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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Konvektive Massenflüsse III
• In dieser Vorlesung wollen wir uns nochmals mit den konvektiven Massenflüssen befassen, da uns immer noch ein umfassendes Bild der Physik solcher Vorgänge fehlt.
• Wir wollen damit beginnen, uns den kapazitiven Feldern nochmals zuzuwenden.
• Wir werden uns sodann mit der inneren Energie der Materie befassen.
• Schliesslich werden wir diese Erkenntnisse auf allgemeine Transportphänomene ausdehnen, bei welchen Massen-flüsse einen integralen Bestandteil der Energieflüsse ausmachen.
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Übersicht
• Kapazitive Felder• Die innere Energie der Materie• Der Bus-bond und die Bus-verknüpfung• Wärmeleitung• Volumenarbeit• Das allgemeine Austauschelement• Mehrphasensysteme• Verdunstung und Kondensation• Mischungsthermodynamik• Multielementsysteme
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Kapazitive Felder III
• Betrachten wir kurz die folgende elektrische Schaltung:
C1
C2
C3
i1 i2i3
i1-i3 i2+i3u1 u2
i1 – i3 = C1 · du1 /dt
i2 + i3 = C3 · du2 /dt
i3 = C2 · (du1 /dt – du2 /dt )
i1 = ( C1 + C2 ) · du1 /dt – C2 · du2 /dt
i2 = – C2 · du1 /dt + ( C2 + C3 ) · du2 /dt
0 0 1 0 0
C1 C2 C3
i1
i2
i3
i3 i3
i1-i3i2+ i3
u1 u1
u1
u2
u2
u2u1-u2
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Kapazitive Felder IV
i1 = ( C1 + C2 ) · du1 /dt – C2 · du2 /dt
i2 = – C2 · du1 /dt + ( C2 + C3 ) · du2 /dt
i1
i2
=( C1 + C2 ) – C2
– C2 ( C2 + C3 )
·du1 /dt
du2 /dt
i1
i2
=
( C2 + C3 ) C2
C2 ( C1 + C2 ) ·du1 /dt
du2 /dt C1 C2 + C1 C3 + C2 C3
Symmetrische Kapazitätsmatrix
0 0 1 0 0
C1 C2 C3
i1
i2
i3
i3 i3
i1-i3i2+ i3
u1 u1
u1
u2
u2
u2u1-u2 0 CF
i1
u1 0i2
u2
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Volumen- und Entropiespeicher• Sehen wir uns nochmals die Situation der letzten Vorlesung
an.
0 1 0
C
I
CCth
0 SF 0
CthS/V
Es war kein Zufall, dass ich die beiden Kapazitäten so nahe beieinander ge-zeichnet habe. In Wirklichkeit handelt es sich um zwei Ports desselben kapazitiven Feldes. Schliesslich sind ja Wärme und Volumen nur zwei verschiedene Eigenschaften derselben Materie.
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Die innere Energie der Materie I
• Wie wir bereits gesehen haben, gibt es drei verschiedene Speichergrössen der Materie:
• Diese drei Speichergrössen sind verschiedene Speicher-eigenschaften desselben Mediums.
• Somit handelt es sich um ein Speicherfeld.• Dieses Speicherfeld ist kapazitiver Natur.• Das kapazitive Feld speichert die innere Energie der
Materie.
Masse Volumen Wärme
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Innere Energie II
• Die Änderung der inneren Energie in einem System, d.h. der Gesamtleistungsfluss in das kapazitive Feld hinein, kann wie folgt geschrieben werden:
• Dies ist die Gibbs’sche Gleichung.
U = T · S - p · V + i · Nii
· · · ·
Wärmefluss Massenfluss
Volumenfluss
Fluss der inneren Energie
Chemisches Potential
Molarer Massenfluss
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Innere Energie III
• Die innere Energie ist proportional zur Gesamtmasse n.
• Durch Normierung mit n können wir alle extensiven Variablen intensiv machen.
• Somit:
u = Un s = S
n v = Vn ni =
Nin
id
dt(n·u) = T · d
dt (n·s) - p · ddt
(n·v) + i · (n· ni )d
dt
id
dt(n·u) - T · d
dt (n·s) + p · ddt
(n·v) - i · (n· ni ) = 0ddt
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Innere Energie IV
id
dt(n·u) - T · d
dt (n·s) + p · ddt
(n·v) - i · (n· ni ) = 0ddt
i
dudt - T · + p · - i · n ·[ ds
dtdvdt
dni
dt ]
= 0+dndt ·[u - T · s + p · v - i ·
ni
i ]
Diese Gleichung muss gelten unabhängig von der Menge n, somit:
= 0u - T · s + p · v - i · ni
i
i
dudt - T · + p · - i ·
dsdt
dvdt
dni
dt = 0Fluss der inneren Energie
Innere Energie
Hier nun endlich die Erklärung, warum mit „merkwürdigen“ Ab-leitungen gerechnet werden durfte.
