anwendbarkeit von benfords gesetz fälschungsforschung in den sozialwissenschaften johannes bauer

Anwendbarkeit von Benfords Gesetz

Fälschungsforschung in den Sozialwissenschaften

Johannes Bauer

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Benfordverteilte Daten

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Benfordverteilung

1 2 3 4 5 6 7 8 9

(D₁ = d₁) 30.1 17.6 12.5 9.7 7.9 6.7 5.8 5.1 4.6

2.5

7.5

12.5

17.5

22.5

27.5

32.5

Erste gültige Ziffer

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Benfordverteilung

Entstehungsfaktoren

• Multiplikationen – Richard Hammering (1970)

• Verteilungen – Theodor Hill (1995)

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Fälschungen aufdecken

Ansatz:

• Welche Daten sind benfordverteilt?

• Abweichungen als Indiz für Fälschungen

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Was ist Benfordverteilt

Datenquelle: Kölner Zeitschrift für Soziologie und Sozialpsychologie Februar 1985 bis März 2007 (mit Unterstützung des Lehrstuhl Braun, LMU München)

N 1. Ziffer 2. Ziffer 3. Ziffer 4. Ziffer

Unstand. Regressionen 2180 x x x xχ²-Testwerte 310 x x x x

Logistische Regressionen 2251 x xt-Verteilungen 1538 x x

Coxregressionen 599 x xR² 342 x x x

Pseudo-R² 248 x x -Gesamt 7468 x x

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Gleichverteilte Ziffern

Normalverteilung

• Mittelwert: 3

• Standardfehler: 2

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Normalverteilung

• Mittelwert: 3


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Normalverteilung

• Mittelwert: 3


N 1. Ziffer 2. Ziffer 3. Ziffer 4. Ziffer

Unstand. Regressionen 2180 x x xχ²-Testwerte 310 x x x

Logistische Regressionen 2251 x xt-Verteilungen 1538 x x

Coxregressionen 599 x xR² 342 x x x

Pseudo-R² 248 x x -Gesamt 7468 x x

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Untersuchung des Lehrstuhl Braun

Zu fälschende Hypothese: “Je höher die Bildung einer Person, desto weniger Zigaretten raucht sie pro Tag”

1. Ziffer: Ho abgelehnt (χ ²=103.39,df = 8, p = 0.000)

2. Ziffer: Ho abgelehnt (χ ²=122.59,df = 9, p = 0.000)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ben-ford

30.1 17.6 12.5 9.7 7.9 6.7 5.8 5.1 4.6

Stu-den-ten

30.9 17.3 13.5 8 7.2 4.8 5.3 6.1 6.7

3

8

13

18

23

28

33

Gefälschte Regressionskoeffizienten, erste gültige Ziffer (n = 4621)

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Untersuchung: 3. und 4. Ziffer

Ho abgelehnt(χ² = 304.89, df=9, p= 0.000)

Ho abgelehnt(χ ² = 622.20, df=9, p= 0.000)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Benford 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Studen-ten

3.1 19 12 14.2

9.2 8.1 8.2 9.8 8 8.6

38

1318232833

Gefälschte RegressionenDritte gültige Ziffer (n = 4378)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ben-ford

10.2 10.1 10 10 10 10 9.9 9.9 9.9 9.8

Studen-ten

9.1 15.1 10.8 14.9 9 7.5 7.4 10 8.6 7.7

38

1318232833

Gefälschte RegressionenVierte gültige Ziffer (n = 3867)

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Untersuchung: Individualdaten

Individuelle Abweichungen von Benfords Gesetz

1. Ziffer 2. Ziffer 3. Ziffer 4. Ziffer

35 40 42 41

47 Personen

0.744 0.851 0.893 0.872

absolut

prozentual

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Fälschungen entdecken

Ansatz:

• Ab wann wird eine Fälschung erkannt?Vorgehensweise:

1. Empirische Verteilung gefälschter Regressionskoeffizienten

2. Ziehen von Zufallszahlen

3. Test der Zufallswerte auf Benfords Gesetz (H0)

20 50 100 200 400 500 750 1000 1500

χ2 - Test 0 0 0 0 1 0 1 1 1

4. Wiederholung für höhere Fallzahlen

Zweite gültige ZifferDritte gültige Ziffer Vierte gültige ZifferErste gültige Ziffer

