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Periodendauer T [s] Periodenlänge [m] Wellenlänge
Frequenz HzT
v1
Wellenzahl 12
mk bezogen auf Einheitskreis
Beschreibung durch Umlauf auf dem Kreis (natürliche periodische Bewegung)
A0 cos
A0
Winkel als Funktion von der Zeit: ttt 2
Kreisfrequenzperiodische Größe A: tAtAtA coscos 00
harmonische Bewegung
harmonische Schwingung
Fourieranalyse
Beliebige Funktion (t) mit der Periode T entspricht einer Überlagerung vonvielen Zeitabläufen, die eine gemeinsame Grundperiode (,T) haben.
und mögliche Vielfache n· Harmonische von
Zeit von = 0…2 immer gleich T Sekunden
5. Periodische Vorgänge in Raum und Zeit
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einfaches mechanisches Modell
0xxDam FederkraftBeschleunigung
Newton-Axiom
durch FS bestimmtwähle x-Achse so daß x0=0
tA sintv 0 txtAta 220 cos
Geschwindigkeit und Beschleunigung berechnen:
Wegfunktion nach Beobachtung geraten: tAtx cos0
m
DmD oder2Gleichung über Kraft ist erfüllt, wenn
5.1 Schwingungen
Prüfung dieses Zusammenhanges durch Experiment: Gültigkeit des Hookschen Gesetzes
Bestimmung von D bzw. Materialeigenschaft
Vergleiche auch Pendel als weiteres Modelll
g
x0
x
FF = D(x-x0)
FS = mg
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202
1
00
00
ADxxDxFWAA
Fpot 2202
12max2
1 v mAmWkin Maxima
gleich
Energiesatz
Dämpfung kann so groß sein, daß die Schwingung gar nicht mehr erkannt wird!
Aperiodischer Grenzfall wichtig für Regelungsvorgänge
Reibungsverluste Dämpfung (häufig genannt Relaxation), gedämpfte Schwingung
0 2 4 6 8 101
0.5
0
0.5
1
Zeit
Aus
lenk
ung
Zerfallsfunktion der Amplitude
teAA t cos0
Dämpfungskonstaneneue mittlere Kreisfrequenz
220
Schwinger einmal angestoßen
Schwingung ist periodische Umwandlung von kinetischer in potentielle Energie
www.ubicampus.mh-hannover.de/~physik/materialsammlung/schwingungen
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periodisch von außen einwirkende Kraft Frequenz
periodische Bewegung mit und nicht mit Eigenfrequenz 0 des physikalischen Systems
Resonanz Amplitudenüberhöhung, wenn 0
0 = 5 Hz
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
Frequenz
Am
plitu
de
Hz
=0.25Hz
=1 Hz=5Hz
folgt der Bewegung folgt der Bewegung nicht
Resonanz
Bedeutung der Resonanz:
Erzwungene Schwingungen
Modell mit Federpendel, das mit der Hand periodisch angestoßen wird.
Simulationwww.ubicampus.mh-hannover.de/~physik/materialsammlung/schwingungen
•Filter periodischer Vorgänge•empfindliche Diagnose•Bildung von Tonlauten•„Resonanzkatastrophe“
Stimmgabel + Resonanzkörper
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Schwingungen in Molekülen Kopplung zwischen benachbarten Atomen oder MolekülenKopplung zwischen Regelprozessen
Modell zwischen zwei Pendeln
Koppel-gewicht
1 2
Pendel 1 anstoßen
Pendel 2 beginnt zu schwingen und übernimmt Energie von 1
Periodische Wechsel der Energie Wechselfrequenz
Anstoß beider Pendel: gleichsinnig und gegensinnig
Schwingungsform stabil!
