 9 ist als größte Luftblase an die Oberfläche derWassersäule gestiegen. Wir fahren mit der nächsten Iteration fort.




2. Iteration:

3 5 2 1 9

Die Luftblase mit der Größe 3 stößt die größere Luftblase an und bleibtselbst dabei stehen. Die größere Luftblase steigt weiter auf, es findetkein Vertauschen statt.




2. Iteration:

3 2 1 5 9

Am Ende der zweiten Iteration bleibt die Luftblase der Größe 5 an derLuftblase mit der Größe 9 hängen.




3. Iteration:

2 1 3 5 9

Nach der dritten Iteration sind die größten drei Elemente aufsteigendsortiert.




4. Iteration:

1 2 3 5 9

Die vierte Iteration sortiert die letzten beiden Elemente. Danach ist dieListe aufsteigend sortiert.



Sortieren – Bubble Sort – Struktogramm

Hinweis: a sei die Anzahl der zu sortierenden Zahlen

Reserviere eine Hilfsvariable i für die äußere SchleifeSetze i auf 1Reserviere eine Hilfsvariable j für die innere Schleife

i <= a - 1Setze j auf 1

j <= a - 1

j-te Zahl > j+1te Zahl?

Ja Nein

Tausche Zahl j mit Zahl j+1 Fahre fort

Erhöhe j um eins

Erhöhe i um eins





Das Verfahren ist in einem endlichen Text durch ein Struktogrammbeschrieben.

Die Objekte der Berechnung sind die Zahlen der Liste.

Die Operationen sind das Vergleichen und Vertauschen zweierZahlen. Diese sind mechanisch ausführbar.





Sortieren – Aufwandsabschätzung

Um den zu leistenden Aufwand für die Durchführung einesAlgorithmus zu bestimmen, muss man sich zuerst die Problemgrößebewusst machen. Sie stellt ein Maß dar, wie schwierig bzw.umfangreich die Aufgabe bzw. das Problem ist.

Üblicherweise wird die Problemgröße mit n benannt.

Für Sortieralgorithmen ist die Problemgröße die Anzahl der zusortierenden Elemente.



Sortieren – Aufwandsabschätzung

Für einfache Sortierverfahren ist der Aufwand meist quadratisch zurProblemgröße.

Zu beachten ist hierbei, dass diese Abschätzung nicht allzu genaugenommen werden darf, da konstante Faktoren nicht beachtetwerden.

Wenn wir also von quadratischem Aufwand sprechen, so kann esgenauso gut 100 · n2 sein, als auch 0, 5 · n2 oder auch (n − 1)2.

Es geht aber auch besser . . .



Danke

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!



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