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Innere Energie V
U = T · S - p · V + i ·Nii
U = T · S - p · V + i · Ni + T · S - p · V + i · Ni i
· · · ·i
· · ·
= T · S - p · V + i · Nii· · ·
T · S - p · V + i · Ni = 0· · ·
Dies ist die Gibbs-Duhem Gleichung.
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Das kapazitive Feld der Materie
C C
C
GY
GY GY
TS·
pq
i i
Vp·
p·VT·
T·
S
S
i·
i· nini
CF
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Vereinfachung• Für den Fall, dass keine chemischen Reaktionen stattfinden,
ist es möglich, die molaren Massenflüsse durch gewöhn-liche Massenflüsse zu ersetzen.
• In diesem Fall wird das chemische Potential durch das Gibbs’sche Potential ersetzt.
MgVpSTdt
dU
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Bus-Bond und Bus-0-Verknüpfung• Die drei äusseren Beine des CF-Elements können zusammen-
gebunden werden.
pq
TS
g
M
.
.
0
0 0
CFCF
C C
C
3Ø CF
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Nochmals Wärmeleitung
CFCF CFCF
11
T
2T
S.
T
1
1
1 S.
1
S.
1
2
0 mGSmGS
2T
Ø Ø
TT S
.1
2
S.
12
S.
1x S.
2xT1
3 3
CFCF1CFCF2
3 3HE
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Die Volumenarbeit
pq q11
1 p2
0 GSGS
2T1T
Ø Ø33
CFCF1 CFCF2
pq
p p
2q
2q
S1x
. S2x
.
CFCF1CFCF2
3 3PVE
Druck wird ausgeglichen. Es wird hier angenommen, dass die Trägheit vernachlässigt werden darf (relativ kleine Massen und/oder Geschwin-digkeiten), und dass beim Ausgleich Reibung im Spiel ist.
Das Modell ist sinnvoll, wenn der Ausgleich lokal erfolgt, d.h. wenn das Medium nicht sehr stark bewegt wird.
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Allgemeines Austauschelement I
pq
11
GS
0
1 pq
211
GS
11 11
0
mGS
0
mGS
TS. 1 T
S. 2
1 2
g
M. 1 g
M. 2
SwSw
Die drei Flüsse sind über die RS-Elemente miteinander gekop-pelt.
Schaltelement in Bond-graphennotation. Dieses wurde noch nicht vor-gestellt.
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Allgemeines Austauschelement II
• Beim allgemeinen Austauschvorgang werden gleichzeitig die Temperaturen, die Drücke und die Gibbs’schen Potentiale ausgeglichen.
• Es handelt sich dabei um ein Widerstandsfeld.
Ø Ø3RF
3
33
CFCF1 CFCF2
, S1 1 , S2 2
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Mehrphasensysteme
• Wir müssen nun auch Phänomene wie Verdunstung und Kondensation berücksichtigen.
CFCFgas
3
ØHE, PVE,
Verdunstung(und Kondensation)
3
CFCFfl
3
Ø3
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Verdunstung (Verdampfung)• Der Massen- und Energieaustausch zwischen kapazitiven
Materiespeichern (CF-Elementen), die verschiedene Phasen repräsentieren, wird durch spezielle Widerstands-felder (RF-Elemente) bewerkstelligt.
• Die Massenflüsse werden als Funktion des Drucks und des entsprechenden Sättigungsdrucks berechnet.
• Die Volumenflüsse werden als Produkt der Masseflüsse mit dem Sättigungsvolumen bei der gegebenen Temperatur berechnet.
• Die Entropieflüsse werden überlagert mit der Verdunstungsenthalpie (bei der Verdunstung wird dem thermischen Bereich Wärme entzogen latente Wärme).
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Kondensation an kalten Oberflächen• Hier muss die Grenzschicht berücksichtigt werden.
CFCFfl
CFCFGas
CFCFOberfläche
3
3
Ø
Ø
Rand-schicht
3
3
Wärmeleitung (HE)Volumenarbeit (PVE)
Kondensation und Verdunstung
3 3HEPVERF
3 3HEPVERF
CFCFfl
CFCF Gas
3
3
Ø
Ø
3
3TS
.
Wärmeleitung (HE)Volumenarbeit (PVE)
Kondensation und Verdunstung
HE
gas
s
T S
HE
fl
s
.
