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Prof. Dr. Rainer Elschen

Investition und Finanzierung- Zusatzfolien zur Portfoliotheorie und CAPM-

Investition und Finanzierung

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Portfoliotheorie

• Die Portfoliotheorie geht auf Harry Markowitz zurück.

• Sie gibt Anlegern Empfehlungen, wie sie ihr Vermögen auf verschiedenen Anlagemöglichkeiten aufteilen sollen.

• Es werden folgende Annahmen getroffen:– Anleger sind risikoscheu,– ihr Planungshorizont ist eine Periode,– sie haben Präferenzen, die durch Erwartungswert und Varianz

beschrieben werden können.– Alle Anlageobjekte sind beliebig teilbar.

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Rendite und Risiko bei Kombination zweier Anlagen (1)

• Es stehen zwei riskante Anlagen zur Auswahl.• Annahmegemäß ist die für den Investor relevante Information in

Erwartungswert und Varianz enthalten.• Die relevanten Anlagecharakteristika lassen sich also wie folgt

darstellen:

12%

10%

8%

10% 20% 30%

μ

σ

Anlage 1

Anlage 2

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Rendite und Risiko bei Kombination zweier Anlagen (2)

• Was passiert, wenn wir aus den beiden Anlagen ein Portfolio bilden, in dem die beiden Anlagen unterschiedlich gewichtet sind?

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• Die erwartete Rendite des Portfolios ergibt sich wie folgt:

• Die Portfoliostandardabweichung ergibt sich wie folgt:

Wir sehen, dass für die Darstellung der Portfoliovarianz auch die Korrelation zwischen den Anlagen beachtet werden muss.

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Rendite und Risiko bei Kombination zweier Anlagen (3)

12%

10%

8%

10% 20% 30%

μ

σ

Anlage 1

Anlage 2

12%

10%

8%

10% 20% 30%

μ

σ

Anlage 1

Anlage 2

Korrelation = 100% Korrelation = 0%

12%

10%

8%

10% 20% 30%

μ

σ

Anlage 1

Anlage 2

12%

10%

8%

10% 20% 30%

μ

σ

Anlage 1

Anlage 2

Korrelation = -100% Korrelation = 25%

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Rendite und Risiko bei Kombination zweier Anlagen (4)

• Sind die Anlagen perfekt korreliert (Korrelation = 100%), liegen alle möglichen Portfolios auf einer Geraden, die die beiden Anlagen verbindet.

• Ist die Korrelation perfekt negativ (Korrelation= -100%), bilden die möglichen Portfolios eine Keil, dessen Spitze gerade auf der y-Achse liegt. Wir können also aus zwei riskanten Anlagen ein Portfolio ohne Risiko formen (Paradebeispiel für den sog. Diversifikationseffekt).

• Sind die Anlagen nicht (Korrelation = 0) oder positiv (Korrelation = 25%) korreliert, liegen die erreichbaren Portfolios auf einer Parabel. Die Scheitelpunkte weisen jeweils ein geringeres Risiko auf, als die Anlage mit dem kleinsten Risiko (Anlage 2). Wir können somit durch Portfoliobildung auch dann Risiko „vernichten“ bzw. diversifizieren, wenn die Anlagen positiv korreliert sind.

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Der effiziente Rand und optimale Portfolios bei vielen Anlagen

• In der Praxis stehen Anlagern eine Vielzahl an Anlagen zur Verfügung Wie sehen also die Portfolios aus, die sich daraus

formen lassen?• Wie eben gesehen (2-Anlagen-Fall) kann man zwischen zwei

Anlagen Kombinationen formen. All diese Kombinationen aus den beiden Anlagen kann man wiederum als neue mögliche Anlagen betrachten, die sich wieder untereinander beliebig kombinieren lassen: μ

σ

Effizienter Rand

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Effizienter Rand und Auswahl effizienter Portfolios

• Auf dem effizienten Rand liegen alle effizienten Portfolios.

• Ein Portfolio ist effizient, wenn es keine anderen Portfolios

– mit derselben erwarteten Rendite, aber niedrigerer Varianz, oder

– mit derselben Varianz, aber höherer erwarteter Rendite gibt.

• Die Auswahl effizienter Portfolios nennt man Portfolioselektion.

• Hat man effiziente Lösungen identifiziert, ist jedoch nicht klar, welche man wählen soll.

• Um ein optimales Portfolio zu identifizieren, müssen die Präferenzen genau spezifiziert werden.

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Das optimale Portfolio eines Investors

Das optimale Portfolio eines Investors maximiert seinen Nutzen, d.h. die

Indifferenzkurve tangiert den effizienten Rand:

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μ

σ

Optimales Portfolio

ineffiziente Portfolios

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Bestimmung effizienter Portfolios mit risikoloser Anlage- bei einer riskanten Anlage-

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Das optimale Portfolio eines Investors mit risikoloser Anlage

• Die risikolose Anlage schafft neue Anlagemöglichkeiten (---). Diese werden am besten genutzt, wenn die risikolose Anlage mit demjenigen Portfolio kombiniert wird, bei dem die neue Anlagegerade die Effizienzlinie (ohne risikolose Anlage) tangiert.