Schwingungsmoden oder Eigenschwingungen
sym antisym
Simulation: www.ubicampus.mh-hannover.de/~physik/materialsammlung
Gekoppelte Pendel
Summe beider Modensym.
antis. in RuheDifferenz
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Mod
enty
pen
Pendelkette mit vielen Gliedern Saite
longitudinal
transversal
Pendelkette
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x
x
x
x
x
= cT
räu m lich e P er io d e W ellen län ge
M o m en tau fn ah m en
t = 0
t = ¼ T
t = ½ T
t = ¾ T
t = 1T
zeitlich e P er iod eT
Amplitude
Ausbreitungsgeschwindigkeit:
Tc
5.2 Wellen
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transversale Wellen “Auslenkung” senkrecht zur AusbreitungBeispiele: Seilwellen, Wasserwellen, Licht
longitudinale Wellen “Auslenkung” parallel zur AusbreitungBeispiele: Federwellen, Schall
Typ nachAuslenkung
Wellentypen
Typ nach Ausbreitung
Kugelwellen Quelle der Welle ist ein “Punkt”, und die Welle breitet sich von dortgleichmäßig in alle Raumrichtungen aus; Wellenfronten sind Kugeln oder Kreise (bei Ausbreitung in nur zwei Dimensionen)
Beispiele: Wasserwelle, Lichtwelle von punktförmigen Lichtquelle aus
Ebene Wellen Wellenfronten (eine Fläche gleicher Auslenkung) sind Ebenen oder gerade Linien
Beispiel: Ausschnitt aus einer Kugelwelle
Pulswelle durch Hörsaal
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Wellenzentrum Wasserwelle
2 Steine 2 Kreiswellen
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Interferenz: Konstruktion mit Kreiswellen
Simulation
http://www.falstad.com/mathphysics.html
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Beispiel: zwei punktförmige Lichtquellen
Interferenzminima:2
)12(sin md
Interferenzmaxima: md sin
m = 0, 1, 2, 3, .... Ordnung der Interferenz Wo bleibt die Energieder Auslöschung?
d
d s in1
2
3
4
5
6
7Beobachtungspunkt
Wellenbergevon links
Wellenbergevon rechts
Gangunterschied
Minimum
Addition von Wellenausbreitungen
Interferenz von Wellen ausgehend von zwei Wellenzentren
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Lichtquelle
L1
L2 Gangunterschied am Punkt P: sin12 LL
Maxima, wenn: mLL sin12
PHörsaalwandmit hellen Interferenzkreisen
GlimmerDicke etwa 40µm
wachsende Ordnungszahl m
Blendschirm
Beispiel für Kugelwellen: Licht
nullte Ordnung
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Beugung am Hindernis
großer Spalt
10 cmBeugung undInterferenz
großes Hindernis
Wellenausbreitung an der Wasseroberfläche
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Öffnung klein gegen
Huygenssches PrinzipJeder von einer Welle getroffene Punkt ist selbst wieder Ausgangspunkt einer Elementarwelle.
Das beobachtete Wellenbild ist die Summe aller Elementarwellen Interferenz und Beugung
Elementarwellen
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Spalt Hindernis
Wellenlänge kleiner als geometrisches Objekt
Beugung und Interferenz
Wie sieht das Beugungs- und Interferenzbild eines Objektes aus, das viel kleiner als die Wellenlänge ist?
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Ebene Wellenfront aus dicht liegenden Kugelwellen konstruieren!
012
-1
-1 -2
E in fallslo t
M ed ium 1
c = c /n
M ed ium 2
c = c /n
l
l
G renz fläche
E lem en ta rw e llen
L ich ts trah l
L ich ts trah l
2 2
1 1
1
2
1
2
2
1
sin
sin
n
n
c
c
Brechungsgesetz von SnelliusLaufzeiten für Wellenfronten
2
1
2
1
2
2
1
1
c
c
l
l
c
l
c
lt
Wellenbild zur Brechung
sin1 blBreite auf der Grenzfläche
sin2 bl
Was ist unvollständig an diesem Bild?