Grenzschicht
Ø 3
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Mischungsthermodynamik• Beim Mischen von Flüssigkeiten oder Gasen entsteht
zusätzliche Entropie.
• Diese Mischungsentropie muss unter den teilnehmenden Komponenten verteilt werden.
• Die Verteilung ist eine Funktion der Massenanteile.
• Normalerweise sollten CF-Elemente nichts voneinander wissen. Beim Mischen ist dies unvermeidbar. Die benötigte Information wird ausgetauscht.
CF1 CF2MIMI
{M1}
{x1
{M2}
{x2
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Mischungsentropie• Die Mischungsentropie wird dem Gibbs’schen Potential
entzogen.TS.
pq 11
1
1
11
g1(T,p)11M
.1
TS.
pq
1
1
g1 (T,p)
M.
1
mix
TRSM.
1
g1
Sid
mix
1
CFCF11 CFCF12
TS.
pq 11
2
2
11
g2(T,p)11M
.2
TS.
pq
2
2
g2 (T,p)
M.
2
mix
TRSM.
2
g2
Sid
mix
2
CFCF21 CFCF22
MIMI
x21
x11
M21
M11
HEPVE.
.
Es wurde hier ange-nommen, dass die zu mischenden Liquide dieselben Temperaturen und Drücke aufweisen.
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
T2
S.
p2
q 112
2
11
g2(T2,p2) 11M.
2
T2mix
S.
p2mix
q
2
2
g2 (T2,p2)
M2
.mix
CFCF 21 CFCF 22
MIMI HEPVE
RS
M.
2g2
S2
.RS mRS
0
p2
T2
q2
S2
.
T2mix
T1
S.
p1
q 111
1
11
g1 (T1,p1) 11M.
1
T1mix
S.
p1mix
q
1
1g1 (T1,p1)
M1
.mix
CFCF 11
RS
M.
1
g1
S1
.RS mRS
0
p1
T1
q1
S1
.
T1mix
CFCF 12
Die zu mischenden Liquide können auch unterschiedliche Tem-peraturen oder Drücke aufweisen.
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Konvektion in Multielementsystemen
CF12
CF13
CF11
Ø
3
3
3
3
3
Ø
Ø
3
PVEHE
3
3
HEPVE CF22
CF23
CF21
3
3
3
3
3
Ø
Ø
Ø
3
PVEHE
3
3PVEHE
3
HEPVE
3
PVEHE
3RF
PVEHE
3
3 3RFPVEHE
3 3RFPVEHE
horizontalerAustausch(Transport)
vertikalerAustausch
(Mischung)
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Zweielement-, Zweiphasen-, Zweiunterteilungs-konvektives System
Gas
CF11
Fl.
CF11
Fl.
CF21
Gas
CF21
Ø
3
3
3
3
3
Ø
Ø
Ø
3
PVEHE
3
HEKondensation/Verdunstung
PVE
3
3
3
3
HEKondensation/Verdunstung
PVE
Gas
CF12
Fl.
CF12
Fl.
CF22
Gas
CF22
Ø3
3
3
3
3
3
Ø
Ø
Ø
3
PVEHE
3
HEKondensation/Verdunstung
PVE
3
3
3PVEHE
3
HEKondensation/Verdunstung
PVE
3
PVEHE
3RF
PVEE
3
3 3
3 3
HEPVERF
HEPVERF
3 3RF
PVEHE
Phasen-grenze
3
PVEHE
3
3
PVEHE
3
3
PVEHE
3
3
PVEHE
3
MIMI{x21, S
E
21, VE
21}
{M21, T21, p 21} MIMI1 2
+
Vge
s
+
Vge
s
{M11, T
11, p
11}
{x21,
SE
21,
VE
21}
{M12, T
12, p
12}
{x12,
SE
12,
VE
12}
{M22, T22, p 22}
{x22, SE
22, VE
22}
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Konzentrationenaustausch
• Es mag sein, dass verschiedene Unterteilungen nicht völlig homogen sind. Dann müssen auch Konzentrationen aus-getauscht werden.
CFCFii
3
Ø 3 3HEPVECE
3
Ø
CFCFi+1i+1
33... ...
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Referenzen I
• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 9.
• Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), “Modeling convective flows using bond graphs,” Proc. ICBGM’01, Intl. Conference on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, Arizona, pp. 276 – 284.
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12. Januar, 2005Anfang Präsentation
Referenzen II
• Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), “Modeling multi-phase systems using bond graphs,” Proc. ICBGM’01, Intl. Conference on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, Arizona, pp. 285 – 291.
• Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), “Modeling multi-element systems using bond graphs,” Proc. ESS’01, European Simulation Symposium, Marseille, France, pp. 758 – 766.