Tangentialportfolio

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μ

σ

Effizienzlinie mit risikoloser Anlage

Tangentialportfolio

Indifferenzkurven

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Aus der Analyse folgt Tobin-Separation

Die Auswahl von Anlagemöglichkeiten (Portfolio-Selektion) kann in zwei unabhängige Teilschritte zerlegt werden:

1. Schritt: Ermittlung des Tangentialportfolios

Analog zur bisherigen Vorgehensweise

Unabhängig von der Risikoaversion des Entscheiders

2. Schritt: Auswahl des individuellen optimalen Portfolios, bestehend aus

Risikofreier Geldanlage (oder –aufnahme)

Riskantem Tangentialportfolio

(Mischung gemäß der Risikoeinstellung des Entscheiders)

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Optimale Aktienportfolios bei Separation (a= Anteil im Tangentialportfolio)

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Tangentialportfolio

μ

σ

Optimale Portfolios für die einzelnen Entscheider

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Zusammenfassung

• Anleger halten bezüglich Ertrag und Risiko effiziente Portfolios.

• Risiko = Standardabweichung bzw. Varianz, Ertrag = erwartete Rendite.

• Ohne risikolose Anlage: Die Effizienzlinie ist für risikoscheue Investoren konkav; die optimale Mischung riskanter Anlagen ergibt sich aus den Präferenzen des Anlegers.

• Mit risikoloser Anlage: Die Effizienzlinie wird zur Geraden.

– Optimale Mischung riskanter Anlagen unabhängig von den Präferenzen (=Tangentialportfolio).

– Mischung zwischen Tangentialportfolio und risikoloser Anlage abhängig von den Präferenzen.

• Probleme in der Praxis: Schätzfehler (historische Daten), Ermittlung der Anlegerpräferenzen, Einbeziehung nicht liquider Vermögensbestandteile.

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Überblick Kapitalmarkttheorie (1)

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Erklärende

Gleichgewichtstheorie

Gestaltende

Kapitalkostentheorie

Kapitalmarkttheorie

• Interpretation als

Sekundärmarkt- oder

Tauschmodell

• Ableitung von Gleich-

gewichtskursen und

Gleichgewichtsrenditen

bei Unsicherheit

• Interpretation als

Primärmarkt- oder

Finanzierungsmodell

• Ableitung von Kapitalkosten-

sätzen und Kalkulationszins-

füßen bei Unsicherheit

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Überblick Kapitalmarkttheorie (2)

Die moderne Kapitalmarkttheorie

• befasst sich mit der Analyse der Preisbildung auf Kapitalmärkten unter Berücksichtigung von unsicheren Erwartungen der Anleger und ist erklärende Theorie.

• versucht Aussagen über die Kapitalkosten und den „richtigen“ Kalkulationszinsfuß bei Unsicherheit abzuleiten. Während bei sicheren Erwartungen der Kalkulationszinsfuß gleich dem risikolosen Zinssatz ist, ergeben sich bei Unsicherheit, je nach dem Risiko, das der Kapitalanlage innewohnt, unterschiedliche Kalkulationszinsfüße. Insoweit die Kapitalmarkttheorie Empfehlungen bzgl. der anzusetzenden Kapitalkosten bei Unsicherheit gibt, ist sie gestaltende bzw. normative Theorie.

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Kapitalmarkttheorie - Fragestellungen

Unsere Fragestellungen:

• Welche Beziehung stellt sich im Gleichgewicht zwischen dem zu erwarteten Ertrag und dem Risiko einzelner Anlagen ein?

• Was folgt daraus für Kapitalkosten und Kapitalstruktur?

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Kapitalmarkttheorie – Annahmen (1)

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Kapitalmarkttheorie - Überlegungen

• Gilt diese Annahmekonstellation für jeden Investor auf dem Kapital-markt, so „zeichnen“ alle Anleger dieselbe Effizienzlinie.

• Damit ist auch das optimale riskante Portfolio (Tangentialportfolio) in seiner Struktur (Verhältnis der Marktwerte untereinander) identisch.

• Wenn alle Investoren dasselbe Portfolio halten wollen, kann dies im Gleichgewicht nur das Portfolio sein, das alle vorhandenen Anlagemöglichkeiten umfasst. Dieses Portfolio wird Marktportfolio genannt.

• Auswahl des individuell optimalen Portfolios: wie bisher gemäß Tobin-Separation.

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Die Kapitalmarktlinie (1)

Die Kapitalmarktlinie beschreibt die effizienten Anlagemöglichkeiten:

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Effizienzkurve riskanter Portfolios

Effizienzgerade = Kapitalmarktlinie

M

Marktportfolio

A‘

A

B‘

B

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Die Kapitalmarktlinie (2)

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M

μ

σ

Kapitalmarktlinie

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Die Kapitalmarktlinie (3)

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Die Wertpapierlinie (1)

• Während die Kapitalmarktlinie dazu dient, die Kapitalkosten unter Unsicherheit abzuleiten, versucht das Modell der Wertpapierlinie (Security Market Line), das auch als CAPM bezeichnet wird, den Preis (Marktwert bzw. Kurswert) einzelner Wertpapiere (risikobehafteter Kapitalanlagen) im Marktportfolio zu bestimmen.

• Dies ist möglich, da jedes einzelne Wertpapier i Bestandteil des Marktportfolios ist und der Wert eines jeden Wertpapiers daher in Relation zum Marktportfolio ausgedrückt werden kann.

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Die Wertpapierlinie (2)

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Die Wertpapierlinie (3)

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Die Wertpapierlinie (4)

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Die Wertpapierlinie (5)

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Die Wertpapierlinie (6)

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Die Wertpapierlinie (7)

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