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Aggregatdaten

Durchschnittliche Fallzahl um H0 mit einer Wahrscheinlich-keit von 95 % abzulehnen:

1. Ziffer: 989 Fälle




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Erste gültige Ziffer ~ 50 % gefälschte Daten






Aggregatdaten

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Aggregatdaten

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Benötigte

Fallzahl (95 Proze

nt)

6000 4000 2000

0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Anteil gefälschter Daten

Erste Ziffer

Zweite Ziffer

Dritte Ziffer

Vierte Ziffer

Aggregatdaten

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Individualdaten







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Benötigte

Fallzahl (95 Proze

nt)

6000 4000 2000

0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0


Erste Ziffer

Zweite Ziffer

Dritte Ziffer

Vierte Ziffer

Individualdaten

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Kombination von Ziffern

Erste gültige Ziffer Dritte gültige Ziffer

Zweite gültige Ziffer Vierte gültige Ziffer

730923245

092649808

016203355

621134114

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Kombination von Ziffern

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Benford 8 15.4 12.1 10.7 9.9 9.3 9 8.7 8.4 8.2

3

8

13

18

23

28

33

Mischung der 1. bis 4. gültigen Ziffer

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Zweiter Schritt: Gemeinsame Ziffern

1. Ziffer 2. Ziffer 3. Ziffer 4. Ziffer

4621 4541 4378 3867

17407

Gewichtung

0,265 0,261 0,252 0,222

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Benford 7.9 15.7 12.2 10.8 10 9.4 8.9 8.6 8.3 8.1

Studenten 6.1 19.9 13.1 13.7 8.5 7.9 6.6 8.4 8 7.9

3

8

13

18

23

28

33

Aggregierte Daten, gemeinsame Ziffern (n = 17407)

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Benötigte Ziffern (95 Prozent)

6000

4000

2000

0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0


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Zweiter Schritt: Vergleich

Gemeinsame Ziffern

4. gültige Ziffer


100% 174 73

80% 299 116

60% 570 208

50% 843 301

40% 1344 472

20% 5526 1897

Gemeinsame Ziffern

0,265

174 46

299 79

570 151

843 223

1344 356

5526 1464

4. gültige Ziffer

100 / 18,5 =5,4

73 394

116 626

208 1123

301 1625

472 2549

1897 10243

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Ergebniszusammenfassung

Fälschungserkennung mit Benfords Gesetz:

• Untersuchung von Individualdaten

• Untersuchung gemeinsamer Ziffern

• Anwendung von Anpassungstests, welche stärker auf die Stichprogengröße reagieren (hier χ²-Anpassungstest)

• Die Effektivität des Verfahrens ist stark abhängig von der Vorgehensweise des Fälschers.

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Vorschläge

Fälschungserkennung mit Benfords Gesetz:

• Erfassen möglichst vieler metrischer Kennwerte

• Verwenden der Gleichverteilung

• Fälschertypen bilden

• Konzentration auf Abweichungen

• Konzentration auf die Ziffernreihenfolge

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Literatur

Surowiecki, James, 2004: The Wisdom of Crowds. Why the Many are Smarter than the Few. New York: Doubleday.

Nigrini, Mark, 1999: I’ve Got Your Number. How a Mathematical Phenomenon can Help CPAs uncover Fraud and Other Irregularities, in: Journal of Accountancy: 79-83.

Newcomb, Simon, 1881: Note on the Frequency of use of the Different Digits in Natural Numbers, in: American Journal of Mathematics 4(1), 39-40.

Diekmann, Andreas, 2007: Not the First Digit! Using Benford’s Law to Detect Fraudulent Scientific Data, in: Journal of Applied Statistics 34(3), 321-329.

Busta, Bruce/Weinberg, Randy, 1998: Using Benford’s law and neural networks as a review procedure, in: Managerial Auditing Journal 13(6), 356-366.

Benford, Frank, 1938: The Law of Anomalous Numbers, in: Proceedings of the American Philosophical Society 78(4), 551-572.

Hill, Theodore P., 1995: Base-invariance implies Benford’s law, in: Proceedings of the American Philosophical Society 78, 551-572.

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